Exponentiële functies. Introductie 145. Leerkern 145

Transcriptie

1 Ope Ihoud Uiversiei leereeheid 5 Wiskude voor milieuweeschappe Expoeiële fucies Iroducie 5 Leerker 5 De grafiek va ee groeifucie 5 Terug i de ijd: egaieve expoee 8 Tijdseehede dele: gebroke expoee 5 De grafiek va ee groeifucie ader bekeke 55 5 De weeschappelijke oaie va gealle 58 Samevaig 6 Zelfoes 65 Terugkoppelig 67 Uiwerkig va de opgave 67 Awoorde op de zelfoes 7

2 Leereeheid 5 Expoeiële fucies Leereeheid 5 Expoeiële fucies Iroducie I leereeheid hebbe we expoeiële fucies geïroduceerd aa de had va diverse groeisiuaies De algemee vorm va zo expoeiële fucie is f() = b g We hebbe os daarbij beperk o he uirekee va fuciewaarde voor auurlijke gealle, zoals f(0) = b g0 = b = b; f() = b g = b g; f() = b g ; f() = b g ec I deze leereeheid zulle we bekijke hoe de grafieke va deze fucies er ui zie e zulle we aa de had va he groeiproces de defiiies oeliche va g, als gee auurlijk geal is Verder zulle we bekijke hoe de grafiek va ee expoeiële fucie zich gedraag als ee zeer groo posiief of egaief geal is e bekijke we de zogeaamde weeschappelijke oaie waarmee de fuciewaarde da geoeerd worde LEERDOELEN Na besuderig va deze leereeheid ke u de vijf belagrijkse eigeschappe voor he rekee me mache ke u de defiiie va g - als ee posiief geheel geal is ke u de beekeis va g r als r ee breuk is ku u de beekeis va deze defiiies verklare i ee expoeieel groeimodel ke u de vorm, he domei e he bereik va de grafiek va ee expoeiële groeifucie wee u hoe de groeifacor va ee expoeieel groeiproces verader als de ijdseeheid verader ku u de weeschappelijke oaie va zeer groe gealle e va gealle dich bij 0 leze e gebruike LEERKERN De grafiek va ee groeifucie Om ee idruk e krijge va he verloop va expoeiële groeifucies bekijke we eers de grafieke va ee paar va deze fucies VOORBEELD 5 Toepassig: Microbiële groei De E coli bacerie deel zich oder laboraoriumomsadighede elke 0 miue Als we deze periode va 0 miue als ijdseeheid eme e sare me cel = bacerie op = 0, da heef deze zich op = gedeeld i wee bacerië Deze wee bacerië hebbe zich op hu beur weer gedeeld op = e de bacerië die er da zij hebbe zich op = og ee keer gedeeld De aaalle bacerië A() op = 0 /m = 6 zij dus: ijdsip (ijdseeheid 0 miue) aaal bacerië A() 5

3 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe OPGAVE 5 Toepassig: Microbiële groei Hoeveel bacerië zij er a 0 miue (dus op = )? E hoeveel a 0 miue? E a uur e 0 miue? Teke de grafiek va de fucie A () voor he domei 0 < 5 I he model va voorbeeld 5 verader he aaal bacerië sprogsgewijs Om de 0 miue verdubbel he aaal bacerië i éé keer De groei va de bacerië e daarmee he gewich va de oale baceriepopulaie verloop echer ie sprogsgewijs Vlak voor = is he gewich va de ee bacerie waarmee we gesar zij bija verdubbeld, zoda er a de splisig op = wee bacerië zij me elk hezelfde gewich als de eerse bacerie op = 0 He gewich va de bacerië groei dus geleidelijk Verder is he auurlijk ie realisisch om he experime e begie me precies éé bacerie Meesal begie we me ee kleie hoeveelheid bacerië, ee kweek geaamd, e geve we de omvag va die kweek aa me he gewich VOORBEELD 5 Toepassig: Microbiële groei He gewich G va ee kweek E coli bacerië verdubbel elke 0 miue Als we deze periode va 0 miue als ijdseeheid eme e sare me mg op = 0, da geld: ijdsip (ijdseeheid 0 miue) gewich G() (i mg) OPGAVE 5 Toepassig: Microbiële groei Teke de grafiek va de fucie G () voor he domei 0 Teke daarbij eers de pue die bij = 0, =, =, = e = hore e verbid deze pue me ee vloeiede lij VOORBEELD 5 Toepassig: Radioacief afval I voorbeeld word op ee zeker ijdsip ee hoeveelheid verwerk uraiumers me ee oale radioaciviei va MBq i ee reservoir gesor De vervalselheid word bepaald door he radioacieve isooop 0 Th me ee halfwaardeijd va (afgerod) jaar De reserede sralig word da gegeve door: ijdsip 0 (ijdseeheid jaar) sralig S() (i MBq) De grafiek va de fucie S () hieroder is osaa door bovesaade pue i e ekee i ee passed asseselsel e omda he radioacief verval gelijkmaig verloop deze e verbide me ee vloeiede lij 6

4 Leereeheid 5 Expoeiële fucies S (MBq) (x jaar) FIGUUR 5 Grafiek va ( ) ( ) S = voor 0 Om he verloop va de grafiek voor e oderzoeke hebbe we de schaal va de vericale as verkleid (he deel va de grafiek voor 0 < is daardoor ie meer zichbaar) e hebbe we de waarde va S () voor = 5, = 6 ec bereked I figuur 5 zij de bijbehorede pue igeeked e verbode me ee vloeiede lij S (MBq) (x jaar) FIGUUR 5 Grafiek va ( ) ( ) S = voor 0 7

5 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe OPGAVE 5 Toepassig: Radioacief afval Vul odersaade abel verder i e coroleer da de pue i figuur 5 correspodere me deze abel ijdsip (ijdseeheid jaar) gewich S() (i MBq) OPGAVE 5 Toepassig: Radioacief afval Kijk og eve erug aar opgave 8c Hoe verloop de grafiek va S () voor > 0? Terug i de ijd: egaieve expoee To u oe hebbe we he ijdsip = 0 geome als sar va de groeiprocesse He ka echer ook da he groeiproces op da ijdsip al begoe was Da heef he ook zi om e prae over egaieve waarde va als ivoerwaarde va de groeifucie VOORBEELD 5 Toepassig: Microbiële groei He gewich G va ee kweek E coli bacerië verdubbel elke 0 miue I voorbeeld 5 was he uigagspu ee gewich va mg op = 0 He ka auurlijk da de sar va he groeiproces ie op = 0 was, maar (bijvoorbeeld) uur eerder Da is he gewich op = 0 ruim 500 keer he begigewich OPGAVE 55 Toepassig: Microbiële groei Leg ui da he gewich op = 0 i bovesaad voorbeeld ruim 500 keer zo groo is als he gewich uur voor = 0 OPGAVE 56 Toepassig: Microbiële groei Als we bij ee groeifacor he gewich op ee zeker ijdsip kee, da berekee we he gewich op he ijdsip + door G () e verdubbele: G ( + ) = G ( ) Hoe berekee we da he gewich op ijdsip -? OPGAVE 57 Toepassig: Microbiële groei I voorbeeld 5 eme we voor he rekegemak aa da he gewich op = 0 precies gram is He ijdsip 0 miue voor = 0 geve we aa me = - 0 miue voor = 0 geld = - uur voor = 0 geld = - uur voor = 0 geld = - 6 E uur voor = 0 geld = - 9 Bereke he gewich i gramme va de kweek op deze ijdsippe, uigaade va G (0) = gram e verdubbelig va he gewich i 0 miue 8

