Extra oefening bij hoofdstuk 1

Transcriptie

1 a Era oefeig ij hoofdsuk p De eige rij die egresd is, is de rij u De rije, q e zij moooo sijged, de rij p is gee va eide, p 00 is he maimum, e de rij u is moooo daled 0 Allee de rij u is overge Er gel e e q u a Omda voor elke waarde va gel da si, is si < u < w Kies v e w, da v < u < w De rije v e w overgere me ie 0 Di eeke da ook de rij u overgeer me ie 0 a ( ) ( + )( ) ( + + ) + ( ) ( ) ( ) ( + )( ) + + ( ) + ( ) ( )

2 a De ie va de rij ku je erekee door op e losse + Daarui volg da + 0 Me de a-formule vid je + +, of 0, De ie is ee posiief geal e is dus gelijk aa +, Als he geal a die egiwaarde is, da moe gelde + a Je vi da weer de a gealle + e a De dekpue vid je door op e losse ( ) Daarui volg 0 Dus ( )( + ) 0 e of De dekpue hee de oördiae (, ) e (, ) De rij overgeer i di geval me als ie he geal Als u, da divergeer de rij Als u, da divergeer de rij Als u, da overgeer de rij me ie He emperauursvershil va egiemperauur e kameremperauur is gelijk aa V B T Elk uur da versrijk wor di emperauursvershil me de faor p vermeig- 00 p vuldigd Er gel dus V V + 00 p < <, dus V 00 overgeer aar 0 T + V, T is osa e V overgeer aar 0, dus overgeer aar T T Era oefeig ij hoofdsuk

3 Era oefeig ij hoofdsuk 0, wa e e ( e ) > 0, 0 0 I deze laase reuk ader 00 aar als aar e e 00 oeidig ader e e ader aar oeidig a ( + ) ( + ) d ( ) 0 a 0, e 0 0 e e e e ( 0)( 0)( 0) d si + + si e 0 0 e ( + ) ( ) ( + ) f a u + u u, 0 + u + 0, 7 e u u + ( u ) ( u ) + ( 0, ) 0,, +, u ( ) 0, 0, u Sel f ( ) da is f ( ) gedefiieerd als f '( ) h 0 f ( ) gelijk aa + h h, dus f ( ) h 0 + h dus h De ie is dus ( )

4 a Je los op + 8, Je vi + 7, dus 7, e 7, 8 Vervolges los je de vergelijkig + 9, op Je vi + 90, Daarui volg 89, e, Als 8, < f ( p ) < 9,, da gel dus da 7, 8 < p <, Ui he gegeve da de fuie overal oiu is, volg da de fuie ook oiu is i Er gel f ( ) f ( ), dus ( )( + ) Hierui volg da de oemer va de reuk de waarde ul aaeem als je voor he geal ivul, wa + a + als da ie he geval zou zij da zou er ui de ie he geal 0 kome Dus + a + 0 of a Je ku u de oemer va de reuk oide: + a + + a a ( )( + a + ) Er gel da ( )( + ) ( )( + ) + + a + ( )( + a ) a a Daarui volg da a +, dus a e a 7 De fuie is oiu i 0, dus f ( ) f ( ) f ( 0) Di geef d 0 De fuie is ook differeieeraar i 0, dus f ( ) a + + f ( ) Daarui volg da Tesloe moe de grafiek va f de -as rake i he pu (, 0 ) Dus er moe gelde da f ( ) 0 e ook da f ( ) 0 Di geef de vergelijkige 7a e a ( ) Deze wee vergelijkige zij e herleide o he selsel 7a a Als je eide vergelijkige opel, krijg je, dus e als je die waarde va ivul i ijvooreeld de eerse vergelijkig vid je 7a dus 7a 9 e a Era oefeig ij hoofdsuk

