Een studie van reguliere schierveelhoeken met behulp van algebraïsche combinatoriek

Transcriptie

1 Faculei Weeschappe Vakgroep Wiskude Ee sudie va reguliere schierveelhoeke me behulp va algebraïsche combiaoriek Dries Hose Promoor: Bar De Bruy Maserproef igedied er behalig va de academische graad va maser i de wiskude, afsudeerrichig zuivere wiskude Academiejaar

2 Ihoudsopgave 1 De Bose-Meser algebra 6 1 Defiiies e basiseigeschappe Idempoee De Kreivoorwaarde Afsadsreguliere grafe 11 1 Defiiie Eigemarices Eidige, reguliere, lokaal projecieve ruimes 15 1 Defiiies Ruimes me dimesie d > He geval d Parameervoorwaarde voor schierveelhoeke 1 1 Defiiies e basiseigeschappe Pu-quad relaies Pu-hex relaies Eigewaarde e Kreivoorwaarde Algemee resulae Schiervierhoeke Schierzeshoeke Schierachhoeke He geval s Besaasvoorwaarde voor schierachhoeke 40 1 Voorwaarde voor R e s He geval s e R > K He geval R K He geval R K He geval s Besaasvoorwaarde voor veralgemeede veelhoeke 58 1 Defiiies Resulae oafhakelijk va de diameer d He geval d He geval d He ie-besaa va schierachhoeke me parameers s,, 3, 4, 0, 8, Defiiies e eigeschappe De afbeeldig θ x,c De verzamelig C x e de meekude D x Pade usse pue va Γ x

3 8 He ie-besaa va schierzeshoeke me parameers s,, 3, 1, Quad-quad relaies als Kubusse De schierzeshoek me parameers s,, 3, 1, A Eglish summary 9

4 Voorwoord Bese lezer, Alvores oszelf oder e dompele i de heorie va de schierveelhoeke, had ik graag va di voorwoord gebruik gemaak om ekele mese e bedake. Als eerse wil ik mij promoor Bar De Bruy bedake voor he aawakkere va mij ieresse i di oderwerp ijdes de lesse Eidige Meekude. Ik wil hem ook bedake voor he aabiede va di oderwerp e de odige broe e voor de ijd die hij heef vrijgemaak om de vrage waar ik mee za op e losse. Daaraas wil ik ook de vele mese bedake die op geregelde ijdsippe polse aar de oesad e voorgag va deze hesis, e mij op eve geregelde ijdsippe er aa dede deke da de deadlie dicher e dicher kwam. I he bijzoder wil ik ook og mij kogeoes Sie De Groo, Sofie Sadaer e mij ichje Haah Va Eeoo bedake voor he gebruik va hu spelligvaardighede bij he aleze va deze hesis, voor de broododige koffie- e heepauzes i deze ijde va druke e voor de Phooshophulp. Als laase wil ik ook Aelies Cuvelier, Lie Gillis, Lieve Vadewalle e alle adere bedake die same me mij de wiskudige berg va Wiskudige Aalyse 1 o maserproef beklomme hebbe e va de afgelope vijf jaar ee overgeelijke ijd gemaak hebbe. De aueur geef de oelaig deze maserproef voor cosulaie beschikbaar e selle e dele va de maserproef e kopiëre voor persoolijk gebruik. Elk ader gebruik val oder de beperkige va he aueursrech, i he bijzoder me berekkig o de verplichig de bro uidrukkelijk e vermelde bij he aahale va resulae ui deze maserproef. Daum: augusus 015 Hadekeig: 3

5 Ileidig Reguliere schierveelhoeke zij meekudige srucure die vaui verscheidee sadpue beaderd kue worde. I deze maserhesis worde ze bekeke vaui de heorie va de afsadsreguliere grafe, e behadele we ze vooral op algebraïsche wijze. Er worde ook besaasvoorwaarde geformuleerd e beweze voor wee specifieke ypes reguliere schierveelhoeke, amelijk de veralgemeede veelhoeke e de reguliere schierachhoeke. Te sloe word ook he ie-besaa beweze va de schierachhoek me parameers s,,, 3, 4, 0, 8 e de schierzeshoek me parameers s,, 3, 9, 1. Ihoud Om de besaasvoorwaarde voor veralgemeede vierhoeke e reguliere schierachhoeke e bewijze, make we gebruik va de Kreivoorwaarde oegepas op afsadsreguliere grafe. I hoofdsuk 1 bekijke we de Kreivoorwaarde i hu mees algemee vorm. Daara worde i hoofdsuk ekele algemee resulae beweze voor afsadsreguliere grafe. We formulere e bewijze ook de Kreivoorwaarde voor afsadsreguliere grafe. I hoofdsuk 4 gebruike we deze Kreivoorwaarde da om greze e bepale op de parameers va reguliere schierveelhoeke. We bekijke ook de eigewaarde va de adjaceiemarix va schierveelhoeke me bepaalde diameers. Als laase bepale we ook ekele resulae die we zulle odig hebbe i hoofdsuk 5. Daara formulere e bewijze we besaasvoorwaarde voor reguliere schierachhoeke i hoofdsuk 5. I secie 4 kome we eidige, reguliere lokaal projecieve ruimes ege, e gebruike we ee resulaa da i hoofdsuk 3 word beweze. De besaasvoorwaarde voor veralgemeede veelhoeke formulere e bewijze we i hoofdsuk 6. Hiervoor werd ook gebruik gemaak va de Kreivoorwaarde ui hoofdsuk 1. Te sloe bewijze we via meekudige argumee he ie-besaa va de schierachhoek me parameers s,,, 3, 4, 0, 8 i hoofdsuk 7 e de schierzeshoek me parameers s,, 3, 9, 1 i hoofdsuk 8. Broe e eige ibreg De ihoud va hoofdsuk 1 is vooramelijk afkomsig ui [1] e p va [8]. Deze wee broe vermelde groedeels dezelfde resulae. De bro [8] werd da ook gebruik als aavullig op [1]. Ee bepaald resulaa over de Bose-Meser algebra werd hieri eerder vluchig vermeld. Di resulaa word i secie beweze aa de had va Sellig.1 op p.4 va []. Hoewel de groe lij va di bewijs duidelijk was, zij hier och verklarige bijgevoegd voor ee paar sappe die mider gemakkelijk e volge ware. De ihoud va hoofdsuk is afkomsig ui p va [8]. Deze was zeer duidelijk e is hier ekel opgeome om de ogelijkhede die osaa ui de Kreivoorwaarde laer gemakkelijker e kue bewijze. Ekele va de resulae i deze bro ware echer op he eerse zich mider duidelijk, e worde hier ies uivoeriger beweze i Lemma. e Lemma.3. De ihoud va hoofdsuk 3 is afkomsig ui [3]. De algemee redeerige ui di arikel ware zeer duidelijk. Ekele kore redeerige ui he arikel worde hier wa uivoeriger beschreve, zoals bv. i Lemma 3.6 e Lemma 3.9. I he arikel werd he bewijs va Lemma 3.9 als aalogo va Lemma 3.10 aa de lezer overgelae. Hier word di bewijs va di lemma verder uigewerk. Hoofdsuk 4 volg de lij die word uieegeze i p va [4] als voorbereidig op hoofdsuk 5. Hier werde de meese redeerige e bewijze zeer bekop geformuleerd. I deze maserhesis 4

6 worde ze duidelijker ui de doeke gedaa e worde de berekeige die i he arikel zij weggelae ook uigevoerd. Na Defiiie 4.8 geve we ook ee resulaa ui [9] er vervolledigig va de heorie. Hoofdsuk 5 is vooramelijk gebaseerd op [4]. I deze bro was er echer ee fou. Deze werd opgelos i [5] e word ui de doeke gedaa i secie 5. I secie hale we ook ee resulaa ui [9] aa er afhadelig va ee zeer specifiek geval. De ihoud ui hoofdsuk 6 is afkomsig ui p va [8]. De redeerige die daar gebruik werde, ware zeer duidelijk. De berekeige daareege werde groedeels aa de lezer overgelae. Deze worde hier uivoerig uigewerk. Omda i de bro ook veel word overgesproge va he ee geval op he adere, worde de resulae hier ook duidelijker gegroepeerd per geval. De ihoud va hoofdsuk 7 is afkomsig ui [6]. De redeerige i di arikel ware zeer duidelijk. Ekel de ihoud va Lemma 7.5, Lemma 7.8 e de berekeig va he beeld va de verschillede pue oder de afbeeldig θ x,c worde ie explicie vermeld i he arikel. De ihoud va hoofdsuk 8 is gebaseerd op [7]. De redeerige ui he arikel zij hier meer uigewerk, zoda de lezer zich mider vrage hoef e selle bij de bekome resulae. Ekel Figuur 8.1 e Figuur 8.11 zij rechsreeks afkomsig ui [7]. De adere figure werde specifiek voor deze maserhesis gecreërd er verduidelijkig va de gevolgde redeerige. 5

