Proefversie Natuurkundeboek

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Proefversie Natuurkundeboek"

Transcriptie

1 Proefversie Nuurkundeboek Deel: mechnic en rekenen Sudenensuppor.nl - 4 okober 6 Recies grg nr

2 A NATUURKUNDE I.IMPULS, KRACHTEN, ENERGIE De ween vn Newon. Impuls 3 / Impulsbehoud / De ween vn Newon opnieuw /. Krchen 6 / Veldkrchen: - Grviie - Elekrische krch - Elekrische veldserke - Homogeen elekrisch veld - Mgneische krch - Lorenzkrch / Conckrchen: Normlkrch - Veerkrch - Schuifwrijving - Rolwrijving - Vormweersnd - Viskueze wrijving - Spnkrch / Resulerende krch - Vecorsom - Middelpunzoekende krch 3. Energie 3 / Kineische energie / Roie-energie / Arbeid / Poeniële energie / Veerenergie / Trillingsenergie II. RECHTLIJNIGE BEWEGINGEN 6. Bsisbegrippen 6 / Coördinsseem en siuieekening / Grfieken inerpreeren / Eremen, differeniëren en inegreren - Verplsing en fgelegde weg - Snelheid, gemiddelde en momenn - Versnelling, gemiddeld en momenn - Gemiddelde berekenen me inegrl - Verplsing en plsfuncie - Snelheidsverndering en snelheidsfuncie - Overzich vn formules. Bewegingsvergelijkingen / F: eenprige beweging - Inhlen, relieve snelheid - Alernief: nieuw refereniesseem / Fconsn: eenprig versnelde beweging - Vlversnelling en vericle worp - wee vericle bewegingen - discriminnformule / F-C: hrmonische rilling / F-qv: viskeuze wrijving - Vrije vl in een vloeisof / F-cv : vormweersnd / Numeriek inegreren, mehode vn Euler III. KRACHTEN EN BEWEGING IN DIMENSIES 3. Refereniessemen 3 / Inerilselsel - Schijnkrch. Vrije-lichmsdigrmmen 33 / Eén sseem - Wrijving op een helling / Twee deelssemen - Derde we vn Newon - Twee digrmmen - Cirkelbeweging 3. Momen en roie 36 / Evenwichsvoorwrden / Vrije-lihcmsdigrm voor een uigebreid lichm 4. Bewegingen in dimensies 38 / Prmeervoorselling / Onbinden in componenen / Horizonle worp / Worp in willekeurige riching / Cirkelbeweging / B WISKUNDE 4 I. REKENEN 43. Breuken 43 / Opellen, frekken / Splisen / Vermenigvuldigen, delen. Hkjes wegwerken 43 / Hkjes / Bijzondere producen 3. Worels 44 / Rekenregels 4. Mchen 44 / Definiie / Rekenregels / Weenschppelijke noie / 5. Logrimes 46 / Definiie / Rekenregels 6. e-mchen en nuurlijke logrimes 46 / Definiie e en ln / Rekenregels 7. Meekunde 47 / Gelijke en complemenire hoeken / Hoeken en zijden in een driehoek / Bsis en hooge vn een driehoek / De norml / Oppervlke- en inhoudsformules 8. Goniomerische funcies 49 / Definiie sinus, cosinus, ngens / Definiie rcsin, rcn / Prmeervoorselling vn een cirkelbn / Definiie rdil / Veelvoorkomende wrden vn sin en cos / De grfieken vn sin en cos / Periodieke oplossingen / Fse en gereduceerde fse / Rekenregels 9. Oplossen vn vergelijkingen 5 / Een vergelijking me een onbekende / Twee vergelijkingen me onbekenden / Tweedegrdsvergelijking. Benderingen 56 / Bij producen / Bij mchen / Bij kleine hoeken II.DIFFERENTIËREN, INTEGREREN, DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 58 Funcies 58 / Smbolen / Meerdere vribelen / Limie Differeniëren, fgeleide 59 / Afgeleide, differenilquoiën / Afgeleide funcie, differeniëren - Punnoie / Prieel differeniëren / Regels voor differeniëren / Keingregel Inegreren, primiieve 6/ Inegrieconsne / Inegrl ls oppervlk / Een beplde inegrl berekenen / Lijs me fgeleiden en primiieven 6 Differenilvergelijkingen 6 / Tpering DV - Orde - Lineir/nie-lineir - Homogeen/inhomogeen / Oplossen vn een lineire DV - Inegrie - Scheiden vn vribelen - Krkerisieke vergelijking - Mss-veersseem / Mehode vn Euler III. VECTOREN 67. Vecoriële grooheden 67 / Verschuiven / Opellen / Onbinden in componenen / Eenheidsvecor. Som- en verschilvecor 69 / Somvecor / Verschilvecor / 3. Vecorproducen 7 / Produc me een sclr / Inproduc / Rekenregels inproduc / Uiproduc - berekenen me sinus - berekenen me componenen / Rekenregels uiproduc / 4. Differeniëren me vecoren 75 / Differeniëren nr de ijd / Rekenregels differeniëren / Differeniëren nr de pls: Nbloperor - Grdiën -Divergenie - Roie

3 I. Impuls, krchen, energie De ween vn Newon De grondlegger vn de heorie vn de bewegingen vn lichmen is Newon. De drie ween die hij formuleerde behoren o de bsissof vn de nuurkunde in he voorgeze onderwijs: De eerse we is de rgheidswe: ls F, dn is v consn. De grooe en/of de riching vn de snelheid vn een lichm vernder lleen ls er vn buien f een krch op werk. De weede we sel: F m. Een lichm wrop een krch F word uigeoefend, krijg een versnelling die evenredig is me F en dezelfde riching heef. De derde we luid F. F B, A A, B Als B een krch op A uioefen, dn oefen A op B een even groe krch in egengeselde riching ui. De eerse en weede we vn Newon worden in he voorgeze onderwijs voorgeseld ls een relie ussen een krch en de snelheid respecievelijk de versnelling. Di is nie de vorm wrin Newon deze ween oorspronkelijk preseneerde. In pls vn de begrippen snelheid en versnelling gebruike hij he meer fundmenele begrip impuls.. Impuls De impuls p vn een lichm is he produc vn de mss m en de snelheid v. De impuls heef behlve een beplde grooe ook een riching. He is een vecorgrooheid: p mv. Om je de impuls vn een lichm voor e sellen, kun je denken n de soo die he een nder lichm kn geven o he sils. Bij dezelfde snelheid kn een zwr lichm een groere soo geven dn een minder zwr lichm, he heef een groere impuls. Impulsbehoud de ween vn Newon opnieuw I. De se we vn Newon houd in d de impuls vn een lichm consn blijf zolng he geïsoleerd is vn de omgeving: p consn. Geïsoleerd vn zijn omgeving beeken d er vn buien f geen krch op werk. II. De de we vn Newon sel d een wisselwerking ussen een bewegend lichm en zijn omgeving leid o een verndering vn de impuls dp. Op grond vn deze we is een definiie vn 3