6 Leereeheid 5 Expoeiële fucies Zie appedix A, paragraaf A7 a = /a Bij expoeiële groei me groeifacor e begigewich gram hoor de groeiformule G () = Als we = - subsiuere i deze formule krijge we G( - ) = - I opgave 57 hebbe we gevode da he gewich op = - gelijk is aa / gram Als G( ) = he gewich op G = geef, da moe dus gelde: = / Di is precies de formele defiiie va de mach - Algemee geld: Voor ieder reëel geal a me uizoderig va a = 0 is de mach a - gelijk aa /a, da is he omgekeerde va a OPGAVE 58 Waarom word er i de bovesaade defiiie ee uizoderig gemaak voor a = 0? Zie appedix A, paragraaf A7 - a = = a a Als we = - subsiuere i de formule G () = krijge we G( - ) = - I opgave 57 hebbe we gevode da he gewich op = - gelijk is aa / gram Als G( - ) = - he gewich op = - geef, da moe dus gelde: = / I opgave 57 hebbe we ook de gewiche gevode op = -, = - 6 e = - 9 Deze ware gelijk aa ( ) = =, ( ) 6 = = e ( ) = = 9 5 Als de formule G () = he gewich op deze ijdsippe geef, da moe dus gelde - ( ) = =, 6 ( ) 6 - = = e 9 ( ) 9 - = = 6 9 Di is geheel i overeesemmig me de formele defiiie va de mach - : Als ee posiief geheel geal is, da geld - = ( ) = Algemee geld: Voor ieder reëel geal a me uizoderig va a = 0 e voor ieder posiief geheel geal is de mach a - gelijk aa ( a ) = a OPGAVE 59 I paragraaf A7 va appedix A worde vijf eigeschappe voor mache besproke Too me behulp va deze eigeschappe aa da ( a ) = a 9

7 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe OPGAVE 50 Toepassig: Microbiële groei I opgave hebbe we ee kweek bacerië bekeke waarva we de volgede meegegeves hebbe: ijd 0 5 (i ure) gewich G() (i mg) Neem aa da he gewich va deze kweek op = 0 al ee aaal ure aa he groeie is me groeifacor a Hoe groo was da he gewich uur voor = 0? E hoe groo was he gewich uur voor = 0? b Me welke facor moee we G (0) vermeigvuldige om he gewich op = - e krijge? E me welke facor moee we G (0) vermeigvuldige om he gewich op = - e krijge? Bij bovesaade abel hoor de groeiformule G ( ) = 50 Op = - geld volges deze formule G( - ) = 50 - Op = - geld volges deze formule G( - ) = 50 - c Bereke G( - ) e G( - ) me behulp va de defiiies va a - e a - die eerder i deze paragraaf gegeve zij Vergelijk de uikomse me uw awoorde va vraag a e b OPGAVE 5 Toepassig: Bevolkigsgroei I paragraaf hebbe we gezie da he aaal iwoers va Oegada goed beaderd word door de formule A ( ) = 6,8,0, ( i jare, = 0 i 960) Neem aa da deze formule ook geldig is voor de periode a Bereke he aaal iwoers va Oegada volges deze formule i 959, 958 e i 950 b Me welke facor moe A () vermeigvuldigd worde om A- ( ) e berekee? OPGAVE 5 (*) He aaal iwoers va lad L eem sids 960 oe me 50% per 0 jaar I 000 had lad L iwoers a Hoeveel iwoers had lad L i 00? b Hoeveel iwoers had lad L i 990? E i 980? c Me welke facor moe je he aaal iwoers i 980 vermeigvuldige om he aaal iwoers i 970 e 960 e berekee? He aaal iwoers va lad L word gegeve door de formule A ( ) = ( ) (ijdseeheid 0 jaar; = 0 i 000) d Coroleer deze formule e Hoe groo is he aaal iwoers volges deze formule op = - e op = -? Welke jare correspodere me deze ijdsippe? Coroleer da uw awoorde op deze vraag overeekome me uw awoorde op vraag b 50

8 Leereeheid 5 Expoeiële fucies OPGAVE 5 (*) He aaal iwoers va Leegloopdorp eem sids 000 af me 7% per jaar I 00 had Leegloopdorp 0000 iwoers He aaal iwoers va Leegloopdorp word dus gegeve door A ( ) = ,9 ( i jare, = 0 i 00) a Bereke he aaal iwoers va Leegloopdorp volges deze formule i 009 e i 000 b Me welke facor moe A () vermeigvuldigd worde om A- ( ) e berekee? Tijdseehede dele: gebroke expoee I opgave 5 heb u de grafiek geeked va de fucie G () = Hieri is G he gewich va ee kweek bacerië i mg e de ijd me 0 miue als ijdseeheid Bij deze fucie hoor odersaade abel: ijd (i miue) ijdsip 0 gewich G() = = 8 (i mg) De grafiek gaa door de pue (0, ), (, ), (, ) e (, 8) Hieroder zie u ee deel va deze grafiek Omda we moge aaeme da he gewich va de bacerië ie sprogsgewijs, maar gelijkmaig oeeem, zij de pue (0, ), (, ) e (, ) me ee vloeiede lij verbode G,5,5,5 0, ,5,5 FIGUUR 5 G () = Me deze grafiek kue we ee schaig make va he gewich va de kweek op ussegelege ijdsippe, bijvoorbeeld 0 miue a = 0 Da geld = 0,5 e we zie da he gewich da ogeveer, gram is 5