5 Oefeoes ij Hoofdsuk e Voor eve waarde va gel da + ( ) e voor oeve waarde va gel da + ( ) Dus u De rije u e v zij overgee rije me uisluied posiieve erme e v w 0 Dus volg me de isluisellig da u 0 a ( + ) ( + ) ( ) 0 0 d e ( + ) ( + ) 8 e + f a y 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, Je eke ee veriale lij door he pu ( 0, ; 0 ) Teke door he sijpu va die lij me de grafiek va f ee horizoale lij Deze horizoale lij sij de lij y i ee pu waardoor je weer ee veriale lij eke Je los op, dus Hierui volg, 0, ( ) 0, dus 0 of Dus gel L Als je kies i he ierval [0,], da overgeer de rij Kies je < 0 da esaa f ( ) ie e als u >, da esaa u ie omda u < 0 a Je ku de driehoek door middel va ee hoogelij i wee ogruee rehhoekige driehoeke verdele Als je i éé va de rehhoekige driehoeke de sellig va Pyhagoras oepas ku je de hooge h va de gelijkzijdige driehoek erekee: h z ( z) z z De oppervlake va de driehoek is da gelijk aa z z z

6 d a Omda hoogelije i ee gelijkzijdige driehoek egelijkerijd zwaarelije zij, is de sraal va de igeshreve irkel gelijk aa éé derde deel va de hooge va de gelijkzijdige driehoek De sraal is dus gelijk aa z z e de oppervlake va de irkel is da gelijk aa π ( z ) πz Als je de zijde va de driehoek me zijde z deel door, da wor de oppervlake gedeeld door, omda zowel de asis als de hooge va ee dergelijke driehoek keer zo klei worde Dus gel : A z C Ook gel C z Hierui volg da C C C C πz π A A A A z Je los op 0 Daarui volg 0, dus 0 0 e De gevraagde omgevig is dus, Ui f ( p) 0 volg da p 0, dus p 0 e p 0 + Als gel f ( p) 0, da is p 0 + a d ( )( ) ( ) ( ) 7 Als de fuie oiu is i a, da moe gelde da f ( ) f ( ) f ( a) f ( ) a e f ( ) a Dus a a, 9( a ) ( a ), a a a a 9a 9 a 0a +, a 9a + 0, ( a 7)( a ) 0, dus a 7 of a Allee a 7 voldoe aa de vergelijkig, dus voor die waarde is de fuie oiu a a a a Oefeoes ij hoofdsuk e a

7 8a Als a, da gel f ( ) e f ( ) + Liker- e reherie vershille, dus de fuie is ie oiu i f ( ) e f ( ) + a Dus moe gelde a + e a 9a d a f ( ) p e f ( ) p p, dus moe gelde p p p Daarui p p p p volg p( p ) p, p( p )( p + ) ( p ) dus p 0 of p( p + ) Ui de eerse vergelijkig volg p e ui de laasgeoemde vergelijkig volg p + p + 0, ( p + ) 0 e p De fuie is oiu voor p e voor p Als f p differeieeraar is, da is f p ook oiu, dus we hoeve allee de waarde p e p e orolere Voor p gel f ( ) ( ) e f ( ) De liker- e reher afgeleide waarde zij dus gelijk e de fuie is differeieeraar Voor p gel f ( ) ( ) 8 e f ( ), dus voor p is de fuie ie differeieeraar De fuie is ook oiu dus f ( ) f ( ) f ( ) Hierui volg da a e + l 0 Verder gel f ( ) f ( ) f ( ) Di geef de vergelijkig a e Ui di alles volg da a e e a e

