Onderzoek naar de toepasbaarheid van Multi Level Factoren voor de premiestelling van een personenautoproduct

Transcriptie

1 Onderzoek naar de toepasbaarhed van Mult Level Factoren voor de premestellng van een personenautoproduct Naam: Anten Kool Studentennummer: Begeleder: Mevr. dr. K. Antono (UvA) Docent: Prof. dr. M.J. Goovaerts (UvA) Datum: dnsdag 19 augustus 2008 Opledng: Master Actuarële wetenschappen

2 VOORWOORD 2 Voorwoord In deze scrpte staat beschreven hoe een verzekeraar de rscopreme voor een auto kan bepalen door gebruk te maken van Generalzed Lnear Mxed Models. Deze methode s ook gebrukt door een verzekerngsmaatschapp ut Zweden. Deze verzekerngsmaatschapp s samen met Centraal Beheer Achmea en andere nternatonale verzekerngsmaatschappen aangesloten b Eurapco. De Zweedse verzekerngsmaatschapp heeft de overge maatschappen gewezen op de mogelkhed tot tarferng va Generalzed Lnear Mxed Models. Naar aanledng van het onderzoek van de Zweedse verzekerngsmaatschapp s er een artkel geschreven wat k heb gebrukt b het utvoeren van de theore. Om het onderzoek ut te kunnen voeren, heb k een half aar durende stage gedaan b Centraal Beheer Achmea. Ik heb met veel plezer en toewdng gewerkt aan deze scrpte. Graag wl k Joost As bedanken voor het beschkbaar stellen van de stageplaats. Ik wl edereen van de afdelng Actuaraat bedanken voor de medewerkng. In het bzonder bedank k Chel Lange en Smone Meer Brands voor hun begeledng. Ook bedank k Cees Boxum voor zn hulp en krtsche opbouwende kk. Ik wl graag Katren Antono bedanken welke namens de Unverstet van Amsterdam m begeled heeft.

3 INHOUDSOPGAVE 3 Inhoudsopgave Voorwoord... 2 Inhoudsopgave... 3 Inledng... 6 Hoofdstuk 2 Generalzed Lnear Models techneken Meervoudge lneare regresse modellen Soorten rscofactoren Generalzed Lnear Model Mogelke verdelngen voor schatten van de schadefrequente Posson verdelng Negatef bnomale verdelng Zero-nflated Posson verdelng Hurdle Posson verdelng Verdelng voor de schadelast Hoofdstuk 3 Credbltetstheore Credbltetsmodel Bühlmann Straub model Hërarchsche model Hoofdstuk 4 Generalzed Lnear Mxed Models Credbltetsmodel en Generalzed Lnear Models Hoofdstuk 5 Databestanden Beschkbare data Polsbestand Mutatebestand Schadebestand Polsbestand en Schadebestand Rscofactoren Vaste rscofactoren Mult Level Factoren... 36

4 INHOUDSOPGAVE Data onderzoek om GLMM toe te kunnen passen Merken van auto s Modellen van auto s Aftoppng van de schadelast Multcollneartet bnnen de rscofactoren Gesommeerde schadelast Referentegroep van de rscofactoren Assocate tussen de rscofactoren Rscopreme Hoofdstuk 6 Mogelke utvoerngen van de theore Toepassng door Ohlsson Theore van toepassng door Ohlsson Utvoerng van de theore van Ohlsson mbv SAS Utvoerng schatten schadefrequente door andere kansverdelngen Maxmum Lkelhood Theore Maxmum Lkelhood Utvoerng van Maxmum Lkelhood Hoofdstuk 7 Utkomsten Verwachtng q en z k Verwachtng van de MLF Utkomsten U en U k U U k Concluse utkomsten Hoofdstuk 8 Concluse en aanbevelngen Concluse Aanbevelngen Bblografe Artkelen Boeken... 71

5 INHOUDSOPGAVE 5 Webstes Blage 1 Polsbestand Blage 2 Rscofactoren Blage 3 Aanname q en z k... 87

6 INLEIDING 6 Inledng In de autodatabase van Centraal Beheer/Achmea (CBA) zn verzekerngsgegevens opgenomen van meer dan 1 mloen partculer verzekerde auto s en hun bestuurders. Deze gegevens kunnen worden gebrukt om nzcht te krgen n de factoren de het rscogedrag van een verzekerngnemer en/of het verzekerde obect beïnvloeden. De rscofactoren vormen de grondslag voor de basspreme en het acceptatebeled. De basspreme wordt gevormd op bass van analyses naar de schadefrequente en de schadelast. Een belangrke rscofactor s het merk en daarb het model van een auto, omdat deze factoren belangrke egenschappen van de auto en van de bestuurder van de auto bevatten. De rscoanalyse wordt door veel verzekerngsmaatschappen utgevoerd door gebruk te maken van Generalzed Lnear Model (GLMs) techneken. Door de steeds sterkere concurrente n de verzekerngsmarkt wordt er gezocht naar een verfnng van deze methode om de analyses voor de schadefrequente en de schadelast ut te kunnen voeren. Herb wl men gebruk maken van het merk en het model van een auto. Het merk en het model van een auto hebben een hërarchsche structuur. Het model van een auto heeft geen logsche groeperng doordat de egenschappen en het aantal observates b de modellen onderlng sterk verschllen. Dt soort varabelen wordt aangedud met de term Mult Level Factors (MLF). Naast MLF zn er de vaste effecten, zoals onder andere de leeftd van de bestuurder en rego waarn de verzekerde woont. Deze vaste effecten bevatten belangrke egenschappen de nuttge nformate laten zen over het rscogedrag van de verzekerde. GLM techneken zn geschkt om schattngen te doen voor vaste effecten, maar net voor schattngen voor MLF. Vanwege de hërarchsche structuur tussen het merk en het model van een auto bedt het

7 INLEIDING 7 credbltetsmodel een utkomst. GLM en credbltet vormen samen Generalzed Lnear Mxed Models (GLMM). Het doel van deze scrpte s ten eerste het verbeteren van de bestaande rscogerelateerde schatters en ten tweede het onderzoek naar meer en andere merk modelschatters. Voor de meest recente modellen bnnen CBA zn GLM techneken gebrukt. Op dt moment s er alleen gebruk gemaakt van het merk van een auto. Het doel s om ook het model van een auto mee te gaan nemen n het neuwe model. De vraag de n deze scrpte centraal staat s of met behulp van credbltetsschatters voor het merk en het model van een auto de tarefstructuur verbeterd kan worden. Voor de tarefstructuur wordt gebruk gemaakt van data ut de aren 2004, 2005 en Om het doel te bereken zal eerst de theore worden beschreven n de hoofdstukken 2, 3 en 4. Hoofdstuk 2 zal eerst de GLM techneken beschrven. In hoofdstuk 3 wordt het credbltetsmodel beschreven. In hoofdstuk 3 wordt ondersched gemaakt tussen het credbltetsmodel, de Buhlmann-Straub methode en het hërarchsche model. In hoofdstuk 4 worden GLMMs beschreven. Aan de hand van de autodatabase van CBA worden de GLMM techneken toegepast. Hoofdstuk 5 zal eerst beschrven wat de gebrukte databestanden en rscofactoren zn om GLMM techneken toe te passen. Hoofdstuk 6 zal naar aanledng van de utkomsten testen of de aannames over MLF geldg zn. Hoofdstuk 7 geeft tenslotte concluses en aanbevelngen.

