In samenwerking met. Selexyz.nl

Transcriptie

1 In smenwerking met Seleyz.nl

2 Frns vn Liempt Ntuurkundeboek B Studentensupport Studentensupport.nl

3 007 Frns vn Liempt & Studentensupport Downlod grtis op ISBN Studentensupport Studentensupport.nl

4 Inhoudsopgve Inhoudsopgve Inhoud Ntuurkundeboek A Voorwoord Inde I Mechnic. Impuls, krchten, energie. Impuls. Krchten.3 Energie. Rchtlijnige bewegingen. Bsisbegrippen. Bewegingsvergelijkingen 3. Krchten en beweging in dimensies 3. Referentiesystemen 3. Vrije-lichmsdigrmmen 3.3 Moment en rottie 3.4 Bewegingen in dimensies II Wiskunde. Rekenen. Breuken. Hkjes wegwerken.3 Wortels.4 Mchten Klik voor meer informtie 4

5 Inhoudsopgve.5 Logritmes.6 e-mchten en ntuurlijke logritmes.7 Meetkunde.8 Goniometrische functies.9 Oplossen vn vergelijkingen.0 Benderingen. Differentiëren, integreren, differentilvergelijkingen. Functies. Differentiëren, fgeleide.3 Integreren, primitieve.4 Lijst met fgeleiden en primitieven.5 Differentilvergelijkingen 3. Vectoren 3. Vectoriële grootheden 3. Optellen en ftrekken 3.3 Vermenigvuldigen 3.4 Differentiëren Tbellen Klik voor meer informtie voor studenten met weinig centen bestel je studieboeken op seleyz.nl je studie is l duur genoeg 5

6 Inhoud Ntuurkundeboek A Inhoud Ntuurkundeboek A. Highlights moderne ntuurkunde. Gssen, wrmte 3. Vloeistoffen, stroming 4. Elektriciteit, elektromgnetisme, signlen 5. Golven, optic 6. Strling, kernfysic Klik voor meer informtie we houden contct Optiml online smenwerken met SURFgroepen SURFgroepen is een complete online smenwerkingsomgeving met documentopslg, Instnt Messging en videoconferencing. Werk in een Temsite smen met colleg s uit een fdeling, leden vn een projectgroep of docenten en studenten rond een specifieke cursus. Sl je bestnden online op, deel tkenlijsten, fbeeldingen en een gezmen lijke gend. Verder kun je zien wie online is en direct chtten. In een virtuele vergder kmer kun je elkr zelfs horen en zien. Nst de Temsite krijg je de beschikking over een MySite. Hier kun je persoonlijke documenten beheren. SURFgroepen is een product vn SURFnet en een onderdeel vn de SURFnet-licentie vn je instelling. Drmee kun je direct n de slg en zijn voor jou n het gebruik geen kosten verbonden. 6

7 Voorwoord Voorwoord Ook dit Ntuurkundeboek B is bedoeld voor studenten die zich in het eerste jr vn het hoger onderwijs voorbereiden op een cursus ntuurkunde. Het gt over twee onderwerpen: mechnic en wiskunde. Deel I bestt uit drie hoofdstukken over mechnic. De lezer zl dr meer bstrcte formulemnipulties tegenkomen dn in de boeken voor de middelbre school. Er wordt ook gebruik gemkt vn vectornottie, eenvoudige differentilvergelijkingen en vrijelichmsdigrmmen. De bedoeling is bèt- en techniekstudenten uit te dgen tot een meer bstrcte werkwijze dn ze op de middelbre school gewend wren. Uitgngspunt is wel geweest dt de bendering met eindemenkennis begrijpelijk moet zijn en bovendien nuttig is voor de nsluiting met colleges in het hoger onderwijs. Anbevolen wordt de hoofdstukken te bestuderen voorfgnde of in het begin vn de mechniccolleges en eventuele vrgen erover mee te nemen nr werkcolleges. Deel II geeft een smenvtting vn de wiskundekennis die bij ntuurkundecursussen nodig is. De onderwerpen vriëren vn elementir (breuken, mchten, logritmes, goniometrische functies, vergelijkingen oplossen, differentiëren) tot meer gevorderde (benderingen, oplossen vn differentilvergelijkingen en vectorrekening). Net ls in boek A volgt in dit boek n de inhoudsopgve een uitvoerige lfbetische inde. Hierin wordt ook verwezen nr de tbellen die verspreid over het boek stn. Frns vn Liempt Amsterdm, december 006 7

8 Inde Inde A fgelegde weg...34 fgeleide...93 rbeid lngs de bn...30 ssenstelsel...3, 5 horizontle worp...65 rechtsdriend...07 B bereik...9 bewegingen bnvergelijking...63 cirkelbeweging...67 horizontle worp...65 prmetervergelijking...64, 66, 67 worp in willekeurige richting...66 bewegingsvergelijkingen...4 F=0...4 F=constnt...4 F=-cv...47 F=-cv...49 F=-c...45 inhlen, reltieve snelheid...53 numeriek integreren...49 twee verticle bewegingen...43 vl in vloeistof...48 vlversnelling, verticle worp...43 wetten vn Newton...40 breuken...70 C complee getllen...03 constnte (vn) elementire ldingshoeveelheid...8 Newton...6, 68 vlversnelling...7, 43, 48, 55 wet vn Coulomb...7 Coulomb, wet vn...7 D differentilvergelijkingen... 4, 00 homogeen...4, 45, 00 lineir niet homogeen... 4 niet lineir orde, ste, de...4, 47, 00, 0, 0, 03 differentiëren fgeleide functie bewegingen differentilquotient kettingregel lijst met fgeleiden prtieel puntnottie regels discriminnt de grdsvergelijking.. 43, 44, 88, 90 domein... 9 driehoek E elektrisch veld homogeen veld... 9 veldsterkte... 8 energie rbeid... 8 kinetische... 7 potentiële trillingsenergie veerenergie... 8 evenwichtsvoorwrden moment... 6 F fculteit fse... 8 functies

9 Inde G gemiddelde door integrtie...36 grondtl...7 H hrmonische trilling bewegingsvergelijking...46 periode...46 hoeken, F- en Z-hoek...76 Hooke, wet vn..., 5 I impuls behoud...3, 5 definitie... krcht...3 inertilstelsel...54 inhoud...78 inproduct...8 integreren...97 beplde integrl...98 bewegingen...40 integrtieconstnten...38, 4, 48, 49, 97 lijst met primitieven...99 primitieve functie...97 Riemnn oppervlkte...97 K kettingregel...96 krchten ctie, rectie...3 contctkrchten... elektrische krcht...7, 8 grvittiekrcht...6 impulsverndering...3 Lorentzkrcht...0 middelpuntzoekende krcht..., 6, 60 moment...6 normlkrcht... resulterende krcht...6 rolwrijving...4 schijnkrchten...55 schuifwrijving...3 L spnkrcht... 5 sttische wrijving... 4 veerkrcht... veldkrchten... 6 viskeuze, Stokes... 46, 48 vormweerstnd vrije-lichmsdigrm wrijvingscoëfficiënten... 4 wrijvingskrcht... zwrtekrcht limiet logritmes M mgnetisch veld door bewegende lding... 0 mgnetische inductie... methode vn Euler moment vn een krcht... 6 rm... 6 evenwichtsvoorwrden... 6 N Newton, wetten vn..., 3, 40 constnte vn Newton... 6 norml numeriek integreren O oplossen vergelijkingen coefficientenmethode differentilvergelijkingen krkteristieke vergelijking... 0 numeriek integreren substitutimethode tweedegrds vergelijking oppervlkte P prmetervergelijking... 64, 80 prtieel differentiëren plts 9