7 Hoofdsuk 1 De Bose-Meser algebra Om i verdere hoofdsukke voorwaarde e kue opselle voor de parameers va schierveelhoeke, hebbe we de Kreivoorwaarde odig. Deze ogelijkhede vide hu oorsprog i de Bose-Meser algebra. I di hoofdsuk besudere we deze algebra e bekijke we de Kreivoorwaarde i hu mees algemee vorm. 1 Defiiies e basiseigeschappe De Bose-Meser algebra word gevormd vaui associaieschema s. We bekijke deze eers wa aderbij. Defiiie 1.1. Ee associaieschema me d klasse is ee paar X, R me X ee eidige se e 1. R {R 0, R 1,..., R d } ee pariie va X X,. R 0 {x, x x X}, 3. x, y R i y, x R i, 4. e de eigeschap da er auurlijke gealle p l ij zij zoda voor elk paar x, y i R l er p l ij mogelijke z X zij me x, z R i e y, z R j. Door i de defiiie va p l ij de rolle va x e y om e wissele, zie we da pl ij pl ji. Als we u de gealle k i : p 0 ii bekijke, da is di voor elke x, y R 0 volges de defiiie gelijk aa he aaal mogelijke z X waarvoor geld da x, z R i e y, z R i. Omda x, y R 0, geld da x y, dus is k i gelijk aa he aaal z X me x, z R i. Doorda R ee pariie is va X X i d klasse, wee we da v : X k i. Voor elke klasse kue we u ee vierkae marix A i defiiëre me rije e kolomme geïdexeerd door de elemee va X: { 1 als x, y Ri, A i xy 0 aders. De defiiie va ee associaieschema uigedruk i de marices A i word u 1. d A i J,. A 0 I, 3. A i A T i, dus de marices A i zij symmerisch e 4. A i A j d k0 pk ij A k. 6

8 De eerse drie eigeschappe zij hier duidelijk. De vierde vraag wa meer uileg. Als we kijke aar he eleme A i A j xy, da is di gelijk aa he aaal elemee z X waarvoor zowel A i xz 1 als A j zy 1. Veraald aar de oorsprokelijke defiiie word di dus he aaal elemee z X waarvoor x, z R i e y, z R j. Als x, y R k, da is di volges 1.1 gelijk aa p k ij. We wee ook da x, y i exac éé va de R i zi. Als we de som eme i he recherlid, da zie we dus da voor x, y R k er e p k ij verschij op de posiie xy. De beide uidrukkige zij dus gelijk. Defiiie 1.. Voor ee marix A defiiëre we A als de som va alle elemee va de marix dus A : Ax, y. We hebbe u ook da Ai : x,y X x,y A i x, y vk i, aagezie er v elemee x i X zie, e er voor elke x exac k i elemee y zij zoda A i x, y 1. De marices A i, i {0,..., d} zij lieair oafhakelijk. Elk eleme va X X behoor immers o exac éé pariieklasse, waardoor elke posiie va de marix ook verschilled is va ul i exac éé va de marices A i, i {0,..., d}. Ze spae bijgevolg ee d + 1-dimesioale commuaieve algebra va symmerische marices op. Di word ook wel de Bose-Meser algebra geoemd. Deze algebra is gesloe oder vermeigvuldigig door de vierde eigeschap e ook oder elemesgewijze vermeigvuldigig, aagezie geld da A i A j δ ij A i. Omda de marices A i commuere, zij ze gezamelijk diagoaliseerbaar. Als er maar d verschillede eigewaarde e maar d verschillede eigeruimes zoude zij, zoude we maximum d verschillede, lieair oafhakelijke, gezamelijk diagoaliseerbare marices vide. We vide bijgevolg d + 1 eigeruimes. Omda de marix J i deze algebra zi, e J ee eigewaarde heef me mulipliciei 1 amelijk v, wee we da éé va deze eigeruimes éédimesioaal is. Idempoee We bewijze u da de Bose-Meser algebra ee orhogoale basis heef va idempoee. De leidraad hiervoor is [] Defiiie 1.3. Ee marix M is idempoe als M M. Defiiie 1.4. Twee marices M e N zij orhogoaal als MN 0. We defiiëre ee orderelaie op de idempoee va de Bose-Meser algebra door e selle da E F als F E E. Deze is ˆ reflexief, wa EE E, ˆ aisymmerisch, wa als E F e F E, da is E F E F, ˆ e rasiief, wa als E F e F G, da is GE GF E F E E, dus E G. De relaie is dus ee pariële orderelaie. Defiiie 1.5. Ee miimale idempoe is ee miimaal eleme va de verzamelig va ie-ulzijde idempoee va de Bose-Meser algebra e opziche va de pariële orderelaie. Voor ee miimale idempoe E e ee willekeurige ie-ulzijde idempoe F geld dus da F E ekel e allee als F E. Doorda voor wee idempoee E e F ook geld da EF E EEF EF e EF F EF, wee we da EF E e EF F. Als we dus wee verschillede miimale idempoee E e F hebbe, da is EF E e EF F, waardoor ofwel E EF F geld srijdig wa E F, ofwel EF 0 is. Twee verschillede miimale idempoee zij dus alijd orhogoaal. Lemma 1.6. Neem ee commuaieve marixalgebra B me ideiei over ee algebraïsch gesloe veld. We eme aa da N 0 als N 0. De algebra B heef da ee orhogoale basis va idempoee. 7

9 Bewijs. We bewijze eers da elk eleme va B ka geschreve worde als ee lieaire combiaie va idempoee. Neem dus willekeurig A B me ψ he miimaalpolyoom va A e sel ψ k i1 θ k mi. We defiiëre de veelerm ψ i : ψ θ i voor 1 i k. Er is da gee facor die m i voorkom i alle veelerme ψ 1,..., ψ k. Deze veelerme zij dus copriem. We vide veelerme f i, 1 i k zoda k 1 f i ψ i. Hierui vide we I i1 k f i Aψ i A. 1.1 i1 Voor i j vide we da ψ ee deler is va ψ i ψ j, dus moe ψ i Aψ j A 0 zij. Als we u beide lede va 1.1 vermeigvuldige me f j Aψ j A voor ee j {1,..., k} vide we f j Aψ j A f j Aψ j A wa beeke da f j Aψ j A ee idempoe is. We selle E j : f j Aψ j A. Doorda ψ i Aψ j A 0 voor i j e i, j {1,..., k}, vide we da E i E j 0. Doorda 0 ψa A θ i I m i ψ i A, vide we ook da A θ i I mi E i 0. Vermeigvuldige we di m i 1 keer me E i, da vide we A θ i IE i m i 0. We moge aaeme da ui N 0 volg da N 0. Door herhaaldelijk oepasse va deze aaame 1 vide we hier A θ i IE i 0. De gelijkheid 1.1 kue we u ook schrijve als I k i1 E i. Hierui volg u k k A AE i θ i E i. We kue A dus alijd schrijve als ee lieaire combiaie va idempoee. De algebra B word bijgevolg opgespae door zij idempoee. Er res os u ekel og e bewijze da er miimale idempoee besaa, e da elke idempoe ka geschreve worde als ee lieaire combiaie va miimale idempoee. Neem daarvoor wee verschillede idempoee E e F e sel da E F is. Hiervoor geld da F I E F F E F E 0, erwijl EI E 0. Als we echer de ruimes CE : {Ex : x R v } e CF bekijke, da vide we voor ee willekeurige x R v da v : Ex F Ex. Omda x hier willekeurig was, moe CE ee deelverzamelig zij va CF. Deze ruimes zij isomorf me de ruimes opgespae door de kolomme va respecievelijk E e F, dus hu dimesie is gelijk aa de rag va respecievelijk E e F. Als u x ee kolom va I E is, vide we F x 0 e Ex 0. Nu zi F x wel i CF, maar ie i CE. Aders zoude we immers voor ee bepaalde kolomvecor z vide da F x Ez EF x EEz Ez F Ex Ez 0 Ez F x 0. Di lever os ee srijdigheid. De ruime CE is u ee eche deelruime va CF, dus de rag va E is srik kleier da die va F. Als we dus verschillede idempoee E 1, E,..., E m hebbe me E 1 E... E m, da ka m hoogses gelijk zij aa v. We kue dus ie alijd ee kleiere idempoee marix vide, waarui we kue besluie da er wel degelijk miimale idempoee marices besaa. We moee u ekel og bewijze da elke idempoe ee lieaire combiaie is va miimale idempoee. Neem dus ee willekeurige idempoe F. Voor elke miimale idempoe E me EF 0 vide we da EF E, dus EF E. We defiiëre F 0 u als de som va alle verschillede miimale idempoee E me E F. Als som va idempoee, wee-aa-wee orhogoale marices is F 0 da zelf ook idempoe. Als F 0 F, da is F F 0 ook idempoe, dus is er ee miimale idempoe E me E F F 0. Selle we E gelijk aa ee willekeurige miimale idempoe me E F, da vide we E F E F 0 E E F E E F 0 E E E E E E E E E E E 0. 1 Voor ee eve m gebruike we N m 0 N m/ 0. Voor ee oeve m gebruike we N m 0 N m+1 0N 0 N m

