Dag van GeoGebra Probleemoplossende vaardigheden en onderzoekscompetentie wiskunde 28 mei 2011 Gent

Transcriptie

1 1 VERBORGEN FIGUREN 1.1 OPGAVE In heel wat klassieke opdrachten uit de meetkunde is het de bedoeling om een bepaalde figuur te tekenen indien een aantal punten gegeven zijn. De eigenschappen van deze figuur worden dan onderzocht. Voorbeeld: Gegeven drie punten A, B en C. Teken de driehoek ABC en bepaal het zwaartepunt Z. Het is nu ook mogelijk om ditzelfde probleem op een totaal andere wijze te bekijken. Men kan een aantal figuren verbergen met uitzondering van een aantal punten. Door het verslepen van deze punten moet men de onderliggende meetkundige objecten ontdekken en de eigenschappen van de punten proberen weer te geven. Oplossing: De punten P, H en S zijn de hoekpunten van een driehoek. R is het zwaartepunt van deze driehoek. Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 1

2 Probeer de verborgen figuren te ontdekken. Open telkens de bijhorende webpagina en versleep de punten. Voor alle duidelijkheid wordt hieronder bij elke oefening een schermafdruk gegeven. Oefening 1: Open de webpagina Verborgenfiguur1.htm Noteer jouw oplossing: Oefening 2: Open de webpagina Verborgenfiguur2.htm Noteer jouw oplossing: Oefening 3: Open de webpagina Verborgenfiguur3.htm Noteer jouw oplossing: Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 2

3 2 ALGEBRAÏSCHE EIGENAARDIGHEID 2.1 OPGAVE 1 INLEIDENDE OPDRACHT Voorbeeld 1 a) Beschouw de grafieken van een derdegraadsfunctie f(x) = x³ - 5x² + 2x + 9 en een lineaire functie g(x) = -2x + 5. De rechte is zodanig gelegen dat er drie verschillende snijpunten zijn met de grafiek van f. b) Bepaal de x-coördinaten van de snijpunten van beide grafieken met een passende algebraïsche oplossingsmethode. Denk hierbij aan de methode van Horner. x³ - 5x² + 2x + 9 = -2x + 5 Controleer jouw resultaten met GeoGebra. Start GeoGebra en activeer (indien nodig) de assen en het rooster. Typ in het invoerveld het voorschrift van de veeltermfunctie f Laat ook de rechte tekenen Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 3

4 Om de grafieken duidelijker zichtbaar te maken, kun jij de verhouding van de eenheden op de x-as ten opzichte van de y-as aanpassen. Klik met de rechtermuisknop in het grafiekvenster en zet de verhouding x-as: y-as op 1:2 De snijpunten van f en g kun jij berekenen met Het is mogelijk om de coördinaten van deze snijpunten af te lezen in het algebravenster. c) Maak de som van de x-coördinaten (abscisssen) van deze 3 snijpunten en vergelijk met de coëfficiënten van de gegeven functie f. xa + xb + xc = d) Onderzoek aandachtig de volgende grafieken en bepaal het voorschrift van de rode grafiek h(x) Vergelijk met de grafieken van f en g. Is dit de grafiek van f + g of f- g? Antwoord: h(x) = Wat is het mogelijk verband met de gevraagde x-coördinaten? Controleer het gevonden voorschrift h met GeoGebra. Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 4

5 Voorbeeld 2 Beschouw de grafieken van een derdegraadsfunctie f(x) = x³ +4x² + 3x + 5 en g(x) = 2x + 7 Bereken opnieuw de x-coördinaten van de snijpunten van f en g volgens een algebraïsche oplossingsmethode (Horner) controleer daarna met GeoGebra. xa + xb + xc = Besluit: Formuleer jouw vermoeden. Welke merkwaardige eigenschap heb jij ontdekt? Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 5

6 2.2 OPGAVE 2 UITGEBREIDER ONDERZOEK Het was mogelijk om, in beide hoger vermelde voorbeelden, de x-coördinaten van de gevraagde punten via algebraïsche weg (met de methode van Horner) te berekenen. De opgaven waren immers goed gekozen. Uiteraard is het niet steeds mogelijk om (met de methode van Horner) langs algebraïsche weg deze oplossingen manueel te berekenen. a) Onderzoek deze eigenschap ook voor de onderstaande voorbeelden. Schets daartoe beide grafieken met GeoGebra, bereken de x-coördinaten van de snijpunten, tel deze resultaten op en vergelijk met de coëfficiënten in de opgave. * f(x) = x³ - 7x² + 3x + 8 en g(x) = -3x + 4 xa + xb + xc = * f(x) = x³ -5.x² + 2x + 9 en g(x) = -2x + 6 xa + xb + xc = b) Kies nu zelf een aantal derdegraadsfuncties en een passende rechte. Zorg ervoor dat de coëfficiënt a van x³ gelijk is aan 1. Controleer of deze eigenschap ook geldig is in deze situaties. * f(x) =.. en g(x) = xa + xb + xc = * f(x) =.. en g(x) = xa + xb + xc = * f(x) =.. en g(x) = xa + xb + xc = c) Besluit: formuleer de gevonden eigenschap! 2.3 OPGAVE 3 ALGEMEEN BEWIJS De onderzochte voorbeelden zijn uiteraard GEEN bewijs voor de gevonden eigenschap! Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 6

