Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 Overzih Emensof Anlse He is de vergelijking vn een lijn me srwrde 00 en helling 0. Omd de inhoud nuurlijk nie negief kn worden, moeen de -wrden (W) gekozen worden ussen 0 en 00 en de -wrden () ussen 0 en 0. De helling vn de lijn is gelijk n dus er word per minuu 0 lier ui de nk gezogen. 00 De nk is leeg ls W 0. Di geef , dus 0. 0 N 0 minuen is de nk leeg. Als er geen gewih n de veer hng geld g 0 kg, dus L m. De srwrde is de lenge zonder gewih, dus m. De helling vn de lijn is de oenme vn de uirekking per kg er gewih en is dus gelijk n, 7,. De formule voor de lenge L vn de veer in m ls funie vn he gewih g in kg vn deze veer is dus L 7, g+. De veren zijn even lng ls 0g+ 7, g+. Di lever, g dus g, kg., d De veren zijn dn 0, + 7,, + m lng. 0 lever ( )( + ) 0, dus of. (Di hd ook opgelos kunnen worden me de -formule, wrij, en.) 0 lever, dus of. De grfiek vn f is een dlprool me een minimum voor en f () 9. He domein vn f is en he ereik vn f is [ 9,. De snijpunen vn de grfieken worden gevonden door de volgende vergelijking op e lossen:. Di lever 0, dus ( ) ( + )( ) 0. De snijpunen vn de grfieken f en g zijn dus (, 0 ) en (, ). (De -wrden vn de snijpunen hdden ook gevonden kunnen worden me de -formule, wrij, en.) De helling vn de lijn door deze snijpunen is 0, dus de vergelijking vn de lijn door deze punen word +. (, 0 ) invullen lever 0 +, dus. De vergelijking is. Op den duur word enorm groo en nder 090, nr 0. De populie vissen word dus op den duur N 0 jr (dus 0 mnden) lijk he nl + 0 vissen ook ijn gelijk e zijn n 000. Plo op de grfishe rekenmhine de grfieken vn Y 000 en Y , en lees f d de grfieken elkr snijden voor, 97. N mnden zijn er voor he eers meer dn 000 vissen (je hd di ook kunnen ekijken me ehulp vn de el vn Y). Er zijn dn ongeveer 00 vissen. Kijk in de el vn de funie Y ui opdrh me een spgrooe vn één mnd. De oenme vn he nl vissen is he groos in de e mnd (nmelijk 79) en in de e mnd (nmelijk 79). Wnneer he nie om he nl vissen zou gn, zou je zien d de funie V ussen 0 en ne ies meer oeneem dn ussen en of plo de grfiek vn de hellingfunie en kijk wr deze miml is (di lever ). Overzih Emensof Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel

2 Overzih Emensof Merk eers op d de funie f lleen mr gedefinieerd is ls + dus. Me ehulp vn de grfishe rekenmhine me Y + en Y vind je me inerse de -wrde vn he snijpun vn de wee grfieken:,. Me de plo vn de grfieken volg nu d de oplossing vn f( ) g ( ) in de inervlnoie gegeven word door: [, ; ]. Er moe gelden f( ) g ( ) en omd de grfiek vn f oven de grfiek vn g moe liggen geld in ieder gevl <,. Plo nu de grfieken vn Y Y Y (me Y en Y zols in opdrh ) en Y. Me ehulp vn inerse word nu gevonden d 7,. G () 0 me G in grmmen en in uren. De groeifor vn he gewih is per uur. G() 0 me G in grmmen en in uren. De groeifor vn he gewih is per 0 minuen, dus per uur. G () 0 me G in grmmen en in uren. d Elk uur lijf er 7% vn de eginhoeveelheid over, dus de groeifor is 7 per uur. G () 0 07, me G in grmmen en in uren. 7 A( 0), 0, A( ), 7,, A( ),, 7 en A( ),, 77 A( ) geef de hoeveelheid A n op 7 deemer 0 d wil zeggen vier dgen voor deemer 00. De eginhoeveelheid is gelijk n A( 0) 0 en de groeifor is 7,,,. 0 d Op deemer 00 geld en op jnuri 00 geld. A O e Ui opdrh volg d 0 en g,, dus A () 0 (, ). f Een uur is ( ) deel vn een dg, dus de groeifor per uur is,, 0. Als he vervngingsperenge drie is, lijf er jrlijks 97% vn de eginhoeveelheid over en is de groeifor 97. De oplossing vn de vergelijking 097, kn op de rekenmhine enderd worden door de grfieken vn Y 97 en Y e ploen en de -wrde vn he snijpun e enderen. Ook kn de vergelijking log( ) me ehulp vn logrimen worden opgelos:, 7. In de loop vn log( 097, ) he jr 0 zl nog slehs de helf vn de euro s in Nederlnd ui Beri-euro s esn. Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel

3 Als he vervngingsperenge 7, is, lijf er jrlijks 9,% vn de eginhoeveelheid over en is de groeifor 9. De ongelijkheid 9 0, dien dus opgelos e worden. De oplossing vn 9 0, kn op de rekenmhine enderd worden door de grfieken vn Y 9 en Y e ploen en de -wrde vn he snijpun e enderen. Ook kn de vergelijking me ehulp vn log( 0, ) logrimen worden opgelos: 9,. In de loop vn he jr 0 log( 9) zullen er voor he eers minder dn 0% vn de euro s in ons lnd Beri-euro s zijn. Omd zowel ij opdrh ls ij opdrh de groeifor kleiner dn is zl he perenge Beri-euro s in ons lnd ij eide modellen nr 0 nderen, dus zl er op ermijn geen vs perenge Beri-euro s overlijven. 9 De gemiddelde helling op [ 00 ;, ] is f( 0, ) f( 0 ) ( ) ( ) 9,. 0, 0, De gemiddelde helling op [ 000 ;, ] is f( 00, ) f( 0 ) ( 7, ) ( ) 0. 00, 00, De gemiddelde helling op [ 0000 ;, ] is f( 0, 00 ) f( 0 ) ( 00 ) ( ) 9, Je zie d he differeniequoiën seeds groer word nrme je he inervl kleiner mk. De helling vn de rklijn in ( ) zl dus wel oneindig groo zijn. He is ook ekend d de grfiek vn een worelfunie veril loop in he rndpun. 0 De gemiddelde helling op he inervl [ 00 ;, ] is f(, 00) f( ) ( 9, 00 + ) ( + ) 7, Een endering in drie deimlen 00 00, 0 vn df in he pun me is dus. d f'( ) 9 9 g'( ) h'( ) 0 9 d k'( ) 0 f'( ) ( 9 9) e l'( ) g'( ) ( ) f m'( ) h'( ) f'( ) ( 0 ) ( 9 9) f( ) ( ) ( ) 0 of of of Me de grfiek volg nu d de oplossing vn f( )< 0 in inervlnoie gegeven word door,,. f( ) ( ) ( ) + f'( ) f'( ) ( ) dus + Vul (, 0 ) in: De vergelijking is + 7. d De horizonle lijn oven de -s die me de grfiek vn f preies wee punen gemeenshppelijk heef g door he pun B wr de grfiek een mimum heef. Me ehulp vn de grfishe rekenmhine vind je d he mimum, word ereik voor. Wnneer je de grfiek vn Y ( )( ) snijd me Y, vind je de -oördin vn pun C:, 00. De lenge vn BC is dus ongeveer, 00 +,. Overzih Emensof Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel 7

4 Overzih Emensof f'( ) f '( ), dus de vergelijking is + Vul (, ) in: +. De vergelijking is. g ( ) g'( ) g'( ), dus + Vul (, ) in: +. De vergelijking is +.. De rklijnen zijn elkrs gespiegelde in de lijn. Als je ij de rklijn ij opdrh en verwissel krijg je + +, dus de rklijn ij opdrh. (De funies f( ) en g ( ) zijn ook elkrs gespiegelde in de lijn ; ls je ij f( ) en verwissel krijg je g ( ).) N een jr is he perenge gegroeid o 0%, dus de groeifor per jr is 0 0,. 00 Een mnd is ( ) deel vn een jr, dus de groeifor per mnd is 0,, 00. ( ) m De vergelijking 00 (, 0 ) 00 dien dus opgelos e worden. De oplossing kn op de rekenmhine gevonden worden door de grfieken vn ( Y 00 0 ) (, ) en Y 00 e ploen en de -wrde vn he snijpun e enderen. Ook kn de vergelijking me ehulp vn logrimen worden opgelos: log( ) m, 0. N mnden is he edrg ijn verdueld en n ( ) log( 0, ) mnden is he edrg meer dn verdueld. N een dg is nog 70% vn de oorspronkelijke hoeveelheid mediijn nwezig, dus de groeifor is 70. Dus M () ( 70 ) me M in mg en in dgen. De hlveringsijd word gevonden door de vergelijking ( 070, ) op e lossen. De oplossing is 070, log( ). 070, log( ) log( ) log( ), 9 dg, dus 0 7 uren log( 070, ) log( 070, ) d De vergelijking ( 70) 0, dien dus opgelos e worden. De oplossing kn op de rekenmhine gevonden worden door de grfieken vn Y ( 070, ) en Y e ploen en de -wrde vn he snijpun e enderen. Ook kn de log( 0, ) vergelijking me ehulp vn logrimen worden opgelos: 70,. N log( 070, ) zeven dgen moe de eigenr dus erug nr de dierenrs voor een nieuwe injeie. O h g f Me ehulp vn de rekenregels volg g ( ) log( ) log+ log( ) + log. Er geld dus. Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel

5 d log( ) 0 0 ; log( ) 0 log( ) 0 0 ; 0 0 log( ) e Een endering vn de helling in (, ) n de grfiek vn g is g(, 00) g( ), 00, Gegeven is D,. De hooge vn de oom kn worden verkregen door op de rekenmhine de grfieken vn Y log( ) en Y + log(, ) e ploen en de -wrde vn he snijpun e eplen. Me ehulp vn logrimen kn H ook uigedruk worden in D: log D log D,, log H + logd log H + + H 0., Me eide mnieren volg d de hooge vn de oom voor D, gelijk is n H 9, 7 meer. + Gegeven is nu H, dus log D +, log. Nu volg D 0, log 0, meer op meer hooge. Sel ijvooreeld voor eide sooren omen de dimeer D op meer hooge gelijk n meer. Dn geld log D 0 en voor de eerse soor omen H 0, en voor de weede soor omen H 0,,. Als je de weede hooge deel door de eerse hooge zie je d de weede soor omen ongeveer wee keer zo hoog is. Er kn ook geseld worden d de vergroingsfor is en d door susiuie vn H voor H in de formule vn de weede soor omen de eerse formule verkregen moe worden. Di lever log D, +, log( H), +, log( ) +, log( H ). Omd di 0,, gelijk moe zijn n +, log( H ) volg, log( ), dus 0. en π, dus f( ) os( ) os( ) π en π π, dus f ( ) os( π ) 9 π Omd de mpliude is en f ( 0 ) negief is geld ; 0, 0, π dus f( ) os( 0 ). d Omd de mpliude is en f ( 0 ) negief is geld ; de periode is, dus π π en f ( ) os( π ). e Omd de mpliude is en f ( 0 ) posiief is geld ; de periode is, dus π π en f( ) os( ) π., O, Overzih Emensof Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel 9

6 90 Overzih Emensof De wee oplossingen vn os op [ 0π, ] zijn os ( ) π 0, en π π π,. Me ehulp vn de grfiek volg d de oplossing vn os in de inervlnoie gegeven word door [ π, π ]., 9 O, 9 De enige oplossing vn sin 0, op [, ] is sin ( 0, ) 00,. Me ehulp vn de grfiek volg d de oplossing vn sin > 0, in de inervlnoie gegeven word door 0; ]. Ook me de grfishe rekenmhine is he snijpun vn Y sin en Y e enderen. O De wee oplossingen vn sin 0, op [ π, π ] zijn sin ( ), en π sin ( 0, ),. Ook me de grfishe rekenmhine zijn de snijpunen vn Y sin en Y e enderen. 0 De evenwihssnd is, m en de mpliude is 7 m. De mimle werhooge is dus, + 07,, meer en de minimle werhooge is, 07, 07, meer. h,, O Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel

7 d De periode is π, uren, dus uur en minuen. Plo de grfieken vn 0 Y, + 7os( 0) en Y voor één periode en epl de -wrden vn de snijpunen. Me de grfiek volg d de oo de hven nie kn innenvren ussen, en,. Gedurende π (,, ), uren per periode, 0 dus uur en 7 minuen, kn de veeroo de hven wel innenvren. 0 T O 0 0 u He mimum is,0 en he minimum is,, dus de evenwihssnd is d, 0 +,, en de mpliude is,,,. De periode is, dus π π. De grfiek g een kwr periode voord he mimum ereik word door de evenwihssnd omhoog, dus 9. π De formule is dus T, +, sin( ( u 9)). T 0 O u 0 0 π De periode is uren. Plo de grfieken Y 7, +, sin( ( 0)) en Y 0 voor één periode en epl de -wrden vn de snijpunen. Me de grfiek volg d de emperuur wrmer is dn 0 C ussen u, en u 9, 7. Gedurende 0 ( 9, 7, ) minuen per dg in pril is he wrmer dn 0 C. De emperuursijging is he serks wnneer de grfiek door de evenwihssnd omhoog g, dus in di gevl voor u 0. De sijging is dn ongeveer T( 00) T( 0) 7, 07 7,, 7 C/uur, dus ongeveer 00 00, 7 09 C/minuu. 0 Overzih Emensof Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel 9