10 De weede sap volg hier ui he fei da E F e he fei da miimale idempoee orhogoaal zij. Hierui vide we da E F 0 0, dus moe E F E, waarui volg da E F. Hierui vide we u da E F E F 0 E E 0, srijdig me he fei da E F E F 0 E. De eige mogelijkheid is da F F 0, wa he volledige lemma bewijs. We passe he vorige lemma u oe op de Bose-Meser algebra Sellig 1.7. De Bose-Meser algebra heef ee orhogoale basis va miimale idempoee {E j 0 j d} me rage f j : re j. Bewijs. Als we kue bewijze da voor ee marix N ui de algebra me N 0 geld da N 0, da kue we he vorige lemma oepasse e is de sellig beweze. Neem dus zo ee marix N, da is 0 N N N N. Di wil zegge da 0 rn N rn N N N. Nu geld voor alle marices M da rm M 0 als e slechs als M 0, dus hierui vide we da N N 0, dus da rn N 0, dus da N 0. Hierdoor kue we u he vorige lemma oepasse, e is de sellig beweze. 3 De Kreivoorwaarde Ui deze voorwaarde zulle laer zware resricies volge voor de parameers va schierveelhoeke. We bewijze ze hier aa de had va [1]. We defiiëre marices P e Q zoda Hierui volg da A j A j P ij E i, P ij 1 v E j 1 v Q ki A k 1 v k0 Q ij A i. P ij Q ki A k. i,k0 Nu wee we dus da 1 v P ijq ki δ jk, dus P Q vi. Defiiëre we u gealle q k ij door e selle da da bekome we de volgede sellig Sellig 1.8. Voor alle i, j, k 0,..., d geld me gelijkheid als e slechs da als voor alle u, v, w X. x X E i E j : 1 v vf k q k ij qije k k, k0 k l Q li Q lj Q lk 0 l0 E i u, xe j v, xe k w, x 0 1. Bewijs. Omda de marices E i idempoe zij, geld E i E i, wa hezelfde is als E i x, y u X E i x, ue i u, y u X E i u, xe i u, y, waarbij de laase sap volg ui he symmerisch zij va E i. Als we he likerlid va 1. schrijve als qu, v, w, da krijge we Ei E j E k E i x, ye j x, ye k x, y, x,y X 9

11 Ei E j E k E i u, xe i u, y E j v, xe j v, y E k w, xe k w, y x,y X u,v,w X u X v X w X E i u, xe j v, xe k w, x E i u, ye j v, ye k w, y y X x X qu, v, w 0. u,v,w X We hebbe echer ook da re i E j E k x XE i E j E k x, x E i E j x, ye k y, x x,y X E i x, ye j x, ye k x, y, x,y X waarbij de laase sap volg ui de defiiie va e de symmerie va E k. Hierui volg u v E i E j E k v re i E j E k vr qije l l E k l0 vrq k ije k vf k q k ij, waarbij de weede sap volg ui de defiiie va qij k e de voorlaase sap volg ui he fei da de marices E i ee orhogoale basis vorme. Aderzijds volg ui de defiiie va Q ij da v E i E j E k v E i x, ye j x, ye k x, y x,y X v Q li A l x, y Q mj A m x, y Q k A x, y v v v x,y X l0 m0 0 1 Q li Q mj Q k A l x, ya m x, ya x, y v l,m,0 x,y X 1 Q li Q mj Q k A l A m A x, y v l,m,0 x,y X 1 Q li Q lj Q lk A l x, y A i A j δ ij A i v 1 v l0 vk l Q li Q lj Q lk l0 k l Q li Q lj Q lk l0 wa de sellig volledig bewijs. x,y X 10

12 Hoofdsuk Afsadsreguliere grafe De colliearieisgrafe va schierveelhoeke zij specifieke gevalle va afsadsreguliere grafe. We bekijke daarom eers de afsadsreguliere grafe va wa aderbij. Deze grafe zij i he bijzoder ook associaieschema s, waardoor we de Kreivoorwaarde ook hierop kue oepasse. Verder bepale we hier ook og ee raioalieisvoorwaarde die we laer da kue oepasse op schierveelhoeke. 1 Defiiie Defiiie.1. Ee afsadsreguliere graaf is ee samehagede graaf me parameers b i, c i voor i 0 zoda voor elke wee pue x, y i de graaf op afsad dx, y j er exac c j bure va y i Γ j 1 x ligge e b j bure va y i Γ j+1 x. Door ee paar pue x, y op afsad 0 e bekijke dus x y, volg hierui da ee afsadsreguliere graaf ook regulier is me parameer k : b 0. Zo vide we voor ee puepaar x, y me dx, y j ook he aaal bure va y i Γ j, amelijk a j : k b j c j. Logischerwijs geld voor ee graaf me diameer d da b d 0, c 0 0 e c 1 1. Lemma.. Voor 0 i d is Γ i x k i me k 0 1, k 1 k e k i+1 k i b i /c i+1, 0 i d 1. Bewijs. We kieze ee vas pu x, da lig er éé pu op afsad 0 va x, amelijk x zelf. Er ligge k pue op afsad 1 va x. We elle u de puepare y, z me dx, y i, dx, z i + 1 e dy, z 1. Telle we eers he aaal pue z e daara de mogelijke pue y da vide we k i+1 c i+1. Telle we eers he aaal pue y e daara he aaal mogelijke pue z, da vide we k i b i, wa he lemma bewijs. He oaal aaal pue i de graaf is dus v d k i. Als we de pue labele me ee geal i me i {1,..., v}, da kue we e zoals bij associaieschema s vierkae marices A i defiiëre als volg: { 1 als dx, y i, A i xy 0 aders. We selle hierbij A : A 1. We vide A 0 I, J d A i. Voor grafe me ee diameer d geld da A d+1 0. Lemma.3. Er geld da AA i c i+1 A i+1 + a i A i + b i 1 A i 1. Bewijs. We hebbe AA i xy v A xz A i zy. z1 Nu is A xz A i zy 1 ekel als dx, z 1 e dz, y i. Als dx, y i 1, da is he aaal mogelijke pue z da hieraa voldoe gelijk aa b i 1. Als dx, y i, da hebbe we a i mogelijke pue z. Als dx, y i + 1, da hebbe we c i+1 mogelijke pue z. Door de driehoeksogelijkheid zij di de eige mogelijkhede. 11