10 Inde pltsfunctie...34, 37 verpltsing...zie verpltsing primitieve functie...97 Pythgors, stelling vn...77 R rdil...8 rechtlijnige bewegingen ssenstelsel...3 differentieren en integreren...34 gemiddelde en momentne snelheid...35 gemiddelde en momentne versnelling.37 grfieken...33 overzicht bsisbegrippen...40 pltsfunctie...37 snelheidsfunctie...39 verpltsing, fgelegde weg...34 referentiesysteem...5 reltieve snelheid, inhlen...53 regels differentiëren...96 goniometrische functies...83 inproduct...4 kettingregel...96 logritmen...75 mchten...73 ntuurlijke logritmen...75 uitproduct...7 vectoren differentiëren nr de tijd...9 wortels...7 rekenen benderingen...90 breuken...70 driehoek...77 e-mchten, ntuurlijk logrtime...75 goiniometrische functies...79 hkjes wegwerken...7 logritmes...74 mchten...7 meetkunde...76 oplossen vn vergelijkingen...84 wortels...7 S scheiden vn vribelen... 0 situtietekening... 3 snelheid dimensionl bn gemiddelde momentne snelheidsfunctie... 34, 39 snelheidsverndering... 34, 39 symbolen T tbellen fgeleiden en primitieven constnten e.. numerieke wrden... 3 enkele specifieke Engelse termen... 4 grieks lfbet... oppervlkte- en inhoudsformules vectorgrootheden wrden voor sinus en cosinus... 8 wrijvingscoëfficiënten... 4 trgheidswet... twee vergelijkingen met twee onbekenden54 tweedegrds vergelijking... 43, 88 U uitproduct..., 6 V vribele, (on)fhnkelijke vectoren... 5, 05 componenten differentiëren, nr tijd en plts 8, 9 eenheidsvector grdiënt, divergentie, rottie... 9 grootte en richting nblopertor... 9 ontbinden optellen, ftrekken... 08, 0 producten, in- en uit-product... 3 producten, in-, uit-product... 3, 5 veld 0

11 Inde elektrisch... Zie elektrisch veld grvittie...6 mgnetisch...zie mgnetisch veld verpltsing...34, 37 dimensionl...66 versnelling gemiddelde...37 momentne...37 versnellingsfunctie...34 verticle worp...90 referentiesysteem...4 viscositeit...48 vrije-lichmsdigrm blk... 6 cirkelbeweging deur helling interne krchten ktrol W wetenschppelijke nottie wortels... 7 wrijving...zie krchten Klik voor meer informtie

12 Impuls, krchten, energie I Mechnic. Impuls, krchten, energie De wetten vn Newton De grondlegger vn de theorie vn de bewegingen vn lichmen is Newton. De drie wetten die hij formuleerde behoren tot de bsisstof vn de ntuurkunde in het voortgezet onderwijs. De eerste wet is de trgheidswet: ls F 0, dn is v constnt. De grootte en/of de richting vn de snelheid vn een lichm verndert lleen ls er vn buiten f een krcht op werkt. De tweede wet stelt: F m. Een lichm wrop een krcht F wordt uitgeoefend, krijgt een versnelling die evenredig is met F en dezelfde richting heeft. De derde wet luidt F B, A FA, B. Als B een krcht uitoefent op A, dn oefent A op B een even grote krcht in tegengestelde richting uit. De eerste en tweede wet vn Newton leer je in het voortgezet onderwijs ls een reltie tussen een krcht en de snelheid respectievelijk de versnelling. Dit is niet de vorm wrin Newton deze wetten oorspronkelijk presenteerde. In plts vn de begrippen snelheid en versnelling gebruikte hij het meer fundmentele begrip impuls.. Impuls De impuls p vn een lichm is het product vn de mss m en de snelheid v. De impuls heeft behlve een beplde grootte ook een richting. Het is een vectorgrootheid: p mv Om je de impuls vn een lichm voor te stellen, kun je er n denken n je impuls overdrgt ls je tegen iets n stoot. Om dezelfde snelheid te geven moet je een zwr lichm een grotere stoot geven dn een minder zwr lichm, het krijgt een grotere impuls. Bij dezelfde stoot krijgt een zwrder lichm een kleinere snelheid dn een minder zwr lichm.

13 Impuls, krchten, energie De wetten vn Newton opnieuw De ste wet vn Newton houdt in dt de impuls vn een lichm constnt blijft zolng er geen wisselwerking is met de omgeving, d.w.z. zolng er geen eterne krchten op werken: p = constnt De de wet vn Newton stelt dt een wisselwerking tussen een bewegend lichm en zijn omgeving leidt tot een verndering vn de impuls dp. Op grond vn deze wet is een definitie vn krcht mogelijk. Krcht is nmelijk de sterkte vn de wisselwerking, ofwel de impulsverndering per tijdseenheid: F dp dt Herschrijven vn deze uitdrukking leidt tot de formule die je kent uit het voortgezet onderwijs en meestl voor bewegingsvergelijkingen (zie volgende hoofdstuk) wordt gebruikt: F dp dt d( mv) dt dv m dt m In deze fleiding is ervn uitgegn dt de mss vn het lichm constnt is. Indien dit niet het gevl is, zols bij een regendruppel wrvn een deel tijdens de vl verdmpt of bij een rket die gs uitstoot, dn is ook m een functie vn de tijd: F dp dt d( mv) dm dv v m dt dt dt De 3 de wet vn Newton houdt in dt bij een wisselwerking tussen een lichm en de omgeving de totle impuls behouden blijft. Stel je bij omgeving een tweede lichm B voor dt tegen een lichm A nstoot. Smen kun je A en B ls één geïsoleerd systeem (lichm) beschouwen. Volgens de ste wet verndert hiervn de (totle) impuls niet. Er geldt: p constnt Wel kunnen A en B onderling impuls uitwisselen. p A p B 3

14 Impuls, krchten, energie Neemt de impuls vn de een toe, dn neemt de impuls vn de nder in gelijke mte f. Omdt de wisselwerking voor beide lichmen even lng duurt, zijn volgens de de wet de krchten die A en B op elkr uitoefenen even groot krcht en tegengesteld vn richting: F AopB F BopA Voorbeeld: Impulsbehoud Een roeiboot (M =80 kg) ligt stil in het wter. Iemnd (M =70 kg) springt er in met een snelheid v =3 ms -. De lnding in de boot duurt 0,6 s. Welke snelheid hebben de boot met inzittende n de sprong? En welke krcht wordt tijdens de lnding op de boot uitgeoefend? M M v Figuur Voor de sprong Klik voor meer informtie 4

15 Impuls, krchten, energie M + M u Figuur N de sprong Voor de sprong is de totle impuls: p p p M 0 M v M v p M u M v De totle impuls n de sprong is hiern gelijk: M Hieruit volgt: u v M M 70 Invullen vn de gegeven wrden: u 3 0, 84 ms De impulsverndering vn de boot is p M u M ,84,5 0 kgms. dp En de krcht is F 5,50 N. dt 0,6 M. Krchten Alle krchten die er zijn komen voort uit de 4 fundmentele krchten: Elektromgnetische krcht Grvittie Sterke wisselwerking Zwkke wisselwerking De vier fundmentele krchten zijn niet uit ndere krchten te verklren. Vk krijg je te mken met krchten die voortkomen uit een fundmentele krcht, bijvoorbeeld de zwrtekrcht die voortkomt uit de grvittie of llerlei krchten die hun oorsprong in de elektrische krcht hebben. We onderscheiden veld- en contctkrchten. Hieronder zullen een ntl veel voorkomende veld- en contctkrchten beschreven worden. 5