4 krch mogelijk. Krch is nmelijk de serke vn de wisselwerking, ofwel de impulsverndering per seconde: dp F. d Herschrijven vn deze uidrukking leid o de formule die in he voorgeze onderwijs gebruikelijk is en meesl voor bewegingsvergelijkingen word gebruik: dp d( mv) dv F m m. d d d III. De 3 de we vn Newon houd in d bij een wisselwerking ussen een lichm en de omgeving de ole impuls behouden blijf. Sel je ls omgeving een weede lichm B voor d egen A nsoo. Smen kun je A en B ls één geïsoleerd sseem (lichm) beschouwen. Volgens de se we vernder vn di sseem de (ole) impuls nie. Er geld: p consn. Wel kunnen A en B onderling impuls uiwisselen. p A p B. Neem de impuls vn de een oe, dn neem de impuls vn de nder in gelijke me f. Omd de wisselwerking voor beide lichmen even lng duur, oefenen volgens de de we A en B op elkr een even groe krch in egengeselde riching ui: F AopB F BopA. Voorbeeld impulsbehoud Een roeiboo (M 8 kg) lig sil in he wer. Iemnd (M 7 kg) spring er in me een snelheid v 3 ms -. De lnding in de boo duur,6 s. Welke snelheid hebben de boo me inziende n de sprong? Een welke krch word ijdens de lnding op de boo uigeoefend? M M v Figuur Boo voor de sprong 4

5 M + M u Figuur Boo n de sprong Voor de sprong is de ole impuls: p p + p M + M v M v De ole impuls n de sprong is hiern gelijk: p ( M + M ) u M v M Hierui volg: u v M + M 7 Invullen vn de gegeven wrden: u 3, 84 ms De impulsverndering vn de boo is p M u M 8,84,5 kgms. dp En de krch is F 5,5 N. d,6 5

6 . Krchen Op een lichm kunnen zowel veldkrchen ls conckrchen werken. Veldkrchen Vn veldkrchen word gezegd d ze op fsnd werken, d.w.z. zonder conc ussen de lichmen en zonder hulp vn een medium. Di geld voor de grviie en de elekromgneische krch. De grviiekrch en de elekromgneische krch zijn fundmenele nuurkrchen, d.w.z. ze zijn nie ui ndere krchen e verklren. De elekromgneische krch bes ui wee componenen, die we hier fzonderlijk beschrijven. Grviie De grviiekrch is de onderlinge nrekkingskrch ussen lichmen op grond vn hun mss. De grooe vn de grviiekrch ussen wee lichmen me de mss s m en m hng f vn de fsnd ussen de middelpunen r: mm F g G r Hierin is m de mss in kilogrmmen en is G de consne vn Newon. Een lichm me mss m ondervind een grviiekrch vn lle ndere mss s in de kosmos. Smen vorm die overige mss een grviieveld d zich over de gehele kosmos uisrek. De riching en grooe vn d veld word in elk pun gegeven door een grviieversnelling g. Dn is: m g F g Op rde word he grviieveld gedomineerd door de mss vn de rde M. Drdoor is he bij goede bendering nr he middelpun vn de rde gerich en is de grooe M - g G 9,8 ms. r Elekrische krch De elekrische krch is de onderlinge krch ussen lichmen op grond vn hun elekrische lding. De lding q kn posiief of negief zijn. Tegengeselde ldingen rekken elkr n, gelijknmige ldingen soen elkr f. Ne ls de grviiekrch neem de krch ussen wee ldingen me r f: qq F e f r De grooe vn de krch is fhnkelijk vn he medium wrin de ldingen zich bevinden. In vcuüm is f 8, Nm C -. De eenheid vn lding is de Coulomb, de kleins voorkomende lding (elemenire lding) is die vn he elekron: e,6. -9 C. 6

7 De elekrische krch per Coulomb is een fcor groer dn de grviiekrch per kg. Onderlinge krchen ussen voorwerpen op rde zijn overwegend elekrische krchen. He lichm me lding q ondervind een elekrische krch vn lle overige ldingen in de omringende ruime. Smen vormen die overige ldingen een elekrisch veld d zich overl in de ruime uisrek. De riching en grooe vn di veld word in elk pun gegeven door een elekrische veldserke E. De krch is dn: q E. F e Ui beide voorfgnde formules volg d de grooe vn de elekrische veldserke in de ruime om een enkele lding q gelijk is n q E f. r De riching vn E is de riching die de krch op een posiieve lding zou hebben. Voorbeeld: de elekrische veldserke Bij wee (of meer ) ldingen q moeen de fzonderlijk velden vecorieel worden opgeeld. Zie hiervoor evenueel hoofdsuk II-3. In elk pun is er mr één (resulerende) veldserke: E. q E + som r E E som + Q α r Q β Figuur 3 De elekrische veldserke in een pun In figuur 3 lig de -s lngs de verbindingslijn vn de wee ldingen en de -s s dr loodrech op. De veldserke is E som E + E E + E fq De componenen vn E r )ˆ i + ( E + E (,,,, zijn fq fq E, cosα en E sinα,. r r ) ˆj Onbind vervolgens ook E in componenen me behulp vn de hoek β (die in dezelfde dririching.o.v. de s ls α is gedefinieerd) en me een negieve wrde voor q. Tel de componenen in de - en de -riching bij elkr op o en. Bereken de grooe vn E som E som, + E som, E som me E som, E som, 7

8 en de hoek γ vn E som me de -s me Esom, γ rcn. E som, Voor he beplen vn de veldserkes in een grviieveld of een mgneisch veld word een vergelijkbre werkwijze oegeps. Homogeen elekrisch veld ussen wee plen Een qu grooe en riching consne elekrische veldserke verkrijg men door ussen wee vlkke plen op (relief kleine) fsnd d een spnningsverschil V e zeen. De riching vn he V veld is loodrech op de plen vn de hoge nr de lge poenil en de grooe is: E. d Men noem di een homogeen elekrische veld. Mgneische krch De mgneische krch is een zijwrse krch op een lichm in een mgneisch veld op grond vn zijn elekrische lding en de riching en grooe vn zijn snelheid. De krch word ook Lorenz-krch genoemd. Elke bewegende lding heef een mgneisch veld om zich heen. In een ruime me meerdere bewegende ldingen is he resulerende mgneische veld in een pun de (vecor)som vn de mgneische velden vn de fzonderlijke ldingen. De riching en de grooe hiervn worden in elk pun gegeven door een mgneische inducie B. De krch op een lichm me een lding q en een snelheid v volg ui he uiproduc vn v en B (zie hoofdsuk II- 3): F L qv B of ls he lleen om de grooe g: F L qvb sinα wrin α de hoek is ussen v en B. De krch s loodrech op v en B. Drom leid die nooi o he versnellen of fremmen vn he lichm, mr lleen o he fbuigen vn zijn bn. In een ruime wr de riching en de grooe vn B consn zijn (homogeen mgneisch veld) en een lichm loodrech op de mgneische veldlijnen beweeg, is de Lorenz-krch consn en s die lijd loodrech op de bn. He lichm beschrijf dn een eenprige cirkelbeweging me een srl mv r. Bq Voorbeeld: de Lorenz-krch 8

