2 De correlatie tussen wel en niet chemokuren

Transcriptie

1 C. M. Fortun Een bercht n Trouw Het dagblad Trouw berchtte op 4 augustus 998 over een onderzoek naar de nvloed van de doss op het effect van chemoerape b de nabehandelng van borstkanker. In dat onderzoek kregen 97 borstkankerpatënten, de voor de chrurgsche ngreep allen een chemokuur hadden gekregen, verschllende nabehandelngen: een aantal kreeg een hoge doss desondanks kwam b 9 daarvan de tumor terug; een aantal kreeg een normale doss ook her kwam b 9 de tumor terug; een aantal van 6 kreeg geen chemoerape b daarvan kwam de tumor terug. Volgens het bercht was het onderzoeksresultaat, dat een nabehandelng met hoge doss net znvol was. Dat resultaat zou de volgende dag n het tdschrft e Lancet worden gepublceerd. Dat tdschrft lees k net noot gezen overgens. Maar wel was k neuwsgerg naar de betekens van de resultaten. Je geeft nu eenmaal net voor nets het vak statstek. 2 De correlate tussen wel en net chemokuren Als eerste rchtte k me op de vraag hoe effectef, na de chrurgsche ngreep, het al of net behandelen met chemoerape s bepaald door het wel of net terugkeren van de tumor. Daartoe stellen we eerst de aantallentabel op van al of net behandelen B of B tegen al of net genezen G of Ḡ. n G Ḡ B B Vervolgens benaderen we de kansen P door de relateve verhoudngen, en berekenen daarut de varantes en covarantes, bvoorbeeld var B = P B P B covar B,G = P B.G P B Op de maner stellen we de kansentabel en de covarantetabel op Ḡ B 0,4433 0,398 0,835 B 0,055 0,34 0,649 covar G Ḡ B 0,0300 0, ,377 B 0, ,0300 0,377 0,2500 0,2500,0000 0,4948 0,5052,0000 Net toevallg zn de getallen n de covarantetabel tegengestelden veroorzaakt door de ontkennng n een van de varabelen. De algemene regel s dat de som van een r of kolom nul moet zn. In de totaalr kolom staan de kwadraten van de standaard devates. Dus berekenen we covar B,G = 0, 0300, = 0, 37 en = 0, 50. De correlate tussen behandelen B en genezen G s nu bekend: r B,G = covar 0, 0300 = = 0, 62 0, 37.0, 50 De berekende correlate blkt maar zwak te zn. Is ze egenlk wel sgnfcant?

2 3 Correlates b normale en hoge doss In het krantenbercht stond helaas net vermeld hoe groot de groepen waren. Om toch verder te kunnen veronderstel k dat 4 patënten de normale doss kregen, en 40 de hoge doss. Stel de aantallentabel op van behandelen normaal Bn, behandelen hoge doss Bh of net behandelen B tegen al of net genezen G of Ḡ en de bbehorende kansentabel. n G Ḡ Bh Bn B Ḡ Bh 0,265 0,959 0,424 Bn 0,2268 0,959 0,4227 B 0,055 0,34 0,649 0,4948 0,5052,0000 De covarantetabel en bpassende correlatetabel worden: covar G Ḡ Bh 0,0244 0, ,2423 Bn 0,0765 0, ,2440 B 0, , ,377 0,2500 0,2500,0000 ρ G Ḡ Bh 0,0505 0, 0505 Bn 0,075 0, 075 B 0, 622 0,622 Op grond van de correlates blkt de enge concluse de redelkerwze te trekken s, z het ook dan nog voorzchtg, dat net behandelen net tot genezng ledt. Of wel behandelen, met welke doss dan ook, znvol s, s net te achterhalen vanwege de bzonder lage correlates. 4 De sgnfcante van het geen effect hebben Volgens de standaard eore kunnen we de sgnfcante toetsen van de alternateve hypoese: behandelng heeft geen effect, of, genezng s onafhankelk van behandelng correlate nul. Daartoe wordt de χ 2 van de aantallentabel bepaald. In het boek van Andersen en Blankespoor Inledng tot de statstsche analyse wordt deze utgewerkt tot: χ 2 = Nad bc 2 a + bc + da + cb + d waarn a = n BG, b = n B Ḡ, c = n BG, d = n BḠ. Delen we teller en noemer vermaal door het totaal aantal N = a+b+c+d dan kan dt worden herschreven als: χ 2 P BG P BḠ P = N B ḠP BG 2 P BG + P B ḠP BG + P BḠP BG + P BG P B Ḡ + P BḠ De noemer s gemakkelk te vereenvoudgen, omdat P BG + P B Ḡ = P B, enzovoort, tot de vorm: noemer = P B P B P Ḡ = S 2 BS 2 G 2