16 Impuls, krchten, energie Veldkrchten Vn veldkrchten wordt gezegd dt ze op fstnd werken, d.w.z. zonder contct tussen de lichmen en zonder hulp vn een medium, bijvoorbeeld de grvittie en de elektromgnetische krcht. De elektromgnetische krcht bestt uit twee componenten, die we hier fzonderlijk beschrijven. Grvittiekrcht De grvittiekrcht is de onderlinge ntrekkingskrcht tussen lichmen op grond vn hun mss. De grootte vn de grvittiekrcht tussen twee lichmen met de mss s m en m hngt f vn de fstnd tussen de middelpunten r: m m F g G r De vectornottie legt ook de richting vst: F g mm G r rˆ Hierin is de mss in kilogrmmen en is G de grvittieconstnte, ofwel de constnte vn Newton. G = 6, Nm kg -. De richting vn rˆ is vn de oorsprong f. De grvittiekrcht F g en rˆ hebben de tegengestelde richting; het is ltijd een ntrekkende krcht. r m rˆ F g m Figuur 3 Grvittiekrcht Hierboven is de krcht vn m op m getekend. De krcht vn m op m is even groot en hiern tegengesteld, lleen rˆ verndert immers vn teken. Grvittieveld Het lichm met mss m ondervindt een grvittiekrcht vn lle overige mss in de kosmos. Smen vormt die overige mss een grvittieveld dt zich overl in de ruimte uitstrekt. De richting en grootte vn dt veld wordt in elk punt gegeven door een grvittieversnelling g. Dn is: m g F g 6

17 Impuls, krchten, energie Op rde wordt het grvittieveld gedomineerd door de mss vn de rde M. Drdoor is het nr het middelpunt vn de rde gericht en is de bsolute wrde: g g M G 9,8 ms r - Elektrische krcht De elektrische krcht is de onderlinge krcht tussen lichmen op grond vn hun elektrische lding. De lding q kn positief of negtief zijn. Tegengestelde ldingen trekken elkr n, gelijknmige ldingen stoten elkr f. Net ls de grvittiekrcht neemt de krcht tussen twee ldingen met r f volgens de wet vn Coulomb: of voor lleen de grootte F e F e qq 4 r De grootte vn de krcht hngt mede f vn het medium wrin de ldingen zich bevinden en dit wordt 9 uitgedrukt met de permittiviteit. In vcuüm is f 8,9880 Nm C q q r rˆ Klik voor meer informtie 7

18 Impuls, krchten, energie De eenheid vn lding is de Coulomb, de kleinst voorkomende lding (elementire lding) is die vn het elektron: e=, C. De elektrische krchtconstnte is een fctor 0 0 groter dn de grvittieconstnte, de elektrische krcht is sterker dn de grvittiekrcht. Drom zijn onderlinge krchten tussen voorwerpen op rde overwegend elektrische krchten. Elektrisch veld Het lichm met lding q ondervindt een elektrische krcht vn lle overige ldingen in de omringende ruimte. Smen vormt die overige ldingen een elektrisch veld dt zich overl in de ruimte uitstrekt. De richting en grootte vn dt veld wordt in elk punt gegeven door een elektrische veldsterkte E. De krcht is dn: F e q E Uit beide voorfgnde formules volgt dt de grootte vn de elektrische veldsterkte in de ruimte om een enkele lding q in vcuüm gelijk is n E 4 0 q r rˆ De richting vn E is vn de oorsprong f rond een positieve lding en nr de oorsprong toe rond een negtieve lding. Voorbeeld: de elektrische veldsterkte Elke elektrische lding heeft een elektrisch veld E om zich heen en in elk punt is er mr één (resulterende) veldsterkte E som. Vn twee (of meer) ldingen Q i moeten de fzonderlijke velden vectorieel worden opgeteld. Zie voor het optellen vn vectoren eventueel boek B, hoofdstuk II.3. Hieronder beschrijven we de mnier wrop je de elektrische veldsterkte beplt in een punt in de buurt vn twee gelden lichmen. In de figuur ligt de -s lngs de verbindingslijn vn de twee ldingen en de y-s stt dr loodrecht op. 8

19 Impuls, krchten, energie q + E r E E som Q r Q Figuur 4 De elektrische veldsterkte in een punt De veldsterkte is: E som E E E E )ˆ i ( E E (,,, y, y fq De componenten vn E r zijn: ) ˆj fq fq E, cos en E sin, y. r r Ontbind vervolgens ook E in componenten met behulp vn de hoek (die in dezelfde dririchting t.o.v. de s ls is gedefinieerd) en met een negtieve wrde voor q. Tel de componenten in de - en de y-richting bij elkr op tot E som, en E som, y. Bereken de grootte vn Esom met en de hoek vn E som met de -s met E som E som, E som, y rctn Voor het beplen vn de veldsterktes in een grvittieveld of mgnetisch veld ps je een vergelijkbre werkwijze toe. E E som, y som, Homogeen elektrisch veld tussen twee plten Zet je tussen twee vlkke plten op (reltief kleine) fstnd d een spnningsverschil V dn in deze ruimte het veld overl even sterk en in dezelfde richting. Dit noem je een homogeen elektrische veld. 9

20 Impuls, krchten, energie r E Figuur 5 Homogeen elektrisch veld V De richting vn het veld is loodrecht op de plten vn de hoge nr de lge potentil en de grootte is: V E r In het lgemeen is dv E r rˆ dr wrin rˆ gerekend wordt vnf de lge potentil. Mgnetische krcht Elke bewegende lding heeft een mgnetisch veld om zich heen. Zie boek : elektromgnetisme. Dit mgnetische veld oefent een krcht uit op een bewegend gelden lichm en deze krcht stt loodrecht op de snelheidsvector. Deze krcht noem je de Lorentzkrcht. Klik voor meer informtie 0

21 Impuls, krchten, energie Net ls bij het elektrische veld is het resulterende mgnetische veld in een punt de (vector)som vn de mgnetische velden vn lle bewegende ldingen in de omringende ruimte. De richting en de grootte vn het mgnetische veld worden in een punt gegeven door de mgnetische inductie B. De krcht op een lichm met een lding q en een snelheid v volgt uit het uitproduct vn v en B (zie boek B, hoofdstuk II.3): F L qv B of ls het lleen om de grootte gt: FL qvbsin wrin de hoek is tussen v en B. De krcht stt loodrecht op v en B en leidt tot het fbuigen vn de bn vn een gelden deeltje. Het is een middelpuntzoekende krcht. In een ruimte wr de richting en de grootte vn B constnt zijn (homogeen mgnetisch veld) en een lichm loodrecht op de mgnetische veldlijnen beweegt, is de Lorentz-krcht constnt en stt die ltijd loodrecht op de bn. Het lichm beschrijft dn een eenprige cirkelbeweging met een strl mv r Bq Merk op dt de volgorde vn de symbolen in de uitdrukking voor Lorentzkrcht verschilt vn wt je in het middelbr onderwijs leert. Het is gebruikelijk om in de uitdrukking voor de grootte vn de Lorentzkrcht dezelfde volgorde n te houden ls in het uitproduct, dus qvb en niet Bqv. Hetzelfde geldt voor de Lorentzkrcht tussen twee stroomkbels: FL I( B) FL IBsin Contctkrchten In deze prgrf sommen we een ntl krchten op die in prktische situties vk voorkomen. Het zijn geen fundmentele ntuurkrchten, omdt ze lle op microscopisch niveu een diepere (elektrische) oorzk hebben. Hierop gn we verder niet in.

