Efficiënt zoeken in grote tekstbestanden
|
|
- Gerarda Janssen
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Efficiënt zoeken in grote tekstbestnden Een gstles wiskunde voor hvo/vwo 3 en 4, verzorgd door de Universiteit Twente Mriëlle Stoeling en Mrk Timmer Google, Twitter, en Fcebook doorzoeken in een mum vn tijd miljrden tekstdocumenten: google je wiskunde, dn krijg je zo n 4 miljoen resultten binnen 0,1 seconde. Hoe doen pplicties ls Google, Twitter en Fcebook dit? Binnen de Informtic zijn een ntl slimme methoden (ook wel lgoritmen genoemd) ontwikkeld om snel te zoeken in tekstbestnden. Deze methoden zijn gebseerd op zogenmde eindige utomten: een specil soort grfen wrvn de pijlen gelbeld zijn met letters vn het te zoeken woord. Wij hebben begin dit jr een gstcollege gegeven over deze methoden n leerlingen vn hvo 3 en vwo 4. De gstles vond plts op het Twickel College te Hengelo. In dit rtikel beschrijven we deze gstles: we leggen uit hoe deze zoekmethoden werken, en welke opdrchten we gedn hebben binnen de gstles. Ook gn we dieper in op de wiskundige chtergronden vn de methoden uit de les uit --- dit hoeven de leerlingen zelf niet te weten, mr geeft n dt onze eindige utomten geen d hoc methoden zijn, mr deel uitmken vn een rijke en ook elegnte wiskundige theorie, die een fundmentele rol speelt binnen de Informtic. Al het lesmteril dt we gebruikt hebben stellen we ter beschikking, inclusief een docentenhndleiding; het kn gedownlod worden vi de UT-website, zols hieronder verwezen wordt. We hopen dt dit mteril wiskundedocenten zl inspireren om ook eens een les over dit onderwerp te geven, en zo leerlingen te lten zien wr wiskunde toe kn leiden. Context vn de gstles. Deze gstles is gegeven in het kder vn Twents Meesterschp, een ctiviteit vn de Universiteit Twente (UT) voor hvo/vwo-docenten. Getiteld Op bezoek bij onderzoek, verzorgen onderzoekers n de universiteit workshops over nieuwe ontwikkelingen in hun eigen onderzoek (wiskunde, informtic, ntuurkunde, scheikunde, biologie, economie, en mngement). Drnst zijn er workshops over onderwijsctiviteiten die de UT nbiedt n middelbre scholen: profielwerkstukbegeleiding, online leeromgevingen in de kls, en het leerlingenlb wr leerlingen proeven kunnen doen met gevnceerde proefopstellingen die op de meeste middelbre scholen niet nwezig zijn. Meer informtie over het Twents Meesterschp is te vinden onder Om lesuitvl te voorkomen, worden de lessen vn docenten die deelnemen n het Twents Meesterschp overgenomen door studenten en docenten vn de Universiteit Twente. Wij hebben, zols gezegd, enkele lessen overgenomen n het Twickel College te Hengelo.
2 Nïef zoeken in teksten. Het zoekprobleem dt we in de in de gstles hebben behndeld luidt ls volgt: gegeven een woord w (ook wel ptroon genoemd) en een tekst T, willen we weten of w voorkomt in T. Een voor de hnd liggende mnier om dit te doen, is het een-voor-een vergelijken vn de letters vn w in T. Een voorbeeld: we zoeken het woord nns in de tekst T = s s n n n n s s. De nïeve methode is weergegeven in de onderstnde tbel. In regel i checken we of het woord nns begint op positie i in de tekst T. Zodr we een letter vinden die niet gelijk is, gn we nr de volgende positie. We beginnen op positie 1 vn de tekst. Angezien de eerste letter niet klopt (het is een s mr moet een zijn; zie regel 1 in tbel), gn we kijken of het woord begint op positie 2. Nu is de eerste letter wel goed, mr de tweede letter niet (is een s, mr moet een zijn, zie regel 2). Op nr positie 3, wr de eerste letter niet goed is. Dus nr positie 4. Hier zijn de eerste vijf letters goed, mr hels, de ltste letter is een n in plts vn een s, et ceter. Ps vnf positie 8 vinden we het woord: lle letters zijn goed s s n n n n s s 1 2 n 3 4 n n 5 6 n n n 7 8 n n s Hels is deze methode niet efficiënt, ngezien geen gebruik wordt gemkt vn herhlingen in het woord nns: we zien bijvoorbeeld dt de letters op posities 7 en 8 wel drie keer bekeken worden. Dit is niet nodig, wnt door slim gebruik te mken vn herhlingen in het woord, hoeven lle letters uit de tekst mr eenml bekeken te worden. Dit is precies wt eindige utomten doen: gebruikmken vn herhlingen in een woord. Stel bijvoorbeeld dt we de letters nn l hebben gelezen, en de volgende letter is een n --- dus we zien nnn. Dit is niet het woord nns, mr we zijn wel l een eind op weg: we hebben l het beginstuk nn gezien, en hoeven dus lleen nog mr een en een s te lezen. Eindige utomten onthouden dit door een toestnd bij te houden, en zorgen zo voor efficiëntie.