13 Hierui volg u da we de marices A i kue schrijve als veelerme v i va de marix A me graad i. We defiiëre zo v i A : A i. Omda de marices lieair oafhakelijk zij, heef A mises d + 1 verschillede eigewaarde. Sel immers da A hoogses d verschillede eigewaarde heef, da is he miimaalpolyoom va A ook hoogses va graad d, dus da kue we v d A schrijve als ee lieaire combiaie va v i A, 0 i d 1. Omda v d+1 A A d+1 0 ee veelerm va graad d + 1 i A is, wee we ook da er exac d + 1 verschillede eigewaarde zij. Als we u ee eigewaarde θ va A hebbe, da volg ui he voorgaade da v i θ ee eigewaarde is va A i. Ui.3 hale we u θv i θ c i+1 v i+1 θ + a i v i θ + b i 1 v i 1 θ..1 We wee ook da als θ geheel is, v i θ ee algebraïsch geheel geal is e als eigewaarde va ee marix va gehele gealle dus ook ee geheel geal. We wee da k ee eigewaarde is va A horede bij de eigevecor 1,..., 1 T. De bijbehorede eigewaarde v i k va de A i zij ook eigewaarde horede bij deze eigevecor, dus zo vide we v i k k i. Hierui volg de volgede defiiie: Ui Lemma. e.1 vide we u θu i θ θ v iθ k i e u 1 θ 0, u 0 θ 1 e u 1 θ θ/k. Eigemarices c i+1 v i+1 θ k i u i θ : v i θ/k i. + a i v i θ k i + b i 1 v i 1 θ k i b i v i+1 θ v i θ c i v i 1 θ c i+1 + a i + b i 1 k i+1 c i+1 k i k i 1 b i 1 b i u i+1 θ + a i u i θ + c i u i 1 θ. Om de Kreivoorwaarde e kue formulere i de ermiologie va de afsadsreguliere grafe, bepale we eers ee orhogoale basis va idempoee voor de algebra voorgebrach door de marices A i, i {0,..., d}. Defiiie.4. De θ-eigeruime va ee graaf me adjaceiemarix A is de ruime va vecore x waarvoor geld Ax θx. Deze ruimes zij ie-riviaal ekel als θ wel degelijk ee eigewaarde is va A. I da geval besaa de eigemarix gedefiiëerd als Eθ : u i θa i. Lemma.5. Voor elke eigewaarde θ va A geld AEθ θeθ. Bewijs. We passe eers de defiiie va Eθ oe e we gebruike de recursieberekkig ui Lemma.3 AEθ u i θaa i u i θc i+1 A i+1 + a i A i + b i 1 A i 1 u i θc i+1 A i+1 + d+1 u i 1 θc i A i + i1 u i θa i A i + u i θa i A i + d 1 i 1 u i θb i 1 A i 1 u i+1 θb i A i. 1

14 Omda c 0 b d c d+1 b 1 0, kue we deze sommaies ook als volg schrijve. AEθ u i 1 θc i A i + u i θa i A i + u i+1 θb i A i u i 1 θc i A i + u i θa i A i + u i+1 θb i A i u i 1 θc i + u i θa i + u i+1 θb i A i θu i θa i θeθ. Di bewijs he lemma. Lemma.6. Als θ, θ wee verschillede eigewaarde va A zij, da is EθEθ 0. Bewijs. Beide eigemarices zij veelerme i A e commuere dus me A. Ui he vorige lemma hale we da θeθeθ AEθEθ EθAEθ θ EθEθ waarui volg da EθEθ 0. Sellig.7. Voor ee eigewaarde θ va de adjaceiemarix A va de graaf Q heef de θ-eigeruime va deze graaf dimesie v fθ : d k iu i θ. Ze word opgespae door de kolomme va de marix Eθ. Bewijs. Ui he vorige lemma volg da de kolomme va Eθ behore o de θ-eigeruime va de graaf. Ui de defiiie va Eθ, v i e u i volg de volgede gelijkheid, waarui we ee veelerm ϕ kue defiiëre: v i θv i A Eθ : ϕa. k i He vorige lemma zeg u da x θϕx ee veelvoud is va he miimaalpolyoom va A. Hierui volg da θ θϕθ 0 voor alle eigewaarde θ va A, dus ϕθ 0 voor alle eigewaarde θ θ. Omda Eθ ee veelerm is i A, kue we de eigewaarde va Eθ schrijve als veelerme va de eigewaarde va A. Ui he voorgaade blijk da deze eigewaarde va Eθ ofwel ul zij als ze osaa ui eigewaarde θ θ ofwel gelijk zij aa ϕθ als ze osaa ui de eigewaarde θ. De mulipliciei va ϕθ als eigewaarde va Eθ is gelijk aa de mulipliciei va θ als eigewaarde va A e is dus gelijk aa de dimesie fθ va de eigeruime. Ui de gelijkheid AEθ θeθ volg da de kolomme va Eθ e de θ-eigeruime opspae. We berekee reθ op wee maiere. Eerzijds is di gelijk aa de som va de eigewaarde va Eθ, dus gelijk aa fθϕθ. Aderzijds volg ui de defiiie va Eθ da Hierui volg u da reθ r fθ u i θa i v ϕθ d v u i θra i u 0 θra 0 u 0 θv v. v i θv i θ k i d v v i θ k i v d k iu i θ..3 13

15 Hierui hale we oder adere da de gealle fθ i de muliplicieie zij va de eigewaarde θ i va A. We wee ook da Eθ ϕaeθ defiiie ϕ ϕθeθ AEθ θeθ v Eθ. fθ door middel va.3 Zo vide we d + 1 verschillede idempoee marices E i : fθ i v Eθ i die ee basis vorme voor de algebra opgespae door de marix A. We wille u de heorie va de Kreivoorwaarde op de afsadsreguliere grafe kue oepasse. I Sellig 1.8 gebruike we hiervoor ee basis va miimale idempoee va de Bose-Meser algebra. I he bewijs va deze sellig gebruike we echer ie rechsreeks de miimaliei va de idempoee marices, maar ekel hu orhogoaliei. De basis E i, i {0,..., d} volsaa hier dus. We zoeke eers de overgagsmarix Q zoda E j 1 d v Q ija i. We hebbe Eθ j u i θ j A i fθ j Eθ j fθ j v v E j 1 v u i θ j A i fθ j u i θ j A i. Zo bekome we de gelijkheid Q ij fθ j u i θ j. Sellig.8. Voor i, j, h {0,..., d} geld 0 q ijh : k l u l θ i u l θ j u l θ h waarbij de eigewaarde θ va groo aar klei georded worde. Bewijs. I Sellig 1.8 zage we k l Q li Q lj Q lk 0. l0 l0 Vulle we u de gevode waarde Q ij i, da vide we k l Q li Q lj Q lk k l fθ i fθ j fθ k u l θ i u l θ j u l θ k l0 l0 fθ i fθ j fθ k k l u l θ i u l θ j u l θ k. l0 Nu is fθ i fθ j fθ k ee produc va 3 muliplicieie, dus ee produc va 3 posiieve gealle. We bekome da d l0 k lu l θ i u l θ j u l θ k 0. 14

16 Hoofdsuk 3 Eidige, reguliere, lokaal projecieve ruimes Bij he bepale va de besaasvoorwaarde va reguliere schierachhoeke, kome we eidige, reguliere, lokaal projecieve ruimes ege als specifiek geval va reguliere schierachhoeke. Om e bewijze da de e corolere besaasvoorwaarde ook i di speciefieke geval gelde, bekijke we deze daarom eers wa va aderbij. 1 Defiiies We overlope eers ekele meekudige srucure om zo ee beer beeld e vorme va eidige, reguliere, lokaal projecieve ruimes. Defiiie 3.1. Ee lieaire ruime E is ee verzamelig P elemee die we pue oeme, me ee familie L va deelverzamelige va P die we reche oeme, zodaig da wee verschillede pue i exac éé reche ligge, e elke reche mises wee pue beva. Defiiie 3.. Ee lieaire variëei is ee deelverzamelig V va ee lieaire ruime E zodaig da elke reche va E die wee pue beva va V volledig i V lig. Defiiie 3.3. Ee vlag is ee rij va lieaire variëeie, waarbij elke variëei behalve de eerse ee eche deelverzamelig is va zij voorgager. Ee vlag is maximaal als ze ie beva is i ee adere vlag. Defiiie 3.4. Ee lieaire ruime E me ee verzamelig lieaire variëeie va E is lokaal projecief als voor ee pu p va E de srucuur geïduceerd door de lieaire variëeie door de reche door p isomorf is me de srucuur va ee projecieve ruime va ee bepaalde eidige dimesie. Defiiie 3.5. Ee lieaire ruime is d-dimesioaal als er voor elk geheel geal j d ee verzamelig lieaire variëeie geaamd j-ruime of V j s besaa, zoda ee 0-ruime ee pu is, ee 1-ruime ee reche is, V d E e voor ee gegeve V j e ee pu p / V j er ee uieke V j+1 besaa me p V j+1 e V j V j+1. Ee -ruime oeme we ook soms ee vlak. Lemma 3.6. Elke lokaal projecieve ruime E is d-dimesioaal voor ee bepaalde d N. Bewijs. Sel da V ee bepaalde lieaire variëei is i E e da p ee pu i V is. Doorda E lokaal projecief is, kue we de reche door p zie als pue va ee projecieve ruime, e V als ee deelruime va deze projecieve ruime bepaald door de reche door p. I de projecieve ruime heef V da ee bepaalde dimesie j 1. We selle de dimesie va V i E da gelijk aa j. Deze keuze hag ie af va he gekoze pu p. Om di i e zie, kieze we ee ader pu p i V e cosruere we wee maximale vlagge op de reche pp die V beva, amelijk éé die p als kleise variëei beva e éé die p als kleise variëei beva. Deze vlagge iducere da vlagge i de projecieve ruime, die beide maximaal zij. I de projecieve ruime zulle de wee vlagge dezelfde lege hebbe, dus zal V i beide gevalle dezelfde dimesie krijge. 15