8 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN 8 Hoofdstuk 2 Generalzed Lnear Models techneken Zoals n de nledng beschreven, worden de vaste effecten door GLM techneken geschat. Om tot GLMs te komen zal paragraaf 1 het meervoudge lneare regresse model kort beschrven. Paragraaf 2 zal de soorten rscofactoren beschrven. In paragraaf 3 worden GLMs beschreven. Om een rscopreme te kunnen bepalen zn er voorspellngen nodg voor de schadefrequente en de schadelast. De schadefrequente wordt geschat door gebruk te maken van de Posson verdelng. Voor het schatten van de schadelast wordt gebrukt gemaakt van de gamma verdelng. Paragraaf 4 zal de Posson verdelng beschrven en paragraaf 5 de gamma verdelng. 2.1 Meervoudge lneare regresse modellen Een eenvoudg model om bepaalde processen kwanttatef te modelleren s het meervoudge lneare regresse model. Het meervoudge lneare regressemodel kan worden weergegeven door de volgende formule. Y = α + β1 X 1 + β 2 X β n X n + ε = α + β X + ε = 1,...,n ( 2.1 ) K = 1 In vergelkng (2.1) s y de afhankelke varabele, of wel de te verklaren varabele. De varabele x s de onafhankelke varabele, of wel de verklarende varabele. In

9 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN 9 vergelkng (2.1) s α de constante of ntercept en geeft hermee het begnpunt weer. De varabele β s de te schatten parameter. De term ε s de error term. Nadeel van het meervoudge regressemodel s dat de te verklaren varabele (yvarabele) een lneare combnate moet zn van de verklarende varabelen (xvarabelen). De preme voor een autoverzekerng wordt opgesteld door relevante rscofactoren met elkaar te vermengvuldgen. Herut kan worden geconcludeerd dat de preme voor een autoverzekerng net kan worden opgebouwd met een lnear regressemodel. Tevens kunnen we net altd veronderstellen dat de storngstermen normaal verdeeld zn. Het fet dat de preme voor een autoverzekerng ontstaat door rscofactoren met elkaar te vermengvuldgen en dat de storngstermen net altd normaal verdeeld hoeven te zn, brengt ons tot GLM. GLM kan een multplcatef model zn. Kaas et al. (2001) beschrven n het boek Modern actuaral rsk theory twee voordelen van GLM. Ten eerste kan er n het GLM model een andere verdelng worden waargenomen dan alleen de normale verdelng. Ten tweede hoeft er alleen een lnear verband op een bepaalde schaal aanwezg te zn. Het GLM heeft als voordeel boven het meervoudge regressemodel dat het met meerdere soorten rscofactoren kan werken. Hermee worden de nomnale, ordnale, nterval en rato geschaalde rscofactoren bedoeld de n de volgende paragraaf worden beschreven. 2.2 Soorten rscofactoren De rscofactoren kunnen worden ngedeeld n verschllende typen. Ten eerste kan een rscofactor contnu of categorsch zn. Een rscofactor s contnu als elke waarde aangenomen kan worden, bvoorbeeld de rscofactor cataloguswaarde. Een rscofactor s categorsch als er een paar klassen bestaan van deze rscofactor, zoals de rscofactor geslacht. In tabel 2.1 wordt ondersched gemaakt naar contnue en dscrete rscofactoren. De dscrete rscofactoren worden her ook wel de categorsche rscofactoren genoemd omdat deze categorsche rscofactoren alleen gehele getallen

10 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN 10 aannemen. De rscofactoren de contnu zn, kunnen gegroepeerd worden n klassen van rscofactoren, zoals de leeftdsklassen en de cataloguswaardeklassen. Voor de rest kan een rscofactor een nomnale, ordnale, nterval of rato schalng hebben. Nomnale schaal. B een nomnale schaal worden nummers aan obecten toegekend om de obecten te kunnen onderscheden. Deze nummers hebben geen andere betekens. Een voorbeeld zn de provnces. Aan elke provnce s een naam meegegeven om ondersched te kunnen maken. Ordnale schaal. B een ordnale schaal s de ordenng dudelk alleen kunnen de verschllen net geïnterpreteerd worden. Een voorbeeld hervan zn de opnepelngen. Je kunt het ergens mee eens zn, neutraal zn of mee oneens zn. Interval schaal. Deze schalng betreft altd getallen. Naast een ordenng kan e ook rekenkundge bewerkngen doen. Een voorbeeld s dat het temperatuurverschl tussen 21 en 24 graden net zo groot s als het verschl tussen 10 en 13 graden. Het s alleen net zo dat van 5 naar 10 graden Celsus 2 keer zoveel warmte betekent. Rato schaal. In dt geval betekent van 5 naar 10 graden wel 2 keer zoveel warmte. Een ander voorbeeld s de lengte van een voorwerp. De volgende tabel geeft een overzcht weer. Als er een X n een vake staat wl dat zeggen dat de combnate net voor kan komen. Contnu Nomnaal X Ordnaal X Interval X Rato Tabel 2.1 Indelng varabelen Dscreet/categorsch X De rscofactor geslacht kan bvoorbeeld worden ngedeeld b de nomnale categorsche categore en de rscofactor leeftd b de rato categore of b de ordnale categore als de rscofactor s ngedeeld n klassen. Er zn ook rscofactoren

11 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN 11 de nomnaal, net geordende, categorsche ratng factoren zn. Deze rscofactoren hebben een hoog aantal nveaus en geen logsche groeperng. Deze rscofactoren worden Mult level factoren (MLF) genoemd. Te denken valt herb aan de modellen van auto s de bestaan. Het aantal records per categore voor het model van een auto kan groot of klen zn. GLM techneken zn net geschkt voor het schatten van MLF. Voor het schatten van nomnale, ordnale, nterval en rato geschaalde varabelen s de GLM technek een geschkte methode. 2.3 Generalzed Lnear Model Het GLM model kent dre kanten. Een stochastsche component. Dt houdt n dat de waarnemngen Y, voor =1,,n, onafhankelke stochasten zn met een verdelng afkomstg ut de exponentële famle. Bekende verdelngen ut de exponentële famle zn de Posson verdelng en de Gamma verdelng. Een systematsche component. Dt wl zeggen dat er voor elke waarnemng een voorspeller s de lnear s n X en β. De systematsche component zet er als volgt ut. K η = X β ( 2.2 ) = 1 De lnkfuncte g(.). Deze lnkfuncte beschrft de relate tussen de verwachte waarde van de Y varabele en de systematsche component. Deze functe wordt als volgt gedefneerd.