9 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe OPGAVE 5 MAXIMA Teke de grafiek va f( x ) = x i Maxima Neem als domei he ierval [0, ] e als bereik he ierval [, ] e gebruik de opie se size raio Coroleer da f (0,5) ogeveer, is De vraag is u of we he gewich va de kweek 0 miue a = 0 ook kue berekee Om deze berekeig mogelijk e make, veradere we eers de ijdseeheid aar 0 miue De bijbehorede groeifucie oeme we H Da volg: ijd (i miue) ijdsip gewich H()?????? 8 (i mg) De gewiche a 0, 0, 0 e 60 miue zij beked ui de oorsprokelijke groeifucie G () = me 0 miue als ijdseeheid He gewich a 0 miue is vooralsog de groe obekede i deze abel, maar als we di gewich gelijk selle aa P, da kue we er wel mee rekee Bedek daaroe da P ie allee he gewich a 0 miue is, maar ook de groeifacor over 0 miue De groeifucie H heef dus begigewich mg e groeifacor P De groeiformule is da H () = P Di geef: ijd (i miue) ijdsip gewich H() P P P P P 5 P 6 (i mg) Aagezie he voor he gewich ie uimaak welke ijdseeheid we eme, zal he gewich a 0 miue i beide bovesaade abelle hezelfde zij Hierui volg: P = He gewich a 0 miue is dus gelijk aa P = = He gewich va de kweek a 0 miue kue we ook uidrukke i de oorsprokelijke groeiformule G () =, waarbij de ijdseeheid 0 miue is I deze formule kom 0 miue overee me ee halve ijdseeheid, dus he gewich a 0 miue is gelijk aa G ( ) = Bovesaade kue we combiere o: = He gewich va de kweek op = miuu kue we op dezelfde maier uiwerke Noem di gewich Q e eem miuu als ijdseeheid Da word he gewich va de kweek i mg als fucie va de ijd i miue gegeve door H () = Q Op = 0 miue is he gewich da gelijk aa H(0) = Q0 Di moe weer gelijk zij aa he eerder gevode gewich a 0 miue, dus volg: Q 0 = He gewich a miuu is dus gelijk aa Q = 0 5

10 Leereeheid 5 Expoeiële fucies 0 0 = I de oorsprokelijke groeiformule G() = kom miuu overee me /0 ijdseeheid He gewich a miuu word da gegeve door G ( ) = Combiaie va deze wee uiwerkige geef 0 = g = g We kue de oorsprokelijke ijdseeheid auurlijk ook og op adere maiere aapasse Me miue (= 0 miue) als ijdseeheid volg volges 0 0 bovesaade redeerig 0 = Me miue (= 5 0 miue) als ijdseeheid volg 5 5 = Me 5 miue (= 0 miue) als ijdseeheid volg = Me 6 miue e 0 secode (= 0 miue) als ijdseeheid volg = E bovesaade redeerig hadde we ook kue oepasse me ee adere groeifacor, zoals, of Algemee geld: Voor g > 0 e =,,, ec is g gelijk aa g Zie appedix A, paragraaf A7 Deze defiiie ka ook worde afgeleid door eigeschap va mache e combiere me de defiiie va de -de machs worel: Eigeschap luid: ( am) = am Me a= g e m = geef di: g g g g ( ) = = = Volges deze eigeschap is g he geal waarva de -de mach gelijk is aa g, da is dus precies g OPGAVE 55 Toepassig: Microbiële groei Bereke me ee rekemachie (of me Maxima) he gewich va de kweek bacerië volges de formule G () = (ijdseeheid 0 miue) op de volgede ijdsippe Geef he awoord afgerod op vier cijfers acher de komma a miuu a = 0 ( = /0) b 5 miue a = 0 ( = /) c 0 miue a = 0 ( = /) OPGAVE 56 Toepassig: Microbiële groei He gewich va ee adere kweek bacerië groei ook expoeieel Op = 0 is he gewich va deze kweek mg Op = dag is he gewich va deze kweek 8 mg a Geef he fucievoorschrif voor he gewich va deze kweek i mg als fucie va de ijd i dage b Hoe groo is he gewich va deze kweek a 6 uur ( = dag) e a uur ( = dag)? c E hoe groo is he gewich va deze kweek a 8 uur? d Bepaal de groeifacor va he gewich va deze kweek over ee periode va uur e over ee periode va 6 uur e Hoe groo is de groeifacor va deze kweek over ee periode va éé uur? 5

11 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe OPGAVE 57 Toepassig: Radioacief afval I voorbeelde e 5 hebbe we he verval va he radioacieve isooop 0-Thorium ( 0 Th) besudeerd Daarbij hebbe we de halfwaardeijd (75000 jaar) als ijdseeheid geome Als er op = 0 i ee reservoir verwerk uraiumers ee radioaciviei is va MBq, da word de radioaciviei als fucie va de ijd gegeve door H ( ) = ( ) a Hoeveel radioaciviei is er 7500 jaar a = 0? b E 000 jaar a = 0? c Bereke de groeifacor va de radioaciviei over 000 jaar I opgave 56c word gevraagd aar he gewich va ee kweek bacerië op = / dag Daar hebbe we di gewich gevode door 6 uur = / dag als ijdseeheid e eme De groeifacor over 6 uur is (zie opgave 56b) He gewich a 6 uur = 8 uur word da gegeve door G () = = 8 = Om di gewich direc me de groeifucie G ( ) = 6 e bepale (dus me éé dag als ijdseeheid), moee we wee wa 6 beeke Deze mach kue we bepale me behulp va eigeschap va mache: ( am) = am, ofwel am = m ( a ) Me a = 6, m = e = volg: ( ) ( ) 6 = 6 = 6 = 6 = = 8 Zo vide we: G ( dag) = 6 = 8 =, uieraard precies hezelfde resulaa als hierbove m ( ) ( ) m g = g = g m Bovesaade redeerig is ook oepasbaar voor adere groeifacore e voor adere ijdseehede Daarom kue we algemee defiiëre: m Voor g > 0 is g gelijk aa ( m ) m g ( ) = g Mache me ee egaieve breuk als expoe bepale we door bovesaade defiiie e combiere me de defiiie voor egaieve expoee die i paragraaf 5 is besproke: m - g = = m m ( g g ) Hiermee is g r formeel gedefiieerd voor alle grodalle g > 0 e voor alle breuke r i de expoe OPGAVE 58 (*) Bereke zoder rekemachie: a 8 d 8 g b 9 e c 5 f 5 OPGAVE 59 (*) Bereke: a d b 0 e c 6 5 f h ( ) i ( ) 5 g h ( ) 6 i ( ) 5

12 Leereeheid 5 Expoeiële fucies De grafiek va ee groeifucie ader bekeke Nu r gedefiieerd is voor alle breuke r, kue we de grafiek va de fucie f() = ader oderzoeke Daaroe make we eers ee abel: 0 0,065 0,5 0,5 0,5 8 Me de rekemachie kue we ook ee aaal ussegelege pue uirekee: 0,768 0,56 0,707,89,,688,88 5,6569 Me behulp va ee compuerprogramma kue we weer veel meer pue uirekee I de grafiek hieroder zij bovesaade pue hadmaig igeeked e zij de ussegelege pue door de compuer bereked e igeeked 8 y FIGUUR 5 Grafiek va f() = 0 0 Zie appedix A, paragraaf A5 De grafiek lijk ee ooderbroke lij e zij, maar er zij og waarde va waarvoor de mach ie gedefiieerd is: irraioale gealle als e π kue ie als ee breuk worde geschreve 55

