Losse sokken. Inleiding. Hoe ik sokken opvouw. 42 Losse sokken
|
|
- Cecilia Sandra Vedder
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Jurje Bos heef ee eigeziige maier va he opvouwe va zij sokke: radom er ee ui de wasmad eme, kijke of er ee bijpassede sok op schoo lig, zo ie: sok erbij, zowel: vouwe maar. Ee werkwijze als deze lever mooie vrage op me verbazigwekkede awoorde. Losse sokke Ileidig Wiskudige zij e mese. Ne als biologe overal ieressae beesjes e plajes egekome, zie wiskudige overal ieressae wiskudeprobleme. Als wiskudige valle mij de ieressae beesjes e plajes ie zoveel op, maar af e oe kom ik wel ee wiskudeprobleem ege da zowel releva als lasig geoeg is om ieressa e zij. Di arikel gaa over ee probleem da aavakelijk veel eevoudiger leek da he was. Ik kwam he probleem ege ijdes he opvouwe va mij schoe sokke. Nada ik er ees goed over had agedach, heb ik ee aaal vrage die ik mezelf selde kue oplosse, maar er is ook og ee aaal vrage overgebleve. Uieidelijk besloo ik (a veel uisel) om he ees ejes op e schrijve; da is he arikel geworde da u u voor u zie. De meese wiskudige arikele zij geschreve als ee keurig uigeschreve beoog da laa zie hoe de oplossig i elkaar zi, zoder de dwalige va de odekker e oe. Di arikel gaa meer over de zoekoch zelf; ik wil lae zie hoe wispelurig de zoekoch ka zij om ee ogeschijlijk simpel probleem op e losse. Ik hoop hiermee e lae zie waarom wiskude zo leuk is. Maar da wis u auurlijk al, aders las u di ie. Hoe ik sokke opvouw Om e begie ee kore iroducie i he opvouwe va sokke, zoals ik he doe. Ik geef oe da he makkelijker is om de sokke op kleur bij elkaar e zoeke, maar gelukkig be ik ie zo gesrucureerd, aders was di arikel er ooi gekome. Ik pak seeds zoder i de wasmad e kijke éé sok. Als deze sok ie pas bij he rijje sokke da ik op schoo heb ligge, leg ik hem erbij. He rijje op mij schoo beva zo seeds de sokke va ee paar waarva de adere sok og i de wasmad zi. Als ik ee sok heb gepak die wel i he rijje voorkom, pak ik de bijbehorede sok erbij, vouw ik ze same op, e leg ze weg. He rijje sokke op mij schoo word dus seeds éé sok lager of korer. Tijdes he sokkevouwe word he rijje lagzamerhad seeds lager, e a verloop va ijd word he weer korer. Als he goed is, is he rijje leeg aa he eid va he proces, aders be ik ee sok kwij (da kom maar al e vaak voor, maar daar hebbe we he laer over). Als ik eveel sokke op mij schoo heb ligge, word he vouwe lasig. Op ee dag vroeg ik me af hoe groo he rijje eigelijk word, gegeve hoe vol de wasmad is. Die vraag bleek gemakkelijker om e selle da om e beawoorde, zoals da meesal gaa. Variabele Om hier ee ech wiskudeprobleem va e make, moee we eers wa variabele ivoere. We splise e als bij eche wiskude de ijd i discree eehede: éé sap voor elke sok die opgevouwe moe worde. We bekijke seeds de siuaie a he pakke va sokke. loop dus va 0 (aa he begi) aar (alle sokke opgevouwe). De wasmad is aavakelijk gevuld me paar sokke, dus sokke. Na sappe heb ik dus og sokke i de wasmad; losse sokke behadele we laer. He pakke va de sokke ui de mad is ee aselece rekkig. He aaal pare da ik heb gevouwe e weggelegd, is da ee sochasische fucie: die oem ik p(). (He aaal gevouwe sokke op ijdsip is da p().) Voorlopig ga ik er bij de formules va ui da ik volkome willekeurig sokke ui de mad haal; laer ga ik aleraieve verkee. De hoeveelheid sokke i he rijje op mij schoo oem ik s(). Gebruikmaked va bovesaade oaie ka de we va behoud va sokke worde geschreve als s() +p(). Kasverdelig Me bovesaade oaie kue we aa de slag. De kas da bij he pakke va sok ummer + ee ieuw paar word gevormd, word bepaald door de siuaie a sokke. Op da mome moe ik ee sok kieze ui 4 Losse sokke