8 Overzih Emensof In een plo zie je d er wee oplossingen zijn. ( ) ( ), of, In een plo zie je d er één oplossing is: ( 7). In een plo zie je d er geen oplossing is. is lijd posiief en kn dus nooi gelijk zijn n. d In een plo zie je d er één oplossing is. 7 7 ( ) 7 ( ) 07, Bij grfiek is l dr weggehld voord je ging spoelen, dus deze grfiek moe horen ij mnier drie. Bij grfiek zie je d ij elke keer spoelen een groer perenge vn de oliedr verdwijn dn ij grfiek dus grfiek hoor ij mnier wee en grfiek hoor ij mnier één. Bij 0 keer spoelen is ij mnier drie l 0 kg oliedr verdwenen, dus is er voor he spoelen 0 kg oliedr weg geshrp. Bij mnier één lijf n elke keer spoelen % vn de oliedr over, dus de reserende hoeveelheid oliedr n wee keer spoelen is 0 ( 0, ), kg. Bij mnier wee lijf n elke keer spoelen 0% vn de oliedr over, dus de reserende hoeveelheid oliedr n wee keer spoelen is 0 ( 0, ) kg. Bij mnier drie is voor he spoelen l 0 kg oliedr weg geshrp, dus nog 0 kg over. N elke keer spoelen lijf % vn de oliedr over, dus de reserende hoeveelheid oliedr n wee keer spoelen is 0 ( 0, ) 9, kg. 00 v( 9), km/uur h 00, m h 0 Er kn ngenomen worden d de verkeersdrempels dienen om f e remmen en d de mimle snelheid wrmee je een drempel mg psseren gelijk is n 0 km/uur. De minimle hooge is dn 00 0 m. De mimle hooge vn een 0 verkeersdrempel zl ongeveer 0 m edrgen, wn ls je de drempel nog hoger mk zou he voeruig eshdigd kunnen worden ij he psseren vn de drempel. De funie is dus nr shing geldig voor wrden vn h in he inervl [ 0 ]., In 900 geld B,, dus me de formule volg V 00 (, ) 70,., In 90 geld B,, dus me de formule volg V 00 (, ) 7, 7., In 90 geld B,, dus me de formule volg V 00 (, ),. De formule lijk nog seeds ij endering redelijk e kloppen. He is nuurlijk nie zo d de formule seeds geldig zl lijven, wn ls ijvooreeld de evolkingsgrooe hezelfde lijf, mr de welvr lijf groeien, zl he nl reizigerskilomeers kunnen oenemen ij een zelfde wrde vn V. Vn 900 o 90 lijk he model een goede endering e geven. Als je in de formule B vervng door B krijg je,,, V 00 ( B) 00 ( B). He ole personenvervoer word dn, volgens de formule 97, keer zo groo., B, ingevuld in de formule lever V 00 (, ) 07, 9. He ole personenvervoer edroeg dus volgens de formule in 000 ongeveer 07,9 miljrd reizigerskilomeers. d V B V B, 00 ( ) V 00 00, V 9 Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel,, ( )

9 d O 0 0 In he rndpun, loop de grfiek veril. He snijpun me de -s is ( 0 ). He domein is [, en he ereik is, ]. Er is sprke vn fnemende dling O 0 De grfiek is een ergprool me ls op (, ). De grfiek snijd de -s in de punen ( 0 ) en (, 0 ) en de -s in he pun ( 0 ) O 0 De grfiek heef een horizonle smpoo 00 en een verile smpoo 0. De grfiek snijd de -s in he pun (, 0 ). 0 0 O Overzih Emensof Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel 9