3 n, s, n, s n n s n n nn nn s n,s n s n,s : ) Figuur 1 Theorie vn eindige utomten. Een eindige utomt (zie Figuur 1 voor een voorbeeld) is een grf wrvn de pijlen gelbeld zijn met letters uit een voorf gegeven eindige verzmeling A, die we het lfbet vn de utomt noemen. Er is een begintoestnd, die we ngeven met een inkomende pijl uit het niets, en een eindtoestnd, die we in dit gevl visueel ngeven met een smiley. Een woord w wordt gevonden in de tekst, ls je door de letters vn het woord w te volgen vnf de begintoestnd, in de eindtoestnd terechtkomt; we zeggen in dt gevl dt de utomt het woord w ccepteert. De utomt uit Figuur 1 ccepteert dus het woord nns (en ieder nder woord dt nns bevt). Als we met deze utomt het woord nns gn zoeken in de tekst s s n n n n s s, dn zien we dt de tekst inderdd geccepteerd wordt. Bovendien hebben we iedere letter uit te tekst mr één keer bekeken, en dt is dus sneller dn bij de nïeve methode vn boven. Een utomt ccepteert in het lgemeen meerdere woorden. De verzmeling vn lle woorden die door een utomt A geccepteerd worden, heet de tl vn A. De utomt uit Figuur 2 ccepteert oneindig veel woorden: ieder woord dt miniml drie s bevt wordt geccepteerd (ndere letters mogen willekeurig vk voorkomen). De utomt uit Figuur 3 ccepteert lle woorden wrin het ntl s een drievoud is. b, c b, c b, c, b, c b, c b, c b, c : ) : ) 1 2 Figuur 2 Figuur 3
4 Formeel ziet het bovenstnde frmework er ls volgt uit --- onderstnde theorie hoeft uiterrd niet door de leerlingen begrepen te worden. Definitie 1. Een eindige utomt A is een 5-tupel (S, s 0, Σ, F, Δ) wrbij S een eindige verzmeling vn toestnden is; s 0 ϵ S de initiële toestnd is; Σ het lfbet vn A is; F S de verzmeling vn eindtoestnden is; Δ: S Σ S de toestndsovergngsfunctie is. De betekenis vn Δ(s,) = s is dt de utomt vnuit toestnd s een kn lezen, om vervolgens verder te gn vnuit toestnd s. In de visulistie (die we het toestndsdigrm noemen) tekenen we dn een pijl vn s nr s met lbel. Een pd in A is een rijtje s 0 1 s 1... n s n, wrbij s i ϵ S, i ϵ Σ en Δ(s i, i+1 ) = s i+1. Het woord dt gelezen wordt met dit pd is 1... n. Woord w wordt geccepteerd door A indien er een pd p in A bestt zodnig dt p begint in de begintoestnd, eindigt in een toestnd uit F en het woord dt met p gelezen wordt gelijk is n w. De tl vn A is nu de verzmeling vn lle woorden die door A geccepteerd worden. Een interessnte stelling in de theorie vn eindige utomten is dt niet lle tlen beschreven kunnen worden door utomten. Het is bijvoorbeeld onmogelijk om een utomt te construeren die de tl L = { k b k k ϵ N} ccepteert. (Hierbij betekent k dt we k keer de letter chter elkr zetten; we bedoelen dus geen mchtsverheffen. De tl L bevt in dit gevl lle woorden met eerst een ntl s en dn precies hetzelfde ntl b s.) Intuïtief is de reden voor deze onmogelijkheid dt de utomt die L zou ccepteren moet onthouden hoeveel s hij vn een woord l gelezen heeft. Echter, omdt een utomt eindig is (zeg dt hij m toestnden heeft), kn hij nooit meer dn m letters onthouden. Stelling 1. Er bestt geen eindige utomt die de tl L = { k b k k ϵ N} ccepteert. Bewijs. Stel, er bestt een eindige utomt A die L ccepteert. Lt m het ntl toestnden in A zijn. We bekijken het woord w = m b m. Dit woord zit in L, dus moet er in A een pd p = s 0 1 s m s 2m zijn vn de begintoestnd nr de eindtoestnd dt woord w leest. Merk op dt dit pd 