13 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe Gelukkig is he wel mogelijk om irraioale gealle zo goed e beadere me ee breuk da he verschil usse de beaderig e de eche waarde verwaarloosbaar klei is Zo is he verschil usse e, kleier da 0, Dakzij de owikkelig va supercompuers is he zelfs mogelijk om miljoee decimale e geve va irraioale gealle Ee boekje me de eerse miljard decimale va π heef zelfs ee plaasje gevode i he Guiess Book of Records (als saaise boek er wereld) Di maak he mogelijk om zeer auwkeurig e beadere Daarmee is he fei da we gee formele defiiie kee va di geal gereduceerd o ee heoreisch probleem I de prakijk kue we de waarde va beadere me ee rekemachie of (als we ee beaderig i veel meer decimale wille) me ee compuer OPGAVE 50 Bepaal me ee rekemachie ee beaderig va = e f() = Rod de awoorde af op zes cijfers acher de komma Coroleer da he zo gevode pu (, f() ) op de grafiek va figuur 5 lig He domei va f() = is prakisch gezie Voor alle reële gealle r kue we u r bepale Als r ee breuk is, ka da me de i de vorige paragraaf gegeve defiiies, als r ee irraioaal geal is doe we da op de hierbove beschreve maier Di beeke da we i de fucie f() = alle reële gealle als ivoerwaarde kue eme He domei va de fucie f() = is dus prakisch gezie Om he bereik va f e bepale, kijke we eers aar he verloop va de grafiek voor <- OPGAVE 5 Gegeve de fucie f() = a Ga a: f( - ) = f( ) b Bereke f (- 5), f (- 6), f (- 7), f (- 8), f (- 9) e f (- 0) uigaade va f (- ) = 6 c Wa gebeur er me f() als ee seeds groer egaief geal word? E wa gebeur er da me de grafiek? Asympoo I opgave 5 zie we da de waarde va f() ader o 0 als ee seeds groer egaief geal word Echer, f() blijf alijd posiief e word zelf dus ooi gelijk aa 0 Als we éé ijdseeheid eruggaa, halveer de waarde va f(), maar de helf va ee klei posiief geal is og seeds ee (kleier) posiief geal De grafiek va de fucie f ader de -as willekeurig dich, maar raak deze ooi De -as hee de asympoo va de grafiek va f Naas he fei da de -as de asympoo va de grafiek va f is, kue we ui bovesaade ook cocludere da voor alle uivoerwaarde y va deze fucie geld y > 0 Aderzijds word voor posiieve waarde va willekeurig groo 00 = e is ee geal va meer da 0000 cijfers Omda de grafiek ee ooderbroke lij is, zij dus alle posiieve gealle y uivoerwaarde va f He bereik va de fucie f is dus he ierval 0, 56

14 Leereeheid 5 Expoeiële fucies De grafiek va f() = is over he gehele domei sijged To slo is ee belagrijk kemerk va de grafiek da als oeeem, f() ook oeeem De grafiek va f() = is dus over he hele domei sijged OPGAVE 5 De fucie g () = ( ) beschrijf ee groeiproces me ee begihoeveelheid op = 0 e ee halverigsijd va ijdseeheid a Vul de odersaade abel i zoder rekemachie: 0 ( ) b Vul de odersaade abel i me rekemachie: ( ) c Vergelijk deze abelle me de abel va f() = bove figuur 5 Wa val u op? d Hoe verloop de grafiek va g als ee seeds groer posiief geal word? E als ee seeds groer egaief geal word? e Teke de grafieke va f e g i éé figuur Wa is he verbad usse deze wee grafieke? f Geef he domei, he bereik e de asympoo va de grafiek va g Is deze grafiek sijged of daled? Merk op da he verbad usse de grafieke va f e g verklaard ka f( - ) = - = = g () worde me de defiiie va egaieve mache: ( ) OPGAVE 5 MAXIMA a Teke de grafieke va de volgede fucies i Maxima: f( x ) = x x ; gx ( ) = ( ) ; hx ( ) = x x x ; kx ( ) = ( ) ; lx ( ) = ( ) b Va welke va deze fucies is de grafiek daled? c Hoe loop de grafiek va de fucie mx ( ) = x? I de voorgaade opgave zie we da he verloop va de grafiek va ee expoeiële groeifucie afhag va de soor groei: bij expoeiële oeame is de grafiek va f() = g sijged Di is he geval als g > bij expoeiële afame is de grafiek va f() = g daled Di is he geval als 0< g < De overige kemerke va deze fucies zij voor alle groeifacore hezelfde: He domei is ; he bereik is he ierval 0, ; de grafiek heef de -as als horizoale asympoo 57

15 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe y y FIGUUR 55 f() = g me g > FIGUUR 56 f() = g me 0< g < Opmerkig He grodal va ee expoeiële fucie ka ie gelijk zij aa 0, wa 0 besaa ie als egaief is He grodal ka ook ie egaief zij, wa g = g besaa ie als g egaief is He grodal ka wel zij, maar da krijge we de cosae fucie f() = = OPGAVE 5 Toepassig: Overbevissig I opgave 5 e 6 hebbe we ee model va expoeiële afame opgeseld voor de owikkelig va de harigsad i ee bepaald zeegebied Daarbij zij we uigegaa va ee harigsad va o op = 0 die afeem me 0% per jaar De harigsad i oe als fucie va de ijd i jare word da gegeve door A ( ) = ,9 a Vul de odersaade abel i: A() b Hoe groo is de harigsad volges de formule A ( ) = ,9 op = e op =? c Teke de grafiek va de fucie A voor 0 0 d Waarom geef deze grafiek gee precies beeld va de harigsad op ieder mome va ieder jaar (dek aa wier, zomer e broedseizoe)? 5 De weeschappelijke oaie va gealle Kijk og ees aar de fucie f() = We hebbe al gecosaeerd da als ee groo posiief geal is, ee zeer groo posiief geal is e als ee groo egaief geal is, ee geal is heel dich bij 0 (maar wel posiief) OPGAVE 55 Bereke me ee rekemachie: 0, 0, 0, 0 e 50 De meese rekemachies gebruike voor 0 e 50 ee speciale oaie Sommige doe di ook al voor 0 De rede hiervoor is da de awoorde e veel cijfers bevae om i he scherm weer e geve De 58