17 Als we u ee variëei V e ee pu p / V eme, da kue we ee pu p V eme e de projecieve ruime i p bekijke. I deze projecieve ruime vide we ee pu overeekomed me de reche pp e ee variëei me dimesie j 1 overeekomed me V, waarbij he pu correspodered me pp ie i deze variëei lig. We kue bijgevolg i de projecieve ruime ee variëei V cosruere va dimesie j die zowel he pu correspodered me pp als de variëei correspodered me V beva. Me de ieuwe variëei V i de projecieve ruime kom da ee variëei i E overee die V beva e die de reche pp beva, e bijgevolg ook he pu p. Op deze maier vide we op ee bepaald mome ee variëei die alle reche door p beva. Deze variëei ka ekel gelijk zij aa E. Als we variëeie me dimesie j i E zie als j-ruimes, da zie we da E wel degelijk d-dimesioaal is voor ee bepaalde d. Defiiie 3.7. Ee lieaire ruime is regulier als alle reche eveveel pue bevae. Defiiie 3.8. Ee Lobachevsky ruime is ee d-dimesioale lieaire ruime voor ee bepaalde d N me de eigeschap da voor elke reche l e elk pu p / l er srik meer da éé reche door p i he vlak voorgebrach door p e l lig die gee pue gemeeschappelijk heef me l. Di aaal reche is ook oafhakelijk va he pu p e de reche l e we oeme di aaal ook he ype va de Lobachevsky ruime. Voor he gemak voere we de volgede oaies i: ˆ v he aaal pue i de ruime E, ˆ k he aaal pue op ee reche, ˆ d de dimesie va E, ˆ s he aaal pue i ee vlak, ˆ s 3 he aaal pue i ee 3-ruime, ˆ q de orde va ee projecieve ruime door ee pu di beeke da i de projecieve ruime er q + 1 pue op ee reche ligge, ˆ m he ype va ee Lobachevsky ruime. Ruimes me dimesie d > 3 We zulle bewijze da ee eidige, reguliere, lokaal projecieve ruime va dimesie d > 3 alijd ee affiee ruime of ee projecieve ruime is. Lemma 3.9. Als v, k e d gegeve zij, da zij q, s, s 3 e m uiek bepaald. Bewijs. We elle eers he aaal reche door ee pu. Eerzijds wee we da door elke wee pue exac éé reche gaa, e da op ee reche k pue ligge. Zo bekome we door ee vas pu reche. Aderzijds is he aaal reche door ee pu ook gelijk aa he aaal pue va de v 1 k 1 projecieve ruime i da pu. Zo bekome we qd 1 v 1 q 1 reche. Ui de gelijkheid k 1 qd 1 q 1 kue we q bepale. Neem u ee vlak V e ee pu p V. Da is V i de projecieve ruime door p ee reche, e beva deze q + 1 pue. Di beeke da er q + 1 reche door p gaa die i V ligge. Elk va deze reche beva k 1 pue verschilled va p. We bekome s q + 1k Neme we ee 3-ruime V 3 e ee pu p i V 3, da kom V 3 overee me ee vlak i de projecieve ruime door p. Zo vide we q + q + 1 reche door p i V 3. Aaloog aa de berekeig va s vide we zo s 3 q + q + 1k Om u m e berekee bekijke we ee vlak V, ee pu p V e ee reche l V me p / l. We wee da er q + 1 reche door p gaa die i V ligge, e da er k reche door p gaa die ee pu gemeeschappelijk hebbe me l. We kue amelijk voor elk pu p l de uieke reche pp bekijke. Di zij de eige reche door p die ee pu gemeeschappelijk hebbe me l. We vide zo m q + 1 k. Als m 0, da is k q + 1. Di beeke da E ee projecieve ruime is me orde q. We gaa verder me de aaame da m 1 16

18 Lemma Als d >, da is k ee deler va s e bijgevolg ook va q. Bewijs. Neem ee vlak V e ee pu p / V. Da bepale V e p ee 3-ruime V 3. We kue u ee reche l eme i V e he vlak V bekijke voorgebrach door p e l. Di vlak sijd V ekel i l. Doorda m 1, wee we da er ee reche l door p gaa i V die gee pue gemeeschappelijk heef me l, dus ook ie me V. Ter verduidelijkig verwijs ik hier aar Figuur 3.1. Figuur 3.1: Verduidelijkig bij Lemma 3.10 Figuur 3.: Verduidelijkig bij Lemma 3.10 Ee willekeurig vlak V door l da ee pu p va V beva zie Figuur 3., moe V sijde i ee reche. Zowel V als V ligge immers i V 3, e aagezie de ruime lokaal projecief is, kue we de projecieve ruime vaui p bekijke. Daari is V 3 ee vlak, V ee reche i da vlak, e V ook ee reche i da vlak. Twee verschillede reche die i ee projecief vlak ligge sijde alijd i ee pu, dus V e V sijde i ee reche door p. Als we ee ader pu op deze reche hadde gekoze, da hadde we hezelfde vlak V bekome. Aa de had va de vlakke door l bekome we dus ee pariie va de pue va V i reche. He aaal pue k op ee reche moe dus ee deler zij va he aaal pue s i V. Omda s q +1k 1+1 qk +k q, beeke de voorwaarde k s hezelfde als k q. We defiiëre u ee parameer i door e selle da q i + 1k. Hiermee word m q + 1 k 1 + ik, s q + 1k i + 1k + 1k ki + 1k i, s 3 q + q + 1k i + 1 k 3 + i + 1k + k i + 1 k i + 1k ki + 1i + 1k + k i + 1k i kki + 1i + 1k i i ki + 1s i. Figuur 3.3: Verduidelijkig bij Lemma 3.11 Figuur 3.4: Verduidelijkig bij Lemma