12 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN 12 K g( µ ) = η = X β ( 2.3 ) = 1 Herut volgt K 1 E(Y = = = ) µ g ( η ) h X β ( 2.4 ) = 1 Als voorbeeld kunnen we de logartmsche lnkfuncte vermelden. Als vanut punt 2 volgt dat de lnk exponenteel (functe h) s dan s er een logartmsche lnkfuncte. Er geldt de volgende relate. g( K K µ ) = X β = log( µ ) µ = exp X β ( 2.5 ) = 1 = 1 De kansverdelngfunctes ut de exponentële famle (punt 1) kunnen worden weergegeven door de volgende formule. Yθ b( θ ) f (Y ; θ, φ ) = exp + c(y, φ ) ( 2.6 ) a( φ ) In formule (2.6) s θ een parameter gerelateerd aan het gemddelde en φ s de schalngsparameter gerelateerd aan de varante. De exponentële verdelngsfunctes worden gespecfceerd n termen van het gemddelde en de varante. De varante van Y s een functe van het gemddelde. Var(Y ) φv( µ ) = ( 2.7 ) ω

13 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN 13 V s n formule (2.7) de varante functe. Een specaal ld van de exponentële famle s de Tweede verdelng. Deze Tweede verdelng komt overeen met een Posson verdelng als p gelk s aan 1 en voor de gamma verdelng s p gelk aan 2. B het GLM model worden de β s geschat door mddel van de maxmum lkelhood (meest aannemelk schatter) methode. De kansverdelngen ut de exponentële famle de worden gebrukt n deze scrpte zn de Posson verdelng voor de schadefrequente en de gamma verdelng voor de schadelast. 2.4 Mogelke verdelngen voor schatten van de schadefrequente De schadefrequente wordt geschat va GLM techneken waarb de afhankelke varabele (her: de schadefrequente) meerdere verdelngen aan kan nemen. Deze paragraaf zal de Posson, negatef bnomale, zero nflated Posson en Hurdle Posson verdelngen beschrven Posson verdelng De Posson verdelng s een dscrete verdelng en wordt gebrukt voor het tellen van bepaalde gebeurtenssen de voorvallen gedurende een gegeven tdsnterval. Het schatten van de schadefrequente met de Posson verdelng s een voor de hand lggende keuze. Het schatten van een bepaalde gebeurtens gaat door mddel van de volgende formule. Deze formule geeft weer wat de kans s dat er preces y voorvallen plaatsvnden.

14 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN 14 P( Y y λ λ = y) = e ( 2.8 ) y! In deze vergelkng staat λ voor het verwachte aantal voorvallen n een bepaalde tdsperode. De verwachtng en de varante zn b deze verdelng gelk aan λ. Het model voor de schadefrequente wordt gewogen met de exposure. Dt kan verdudelkt worden door de formule voor de rscopreme (R p ) te bekken. Het model voor de schadefrequente wordt n deze formule bepaald door het aantal clams te delen door het aantal records. totale schade aantal clams* gemddelde schadelast (S) R p = = aantal records aantal records aantal clams = S * model voor gemddelde last * model voor frequente ( 2.9 ) aantal records De rscopreme wordt dus bepaald door de utkomsten van het model voor de gemddelde last te vermengvuldgen met de utkomsten van het model voor de frequente. Naarmate het aantal nullen (aantal schades gelk aan 0) n een databestand toeneemt, vermndert de correcthed van een Posson verdelng. Voor het aantal clams gelk aan 0 komt het aantal waarnemngen dan net overeen met het geschatte aantal door de Posson verdelng. Voor een llustrate hervan kan gekeken worden naar het artkel van Antono et al. (2008). In het artkel van Antono et al. (2008) worden dre andere verdelngen besproken de ook geschkt zn voor de teldata en betere schattngen kunnen leveren. Deze dre functes worden n de onderstaande deelparagrafen kort besproken.

15 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN Negatef bnomale verdelng Antono et al. (2008) beschrven de kansverdelngen de een betere schattng geven voor het aantal schades gelk aan 0. De eerste kansverdelng s de negatef bnomale (NB) verdelng. Deze formule wordt weergegeven door formule ( 2.10 ). Γ( y + r) τ µ P( Y = y µ, τ ) = y = 0,1,..., n y! Γ( r) µ + r µ + r τ y ( 2.10 ) Zero-nflated Posson verdelng Antono et al. (2008) beschrven als tweede mogelkhed de zero-nflated Posson (ZIP) verdelng. De vergelkng van de ZIP verdelng wordt weergegeven door formule (2.11). In deze formule staat P Po voor de Posson kans zoals deze gedefneerd s n formule (2.8). P(Y = p + (1 p )PPo (Y = 0 λ ) y = 0 y p, λ ) = ( 2.11 ) (1 p )PPo (Y = y λ ) y > 0 Deze ZIP verdelng zorgt voor een betere schattng van het aantal nulschades doordat er een kansmassa wordt opgeteld b de Posson verdelng als y gelk s aan 0.

16 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN Hurdle Posson verdelng Antono et al. (2008) beschrven als derde kansverdelng de Hurdle Posson verdelng (Hur). De kansverdelng voor deze Hur kan worden utgedrukt door formule (2.12). P(Y = 0 p, λ ) = p y = 0 P(Y = 1 p y p, λ ) = P 1 P (0 λ ) Po Po (Y = y λ ) y > 0 ( 2.12 ) Deze kansverdelng zorgt voor een vaste kansmassa wanneer y gelk s aan Verdelng voor de schadelast Voor het schatten van de schadelast wordt gebruk gemaakt van de gamma verdelng. Een gamma verdelng s een contnue verdelng en wordt gebrukt wanneer er meerdere onafhankelke expermenten met een exponentële verdelng aanwezg zn. Een egenschap van de exponentële verdelng s dat deze verdelng geheugenloos s (onafhankelkhed). Deze verdelngen vergeten dus hun voorgeschedens. Als voorbeeld een dobbelsteen. Het gooen van een zes kan een aantal worpen duren. Als e al ten keer hebt gegood met de dobbelsteen en e hebt geen van deze keren een zes gegood dan ben e genegd te denken dat e een van de volgende worpen een zes goot. Het aantal keren dat e gegood hebt, heeft alleen nets te maken met de kans dat e b de volgende worp wel kans op succes hebt.

17 GENERALIZED LINEAR MODELS TECHNIEKEN 17 Deze egenschap laat zen dat de gamma verdelng een geschkte verdelng s om de gemddelde schadelast te modelleren, aangezen de voorgeschedens van de hoogte van de schadelast nets te maken heeft met de hoogte van de schadelast nu (onafhankelkhed). Ook de egenschap dat de gamma verdelng een contnue verdelng s laat zen dat het een geschkte verdelng s voor het schatten van de schadelast, aangezen de schadelast elke waarde aan kan nemen (onafhankelkhed). De gamma verdelng heeft de volgende weergave. f ( x;k, θ ) β Γ ( α ) α α 1 βx = x e ( 2.13 ) Voor de Gamma(α,β) verdelng wordt de verwachtng gesteld op α/β en de varante wordt gesteld op α/β 2. Mogelke andere verdelngen voor het schatten van de schadelast zn de lognormale en nverse Gausaanse verdelngen. De gamma verdelng heeft alleen een parameter meer ten opzchte van deze verdelngen en krgt daarom de voorkeur.