9 Neem n d en gevolge vn een spnningsverschil elekronen een snelheid vn 3. 6 ms - in weselijke riching krijgen. Welk effec heef he rdmgneische veld op de elekronen? De inclinie vn he rdmgneische veld is 5 en de serke T. -e( v ) B v B v o 5 B Uiwerking: He rdmgneische veld veroorzk een Lorenz-krch op elk elekron e( v B) F L en die lig - ne ls vecor B - in he vericle vlk loodrech op de snelheid v. Bepl eers de riching vn ( B v ) me de recherhndregel. De vecor v B s loodrech op he vlk door v en B, d 5 is gekneld en opziche vn he horizonle vlk. Bepl de riching vn de Lorenz-krch. Omd elekronen een negieve lding hebben is die egengeseld n de riching vn ( B v ) : F L mk een hoek vn 4 omhoog me de horizonl nr he Noorden. De grooe is: qvb sinα, me α 9 F L Dus F L, sin 9. N, wrui de versnelling kn worden berekend. 3 6 mv 9,. 3. De fbuigingssrl is r 4. m. Bq ,6. Conckrchen In deze prgrf sommen we een nl krchen op die in prkische siuies vk voor komen. He zijn geen fundmenele nuurkrchen, omd ze lle op microscopisch een diepere (elekrische) oorzk hebben. Hierop gn we verder nie in. Normlkrch Als wee lichmen egen elkr zijn gedruk oefenen ze op elkr een krch ui. Men onbind de krch op een lichm in een componen loodrech op he concoppervlk en een lngs di oppervlk. De componen loodrech op he concoppervlk hee normlkrch en word ngeduid me F N. De componen evenwijdig n he concoppervlk hee wrijvingskrch. Zie de figuur bij schuifwrijving. He onbinden in componenen of he vecorieel opellen vn componenen word beschreven in hoofdsuk II-3 over vecoren. 9

10 Veerkrch Een vs lichm kn een normlkrch uioefenen omd he zelf word ingedruk en he rooser wrui die sof bes zich egen he indrukken verze. Voor lle vse lichmen zijn er wrden voor de indrukking wrvoor de we vn Hooke geld C. F Hierin is F de krch wrmee he lichm zich egen indrukken verze en is C de krchconsne. De krchconsne is groer nrme he lichm meer elsisch is. Voor welke wrden vn de we vn Hooke geld, hng f vn de merileigenschppen en de consrucie vn he lichm. F Figuur 4 Veerkrch Schuifwrijving F N F W µ F N F z Figuur 5 Wrijving op een helling De wrijvingskrch F W ussen wee lichmen die lngs elkr schuiven is rech evenredig me de normlkrch F N wrmee ze egen elkr worden gedruk: F µ F. W.d d N Hierin is µ d de dnmische wrijvingscoëfficiën. Deze hng f vn de eigenschppen vn de oppervlkken. De inde d en de oevoeging dnmisch geven n d deze coëfficiën berekking heef op oppervlkken die en opziche vn elkr bewegen. Bij silsnd vnf F neem de F W gelijk me F oe (he lichm blijf immers in rus). In di sdium spreek men vn sische wrijvingskrch. De oppervlkken gn en opziche vn elkr bewegen ls een beplde mimle wrde F W,m word overschreden: F µ. W, m sfn Hierin is µ s de sische wrijvingscoëfficiën. Ook µ s hng vn de eigenschppen vn de oppervlkken f. Alleen is µ s ies groer dn µ d. Men kn zich hierbij voorsellen d de

11 oneffenheden vn de oppervlkken nvnkelijk in elkr hken en vn elkr moeen worden losgerokken. En zolng de oppervlkken in beweging blijven, vllen ze nie weer heleml in de oude siuie erug. Vnwege di verschil is een groere krch nodig om ies in beweging e zeen, dn om he in beweging e houden. Een lichm kom hierdoor lijd me een schok in beweging, er is op d momen immers een krch F w ( µ s µ d ) FN die he lichm een versnelling geef. Wrijving ussen Sisch µ s Dnmisch µ d Rol µ r Rubber en beon (n),3,5 Rubber en beon (droog),,8 ±,5 Sl en sl,7,6, á, Gls en gls,9,4 Teflon en sl,4,4 Tbel Wrijvingscoëfficiënen Rolwrijving Ook de rolwrijvingskrch Fr is rech evenredig me de normlkrch. Me µ r voor de rolwrijvingscoëfficiën is F rol µ r FN. De rolwrijvingscoëfficiën is veel kleiner dn de coëfficiënen voor de schuifwrijving. Ook bij rolwrijving is er verschil ussen de sische en dnmische wrijving. Drom verrek een rein die begin e rijden, of een zwre kr, vk me een merkbre schok. Vormweersnd Een nder pe conckrch dn hiervoor is beschreven, is de vormweersnd die een lichm ondervind ls he me een beplde snelheid door een medium beweeg. Drbij bos he immers me de moleculen wrui he medium bes. Een zekere hoeveelheid ervn word gedwongen mee e bewegen en hiervoor word kineische energie n he lichm onrokken. Deze weersnd in he medium kn worden uigedruk in een vormweersndskrch (ook vk wrijvingskrch genoemd): FW ρcav. Hierin is ρ de dichheid vn he medium, v de snelheid, A he oppervlk vn de groose dwrsdoorsnede vn he lichm loodrech op de bewegingsriching en C is een consne die vn de sroomlijn vn he lichm fhng. Viskeuze wrijving In een eerder hoofdsuk is l de wrijvingskrch beschreven die een lichm ondervind ls he door een gs of vloeisof beweeg. De krch is evenredig me de snelheid en fhnkelijk vn de geomerie vn he lichm. Voor een bol geld de we vn Sokes. Zie hoofdsuk I-: sroming. Spnkrch

12 De rekkrch vn een ouw op een lichm d er n hng, heef dezelfde oorsprong ls de normlkrch wrmee een lichm een nder onderseun. De moleculen vn de sof wrui he ouw bes verze zich egen vervorming, zowel egen indrukken ls egen uirekken. Over een klein rjec is de uirekking rech evenredig me de krch en geld de we vn Hooke. Vk mogen de mss en de rekbrheid vn he koord worden verwrloosd. Mr soms heef he ouw wel degelijk invloed op de beweging. Bijvoorbeeld, bij bungeejumpen is een rekbr ouw essenieel en is ook de mss nie verwrloosbr. De mss vn he ouw zorg d de springer een versnelling groer dn g (vrije vl) krijg. Resulerende krch Vecorsom De versnelling vn een lichm hng volgens de weede we vn Newon f vn de som vn lle krchen op d lichm: F m. Me som word de vecorsom bedoeld. In hoofdsuk II-3 over vecoren word beschreven hoe die word uigerekend. Bij he oplossen vn problemen is he belngrijk de krchvecoren goed e visuliseren. Di gebeur in een vrije-lichmsdigrm, wrover de volgende prgrf g. Middelpunzoekende krch De middelpunzoekende krch bij een cirkelbeweging kn nie in een dem worden genoemd me de genoemde veld- en conckrchen. De kwesie is: een cirkelbeweging is lleen mogelijk indien de resulerende krch middelpunzoekend is. De middelpunzoekende krch is geen bijdrge n de resulerende krch mr een mogelijk kenmerk ervn. Voor een eenprige cirkelbeweging vn een mss m me srl r, bnsnelheid v of hoeksnelheid ω is een resulerende krch vereis die voldoe n: mv F mω r of F. r