3 De factor n de teller s nets anders dan de covarante tussen B en G: covar B,G = P BG P B = P BG P BG + P B ḠP BG + P BG = P BG P BG P B Ḡ P BG P B ḠP BG = P BG P BḠ P B ḠP BG teller = covar B,G = r B,G Op grond hervan kan de sgnfcantefuncte χ 2 rechtstreeks n het aantal waarnemngen en de correlate worden utgedrukt: χ 2 = Nr 2 B,G Met N = 97 en r = 0, 62 s χ 2 = 2, 55. Het aantal vrhedsgraden van de tabel s ν =. In dat geval s de t-verdelng voor χ 2 gelk aan de normale verdelng voor χ. B χ 2 = 2, 55 hoort χ = u =, 596, met een eenzdge overschrdngskans van 0,055. De correlate kan tweezdg afwken van 0; er s dus 2.5,5=% kans dat er geen correlate s tussen behandelen en genezen. Omgekeerd s er dus 89% kans dat behandelen wel degelk tumoren onderdrukt ook al s dat lang net zeker. 5 De sgnfcante van het wel effect hebben We gaan nog even op dezelfde voet door, maar nu toetsen we de hypoese dat de behandelng een correlate ρ heeft. Helaas laat het boek van Anderson en Blankespoor ons nu n de steek, zodat we de formule zelf moeten utvogelen. Voor het bepalen van χ 2 wordt het gevonden aantal vergeleken met het eoretsche aantal. De verschllende mogelke gevallen worden dan op een bepaalde maner gesommeerd: χ 2 = n BG n BG 2 /n BG + Het te verwachten aantal s evenredg met de kans: n = NP, zodat Volgens onze hypoese geldt: χ 2 = NP BG BG 2 / BG + covar BG = ρ B,G waarmee de kans op behandelen met succes eoretsch wordt: BG = P B + ρ B,G Het verschl tussen praktk en eore voor dt geval wordt daarmee: P BG PBG = P BG P B ρ B,G = covar B,G ρ B,G = r B,G ρ B,G = r B,G ρ B,G 3

4 Het verschl tussen de aantallen kansen van eore en praktk s op een factor na gelk aan het verschl van de correlates; ter hernnerng: de correlate r wordt praktsch gemeten, de waarde ρ eoretsch verwacht. Passen we dt resultaat toe op de andere gevallen met ontkennngen, dan geeft edere ontkennng eenvoudg een extra mn ; bvoorbeeld P BG BG = r B,G ρ B,G S B = r B,G ρ B,G Invullen n ch-kwadraat van alle gevallen kort r B,G af tot r, ρ B,G tot ρ geeft: χ 2 = Nr ρ 2 SBS 2 G 2 PBG + + P BG + BḠ BḠ Verdere vereenvoudgng ontstaat door de som der omgekeerden onder een noemer te brengen en de ut te werken naar machten van ρ. Het resultaat daarvan kan her achter worden nagelezen. Gecombneerd met wat we al hadden wordt ch-kwadraat: χ 2 = Nr ρ 2 ρ 2 / [ ρ ρ ρ 2 P B P B P Ḡ ρ 2 PB P B P ] 2 G P Ḡ Merk op, dat voor ρ = 0 gelukkg de ch-kwadraat van de onafhankelkhedstest terugkomt. Verwaarlozen van de verschltermen /2 geeft een benaderende utdrukkng voor ch-kwadraat: χ 2 Nr ρ 2 / ρ 2 Dt betekent dat de correlate rond de gevonden waarde r een betrouwbaarhedsgebed heeft bepaald door ± ρ 2 χ/ N. Met χ =, 96 heeft het 95% betrouwbaarhedsgebed rond r = 0, 62 de breedte ±0, 96 daar lgt dus ook 0 n. De waarde 0 van de correlate kunnen we utsluten door de ets lagere betrouwbaarhed van 89% te verlangen. 5. Utwerkng: de som der omgekeerde kansen Voor de som der omgekeerde eoretsche geldt: somomgekeerden = BG + BG + = BG + BG De eoretsche kans wordt utgedrukt n de correlate: BG = P B + ρ B,G BG BG + en vergelkbare utdrukkngen voor de andere gevallen, waarb door negate de correlate van teken wsselt: ρ = ρ BG = ρ BG. In het bzonder geldt: BG + BG = P B + ρ B,G + P B ρ B,G = 4