22 Impuls, krchten, energie Normlkrcht Als twee lichmen tegen elkr zijn gedrukt oefenen ze op elkr een krcht uit. Je kunt de krcht op een lichm ontbinden in een component loodrecht op het contctoppervlk en een lngs dit oppervlk. De component loodrecht op het contctoppervlk heet normlkrcht en wordt ngeduid met F N. Op microscopische schl vindt de nomlkrcht zijn oorsprong in de elsticiteit vn het mteril. De component evenwijdig n het contctoppervlk heet wrijvingskrcht. Zie de figuur bij schuifwrijving. Het ontbinden in componenten of het vectorieel optellen vn componenten stt beschreven in boek B, hoofdstuk II.3 over vectoren. Veerkrcht Een vst lichm kn een normlkrcht uitoefenen doordt het zelf wordt ingedrukt en het rooster wruit die stof bestt zich tegen het indrukken verzet. Voor lle vste lichmen zijn er wrden voor de indrukking wrvoor de wet vn Hooke geldt: F k H Hierin is F de krcht wrmee het lichm zich tegen indrukken verzet en is k de krchtconstnte, ook wel veerconstnte genoemd. Nrmte krchtconstnte groter is noem je een veer stijver. Voor de meeste lichmen geldt dt slechts voor kleine wrden vn de wet vn Hooke geldig is, bij grotere uitrekking of indrukking treedt plstische vervorming op. F Figuur 6 Veerkrcht

23 Impuls, krchten, energie Schuifwrijving F N F W F N F z Figuur 7 Wrijving op een helling De wrijvingskrcht F W tussen twee lichmen die lngs elkr schuiven is recht evenredig met de normlkrcht F N wrmee ze tegen elkr worden gedrukt: F W.d F d N Hierin is d de dynmische wrijvingscoëfficiënt. Deze hngt f vn de eigenschppen vn de oppervlkken. De inde d en de toevoeging dynmisch geven n dt deze coëfficiënt betrekking heeft op oppervlkken die ten opzichte vn elkr bewegen. Klik voor meer informtie voor studenten met weinig centen bestel je studieboeken op seleyz.nl je studie is l duur genoeg 3

24 Impuls, krchten, energie Bij stilstnd vnf F=0 neemt de F W gelijk met F toe (het lichm blijft immers in rust). In dit stdium spreek je vn sttische wrijvingskrcht. De oppervlkken gn ten opzichte vn elkr bewegen ls een beplde mimle wrde F W, M wordt overschreden: F W, m sfn Hierin is s de sttische wrijvingscoëfficiënt. Ook s hngt vn de eigenschppen vn de oppervlkken f. Alleen is s iets groter dn d. Je kunt je hierbij voorstellen dt de oneffenheden vn de oppervlkken nvnkelijk in elkr hken en vn elkr moeten worden losgetrokken. En zolng de oppervlkken in beweging blijven, vllen ze niet weer heleml in de oude situtie terug. Vnwege dit verschil is een grotere krcht nodig om iets in beweging te zetten, dn om het in beweging te houden. Een lichm komt hierdoor ltijd met een schok in beweging, er is op dt moment immers een nettokrcht Fw ( s d ) FN die het lichm een versnelling geeft. Tbel Wrijvingscoëfficiënten Wrijving tussen Sttisch s Dynmisch d Rol r,d Rubber en beton (nt) 0,30 0,5 Rubber en beton (droog),0 0,80 ± 0,05 Stl en stl 0,70 0,60 0,00 á 0,00 Gls en gls 0,90 0,40 Teflon en stl 0,04 0,04 Rolwrijving Als een voorwerp over een oppervlk rolt, dn is er ook sprke vn een wrijvingskrcht. Ook deze rolwrijvingskrcht Fr is recht evenredig met de normlkrcht. Met r voor de rolwrijvingscoëfficiënt geldt F rol F r N De rolwrijvingscoëfficiënt is veel kleiner dn de coëfficiënten voor de schuifwrijving. Ook bij rolwrijving is er verschil tussen de sttische en dynmische wrijving. Drom vertrekt een trein die begint te rijden, of een zwre kr, vk met een merkbre schok. Wrijving in een medium Een nder type contctkrcht dn hiervoor is beschreven, treedt op ls een lichm met een beplde snelheid door een gs of vloeistof beweegt. Hierbij kunnen we te mken hebben met krchten: de viskeuze wrijving bij kleine snelheden en de vormweerstnd die overheerst bij grote snelheden. 4

25 Impuls, krchten, energie Vormweerstnd Tijdens de beweging botst het lichm met de moleculen wruit het medium bestt. Een zekere hoeveelheid ervn wordt gedwongen mee te bewegen en hiervoor wordt kinetische energie n het lichm onttrokken. De botsende luchtmoleculen oefenen een krcht op het lichm uit. Omdt dit type weerstnd erg vn de vorm vn het lichm (stroomlijn) fhngt noem je dit de vormweerstndskrcht (ook vk wrijvingskrcht genoemd of luchtwrijving ls het medium lucht is): F W CAv Hierin is de dichtheid vn het medium, v de snelheid, A het oppervlk vn de grootste dwrsdoorsnede vn het lichm loodrecht op de bewegingsrichting en C is een constnte die vn de stroomlijn vn het lichm fhngt. Viskeuze wrijving In het eerste deel vn dit boek is l de wrijvingskrcht beschreven die een lichm ondervindt ls het met kleine snelheid door een gs of vloeistof beweegt. De krcht is evenredig met de snelheid en fhnkelijk vn de geometrie vn het lichm. Voor een bol geldt de wet vn Stokes. Zie boek, hoofdstuk I.: stroming. Spnkrcht De trekkrcht vn een touw op een lichm dt er n hngt, vindt evenls de normlkrcht zijn oorsprong in elstische krchten. De moleculen vn de stof wruit het touw bestt verzetten zich tegen vervorming, zowel tegen indrukken ls tegen uitrekken. Over een klein trject is de uitrekking recht evenredig met de krcht en geldt de wet vn Hooke. Touw In veel situties worden de mss en de rekbrheid vn het koord verwrloosd. Dt is lleen toegestn ls de kinetische energie vn het touw te verwrlozen is ten opzichte vn de kinetische energie vn de ndere lichmen. Of ls de potentiële energie die het touw door zijn veerkrcht opneemt klein is ten opzichte vn de rbeid die wordt uitgeoefend. Soms heeft het touw wel degelijk invloed op de beweging. Bij bungeejumpen bijvoorbeeld is een rekbr touw essentieel voor de goede floop vn de sprong en is ook de mss niet verwrloosbr. De mss vn het touw zorgt dt de springer een versnelling groter dn g (vrije vl) krijgt. Resulterende krcht Vectorsom De versnelling vn een lichm hngt volgens de tweede wet vn Newton f vn de (vector)som vn lle krchten op dt lichm: 5