16 Leereeheid 5 Expoeiële fucies meese grafische rekemachies geve bijvoorbeeld gealle i maximaal 0 cijfers Als er meer cijfers zij word ee varia va de zogeaamde weeschappelijke oaie voor gealle gebruik OPGAVE 56 a Coroleer da 0 e ies groer is da b Laa zie da 0 = 0 ( ) c Hoe groo is 0 dus ogeveer? Hoeveel cijfers heef di geal? Weeschappelijke oaie I de auurweeschappe kome we vaak zeer groe gealle ege Twee voorbeelde hierva zij de afsad va de aarde o de zo i kilomeers e he geal va Avogadro (zie oder) Dergelijke groe gealle worde meesal ie helemaal uigeschreve Te eerse zou da de leesbaarheid ie ech bevordere, e weede zij er vaak maar ee beperk aaal cijfers va he geal beked, vermelde va meer cijfers zou da ee auwkeurigheid suggerere die er ie is Daarom word voor groe gealle de weeschappelijke oaie gebruik I deze oaie word he geal geschreve als ee produc va ee mach va 0 me ee geal usse e 0 VOORBEELD 55 0 = 0 =, = =, = 0778 =, Voor 0 geef ee grafische rekemachie als awoord E Adere rekemachies geve ee varia hierop, zoals Deze uikoms moe geleze worde als, Merk op da di geal ie precies gelijk is aa 0 Uiwerke va, geef amelijk, = Als we 0 i Maxima lae uirekee krijge we als awoord: Vawege de beperke ruime op he display rode rekemachies dergelijke gealle af! Voor 00 geef ee rekemachie:, Di is ee geal me cijfers Omda de rekemachie maar 8 va deze cijfers geef, moee we di geal i de weeschappelijke oaie lae saa e ie vervage door deze 8 cijfers aagevuld me ulle! Overiges geef Maxima 00 = , maar ook di programma ke zij beperkige Kijk maar ees wa Maxima geef voor e voor BOX 5 Toepassig: De afsad va de aarde o de zo I zij boek Ee kleie geschiedeis va bija alles beschrijf Bill Bryso hoe me i de 8 e eeuw aagesoke was door ee oweersaabare behoefe de aarde e begrijpe, e bepale hoe oud ze was e hoe massief, waar i he heelal ze hig e hoe ze was osaa (p 7) Ee va de uidagige was he mee va de afsad usse de aarde e zo Di vergde echer heel wa vidigrijkheid He was beked da de afsad bepaald ko worde door de passage va Veus vaaf verschillede posiies op aarde e mee Helaas zij passages va Veus ee oregelmaig gebeure; ze doe zich voor i pare me ee 59

17 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe usseijd va ach jaar, maar daara ee eeuw of meer ie Na diverse expediies, was he uieidelijk kapiei James Cook die de passage i 769 waaram, e daarmee de beodigde iformaie compleeerde De Frase serrekudige Joseph Lalade becijferde de gemiddelde afsad vervolges op ies meer da 50 miljoe kilomeer Nie slech, gegeve de beperke middele va die ijd! Tegewoordig word de afsad bepaald door ee direce meig va de afsad Aarde-Veus (via radarreflecie) e combiere me waaremige va de posiie va Veus i haar baa Di lever de volgede afsad op: Afsad Aarde-Zo AE = 9, 6 06 kilomeer Asroomische eeheid Deze afsad word de asroomische eeheid geoemd I de serrekude is ee afsad va zo 50 miljoe km erg weiig Toch heef ee auo die coiu 00 km/uur rijd maar liefs 70 jaar odig om ee afsad va 50 miljoe km af e legge Zelfs he lich, da ee selheid heef va kilomeer per secode, doe er al meer da ach miue over om va de zo aar de aarde e reize Bro: OU cursus Levesweeschappe : evoluie (va Rhij, 009; Bryso, 00), Bias (NVON, 008) Aadachsgebied: Serrekude, Heelal, Aarde OPGAVE 57 Toepassig: De afsad va de aarde o de zo De gemiddelde afsad va de aarde o de zo is 9,6 miljoe kilomeer a Hoe groo is deze afsad i meers? Geef he awoord i de weeschappelijke oaie De gemiddelde afsad va de aarde o de zo ka ook geschreve worde als 9, 6 06 = 9, = km b Hoe auwkeurig is di geal? Zulle de laase 5 ulle precies kloppe? c Ruimeschip Icarus heef opdrach de zo o ee halve AE e adere e da weer erug e kere aar Aarde He ruimeschip reis me ee selheid va 000 km/uur Hoe lag is he ruimeschip oderweg? Sigificae cijfers De weeschappelijke oaie geef ook de mogelijkheid om aa e geve hoe auwkeurig ee opgegeve geal is Zo is de gemiddelde afsad va de aarde o de zo auurlijk ie precies 9,6 miljoe kilomeer; di geal is afgerod We bedoele da de waarde usse 9,55 e 9,65 miljoe kilomeer lig He aaal cijfers waarmee ee waarde word uigedruk (voor e a de komma) geef dus de auwkeurigheid aa waarmee de waarde beked is Di is he aaal sigificae cijfers I he voorbeeld hierbove spreke we dus va sigificae cijfers De oaie suggereer da alle cijfers sigifica zij e da de gemiddelde afsad va de aarde o de zo usse ,5 e ,5 kilomeer lig Me de weeschappelijke oaie word ee dergelijke schijauwkeurigheid voorkome Opmerkig Ee meer auwkeurige beaderig va AE is meer (± 6 meer) 60

18 Leereeheid 5 Expoeiële fucies BOX 5 Toepassig: He geal va Avogadro I de scheikude is he gemakkelijk om me aaalle deeljes e rekee De coëfficiëe i ee reacievergelijkig geve over he algemee de verhoudig aa va he aaal molecule waari soffe reagere e osaa Aagezie we i laboraoria meesal reacies doe me hoeveelhede soffe die i de orde va gramme ligge, is he ie prakisch e rekee me de daadwerkelijke aaalle aome of molecule Me ypische massa s va 0 o 0 g hebbe we he da al gauw over ee ohadig groo aaal deeljes Daarom is he prakisch hoeveelhede sof ui e drukke i de eeheid mol We defiiëre ee mol als de hoeveelheid sof die eveveel deeljes beva als er aome i g koolsof- zij Di aaal aome 6, 0 0 word he geal va Avogadro geoemd We spreke vervolges va de molmassa als de massa va mol sof Bro: Scheikude voor milieuweeschappe (Holkamp & va Wije 0), Bias (NVON, 008) Aadachsgebied: Scheikude, Groe aaalle deeljes OPGAVE 58 Toepassig: He geal va Avogadro a Me hoeveel sigificae cijfers is he geal va Avogadro hier gegeve? b Hoeveel deeljes zie er i mol? (Schrijf he awoord i de weeschappelijke oaie) c E hoeveel i mol? (Idem) De weeschappelijke oaie ka ook gebruik worde voor zeer kleie gealle I da geval word he geal geschreve als ee geal usse e 0 maal e ee egaieve mach va 0 OPGAVE 59 (*) Bereke - 0 = e - 0 = me ee rekemachie 0 0 De meese rekemachies geve voor - 0 ee uidrukkig als E Di moe geleze worde als 9, e is dus gelijk aa 9, , 000 = 0, word weergegeve als 95676E 7 Di moe geleze worde als 9, e is dus gelijk aa 9,5676 x 0, = 0, OPGAVE 50 (*) Bereke og ee aaal mache va op de rekemachie a Coroleer da (afgerod op sigificae cijfers) geld: - 00 =, b Wa geef uw rekemachie als uikoms voor - 600? Is gelijk aa de uikoms die uw rekemachie geef? c Coroleer da = 00 ( - ) d Geef ee beaderig i vier sigificae cijfers va door ui e werke: = ( ) (, ) =, 909 ( 0 - ) = Schrijf he resulaa i de weeschappelijke oaie 6