19 Lemma Als d > 3, da is s ee deler va s 3. Bewijs. Als we ee 3-ruime V 3 eme e ee pu p / V 3, da brege p e V 3 ee 4-ruime V 4 voor. Neme we ee vlak V i V 3, da brege he pu p e he vlak V ee 3-ruime V3 voor die ekel he vlak V gemeeschappelijk heef me V 3. We kue e zoals i he vorige bewijs ee reche l door p vide i V3 die gee pue gemeeschappelijk heef me V zie Figuur 3.3. I V3 vide we q + 1 vlakke door l. We kue immers i de projecieve ruime door p alle reche door he pu correspodered me l bekijke. Aderzijds vode we i he vorig bewijs da i V3 er s k vlakke door l gaa die V sijde. Doorda s k qk+k q k q + 1 q k < q + 1, vide we i V3 ee vlak V door l da gee pue gemeeschappelijk heef me V e bijgevolg ook ie me V 3. Ne als i he vorige bewijs vide we per pu p va V 3 ee 3-ruime V 3 die V beva, e die V 3 moe sijde i ee vlak zie Figuur 3.4. Als we ee ader pu va di vlak hadde gekoze, zoude we dezelfde 3-ruime V 3 bekome zij. Zo vide we ee pariie va de pue va V 3 i vlakke, dus moe s s 3. Lemma 3.1. Als d > 3, da is m 1. Bewijs. Door he vorige lemma is s ee deler va s 3, wa dakzij de defiiie va i wil zegge da s ook ee deler is va ik, dus ki + 1k i ik i + 1k i i. Omda we k ook kue schrijve als i + 1k i ik 1, zie we da i + 1k i ook ee deler is va k. Omda zowel i + 1k i als k posiieve gehele gealle zij, moe i + 1k i k, dus ik i. Doorda k > 1, ka di ekel als i 0, dus als m 1. Defiiie Twee reche l e l zij parallel als ze i hezelfde vlak ligge e gee pu gemeeschappelijk hebbe, of als l l. We schrijve voor wee parallelle reche l e l ook da l l. Lemma De relaie is ee equivaleierelaie. Bewijs. Ui de defiiie volg direc da de relaie reflexief e symmerisch is. We moee ekel og bewijze da ze rasiief is. Hiervoor eme we drie reche l 1, l e l 3 me l 1 l e l l 3. Als deze drie reche i hezelfde vlak ligge e l is ie gelijk aa éé va de reche l 1 e l 3 idie di wel he geval is, da is de rasiiviei riviaal, da kue l 1 e l 3 gee pue gemeeschappelijk hebbe ezij l 1 l 3. Aders zoude door he pu l 1 l3 immers wee reche gaa die gee pue gemeeschappelijk hebbe me l. Di is srijdig me m 1. Als de drie reche l 1, l e l 3 u ie i hezelfde vlak ligge, da kue we he vlak voorgebrach door l 3 e ee pu p va l 1 sijde me he vlak waari l 1 e l ligge zie Figuur 3.5. Doorda de ruime lokaal projecief is, moee deze wee vlakke sijde i ee reche l. De reche l beva sowieso he pu p. Di ka ekel als l l. Als l e l zoude sijde i he pu p, da vide we da l 3, l l 3, p l 3, l l, l l, p l, l 1. Di ka ie wa l 1 lig ie i he vlak l, l 3. De reche l beva bijgevolg gee ekel pu va de reche l. Door m 1 e he fei da l, l 1 e l coplaair zij, moe dus l l 1. Di beeke da l 1 e l 3 coplaair zij. Di bewijs de rasiiviei va, dus ook he volledige lemma. Figuur 3.5: Verduidelijkig bij Lemma

20 Opda de eidige, reguliere, lokaal projecieve ruime u ee affiee ruime zou zij, moe og gelde da ˆ er door wee verschillede pue ee uieke reche gaa di volg ui de defiiie va ee lieaire ruime, ˆ er drie ie-collieaire pue besaa di is gemakkelijk e vide door s > k, ˆ e voor gegeve ee pu p e ee reche l ie door p er exac éé reche door p gaa die parallel is aa l di volg ui m 1. Di bewijs da ee eidige, reguliere, lokaal projecieve ruime va dimesie d > 3 alijd ee affiee of ee projecieve ruime is. 3 He geval d 3 We zulle bewijze da ee eidige, reguliere, lokaal projecieve ruime va dimesie 3 ee projecieve ruime, ee affiee ruime of ee Lobachevsky ruime is va ype k k + 1 of k I di geval is uieraard s 3 v. He aaal vlakke door ee pu is gelijk aa he aaal reche i de projecieve ruime bekeke door ee bepaald pu p, e is dus gelijk aa he aaal reche i ee projecief vlak. Di aaal is q +q+1. Zo vide we i oaal vq +q+1 s vlakke. Di geef als voorwaarde da s ee deler moe zij va vq +q +1. Hier is echer v s 3 q +q +1k 1+1 q k 1+s, waarbij de weede e derde gelijkhede volge ui he bewijs va Lemma 3.9. Di resuleer i ee ieuwe deelbaarheidsvoorwaarde s q q + q + 1k 1. I he bewijs va Lemma 3.9 vode we ook da s q +1k 1+1, dus zij s e k 1 copriem. Bijgevolg moe s ee deler zij va q q +q +1. De gelijkheid s q + 1k kue we ook schrijve als q s k k 1, wa wil zegge da q ee deler is va s k. We verkrijge s q q + q + 1 s k k 1 s k k 1 + s k k s k s k + k 1s k + k 1 k 1 4, s s k s k + k 1s k + k 1, s k k kk 1 + k 1 k k k + 1. I de besprekig va he geval d > 3 vode we da voor d > e m 0 geld da k q, waarui we ee parameer i gedefiieerd hadde. Aagezie ook i di geval d > is, kue we og seeds deze defiiie va i gebruike. He geval m 0 kom e zoals i he vorige geval overee me ee projecieve ruime. We moge dus aaeme da m 1. Hiermee verkrijge we da s k k k + 1 ki + 1k i k k k + 1 i + 1k i kk k + 1. Lemma Ee i N die voldoe aa i + 1k i kk k + 1 moe i de verzamelig {0, k 1, k } ligge. Bewijs. Sel x : i + 1, da word de voorwaarde i he lemma da xk ee deler is va k k + 1 k + 1k Er besaa dus ee R zoda xk 1 + 1R k + 1k Voor zo ee R geld da k 1 R 1. Iderdaad, We hebbe R 1 k + 1k xk k + 1 xk 1. xk Omda k 1 e xk copriem zij, moe k + 1 x deelbaar zij door xk De uidrukkig is dus ee posiief geheel geal y, waardoor R yk We verkrijge R k 1 xk 1 + 1yk k + 1k kkk

21 Voor y 0 krijge we x k + 1. Di kom overee me i k. Als we deze oplossig uisluie, bekome we 1 x < k + 1 als greze 1 voor x. Voor x 1 bekome we y k, dus resulere de greze op x i de voorwaarde k y > 0. Omda y 1, wee we ook da x k. We kue 3.1 u ook schrijve als xk 1 + 1yk k + 1k 1 + 1, xyk 1 + xk 1 + yk k + 1k 1 + 1, xyk 1 + x + y k + 1 k + 1k 1 +. Modulo k 1 word deze vergelijkig x+y. Omda zowel x k als y k, is x+y k. We bekijke alle mogelijkhede: x + y xyk 1 + k + 1k 1 + xy k + 1, x + y k + 1 xyk 1 + k + 1 k + 1k 1 + xy k, x + y k xyk 1 + k k + 1k 1 + xy k 1. He eerse geval ka ekel voorkome als x y 1, waarui volg da k 0, srijdig me de defiiie va k. He laase geval ka ekel voorkome als x y k, waarui volg da k k 1, wa gee oplossige heef voor k. We houde dus ekel he weede geval over. Di lever oplossige x 1 e x k, wa overeekom me i 0 e i k 1. Voor i 0 bekome we m 1. I de besprekig va he geval d > 3 vode we al da di overeekom me ee affiee ruime. Voor i k 1 krijge we m 1 + ik 1 + k k. Voor i k krijge we m k We hebbe dus beweze da ee eidige, reguliere, lokaal projecieve ruime va dimesie 3 alijd gelijk is aa ee affiee ruime, ee projecieve ruime of ee Lobachevsky ruime va ype k k+1 of ype k He geal x i + 1 was gedefiiëerd door q i + 1k. Omda q e k per defiiie auurlijke gealle verschilled va 0 zij, moe x i + 1 > 0. 0