7 3 KEGELSNEDEN ANDERS BEKEKEN 2 f ( x) ax bx c 3.1 INLEIDING Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel heeft men drie formules nodig om (standaard) kegelsneden te beschrijven nl: y 2 x y x y a. x (parabool) 1 (ellips) en 1 (hyperbool) a b a b Deze gevallen kunnen met behulp van poolcoördinaten samengevat worden tot de formule: r ek. 1 e.cos( ) In dit deel onderzoeken wij de grafieken van de volgende irrationale functies: f ( x) ax bx c en g( x) ax bx c Immers, de kromme k met als vergelijking: k: y ax bx c met a, b en c R kan men beschouwen als de unie van twee functies met als bovenste helft f en de onderste helft g. Wij illustreren dit met een GeoGebra bestand: Maak drie schuifknoppen a, b en c met waarden tussen -10 en 10 en stapgrootte 0,1. Typ vervolgens in het invoerveld van GeoGebra de functievoorschriften van f en g. Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 7

8 3.2 INVLOED VAN DE PARAMETERS A, B EN C Het is nu de bedoeling om het verband te onderzoeken tussen de standaardkegelsneden (parabool, ellips, hyperbool) en de unie van de grafieken van de irrationale functies f en g en voor verschillende waarden van a, b, en c een bespreking van de mogelijke gevallen te geven, waarbij: f ( x) ax bx c en g( x) ax bx c samengevoegd tot y ax bx c Als voorbeeld de uitwerking van het geval waarbij b = 0 y ax c Na het openen het bestand kegelsneden3.ggb, stellen we de schuifknop b=0 en verslepen de knoppen voor a en c. Indien a=-1 en c=9 dan bekomt men een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 3: y x x Indien a=2 en c=-4 dan heeft men een hyperbool: Indien a=-0,5 en c=3 dan heeft men een ellips: y y 9 y 9 2x 4 2x y 4 x y ,5x 3 0,5x y 3 x y 6 3 Indien a=-2,5 en c=-2 dan heeft men geen kromme: 1 Opdracht: geef een indeling en bespreking van alle mogelijke gevallen Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 8

9 Hyperbool Ellips Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 9

10 4 FIBONACCI EN DE ZONNEBLOEMEN De getallen uit de rij van Fibonacci vindt men vaak terug bij de verschillende vormen van de groei van planten en bloemen. Een mooi voorbeeld hiervan is de structuur van een zonnebloem. Indien men het aantal spiralen in wijzerzin of tegenwijzerzin telt dan vindt men meestal aantallen uit de rij van Fibonacci; 21 en 34 of 34 en 55. Hetzelfde doet zich voor bij de schubben van de dennenappel met 5 en 8 spiralen en het omhulsel van een ananas. Bovendien is de hoek tussen twee opeenvolgende zaadjes van een zonnebloem ongeveer 137,5. In deze paragraaf geven wij een verklaring voor beide eigenschappen en leggen de link met de getallen van de rij van Fibonacci en de gulden snede. Blijkbaar heeft de natuur een goede reden om bij de vorming van zonnebloemen de zaadjes te ordenen volgens een hoek die overeenstemt met de gulden snede. Hierdoor wordt de beschikbare oppervlakte maximaal benut en ontstaat er een stevige en compacte zonnebloem. De zaadjes van een zonnebloem groeien uit kleine stukjes weefsel, primordia genaamd. Deze zaadjes groeien weg van het centrum en worden groter. Men spreekt over spiraalvormige phyllotaxis. Dit mechanisme werd uitvoerig bestudeerd door de Duitse plantkundige Wilhelm Hofmeister (1868). Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 10

11 4.1 ROTATIE VAN EEN VERZAMELING VAN PUNTEN IN HET VLAK Wij onderzoeken de mogelijke schikking van zaadjes die groeien volgens dit model en gaan hierbij op zoek naar de meest efficiënte oplossing. Wij maken gebruik van de mogelijkheden van GeoGebra om dit probleem te visualiseren. Open een nieuw bestand met GeoGebra. Teken een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 5 cm en teken 500 punten gelegen op eenzelfde afstand van elkaar op de X-as en binnen deze cirkel. Rij[(5 k / 500, 0), k, 1, 500] Uiteraard liggen deze punten in dit geval op een lijnstuk. Wij vragen ons nu af welke figuur men bekomt indien men deze punten roteert over een bepaalde hoek. Maak een schuifknop voor de rotatiehoek α. Maak vervolgens een lijst van 500 punten die telkens gedraaid worden over een bepaalde hoek. Rij[Rotatie[(5 k / 500, 0), α k, A], k, 0, 500] Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 11