5 De som der omgekeerden wordt daarmee: P somomgekeerden = PBG + Ḡ P BG = BḠP BḠ Utwerkng van de teller naar ρ geeft eenvoudg: BḠP BḠ + PḠ PBG BG PBG BḠP BG BḠ = P BP Ḡ + ρ P B P Ḡ ρ + P Ḡ P B + ρ P B ρ = + P Ḡ P B P B P Ḡ + P Ḡ ρ 2 = ρ 2 S 2 BS 2 G Utwerkng van de noemer geeft: = ρ + P B ρ + P B P Ḡ ρ P B ρ P B P Ḡ 4 = ρ + P B ρ + / P B ρ / P B ρ P B / 4 = ρ + P B ρ + / P B / P B ρ P B / ρ 4 Elk der factoren n de noemer, en ch-kwadraat, s postef tussen de klenste nulpunten van de noemer: de mnmum correlate en de maxmum correlate ρ mn = mn P B, / P B ρ max = mn / P B, / / P B Om tot een nzchtelker benaderng te komen maken we gebruk van de paren nulpunten n de noemer en van verschlkansen P P : = ρ 2 + ρ P B + P B P Ḡ + ρ P B + P B P Ḡ + ρ 2 4 = + ρ ρ +P B P B P S Ḡ + ρ ρ P B P B P G S Ḡ 4 G = + ρ 2 + ρ P B P B P 2 S Ḡ 2 ρ 2 4 G 2 = + ρ ρ 2 ρ P B P B P Ḡ S ρ 2 P B P B 2 P G 2 S Ḡ 2 4 G = + ρ ρ 2 ρ P B P B P Ḡ S ρ 2 4S 2 G 2 S B 4SG 2 4 G = + ρ ρ 2 ρ P B P B P Ḡ ρ 2 SB 2 + SG 2 4S 2 S BSG 2 4 G = ρ ρ 2 ρ P B P B P Ḡ ρ 2 SB 2 + SG 2 8S 2 S BSG 2 4 G = ρ ρ 2 ρ P B P B P Ḡ ρ 2 S 2 S B 4SG 2 + SG 4S 2 B 2 4 G = ρ ρ 2 ρ P B P B P Ḡ ρ 2 P B P B 2 + P G P Ḡ 2 4 = ρ ρ 2 ρ P B P B P Ḡ ρ 2 P B P B P G P Ḡ 2 4 5