2m + 1 toestnden heeft. Omdt A mr m toestnden heeft, moeten sommige vn de toestnden vn p gelijk zijn n elkr. Stel dt s i = s j (i j), dn bevt de eindige utomt dus een cycle vnuit de toestnd s i. Als lle letters op de overgngen binnen deze cycle de letter lezen, en de cycle bijvoorbeeld n overgngen lng is, dn zou dt betekenen dt het woord m+n b m ook in de tl vn A zit. Immers, we kunnen een nieuw pd construeren op bsis vn p, door de cycle tweeml te doorlopen. Angezien de nnme ws dt A de tl L ccepteert en m+n b m geen woord in L is, levert dit een tegensprk op. Dezelfde redentie gt op voor het gevl dt lle overgngen een b lezen. In gevl dt er zowel s ls b s op de cycle voorkomen zou een dubbele doorloop zelfs zorgen voor een woord wrin s en b s door elkr heen stn; ook dit soort woorden bevinden zich niet in A. Angezien de eindige utomt die precies L ccepteert in lle gevllen ook woorden ccepteert niet in L zitten,
5 komen we ltijd uit op een tegensprk. Hieruit volgt dt er blijkbr geen eindige utomt bestt die de tl L ccepteert. De gstles. Hoewel de gstles gebseerd ws op de bovenstnde theorie, hebben we uiterrd niet ls doelstelling gehd om een dergelijke formele definitie en redentie over te brengen. Wt we wel wilden bereiken ws het volgende: De leerling weet dt zoeken in tekstbestnden op meerdere mnieren kn, en is zich ervn bewust dt deze mnieren verschillen in efficiëntie. De leerling kn op een intuïtieve wijze uitleggen wt eindige utomten zijn en wr ze voor dienen. De leerling kn een toestndsdigrm vn een eindigde utomt herkennen en interpreteren. In eenvoudige gevllen kn de leerling beplen wt de tl is die door de utomt wordt geccepteerd. De leerling kn, gegeven een of meerdere woorden, een eindige utomt construeren die deze woorden ccepteert. Vervolgens kn de leerling deze woorden in een gegeven tekst zoeken met behulp vn de eindige utomt. Om deze leerdoelen te bereiken moeten we vnzelfsprekend uitgn vn een beplde voorkennis. Angezien er `gerekend wordt met woorden, is het vn belng dt leerlingen l enigszins kennis hebben gemkt met vrinten vn wiskunde die niet lleen over het rekenen met getllen gn. Met nme ervring met letterrekenen lijkt een goede bsis voor dit onderwerp te zijn, ngezien leerlingen dn l enig bstrctieniveu hebben bereikt en niet l te vreemd op zullen kijken vn een wiskundige npk vn problemen die niet over getllen gn. De gstles die we gegeven hebben bevtte vier onderdelen: 1. Motivtie vn het onderwerp (3-5 minuten); 2. Uitleg vn de stof (8-10 minuten); 3. Mken en bespreken vn een ntl opdrchten (30-35 minuten); 4. Terugblik (3-5 minuten). Motivtie vn het onderwerp: Het eerste gedeelte vn de les bestond uit een informele introductie op het onderwerp: wrom is efficiënt zoeken belngrijk? Hierbij hebben we de bovengenoemde voorbeelden vn Google, Fcebook en Twitter genoemd. Door concrete sttistieken te noemen over het ntl zoekentermen per dg bij Google werd duidelijk hoe belngrijk efficiëntie hier is. Uitleg vn de stof: N de introductie hebben we twee technieken behndeld om te zoeken in tekstbestnden. Eerst hebben we de nïeve methode behndeld, wrbij vnf iedere positie gekeken wordt of het woord op die positie begint (zols uitgelegd n het begin vn dit rtikel). Door duidelijk te mken dt hierbij dubbel werkt verricht wordt, kwmen we uit op een slimme methode die bijhoudt wt je l gezien hebt: eindige utomten.