26 Impuls, krchten, energie F m In hoofdstuk II.3 over vectoren wordt beschreven hoe je de somvector beplt. Bij het oplossen vn problemen is het belngrijk de krchtvectoren goed te visuliseren. Dit gebeurt in een vrije-lichmsdigrm, wrop wordt ingegn in hoofdstuk I.3. Middelpuntzoekende krcht De middelpuntzoekende krcht bij een cirkelbeweging kn niet in een dem worden genoemd met de genoemde veld- en contctkrchten. Dr gt het om de oorsprong vn de krcht, hier om een eigenschp vn de resulterende krcht op een voorwerp, die in principe een willekeurige oorsprong (of meerdere) kn hebben. De kwestie is: een cirkelbeweging is lleen mogelijk indien de resulterende krcht middelpuntzoekend is. De middelpuntzoekende krcht is geen bijdrge n de resulterende krcht mr een mogelijk spect ervn. Voor een eenprige cirkelbeweging vn een mss m met strl r, bnsnelheid v of hoeksnelheid is een resulterende krcht vereist die voldoet n: F m r of F mv r Klik voor meer informtie 6

27 Impuls, krchten, energie.3 Energie Vormen vn energie Kinetische energie Een bewegend lichm heeft louter op grond vn de mss m en de grootte vn de snelheid v een hoeveelheid energie - de kinetische energie of bewegingsenergie E k of K: E k mv Dit is de energie die in de vorm vn rbeid moest worden toegevoerd om het lichm vnuit rust de snelheid v te geven. Of omgekeerd, de rbeid die het lichm louter op grond vn zijn beweging kn verrichten totdt het stilstt. Energie is een sclire grootheid, zie boek B, hoofdstuk II.3. Potentiële energie Een voorwerp dt zich in een bepld krchtveld bevindt, bijvoorbeeld vn de zwrtekrcht, een elektrische krcht of een veerkrcht, kn een energie hebben die fhnkelijk is vn de positie in dit krchtveld. Dit heet de potentiële energie vn het voorwerp. Het verschil in potentiële energie tussen twee posities in het krchtveld is gelijk n de rbeid die het kost om het voorwerp vn de ene plek nr de ndere te verpltsen. Dit is lleen geldig ls de rbeid lleen fhngt vn de eindpunten en niet vn de weg ertussen. Zie volgende prgrf. Voorbeelden vn potentiële energie: De potentiële energie tengevolge vn de zwrtekrcht hngt f vn de hoogte: E P mgh Hierin is m de mss, g de vlversnelling en h de hoogte ten opzichte vn het referentieniveu. Het referentieniveu mg willekeurig gekozen worden. Het kn het middelpunt vn de rde zijn, de grond of het lgste punt vn een beweging. In de ltste figuur ligt de keuze vn de lgste positie voor de hnd. An de formule zie je dt steeds dezelfde rbeid nodig is om een lichm over dezelfde hoogteverschil te verpltsen, ongecht de weg die drbij gevolgd wordt. Voor de berekening vn de rbeid vn de zwrtekrcht is lleen het hoogteverschil (en niet de fgelegde weg of verpltsing) vn belng. 7

28 Impuls, krchten, energie De potentiële energie tengevolge vn de elektrische krcht op een gelden lichm hngt f vn de potentil: E P qv Hierin is q de elektrische lding vn het lichmen V de potentil ten opzichte vn een referentieniveu. Het referentieniveu mg willekeurig gekozen worden. De potentiële energie vn een springveer, wrvoor de wet vn Hooke ( F u k ) geldt, hngt f vn de uitrekking of indrukking vn de veer. Als we het nulpunt kiezen voor het gevl er geen krcht op de veer werkt en de veer dus in evenwicht is, is de potentiële energie: U k wrbij de uitwijking uit de evenwichtsstnd is en k de veerconstnte. Afleiding: o F d 0 k d k o k De uitwisseling vn kinetische energie met veerenergie is omkeerbr. De som vn kinetische en potentiële energie blijft behouden, net ls een zwrtekrchtveld of een elektrisch veld. Als de potentiële energie ls functie vn de plts U( ) bekend is, dn kun je de krcht op een lichm in iedere positie in het veld beplen door te differentiëren: du F d Dit geeft een mogelijkheid om krcht te definiëren ls de grdiënt vn de beschikbre energie. Zie voor het begrip grdiënt boek B, hoofdstuk II.3 over vectoren. In het gevl vn de springveer krijgen we d bijvoorbeeld F k k, de wet vn Hooke zols we die l eerder zgen. d Arbeid Arbeid is het inproduct vn de krcht F en de fgelegde weg s : W F ds bn 8

29 Impuls, krchten, energie Zie voor het inproduct boek B, hoofdstuk II.3. In het eenvoudige gevl vn een rechtlijnige beweging wrbij de krcht F constnt is en de richting vn de positieve -s heeft, is: W F En ls de krcht een hoek met de positieve -s mkt, dn is: W F cos F Figuur 8 Arbeid F.cos Klik voor meer informtie 9

30 Impuls, krchten, energie Uit voorgnde volgt dt een krcht loodrecht op de bewegingsrichting geen rbeid uitoefent. Dit geldt voor de zwrtekrcht en normlkrcht bij een beweging lngs een horizontle lijn, of voor de middelpuntzoekende krcht bij een cirkelbeweging. F W S F Z Figuur 9 Arbeid 'lngs de bn' Voor het beplen vn de rbeid moet je eerst nr de fgelegde weg s kijken, niet nr de verpltsing. Let in de bovenstnde figuur op het verschil tussen de rbeid vn de zwrtekrcht F Z en die vn de luchtweerstnd F W op een lichm S in een verticl opgesteld rd. N omwenteling is W Fw rf (terwijl de verpltsing n omwenteling nul is). W Voor de rbeid vn de zwrtekrcht in dit voorbeeld geldt n omwenteling W F Z 0, niet omdt de verpltsing nul is, mr omdt de integrl vn de projecties vn F Z lngs de bn nul is. In de figuur rbeid lngs de bn is er nog een verschil tussen de rbeid vn de zwrtekrcht en die vn de luchtweerstnd: de luchtweerstnd verricht ltijd negtieve rbeid en de zwrtekrcht verricht fwisselend positieve en negtieve rbeid. De rbeid die de zwrtekrcht verricht is omkeerbr. Bij het omhooggn wordt potentiële energie opgebouwd en tijdens het neergn wordt die in kinetische energie omgezet, en omgekeerd. Wet vn behoud vn energie De wet vn behoud vn energie stelt dt de totle energie in een systeem constnt is ls het systeem is geïsoleerd vn zijn omgeving. Energie kn niet uit het niets ontstn of zo mr verdwijnen. Mr dit zegt nog niets over de vormen wrin de energie voorkomt. Bij wrijving wordt bijvoorbeeld een deel vn de energie in wrmte omgezet en dit kn niet worden omgekeerd. De som vn kinetische en potentiële energie neemt dn f. 30

31 Impuls, krchten, energie De kinetische en potentiële energie zijn vormen vn mechnische energie. In geïdeliseerde situties wrin geen wrijving optreedt, is bij verpltsingen de totle mechnische energie constnt: E P E K constnt In het grvittieveld geldt, ls er geen wrijving is, mgh mv mgh mv wrbij de indices en stn voor twee posities in het grvittieveld. 3