6 P k = P l = 6 Sgnfcante b onafhankelkhed maar meerdere oorzaken en gevolgen Kunnen we deze analyse naar meerdere gevallen utbreden? In het krantebercht was sprake van dre soorten doses namelk hoge, normale en geen doss van de chemokuur en van twee soorten effect: wel of net terugkeren van de tumor. We zullen gemakshalve n het algemene geval de verschllende oorzaken aanduden met genummerd k, de verschllende gevolgen aanduden met, genummerd l. Met wordt de sommate over alle behalve de laatste bedoeld: = k =, = l =. Omdat de verschllende, resp, samen alle mogelkheden bevatten gelden beperkngen op de kolommen, resp ren, van de tabellen. Voor de kanstabel geldt dat de som van alle ren en kolommen s. Voor de covarantetabel geldt dat de som van een r, of kolom, 0 s. Voor de correlatetabel geldt dat de gewogen som van een r, met gewcht S, of een kolom, met gewcht S, nul s. Op grond van deze somregels kunnen we herschrven: P P k = P P covar k = covar P P l = P P covar l = covar De hypoese de we zullen testen s dat oorzaken en gevolgen onderlng onafhankelk zn. Dat houdt n voor de kansen, dat: = P P P = covar De term n ch-kwadraat de overeenkomt met het geval s: χ 2 = N P P 2 P = N covar2 P P De sommate over alle gevallen, de nodg s voor het bepalen van ch-kwadraat, voeren we n stappen ut: eerst de sommate over, de ren, dan de sommate over, de kolommen. De sommate over de ren van ch-kwadraat termen levert we laten b de covarante praktk weg: χ 2 = N = N P = N P covar 2 P P covar 2 + covar k 2 P covar 2 P + P k covar 2 P k 6

7 = N P = N P 2 2 δ,2 covar covar 2 P + covar δ,2 P + P k 2 covar covar 2 P k covar 2 waarb gebruk s gemaakt van de gelkhedsndcator δ,2 om de sommate van alle termen overeen te doen stemmen. We hebben te maken met een symmetrsche tweedegraads vorm. δ,2 + P P k In dt geval wordt de matrx alleen door de oorzaken bepaald. Volgens de standaard eore kan een symmetrsche matrx op dagonaalvorm worden gebracht met behulp van de egenwaarden en genormeerde egenvectoren de passen b de symmetrsche matrx. Daarb wordt overgegaan van een beschrvng van de matrx door de oorzaken naar de gestandaardzeerde beschrvng van de matrx door oorzaken λ, de lneare combnates zn van de oorzaken. Het bzondere s, dat deze oorzaken λ statstsch onafhankelk zn, n tegenstellng tot de oorzaken, de statstsch wel afhankelk zn ust omdat ze elkaar utsluten!: de gestandaardzeerde oorzaken λ zn onafhankelke oorzaken. De getallen /λ de omkerng s om dmensonele redenen zo gekozen zn de egenwaarden van de symmetrsche matrx. De bbehorende egenvectoren zn v λ,. De k getallen v λ, zn de gewchten maar soms negatef van de oorzaken waarut de onafhankelke oorzaak λ s samengesteld. We zullen apart zen dat de k getallen λ, op een factor na, de kansen zn op de bpassende onafhankelke oorzaken λ. 6. De onafhankelke oorzaken λ Eerst laten we zen hoe de gewchten v λ, kunnen worden bepaald, en hoe de λ kunnen worden gevonden. Krachtens de defnte van egenwaarde en egenvector moet de egenvectorvergelkng gelden: δ,2 + vλ, 2 v λ,2 = + v λ,2 = v λ, /λ P P k P P k 2 We defnëren als extra varabelen de som over de egenvectorcomponenten: V λ = vλ, De oplossng voor de egenvector met gebrukmakng van de somvarabele s: v λ, = /P k /λ /P V λ 7