8 a d Era oefeig ij hoofdsuk Tusse elk weeal ijde zi mises éé hoderdse seode vershil Er is dus sprake va ee disree variaele Op ee digiale hermomeer is de emperauur ee disree variaele wa er ka ie ijvooreeld ee emperauur va 8, grade gemee worde Er zi seeds mises 0, graad vershil usse wee emperaure Op ee kwikhermomeer is de emperauur ee oiue variaele, wa heoreish ezie ka elke emperauur worde afgeleze De logihoud ka, ie epaalde greze, elk geal zij, dus er is sprake va ee oiue variaele Je sel de kasverdelig va de sohas X op: P(X) 0, 0, 0, 0, E( X) 0, + 0, + 0, + 0, Var( X ) 0, ( ) + 0, ( ) + 0, ( ) + 0, ( ), dus σ( X ) a 0 a P(X) E( X) +, + +, +, 7 Var( X ) ( ) + (, ) + ( ) + (, ) + ( ) 0, 89, dus σ( X) 0, 89 0, E( T) 0000 e σ( T ) 0 0 P( T < 00) ormaldf(-0, 00, 0000, 0) 0, 0 He gemiddelde gewih va de 0 pakke suiker is ee sohas X die ormaal verdeeld is me ee gemiddelde va 000 gram e ee sadaardafwijkig va P( X < ) ormaldf ( 0,, 000, ) 0, a He gewih va ee pakje puddigpoeder is ee ormaal verdeelde sohas G Je ereke P( 7 < G < 78 ) ormaldf (7,78,7,)0,9, dus 9,% P( G < 7 0) ormaldf ( 0, 7, 7, ) 0, P( G < 7 0) ormaldf ( 0, 7, 7, ) 0, 09 0 gram a Omda ee aaal pie allee ee geheel geal ka zij, is er sprake va ee disree sohas Allee ee oiue sohas ka de ormale verdelig hee, vadaar da je ee orreie oepas He aaal pie per zoeloem is ee sohas A Je ereke P( A > 0) P( A* 0, ) ormaldf ( 0, 0, 0, ) 0, 898 µ e σ , d P( T < 88000) P( T* 879, ) ormaldf ( 0 ; 879, ; ; 7, ) 0,08 7

9 Era oefeig ij hoofdsuk a De formulerig die he ese pas is H 0 : p 0, e H : p 0, De adere formulerige geve aa de wijfel ee epaalde rihig Zo is he vermoede ij de eerse formulerig da er ee hoger e ij de laase formulerig da er ee lager pereage wie loeme is da % Als de sohas X he aaal plae i de seekproef aageef da wie loeme heef, da moe je erekee P( X 8) P( X 7) iomdf ( 0, 0, 7) 0, 0 Je he e make me ee weezijdige oes De overshrijdigskas is groer da de helf va he he sigifiaieiveau va % e dus wor de ulhypohese op asis va de uikoms va de seekproef ie verworpe a He is ee éézijdig oesigsproleem omda je ee vermoede he da i da epaalde jaar de uikoms sigifia lager is da voorhee I sigifiae afwijkige aar ove e je da ie geïeresseerd H : µ, 7 e H : µ <, 7 me α 0, 0 0 Je ereke de overshrijdigskas P( G 7, ) ormaldf ( 0, 7, 7, ) 0, 070 waarij de sohas G de gemiddelde sore voorsel Deze kas is groer da he sigifiaieiveau va % Dus de ulhypohese wor ie verworpe Er is gee aaleidig om aa e eme da de oes i da jaar sleher is gemaak Je los op P( G g) 0, 0 Di ka ijvooreeld door i de rekemahie i e voere Y ormaldf(-0, X, 7, ) e Y 0 0 Vervolges zoek je he sijpu va eide grafieke me de opie INTERSECT va he CALC meu Je vi g, 7 Dus ij ee gemiddelde sore va,7 e lager ku je selle da de oes sleher is gemaak a Wada is va meig da ze wel heel weiig viere gooi Wada vraag zih ie af of ze soms e veel viere gooi Di dui op ee eezijdige oes Als V he aaal viere i de seekproef is e p P( viergooie) da zij de wee hypohese: H : p 0, 0 H : p < 0, De overshrijdigskas is P( V ) iomdf ( 0; 0, ; ) 0, 0979 < 0, 0 Dus zal op asis va de uikoms va de seekproef de ulhypohese worde verworpe e heef Wada rede om aa de zuiverheid va de doelsee e wijfele 8