18 CREDIBILITEITSTHEORIE 18 Hoofdstuk 3 Credbltetstheore De mult level factoren worden geschat door mddel van credbltet. Dt hoofdstuk zal daarom ngaan op de methode van het schatten met credbltet. Het kan voorkomen dat er onvoldoende nformate beschkbaar s om ndvduele schattngen te maken. Met behulp van het credbltetsmodel kunnen dan door mddel van collecteve schattngen ndvduele schattngen worden gemaakt. Of zoals Stekknger het omschrft: Een volgend prncpe s dat van de rscoclassfcate. Dt houdt n het kort n dat het mogelk s om bnnen een portefeulle groepen van polssen te vormen zodang dat bnnen elke groep een gelk rsco bestaat. Daarnaast kan door verschllende gewchten toe te kennen aan deze stochasten het belang van de rsco s worden onderkend. Dt heet credbltet. Een bekend model dat gebrukt kan worden voor het schatten van de credbltetsschatter s het credbltetsmodel en daar verder opgaand het Buhlmann-Straub model. Ook kan er ondersched gemaakt worden n de hërarchsche structuur. Dt hoofdstuk zal deze modellen beschrven n respectevelk de eerste, tweede en derde paragraaf. 3.1 Credbltetsmodel In het credbltetsmodel komen twee extremen voor. Ten eerste een zelfde collecteve preme de voor edereen gelk s. Deze wordt gemeten door het gemddelde te nemen van de gehele data, X. Het gelke gemddelde s brukbaar wanneer de portfolo homogeen s, dus als edere verzekerde dezelfde kans op pech heeft. Wanneer net alle

19 CREDIBILITEITSTHEORIE 19 verzekerden dezelfde kans op pech hebben en toch een preme wordt gevraagd gelk aan X, zullen de goede rsco s naar een andere verzekerngsmaatschapp gaan. Het ndvduele gemddelde van de goede rsco s lgt dan lager dan het gemddelde van de gehele groep en de goede rsco s betalen dan een te hoge preme. De goede rsco s zullen de verzekerngsmaatschapp achter laten met alleen de slechte rsco s, omdat de slechte rsco s relatef te weng preme betalen. Het andere extreme punt s eenzelfde preme voor edereen bnnen een bepaalde groep, door het gemddelde, X bnnen de groep te nemen. Dt gebeurt wanneer de groep heterogeen s en heeft alleen effect als de groep groot genoeg s. Heterogeen wl zeggen dat net edereen dezelfde rsco s heeft. Het verschl tussen homogeen en heterogeen wordt beschreven met behulp van het volgende voorbeeld. Stel dat alle huzen dezelfde kans op brand hebben. Iedereen betaalt dezelfde preme en de groep s dan homogeen. Wanneer er n de portefeulle b een verzekeraar ook verzekerden zn aangesloten de een hus hebben met een reten dak dan s voor de verzekerden de kans op brand groter dan voor de verzekerden waarb de dakbedekkng bestaat ut dakpannen. In dt laatste voorbeeld s de groep heterogeen en s het logsch dat de verzekerden met een grotere kans op brand ook meer preme betalen. Met behulp van de twee extremen wordt de credbltetspreme weergegeven. Men vraagt een preme de het gemddelde s van de twee extremen en deze wordt als volgt weergegeven. z X + (1 z )X ( 3.1 ) Hern staat z voor de credbltetsfactor de weergeeft hoe aannemelk de ndvduele ervarng s. Z neemt een waarde aan tussen 0 en 1. Als groep groot s zal de waarde van z dchtb 1 lggen. Zoals beschreven door Kaas et al. (2001) s een portfolo s noot helemaal homogeen of heterogeen, omdat rsco karaktersteken ut groep ook kunnen

20 CREDIBILITEITSTHEORIE 20 voorkomen n een andere groep en deze groep ook karaktersteken heeft de n geen enkele andere groep voorkomen. De maner van vaststellen van de credbltetspreme wordt dan ook geaccepteerd omdat een portfolo noot helemaal homogeen of heterogeen s. Wanneer voor alle groepen geldt dat de gemddelden gelk zn dan s er sprake van een homogene groep en kan het totale gemddelde gebrukt worden voor de preme. Wanneer de groep heterogeen s, s er een varate tussen de celgemddelden m. De clamwaarnemng wordt dan weergegeven door: X t = m + Ξ + Ξ ( 3.2 ) t In formule (3.2) staat m voor het totaal gemddelde. Ξ s een afwkng van het gemddelde voor het de contract. Deze component beschrft de heterogentet tussen de contracten. Ξ t s de afwkng voor het contract aar t van het lange termn gemddelde. Deze component beschrft de varate van de clam ervarng over de td heen van een verzekerde. Voor de Ξ varabelen geldt dat ze onafhankelk en dentek verdeeld (ndependent dentcal dstrbuted (d)) zn en wllekeurge varabelen zn met een verwachtng de gelk s aan 0 en een varante gelk aan a. Voor Ξ t geldt dat ze d zn met verwachtng 0 en varante s 2. Voor de verwachtng van de clamwaarnemng geldt dan dat deze verwachtng gelk s aan m. 3.2 Bühlmann Straub model Het Buhlmann-Straub model onderschedt zch ten opzchte van het credbltetsmodel ut paragraaf 3.1 doordat het Buhlmann-Straub model een wsselende varante heeft. Er blft gelden dat

21 CREDIBILITEITSTHEORIE 21 X t = m + Ξ + Ξ ( 3.3 ) t Voor de Ξ s geldt d, een gemddelde gelk aan 0 en een varante de gelk s aan a. Voor Ξ t geldt dat ze onafhankelk zn en gemddelde 0 hebben. De varantes zn alleen proportoneel met een gewcht w t, te schrven s 2 /w t. De parameters m, a en s 2 geven de rscostructuur weer van de portfolo. De componenten Ξ en Ξ t zn stochastsch onafhankelk. Het gewcht w t van X t geeft de relateve precse van deze varabele weer. Door het gewcht mee te nemen n het model ontstaat er een neuw model voor de clamwaarnemng. Y tk = m + Ξ + Ξ ( 3.4 ) tk k loopt herb van 1,...,w t. Ξ heeft nu dezelfde utdrukkng als n vergelkng (3.2). Ξ tk s nu d met gemddelde 0 en varante s 2. De varabelen X t en Ξ t krgen nu een andere utdrukkng. X t = 1 w t w t w t k= 1 Y tk 1 en Ξ t = Ξ tk ( 3.5 ) w t k = 1 Dan geldt er dat X t = m + Ξ + Ξ ( 3.6 ) t De varante van Ξ t s dan gelk aan s 2 /w t.

22 CREDIBILITEITSTHEORIE Hërarchsche model Los van het contract en tdseffect kan het model ook een sector effect hebben. Er ontstaat dan een zogeheten hërarchsch patroon. Het merk en het model van een auto hebben een hërarchsch patroon. Hermee wordt bedoeld dat de structuur kan worden herkend aan de zogeheten boomstructuur. Zo kan elke ouder meerdere knderen hebben, maar elk knd heeft maar een ouder. Ut dt voorbeeld kan opgemaakt worden dat het ondersched n merk en model ook als hërarchsch kan worden beschouwd. Een segment merk en een segment model. Stel dat het merk Opel dre modellen zou kennen, bvoorbeeld de modellen Astra, Merva en Vectra. Dt levert dan de volgende hërarchsche structuur. Opel Astra Merva Vectra Fguur 3.1 Boomstructuur Omdat er twee segmenten zn, wordt gebruk gemaakt van het Jewell prncpe. Voor het hërarchsche model wordt het standaard model aangevuld met een extra categore. Herdoor krgt vergelkng (3.6) een extra term en kan deze op de volgende maner worden weergegeven. X pt = m + Ξ + Ξ + Ξ ( 3.7 ) p p pt In formule (3.7) s X pt de clamwaarnemng en m staat voor het globale gemddelde. Dt kan gezen worden als de gemddelde clamwaarnemng over alle merken. In fguur 3.1 s alleen het merk Opel opgenomen. Het databestand bevat meer merken dan alleen het

23 CREDIBILITEITSTHEORIE 23 merk Opel en het globale gemddelde voor de clamwaarnemng s dus afhankelk van alle merken. Ξ p s het gemddelde voor groep p. In fguur 3.1 s dt de gemddelde clamwaarnemng bnnen het merk Opel. Ξ p s het gemddelde voor groep van groep p. In fguur 3.1 s dt de gemddelde clamwaarnemng voor bvoorbeeld het model Astra. Ξ pt s het gemddelde voor groep p op tdstp t. Het model Astra krgt dan meerdere tdsdmenses.