2 ee wasmad me sokke; s() va de sokke i de mad hebbe ee bijbehorede sok op mij schoo. Sel da ik iderdaad ee passede sok op mij schoo heb ligge. De formule word da voor > 0: P paar ( + ) I di geval is s( +)s() e p( +)p() +. De kas da er gee ieuw paar word gevormd bij he pakke va sok + is: He is duidelijk da i di geval geld da s( +)s() + e p( +)p(). Gebruikmaked va he bovesaade ka de fucie s() recursief worde gedefiieerd als: s( 0) 0 e s () Tijdes he was opvouwe is he gemakkelijk i e zie da s() 0 als er gee losse sokke i de mad zie; aa de formules is di ie zo duidelijk e zie. Laer gaa we di bewijze. Voorbeeld I figuur saa ee voorbeeld va he verloop va he aaal sokke op mij schoo i ee werkelijke sokkevouwsessie va zeve paar sokke. fig. He opvouwe va zeve paar sokke Uiwerkig s () P los () P paar ( + ) s ( + ) s () me kas P paar () s () + me kas P los () P paar ( + ) Nu we de verschillede variabele hebbe geïroduceerd, kue we gaa rekee. De oorsprokelijke vraag is hoeveel ruime de sokke maximaal ieme op mij schoo. I formules is da: max s() 0 Di is ee sochas, waarva we he liefs de kasverdelig wille wee. Deze sochas is ie zo eevoudig als de sochase die we op school egekwame. De fucie s, me zij + waarde voor 0,,...,, is als geheel als ee sochas e beschouwe. s is e zie als ee rekkig ui de verzamelig va alle mogelijke fucies S. De verwachigswaarde va he aaal sokke op mij schoo is bijvoorbeeld: E max s() s S 0 Hier kome we laer op erug. Coiue vorm He eerse wa ik deed was probere ee idee e krijge va de uikoms. Daarom maake ik s() eers coiu, i de hoop da he me ee idee gaf waar de uikoms aaroe gaa. Ik oem de coiue versie va de fucie s. Voor s () kue we ee differeiaalvergelijkig make door voor zij afgeleide s () de verwachigswaarde e kieze va s( +) s(): s () Es [ ( + ) ] Es [ ()] Es [ ( + ) s ()] P paar () + P los () P paar () s () De oplossig va deze differeiaalvergelijkig is ee eevoudige kwadraische fucie, die ik voor de duidelijkheid op drie verschillede maiere schrijf: s () ( ) ( ) Da deze oplossig aa de voorwaarde voldoe, is gemakkelijk e zie door subsiuie: s () ( ) s () Ik geef eerlijk oe da ik die oplossig va de differeiaalvergelijkig door ee compuer heb lae bepale. De lol va wiskude zi ie i he rekewerk, maar i he izich i de maerie. Toe ik di resulaa had, gig ik auurlijk meee kijke of he aa de verwachige voldeed. De fucie voldoe keurig aa s( 0) s( ) 0, he bereik va s is 0,, -- e he domei is [0, ]: da zou kue kloppe me mij ervarige ui de prakijk. He grafiekje hieroder zie er ook plausibel ui. Di geef me he gevoel da ik op de goede weg be. fig. De coiue vorm va s() voor 0 Eerse aalyse Me deze coiue vorm, die i zekere zi de gemiddelde siuaie aageef, kue we al zie wa voor oplossig we kue verwache. He aaal sokke op m schoo zal Nieuwe Wiskra 6-/sepember