10 9 Overzih Emensof De grfiek is oenemend sijgend en snijd de -s in he pun ( 0; 7 ). De grfiek heef een horizonle smpoo 0. 7 f( ) is onsn ui, g ( ) is onsn ui en h ( ) is onsn ui log f( ) is onsn ui door vermenigvuldiging en opzihe vn de -s me en drn een vershuiving vn wee nr rehs. g ( ) is onsn ui door vermenigvuldiging en opzihe vn de -s me en drn een vershuiving vn drie nr oven. h ( ) is onsn ui log door een vershuiving vn wee nr eneden. f( ) 0, ( ) 0,, g ( ) + + en h ( ) + log De oplossing kn op de rekenmhine gevonden worden door de grfieken vn Y os( ) en Y os( + π ) e ploen en de -wrden vn de snijpunen e enderen:, of,. Me de grfieken volg nu d f ( ) < f ( ) voor in,;,. Een horizonle vershuiving π nr links en vervolgens een vermenigvuldiging en opzihe vn de -s me de for wee. O De grfiek heef de evenwihssnd d 0. Me ehulp vn de rekenmhine word gevonden d de grfiek vn Y Y+ Y (me Y en Y ls in opdrh ) een mimum ongeveer, heef voor 0,. De grfiek vn os is dus nr links vershoven en vermenigvuldigd en opzihe vn de -s me,. Dus, en 0,. 9 + ( ) N onrole lijk deze oplossing e voldoen. Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel

11 0 + dus ( + ) (me -formule of grfishe rekenmhine) ± dus 0, of 7,, 0 of 09, 9 7 O 0 0 De verile smpoo is, wn je zie dire d de noemer vn de reuk dn gelijk is n 0 en de eller nie. De horizonle smpoo is, wn voor groe (negieve of posiieve) wrden vn nder de reuk nr 0 en dus g() nr O 0 d f( ) e g ( ) + f h ( ) , en ; D of N onrole lijk lleen een oplossing. f() f() 0 geef 0 dus ofwel g ( )( ) ( ) + + g ( ) of 0 of h ( ) ( ) ( + )( ) h ( ) of 0 of Overzih Emensof Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel 9

12 9 Overzih Emensof Voor geld f ( )( ( ) + ) ; deze funie heef nulpunen wnneer ( + )( ) 0, dus voor of. Voor geld f ( ( ) + ) ; deze funie heef geen nulpunen, wn + > 0 voor lle wrden vn. De grfiek me de wee snijpunen me de -s (grfiek I) hoor dus ij en de grfiek me de wee oppen (grfiek II) ij. f ( ) ( ) De grfiek vn f heef nulpunen wnneer geld 0 en 0 ; di geef lleen voor > 0 wee oplossingen en. d f( ) f'( ) ( + ) De vergelijking f'( ) 0 heef lleen (wee) oplossingen wnneer geld + 0 en 0 ; di geef lleen voor < 0 wee oplossingen en. Wnneer de weremperuur lger is, zl de lihmsemperuur vn de duiker sneller dlen. De funie wrij de emperuursdling ls funie vn de isolie he, groos is, is d, dus deze zl horen ij een weremperuur vn 0 C. Neem I, ijvooreeld ij eide formules I dn is ij d de emperuursdling I,, C/uur en ij d de emperuursdling C/uur. I, Voor de formule d geld d I,,, I 7 I I De isoliewrde vn he pk is dus 7 lo. Bij een weremperuur vn 0 C geld,,, d d+ I I I d + d Wnneer je nie fkoel moe de emperuurdling per uur gelijk zijn n nul, dus d 0., Bij een weremperuur vn 0 C volg I, lo. 0+, Bij een weremperuur vn C volg I, lo. 0+ f is een keingfunie. De shkels zijn u du en d f( u) sin u f'( u) os u dus f'( ) os u os De fgeleide vn kn epld worden me de produregel: '( ) os os+ sin sin os sin. Ps op sin de keingregel oe en sin is een onsne, dus heef fgeleide 0. Hierui volg: N'( ) os. Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel

13 Er geld g ( ) sin( π) sin( ( π )). De grfiek vn f( ) g door he pun ( 00, ) door de evenwihssnd omhoog en de grfiek vn g ( ) door he pun ( π, 0 ). De grfiek vn g ( ) word ui de grfiek vn f( ) verkregen door deze horizonl π nr rehs e shuiven. De periode vn f en vn g is p π π, dus he fsevershil is π. π horizonle vershuiving horizonle vershuiving He fsevershil is, dus en periode π h kn ui f verkregen worden door een horizonle vershuiving vn π π. Een formule voor h is dus h ( ) sin( ( π)) sin( π ). 7 Er geld f ( π) sin( π) sin( π). De periode vn f is π π en de grfiek is op [ π, π ] smmerish in de ssen ( ) π, π en in π. Omd π een oplossing is volg d de ndere oplossing op [ π, π ] gegeven worden door π π π. Omd de grfiek vn g ( ) ui de grfiek vn f( ) verkregen word door deze horizonl π nr rehs e shuiven, zijn de oplossingen vn g ( ) op [ π, π ]: π+ π π, π+ π π en π π π. d Omd de grfiek vn g ( ) punsmmerish is in de punen ( π, 0 ), ( π, 0 ) en ( π, 0) volg d de oplossingen vn g ( ) op [ π, π ] zijn: π, π en π. (Je kun ook lijnsmmerie geruiken in de lijnen 0 en π ) π De periode vn de werhooge in Zndg is, uren, de evenwihssnd is 0 0, +, 0, meer en de mpliude is, 0, meer. horizonle vershuiving horizonle vershuiving He fsevershil is, dus π periode ( ) 0 en de grfiek vn de werhooge in de hven vn Zndg kn ui die vn de hven vn Modderoog worden verkregen door een horizonle vershuiving nr links vn π π. 0 Een formule voor de werhooge in Zndg is dus z () 0, + os( 0( + π )) 0, + os( 0, 0 + 0, π ) In Zndg is he π, uur eerder hoogwer dn in Modderoog. 9 De periode is π mnden. π De wespenpopulie is miml ls sin π miml is dus ls. He mimle nl is 00 7, 00 wespen, rond sepemer. ugusus kom overeen me N(, 00) N( ) N '( ) 9 wespen per mnd., 00 Toenme ongeveer 9 wespen per dg. 0 Overzih Emensof Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel 97

14 0 9 Overzih Emensof 0 O 0 0 Me ehulp vn de somregel en de keingregel volg: f'( ) 0 0, πos( 0, π) 0, 0, π os( π ). Nu volg f '( 0) πos( 0) 0, 0, π. f'( ) ( + ) 0( + ) g'( ) hq ( ) ( q + ) dus 0q h'( q) ( q + ) q ( q + ) d k'( ) sin( ) sin( ) e l'( ) sin os sin sin os + sin 0, p f'( p) ( p) + p p p g'( ) sin sin+ os os sin + os p ( ) ( + )( ) dus p'( ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 O - p Wnneer + 0 voor lle wrden vn kun je overl de worel nemen en dus es de funie overl. Omd miniml 0 voor 0 is he domein wnneer 0. Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel

15 f ( ) is een keingfunie. De shkels zijn u + du d df f u u u du u u + Hierui volg: f '( ) + + d De grfiek heef voor 0 een minimum 0 voor 0 (zie ook de grfiek vn opdrh ) en voor > 0 een minimum voor 0. Omd voor < 0 de grfiek ui wee kken es heef de grfiek dn nie één minimum, mr wee rndminim. De grfiek vn f heef dus een minimum voor 0. e De grfiek vn f heef een horizonle rklijn wnneer f '( ) 0, dus wnneer 0 én + 0. Hierui volg d moe gelden 0. f Voor 0 word he funievoorshrif f ( ). 0 Voor < 0 geld f ( ) en voor 0 geld 0 f ( ). De grfieken vn de funies en zijn rehe 0 lijnen. Dus f ( ) op domein, 0 en f ( ) op domein [. De helling 0 0 voor 0 is in di gevl nie gedefinieerd (links vn 0 heef de funie helling en rehs vn 0 heef de funie de helling ). De funie heef wel een kleinse funiewrde, nmelijk 0 voor 0. N uur heef he ship A een fsnd fgelegd vn mijl en evind zih dus mijl ooswrs vn zijn plek om.00 uur. N uur heef he ship B een fsnd fgelegd vn 0 mijl en evind zih dus 0 mijl zuidwrs vn de plek wr ship A zih evond om.00 uur. Me de selling vn Phgors volg nu voor de fsnd vn de shepen n uur: S ( ) + ( 0) + ( 0)( 0) mijl. Om.0 uur is he, uur n.00 uur, dus,. De fsnd ussen de shepen is dn S, 000, + 7, mijl. S () is een keingfunie. De shkels zijn: du u d e d S u u ds u du u u Hierui volg: S'( ) ( 0 000) S'( ) 0 geef Me ehulp vn een plo volg d de fsnd he kleins is voor, dus om.00 uur. De fsnd ussen de shepen is om.00 uur S mijl. Overzih Emensof Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen hvo B deel 99

16 Overzih Emensof O of of of f ( ) '( ) ls + 0 dus He minimum is f ( ) d f '( 0) dus. igevers v