22 Hoofdsuk 4 Parameervoorwaarde voor schierveelhoeke Om laer besaasvoorwaarde voor reguliere schierachhoeke e bewijze, bepale we eers ekele voorwaarde op de parameers va schierveelhoeke. 1 Defiiies e basiseigeschappe We geve eers ekele cocree defiiies. Defiiie 4.1. Ee schierveelhoek me diameer d is ee samehagede pariële lieaire ruime X, L zodaig da voor elk pu p X e elke reche l L me dx, l < d er ee uiek pu op l lig da he dichs bij p lig. Als er ee pu besaa op afsad d va reche, da oeme we di ook ee schier-d + 1-hoek. Als di ie he geval is, da spreke we over ee schier-d-hoek. Defiiie 4.. Ee reguliere schierveelhoek me diameer d heef parameers s,,..., d zodaig da elke reche s + 1 pue beva e voor ee paar pue x, y me dx, y i geld da y adjace is aa i + 1 pue op afsad i 1 va x. He aaal reche door ee pu is ook cosa e selle we gelijk aa. Er geld da 0 1, aagezie er gee pu op afsad 1 va ee gegeve pu ka ligge. Er geld ook da 1 0, aagezie er maar éé pu op afsad 0 va ee gegeve pu ka ligge, amelijk di pu zelf. Als we wee pue x, y op afsad d va elkaar eme i ee schier-d-hoek, da moe elke reche door y ee pu bevae op afsad d 1 va x, dus moe i di geval d. Defiiie 4.3. Ee deelverzamelig Y X is geodeisch gesloe als voor elk paar pue x, y i Y alle korse pade usse x e y ook i Y beva zij. Ee geodeisch gesloe schierveelhoek me diameer oeme we ee quad. Ee geodeisch gesloe schierveelhoek me diameer 3 oeme we ee hex. Sellig.3 ui [9] zeg os da i ee reguliere schierveelhoek me s e de korse pade usse wee pue x e y me dx, y i ee uiek geodeisch gesloe schier-i-hoek voorbreg. Op wee sijdede reche vide we ook ee puepaar x, y op afsad va elkaar. Twee sijdede reche brege bijgevolg ee quad voor. De colliearieisgraaf va ee reguliere schierveelhoek is ee afsadsreguliere graaf. Als we immers wee pue x e y i de schierveelhoek eme op afsad i va elkaar, da zij er i + 1 reche door x die elk éé pu bevae op afsad i 1 va y. Bijgevolg is c i i + 1. De overige pue op deze reche zij bure va x die op afsad i va y ligge. Omda op elke reche ee uiek pu moe ligge dichs bij y, zij di ook de eige bure va x op afsad i va y. We vide a i s 1 i + 1. De overige i reche door x bevae aas x ekel pue op afsad i + 1 va y, dus is b i s i. He aaal bure va ee willekeurig pu va de schierveelhoek is gelijk aa k : s + 1. Samegeva krijge we a i s 1 i + 1, b i s i, c i i + 1, voor 0 i d. 1

23 I he vervolg va di hoofdsuk houde we os ekel bezig me schier-d-hoeke. We moge dus alijd veroderselle da er gee pu x e reche l besaa zoda dx, l d. I hoofdsuk zage we da voor 1 i d geld da Γ i x k i me k 0 1, k 1 s + 1 e k i+1 k ib i c i+1, 1 i d 1. Lemma 4.4. Er geld da k i si i 1 j0 j i j1 1+ j. Bewijs. Voor i 0 word bovesaade formule gelijk aa 1. Voor i 1 krijge we k 1 s s + 1. We besluie di bewijs door de formule i e vulle i de recursieberekkig k i+1 k ib i c i+1 : s i+1 i j0 j i+1 j1 1 + j We zie da deze gelijkheid iderdaad klop. s i i s i i 1 j0 j i j1 1 + j. Hierui volg da v k i We geve ook og ee deligsvoorwaarde mee. s i i 1 j0 j i j1 1 + j. 4.1 Lemma 4.5. I ee schierveelhoek S me diameer d > geld da +1 i i +1 voor alle 1 i d. Bewijs. We eme wee pue x e y i S me dx, y i. Door ekel e kijke aar de pue op de korse pade usse x e y, verkrijge we ee schier-i-hoek S. I S selle we u he aaal quads door x. We wee da wee sijdede reche ee quad opspae, dus zo vide we i+1i +1 quads. Pu-quad relaies Defiiie 4.6. Als i ee quad Q i de schierveelhoek X er ee uiek pu x is da he dichs bij ee vas pu x lig, da oeme we x klassiek e opziche va Q. Als di voor elk pu e quad i de schierveelhoek X geld, oeme we X klassiek. Defiiie 4.7. Als voor ee quad Q e ee pu x i de schierveelhoek X geld da de pue va Q he dichs bij x ee ovoïde vorme, da is x ovoïdaal e opziche va Q. Defiiie 4.8. Voor ee vas quad Q is de verzamelig N i,c de verzamelig va klassieke pue op afsad i va Q e N i,o de verzamelig va ovoïdale pue op afsad i. Dakzij sellig 1. va [9] wee we da di de eige wee mogelijke relaies zij usse ee pu e ee quad, ezij we i ee complee bipariee graaf werke. We bepale u voor ee vas quad Q i ee schierveelhoek hoeveel pue er i N i,c Q e N i,q Q ligge me 0 i d. Lemma 4.9. Er geld da N 1,O N d 1,C 0. Bewijs. We eme ee quad Q e ee pu x N 1,O. Da vide we e ovoïde i Q besaade ui pue op afsad 1 va x. Neme we wee pue ui deze ovoïde, da ligge deze pue op afsad va elkaar. He pu x lig da op ee korse pad usse deze wee pue, e moe door de defiiie va ee quad dus i he quad ligge. Di is srijdig me x N 1,O Q, dus moe N 1,O Q leeg zij. Als we ee pu y ui N d 1,C Q eme, da is er ee uiek pu y Q da he dichs bij y lig. De diameer va Q is, dus vide we ee pu y op afsad va y. De afsad usse y e y moe door de driehoeksogelijkheid kleier zij da d + 1. Als ze kleier of gelijk zou zij aa d 1, da is y ie meer he uieke pu va Q dichs bij y. Als dy, y d, da lig er ee gemeeschappelijke buur z va y e y op afsad d va y, waardoor er wee pue zij op de reche zy op afsad d va y. Er moe dus ee pu op deze reche zij da op afsad d 1 lig va y. Omda di pu sowieso i Q lig, moe di pu da gelijk zij aa y, srijdig me dy, y. He pu y lig dus op afsad d + 1 va y. Di is da weer srijdig me de defiiie va d als diameer va de schierveelhoek.

24 Lemma Als we ee quad Q e ee pu x N i,c Q eme, da gaa door x ˆ 1 + i reche die ee pu bevae va N i 1,C Q, ˆ 1 + i+1 i reche die ekel pue bevae va N i,c Q, ˆ i+ reche die pue bevae va N i+1,c Q e ˆ i+ i 1 + i+1 i reche die ee pu bevae va N i+1,o. Bewijs. Als x collieair is me ee pu z va Γ i 1 Q, da moe z N i 1,C Q. Aders vide we immers da de pue va Q die he dichs bij z ligge ee ovoïde vorme. Deze pue zij ee deelverzamelig va de pue va Q die he dichs bij x ligge e zij dus ee deelverzamelig va x me x he uieke pu va Q he dichs bij x. Hier vide we ee srijdigheid. Omda dx, x i, vide we i + 1 reche door x die ee pu bevae op afsad i 1 va x. Bijgevolg ligge deze pue ook ook op afsad i 1 va Q. Deze reche bevae dus ee pu va N i 1,C Q. We eme u ee reche i Q door x. Deze reche beva da ee pu z op afsad i + 1 va x. We vide i reche door x die ee pu u bevae op afsad i va z. Voor i + 1 va deze reche is u ee pu va N i 1,C Q. Voor de overige reche is u ee pu va N i,c Q. Doorda du, z i, dx, x i e dx, z i + 1, zij de reche ux e zx parallel. Bijgevolg ligge alle pue va ux i N i,c Q. Omda we de reche door x willekeurig gekoze hebbe, vide we 1 + i+1 i reche door x i N i,c Q. We eme ee pu y op afsad va x, zoda dx, y i + 1. We bewijze u eers da de reche door x die ee pu bevae va N i+1,c Q exac de reche zij die gee pu bevae va Γ i+1 y. Elke buur va x i N i+1,c Q lig op afsad i + 1 va x. Alle adere pue ligge verder va deze buur va x, aagezie er ee uiek pu va Q he dichs bij deze buur moe ligge. De reche door x die ee pu bevae va N i+1,c Q kue dus gee pu bevae va Γ i+1 y. We eme u ee reche l die gee pue beva va N i+1,c Q. Als l ee pu beva va N i+1,o Q, da beva bepaal he pu l N i+1,o Q ee ovoïde i Q die oder adere he pu x beva. Door lemma 9ii va [4] lig y ook i deze ovoïde, dus lig he pu l N i+1,o Q op afsad i + 1 va y. Als l ee reche is beva i N i,c Q, da vide we i Q ee reche l door x parallel aa l. De reche l beva sowieso ee buur va y, omda we aders wee pue i Q vide op afsad 3 va elkaar. Als l ee pu z va N i 1,C beva, da is dz, y i + 1. We wee da er va de 1 + reche door x er 1 + i+ reche zij die ee pu bevae op afsad i + 1 va y. Zo bekome we i+ reche door x die ee pu bevae va N i+1,c Q. Als ee reche door x gee pue beva va N i 1,C Q N i+1,c Q e aas x ook gee pue beva va N i,c Q, da moe he pue bevae va N i+1,o Q. Doorda we zo alle mogelijkhede bekeke hebbe, vide we da he aaal reche door x da pue beva va N i+1,o gelijk is aa 1 + i+ 1 + i+1 i 1 + i i+ i 1 + i+1 i. Lemma Voor ee quad Q is N i,c Q 1 + s1 + s si i+1 j j i j1 1+j Bewijs. We elle eers voor ee vas pu x Q he aaal koppels y, P waarbij y ee pu is i N i,c Q me dx, y i e P ee pad va x aar y. Voor ee vas pu y vide we 1 + i reche die ee pu z bevae op afsad i 1 va x. Door z vide we 1 + i 1 reche die ee pu bevae op afsad i va x. Zo verdergaad vide we i j1 1 + j pade va y aar x, dus Y i j1 1 + j koppels y, P me Y he aaal pue va N i,c Q op afsad i va x. Aderzijds vide we reche door y die elk s pue v bevae va N 1,C. Door elk pu v vide we 3 reche die elk s pue bevae va N 3,C Q. Zo verdergaad vide we i+1 j s j koppels y, P. Hierui vide we da Y si i+1 j j. Als we di oepasse op elk pu x Q, da vide we 1 + s1 + s i si i+1 j j j1 1+ j pue i N i,c Q i j1 1+ j Lemma 4.1. Voor ee quad Q geld da N,O Q s 1+s Bewijs. We elle puedriealle x, y, z me x, y Q, dx, y 1, dy, z e dx, z 3. We schrijve hier p i jk voor de grooe va de verzamelig {z dx, z j e dz, y k voor x, y me dx, y 3