6 Vn deze methode hebben we grofweg de bovenstnde theorie behndeld tot n de formele definitie; het voorbeeld in Figuur 2 mkte onderdeel uit vn de opdrchten die de leerlingen hebben uitgevoerd. Opdrchten: We hebben de leerlingen (in tweetllen) lten werken n een viertl opdrchten: In Opdrcht 1 moesten de leerlingen de utomt die we tijdens de les hdden gemkt (Figuur 1) gebruiken om het woord nns te zoeken in een gegeven tekst. Bij iedere letter uit te tekst moesten zij de positie uit de utomt noteren die ze tegenkwmen bij het zoeken. Deze opdrcht lt leerlingen werken met de theorie, en stelt hen in stt om de theorie beter te begrijpen. Opdrcht 2 vroeg de leerlingen een utomt te mken die het woord cco ccepteert. Dit gt op dezelfde mnier ls de utomt voor het woord nns, en leverde nr verwchting geen problemen op. In Opdrcht 3 werd gevrgd om een utomt te construeren die uitvindt of een tekst het woord pen, het woord nep of beide woorden bevt. Hiervoor moesten leerlingen cretiviteit gebruiken om op de goede utomt uit te komen. Ongeveer de helft vn de leerlingen kwm zelf tot het juiste ntwoord, de ndere helft hd een hint nodig, mr uiteindelijk kwm men er wel uit. Opdrcht 4 vroeg om een utomt te mken die uitzoekt of een tekst miniml 3 s bevt. Angezien deze s niet chter elkr hoeven te stn werd dit lstig gevonden. Een ntl leerlingen zg toch onmiddellijk wt de bedoeling ws, een ntl nderen kwm er met een hint wederom uit. We hdden een ntl ntwoordblden uitgedeeld, wrop de opgven vermeld stonden en leerlingen hun utomten konden tekenen. Vervolgens werden deze klssikl besproken, en werden uiteindelijk de juiste ntwoorden door middel vn een bemer geprojecteerd. Terugkijken/Reflectie: Juist omdt het een gstles vnuit de universiteit betrof, vonden we reflectie belngrijk: wt hebben we geleerd? Werkt de methode echt? En: is dit wel wiskunde? Evlutie. De leerlingen hdden geen enkele moeite om de theorie te volgen en kwmen -- hier en dr met enige hulp -- goed uit de opdrchten. Omdt de stof niet tot de stndrd exmenstof behoort, wren echter niet lle leerlingen gemotiveerd om ook met de stof n de slg te gn. Leerlingen die meteen meededen vonden het een grppig onderwerp, voorl omdt het lt zien dt je ook zonder getllen leuke wiskunde kunt doen. Uiteindelijk denken we dt de leerdoelen behld zijn. De leerlingen hebben inderdd kennisgemkt met verschillende zoekstrtegieën, en leken begrepen te hebben dt het zoeken door middel vn eindige utomten efficiënter is dn de nïeve methode. Bovendien hdden leerlingen n de uitleg geen moeite met het hnteren vn een eindige utomt om te zoeken in een tekst. Het construeren vn een utomt die een ntl gegeven woorden ccepteert is uiteindelijk ook iedereen gelukt. Het oefenen met het beplen vn de tl vn een gegeven
7 utomt is niet uitgebreid n de orde gekomen; hier zou eventueel in een vervolgles nog ndcht n besteed kunnen worden. We denken dt de leerlingen n deze les een interessnt kijkje hebben kunnen nemen in de keuken vn de gevnceerdere wiskunde. Hoewel de uitleg uiterrd nog niet heel ingewikkeld ws, hebben leerlingen zo l wel eens kennisgemkt met een vorm vn wiskunde die ze norml gesproken op de middelbre school nog niet zien. Wr kom je eindige utomten nog meer tegen? Zols gezegd, zijn eindige utomten één vn de meest fundmentele wiskundige modellen binnen de Informtic. Ze worden onder ndere gebruikt bij prseren, dt wil zeggen het omzetten vn computerprogrmm s (bijvoorbeeld in C, PHP of Jv) nr instructies voor de computer. Drnst zijn ze belngrijk om processen en protocollen te modelleren. Als je bijvoorbeeld een bericht over het internet wilt versturen, dn moeten de instructies in een beplde volgorde worden nroepen. In welke volgorde dt moet, wordt beschreven door een utomt. De populire modelleertl UML bevt bijvoorbeeld dit soort utomten (Stte Chrts geheten). Beschikbr mteril. Wij hebben de gstlessen gegeven n de hnd vn een presenttie in PowerPoint. Voor het mken vn de opdrchten wren ntwoordvellen beschikbr; deze wren vn te voren uitgeprint. Dit mteril mg gebruikt worden tijdens de lessen, mits het copyright notice (ontwikkeld door Mriëlle Stoeling n de Universiteit Twente) wordt vermeld. Presenttie: Antwoordvellen: Over de uteurs. Mriëlle Stoeling is Universitir Docent Informtic n de Universiteit Twente. Zij is gespeciliseerd in softwre-testtechnieken en nlyse vn stochstische modellen. Mrk Timmer is promovendus n de Universiteit Twente. Zijn promotieonderzoek gt over het efficiënt nlyseren vn stochstische modellen door middel vn bstrctie. Drnst volgt hij de lerrenopleiding wiskunde n het onderwijsinstituut ELAN.