13 3. Energie Kineische energie Een bewegend lichm heef louer op grond vn de mss m en de grooe vn de snelheid v een hoeveelheid energie - de kineische energie of bewegingsenergie: E k mv. Di is de energie die in de vorm vn rbeid moes worden oegevoerd om he lichm vnui rus de snelheid v e geven, of -omgekeerd- de rbeid die he lichm louer op grond vn zijn beweging kn verrichen od he sils. Energie is een sclire grooheid, zie hoofdsuk II-3. Roie-energie Roie-energie is een bijzondere vorm vn kineische energie. Alleen uigebreide lichmen die om een bepld pun drien, hebben roie-energie. Drbij is belngrijk hoe de mss over he lichm is verdeeld en opziche vn he dripun. De beschrijving hiervn vl buien he besek vn di boek en kom in eersejrscolleges over mechnic n de orde. Arbeid Arbeid is he inproduc vn de krch F en de fgelegde weg s : W F ds. bn Zie voor inproduc hoofdsuk II-3. In he eenvoudige gevl vn een rechlijnige beweging wrbij de krch F de riching vn de posiieve -s heef, is: W F. En ls de krch een hoek α me de posiieve -s mk, dn is: W F cosα F α Figuur 6 Arbeid F.cosα An de hnd vn de voorgnde figuur is duidelijk d een krch loodrech op de bewegingsriching geen rbeid uioefen. Di geld voor de zwrekrch en normlkrch bij 3

14 een beweging lngs een horizonle lijn, of voor de middelpunzoekende krch bij een cirkelbeweging. F W S F Z Figuur 7 Arbeid 'lngs de bn' Voor he beplen vn de rbeid moe je eers nr de fgelegde weg s kijken, nie nr de verplsing. Le in de figuur op he verschil ussen de rbeid vn de zwrekrch F Z en die vn de luchweersnd F W op een lichm S in een vericl opgeseld rd. N omweneling is W Fw πrf (erwijl de verplsing n omweneling nul is). W Voor de rbeid vn de zwrekrch in di voorbeeld geld n omweneling W FZ, nie omd de verplsing nul is, mr omd de inegrl vn de projecies vn FZ lngs de bn nul is. Poeniële energie In de figuur rbeid lngs de bn is er nog een verschil ussen de rbeid vn de zwrekrch en die vn de luchweersnd: de luchweersnd verrich lijd negieve rbeid en de zwrekrch verrich fwisselend posiieve en negieve rbeid. Di proces is omkeerbr. Bij he omhooggn word poeniële energie opgebouwd en ijdens he neergn word die in kineische energie omgeze. De poeniële energie engevolge vn de zwrekrch hng f vn de hooge: E P mgh. Hierin is m de mss, g de vlversnelling en h de hooge en opziche vn een refereniepun. He refereniepun mg willekeurig gekozen worden. He kn he middelpun vn de rde zijn, de grond of he lgse pun vn een beweging. In de lse figuur lig de keuze vn de lgse posiie voor de hnd. Ui de formule volg d een lichm overl op dezelfde hooge dezelfde poeniële energie heef. Di beeken d voor de berekening vn de rbeid vn de zwrekrch lleen he hoogeverschil (en nie de fgelegde weg of verplsing) vn belng is. 4

15 Als er behlve de zwrekrch geen enkele ndere krch werk is de som vn de kineische en poeniële energie consn: E E consn P + K Ne ls de mss in een zwrekrchveld kn een elekrische lding poeniële energie in een elekrisch veld hebben. Veerenergie Omkeerbr is ook de uiwisseling vn kineische energie en veerenergie. Bij verplsingen u wrbij de we vn Hooke ( Cu ) geld, is de veerenergie E V ku. F u Afleiding: A o F du A Cu du Cu A CA o Trillingsenergie De rillingsenergie vn een lichm me mss m d een hrmonische rilling uivoer me mpliude A en frequenie f is: Er mω A. Hierin is ω πf. De fleiding is mogelijk op mnieren: De rillingsenergie is de mimle kineische energie me in he volgende hoofdsuk): E r mv m mω A De rillingsenergie is ook gelijk n de mimle veerenergie: vm ωa (zie hrmonische rilling E r CA. C C volg ui de voorwrde voor een hrmonische rilling (zie he volgende hoofdsuk): ω. m 5

16 II. Rechlijnige bewegingen. Bsisbegrippen Coördinensseem en siuieekening He beschrijven vn een beweging houd in d je voor elk ijdsip de pls ngeef. Di begin lijd me he kiezen vn een coördinensseem. W is de riching vn de (posiieve) -s? Wr is de oorsprong? Kies bij een rechlijnige beweging de -s zo d de beweging lngs de s pls vind. Geef in een schemische siuieekening de belngrijkse kenmerken vn de beweging weer: de oorsprong, de -s, de pls vn he lichm op een zeker ijdsip, de verplsing of (begin)snelheid e.d. O + s Grfieken inerpreeren Er word gebruik gemk vn grfieken voor de pls-, de snelheids- of de versnellingsfuncie. Inerpreeer een grfiek nie e snel. Bedenk lijd eers me welke funcie je e mken heb, dus le op de grooheden lngs de ssen. Zie bijvoorbeeld de ondersnde grfiek. Ps ls je wee welke grooheid lngs de vericle s s, kun je nwoord geven op de volgende vrgen: W beeken een negieve wrde? W is er op n de hnd? W beeken he sijgen/dlen vn de grfiek? W beeken de ereme wrde op?? Als lngs de vericle s de pls uis, dn sl de grfiek op een beweging die links vn de oorsprong begin, op door de oorsprong g en op omkeer riching oorsprong. He zou 6

17 een bl kunnen zijn die je omhoog gooi en erugvl. O s S lngs de vericle s de snelheid ui, dn g he om een beweging die eers verrgd nr links g, op omkeer, versnel o en drn verrgd verder g. Op welke plsen di lles gebeur, kun je nie n de v--grfiek zien. s He is ook hndig om eers zelf een --digrm e ekenen; je moe dn wel fspreken op welke posiie o he voorwerp op is. Eremen, differeniëren en inegreren De pls, de snelheid v en de versnelling ls funcie vn de ijd worden voorgeseld door funcies en grfieken. In he voorgeze onderwijs leer je - d een funcie een ereme wrde heef ls de fgeleide vn die funcie nul is. Bijvoorbeeld 4,9 9,8 heef een mimum bij 4,9 9,6 - d je door differeniëren vn de plsfuncie de snelheidsfuncie v vind en vervolgens de versnellingfuncie - d door inegreren een snelheidsverndering v respecievelijk verplsing v respecievelijk word verkregen. Hieronder word di eers smengev. Zie voor differeniëren en inegreren ook hoofdsuk II-.. ui Verplsing en fgelegde weg De verplsing vnf he ijdsip in een ijdsinervl + is: In de geekende siuie is bij een verplsing nr links negief. Als dezelfde weg heen en erug word fgelegd, is de verplsing. De reche srepen geven n d ol de bsolue wrde word genomen. De fgelegde weg is echer lijd posiief en voor een beweging heen en erug geld: s +. Snelheid, gemiddeld en momenn De gemiddelde snelheid is v gem. 7