10 De gemiddelde lege va de ijzere save ui de seekproef is ee sohas L Je ku wee hypohese formulere: H : µ 8 0 H : µ < 8 Oder aaame va de ulhypohese is de gemiddelde lege va de save ui de seekproef ormaal verdeeld me gemiddelde 8 e sadaardafwijkig X 0, 0, 0 Je kies voor ee eezijdige oes, wa e lage save zij ie erg, je ku er immers alijd ee suk va af hale Voer i je rekemahie i Y ormaldf ( 0 ; X ; 8; 0, 0) e Y 0, 0 Plo de grafieke va Y e Y e zoek me de opie INTERSECT va he CALC meu he sijpu va eide grafieke Je vi X 7,9 Als dus de gemiddelde lege va de save i de seekproef kleier is da 7,9 meer, ka de olusie gerokke worde da he gemiddelde ie meer 8 meer is Era oefeig ij hoofdsuk 9

11 a Oefeoes ij Hoofdsuk e He gewih G va ee pakje hee is ee ormaal verdeelde sohas Er gel P( G < 00) ormaldf ( 0, 00, 0, ) 0, 87 Dus i ogeveer 8, 7%va de 80 pakjes hee zi mider da 00 gram Da zij ogeveer pakjes Als he vulgewih X wor geoemd, da moe dus gelde da P( G < 00) ormaldf( 0 ; 00; X ;, ) 0, 0 Je ku de ogelijkheid oplosse door i de rekemahie i e voere: Y ormaldf( 0 ; 00; X ;, ) e Y 0, 0 Me de opie INTERSECT va he CALC meu ku je he sijpu va de grafieke va Y e Y erekee Je vi X 0, Dus zal de farika he vulgewih lae iselle op 0, gram Je moe de ogelijkheid P( G < 00) ormaldf( 0, 00, 0, X) 0 0 oplosse Voer i i je rekemahie Y ormaldf( 0, 00, 0, X) e Y 0, 0 Me de opie INTERSECT va he CALC meu ku je he sijpu va de grafieke va Y e Y erekee Je vi X, Dus de ieuwe mahie moe ee sadaardafwijkig hee va hoogses, gram a He aaal pakke koffie da mider da 0 gram weeg is gelijk aa e he pereage is %, wa er zij 00 pakjes gewih relaieve umulaieve frequeie 0,0 0, 0, 0, 0,8 0, Bij deze ael eke je ee grafiek op ormaal waarshijlijkheidspapier (zie oder opdrah ) He gemiddelde lees je af ij ee relaieve umulaieve frequeie va 0% Ui de ekeig ka worde afgeleze da he gemiddelde plus de sadaardafwijkig (relaieve umulaieve frequeie 0% + % 8%) e he gemiddelde mi de sadaardafwijkig ((relaieve umulaieve frequeie 0%-%%) wee sadaardafwijkige vershille Je vi µ e σ 8 7 dus σ, (De uikomse kue ies vershille omda de rehe lij ies aders gerokke is) rel um frequeie i% 8% 0% %,,9,9,8, , 0, 0, 0,0 0,0 µ µ µ gewih a He gewih va ee joge volwasse ma is ee sohas G P( G > 8) ormaldf ( 8; 0 ; 7, 7;, ) 0, 0, dus he gevraagde pereage is gelijk aa, % 0,0 0,0 0, 0, 0, ,,8,9,9, 0