32 Rechtlijnige bewegingen. Rechtlijnige bewegingen. Bsisbegrippen Coördintensysteem en situtietekening Het beschrijven vn een beweging houdt in dt je voor elk tijdstip de plts ngeeft. Dit begint ltijd met het kiezen vn een coördintensysteem. Wt is de richting vn de (positieve) -s? Wr is de oorsprong? Kies bij een rechtlijnige beweging de -s zo dt de beweging lngs de s plts vindt. Geef in een schemtische situtietekening de belngrijkste kenmerken vn de beweging weer: de oorsprong, de -s, de plts vn het lichm op een zeker tijdstip, de verpltsing of (begin)snelheid e.d. O t t t s Figuur 0 Oorsprong en (positieve) richting Klik voor meer informtie 3

33 Rechtlijnige bewegingen Grfieken interpreteren Er wordt gebruik gemkt vn grfieken voor de plts-, de snelheids- of de versnellingsfunctie. Interpreteer een grfiek niet te snel. Bedenk ltijd eerst met welke functie je te mken hebt, dus let op de grootheden lngs de ssen. Zie bijvoorbeeld de onderstnde grfiek. Ps ls je weet welke grootheid lngs de verticle s stt, kun je ntwoord geven op de volgende vrgen: Wt betekent een negtieve wrde? Wt is er op t n de hnd? Wt betekent het stijgen/dlen vn de grfiek? Wt betekent de etreme wrde op t?? t t t Figuur Let op de grootheid lngs de s Als lngs de verticle s de plts uitstt, dn slt de grfiek op een beweging die links vn de oorsprong begint, op t door de oorsprong gt en op t omkeert richting oorsprong. Het zou een bl kunnen zijn die je omhoog gooit en terugvlt. O t t s Figuur Situtieschets Stt lngs de verticle s de snelheid uit, dn gt het om een beweging die eerst vertrgd nr links gt, op t omkeert, versnelt tot t en drn vertrgd verder gt. Op welke pltsen dit lles gebeurt, kun je niet n de v-t-grfiek zien. 33

34 Rechtlijnige bewegingen t t s Figuur 3 Situtieschets Het is ook hndig om eerst zelf een -t-digrm te tekenen; je moet dn wel fspreken op welke positie o het voorwerp op t=0 is. Etremen, differentiëren en integreren De plts t, de snelheid v t en de versnelling t ls functie vn de tijd worden voorgesteld door functies en grfieken. In het voortgezet onderwijs leer je dt een functie een etreme wrde heeft ls de fgeleide vn die functie nul is. Bijvoorbeeld t 4,9t 9,8t heeft een mimum bij 4,9 9,6t 0 dt je door differentiëren vn de pltsfunctie t de snelheidsfunctie v t vindt en vervolgens de versnellingfunctie t dt door integreren een snelheidsverndering v respectievelijk verpltsing v t wordt verkregen. uit t respectievelijk Hieronder wordt dit eerst toegelicht. Zie voor differentiëren en integreren ook hoofdstuk II.. Verpltsing en fgelegde weg De verpltsing vnf het tijdstip t in een tijdsintervl t is: t t t In de getekende situtie is bij een verpltsing nr links negtief. Als dezelfde weg heen en terug wordt fgelegd, is de verpltsing totl 0. De rechte strepen geven n dt de bsolute wrde wordt genomen. De fgelegde weg is echter ltijd positief en voor een beweging heen en terug geldt: s 34

35 Rechtlijnige bewegingen Snelheid, gemiddeld en momentn De gemiddelde snelheid is gedefinieerd uitgnde vn de verpltsing ls v gem t t t t t t t Figuur 4 Gemiddelde en momentne snelheid In het digrm hiernst is dit de richtingscoëfficiënt vn de koorde (het lijnstuk tussen twee punten op de kromme) die hoort bij t. Klik voor meer informtie 35

36 Rechtlijnige bewegingen Let op: De koorde is niet een verpltsing! De gemiddelde snelheid is niet hetzelfde is ls de gemiddelde bnsnelheid, die is gedefinieerd ls s Als dezelfde weg heen en terug wordt fgelegd zijn 0 en v gem 0, mr 0 t. s t. De momentne snelheid is: of d v t dt v t t In het digrm is dit de richtingscoëfficiënt vn de rklijn op t. Hierboven werd de gemiddelde snelheid fgeleid uit een definitie uitgnde vn de verpltsing v gem. t Soms is de verpltsing niet bekend, mr lleen de snelheidsfunctie. In dt gevl kn het gemiddelde vn vt over een periode uit de integrl vn de v t -functie of uit de grfiek worden fgeleid. In het vt -digrm vormt v gem met het intervl t t t een even groot oppervlk ls de grfiek vn de functie (zie boek B, hoofdstuk II.) v v gem t t t v dt t v gem t t t Hiermee beplen we in het intervl Figuur 5 Gemiddelde snelheid t. 36

37 Rechtlijnige bewegingen In het lgemeen geldt voor een functie over een intervl p gelijk is n Kder Gemiddelde q p dt het gemiddelde vn q q pdp. p p Versnelling, gemiddeld en momentn Op vergelijkbre mnier geldt voor de gemiddelde en momentne versnelling Of, in ndere nottie: t v t dv d dt dt gem t v t t Stel dt de plts-tijd-functie gegeven is ls: t (4t t ) m. Hieruit volgen door een respectievelijk twee ml differentiëren de snelheidsfunctie en de versnellingsfunctie: v t t ( 8t ) ms - v 8 ms - t t Op t = 3 s is: v 3 3 ms- 3 8 ms - Kder snelheid en versnelling Verpltsing en pltsfunctie Door differentiëren vn de pltsfunctie wordt de snelheidsfunctie verkregen. Omgekeerd kunnen we door de snelheidsfunctie te integreren een lgemene oplossing voor de pltsfunctie beplen. We kunnen schrijven voor de plts v t en in het lgemeen: t gem v t dt t 37

38 Rechtlijnige bewegingen Stel dt lleen de snelheidsfunctie v t 8t gegeven is. Dn geeft integreren: t 0 t ( 8t ) dt (4t t) 0 4t t Merk op dt hierdoor nog niets bekend is over de pltsen tijdens een beweging, mr lleen over de verpltsing. Voor het berekenen vn pltsen moeten etr informtie zijn gegeven (bijvoorbeeld 0 ). Kder 3 Verpltsing Indien voor v t een functie bekend is, dn kn die worden geprimitiveerd. Dit leidt tot een verzmeling functies met C ls integrtieconstnte..zie ook boek B, hoofdstuk II.. Klik voor meer informtie 38

39 Rechtlijnige bewegingen Snelheidsverndering en snelheidsfunctie De versnellingsfunctie kn vergelijkbr n de prgrf hiervoor worden behndeld: v v t en in het lgemeen: v v t gem t dt t De integrl over t geeft lleen informtie over de snelheidsverndering, niet over momentne snelheden. Om v te berekenen moet uit een ndere informtiebron de beginsnelheid v bekend zijn. Als we uitgn vn de grfiek vn t en integreren vnf t=0 dn volgen n een respectievelijk twee keer primitiveren: de snelheidsfunctie: v t t v0 dt v0 (t) v0 t 0 t 0 en de pltsfunctie: t t t 0 v0 t) dt 0 ( v0t t ) 0 0 v0t 0 ( t De snelheidsfunctie en de pltsfunctie zijn ps volledig is ls behlve de versnelling nog de wrden voor 0 en v 0 gegeven zijn. Kder 4 Snelheids- en pltsfunctie 39