19 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe BOX 5 Toepassig: De grooe va ee bacerie I de oepassig Microbiële groei sprake we al over de E coli bacerie Deze bekede darmbacerie is klei e oeme: zo - micromeer lag, e zo 0,5 micromeer breed 0,5 mm Bro: OU cursus Biologie va celle (Middelbeek & Couoe-Poma, 999) Aadachsgebied: Biologie va celle OPGAVE 5 Toepassig: De grooe va ee bacerie We gaa ui va ee E coli bacerie me ee lege va,6 micromeer, e ee breede va 0,6 micromeer a Geef de lege e de breede va de bacerie i meers Schrijf uw awoord i de weeschappelijke oaie b Beader he volume va de bacerie i m Neem daarbij aa da de bacerie cilidervormig is Schrijf he awoord weer i de weeschappelijke oaie (De ihoud va ee cilider me sraal r e hooge h is pr h) OPGAVE 5 Toepassig: He geal va Avogadro Experimeeel is gevode da de massa va he koolsof--aoom gelijk is aa, kg a Verifieer da he aaal aome i g koolsof- gelijk is aa he geal va Avogadro De molecuulmassa va zouzuur (HCl) bedraag 6, kg b Wa is de molmassa va zouzuur? Wa is de massa va mol HCl? OPGAVE 5 (*) I deze opgave bekijke we de fuciewaarde va f() = als ee groo egaief geal is a Bereke me ee rekemachie: - 5, - 0 e - 0 b Hoeveel cijfers acher de komma heef - 5 geschreve als decimale breuk? c Too aa: - 0 = 5 ( - ) d Hoeveel cijfers acher de komma heef - 0 dus geschreve als decimale breuk? I de weeschappelijke oaie word ee geal geschreve als ee geal usse e 0 maal ee mach va 0 e Ga a da - 0 i de weeschappelijke oaie geschreve word als 9, Schrijf - 0 ook als ee gewoe decimale breuk 6

20 Leereeheid 5 Expoeiële fucies OPGAVE 5 (*) a Ga me ee rekemachie a da 5-6 = 6, 0-5 e da 6-5, b Schrijf 5-6 e 6-5 ook als ee gewoe decimale breuk c Gebruik de awoorde va vraag a om he verschil zoder rekemachie e berekee Schrijf di verschil zowel als ee gewoe decimale breuk als i de weeschappelijke oaie He omzee va de weeschappelijke oaie aar de gewoe oaie kom eer op he aar rechs of liks verplaase va de komma, vaak a he oevoege va ee aaal loze ulle: 0 =, = 00, 0 dus de komma gaa wee plaase aar rechs; e 0- = 00, 0 0- = 0, 00 = 0, 0 dus de komma gaa wee plaase aar liks E omgekeerd geld: 00 = 00, 0 =, =, 0 de komma gaa drie plaase aar liks e 0, 00 = 000, 0- =, 0- de komma gaa drie plaase aar rechs OPGAVE 55 (*) a Geef de weeschappelijke oaie va de gealle 00, 00,5 e 0,0075 b Geef de gewoe oaie va 08,, 05 e 6,7 0-8 To u oe hebbe we elkes posiieve gealle i de weeschappelijke oaie geze Di is uieraard ook mogelijk voor egaieve gealle Da schrijve he geal als ee produc va ee geal usse - e - 0, bijvoorbeeld: - 0,0005 = -,5 0 - ; = -, 5 07 OPGAVE 56 (*) a Geef de weeschappelijke oaie va de gealle e - 0, b Geef de gewoe oaie va -, e -, Samevaig We vae de leereeheid same aa de had va he voorbeeld va ee expoeieel groeiede kweek bacerië Expoeiële fucies me gehele ivoerwaarde He gewich va de kweek i gramme als fucie va de ijd i dage word gegeve door de expoeiële fucie f() = b g He gewich op = 0 word gegeve door f(0) = b g0 = b = b Eé dag laer is he gewich gelijk aa f() = b g = b g dage a = 0 is he gewich f( ) = b g = b g- g = f( -) g He gewich op dag is dus g maal he gewich op de vorige dag e maal he begigewich g Als we éé dag erug gaa i de ijd, moee we he gewich dele door f (0) b g He gewich éé dag voor = 0 is dus gelijk aa = De formule f() = b g geef f( - ) = b g - g g Hierui volg: b b g- = g- = g g 6

21 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe Als we dage erug gaa i de ijd, moee we he gewich dele door g f (0) b He gewich dage voor = 0 is dus gelijk aa = g g De formule f() = b g geef f( - ) = b g - Hierui volg: b b g- = g- = g g Hiermee hebbe we ee beekeis gegeve aa g voor alle posiieve grodalle g e voor alle gehele expoee De defiiie va mache me egaieve expoee zoals die i appedix A, paragraaf A7 gegeve is, geld overiges ook voor egaieve grodalle Worels als mache He gewich op =, da is uur a = 0, word volges de formule f() = b g gegeve door f( ) = b g Als we ee halve dag verder gaa i de ijd, moee we he gewich dus vermeigvuldige me g He gewich a éé dag is da gelijk aa f( ) g ( ) = b g g = b g He gewich a éé dag is ook gelijk aa f() = b g = b g b g = b g g = g g = g Hierui volg ( ) ( ) Me ee soorgelijke redeerig volg voor =,,5ec: g = g Omda de evemachs worel ui ee egaief geal ie besaa, zij bij deze defiiie allee posiieve gealle oegelae als grodal Adere gebroke expoee De defiiie va mache als g ka worde afgeleid door de hoeveelheid op = dag op verschillede maiere e berekee, maar ook door he oepasse va eigeschap va expoee: m m g = g = ( g ) = ( g) e algemee: g ( ) = g m - E voor egaieve gebroke expoee geld: g = m g ( ) Hiermee is g r gedefiieerd voor alle posiieve grodalle g e voor alle raioale (= gebroke) expoee r Over de formele beekeis va g als ee irraioaal geal is, zoals of p, make we os gee zorge Op di mome volsaa e vermelde da dergelijke mache zeer goed beaderd kue worde me mache waarva de expoe ee breuk is Grafieke Nu we wee hoe we g kue berekee (of beadere) voor alle reële waarde va, kue we ook de grafiek va de fucie f() = g ekee Deze grafieke hebbe de volgede kemerke: Bij expoeiële oeame is de grafiek va f() = g sijged Di is he geval als g > Bij expoeiële afame is de grafiek va f() = g daled Di is he geval als 0< g < De overige kemerke va deze fucies zij voor alle groeifacore hezelfde: He domei is ; he bereik is he ierval 0, ; de grafiek heef de -as als horizoale asympoo (zie figure 55 e 56) 6