12 H : µ 7, 7 0 H : µ > 7, 7 He gemiddelde gewih va de 0 joge mae is ee sohas H die ormaal verdeeld is me ee gemiddelde va 7,7 kilo e ee sadaardafwijkig va, 0, 79 als de ulhypohese juis is De overshrijdigskas is 0 P( H > 7 ) ormaldf ( 7, ; 0 ; 7, 7; ) 0, 07 0 Di is oder da he %-iveau, dus de ulhypohese wor verworpe e de sporars zal de olusie rekke da volwasse joge mae zwaarder zij geworde a De kasverdelig va U : u 0 P( U u ) 0,8 0, De kasverdelig va U : u 0 P( U u ) 0, 0,8 De kasverdelig va T : 0 0 P( T ) 0, 0,8 0, E( U ) 0 0, 8 + 0, E( U ) 0 0, + 0, 8 E( T ) 0 0, + 0, ,, +, σ( U ) 0, 8 ( 0 ) + 0, ( ) a σ( U ) 0, ( 0 ) + 0, 8 ( ) σ( T ) 0, ( 0) + 0, 8 ( ) + 0, ( 0) I de geoemde periode zij er dage waarop er meer da 0 geoore zij Je oes de hypohese H : p ege H : p >, waarij p de kas is op ee dag me 0 meer da 0 geoore He is ee rehs eezijdige oes De oesigsgrooheid is de sohas Z die he aaal dage i de periode va 0 dage geef, waarop he aaal geoore hoger is da he gemiddelde va 0 Sohas Z is iomiaal verdeeld me de parameers 0 e p als H juis is 0 De overshrijdigskas is P( Z ) P( Z ) iomdf(0,, ) 0, > 0,0 De seekproef uikoms Z is dus ie sigifia hoog He aaal dage waarop i de geoemde periode he aaal geoore kleier was da 0 is ee sohas Y Neem weer aa da de sohas Y iomiaal verdeeld is me 0 e p Je zoek ee geheel geal d me de eigeshap, da P( Y d) 0, 0 Daarui volg da P( Y d ) 0, 0 e dus da P( Y d ) 0, 9 7 Oefeoes ij Hoofdsuk e

13 d Oefeoes ij Hoofdsuk e Je voer i je rekemahie i Y iomdf ( 0,, ) Als je hierij ee ael maak, lees je af da d, dus d Er moee dus mises dage gewees zij me mider da 0 geoore Als sohas X he aaal dage voorsel waarop he aaal geoore opvalled laag is, da erke je P( X < 79) P( X* 78, ) Me oiuïeisorreie is deze kas gelijk aa ormaldf ( 0, 78, 0, 0) 0,0 He aaal zodage me mider da 79 geoore i de periode va 0 weke is ee sohas H Neem aa da H iomiaal verdeeld is me parameers 0 e p 0, 0, da is de verwahig va H gelijk aa Dus wor de oes: H : p 0, 0 ; H : p > 0, 0 me α 0, 0 0 De overshrijdigs-kas is da P( H 0) P( H 9) iomdf ( 0; 0, ; 9) 0, 0 < 0,0 Dus da aaal is iderdaad sigifia hoog

14 a a Era oefeig ij hoofdsuk Op he ijdsip 0 is die selheid dm 0, ( M( 0) ) 0, ( 0, ) 0, 0, 8 0, De vorm va de differeiaalvergelijkig wijs op egresde groei De oplossige 0 zij va he ype M + a e, 0 me M( 0) 0, + ae 0, a 0, 8 0, 7, Daarui volg da M( 7) 0, 8 e 0, 8 e 0, 0 Op he ijdsip 7 is de selheid dus d M 0, ( 0, 0 ) 0, 9 Da is de selheid d M 0, ( 0, ) 0, 7 I 0 gel me de egiwaarde ui opdrah da d M 0, 7 Dus M( ) 0, + 0, 0, 7 0, Verder is de selheid i gelijk aa dm 0, ( 0, ) 0, 9 I gel M( ) 0, + 0, 0, 9 0, 97 Dus de selheid i is d M 0, ( 0, 97 ) 0, 907 e M( ) 0, , 0, 907 0, 787 Dus de selheid i is d M 0, ( 0, 787 ) 0, 87 e M( ) 0, , 0, 87 0, 097 Dus de selheid i is d M 0, ( 0, 097 ) 0, 0987 e M( ) 0, , 0, , 0088 Dus de selheid i is d M 0, ( 0, 0088 ) 0, 9800 e M( ) 0, , 0, , 0 Dus de fraie opgelose suiker is ogeveer % De osae 0,00 is de oeame va he CO-gehale i ml/mi door he roke Doorda er geveileerd wor is er ook ee afame va di gehale, vadaar he mi eke Omda de afameselheid everedig is me he CO-gehale C, dus ee osae maal C, gel: d C 0, 00 ac Je ku de differeiaalvergelijkig shrijve i de vorm dc 0, 00 0, 000C 0, 000( C 0) He verzadigigsiveau is dus 0ml/l luh Er gel C C ( ) d 0, 000 0, 000 0, 000 p e 0, 000 0, 000p e 0, 000( pe + 0 0) 0, 000( C 0) Di klop dus di zij de oplossige d Da is C( 0) 0 wa de kamer was geheel vrij va CO Voor he geal 0 ivulle i he fuievoorshrif va C geef 0 0 p e, 0 p, dus p 0, De oplossig C( ) 0 0e hoor ij de radvoorwaarde