40 Rechtlijnige bewegingen Overzicht vn formules Plts Snelheid Versnelling Differentiëren, momentn t d v t dt v t t t t dv d dt dt v t t Gemiddeld v gem v gem t t t t v dt t gem gem v t t t t dt t Integreren t t v t dt v v t t t dt Voorbeeld: constnte versnelling t 0 v0t t v t v 0 t t. Bewegingsvergelijkingen Uit F m - de tweede wet vn Newton - volgt dt de resulterende krcht beplt op welke mnier de beweging vn een lichm verndert. In het voortgezet onderwijs komen twee typen bewegingen uitvoerig n de orde: de eenprige beweging wrbij F en nul zijn en v=constnt de eenprig versnelde beweging wrbij F en constnt zijn en v=v 0 +t. En ook wordt geleerd dt een sinusvormige trilling ontstt ls F = -k. In het lgemeen geldt dt je de beweging vn een lichm beschrijft door uit te gn vn de de wet vn Newton. Hierin komt de versnelling voor die de tweede fgeleide vn de plts nr de tijd is. Als je een uitdrukking kunt vinden voor de resulterende krcht F RES, dn vind je de versnelling en uiteindelijk de plts uit deze vergelijking: d dt F m RES 40

41 Rechtlijnige bewegingen Dit is de bewegingsvergelijking vn het lichm. In de wiskunde noemt men dit een differentilvergelijking (fgekort DV), in dit gevl een (niet-homogene) lineire DV vn de de orde. Snelheid en plts vind je vervolgens door deze DV op te lossen. In het lgemeen is de resulterende krcht op een lichm niet constnt, mr fhnkelijk vn de plts, de snelheid of de tijd. Dit leidt tot llerlei types DV en tot llerlei oplossingsmethodes. Zie hoofdstuk II.. Voor het oplossen vn DV s is wiskundekennis nodig, plus enige ervring, wt cretiviteit en de bereidheid tot uitproberen. Hieronder geven we enkele problemen en met hun oplossing. We beperken ons tot DV's die met kennis vn de vwo-wiskunde kunnen worden opgelost. F = 0 : eenprige beweging Met F 0 wordt de bewegingsvergelijking: d dt 0 De oplossing ken je. Het gt hier om een beweging met constnte snelheid, de eenprige beweging. Deze meest eenvoudige- lineire DV vn de de orde is homogeen. (Zie hoofdstuk II..) je noemt de DW vn de de orde, omdt de hoogste fgeleide die voorkomt de de fgeleide is. En de DV is homogeen omdt de niet vn t fhnkelijke term nul is. Klik voor meer informtie Studeren is l duur genoeg! Drom zorgt jouw studievereniging, smen met NewBricks, voor studieboeken voor de lgste prijs èn deze hndige grtis uittreksels. Zeg nou zelf, je kn je geld en tijd toch wel beter besteden... NewBricks Werkt jouw studievereniging nog niet smen met NewBricks? Vrg nu snel en vrijblijvend, meer informtie n op onze website! 4

42 Rechtlijnige bewegingen N twee keer primitiveren krijg je: t C C t C en C zijn de integrtieconstnten. Met t=0 zie je dt 0 =C. Ook geldt dt v 0 =C. Omdt de snelheid onvernderlijk is heb je voor de pltsfunctie genoeg n de begincondities: 0 v0t Het rekenwerk zl in dit gevl weinig moeite kosten. We beschrijven hier een toepssing. F = constnt : eenprig versnelde beweging Zols genoemd is voor F constnt de bewegingvergelijking d dt F m Deze DV is niet homogeen. Zie hoofdstuk II.. De oplossing voor hebben we eerder fgeleid door twee keer integreren: t 0 v0t t Voorbeeld: vlversnelling en verticle worp m F O Figuur 6 Vl zonder wrijving 4

43 Rechtlijnige bewegingen De vl zonder wrijving vn een lichm wrop lleen de zwrtekrcht werkt is een voorbeeld vn een beweging wrvoor de zojuist beschreven bewegingsvergelijking geldt. Kies eerst: het referentiesysteem (hier: de rde) de positieve -s (hier: verticl omhoog) de oorsprong (hier: bij de grond) De vlversnelling is g 9, 8 ms - en de zojuist beschreven keuzes is =-g. De pltsfunctie is nu v t 0 0, 9 4 t Is v 0 0, dn spreekt men vn een verticle worp. In het gevl dt v0 0 heeft de beweging een hoogste punt. Deze etreme wrde wordt bereikt op het tijdstip wrop 0, dit wil zeggen ls v 4,9t 0 0 Zie verder voor kenmerken vn deze de grdsvergelijking en een voorbeeld met een verticle worp: hoofdstuk II.. Voorbeeld: twee verticle bewegingen discriminnt Een bllon dlt met v ms -. Als de mnd op 36 m hoogte is, slt iemnd vnf de grond een tennisbl recht omhoog. Die rkt de mnd net niet. Verwrloos de luchtweerstnd vn de bl. Neem voor g 0 ms -. Bereken de beginsnelheid vn de tennisbl. A A,0 v A,0 v B,0 B O g Figuur 7 Twee verticle bewegingen Op het tijdstip dt de bl de mnd net niet rkt is v B v A en A B. Wij gn door op de ltste conditie en gn met de discriminnt (bc-formule) n de slg. De pltsfuncties zijn: 43

44 Rechtlijnige bewegingen A 36 t B v B, 0t 5t Gelijkstellen levert op: t ( v ) t B, 0 Omdt er één oplossing is, moet de discriminnt nul zijn (zie hoofdstuk II..): b 4c ( vb ) v B,0 4vB, 0, Hiervoor zijn twee mogelijke oplossingen: ,67 v, Alleen de oplossing v 5 ms - heeft in dit gevl betekenis. Bij de ndere oplossing zou lleen bij een negtieve wrde voor t voldn worden n v v. B A Klik voor meer informtie 44

45 Rechtlijnige bewegingen F = -C : hrmonische trilling De krcht vn het type F C ken je ls veerkrcht. Deze krcht treedt op bij tl vn fysische systemen, zols bij lle elstische vervorming, bij slingers, bij trillingen vn tomen in een vste stof etc. De bewegingsvergelijking wordt: zodt d dt k m d 0 dt De oplossing vn de bewegingsvergelijking is een hrmonische trilling, met ls beginvoorwrde 0 =0: Druit volgen: v t t Asint. A cost A sint t t Bijzonderheden vn deze vergelijking zijn: de uitwijking is miml ls v=0 de snelheid is miml ls =0 en dus ook =0. t Figuur 8 Hrmonische trilling (bovennzicht vn een horizontle veer. De vlversnelling speelt hierin geen rol.) Periode, eigenfrequentie Invullen vn t Asint in de bewegingsvergelijking geeft: Asint kasint ( k ) Asint 0 45