24 GENERALIZED LINEAR MIXED MODELS 24 Hoofdstuk 4 Generalzed Lnear Mxed Models Het GLM model en het credbltetsmodel zn twee verschllende techneken. Om deze modellen samen te kunnen gebruken worden bede modellen utgedrukt als multplcateve modellen met wllekeurge effecten. Zo ontstaat het Generalzed Lnear Mxed Model (GLMM). Door het credbltetsmodel als multplcatef model te gebruken maak e een brug naar het GLM model, omdat het GLM model door de loglnk ook een multplcatef model s. Het credbltetsmodel n hoofdstuk 3 s afhankelk van de td. Omdat het databestand dat voor de analyse wordt gebrukt een samengevoegd bestand s wordt de td net meer als factor meegenomen n de modellen de nog worden beschreven. Dt hoofdstuk zal als eerste de credbltetstheore en GLM samen beschrven. In de tweede paragraaf wordt de toepassng van GLMM techneken beschreven. 4.1 Credbltetsmodel en Generalzed Lnear Models Door GLM modellen en credbltetsmodellen tot één model te maken ontstaan GLMMs. Antono en Berlant (2006) en Antono (2007) beschrven GLMMs. Zoals Antono en Berlant (2006) beschrven kunnen GLMMs een hërarchsche structuur bevatten. Het LMM deel van GLMMs wordt weergegeven door de volgende formule. Y k = x β + z b + z b + ε ' ' ' k k k ( 4.1 )

25 GENERALIZED LINEAR MIXED MODELS 25 In deze vergelkng staat voor een groep verzekerden de zch n dezelfde groep bevnden. X staat voor de vaste effecten n het model en de β s zn de schatters voor de vaste effecten. β s n deze vergelkng een vector. Z s n deze vergelkng de utdrukkng voor de wllekeurge effecten van het merk van een auto en b staat voor de voorspeller van deze wllekeurge effecten. J geeft n deze vergelkng het merk aan en neemt de waarden 1,,113 aan. Z k staat voor de wllekeurge effecten van het model van een auto en b k s de voorspeller van deze wllekeurge effecten. K geeft herb het model van merk weer en het maxmum van k s per verschllend. Voor bvoorbeeld het merk Opel loopt k van 1,,28 (ze tabel 5.7). De parameters b en b k kunnen ook wel worden gezen als Mult Level Factoren (MLF). De parameters b en b k en de storngsterm ε worden normaal verdeeld verondersteld met gemddelde 0 en covarante matrces D, E en Σ. Voor GLMMs worden de Y k onafhankelk verondersteld, gegeven de random effecten b en b k, met een dchthedsfuncte ut de exponentële famle. f (Y k b,b k Ykθ k ψ ( θ k ), β, φ ) = exp + c(y, ) k φ ( 4.2 ) φ Voor het gemddelde en de varante gelden de volgende relates. ' µ = E[Y b,b ] =ψ ( θ ) ( 4.3 ) k k k k '' Var[Yk b,b k ] = φψ ( θ k ) = φv( µ k ) ( 4.4 ) Zoals n hoofdstuk 2 vermeld s g de lnkfuncte. Deze lnkfuncte wordt her als volgt weergegeven.

26 GENERALIZED LINEAR MIXED MODELS 26 ' ' ' g( µ b,b ) = x β + z b + z b = log( ) ( 4.5 ) k k k k k µ k B GLMMs wordt verondersteld dat de wllekeurge effecten, b en b k onafhankelk en dentek verdeeld zn met dchthedsfuncte f(b α). In deze dchthedsfuncte s α de onbekende parameter. Door de log-lnkfuncte kan de verwachtng van Y als volgt worden weergegeven. ' ' ' h( µ b,b ) = exp( x β + z b + z b ) = k ' ' exp( β )exp( x β )...exp( x β 0 k 1 k k )exp( z k ' b )exp( z ' k b k ) ( 4.6 ) Vergelkng (4.6) kunnen we weergeven als vergelkng (4.8) door gebruk te maken van onderstaande vergelkngen. µ = exp( β 0 ) γ U k = exp( x k = exp( z b β ) k ) U = exp( z b ) ( 4.7 ) k k k k k E ( Y U U ) = µγ U U ( 4.8 ) k k In deze vergelkng s µ de bass preme en de γ k s zn de geschatte factoren de door mddel van GLM worden geschat. De MLF factoren worden geschat door credbltet toe te passen. Verondersteld wordt dat b, b k en ε ut vergelkng (4.1) lognormaal verdeeld zn met gemddelde σ 2 /2 en varante gelk aan σ 2. De verwachtng van U s gelk aan 0 doordat de verwachtng van b de volgende utdrukkng heeft:

27 GENERALIZED LINEAR MIXED MODELS σ σ E [exp( b )] = exp + ( 4.9 ) 2 2 Er geldt dat de verwachtng van U k gelk s aan 1 door de relate met b k. Door de verwachtngen van U en U k gelk aan 1 te stellen verwacht e dat het totale effect van een toevoegng van het merk/model van een auto aan het verwachtngsmodel voor de schadefrequente of de schadelast geen nvloed zal hebben. U en U k krgen n formule (4.7) de waarde 1 (exp(0)=1). Er zullen merken/modellen zn de een factor hoger dan 1 krgen, dus merken/modellen waarvoor de schadefrequente en de schadelast hoger zn ten opzchte van andere merken/modellen en er zullen merken/modellen zn waarvoor het omgekeerde geldt. Het totale effect zal alleen een verwachtng gelk aan 1 hebben. Voor het vnden van de voorspellers voor b en b k s er een teratef proces nodg. Antono en Berlant (2006) beschrven dt terateve proces door een utdrukkng te vnden voor de maxmum lkelhood of de restrcted maxmum lkelhood van de schadefrequente of de schadelast. Deze methode geeft utkomsten voor de schatters b, b k en β.