22 Leereeheid 5 Expoeiële fucies Weeschappelijke oaie e sigificae cijfers Groe gealle e gealle dich bij 0 worde i de auurweeschappe vaak geschreve i de weeschappelijke oaie He geal word da geschreve als ee produc va ee mach va 0 e ee geal usse e 0 (of usse - e - 0 voor egaieve gealle) He aaal bacerië i ee kweek va g is bijvoorbeeld,0 0 De lege va ee bacerie is ogeveer,5 0-6 meer De weeschappelijke oaie maak he mogelijk om de auwkeurigheid va groe gealle aa e geve Zo kue we selle da we de lege va ee bacerie zo auwkeurig mogelijk hebbe bepaald op,8 micromeer Deze lege is uieraard og seeds ie exac, maar is afgerod op drie sigificae cijfers I de weeschappelijke oaie word deze lege geoeerd als,8 0-6 meer ZELFTOETS Bereke zoder rekemachie: a 7 d 5 b 6 6 e 6 c f 7 - g ( ) h ( ) 6 - i ( ) Schrijf de volgede worels als ee mach e bereke deze me ee rekemachie: a b 7 7 c 5 5 f x = e ( ) Gegeve de fucies ( ) x gx ( ) = a Teke de grafiek va beide fucies i éé figuur b Geef he domei e he bereik va beide fucies De reche lij y = sijd de grafiek va f i pu A e de grafiek va g 8 i pu B c Bereke de afsad usse pu A e pu B d Bereke f (00) e g (00) me ee rekemachie Geef de awoorde i de weeschappelijke oaie me 6 sigificae cijfers I voorbeeld 5 hebbe we ee eerse orde scheikudige reacie bekeke waarbij de coceraie N als fucie va de ijd gegeve werd door odersaade abel: x (i secode) N(),000 0,707 0,500 0,50 0,5 0,0 (i mol/lier) a Hoe groo is de groeifacor over ijdseehede? b Hoe groo is da de groeifacor over éé ijdseeheid exac? c De waarde va N (0) is afgerod Hoe groo is deze waarde exac als de groeifacor over ijdseehede exac he awoord va vraag a is? 65

23 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe 5 I opgave 7 hebbe we de odersaade abel gekrege, waari de expoeiële oeame word gegeve va de zeeoppervlake die vervuild is door de lozig va olie ijdsip (0 mi) (0 mi) ( uur) (80 mi) (00 mi) ( uur) oppervlake, (i km ) a Als g de groeifacor over 0 miue is e G de groeifacor over éé uur, welk verbad besaa er da usse g e G? b Geef de groeiformule me als ijdseeheid uur e oo aa da de abelwaarde voor = uur, = uur; = uur e = uur overeesemme me de fuciewaarde va deze groeiformule BOX 5 Toepassig: De Bolzmacosae e de aarde als ee 'zware sraler' I de auurkude is ee zware sraler of zwar lichaam (Egels: black body) ee voorwerp da alle elekromageische sralig die er op val, absorbeer (e dus ie refleceer) De iesiei e specrale verdelig va de door he lichaam afgegeve sralig is uisluied afhakelijk va de emperauur Voor de oale hoeveelheid uigesraalde eergie E per oppervlake- e ijdseeheid geld de we va Sefa Bolzma: E= σ T, me T de emperauur i kelvi e σ = 5, W/(m *K ) de Bolzma-cosae Ook de aarde ka worde gezie als ee zware sraler Di is ee belagrijk gegeve voor he aalysere va de eergiebalas va de aarde; ee evewich usse eerzijds de ikomede sraligseergie va de zo, e de uigezode sraligseergie va he aardoppervlak Di, op haar beur, is belagrijk voor he modellere va (de veraderig va) he modiale klimaa Bro: OU cursus Geologie rodom ijsijde (Leiders, 99), Nauurkude voor Milieuweeschappe (va Belleghem, 0) Aadachsgebied: Klimaaveraderig, Elekromageische sralig 6 We lae reflecie va sralig vaaf he aardoppervlak buie beschouwig I da geval kue we he oale vermoge va de uigezode sraligseergie va he aardoppervlak berekee door de uigesraalde eergie E (zie de Bolzmaformule) e vermeigvuldige me he oale aardoppervlak A Voor de laase geld A = pd me D de diameer va de aarde (756 km) Volges he Iergovermeal Pael o Climae Chage (IPCC) was de gemiddelde emperauur op aarde i he jaar 000 zo,5 C a Bereke he vermoge (i wa) va de uigezode sraligseergie va he aardoppervlak b Als we de aarde ee jaar lag lae srale, hoeveel eergie (i J) heef de aarde da oaal uigesraald? 66

24 Leereeheid 5 Expoeiële fucies erugkoppelig Uiwerkig va de opgave 5 a Na 0 miue is er og seeds bacerie E a 0 miue zij er og seeds De delig vid pas plaas kor voor he eide va de iervalle va 0 miue Na uur e 0 miue zie we 0 miue a = 6, dus da zij er og 6 bacerië De grafiek zie er als volg ui: 6 A() G() ijdsip (ijdseeheid jaar) sralig S() (i MBq) 5 Voor > 0 eem de grafiek seeds verder af, maar blijf alijd groer da 0 55 Drie uur is gelijk aa 9 periodes va 0 miue Iedere 0 miue is er ee verdubbelig, dus a uur is he gewich 9 = 5 keer zo groo 56 Op ijdsip is he gewich half zo groo, dus G( ) = G() 67

25 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe 57 Er volg: G( ) = G(0) = G( ) = G( ) = = G( ) = G( ) = = 8 G( 6) = G( ) = 8 = 6 G( 9) = G( 6) = 6 = 5 58 Voor a = 0 zou moee gelde /a = /0 Maar dele door 0 heef gee beekeis, dus da kue we ie oesaa 59 Eigeschap 5 ka worde oegepas: a = a Omda = volg u: a = = a a 50 a Op = zal he gewich 50/ 7 mg gewees zij Op = was he gewich 50/ = 50/8 0,6 mg b We moee vermeigvuldige me ee facor / om he gewich op = e krijge e me (/) = /8 om he gewich op = e krijge c G( ) = 50 - = 50 (/) 7 e G( ) = 50-0,6 5 a I 959 hebbe we = e A( ) = 6,8,0 - = 6,587 I 958 geld: A( ) = 6,8,0 - = 6,8 I 950 geld: A( 0) = 6,8,0-0 =,98 b We dele seeds door,0 Da is hezelfde als vermeigvuldige me ee facor /,0 = 0, a I 00 ware er 50% meer iwoers, dus = b I 990 was he aaal / va he aaal i 000, dus / = I 980 was he / = c Om ie jaar erug e gaa moe he aaal seeds me / worde vermeigvuldigd d De groeifacor is /, ofwel i 0 jaar kom er de helf va he aaal bij Da is 50% e We berekee: A( ) = ( )- = = A( ) = ( )- = ( ) = = He ijdsip = correspodeer me he jaar 990 e = correspodeer me a Voor 009 berekee we A( ) = ,9 - = 075 Voor 000 berekee we A( 0) = ,9-0 = 066 b We dele seeds door 0,9 Da is hezelfde als vermeigvuldige me ee facor /0,9 =,