46 Rechtlijnige bewegingen Dit betekent dt de oplossing C Met k volgt hieruit m Asint voldoet indien k 0. C m en met volgt hieruit de periode T en de (eigen)frequentie f: T T m C f C m Trillingsenergie De trillingsenergie vn een lichm met mss m dt een hrmonische trilling uitvoert is: E tr m A m A f Hierin is A de mplitude en f de frequentie. Verder geldt: f De fleiding vn de uitdrukking voor E tr is mogelijk op mnieren: De trillingsenergie is de mimle kinetische energie met vm A (zie hrmonische trilling in het volgende hoofdstuk): E mv m A tr m De trillingsenergie is ook gelijk n de mimle veerenergie Etr CA. F = -qv : viskeuze wrijving De wrijvingskrcht op een lichm dt met kleine snelheid door een gs of vloeistof gt, wordt voorl veroorzkt door lgjes vn het gs of de vloeistof die lngs het lichm stromen. Deze viskeuze wrijvingskrcht is evenredig met de snelheid F qv. Stel dt dit de enige krcht is. Denk bijvoorbeeld n een houten pl die net onder de oppervlkte in het wter drijft en door een kleine stoot een snelheid v 0 krijgt. 46

47 Rechtlijnige bewegingen v o Figuur 9 Viskeuze wrijving De bewegingsvergelijking is: d dt F m q v m Vereenvoudig dit met q dv k tot kv 0.De oplossing is (zie hoofdstuk II.): m dt v v e 0 kt Klik voor meer informtie voor studenten met weinig centen bestel je studieboeken op seleyz.nl je studie is l duur genoeg 47

48 Rechtlijnige bewegingen De pltsfunctie vind je door te integreren en met C 0 is: v k v k k k kt t kt 0 0 kt 0 e 0 0 v0e v0e 0 ( e ) 0 v Merk op dt de term 0 ( e kt ) de uitkomst is vn de integrl en de eenheid m heeft. k De snelheid neemt eponentieel met de tijd f. De plts ndert eponentieel nr het eindpunt. Voorbeeld: vllende knikker in vloeistof Bij een vrije vl vn een knikker in een vloeistof hebben we niet lleen te mken met de viskeuze wrijvingskrcht, mr ook met de zwrtekrcht en de opwrtse krcht. Alle drie de krchten smen geven de resulterende krcht die in de BV komt te stn: dv g q v dt m m vl Vg De versnelling is niet gelijk n de vlversnelling g omdt je nst de zwrtekrcht ook de opwrtse krcht en de wrijvingskrcht in rekening moet brengen. Let op de mintekens in de BV: de zwrtekrcht is negtief omdt die nr beneden is gericht (en we nr boven positief kiezen), de opwrtse krcht is nr boven gericht en positief en de wrijvingskrcht heeft een minteken omdt die in de tegengestelde richting vn de snelheid is gericht. -qv mg-f opw Figuur 0 Vllende knikker in vloeistof Voor een bolvormig lichm met strl R geldt voor de wrijvingskrcht de formule vn Stokes Drin is de viscositeit vn de vloeistof. F 6 Rv. Zie voor de oplossingsmethode hoofdstuk II.. De oplossing voor v is: 48

49 Rechtlijnige bewegingen m Vg vt g Ce q m q t m De integrtieconstnte C volgt uit de beginvoorwrde. Als v 0 0 krijg je q m V g t m vt g Ce q m q Als je g gelijk stelt n b, dn neemt de snelheid toe totdt b v 0, dus ls m m vl Vg formule voor v t ndert nr deze wrde ls t ndert nr oneindig. mb v. De q F = -cv : vormweerstnd De wrijvingskrcht op een lichm dt met grote snelheid door een gs of vloeistof gt, wordt in hoofdzk door de botsingen met de gs- of vloeistofmoleculen veroorzkt. Het is een vormweerstnd. De krcht is dn F cv en de bewegingsvergelijking d dt c m d dt Deze DV is niet lineir en niet op de beschreven mnieren op te lossen. In concrete gevllen is wel iets over begin- of eindwrden te zeggen. Bijvoorbeeld bij een vrije vl (wrbij je de zwrtekrcht en de opwrtse krcht n de bovenstnde bewegingsvergelijking moet toevoegen): de snelheid is miml ls de versnelling nul is, dus ls mg F cv 0. Dn is constnte eind snelheid opw v mg F c opw Numeriek integreren, methode vn Euler Als je geen directe oplossing weet, kun je ltijd nog in een spredsheet numeriek integreren volgens de methode vn Euler. Deze methode houdt het volgende in:. g uit vn een tijdstip t wrop beginwrden bekend zijn voor lle vribelen (F,,v,) en constnten (m,c,etc);. vind een uitdrukking voor de versnelling ls functie vn F, m, c, v en (niet vn t); 49

50 Rechtlijnige bewegingen 3. verdeel het integrtie-intervl in voldoende kleine tijdsintervllen t wrin de wrden vn, v en niet significnt vernderen en beschouw, v en in een tijdsintervl t ls constnt 4. bereken voor het tijdstip t t nieuwe wrden voor, v en met. de opgestelde uitdrukking voor b. v v t n n n c. v t n n n 5. herhl dit voor het volgende tijdsintervl 6. enzovoort tot een eindvoorwrde is bereikt, bijvoorbeeld dt n, v of een beplde wrde overschrijden. Voorbeeld: vormweerstnd Een utomobilist hlt bij 30 ms - zijn voet vn het gs. De uto wordt dn voornmelijk door de luchtweerstnd fgeremd. Stel dt bekend is dt F W,5v en de uto 00 kg weegt. Hoe verndert dn de snelheid ls functie vn de tijd?. Op t=0 zijn 0 0 en v FW,5. Voor de versnelling stellen we de uitdrukking op v 0,004v. m In de spredsheet krijgt elke grootheid een kolom en worden de beginwrden en lgoritmes ingevoerd. Zie onderstnde tbel. Klik voor meer informtie we houden contct Optiml online smenwerken met SURFgroepen SURFgroepen is een complete online smenwerkingsomgeving met documentopslg, Instnt Messging en videoconferencing. Werk in een Temsite smen met colleg s uit een fdeling, leden vn een projectgroep of docenten en studenten rond een specifieke cursus. Sl je bestnden online op, deel tkenlijsten, fbeeldingen en een gezmen lijke gend. Verder kun je zien wie online is en direct chtten. In een virtuele vergder kmer kun je elkr zelfs horen en zien. Nst de Temsite krijg je de beschikking over een MySite. Hier kun je persoonlijke documenten beheren. SURFgroepen is een product vn SURFnet en een onderdeel vn de SURFnet-licentie vn je instelling. Drmee kun je direct n de slg en zijn voor jou n het gebruik geen kosten verbonden. 50

51 Rechtlijnige bewegingen 4. In elke volgende rij berken je de wrden voor de grootheden n een stp t. In het voorbeeld hieronder nemen we n dt t s voldoende klein is ten opzichte vn de tijd voor het tot stilstnd komen vn de uto. Anders moet een getl kleiner dn worden ingevoerd, bijvoorbeeld: A3=A+0,. Mk, ndt rij 3 goed is ingevuld, gebruik vn de kopieerfunctie om lle volgende rijen te vullen. 5. G nr de functie voor het weergeven vn resultten en selecteer de wrden die je wilt weergeven, zols in de onderstnde figuur. Tbel Numeriek integreren in een spredsheet A B C D t (s) (m) v (m.s^-) A (m.s^-) =0 =0 =30 = 0,004*C*C 3 =A+ =B+(C*) =C+(D*) = 0,004*C3*C3 4 =A3+ =B3+(C3*) =C3+(D3*) = 0,004*C4*C4 A B C D t (s) (m) v (m.s^-) A (m.s^-) , , ,07 v (m/s) 30 5 v t grfiek vormweerstnd t (s) Figuur Snelheid en vormweerstnd 5