28 DATABESTANDEN 28 Hoofdstuk 5 Databestanden De data de beschkbaar zn om nzcht te krgen n de factoren de het rscogedrag van een verzekerde en/of een verzekerd obect beïnvloeden worden n dt hoofdstuk beschreven. Aan de hand van deze factoren kunnen ook combnates van of andere varabelen worden bepaald de het rscogedrag kunnen beïnvloeden. Zo wordt bvoorbeeld de postcode gebrukt voor de bepalng van de urbansategraad. Paragraaf 1 zal beschrven wat de beschkbare data zn. Gegevens over het polsbestand en het schadebestand zullen worden beschreven n respectevelk de tweede en derde paragraaf. Paragraaf 4 zal de rscofactoren beschrven. Het data onderzoek dat nodg s om GLMM toe te kunnen passen wordt n paragraaf 5 beschreven. 5.1 Beschkbare data De belangrkste databestanden zn het polsbestand en het schadebestand. Alle bestanden bevnden zch n het computerprogramma SAS Enterprse Gude. Met behulp van dt programma worden ook de analyses utgevoerd. Het polsbestand bevat de volgende varabelen: Bonusmalus (BM) trede Dekkng Postcode Bouwaar Geboortedatum Rego Brandstof Gewcht Type

29 DATABESTANDEN 29 Cataloguswaarde Merk Met de varabele dekkng wordt het dekkngstype bedoeld waarvoor een verzekerde zelf het rsco net kan of wl dragen. Als voorbeeld kunnen we denken aan de dekkng rut bnnen een autoverzekerng. Een verzekerde kan of wl zelf het rsco op een rutschade net dragen en verzekert zch daarom. Het schadebestand s opgebouwd ut de volgende varabelen: BM trede Leeftd van de bestuurder Schadelast Cataloguswaarde Polsnummer Schadenummer Dekkngen Schade datum Twee andere gebrukte bestanden de de polsgegevens kunnen aanvullen zn het geografsche (GEO) bestand en het autotelex bestand. Het GEO bestand bevat gegevens over de verzekerden. Het geeft weer wat de stuate s waarn een verzekerde zch bevndt. Dt bestand s opgebouwd ut de volgende varabelen: Glossy Plaats Provnce Inkomen Polsnummer Socale klasse Opledng Postcode Urbansategraad Het autotelex bestand bevat gegevens over het voertug en s opgebouwd ut de volgende varabelen: Categore Merk Utvoerng Gewcht Model Vermogen

30 DATABESTANDEN Polsbestand NIET BESTEMD VOOR PUBLICATIE Mutatebestand Het polsbestand s een mutatebestand. Hermee wordt bedoeld dat b elke veranderng n het polsbestand een neuw record ontstaat. In het polsbestand wordt elk record gezen als een pols de 1 aar duurt. Daarom wordt het begrp exposure opgesteld. De exposure geeft de lengte van de td waarn een verzekerde zch n een record bevndt. De exposure wordt weergegeven n aren. Heronder volgt een voorbeeld om dt dudelker te maken. Fguur 5.1 Voorbeeld exposure Fguur 5.3 betreft dezelfde persoon gedurende het aar Deze persoon heeft n het polsbestand 3 records voor het aar Het eerste bollete heeft een lengte van 90 dagen. De exposure van dt bollete s dan 90/365,25 = 0,25 aar. Stel dat de verzekerde een schade aan zn voertug krgt op Dan bevndt deze schade zch n het eerste bollete. Voor het aar 2006 wordt dan verwacht dat deze verzekerde 4 schades gaat rden (elke 3 maanden 1 schade). Omdat de verzekerde per een andere auto

31 DATABESTANDEN 31 n zn bezt heeft s het net ust om de schade de zch n het eerste bollete bevndt te proecteren op een heel aar. Daarom wordt er rekenng gehouden met de exposure. Deze exposure neemt dan de verwachte schade van het eerste bollete voor 0,25 mee. In het tweede bollete heeft de verzekerde een andere auto gekocht. De exposure van het tweede bollete s 153/365,25 = 0,42. In het derde bollete s de verzekerde een aar ouder geworden. De exposure n dt laatste bollete s gelk aan 0,33. Voor deze dre bolletes samen krgen we een exposure de gelk s aan 1. Ut dt voorbeeld kan worden opgemaakt dat het aantal records dat zch n het polsbestand bevndt net gelk s aan het aantal polssen omdat de pols ut het voorbeeld al 3 verschllende records heeft. 5.3 Schadebestand NIET BESTEMD VOOR PUBLICATIE 5.4 Polsbestand en Schadebestand Om de analyses ut te kunnen voeren worden het polsbestand en het schadebestand gekoppeld. De sleutels voor deze koppelng zn het polsnummer en de schadedatum moet tussen de ngangsdatum van het record en de enddatum van het record lggen. Wanneer deze bestanden aan elkaar gekoppeld zn kunnen we een tabel op stellen de de verdelng van het aantal schades over de records laat zen. De volgende tabel geeft deze verdelng.

32 DATABESTANDEN 32 Aantal schades WA Aanr BSN Defp Deft Rut 0 97,95% 96,01% 99,82% 99,32% 99,92% 95,95% 1 2,01% 3,88% 0,18% 0,66% 0,08% 3,88% 2 0,04% 0,10% 0,00% 0,01% 0,00% 0,16% 3 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 4 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 5 0,00% 6 0,00% Tabel 5.1 Verdelng aantal schades 5.5 Rscofactoren Aan de hand van de rscofactoren de n de databestanden voorkomen s het mogelk om een schattng of voorspellng te doen van de schadefrequente en de schadelast. In deze paragraaf zal daarom de ndelng van de rscofactoren de gebrukt zn n de analyse naar de schadefrequente en de schadelast worden beschreven. Voor het bepalen van het model voor de preme wordt gebruk gemaakt van vaste rscofactoren en van Mult Level Factoren. Deze paragraaf wordt daarom opgedeeld n subparagrafen Vaste rscofactoren De vaste rscofactoren de n de analyses worden gebrukt worden n deze deelparagraaf besproken. Leeftd van de bestuurder. Onderzoek laat zen dat ongeren een verhoogd rsco zn. Jongeren krgen daarom een toeslag. Voor de ndelng naar leeftdscategoreën s ondersched gemaakt naar 9 categoreën. Deze ndelng s ontstaan door te kken naar het verloop van de schadegegevens en kan verklaard

33 DATABESTANDEN 33 worden door te kken naar blage 3 fguur 1. In dt fguur s de schadefrequente voor de groep onger dan 24 aar hoger dan voor de overge groepen. o leeftd onger dan 24 o o o o o o o o 73 en ouder Cataloguswaarde van de auto. Voor deze ndelng s ondersched gemaakt naar 10 categoreën. Deze 10 categoreën zn ontstaan door een ndelng te maken waarb elke stap met 5000 wordt verhoogd. De eerste categore begnt met een cataloguswaarde klener dan en de laatste categore bevat cataloguswaarden groter dan BM-trede, het aantal treden loopt van 0 tot en met 21. Brandstof, voor deze rscofactor s ondersched gemaakt tussen 4 categoreën. o Benzne o Desel o Elektrsch en overg o Gas Provnce, er s ondersched gemaakt tussen de 12 provncën. Urbansate, voor deze rscofactor wordt ondersched gemaakt tussen 5 categoreën, waarb de eerste categore overeenkomt met een grote stad, en de vfde categore met het platteland. Leeftd van de auto, deze rscofactor bevat 10 categoreën. Er s gekozen om elke categore 2 aren te geven. De laatste categore betreft de aren waarb de leeftd van de auto groter of gelk aan 18 aar s.