In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.
9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Intermezzo / kleine opfriscursus. Deterministische eindige automaten (DFA) College 6
Vorig college College 6 Algoritmiekgroep Fculteit EWI TU Delft Hotel Hilbert Aftelbrheid vs. Overftelbrheid Digonlisering Overftelbrheid vn R 6 mei 2009 1 2 Intermezzo / kleine opfriscursus Deterministische
Nadere informatieReguliere Expressies en Automaten: Overzicht
Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten
Nadere informatieRouteplanning middels stochastische koeling
Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatieHoe plan je een grote taak?
3 PLANNEN Hoe pln je een grote tk? Wt heb je n deze les? In deze les leer je hoe je grote tken in stukken opdeelt en over meerdere dgen inplnt. Hndig ls je bijvoorbeeld voor een toets moet leren, wnt zo
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen
Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
Nadere informatieFormeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen
1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende
Nadere informatieopgaven formele structuren procesalgebra
opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automten & Complexiteit (X 401049) Eigenschppen vn reguliere tlen Jeroen Keiren j.j..keiren@vu.nl VU University Amsterdm 9 Februri 2015 Reguliere tlen Vorig college: De volgende beweringen zijn equivlent:
Nadere informatiePraktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven
Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de
Nadere informatiefonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?
fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst 2004. Contents
Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten
Nadere informatieDOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet.
kennismking met i-respect.nl INTRODUCTIE GEMAAKT DOOR: Annèt Lmmers ONDERWERP: Een eerste kennismking met i-respect.nl en het onderwerp publiceren. DOEL: Weten wt de gevolgen en risico s kunnen zijn vn
Nadere informatieOpdrachten bij hoofdstuk 2
Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio
Nadere informatieLineaire formules.
www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige
Nadere informatieInhoudsopgave. Inhoud
sopgve 1 Ptronen... 3 2 Vergelijk: tegelptronen... 4 3 Regulier versus context-vrij... 5 4 Lettergrepen: tl met één hnd... 6 5 Bouwpln voor lettergrepen... 7 6 Tlspel met lettergreepstructuur... 8 7 Spiegelwoorden...
Nadere informatieBekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.
Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix
Nadere informatieDeze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid.
Lesopzet De door ons gemkte lessencyclus wordt in drie opeenvolgende rekenlessen gegeven. Les is iets korter dn les en, wrdoor er eventueel extr herhling vnuit les ingepst kn worden.. Les Deze les krijgen
Nadere informatieRekenregels van machten
4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)
Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt,
Nadere informatieErasmus MC Junior Med School
Ersmus MC Desiderius School vn begrijpen nr beslissen Ersmus MC Junior Med School 2012-2013 De rts-onderzoekers vn morgen Het progrmm Dit progrmm loopt prllel n VWO-5 en -6 en bestt uit vier onderdelen:
Nadere informatieAlgemeen. Restweefsel voor medischwetenschappelijk onderzoek
Algemeen Restweefsel voor medischwetenschppelijk onderzoek U bent in het Ersmus MC voor onderzoek en/of behndeling. Soms is het nodig bloed of lichmsweefsel/-vloeistof bij u f te nemen. N fronding vn dit
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Nadere informatieHet bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.
Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte
Nadere informatie9,1. KindereN. GeVen een CijFER. Schilderen5. sarah zegt. Volwassenenpagina6-7
Eenmlige uitgve vn jnuri 2009 DE kinderstem srh zegt KindereN GeVen een CijFER De uitkomst is ls volgt: Het gemiddelde cijfer wt Jouw mening telt! Fier Fryslân helpt vrouwen en kinderen die te mken hebben
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre
Nadere informatieEconomische Topper 4 Evaluatievragen thema 3
Eonomishe Topper 4 Evlutievrgen them 3 1 Vn een lnd zijn volgende gegevens bekend: bbp in 2002 800 miljrd EUR bbp in 2003 833 miljrd EUR Prijspeil 2002 t.o.v. 2003 + 1,5 % Bevolking 2002 t.o.v. 2003 +
Nadere informatieWerken aan resultaat, altijd en overal
nbroek choemn dviseurs Werken n resultt, ltijd en overl Nr een professionele implementtie vn Het Nieuwe Werken bij de Belstingdienst Michël Geerdink Onder het motto Werken n resultt, ltijd en overl is
Nadere informatieTentamen: Kansrekening en Statistiek P0099
Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te
Nadere informatieWerkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
Nadere informatieGetallenverzamelingen
Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.
Nadere informatieMARKETING / PR / COMMUNICATIEMEDEWERKER
OPLEIDING: MARKETING / PR / COMMUNICATIEMEDEWERKER MET DE SPECIALISATIE SOCIAL MEDIA 2015 1 Mrketing/PR/Communictiemedewerker Specilistie Socil Medi SCHEIDEGGER en CEDOR bieden een unieke opleiding n.