3 eers sel, da seeds lagzamer sijge. Op he mome da ik de helf va de sokke ui de mad heb gehaald is he aaal sokke op mij schoo ogeveer de helf va he aaal pare. Daara daal he aaal sokke lagzaam, maar seeds seller o de laase sok is opgevouwe. He aaal sokke i de wasmad p() sijg kwadraisch me de ijd: p() s() zoda aa he eid de mad he sels vol gaa. De oplossig is overduidelijk symmerisch. Op de vraag of di door de beaderig kom, of doorda he probleem ihere symmerisch is, kom ik laer erug. Deze coiue vorm geef os wel ee idee va de oplossig va he oorsprokelijke probleem, maar og ie de uikoms. We ware oorsprokelijk geïeresseerd i he maximum va s(). He is duidelijk da he maximum va s () gelijk is aa --. He eche aaal sokke s() flucueer waarschijlijk om de coiue oplossig s () hee, zoda he verwache aaal sokke da ik maximaal op m schoo leg ijdes he opvouwe ie precies op zal plaasvide e groer zal zij da --. Hoeveel groer ka ik hier ie zie. Kasverdelig va s() Voor de hoofdvraag va de hoeveelheid ruime op mij schoo is he odig om de kasverdelig va de fucies s S e bepale. We bepale eers hoeveel sokke er op ee gegeve mome op mij schoo ligge. I wiskudeaal: de kasverdelig va s() voor ee gegeve waarde va. Hiervoor moee we om e begie de kas berekee da op ee gegeve mome ee bepaald aaal sokke op mij schoo lig. Die kas hag af va wa er i de wasmad lag voorda ik ee sok pake, e auurlijk ook va wa er oe op mij schoo lag. Lae we di eve ee ech wiskudige aam geve: De kasfucie k (i) geef de kas op i sokke op mij schoo op ijdsip : k () i P [ s() i ] Da we ech ies hebbe aa deze defiiie, ku je zie aa he fei da we gemakkelijk k + kue berekee ui k me de recursieformule voor s. Kijk maar: k + i () i k ( i + ) P paar () + k ( i ) P los () i + k ( i + ) i + k ( i ) e we moee aaeme da k (i) 0 voor i <0. Door sysemaisch de waarde va i e op e hoge, kue we alle waarde va k (i) bepale. Numerieke beaderig Bovesaade berekeig va k (i) lee zich voor ee compuerprogramma. Daar be ik oevallig goed i. We kue de waarde va k voor ee bepaalde waarde va i gemakkelijk i ee array opslaa, e elkes voor elke volgede waarde va i alle ieuwe waarde berekee. Da lever sel umerieke waarde op va de kasverdelig va s(), zoda we ee idee kue krijge va he verloop va de sapel sokke op m schoo. Je ku de waarde va k (i) zelfs me ee spreadshee berekee: zo heb ik odersaade abelle vasgeseld. De waarde voor 00 k () i zij e vide i odersaade abel. I deze abel saa de kase i procee da i sokke op mij schoo ligge (vericale as) a sappe (horizoale as). Waarde die 0 zij, zij weggelae. Tabel : Kasverdelig va s() i procee voor 6 i Ik heb veel geleerd door deze abel e besudere. Uieraard zij de kolomsomme gelijk aa 00 (op afrodig a), omda iedere kolom ee kasverdelig is. Di is ie zoder meer aa de formule voor k (i) e zie. Ik heb de kolomsomme gebruik om foue ui de formule i he spreadshee e hale. Wa me he mees opviel va s is da s() eve is als eve is, e oeve als oeve. Bij ader izie is di eevoudig aa de recursieformule e zie, e he is ook eevoudig e beredeere. Ik had me di ie va evore gerealiseerd; pas oe ik deze abel had uigereked, werd me duidelijk da di zo is. Zo zie je maar da izich ie zomaar kom; meesal