15 a Era oefeig ij hoofdsuk Door e differeiëre vid je da d y a e + Als je de uidrukkige voor y e d y ivul i de differeiaalvergelijkig da krijg je : a e + ( a e + + ) + He reherlid ku je herleide o a e a e + Dus de geoemde fuies zij iderdaad oplossige Ui y( ) a e + + volg da a e, dus a e a He ype differeiaalvergelijkig pas ij egresde groei De algemee oplossig is, y( ) + C e Verder gel da y( 0) + C, dus C 9,, De oplossig die voldoe aa de radvoorwaarde is y( ) 9, e Je shrijf eers de differeiaalvergelijkig als d y 0( y) De algemee oplossig is y( ) + C e Verder moe gelde da y( ), dus C e, Daarui volg da C e Als je di geal voor C ivul, krijg je y( ) e

16 a Era oefeig ij hoofdsuk De differeiaalvergelijkig dui op logisishe groei De oplossige zij y 00 + C e Verder gel y( 0), dus 00, + C e C + C De oplossig is dus y 00 + e Je shrijf de differeiaalvergelijkig i de vorm d y y y( ) Er is sprake va logisishe groei, dus y De osae C vid je me ehulp va de voorwaarde y( 0) Daarui volg, dus + C e C C e + C De oplossig: y e 9 e 9 Je ku de variaele sheide: y dy Door e primiivere vid je y + C Verder is + C, dus C De oplossig is da y + d Je ku de variaele sheide: d y Door e primiivere vid je y y + C De radvoorwaarde geef + C, dus C De vergelijkig va de oplossig is da y + Di ku je herleide o y ( + ) of y ( + ) y y y+ y 0 y a Er gel e e e e, dus e y e Je ku de variaele sheide: e d y d Primiivere geef y a e y + C y l C y l + C De oplossigskromme gaa door he pu (0, ) dus l C l C C e e De oplossig y l + of y l e e De geredueerde differeiaalvergelijkig is d y y Je ku u de variaele sheide: dy Door e primiivere vid je l y + C Deze uidrukkig is e herleide o y C e y Ivulle i de differeiaalvergelijkig geef p ( p + q) + Je ku di herleide o ( p + ) + ( q ) p 0 Omda deze vergelijkig voor elke waarde va moe kloppe gel da p + 0 e q 0 Dus p e q De algemee oplossig va de gegeve differeiaalvergelijkig is y C e + De oplossigskromme gaa door he pu (0, ) dus C e Daarui volg da C De oplossigskromme is dus y e + 9

17 a Era oefeig ij hoofdsuk De algemee oplossig is y De kromme gaa door he pu (0, ), dus + C e, er gel da Daarui volg da + C, dus C + C De formule: y 0 + e, De groeiselheid is maimaal op de helf va he maimale iveau dus als y, Da moe gelde da + 0, e,, Daarui volg + 0,, e, e,,, l e l 0, 9 De maimale groeiselheid is da d y,,, ( ), 87 dy a, dus de orhogoale rajeorië zij de oplossige va de differeiaalvergelijkig d y Je ku de variaele sheide: y y a y y d d Primiivere geef y + C De kromme gaa door he pu (9, ) dus C Daarui volg C De orhogoale rajeorie is dus y + y + 98 y + 98 ee ellips a De karakerisieke vergelijkig is k + k 0 Daarui volg ( k + )( k ) 0, dus k of k De oplossige zij de fuies y C e + C e De geredueerde vergelijkig is y + y y 0 De karakerisieke vergelijkig is k + k 0 Dus ( k + )( k ) 0 e k of k De geredueerde vergelijkig heef dus als oplossige de fuies y C e + C e Je zoek ee oplossig va de vorm y p + q Ivulle i de differeiaalvergelijkig geef p ( p + q) + of ( p + ) + ( q p) 0 Deze vergelijkig moe kloppe voor alle waarde va, dus er gel da p + 0 e q p 0 Daarui volg da p e q De oplossig is dus y C e + C e