Nadere informatieFunctieomschrijving (UFO)
Functieomschrijving (UFO) De functie Studiedviseur universitir geordend Vnf ugustus 2003 heeft de studiedviseur binnen de universiteit een officiële functieomschrijving gekregen. Alle studiedviseurs zijn
Nadere informatieKATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Examencursus
Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en
Nadere informatie3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg
3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls
Nadere informatie5.1 Rekenen met differentialen
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.
1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4
Nadere informatieMytylschool De Trappenberg Peter van Sparrentak
Mytylshool De Trppenberg Peter vn Sprrentk www.m3v.nl Nieuwbouwonept en revlidtieentrum geriht op de toekomst Mytylshool De Trppenberg en het ngrenzende revlidtieentrum in Huizen willen in de toekomst
Nadere informatieFunctiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel. Verlenen van hand- en spandiensten Beheren/beveiligen van goederen, gebouwen en personen
Functiebeschrijving en -wrdering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Scholen Slrisschl 3 Indelingsniveu FUWASYS-dvies II Werkterrein Bedrijfsvoering
Nadere informatiePrimitieve en integraal
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn
Nadere informatieOP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN
OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde
Nadere informatieKwadratische reciprociteit
Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete
Nadere informatieAntwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck
Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt
Nadere informatieFunctiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel
Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Onderwijsondersteuning Slrisschl 5 Indelingsniveu FUWASYS-dvies IIc Werkterrein Onderwijsproces -> onderwijsbegeleiding Activiteiten Bewerken
Nadere informatieBegripsvragen: Beweging
Hndboek ntuurkundedidctiek Hoofdstuk 4: Leerstofdomeinen 4.2 Domeinspecifieke leerstofopbouw 4.2.1 Mechnic Begripsrgen: Beweging 1 Meerkeuzergen O Q R P 1 [H/V] Iemnd stt op de in figuur 1 ngegeen plts
Nadere informatieTrendanalyse huurwoningmarkt Verkorten inschrijfduur en leegstandtijd
Verkorten inschrijfduur en leegstndtijd Pul Kooij 165419 Msterproject Business Mthemtics & Informtics Stgeverslg Zig Websoftwre B.V. Botterstrt 51 C 171 XL Huizen Vrije Universiteit Amsterdm Fculteit Copyright
Nadere informatie14 Effectevaluatie van de Strafrechtelijke Opvang Verslaafden (SOV)
Smenvtting Op 1 pril 2001 trd de wet SOV in werking. Op grond vn deze wet kunnen justitibele verslfden die n een ntl in de wet genoemde voorwrden voldoen, in het kder vn een strfrechtelijke mtregel, voor
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatielater Wat wil(de) worden Contact tussen oud en jong
Wt lter ik wil() Foto: Jef Corneillie (89) wil grg bibliothecris worn. LESBRIEF Contct tussen oud en jong worn Deze lesbrief is gemkt door stichting GetOud in smenwerking met Openbre Bibliotheek. DIGITALE
Nadere informatie1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?
Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.
Nadere informatieAnti-Spyware Enterprise Module software
Anti-Spywre Enterprise Module softwre versie 8.0 Hndleiding Wt is de Anti-Spywre Enterprise Module? De McAfee Anti-Spywre Enterprise Module is een invoegtoepssing voor VirusScn Enterprise 8.0i, wrmee de
Nadere informatieZ- ß- ßr!2f int tçotg
Z- ß- ßr!2f int tçotg A n s I u iti n g sco nve n nt "De Bouw Werkt ln Noordoost Brbnt" Er is een convennt gesloten De Bouw Werkt in Noordoost Brbnt. Eén vn de doelstellingen vn het convennt is het uitbreiden
Nadere informatieBeslissing B&W: datum indiening: 26 januari datum/agendapunt B&Wvergaderi. afdeling. Onderwerp: Wmo klanttevredenheidsonderzoek over 201 4
*@ gemeente Roermond VOORSTEL AAN BURGEMEESTER EN WETHOUDERS VAN DE GEMEENTE ROERMOND dtum indiening: 26 jnuri 2016 fdeling Welzijn dtum/gendpunt B&Wvergderi n g 02021 61 30 1 = Onderwerp: Wmo klnttevredenheidsonderzoek
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur
Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord
Nadere informatieFunctiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel
Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Onderwijsondersteuning Slrisschl 4 Indelingsniveu FUWASYS-dvies IIb Werkterrein Bedrijfsvoering - Mngementondersteuning Activiteiten Bewerken