25 i}. Eerzijds vide we zo Q mogelijke pue x, s + 1 mogelijke pue y per pu x, e p 1,3 mogelijke pue z voor vasgekoze pue x e y. We vide zo s s1 + s p 1,3 driealle. We elle u eers de pue z. Als z N 1,C Q zi, da vide we s + 1 mogelijke pue y, e voor ee vas pu y vide we s mogelijke pue x. Als z N,C zi, da vide we éé mogelijk pu y e s + 1 mogelijke pue x. Als z N,O Q zi, vide we 1 + s mogelijke pue y, e s + 1 mogelijke pue x per vas pu y. We vide dus s s1 + s p 1,3 N 1,C Q s N,C s N,O s s, N,C + N,O 1 + s 1 + s1 + s p 1,3 s 1 + s1 + s. Ui lemma 4.11 vide we da N,C Q s 1+s1+s Hiermee word he bovesaade N,O 1 + s 1 + s1 + s p 1,3 s 1 + s1 + s s 1 + s1 + s 3 1 +, N,O 1 + sp 1,3 s 1 + s s 1 + s We moee u ekel og p 1,3 berekee. Hiervoor eme we ee vas pu x e elle we koppels z, l me z ee pu op afsad 3 va x, e l ee reche door x die ee pu op afsad va z beva. We vide zo eerzijds Γ 3 x koppels. Aderzijds vide we s + 1 bure y va x. Per buur vide we p 1,3 mogelijke pue z. De reche door x is uiek bepaald door de buur y va x. Zo vide we p 1,3 Γ 3x s + 1 s s s 1 +. I de weede gelijkheid make we hierbij gebruik va Lemma 4.4. Zo vide we N,O 1 + s s 1 + s 1 + s s 1 + s s 1 + s s 1 + s Di bewijs he lemma. Voor ee klassieke schierveelhoek me d > moe N,O Q voor elk quad Q ee ledige verzamelig zij. Di ka ekel als Lemma I ee ie-klassieke schierveelhoek me diameer d > 3 geld s Bewijs. We eme i os schierveelhoek ee quad Q e ee pu x N,O Q. He pu x e he quad Q spae da same ee hex H op, e i H vide we reche door x. Va deze reche zij er s reche die ee pu bevae op afsad 1 va Q. We vide bijgevolg s. 3 Pu-hex relaies Ne zoals bij quads, kue pue klassiek of ovoïdaal zij e opziche va ee hex. I egesellig o quads, kue pue echer ook och klassiek, och ovoïdaal zij e opziche va ee hex. Bij he bewijze va de besaasvoorwaarde voor schierachhoeke zulle we ellige moee uivoere i verbad me ee hex H e ee pu x op afsad va H. Om laer he overzich ie kwij e gerake, voere we deze ellige op voorhad ui i ee meer algemee seig. Lemma Sel H ee hex e x ee pu me dx, H, da lig elk puepaar i Γ x H op afsad va elkaar. 4

26 Figuur 4.1: Verduidelijkig bij Lemma 4.14 Figuur 4.: Verduidelijkig bij Lemma 4.14 Bewijs. Sel A : Γ x H, da kue er gee wee pue y, z i A op afsad 1 va elkaar ligge, wa da zou er ee pu op yz op afsad 1 va x moee ligge. Sel B : Γ 3 x H e eem q B. He hex voorgebrach door x e q oeme we Hx, q. We wee da Hx, q H geodeisch gesloe is als doorsede va wee geodeisch gesloe ruimes. He moe dus ee pu, reche of quad zij, wa als he ee hex zou zij, da zou Hx, q H, maar x / H, ee srijdigheid. Alle bure va q i A ligge i Hx, q H, dus als q meer da éé buur i A heef, da is Hx, q H ee quad. Neem u he puepaar u, v i A me du, v 3. Sel da upqv he pad is va u aar v. We wee da er gee adjacee puepare i A ligge, dus p, q / A. Als p, q op afsad 1 va X zoude ligge zie Figuur 4.1, da zou x op de reche pq ligge. He pu x lig da op ee korse pad va u aar v, dus i H, ee srijdigheid. De eige mogelijkheid is da p, q B zie Figuur 4.. Omda de reche pq wee pue op afsad 3 va x beva, beva he ook ee pu r op afsad va x, dus r A. We hebbe dus ee pu q B me meerdere bure i A, amelijk v e r. Nu beva he quad Hx, q H de pue q, v, r, dus ook p omda p qr. Omda u op ee korse pad va p aar x lig e u H, lig u ook i he quad Hx, q H. We hebbe dus wee pue i ee quad op afsad 3 va elkaar, ee srijdigheid. We kue u ee desig cosruere. De pue zij de pue i A e de blokke zij de doorsedes va A me quads Q die we cosruere als doorsede va H me ee hex da x beva, e zoals i he bewijs va he vorige lemma. Ee pu z i A is ooi adjace aa ee ader pu ui A, dus zulke doorsedes zulle seeds deel zij va ee ovoïde i Q. Er zij gee volledige reche beva i Q\A, omda we aders e zoals i he bewijs hierbove wee pue bekome i Q op afsad 3 va elkaar. We besluie da elke reche i Q door ee pu z Q\A pue beva va A. Hierui volg u da A Q ee ovoïde is va Q. Omda wee pue ee ovoïde bepale, e ee ovoïde 1 + s pue beva, bekome we he Seiersyseem S, s + 1, A. We eme u ee reguliere schierachhoek me parameers s,, 3, 4 e s > 1, > 0. Sel H ee vas hex e x ee vas pu me dx, H. We defiiëre de volgede verzamelige A, B, B 0, B 1, B, C me respecievelijke grooes a, b, b 0, b 1, b, c. A : Γ x H, B : Γ 3 x H, B 0 : {y B Γ 1 y A }, B 1 : {y B Γ 1 y A 1}, B : {y B Γ 1 y A + 1}, C : Γ 4 x H. Als we u he aaal pue va he hex elle, zie we da a + b 0 + b 1 + b + c v s s 3 + s