8 = P λ P λ2 + λ2 Substtute hervan n de somvarabele V λ, nodg voor consstente, ledt, ongeacht de waarde van V λ, tot de egenwaardenvergelkng voor de λ s: /P k = /λ /P = P k = /λ /P + P = P 2 /λ /P P λ = P S 2 P λ = S2 λ = P λ S 2 λ P λ = k 2 Bvoorbeeld, b slechts 2 oorzaken k = 2, s er slechts één onafhankelke oorzaak, met P k = P, en met één egenwaarde λ = S 2 = P P = P P k. De egenvector wordt vastgelegd door de keuze van V λ ; de keuze V λ =, geeft de egenvector: /P k v λ, = /λ /P Bvoorbeeld, b slechts 2 oorzaken k = 2, s de egenvector /P k //P P k /P =. Merk op dat de belangrke egenschap geldt: P v λ, = λv λ, + P /P k Tweedens bepalen we de kans op onafhankelkhed van de oorzaken λ. De kans P λ op de oorzaak λ wordt: P λ = P v λ, = λ vλ, + P /P k P = λ + P k /P k = λ/p k Bvoorbeeld, b slechts 2 oorzaken k = 2, s de kans op de onafhankelke oorzaak gelk aan P λ = P P k /P k = P. De onderlnge onafhankelkhed van de oorzaken λ en λ2 blkt ut het nul zn van de covarantes, vanwege de bzondere orogonale egenschap van de egenvectoren van symmetrsche matrces: covar λ,λ2 = P v λ,v λ2, P λ P λ2 = vλ,p λ2 P + λ2v λ2, P λ P λ2 vλ,v λ2, P λ P λ2 = λ2 vλ,v λ2, = 0 8

9 Tenslotte de varante S 2 λ van de oorzaak λ lengte v : v2 = v 2 : P v 2 λ, P 2 λ = λp /P k + v λ, v λ, P 2 λ Sλ 2 = = λ P λ /P k + v 2 λ, P 2 λ = λ v 2 λ, = λ v λ 2 Bvoorbeeld, b slechts 2 oorzaken k = 2, s de varante S 2 λ = S2 2 zodat S λ = S = P. 6.2 Ch-kwadraat b onafhankelkhed van oorzaken en gevolgen Nu we hebben achterhaald hoe om te gaan met de onafhankelke oorzaken kunnen we de bdrage tot ch-kwadraat bepalen. De covarante van de oorzaak λ met gevolg wordt: covar λ = covar v λ, De ch-kwadraat bdrage van gevolg wordt: χ 2 = N covar 2 λ P λ v λ 2 = N covar 2 λ S 2 λ λ λ P Merk op, dat de vorm van de termen n de som net s gewzgd door de overgang naar de onafhankelke oorzaken, behalve dan dat de kans s vervangen door de varante! Preces zoals we de oorzaken ren hebben behandeld, kunnen we ook de gevolgen kolommen behandelen. Daarb s het van belang op te merken, dat de kolomregel ook geldt voor de covarantes covar λ van de oorzaken λ omdat de een lneare combnate van gewone oorzaken zn. We kunnen netzo tot onafhankelke gevolgen µ komen met als gewchten de egenvectoren v µ, en de egenwaardenvergelkng: v µ, = De ch-kwadraatsom wordt daarmee: /P l S 2 µ /µ /P P µ = l 2 χ 2 = covar 2 λ N χ 2 = = N λ = N λ S 2 λ µ λ covar 2 λ P covar 2 λ,µ S 2 λ S2 µ S 2 λ P = 9

10 χ 2 = N λ,µ ρ 2 λ,µ Na veel omwerkng hebben we een treffend eenvoudge formule: Bvoorbeeld, b 2 oorzaken en 2 gevolgen k = 2 en l = 2 s er slechts één onafhankelke correlate en wordt χ 2 = Nρ 2,. Iedere onafhankelke oorzaakgevolg combnate draagt een term b gelk aan het kwadraat van de onderlnge correlate. Daarom s n het bzondere geval dat oorzaken en gevolgen dezelfde zn het resultaat nog eenvoudger: χ 2 = Nk. 7 Sgnfcante b afhankelkhed van meerdere oorzaken en gevolgen Aangemoedgd door het succes van het gebruk van de onafhankelke oorzaken en gevolgen rchten we ons tenslotte op de stuate dat oorzaak en gevolg afhankelk zn. De hypoese de we nu testen s gebaseerd op onderlnge afhankelhed van oorzaak en gevolg, dat voor de kansen n houdt: = P P + ρ S S Her s het moment gekomen om te notate wat te vereenvoudgen. We zullen verder de verschllende covarantes afkorten met een enkel symbool: c = covar = r S S γ = covar = ρ S S x = P P = c γ = r ρ S S De term n ch-kwadraat de overeenkomt met het geval s: χ 2 = N P 2 = N x2 Just omdat we dezelfde beperkng hebben voor de teller s de ch-kwadraat weer als een kwadratsche vorm op te vatten: χ 2 = N = N x 2 2 x δ,2 + Pk x 2 Merk op, dat het belangrkste verschl met het onafhankelke geval s, dat de symmetrsche matrx nu van de gevolgen afhangt. Dagonalsate zou even zo goed kunnen, maar de egenwaarden en egenvectoren zouden afhangen van. We zouden dentengevolge geen onafhankelke oorzaken λ krgen, omdat 0