18 + In he digrm hierns is di de richingscoëfficiën vn de koorde die hoor bij. (De koorde is nie een verplsing!) Bedenk d de gemiddelde snelheid nie hezelfde is ls de gemiddelde bnsnelheid. Als s dezelfde weg heen en erug word fgelegd zijn en v gem, mr >. De momenne snelheid is: d v of v d In he digrm is di de richingscoëfficiën vn de rklijn op. Versnelling, gemiddeld en momenn Op vergelijkbre mnier zijn de gemiddelde en momenne versnelling v gem dv d nders geschreven: v d d Voorbeeld Sel d de pls-ijd-funcie gegeven is ls: (4 + ) m. Hierui volgen door een respecievelijk wee ml differeniëren de snelheidsfuncie en de versnellingsfuncie v ( 8 ) ms - v 8 ms - Op 3 s is: v 3 3 ms ms - 8

19 Gemiddelde berekenen me een inegrl Op de pgin s hiervoor werd de gemiddelde snelheid fgeleid ui een definiie uignde vn de verplsing: v gem. Soms is geen verplsing bekend, mr lleen de snelheidsfuncie. In d gevl kn he gemiddelde vn v over een periode ui de inegrl vn de v -funcie of -grfiek worden fgeleid. In he v -digrm vorm me he inervl de grfiek vn de funcie (zie HII, p..): v gem v v gem v d. vgem een even groo oppervlk ls Hiermee beplen we in he inervl. In he lgemeen geld voor een funcie q d he gemiddelde vn q over een inervl p gelijk is n hooge ussen wee plsen in een lndschp. p q pdp. He geld bijvoorbeeld ook voor de gemiddelde p p Verplsing en plsfuncie We schrijven nu voor de pls + vgem en in he lgemeen: + v d 9

20 Voorbeeld Sel d lleen de snelheidsfuncie v 8 gegeven is. Dn geef inegreren: ( 8 ) d (4 ) 4 + C. Merk op d de funcie v geen informie bev over de pls ijdens een beweging, mr lleen over de verplsing. Voor he berekenen vn plsen moeen er informie zijn gegeven (bijvoorbeeld ). Indien voor pg.. v een funcie bekend is, dn kn die worden geprimiiveerd. Zie ook hoofdsuk II-, Snelheidsverndering en snelheidsfuncie De versnellingsfuncie kn vergelijkbr n de prgrf hiervoor worden behndeld: gem d v v + gem en in he lgemeen: v v + d Ook hier geld d bij he berekenen vn de inegrl een inegrieconsne verschijn en voor de beginsnelheid v een ndere informiebron nodig is. De funcie geef lleen informie over de snelheidsverndering, nie over momenne snelheden.

21 Voorbeeld Als we uign vn de grfiek vn c en inegreren vnf dn volgen n een respecievelijk wee keer primiiveren: de snelheidsfuncie: v v + d v + ) v + + ( C (sel hier C ) en de plsfuncie: + ( v + ) d + ( v + ) + v + + C (sel ook C. ) De snelheidsfuncie en de plsfuncie zijn ps volledig is ls behlve de versnelling nog de wrden voor en v gegeven zijn. Overzich vn formules Differeniëren v gem v gem Inegreren Gemiddelde, lgemeen d v v d dv d v d d q gem p v gem vd + gem d v v + Bij consne versnelling: versnellingsfuncie c snelheidsfuncie plsfuncie p v v + + v + qdp v d d

22 . Bewegingsvergelijkingen Ui F m - de weede we vn Newon - volg d de resulerende krch bepl op welke mnier de beweging vn een lichm vernder. In he voorgeze onderwijs komen wee pen bewegingen uivoerig n de orde: * de eenprige beweging wrbij F en nul zijn en vconsn * de eenprig versnelde beweging wrbij F en consn zijn en vv +. En ook word geleerd d een sinusvormige rilling ons ls F en -k. In universiire cursussen zoek men eers een uidrukking voor de resulerende krch F RES. Drui volg de versnelling die geschreven word ls de weede fgeleide vn de pls. De weede we vn Newon word dn geschreven ls: d FRES d m Di is de bewegingsvergelijking vn he lichm. In de wiskunde noem men di een differenilvergelijking (fgekor DV), in di gevl een (nie-homogene) lineire DV vn de de orde. Snelheid en pls vind men vervolgens door een of weeml e inegreren. In he lgemeen is de resulerende krch op een lichm nie consn en fhnkelijk vn de pls, de snelheid of de ijd. Di leid o llerlei pes DV en o llerlei oplossingsmehodes. Zie hfd II-.. Voor he oplossen vn DV s is wiskundekennis nodig, plus enige ervring, w creiviei en de bereidheid o uiproberen. Hieronder geven we enkele problemen en me hun oplossing. We beperken ons o DV s die me kennis vn de vwo-wiskunde kunnen worden opgelos. F : eenprige beweging Me F word de bewegingsvergelijking: d d Deze - mees eenvoudige - lineire DV vn de de orde is homogeen. (Zie hfd II-)Tweede orde omd de hoogse fgeleide die voorkom de de fgeleide is; homogeen omd de nie vn fhnkelijke erm is nul is. De oplossing ken je. N wee keer primiiveren krijg je: C C + C en C zijn de inegrieconsnen en we kiezen die zodnig d we verder lleen e mken hebben me de begincondiies: + v. He rekenwerk zl in di gevl weinig moeie kosen. We beschrijven hier een oepssing. Inhlen, relieve snelheid

23 Een eenvoudig probleem: wee lichmen A en B bewegen me consne snelheden in de riching vn de posiieve -s. - - Voor A is A, m en va ms en voor B is B, +4 m en vb 4 ms. Op welk ijdsip word B door A ingehld? v A O A B vb s Voor een oplossingsmehode zie H.II-:. Alernief: kies een nieuw referenieseem Er zijn lineire vergelijkingen me onbekenden: + + m A, A, va B, B, + vb m Kies B ls refereniesseem: B is nu seeds in de oorsprong en heef en opziche vn di seem snelheid. He lichm A is op op 6 m en zijn snelheid en opzic he vn A is 6 ms -. Men noem di de relieve snelheid vn A en opziche vn B. De plsfuncie vn A is nu 6 6 en me, A.o.v.B + volg opnieuw s. Je moe zelf beoordelen of deze mehode hndig is. Om de pls in he oude refereniesseem e berekenen, moe je voor A of B weer erugkeren nr he oude referenieseem (8 m). (Zie ook H.I-4..) F consn : eenprig versnelde beweging Zols genoemd is voor F consn de bewegingvergelijking d F. d m Deze DV is nie homogeen. Zie hfd. II-. De oplossing voor hebben we eerder fgeleid door wee keer inegreren: + v + 3