12 Wijzig de hoek α en onderzoek het patroon dat ontstaat. Uiteraard liggen alle punten op de X-as indien α=0 Indien α=45 dan zijn er 8 armen en voor 90 slechts 4 armen. Voor sommige waarden van de hoek α liggen deze punten op de armen van een aantal spiralen. Deze oplossing zijn nog niet zo efficiënt in verband met het benutten van de beschikbare oppervlakte. Er is nog heel wat ruimte beschikbaar tussen de punten Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 12

13 4.2 AANPASSING VOOR GROEI VAN ZAADJES ZONNEBLOEM Wij houden nu ook rekening met het feit dat bij een zonnebloem de zaadjes groeien en groter worden naarmate deze zich van het centrum verwijderen. Het vorige GeoGebra bestand kunnen wij als volgt aanpassen. Vervang de punten door cirkels met een variabele straal die afhankelijk is van de afstand tot de oorsprong. Maak een schuifknop n voor het aantal zaadjes van 1 tot 500 Maak ook een schuifknop voor het weergeven van de rotatiehoek tussen 0 en 360 met een stapgrootte van 0,5 Teken vervolgens een aantal (n) cirkeltjes waarvan de straal groter wordt indien de cirkel verder van het centrum gelegen is. De middelpunten kan men het eenvoudigste ingeven met poolcoördinaten. De straal van de cirkel laten wij afhangen van n en in dit geval werd 0.15 i gekozen. Rij[Cirkel[(0.1 i; i α), 0.12 sqrt(i)], i, 1, n] Onderzoek een aantal situatie door het wijzigen van het aantal zaadjes (cirkeltjes) met de schuifknop n en de rotatiehoek met de knop α. Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 13

14 5 MEETKUNDIGE PLAATSEN GeoGebra zal ongetwijfeld een belangrijke bijdrage kunnen leveren aan didactische vernieuwingen in het wiskundeonderwijs. Door het inzetten van dit gereedschap zullen leerlingen en ook leerkrachten steeds vaker uitgenodigd worden om wiskunde te verkennen op een boeiende eigentijdse manier. Mag ik wij hopen dat deze minicursus het startpunt kan zijn van deze boeiende ontdekkingstocht. De meerwaarde van het verantwoord gebruik van GeoGebra kan enkel en alleen de kwaliteit van ons wiskundeonderwijs ten goede komen. 5.1 PARABOOL ALS MEETKUNDIGE PLAATS Wij illustreren de bekende meetkundige definitie van een parabool als een verzameling van punten waarvoor de afstand van een punt van de parabool tot een vast punt (brandpunt) gelijk is aan de afstand van dit punt tot een rechte (de richtlijn. Open een nieuw werkblad in GeoGebra (zonder rooster, zonder assen) Teken een willekeurige rechte a door A en B. Teken een punt C niet gelegen op de rechte a en een punt D wel gelegen op deze rechte a. Teken een loodlijn b door D op deze rechte. Teken het lijnstuk CD. Teken de middelloodlijn c op dit lijnstuk CD. Bepaal het snijpunt E van beide middelloodlijnen Bepaal de meetkundige plaats van dit snijpunt E (afhankelijk van D) Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 14

15 5.2 VERALGEMENING Men kan zich de vraag stellen welke meetkundige plaats men bekomt bij een gelijkaardige constructie, waarbij de rol van de rechte (richtlijn) wordt vervangen door een cirkel. Met andere woorden; bepaal de MP van een punt waarvan de afstand tot een vast punt, gelijk is aan de afstand tot een cirkel. Open een nieuw werkblad in GeoGebra (zonder rooster, zonder assen) Teken een willekeurige cirkel met middelpunt A en gaande door B. Teken een punt C niet gelegen op de cirkel en een punt D wel gelegen op deze cirkel. Teken de raaklijn t in dit punt D aan de cirkel. Teken een loodlijn b door D op deze rechte t. Teken het lijnstuk CD. Teken de middelloodlijn c op dit lijnstuk CD. Bepaal het snijpunt E van beide middelloodlijnen Bepaal de meetkundige plaats van dit snijpunt E (afhankelijk van D) Merk op: C binnen de cirkel, MP is ellips C buiten de cirkel, MP is een hyperbool! Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 15

16 5.3 NOG EEN STAP VERDER Vervang de cirkel door een andere krommen bvb f(x)=x^2/5 Open een nieuw werkblad in GeoGebra (zonder rooster, zonder assen) Teken de grafiek van een functie f(x)=x²/5 Teken een punt C niet gelegen op de grafiek van f(x)=x²/5 en een punt D wel gelegen op deze grafiek van f(x)=x²/5. Teken de raaklijn t in dit punt D aan de cirkel. Teken een loodlijn b door D op deze rechte t. Teken het lijnstuk CD. Teken de middelloodlijn c op dit lijnstuk CD. Bepaal het snijpunt E van beide middelloodlijnen Bepaal de meetkundige plaats van dit snijpunt E (afhankelijk van D) Ivan De Winne GeoGebradag 28 mei 2011 Gent 16