moe je eers gewoo hard werke. Zo umerieke beaderig ka helpe om ee probleem beer e begrijpe. Zelfs groe wiskudige als Leibiz gebruike umerieke beaderige om izich e krijge i hu formules. Di is vooral bijzoder als u bedek da Leibiz die umerieke beaderige allemaal me de had heef moee doe, bij gebrek aa rekemachies. Symmerie He weede da mij opval aa de umerieke gegeves is da de verdelig symmerisch is om, e als de coiue beaderig. Deze symmerie is gee gevolg va de beaderig op wee cijfers: ader oderzoek (me Excel) leer da de waarde zo precies zij als va de precisie va de berekeig verwach ka worde. He is zeer owaarschijlijk da he da ie exac is. Toe ik di odek had, moes ik he auurlijk ook bewijze. De gemakkelijkse maier om he i e zie, is da he proces symmerisch is i de ijd, zoals ik u zal lae zie. Hiermee bewijze we e passa da s() 0, zoals hierbove beloofd. He bewijs is i he Nederlads; er saa al geoeg formules i di verhaal. We bekijke allee he aaal sokke op schoo, e lae de wasmad eve weg. Va ee gegeve paar sokke word eers éé sok gepak, e laer de adere. I de ijd usse deze wee gebeureisse lig er éé sok op mij 44 Losse sokke
4 schoo. He mome waarop ee sok (eerse of weede) gepak word, is ook ee sochas. De eerse e weede sok va ee paar hebbe dezelfde kasverdelig, zoda he ie uimaak als je de ijd omkeer, wa da veradere allee de ame ( eerse e weede ) va de sokke. De kasverdelig va de sokke op schoo is dus symmerisch i de ijd. De vergissig Me bovesaade kasverdelig kue we gemakkelijk he verwache aaal sokke op mij schoo op ee gegeve mome i de ijd berekee. Voor he voorbeeld hierbove va zes paar sokke krijge we de verwachigswaarde ui de volgede abel. Hier is af e leze da de maximum verwachigswaarde gelijk is aa 3,3; die word geheel aar verwachig i he midde aageome. Tabel : verwachigswaarde va s() voor E 0,0,8,,9 3, 3,3 3,,9,,8,0,0 We hebbe u wel he maximum uigereked va de verwachigswaarde, maar ie de verwachigswaarde va he maximum. We zij gesui op ee subiliei waarover meig wiskudige he hoofd heef gebroke: je mag ie klakkeloos operaies verwissele, hoe oschuldig da ook lijk. We wille amelijk de verwachigswaarde (over alle mogelijke fucies s) va he maximum (over ) va s() uirekee: E max s() s S 0 e da is ie hezelfde als he maximum (over ) va de verwachigswaarde (over alle fucies s): max E s () 0 s S We hebbe dus he verkeerde probleem opgelos. U wee da u al; ik deed er ee paar weke over om daaracher e kome. Maar ja, da is ou eemaal de maier waarop oderzoek gaa. Adrew Wiles, die beroemd is geworde door a meer da ie (!) jaar werk de laase sellig va Ferma op e losse, zei: He oplosse va di probleem was als he zoeke va je weg i ee vreemd huis i he doker. Eers sommel je ee ijdje door ee kamer, je seeds soed aa he meubilair, oda je he lichkopje heb gevode. Da ku je je weg vide i de kamer, e zie je de deure aar de volgede kamers. Pas als je alle kamers va he huis op deze maier heb verked, is he probleem opgelos. Goed, he gaa om he subiele verschil usse de verwachigswaarde va he maximum aaal sokke e he maximum va de verwachigswaarde va he aaal sokke. Bij slechs drie paar sokke maak di al ui: ik zal di precies lae zie aa de had va abel 3. Er zij vijfie verschillede volgordes waarop ik drie paar sokke ka pakke, zoals i abel 3 is uigeschreve. Ik ga er voor he gemak va ui da de eerse sok va elk paar respecievelijk (r)ood, (g)roe of (b)lauw is. Bij he ivulle va de abel kom je vazelf ui op de recheroderhoek. Da sa je voor de keuze wa we moee ivulle: 9 He maximum va de verwachigswaarde -- 8,. Di is de waarde die we e hebbe uigereked i abel. 7 De verwachigswaarde va he maximum -- 33,. 