24 Vlversnelling en vericle worp m F O De vl zonder wrijving vn een lichm wrop lleen de zwrekrch werk is een voorbeeld vn een beweging wrvoor de zojuis beschreven bewegingsvergelijking geld. Kies eers: - he refereniesseem (hier: de rde) - de posiieve -s (hier: vericl omhoog) - de oorsprong (hier: bij de grond). Bij deze fsprken is de versnelling g 9, 8 ms - en de plsfuncie: Is + v 4, 9 v, dn spreek men vn een vericle worp. In he gevl d v > heef de beweging een hoogse pun. Deze ereme wrde word bereik op he ijdsip wrop, di wil zeggen ls v 4,9 Zie verder voor kenmerken vn deze de grdsvergelijking en een voorbeeld me een vericle worp: hfd. II-.. Twee vericle bewegingen - discriminnformule Een bllon dl me v ms -. Als de mnd op 36 m hooge is, sl iemnd vnf de grond een ennisbl rech omhoog. Die rk de mnd ne nie. Verwrloos de luchweersnd vn de bl. Neem voor g ms -. Bereken de beginsnelheid vn de ennisbl. 4

2.1 Het differentiequotiënt

2.1 Het differentiequotiënt hoodsk : Diereniëren. He dierenieqoiën Me een ncie kn je de onwikkeling n een grooheid beschrijen. Neem bijoorbeeld een schoonspringer die n de ienmeerplnk spring. Als je de lchwrijing erwrloos, kn je

Nadere informatie

A P E L D O A POE RL N D O O R N

A P E L D O A POE RL N D O O R N 58 Roues Apeldoorn Apeldoorn roue Apeldoorn roue R v e n w e g R v e n w e g 0 100 0 200 100 300 200 400 300 500m. 400 500m. 59 A r n h e m s e w e g A P E L D A P O E O L R D N O O R N Z u i d e r p r

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

In samenwerking met. Selexyz.nl

In samenwerking met. Selexyz.nl In smenwerking met Seleyz.nl Frns vn Liempt Ntuurkundeboek B Studentensupport Studentensupport.nl 007 Frns vn Liempt & Studentensupport Downlod grtis op ISBN 978-87-768-5- Studentensupport Studentensupport.nl

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 83 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 19 jan 2005 ANTWOORDEN

Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 19 jan 2005 ANTWOORDEN Tenmen T09 onsrucieechnic 9 jn 005 NTWOORDN O de volgende bldijde is een uigebreide normuiwerking weergegeven. O he enmen mg worden volsn me de essenie. elngrijke omerkingen..v. verbnden en relies ijn

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging Beweging Samenvaing Nauurkunde HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de funcie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de funcie f in he pun 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D) f 0

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

1 Inleidende begrippen

1 Inleidende begrippen 1 Inleidende begrippen 1.1 Wanneer is een pun in beweging? Leg di ui aan de hand van een figuur. Rus en beweging (blz. 19) Figuur 1.1 Een pun in beweging 1.2 Wanneer is een pun in rus? Leg di ui aan de

Nadere informatie

2.4 Oppervlaktemethode

2.4 Oppervlaktemethode 2.4 Opperlakemehode Teken he --diagram an de eenparige beweging me een snelheid an 10 m/s die begin na 2 seconden en eindig na 4 seconden. De afgelegde weg is: =. (m/s) In he --diagram is de hooge an de

Nadere informatie

Snelheid en richting

Snelheid en richting Snelheid en riching Di is een onderdeel van Meekunde me coördinaen en behoeve van he nieuwe programma (05) wiskunde B vwo. Opgaven me di merkeken kun je, zonder de opbouw aan e asen, overslaan. * Bij opgaven

Nadere informatie

Írl* tt- IË" Klopt dat wel? f._. Advertentie-analvse. Ia*' Itr. r '- a*." Lcren denken r"net econornic - llocl Grol. Ir*'

Írl* tt- IË Klopt dat wel? f._. Advertentie-analvse. Ia*' Itr. r '- a*. Lcren denken rnet econornic - llocl Grol. Ir*' r*' - L Írl* - Ë" r r Klop d wel? f._ rg Adverenie-nlvse rë *' rë r _ r'- l* *." Lren denken r"ne eonorni - llol Grol 6l ; ] l, 8. Klop d wel? Adverenie-nlvse Conex n he dgelijks leven worden we overspoeld

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correcievoorschrif VWO 04 ijdvak nauurkunde He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Leon van den Broek, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Aafke Piekaar, Daan van Smaalen. Iddink voortgezet onderwijs bv, Postbus 14, 6710 BA Ede

Leon van den Broek, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Aafke Piekaar, Daan van Smaalen. Iddink voortgezet onderwijs bv, Postbus 14, 6710 BA Ede 7 Rekee Di hoofdsuk is edoeld ls vullig op he oek voor VWO wiskude B Ihoudsopgve 7 Rekee Breuke Worels 8 Rekee i de meekude Rekee i de ksrekeig 7 eerse vereerde eperimeele uigve, juli 008 Colofo 008 Sichig

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden 6 Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Exra oefening - Basis B-a Bij abel A zijn de facoren achereenvolgens 8 : = 6 ; 08 : 8 = 6 en 68 : 08 = 6. Bij abel A is sprake van exponeniële groei. Bij abel

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde 1,2 HAVO

Samenvatting Natuurkunde 1,2 HAVO Beweging Samenvaing Nauurkunde, HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

Opbouw van het boek: overzicht

Opbouw van het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken

Nadere informatie

Keuze van het lagertype

Keuze van het lagertype Keuze vn het lgertype Beschikbre ruimte... 35 Belstingen... 37 Grootte vn de belsting... 37 Richting vn de belsting... 37 Scheefstelling... 40 Precisie... 40 Toerentl... 42 Lgergeruis... 42 Stijfheid...

Nadere informatie

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008 EEKTTET WSSESTOOMTHEOE Technisch nsiuu Sin-Jozef, Wijersraa 28, B-3740 Bilzen ursus : an laesen Versie: 19-10-2008 1 Sooren spanningen en sromen... 3 1.1 Gelijksroom... 3 1.2 Wisselsroom... 4 2 Sinusvormige

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia Oefeningen Elekriciei I Deel Ia Di documen beva opgaven die aansluien bij de cursuseks Elekriciei I deel Ia ui he jaarprogramma van de e kandidauur Indusrieel Ingenieur KaHo Sin-Lieven.. De elekrische

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

6.1 MICHELSON INTERFEROMETER

6.1 MICHELSON INTERFEROMETER 6. MICHELSON INTERFEROMETER Inledng Lch s e beschouwen ls een sroom vn foonen, ls een connue energesroom lngs een srl of ls een elekromgnesche golf. In d hoofdsuk word lch beschouwd ls golf. Wnneer verschllende

Nadere informatie

Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z

Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z Tenamen CT222 Dynamica van Sysemen 25 juni 212 14.-17. Le op: - Vermeld op ieder blad je naam en sudienummer - Maak elk van de drie opgaven op een apar vel Opgave 1 (3 punen) 2 Een bekken (links) me berging

Nadere informatie

Eenparig rechtlijnige beweging. Eenparig versnelde rechtlijnige beweging a. x Steilheid van de raaklijn= v(t) Samenvatting Natuurkunde 1 VWO.