34 DATABESTANDEN 34 Gewcht van de auto. Deze rscofactor s opgedeeld n 7 groepen. Het maxmum n deze categore s 3500 kg omdat een auto net meer dan 3500 kg kan wegen. o kg o kg o kg o kg o kg o kg o kg Sportvtet. Deze rscofactor geeft de verhoudng tussen het gewcht en het vermogen weer en wordt utgedrukt n klogram per vermogen. Er wordt een ndelng gemaakt naar 7 categoreën. Deze 7 categoreën bevatten elk een blok van 3, begnnend b 9. De rato s de beneden 9 kg/pk vallen worden ngedeeld n de eerste categore. De laatste categore bevat de rato s groter dan of gelk aan 24. Carrosserevorm, herb zn 9 categoreën mogelk. o Bestelbus/van o MPV o Cabro o Sedan o Comb/statonwagon o Coupe o Targa o Hatchback o Terrenwagen/SUV Socale klasse, deze rscofactor kent 5 categoreën, waarb voor elk van de 5 categoreën gekeken wordt naar nkomen, opledng en egendomsverhoudngen. Voor nkomen zn de volgende kenmerken mogelk. Boven modaal, modaal, beneden model of geen opgave. Voor opledng zn mogelk: Unverstar,

35 DATABESTANDEN 35 HBO, MBO, LBO, VWO, Havo, Mavo, LO en geen opgave. Voor egendomsverhoudngen s het mogelk een egen hus of geen egen hus te hebben. Voor het fguur dat de ndelng van deze rscofactor weergeeft kan gekeken worden n blage 2 fguur 2. Glossy. Deze rscofactor geeft de kans op het aantreffen n een hushouden van een van de volgende bladen: Cosmopoltan, Nouveau, Elegance, Avant Garde, Elle en Mare Clare. Herb wordt ondersched gemaakt naar 10 categoreën. Deze rscofactor s toegevoegd zodat ook de marketeers de utkomsten als naslagwerk kunnen gebruken. De marketeers kunnen deze rscofactor gebruken om ondersched te maken naar de groepen. Stel dat blkt dat de groep gemddeld de grootste rscogroep s, dan kunnen de marketeers er voor kezen om alleen onderzoek te doen bnnen deze groep. o Onbekend o Extreem weng o Zeer weng o Weng o Mnder dan gemddeld o Gemddeld o Meer dan gemddeld o Veel o Zeer veel o Extreem veel De beschkbare rscofactoren socale klasse en glossy zn de rscofactoren de afkomstg zn ut het GEO bestand. Deze rscofactoren zn gekozen omdat ze bede een sterke assocate hebben met de cataloguswaarde van de auto. Bede rscofactoren zeggen ook wat over de klant.

36 DATABESTANDEN Mult Level Factoren De MLF worden n deze deelparagraaf besproken. Merk van de auto. Hervoor geldt dat er mnmaal 1000 records actef zn n de portefeulle anders behoren ze tot de categore overg. De 34 meest voorkomende merken: Alfa Romeo Dahatsu KIA Peugeot Smart Aud Fat Lanca Porsche Subaru BMW Ford Mazda Renault Suzuk Chevrolet Honda Mercedes-Benz Rover Toyota Chrysler Hyunda Mtsubsh Saab Volkswagen Ctroen Jaguar Nssan Seat Volvo Daewoo Jeep Opel Skoda Model van het voertug. B deze rscofactor wordt ondersched gemaakt naar de modellen van auto s de er zn. MLF hebben net genoeg data om geschat te worden met GLM techneken. Het s voor deze varabelen moelk om een goede groeperng te vnden n de klassen. Als voorbeeld het merk Opel (tabel 5.7). Voor dt merk zn er modellen de genoeg data hebben (model Corsa) en andere de ust erg weng data hebben (model Strada).

37 DATABESTANDEN 37 Agla Manta 294 Speedster 199 Ascona Merva Strada 19 Astra Monterey 240 Swng 19 Calbra Monza 35 Tgra Campo 238 Movano 169 Tour 366 Combo Omega Vectra Commodore 58 Rekord 266 Vvaro Corsa Senator 372 Zafra Frontera Sgnum 478 Kadett Sntra Tabel 5.2 Model ndelng Opel Deze egenschappen zn typsche gevallen waar credbltetsschatters een utkomst kunnen beden. Er zn dan rscofactoren (vaste effecten) de goed met GLM techneken kunnen worden geschat en er zn rscofactoren de tot MLF behoren. 5.6 Data onderzoek om GLMM toe te kunnen passen Om een ust onderzoek te doen moet er een correct databestand worden opgezet. Deze paragraaf zal de verschllende aanpassngen n subparagrafen bespreken Merken van auto s Als eerste wordt gekeken naar opvallende zaken n het polsbestand. In het bzonder wordt het aantal merken en modellen dat voorkomt n het polsbestand nader bekeken. Met behulp van SAS s er ondersched gemaakt naar de verschllende merken en daarb s het aantal polssen per merk weergegeven. Besloten s dat alleen de merken worden meegenomen waarb het aantal polssen groter s dan 12, omdat hervan een goede varante kan worden berekend en het aantal dan net te klen s om utspraken te kunnen doen. Er blven dan 113 verschllende automerken over.

38 DATABESTANDEN Modellen van auto s Ook s gekeken naar het aantal modellen. Om ut het polsbestand te kunnen bepalen wat het model van een auto s wordt gebruk gemaakt van het autotelex bestand. Herb wordt n het autotelex bestand de varabele type gevormd door het model en de utvoerng aan elkaar te plakken. De varabele type komt dan zowel n het polsbestand en het autotelex bestand voor. Door de schrfwze overeen te laten komen kunnen deze bestanden aan elkaar worden gekoppeld door de varabele type ut bede bestanden aan elkaar te verbnden. Ter verdudelkng een voorbeeld. Stel dat er n het autotelex bestand n de kolom Model het model Panda staat en n de kolom Utvoerng de utvoerng 900 Hobby. Door n het autotelexbestand deze twee kolommen aan elkaar te plakken ontstaat er een neuwe varabele de de naam TypeX krgt. In dt voorbeeld krgt de kolom TypeX de naam Panda 900 Hobby. Het polsbestand kent de kolom Type de weergeeft: Panda 900 Hobby. Doordat het programma SAS bede bestanden aan elkaar kan koppelen krgt het gekoppelde bestand onder andere de varabelen Model, Utvoerng, TypeX en Type. Het oorspronkelke polsbestand kan nu worden aangevuld met de varabele Model. Net alle typen de n het polsbestand beschreven staan worden weergegeven door het autotelex bestand. Herdoor worden handmatg nog de nodge aanpassngen gedaan. In het polsbestand zn meerdere modellen samengevoegd. Te denken valt her aan bvoorbeeld de BMW 6-sere en de BMW 6-sere Cabro, deze worden samengevoegd onder de naam BMW 6-sere en de Subaru Legacy, Subaru Legacy outback en de Subaru Legacy wagon gaan samen onder naam Subaru Legacy. Er blven dan 2086 verschllende modellen over.

39 DATABESTANDEN Aftoppng van de schadelast In de analyses s gebruk gemaakt van een aftoppng van de schadelast. Er s gekozen voor een aftoppng van de schadelast zodat er een goede analyse kan worden utgevoerd en het proces geen hnder heeft van utscheters. De volgende tabel verdudelkt de aftoppng van de schadelast per dekkngstype. Als voorbeeld de dekkng WA. De hoogte van de aftoppng s b deze dekkng Dt betekent dat een schadelast b de dekkng WA groter dan wordt gesteld op Dekkng Hoogte van de aftoppng WA Brand Storm Natuur Rut 871 Aanrdng Defstal totaal Defstal parteel Tabel 5.3 Aftoppng Multcollneartet bnnen de rscofactoren Bnnen de rscofactoren sportvtet/gewcht en provnce/urbansate was er sprake van multcollneartet. De groepen onbekend zn voor bede gevallen even groot. Deze multcollneartet s opgelost door deze groep onbekenden te verwderen ut het databestand. Herb s wel rekenng gehouden met een evenredge verwderng van het aantal schaderecords ten opzchte van het aantal polsrecords. Het aantal polsrecords werd, voor de rscofactoren sportvtet/gewcht, vermnderd met 21,69% ten opzchte van 21,13% van de schaderecords. Voor de rscofactoren provnce/urbansate s dt 0,74% voor het polsbestand en voor het schadebestand.