3 Di is de waarde die ik wil wee: de e verwache hoeveelheid ruime die ik op schoo odig heb. Tabel 3: Alle mogelijkhede voor drie paar sokke Volgorde Op schoo Max. b b g g r r 0 0 b b g r g r 0 b b g r r g 0 b g b g r r 0 b g b r g r b g b r r g b g g b r r 0 b g g r b r b g g r r b b g r b g r 3 3 b g r b r g 3 3 b g r g b r 3 3 b g r g r b 3 3 b g r r b g 3 3 b g r r g b 3 3 Verwachigswaarde of -- Oplossig Da word he u ijd om he probleem ech op e losse, zoals ik heb beloofd. Om de verwache waarde va he aaal sokke: E max s() s S 0 max s() e bepale, moee we eers 0 bepale voor verschillede waarde va s. He vervelede is da s ee fucie is, zoda he lasig is om de kasruime S e beschrijve. Ik heb ee ijdje zie worsele om ies over max s() ui e rekee, 0 maar ik merke da da ies werd. He is alsof de formule helemaal ie zo beaderd wil worde. I de aal va Adrew Wiles: ik bleef me maar soe aa he meubilair. Na lag deke realiseerde ik me da ik ies ees wis hoe ik mij S moes voorselle; daar moes ik dus eers maar ees mee begie. I woorde is de mees voor de had liggede defiiie va S: de kas da alle pue gelijk zij aa ee gegeve fucie S(), gegeve de voorgaade pue. I formule- 3 Nieuwe Wiskra 6-/sepember 006 4
5 vorm is di auwkeuriger op e schrijve: Ps [ S] Ps [ () S () 0 k sk ( ) Sk ( )] 0 Omda de defiiie va s recursief is, zi er iks aders op da de beschrijvig va S ook recursief e make i, hoe ologisch da ook lijk. Di izich was he lichkopje da ik odig had; oe ko ik eidelijk weer verder. Dus, we gaa he hebbe over ee voorsuk va s, o aa m: P 0,, m [ s () S ()] Ps [ () S () 0 k < sk ( ) Sk ( )] 0 m waarbij we m lae lope va 0 o ; als m, hebbe we de uikoms. Kas op ee gegeve verdelig Da kue we u eidelijk aa de slag. Ui de formule hiervoor kue we zie da he gaa om ee eevoudige vermeigvuldigig: P [ s () S () ] P [ s () S ()] 0,, m 0,, m Psm [ ( ) Sm ( ) sk ( ) Sk ( )] 0 k < m De facor waar we mee vermeigvuldige hag i pricipe af va alle voorgaade waarde s(0) o e me sm ( ), maar hierbove hebbe we al gezie da de eige waarde die va belag is de voorgaade is. Eerder saa da de kas afhag of er ee paar word gevormd of ie: Ps [ ( + ) S ( + ) ] S () als S ( + ) S () S () als S ( + ) S () + 0 aders Wiskudige hebbe de ziekelijke eigig om zo formule me keuzes als ee obegrijpelijke gesloe uidrukkig op e schrijve. Ik ka auurlijk ie acherblijve: Ps [ ( + ) S ( + ) ] -- + [ S ( + ) S ()] S () -- Nu kue we dus de kas op ee gegeve verdelig precies uischrijve door m + e selle: Ps [ S] Ps [ ( + ) S ( + ) ] 0 + Ps [ ( + ) S ( + ) ] 0 < S () -- + [ S ( + ) S ()] < We hebbe ies aa deze formule, maar we kue i elk geval u de kas op ee gegeve fucie uirekee. Hiermee kue we de uieidelijke uikoms verkrijge: E max s () max s S 0 s () Ps ( ) 0 S s S Maar, zoals u zie, ech hadig is de formule ie: he is voor kleie waarde va ee hele