18 a Oefeoes ij Hoofdsuk e Je maak ee grafiek ij de ael De vorm va de grafiek zou iderdaad kue passe ij logisishe groei H (i m) (i dage) De maimale hooge va de zoeloeme zal ogeveer m zij I de periode va zeve o e me veerie dage a he izaaie verduel de hooge ogeveer Dus de groeifaor per zeve dage is De groeifaor per dag is 7 ogeveer, 0 d Je eem wee waaremige, ijvooreeld H( ) e H( ) 8, Ui deze e 8, + K e gegeves volg me de formule voor logisishe groei da + K e + K e, 7 8, Je ku di selsel vergelijkige herleide o + K e, 97 K e Daarui volg K e Dus K e K e 0, 97 0, 7 0, 7 0, 97 e De algemee oplossig is H( ) +, K e l 8, 09 8, 09 Dus l 8, 09 0, 0 De radvoorwaarde is H( 7) 8 Daarui volg de vergelijkig 8 Dus + K e, + 0 K e, 8 e K,, dus K e 0, 7, De gevraagde formule is e 0 7 H( ) +, e 0, 0 7 a De wee lieaire fuies zij y e y + De lijelemee waarva de ijehorede pue op éé va deze wee lije ligge, hee allemaal dezelfde rihig als de eide lije Je ku di orolere door e edeke da voor elk va eide lije gel d y e ovedie gel ( y) d( y) Me de keigregel krijg je y ( y) ( y) ( y ) 7

19 Oefeoes ij Hoofdsuk e Om uigpue e vide moe je oplosse y 0 Di is oder adere he geval als y 0, dus als y Elk pu op de lij y ree dus op als uigpu va de oplossigskromme die door da pu gaa Er zij dus oeidig veel oplossigskromme me zo uigpu d I he lijelemeeveld zie je da de rihige va de lijelemee seeds eer lijke op de rihig va de lij y aarmae de pue diherij deze lij gekoze worde dy a y ( + ) ( + ) y y Dus he klop Als y( ), da gel ( + ), dus ( + ) Hierui volg da + of +, dus of 9 a Sheide va de variaele geef : d y si Door e primiivere vid je y l y os + C Di ku je herleide o y C e os Als y( 0), da is C e, dus C e De oplossig is dus y e os Door sheide va de variaele vid je, da d y ( + ) Je primiiveer e y vi + + C Daarui volg y y + + C Vervolges ereke je C door op e losse C Daarui volg C a Je los op + 0 e y 0, dus e y He siguliere pu heef dus de oördiae (, ) De vergelijkig d y + y geef ( y ) +, y + e y + De isolie is dus de lij me vergelijkig y + me uizoderig va he siguliere pu, wa i da pu esaa de hellig ie Sheide va variaele geef ( y ) dy ( + ) d Door e primiivere vid je y y + + C Omda he pu me oördiae (, ) op de oplossigskromme moe ligge, gel da + + C Daarui volg C + 0, dus C De oplossig is dus y y + Deze vergelijkig ku je shrijve als y y +, y y of als ( + ) ( y ) Di is vergelijkig va ee hyperool a y a si + os y' a os si y'' a si os Ivulle geef: y'' + y a si os + a si + os 0 Di klop Ivulle va de oördiae va he pu ( π, ) geef a si π+ os π a, dus a Als je de oördiae va he pu ( π, ) ivul, krijg je de vergelijkig a si π + os π, dus De oplossigskromme heef dus de vergelijkig y si os 8