40 DATABESTANDEN Gesommeerde schadelast Voor het model van de schadelast wordt gewogen met het aantal schades, omdat de schadelast s gesommeerd per record. Hermee wordt bedoeld dat als er meer dan één schade s, alle schadelasten b elkaar worden opgeteld. Ter llustrate kan er gekeken worden naar het volgende voorbeeld. Stel dat de verzekerde gedurende het aar schades heeft gemeld. Alle schades behoren b het eerste bollete. De schadelast van de eerste schade bedraagt 1.000, en van de tweede schade s de schadelast 500. De totale schadelast s dan gelk aan Door met het aantal schades te wegen s de schadelast voor elke schade dan gelk aan Referentegroep van de rscofactoren Elke rscofactor heeft als referentegroep de groep gekregen waarb het aantal waarnemngen het grootste s. In tabel 5.9 s weergegeven wat de referentegroep per rscofactor s. De utkomsten van de schattng met de GLM methode zn voor de referentevarabelen gelk aan 1.

41 DATABESTANDEN 41 Rscofactor Referentegroep BM trede 20 Brandstof Benzne Carrosserevorm Hatchback Cataloguswaarde tot Gewcht kg Glossy Gemddeld (5) Leeftd van de auto 6 tot 8 aar Leeftd van de bestuurder 47 tot 68 aar Provnce Zud-Holland Socale klasse 2 Sportvtet 15 tot 18 kg/pk Urbansate 2 Tabel 5.4 Referentegroep per varabele Assocate tussen de rscofactoren Bnnen het schattngsproces s het noodzaak te kken naar de assocate tussen de rscofactoren. Er s gekeken naar de assocate tussen het model van een auto en tussen de technsche gegevens van een auto. Sterke assocate was er aanwezg tussen het model van een voertug en de rscofactoren gewcht, carrossere, brandstof, cataloguswaarde en sportvtet Rscopreme Door het model voor de schadelast te vermengvuldgen met het model voor de schadefrequente ontstaat de rscopreme. De utkomsten voor de rscopreme zn net gelk aan de rscopreme de verzekeraar aan zn verzekerden moet doorrekenen. Deze

42 DATABESTANDEN 42 rscopreme kan net worden doorberekend, omdat er records ut het polsbestand zn verwderd, de schadelast s afgetopt en geen rekenng s gehouden met andere kosten.

43 MOGELIJKE UITVOERINGEN VAN DE THEORIE 43 Hoofdstuk 6 Mogelke utvoerngen van de theore GLMM techneken kunnen op verschllende maneren worden utgevoerd. Zoals beschreven staat n Hoofdstuk 2 zn er bnnen GLM meerdere verdelngen mogelk de worden gebrukt b het schatten van de schadefrequente. Voor het schatten van de schadefrequente s gekozen voor de Posson verdelng. Deze keuze s gemaakt omdat er bnnen CBA altd met deze verdelng wordt gewerkt en het zo eenvoudger s om de utkomsten van GLMM te vergelken met de utkomsten van het hudge model. In deze scrpte wordt de aanpak van Ohlsson gevolgd. In dt hoofdstuk zullen toepassngen voor de theore van GLMM worden besproken. De eerste paragraaf beschrft de toepassng zoals deze wordt beschreven door Ohlsson (2006). De tweede paragraaf beschrft de nvullng van de NB, ZIP of Hur verdelng n de code. In de derde paragraaf wordt beschreven hoe GLMMs geschat en toegepast kunnen worden wanneer een volledg parametrsche aanpak gevolgd wordt. Herb wordt de verdelng van de response vastgelegd n sem-parametrsche vorm (bvoorbeeld Posson of gamma). De aanpak van Ohlsson (en ook de aanpak van Dannenburg et al. (1996)) s sem-parametrsch n de zn dat z enkel de eerste twee momenten van de verdelng van de response specfceren.

44 MOGELIJKE UITVOERINGEN VAN DE THEORIE Toepassng door Ohlsson Theore van toepassng door Ohlsson Door gebruk te maken van het artkel van Ohlsson (2006) wordt n de utvoerng van de theore alleen gekeken naar het gemddelde en de varante. De verwachtng ut formule (4.7) s gelk aan (6.4) wanneer er gebruk wordt gemaakt van de formules (6.1), (6.2) en (6.3). E( Y V ) = γ V ( 6.1 ) k k 1 2 k n k γ = γ γ... γ ( 6.2 ) V = µ U ( 6.3 ) V = µ U U = V U ( 6.4 ) k k k Zoals beschreven n formule (3.1) s de credbltetsschatter voor een rscofactor een gewogen gemddelde van het totaal en de groep. In formule (3.1) geeft z deze wegng weer. Ohlsson (2006) veronderstelt dat V en V k d zn en stelt de volgende stellng over credbltetsschatters n multplcateve modellen op. Stellng 1: a) De sectoren zn onafhankelk, (Y k, V, V k ) en (Y k, V, V k ) zn onafhankelk als. b) De groepen zn onafhankelk, (Y k, V ) en (Y k, V ) zn onafhankelk als k k.

45 MOGELIJKE UITVOERINGEN VAN DE THEORIE 45 c) Alle paren (V, V k ) zn d met E(V ) = µ en deze verwachtng s groter dan 0. Er geldt E(V k V ) = V. Voor τ geldt τ 2 = Var(V ) en voor υ geldt dat υ 2 = E[Var(V k V )]. d) Y k s, condtoneel op (V,V k ), zn wederzds onafhankelk voor elke en k, met het gemddelde gelk aan formule (4.8) en de varante gelk aan E[ Var( Y k V, V k p p p 2 φγ k E[ V k ] γ kσ 2 p )] = = als σ = φe[ V k ] (6.5 ) w w k k In deze utdrukkng voor de varante s p de parameter ut de Tweede verdelng en φ s de dsperse parameter de gelk s aan 1 als de verdelng een posson verdelng s en gelk aan β -1 b een gamma(α,β) verdelng. Om een utkomst te krgen voor de schatter van V k wordt er een deel z k toegekend aan het groepsgemddelde (groep s her het model) en een deel (1-z k ) aan het totale gemddelde (totaal s her het merk). De wegngsfactor z k s afhankelk van de grootte van de groep en van de heterogentet. Zoals beschreven n hoofdstuk 3 wordt de heterogentet weergegeven door de varante. De wegngsfactor s dus afhankelk van de grootte van de groep gecorrgeerd voor de varante. In formulevorm: z k w ~ =. k 2 2 w ~ + σ / ν ( 6.6 ). k In deze wegngsfactor s σ 2 de verwachtng voor de varante van Y k en υ 2 zoals staat weergegeven n stellng 1 punt c. De wegngsfactor n de formule voor het credbltetsmodel voor het merk, V, wordt weergegeven door q en krgt de volgende utdrukkng: q = z. 2 2 z +ν / τ ( 6.7 ).