berg rekewerk, e we kue er ook gee schaig mee make. I feie is da wa we i abel 3 hebbe gedaa. Tabel 4: Numerieke beaderig voor drie paar sokke k s(k) max0 k sk ( ) kas 0 0 0,000, ,00 0, ,00 3 0, , , , ,400 0,067 0,33 3 0, , , ,400 Numerieke beaderig Als he gaa om ee umerieke beaderig, kue we ee echiek gebruike die op de vorige paragraaf is geïspireerd: gewoo va 0 aar werke. We berekee E max s () s S 0 k waarbij we k lae lope va 0 o. I iedere sap va deze bewerkig moee we de gegeves beware die odig zij i de volgede sappe. He grappige is da we ie alle kase va alle s S hoeve e berekee, he gaa om de fucies die ee gegeve maximum hebbe. I woorde: we houde seeds bij, voor ee voorsuk va he rajec va 0 o, wa de mogelijke maxima zij, e welke kasverdelig daar bijhoor. Voor de volgede sap kue we da gemakkelijk uirekee of he maximum verader, e wa de ieuwe kasverdelig is. Aa he eid va de berekeig kue we zo de hele kasverdelig va he maximum zie. Voor he verlege va he rajec me éé sok hoeve we da allee de kasverdelige door e rekee, e e kijke wa er me he 46 Losse sokke
6 maximum gebeur. Ies wiskudiger geformuleerd houde we de kasverdelig bij va de pare ( s ()max, s() ) 0 k De kas op zo paar is gemakkelijk e bepale me de formule va he begi i combiaie me he he riviale fei max s() max( sk ( + ), max s() ) 0 k 0 k Ee e ader is gedemosreerd i abel 4. U zie da de kasverdelig va he maximum aa he eid va de abel saa; de verwachigswaarde (of wa je maar wil) ka zo worde uigereked. Di alles is i ee compuer e krijge. He is wa werk om e programmere, maar we kue u eidelijk abel uibreide me de eche verwachigswaarde va he maximum, zoals e zie i abel. U zie he maximum oplope, e ook seeds ies hoger da de verwachigswaarde. Di klop me mij iuïie da de kas da er i he verlede ee groo aaal sokke was he gemiddelde iesje hoger maak. Tabel : De juise berekeig va max s() voor E 0,0,8,,9 3, 3,3 3,,9,,8,0,0 max 0,0,9,6 3, 3,6 3,9 4, 4, 4, 4, 4, 4, Eve sug doorrekee lever os abel 6 op me de uikoms o 30 paar sokke. Tabel 6: Verwachigswaarde va he maximum voor 30 E E E,000 7,0,70,667 7,68 3, 3, ,77 3 3,6 4,96 4 8, ,9 3,74 9,87 4, ,7 6 9,839 6,67 7 4,76 7 0,388 7,804 8, , ,339 9,99 9,48 9 6, ,489 0, ,408 Nadele va umerieke beaderige Nu hebbe we ee prachige abel, maar die zeg ies over hoe de verwachig verloop voor zeer groe waarde va. Da is voor mij origiele probleem ie zo ieressa, maar he is wel leuk vaui ee heoreisch perspecief. Ik heb me daar verder ie i verdiep, ook door gebrek aa wiskudige keis, moe ik oegeve. De lij is i elk geval e ie rech, zoals u ku zie i figuur 3. Uibreidige We hebbe u he wiskudige probleem va he sokke vouwe redelijk oder de kie. Bij wiskudige beaderige va huishoudprobleme is he meesal zo da als gevolg va he modellere ee aaal prakische omsadighede worde verwaarloosd. We zulle ee aaal va deze omsadighede i de formule probere op e eme. Nie-blid grijpe I de prakijk zal ik ie precies blideligs aar de volgede sok grijpe, maar och me ies meer kas de bijpassede sok grijpe. Di ka osaa doorda de sokke dich bij elkaar i de wasmad ligge, of doorda ik expres ga zoeke als mij schoo e vol is. He zou mooi zij als ik ka kwaificere hoeveel u he heef om evejes rod e kijke op zoek aar de adere