Eenparig rechtlijnige beweging. Eenparig versnelde rechtlijnige beweging a. x Steilheid van de raaklijn= v(t) Samenvatting Natuurkunde 1 VWO. Beweging Samenvaing Nauurkunde VWO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Rust en beweging

Hoofdstuk 1: Rust en beweging Hoofdsuk 1: Rus en beweging 1.1 Rus en beweging zijn relaief Ten opziche van he vlieguig is de passagier in................................................ Ten opziche van he aardoppervlak is he vlieguig

Nadere informatie

Formulekaart Wiskunde havo/vwo

Formulekaart Wiskunde havo/vwo Formlekr Wiskde hvo/vwo Vierksvergelijkig Als! e " 4c #, d worde de olossige v de vierksvergelijkig + + c gegeve door 4c, " ± " Mche e logrime q $ + q ( > ) q ( ) q ( > ) ( $ ) $ (, > ) " ( > ) % (, >,!

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

prouinci renthe ONTWERPBESCHIKKING VERZONNFN - /' FEB. 2O1T r (o592) 16 sl zl bijteam Bodem DR 168100318 gemeente Borger-Odoorn Aanvrager

prouinci renthe ONTWERPBESCHIKKING VERZONNFN - /' FEB. 2O1T r (o592) 16 sl zl bijteam Bodem DR 168100318 gemeente Borger-Odoorn Aanvrager Prov incie h øis rü/eserbrink r, Assen Posdres Posbus rzz, 94oo c Assen www.drenhe.nl r (o592) 16 s r (o592) 16 sl zl prouinci renhe VERZONNFN - /' FEB. 2O1T ONTWERPBESCHKKNG Globiscode Anvrger DR 168100318

Nadere informatie

Voorwoord. Hoofdstukken:

Voorwoord. Hoofdstukken: Voorwoord Di boek behandel de belangrijkse begrippen en mehoden ui de analyse van 'funcies van één variabele' en de analyische vlakke meekunde als een samenhangend geheel Begrippen en mehoden, waarmee

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correcievoorschrif VWO 009 ijdvak wiskunde A, He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei Moderne wiskunde 9e ediie Havo A deel Uiwerkingen Hoofdsuk - Formules voor groei bladzijde 00 V-a = 08, ; 870 08, ; 70 0, 8; 60 00 00 870 70 08,, gemiddeld 0,8 b De beginhoeveelheid is 00 en de groeifacor

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

trétie l g Begerken E E E E E E I 10 E E . Werk ie logboek bij door de naam van de taak en de datum in te vutlen.

trétie l g Begerken E E E E E E I 10 E E . Werk ie logboek bij door de naam van de taak en de datum in te vutlen. Behve rekenen kn xcel veel meer. Zeker wnneer he om groe hoeveelheden gegevens g. Je kun me he progrmm snel ies opzoeken in een nge iis. ln deze k g ie d doen. OpdmchT Logboek bijwerken. Werk ie logboek

Nadere informatie

Vraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid.

Vraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid. Tentmen Duurzme Ontwikkeling & Kringlopen, 1 juli 2009 9:00-12:00 Voordt je begint: schrijf je nm en studentnummer bovenn ieder vel begin iedere vrg op een nieuwe bldzijde ls je een vkterm wel kent in

Nadere informatie

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers? fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid,

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Ontdek de musea van Ede

Ontdek de musea van Ede 12 oerlo museumijzer gemeene ede Ondek de muse vn Ede me hndige overzichskr Verbzen over Europ s mees veelzijdige egelcollecie nederlnds egelmuseum He Nederlnds Tegelmuseum heef de mees bijzondere en veelzijdige

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen Uiwerkingen opgaven hoofdsuk 4 Opgave 1 a 4.1 Sooren sraling en sralingsbronnen Eröngenfoon = h f h f 4 = 6, 6607 10 Js 19 = 1, 9 10 Hz E = = röngenfoon 4 19 14 6, 6607 10 1,9 10 1, 59 10 J b De hoeveelheid

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

Houtje-touwtje wiskunde een workshop over tensegrities Monique Bakker en Mascha Klerx NWD vrijdag 1 februari 2013

Houtje-touwtje wiskunde een workshop over tensegrities Monique Bakker en Mascha Klerx NWD vrijdag 1 februari 2013 Huje-uwje wiskunde een wkshp ve ensegiies Mnique Bkke en Msch Klex NWD vijdg feui 03 M. Bkke, M. Klex, ensegiies Huje-uwje wiskunde een wkshp ve ensegiies Tensegiy is een smenekking vn de engelse wden

Nadere informatie

elektriciteit voor 5TSO

elektriciteit voor 5TSO e Dirk Sarens 45 elekriciei voor 5TSO versie 1.0 1 2011 Dirk Sarens Versie 1.0 Schooljaar 2011-2012 Gemaak voor he leerplan D/2009/7841/036 Di boek kan worden gekoch via de websie www.nibook.com Had je

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Stabieler treinverkeer Rekening houden met hinder op stations

Stabieler treinverkeer Rekening houden met hinder op stations Sbieer reinerkeer Rekening houden me hinder sions Een profiewerksuk in drch n ProRi geschreen door Heeen Bx en Jordi Zomer dum februri 01 begeeiding ProRi dhr. dr. ir. A.A.M. Schfsm en dhr. ir. V.A. Weed

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/11

C. von Schwartzenberg 1/11 G&R havo A deel C von Schwarzenberg 1/11 1a m 18:00 uur He verbruik was oen ongeveer 1150 kwh 1b Minimaal ongeveer 7750 kwh (100%), maimaal ongeveer 1150 kwh (145,%) Een oename van ongeveer 45,% 1c 1d

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correctievoorschrift VWO 04 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vksecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Inproduct, projectie, terugblik

Inproduct, projectie, terugblik Met de vernieuwde wiskundecurricul vn HAVO en VWO verndert in 2015 ook het meetkundeprogrmm voor VWO-wiskunde B: nlytische meetkunde met coördinten krijgt een prominentere plts. Dit is nleiding om in de

Nadere informatie

Hoofdstuk 4. Opdracht 4.16. Algemene oplossing: Algemene oplossing: n 1 1 2 n 1 7/2. Algemene oplossing: + = + ( ) Algemene oplossing: Opdracht 4.

Hoofdstuk 4. Opdracht 4.16. Algemene oplossing: Algemene oplossing: n 1 1 2 n 1 7/2. Algemene oplossing: + = + ( ) Algemene oplossing: Opdracht 4. Hoofdsuk Opdrch.6 k x + xk = = r = Algemee oplossig: k r xk = + xk = + / k xk = + k 9 7 x = x + 7 x + x = 7 x x = + + + 7 = r = Algemee oplossig: r 7/ x = + x = + / x = 7 c α α ( α α ) x = x x x x = x

Nadere informatie

Lucht in je longen. Streep de foute woorden door. Hoe komt lucht in je longen? Zet een cirkel om de dieren met longen.