11 edere gevolg zn egen λ s heeft. De afhankelkhed heeft oorzaken en gevolgen als het ware gemengd, zodat we ze als totaal moeten opvatten: we zullen naast de oorzaken ook de gevolgen meenemen. We nemen oorzaken en gevolgen tegelk. De termen x = c γ voldoen aan de somregel, omdat het verschllen van covarantes zn. We kunnen ook de som over spltsen n ch-kwadraat: χ 2 = N 2 = N 2 δ,2 x x 2 2 δ,2 22 x x 22 δ,2 2 + Pk2 + + Pk δ,2 2l + Pkl De egenwaarden λ voor oorzaak èn gevolg en egenvectoren v λ, moeten ook nu aan vergelkngen voldoen. Ook nu defnëren we de deelsomvarabelen: vλ, V λ, = vλ, V λ, = vλ, = Vλ, = Vλ, = De oplossng van de egenvector met gebrukmakng van de deelsomvarabelen wordt dan: /λ /P vλ, = /Pkl + V λ, /Pk + V λ, /Pl Enge vereenvoudgng bereken we door de termen n het rechterld als neuwe deelsomvarabelen op te vatten, x λ, en x λ,, en de factor n het lnkerld een afkortng te geven, A : A = /λ / x λ, = V λ, / l v λ, = A / kl + x λ, + x λ, x λ, = V λ, / k Door sommate over en vnden we gekoppelde vergelkngen voor de neuwe deelsomvarabelen: A l k A x λ, = A x λ, = Pkl + A Pkl + A x λ, A x λ,

12 Door substtute van de x λ, vergelkng n de x λ, vergelkng ontkoppelen oorzaak en gevolg varabelen. We vnden voor x λ, de vergelkng l x λ, = = = A Pkl + Pkl Pkl A A Pk + A k A A A k k A + Pkl + A A k x λ, A + A A A k x λ, A A A Pk x λ, A Analoog vnden we de vergelkng voor de gevolgen. De oorzaak en gevolg varabelen voldoen aan de lneare symmetrsche-matrx vergelkng: δ, Pl A A A k x λ, = Pk A A Pkl k A [ δ, Pk A ] A A l x λ, = Pl A A Pkl l A In prncpe zn deze vergelkngen oplosbaar en kunnen de consstentevergelkngen worden opgesteld de de egenwaarden λ bepalen: P l x λ, = P x λ, = In realtet zn deze vergelkngen te weerbarstg en heb k gebrek aan goede deeën voor het utvoeren van de prncpe taak. Zou er meer te vertellen zn? C.M.Fortun, van Deldenpad DC Oosterbeek 8 Naschrft : De sgnfcante opneuw We gaan op zoek naar de eore van de toevalsaantallen tabel. De klasseke bron volgens Wkpeda s K.Pearson, On e crteron at a gven sytem of devatons from e probable n e case of a correlated system of varables s such at t can be reasonably supposed to have arsen from random samplng, Phl. Mag., 900, p. 57. Deze behandelt de aantallen als onafhankelke varabelen de de normale verdelng 2