26 Leereeheid 5 Expoeiële fucies 55 We vide: G(/0) = /0 =,05 G(/) = / =,89 G(/) = / =, 56 a De groeifacor is 8/ = 6 He fucievoorschrif is dus G() = 6 b Omda 6 =, is de groeifacor over ee halve dag gelijk aa He gewich a ee halve dag is dus = Neme we opieuw de worel, u va, da vide we de groeifacor over ee kwar dag: die is He gewich a ee kwar dag is dus = 6 c Na 8 uur is he gewich: = d De groeifacor over uur is, over 6 uur is ze e Als de groeifacor over uur gelijk aa g, da is de groei i uur g Dus g = 6 Dus g = g = 6 =,5 57 a 7500 is de helf va de ijdseeheid, e de groeifacor is De hoeveelheid radioaciviei is dus: H ( ) = 00000( ) = 88 b We moee als expoe de fracie va de ijdseeheid eme die hoor bij 000 jaar, dus = 000/75000 = /75 We vide: H ( / 75) = 00000( ) 75 = 9565 c De groeifacor over 000 jaar is: ( ) 75 = 0, a b c d e f g h i =, wa = 8 =, wa = 9 5 =, wa 5 = = = = = = = 5 = 5 = = - = = - = = = ( ) - ( ) ( ) (8 ) 9 (9 ) 7 ( ) ( ) ( ) = = = = = 8 59 We voere de berekeige ui me ee rekemachie: a =, 587 b 0 =,6 c 6 5 =,7 d =, 598 e 0 =, 68 f 6 5 =, 0 - g 8 = 0, 57 - h ( ) = 8 =, i ( ) =, Me ee rekemachie vide we: = =, e f() = =,665 69

27 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe 5 a We gaa a: f( ) = = = = f() b We berekee door seeds door e dele: f( 5) = 6 = = 0,05 f( 6) = = 6 = 0,056 f( 7) = 6 = 8 = 0,0078 f( 8) = 8 = 56 = 0,009 f( 9) = 56 = 5 = 0,0095 f( 0) = 5 = 0 = 0,00098 c De waarde va f() word seeds kleier als seeds serker egaief word, maar blijf wel groer da 0 De grafiek gaa seeds dicher aar de x-as 5 a b 0 ( ) 8 0,5 0,5 0,5 5,6569,88, 0,707 0,56 0,768 ( ) c Dezelfde waarde kome voor, allee i de omgekeerde volgorde d Hoe groer, hoe kleier g() Maar g() blijf wel posiief Als seeds serker egaief word, worde de fuciewaarde seeds groer e 8 g() = ( ) 7 f() = De grafieke va f() e g() zij gespiegeld e opziche va de y-as f He domei is 0, He bereik is e de asympoo va g() is de x-as, als seeds groer word De grafiek is overal daled 70

28 Leereeheid 5 Expoeiële fucies 5 a b Als he grodal groer da is, zij de fucies sijged, di zij dus f, h e k Daled zij de fucies me ee grodal kleier da, dus g e l c De waarde va m(x) = x is voor iedere waarde va x De grafiek is dus ee horizoale lij door (0, ) 7

29 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe 5 a b A ( ) = (0, 9) = 7 A ( ) = (0, 9) = 590 c A() A() d Door ieder jaar hee varieer he gewich me de seizoee, dus de grafiek zal schommele rodom de geschese lij 55 Me de rekemachie vide we: 0 = 0 0 = = = of,099568e 50 = of, e5 56 a 0 = > b 0 = 0 0 = ( 0 ) c 0 (000000) ; di geal heef cijfers 57 a I meers is de afsad: =,96 0 b De laase cijfers zulle ie kloppe, immers de aarde heef ook forse afmeige e bovedie varieer de afsad usse aarde e zo voordured c De af e legge afsad is kilomeer Dele door 000 geef: 7800 uur Da zij ogeveer 00 dage, ofwel ruim 8 jaar 58 a Er saa 6 cijfers, dus 6 sigificae cijfers b I mol zie 6,0 0 =,08 0 =,08 0 deeljes c I mol zie 6,0 0 = 0, = 5,085 0 deeljes 59 We berekee: 0 = 0 = 0, = 0 = 0,

30 Leereeheid 5 Expoeiële fucies 50 a Me ee rekemachie volg: 00 =,909097E-9 Afgerod op cijfers word di: 00 =, b De rekemachie geef: 600 =,099E-8 De uikoms is ee afrodig, dus ie exac gelijk c Er volg: ( 00 ) = (,909097E-9) =,099E-8 d I vier sigificae cijfers vide we 600 =, a Er geld: micromeer = 0,00000 m = 0 6 m De lege is dus,6 0 6 m e de breede is 0,6 0 6 = 6, 0 5 m b He volume is V = p r h =, (,5 0 5 ) =,6 0 6 =, (,5),6 0 6 = 8, 0 6 = 8, 0 5 m 5 a De massa va ee aoom is,995 0 g He aaal aome vide we me: = 6, 05 0, b De verhoudig va de massa s va molecuul HCl e C is 6,055 saa o,995 De molmassa va zouzuur is (6,055/,995) = 6,5 De massa va mol HCl is 6,5 = 09,5 gram 5 a We vide: 5 = 0,05, 0 = 0, e 0 = 0, b 5 heef 5 cijfers acher de komma c 0 = 5 5 = 5 5 =( 5 ) d 0 heef 0 cijfers acher de komma e 0 = 0, = 9, = = b 5 6 = 5 = = 6 = c =,86 0-6, 0-5 =,86 0-0,6 0 - = 0, (weeschappelijke oaie) = 0, (decimale breuk) 55 a 00 =, 0 00,5 =, ,0075 = 7,5 0 - b 0 8 = , 0 5 = ,7 0-8 = 0, =,5 0 0, =,

31 Ope Uiversiei Wiskude voor milieuweeschappe Awoorde op de zelfoes a b c d e f g h i a b c = 7 = 6 = 6 = = = = = 8 7 = = = 9 ( 7 ) = = = ( 6 ) - = = = 6 ( ) = = = = = ( ) = 6 9 = = = = = = = = =, = 7 =, = 0, = 0,78 a Berekeig va ekele fuciewaarde geef: x 0 f(x) = x 6 6 ( ) x g(x) = g(x) f(x) 8 0 x b He domei is voor beide fucies He bereik is voor beide 0, 7

32 Leereeheid 5 Expoeiële fucies c We moee de coördiae va de sijpue vide We moee dus oplosse x = 8 We herschrijve: x = -, dus x =, e x = He sijpu va f(x) = x me de lij y = is dus 8 (, 8 ) He sijpu me g(x) is (, ) De afsad usse de 8 sijpue is d f(00) = 00 =, g(00) = ( )00 = 6,0 0-6 a De groeifacor over wee ijdseehede is b Voor die groeifacor g moe gelde: g =, dus g = = 0, c N(0) = ( )5 = 0,05 5 a He verbad is g = G b G() =,5 8 G( ) =,5 8 =,5 = G( ) =,5 8 =,5 (8 ) =,5 = 6 G( ) =,5 8 =,5 (8 ) 5 =,5 5 = 8 6 a,5 C kom overee me 7 +,5 = 87,5 K De uigesraalde eergie per m is volges de we va Sefa Bolzma: 5, (87,5) Vermeigvuldige we di me de oppervlake va de aarde, da vide we: 5, (87,5) p (756000) =, W b Ee jaar heef = secode, dus de uigesraalde eergie is 6,5 0 6 J 75