Lucht in je longen. Streep de foute woorden door. Hoe komt lucht in je longen? Zet een cirkel om de dieren met longen. 9 Luht in je longen Hoe komt luht in je longen? = longen = middenrif Kleur op de tekening de volgende onderdelen: Streep de foute woorden door. Ons lihm heeft zuurstof / kooldioxide nodig. Bij het indemen

Nadere informatie

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

Overzicht Examenstof Wiskunde A

Overzicht Examenstof Wiskunde A Oefenoes ij hoofdsuk en Overzih Examensof Wiskunde A a X min 0, X max 0, Y min 0 en Y max 000. 0 lier per minuu. Als de ank leeg is, dan is W 0, dus 00 0 0 dus 0. Na 0 minuen is de ank leeg. a Neem de

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem. Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS Behorende bij de Bacheloropdrach HS Door: Julia Berkhou Lena Jezuia Sephen Willink Begeleider: Prof.dr. A.A. Soorvogel Daum: 17 juni 2013 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Achergrondinformaie 3 2.1 He geij.................................

Nadere informatie

dé Krant! in dit nummer o.a.: De Voorstad Oost agenda Nieuwbouw en woningverbetering Leerzame peuterplusgroep bruisend terrein editie 2014 nr.

dé Krant! in dit nummer o.a.: De Voorstad Oost agenda Nieuwbouw en woningverbetering Leerzame peuterplusgroep bruisend terrein editie 2014 nr. dé Krn! ediie 2014 nr.1 woef in di nummer o..: De Voorsd Oos gend Nieuwbouw en woningverbeering Leerzme peuerplusgroep bruisend errein?! Eenrichingsverkeer Veenunnel In pril word de Veenweg eenrichingsverkeer

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

ELEKTRICITEIT GELIJKSTROOMMOTOREN Technisch Instituut Sint-Jozef Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen Versie:19/10/2005

ELEKTRICITEIT GELIJKSTROOMMOTOREN Technisch Instituut Sint-Jozef Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen Versie:19/10/2005 ELEKTRICITEIT GELIJKSTROOMMOTOREN Technisch Instituut Sint-Jozef Wijerstrt 28, B-3740 Bilzen Versie:19/10/2005 Cursus: I. Clesen, R. Slechten 1 Gelijkstroommotoren... 2 1.1 Bepling... 2 1.2 Toepssingsgebied...

Nadere informatie

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Onderwijsondersteuning Slrisschl 5 Indelingsniveu FUWASYS-dvies IIc Werkterrein Onderwijsproces -> onderwijsbegeleiding Activiteiten Bewerken

Nadere informatie

FORMULES MECHANICA. Inhoud

FORMULES MECHANICA. Inhoud FORMULES MECHANICA Inoud FORMULES MECHANICA... BEWEGING... S,,, a... AFGELEGDE WEG... SNELHEID... VERSNELLING... RELATIES TUSSEN AFGELEGDE WEG, SNELHEID EN VERSNELLING... Valbeweinen... 3 VRIJE VAL...

Nadere informatie

Upgrade KIT I Bedieningshandleiding

Upgrade KIT I Bedieningshandleiding Upgrde KIT I Bedieningshndleiding INHOUDSOPGAVE VOORDAT U BEGINT... 2 NIEUWE FUNCTIES... 2 BORDUREN MET HET RANDBORDUURRAAM (30 cm 10 cm (c. 11-3/4 inch 4 inch))... 3 Info over het rndborduurrm... 3 Voorbeeldprojecten

Nadere informatie

Gebruik van condensatoren

Gebruik van condensatoren Gebruik van condensaoren He spanningsverloop ijdens he laden Als we de schakelaar s sluien laden we de condensaor op. De condensaorspanning zal oenemen volgens een exponeniële funcie en de spanning over

Nadere informatie

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2 Knsrekening en dynmic ls bsis voor breed wiskundeonderwijs Joost Hulshof en Ronld Meester c Reproductie lleen in overleg met de uteurs. Alle rechten voorbehouden. 1 Voorwoord In de eerste cursus hebben

Nadere informatie

Differentiatie van functies

Differentiatie van functies Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest

Nadere informatie

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Onderwijsondersteuning Slrisschl 4 Indelingsniveu FUWASYS-dvies IIb Werkterrein Bedrijfsvoering - Mngementondersteuning Activiteiten Bewerken

Nadere informatie

Het wiskunde B1,2-examen

Het wiskunde B1,2-examen Ger Koole, Alex van den Brandhof He wiskunde B,2 examen NAW 5/4 nr. 2 juni 2003 65 Ger Koole Faculei der Exace Weenschappen, Afdeling Wiskunde, Vrije Universiei, De Boelelaan 08 a, 08 HV Amserdam koole@cs.vu.nl

Nadere informatie

Tentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 11 juli 2012 09:00-12:00. Leg uw collegekaart aan de rechterkant van de tafel.

Tentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 11 juli 2012 09:00-12:00. Leg uw collegekaart aan de rechterkant van de tafel. Tentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 11 juli 1 9:-1: Leg uw collegekrt n de rechterknt vn de tfel. Schrijf o elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke ogve o een rt vel. Dit tentmen

Nadere informatie

Een CVA (beroerte) kan uw leven drastisch veranderen! 2009 Een uitgave van de Nederlandse CVA-vereniging

Een CVA (beroerte) kan uw leven drastisch veranderen! 2009 Een uitgave van de Nederlandse CVA-vereniging N een CVA (beroerte)... hoe verder?. Een CVA (beroerte) kn uw leven drstisch vernderen! 2009 Een uitgve vn de Nederlndse CVA-vereniging Wt is een CVA? In Nederlnd leven meer dn een hlf miljoen mensen met

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel. Stichting Promes, onderdeel Schoolmanagement

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel. Stichting Promes, onderdeel Schoolmanagement Functiebeschrijving en -wrdering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Slrisschl Indelingsniveu FUWASYS-dvies Werkterrein Activiteiten Kenmerkscores 44343 43334 43 43 Somscore

Nadere informatie

K4 Relativiteitstheorie

K4 Relativiteitstheorie K4 Reltiviteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen bsisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 De golflengte vn rdiostrling is groter dn die vn liht. b Uit λ f volgt dt de frequentie vn de fotonen vn rdiostrling lger

Nadere informatie

Juli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten

Juli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten Canonpercenages He vassellen van canonpercenages bij de herziening van erfpachconracen Juli 23 SBV School of Real Esae Drs. L.B. Uienbogaard Drs. J.P. Traudes Inhoud Blz. 1. Inleiding... 3 2. Toeliching

Nadere informatie

AKTE in de hoofdzaak alsmede. INCIDENTELË CONCLUSIE VAN ANTWOORD in het. vrijwa ringsincident. inzake SOBI. tegen DELOITTE ACCOUNTANTS B.V.

AKTE in de hoofdzaak alsmede. INCIDENTELË CONCLUSIE VAN ANTWOORD in het. vrijwa ringsincident. inzake SOBI. tegen DELOITTE ACCOUNTANTS B.V. AKTE in de hoofdzk lsmede NCDENTELË CONCLUSE VAN ANTWOORD in he vrijw ringsinciden inzke SOB egen DELOTTE ACCOUNTANTS B.V. Rechbnk Amserdm Rolnummer:2008/1465 Rolziing : lsepember2ol0 AKTE in de hoofdzk

Nadere informatie