13 hebben, met als enge beperkng dat de som van alle afwkngen nul s. De normale verdelng wordt bepaald door ch-kwadraat de afhangt van gemddelde µ en spredng σ, of te wel de varante var = σ 2 : f e 2 χ2 χ 2 = n µ 2 /varn, B de toevalstabel neemt Pearson voor de varante het gemddelde var = µ. In een tabel met onderlng onafhankelke cellen maar met constant totaal aantal N blft de varante echter onder het gemddelde: En = µ = P N varn = P N P = µ P = µ µp < µ R.A.Fsher, On e Interpretaton of χ 2 from Contngency Tables, and e Calculaton of P, Journal of e Royal Statstcal Socety, Vol.85, No..Jan., 922, pp , heeft laten zen dat het laten fluctueren van het totale aantal ledt tot de gevraagde gelkhed. Omdat het totale aantal een Possonverdelng heeft s varn = N; de varante van het aantal wordt door de fluctuate van N vergroot met de term: varp N = P 2 varn = P 2 N = µp, ust het ontbrekende deel. H Fsher wst er n een voetnoot op dat de aantallen n de tabel op te vatten zn als onafhankelke varabelen de alle de Posson verdelng hebben, maar met beperkngen voor de somaantallen van ren en kolommen. De Possonverdelng wordt bepaald door het gemddelde alleen: f µ n /n! En = µ varn = µ, waardoor var = µ exact s. B grotere totale aantallen, zoals N 0, maar b k cellen vooral N 2 /k 0, s de normale verdelng als benaderng brukbaar, en dus het gebruk van de ch-kwadraat meode. Ze bvoorbeeld het werk van Kenne J. Koehler, Knley Larntz, An Emprcal Investgaton of Goodness-of-Ft Statstcs for Sparse Multnomals, Journal of e Amercan Statstcal Assocaton, Vol.75, No June, 980, pp Z onderzoeken met de Monte- Carlo meode computer testen de betrouwbaarhed van het gebruk van de ch-kwadraat meode en 2 de lkelhood rato meode. Volgens hen s de laatste ets beter b klene frekwentes, en sneller te benaderen met de normale verdelng, maar z geven aan dat het gebruk van ch-kwadraat voldoende goed s: e ch-squared approxmaton for e Pearson statstc s qute adequate at e.05 and.0 nomnal levels for expected frequences as low as.25 when k 3, n 0, n 2 /k 0. Daarb s de varabele k het aantal cellen b ons het product van aantal ren en aantal kolommen, de varabele n het totale aantal b ons N, de sample sze, en frequency het aantal n de cel b ons n. Maar er moeten net te veel verwachte aantallen onder de zn: The ch-squared 3

14 approxmaton for e Pearson statstc produces nflated reecton levels for unsymmetrcal null hypoeses at contan many expected frequences smaller an one : Begrenzng van de correlate De begrenzng van de produktkans begrenst de correlate n het model: 0 BG = P BG = P B + ρ B,G P B, P B ρ B,G P B P Ḡ, P B P B ρ B,G P B P Ḡ, P B = P B /, / P B P B ρ B,G mn P B, / max P B, De ondergrens wordt scherper met de produktkans van de complementen: 0 BḠ = P BḠ = P BP Ḡ + ρ B,G P B, P Ḡ / P B ρ B,G mn P B, / max P B, Samengevat s de begrenzng van de correlate: mn P B, / P B ρ B,G mn P B, / max P B, De bovengrens van ρ wordt slechts dan berekt als de fractes gelk zn: P B / = / ; maar fracte-kwadraat P 2 /S 2 = P/ P = P/ P, dus P B / P B = /, of P B =. De bovengrens wordt slechts dan berekt als de kansen gelk zn: P B =. De ondergrens van ρ wordt slechts dan berekt als het product van de fractes s, of P B =, of P B = P BP Ḡ = P B +P B, of P B + =. De ondergrens wordt slechts dan berekt als de kansen complementar zn: P B + =. In het voorbeeld P B / = 0, 835/0, 377 = 2, 2504, / = 0, 4948/0, 5000 = 0, 9897, zodat 0, 45 ρ, r = 0, 6 0, 44. 4