Nadere informatieGrammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2) Dinsdag 18 december 2007 (15:00-17:00)
Grmmtic s en Ontleden Deeltentmen 1 (vn 2) Dinsdg 18 decemer 2007 (15:00-17:00) John Jeuring Dit exmen estt uit cht meerkeuze vrgen en een open vrg. Geef ltijd het este ntwoord op een meerkeuzevrg. In
Nadere informatieINLEIDING. Gezond eten Gezond drinken Genoeg slapen Goed bewegen
b o r p! f G t i F s i t r G t l p r u e l k r ee INLEIDING Structuur, inzicht en plezier bij gezond leven Dr geloven wij in bij FitGf! Drom hebben we een klender met stickers ontworpen! Voor kinderen,
Nadere informatieEen feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a
Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten
Nadere informatieb,^.c/ -í w-t S t><-h.scl
Z g AUG Z0lt C \/f2 b,^.c/ -í w-t S t> Retourdres Postbus 88 5000 AB Tilburg OPTIMUS stichting ktholiek, protestnts-christelijk
Nadere informatieParels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
Nadere informatieabcdefg Nieuwsbrief 1 11 september 2013
bcdefg Nieuwsbrief 1 11 september 2013 lgemeen nieuws Het nieuwe schooljr is begonnen! Het nieuwe schooljr is fgelopen week vn strt gegn. We hopen dt iedereen een leuke vkntie heeft gehd en lekker is uitgerust.
Nadere informatieANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje
Nadere informatieRapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel
Rpportge Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel VERSIEBEHEER Versie Sttus Dtum Opsteller Wijzigingen Goedkeuring Door Dtum 0.1 onept 4-11-09 VERSPREIDING
Nadere informatieHoofdstuk 11. Kwadraatresten Inleiding
Hoofdstuk 11 Kwdrtresten 11.1 Inleiding In Hoofdstuk 6 hebben we geleerd hoe lineire congruentievergelijkingen vn de vorm x b mod M moeten worden ogelost. De volgende st is uiterrd het olossen vn kwdrtische
Nadere informatieabcdefg Nieuwsbrief 5 27 november 2012
bcdefg Nieuwsbrief 5 27 november 2012 lgemeen nieuws Sloffen! Beste ouders, Het is bij ons op school verplicht om de schoenen in de gng uit te doen, mr het is niet de bedoeling dt de kinderen drn op sokken
Nadere informatieExact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode
Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde
Nadere informatieja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle
Werken met Prezi Infolok Prezi: www.prezi.om prijs ipd pp geshikt voor leerling voordeel Stp 1: het nmken vn een ount. - G nr de wesite. - Kies voor 'Sign Up. grtis j presentties en mindmppen j, studentount
Nadere informatiePraktische Opdracht Lineair Programmeren V5
Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische
Nadere informatieHOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN
I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo
Nadere informatieschets 10 Bergrede: tweeërlei fundament (7:24-29)
shets 10 Bergrede: tweeërlei fundment (7:24-29) A Kernpunten * An het einde vn de Bergrede vergelijkt Jezus de mens met de ouwer vn een huis. Het is een eeld voor wt wij vn ons leven mken en vioor de hele
Nadere informatieWerkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set
Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n
Nadere informatieFunctiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel. Stichting Promes, onderdeel Schoolmanagement
Functiebeschrijving en -wrdering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Slrisschl Indelingsniveu FUWASYS-dvies Werkterrein Activiteiten Kenmerkscores 44343 43334 43 43 Somscore
Nadere informatieEen flexibel samenwerkingsverband
Een flexibel smenwerkingsverbnd Zorg op mt is mogelijk met een flexibele orgnistie en met flexibel inzetbr personeel. Mr hoe krijg je dt voor elkr? Een brochure vn: in opdrcht vn de Projectgroep Pltsingsbeleid.
Nadere informatie6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...
113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de
Nadere informatieInleiding Natuurwetenschappen
Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur
Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld
Nadere informatieOp zoek naar talent en ambitie!
Ersmus MC Desiderius School vn begrijpen nr beslissen Op zoek nr tlent en mbitie! Geneeskunde studeren in Rotterdm Decentrle selectie 2011-2012 Wt hebben we jou te bieden? Sterke knten vn het onderwijsprogrmm
Nadere informatieabcdefg Nieuwsbrief 1 9 september 2014
bcdefg Nieuwsbrief 1 9 september 2014 Algemeen nieuws Het nieuwe schooljr is begonnen! Het nieuwe schooljr is fgelopen week vn strt gegn. We hopen dt iedereen een leuke vkntie heeft gehd en lekker is uitgerust.
Nadere informatie2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.
Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos
Nadere informatierekenboek 8a taken 513830
rekenboek 8 tken 80 Een voorproefje vn groep 8 Het mteril vn De wereld in getllen voor de onderbouw is gereed. Dit schooljr (009-00) verschijnen lle mterilen voor de bovenbouw. U kunt dus vnf het schooljr
Nadere informatieNakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?
Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het
Nadere informatieWIS TALENT MANAGER HANDLEIDING DEELNEMER. Versie: WIS Talent Manager 4.7. WIS Services B.V. verbinden en versnellen
WIS TALENT MANAGER HANDLEIDING DEELNEMER WIS Services B.V. verbinden en versnellen Bezoekdres Stvorenweg 4 2803 PT Goud Correspondentie Postbus 309 2800 AH Goud Versie: WIS Tlent Mnger 4.7 T. (+31) 182
Nadere informatieINTERVIEWEN 1 SITUATIE
INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -
Nadere informatieInhoud college 7 Basiswiskunde
Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10
Nadere informatie1 e Bachelor Informatica dinsdag 17-08-2010, 8:30 prof. dr. Peter Dawyndt academiejaar 2009-2010
Exmen: Computergebruik 1 e Bchelor Informtic dinsdg 17-08-010, 8:30 prof. dr. Peter Dwyndt cdemiejr 009-010 groep 1 tweede zittijd Opgve 1 Gegeven is een tekstbestnd tour010.txt wrin de einduitslg vn de
Nadere informatieHoe zichtbaar ben jij mobiel? MOBIELpakket. Oplossingen voor ondernemende kappers die kiezen. 2012 www.wiewathaar.nl
Hoe zichtbr ben jij mobiel? MOBIELpkket Oplossingen voor ondernemende kppers die kiezen 2012 www.wiewthr.nl Reviews? Voordelen 27% Nederlnders vindt reviewsites ls WieWtHr.nl erg nuttig* Wiewthr.nl is
Nadere informatieNee heb je, ja kun je krijgen DE EFFECTIVITEIT VAN FONDSENWERVINGS- EN REKRUTERINGSSTRATEGIEËN VAN MAATSCHAPPELIJKE ORGANISATIES
Nee heb je, j kun je krijgen DE EFFECTIVITEIT VAN FONDSENWERVINGS- EN REKRUTERINGSSTRATEGIEËN VAN MAATSCHAPPELIJKE ORGANISATIES René Bekkers ICS/Sociologie Universiteit Utrecht R.Bekkers@fss.uu.nl INLEIDING
Nadere informatie1.1 Terug naar Archimedes met simpele voorbeelden
1 Integrlrekening Woord voorf: ik verwijs f en toe nr het groene boekje Wiskunde in je Vingers met Ronld Meester [HM]. Onderstnde tekst bevt net ls [HM] geen pltjes. Het is verstndig en leerzm om die zelf
Nadere informatieWat maak jij. morgen mee MBO. Loonwerk (Groen, grond en infra)
Wt mk jij morgen mee MBO Loonwerk (Groen, grond en infr) Morgen is groen bij AOC Oost Morgen is groen bij AOC Oost. En dt is mr goed ook. We hebben een groene wereld nodig, wrin jij en je omgeving goed
Nadere informatieF G H I J. 5480
() Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als
Nadere informatieStudiewijzer Wiskunde 2 voor B (2DB10, 2DB40), cursus 2005/2006.
Studiewijzer Wiskunde voor B (DB0, DB40), cursus 005/006. Inleiding In de cursus Wiskunde voor B (DB0, DB40) wordt gebruikt het boek Clculus, Robert T. Smith, Rolnd B. Minton, second edition, Mc Grw Hill,
Nadere informatieChecklist. Aanvulling ondersteuningsplan. integratie LWOO en PrO in passend onderwijs. 11 mei 2015. [Typ hier]
[Typ hier] Checklist Anvulling ondersteuningspln integrtie LWOO en PrO in pssend onderwijs 11 mei 2015 Deze checklist is tot stnd gekomen in nuwe smenwerking met: Ministerie vn Onderwijs, Cultuur en Wetenschp
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO 2012
Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling
Nadere informatieHet kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Nadere informatieINFORMATIE. hart. verwennend WEEKEND EEN LANG WEEKEND OP EEN TOPLOCATIE VOOR BALANS EN VITALITEIT
INFORMATIE hrt WEEKEND EEN LANG WEEKEND OP EEN TOPLOCATIE VOOR BALANS EN VITALITEIT COLOFON INHOUD INITIATIEFNEEMSTER Jessy Jnsen www.jessyjnsen.nl Hvelte Inleiding 05 HrtVerwennend voor Jou & Visie 07
Nadere informatie