sok voorda ik ee sok pak. He lijk me duidelijk da he verwache aaal plaase op schoo da mider word, maar hoeveel? Om e begie oderzoeke we he effec als ik seeds a sokke bekijk, e als daar ee sok usse zi waarva de bijpassede sok op mij schoo lig, da pak ik die. De kas P los is da de kas da alle sokke die ik pak ie op mij schoo ligge; di berekee we me de loerijformule e auurlijk P los () s () a a P paar () P los () (Opgave voor de lezer: coroleer da di he geval a klop me de oorsprokelijke formules.) Als we os voorbeeld voor 6 opieuw doorrekee, krijge we abel 7. De verschille zij schokked: om e begie is de kas da va alle pare ee sok op mij schoo erech kom bija 0 geworde. Maar og schokkeder is da de symmerie is verdwee! He mome da he verwache aaal sokke maximaal is lig u duidelijk bij, erwijl da oorsprokelijk i he midde bij 6 was. Tabel 7: s() voor 6; seeds wee sokke bekijke i Na wa verder rekee heb ik de resulae ui de grafiek i figuur 3 kue berekee. U ku goed zie da he iderdaad u heef om meerdere sokke e bekijke. Bedek wel da de berekeig erva uigaa da als je meerdere sokke pak, je wel seeds opieuw aselec de Nieuwe Wiskra 6-/sepember
7 groepjes pak. Als je di ie doe, werk he mider goed, wa de sok die de vorige keer ie bij ee sok op mij schoo pase, pas vermoedelijk og seeds ie. wel lager auurlijk, omda ik vaker sokke moe pakke; he ka zelfs willekeurig lag dure! Tabel 8 laa zie hoeveel exra ijd he kos om sokke erug e gooie i de mad. I de kolomme exra is e zie hoe vaak je ee sok moe eruggooie. Hierui blijk he volgede: Teruggooie is gee slech idee als je schoo bija groo geoeg is. Je moe ie e gauw sokke eruggooie, aders blijf je bezig. He bekijke va meerdere sokke egelijk bespaar ijd, als je beperke schooruime heb. Tabel 8: sokke eruggooie bij 6 paar i de mad bekijke bekijke 3 bekijke 4 bekijke Schoo E max exra E max exra E max exra E max exra fig. 3 Meerdere sokke egelijk pakke Ee adere odekkig die ik deed, is da he verschil usse he verwache maximum e he maximum va de verwachig seeds groer word als je meerdere sokke egelijk bekijk. Di kom omda de periode waari m schoo bija vol is, lager word. Hierdoor is he maximum meer afhakelijk va oevallige uischieers i he aaal sokke. Di zie je ie als je he maximum eem va de verwachigswaarde, maar wel als je de verwachigswaarde va he maximum eem. Di was he pu waarop ik bij de eerse versie va he arikel odeke da er ies mis was. Toe ko ik weer helemaal opieuw begie... Losse sokke Afhakelijk va de orgaisaiegraad va uw huishoude blijve er soms ee paar losse sokke i de mad zie, die gee bijpassede sok hebbe. (Zo dig hee bij os ee oeve sok, maak ik wee ie of di i Va Dale saa.) We gaa er eve va ui da er éé sok obreek i de mad. Je ku he zie als ee sokkevouwproces waarbij éé sap voor he eide word gesop. De uikoms voor ee mad me ee obrekede sok is dus hezelfde als waeer de sok er wel was. Ideeë om ruime op mij schoo e spare De vraag is of er og adere slimme dige zij e bedeke die zorge da he geheel op mij schoo blijf passe. Ee idee is om de sokke die ie meer op mij schoo passe gewoo i de mad erug e gooie. He opvouwe duur da,000,0,000 0,0,000 6,3,000 4,,000 0,,000 47,9,000 9,6,000 0,4 3 3,000 6,3 3,000 8, 3,000 6,9 3,000, 4 4,000 40,3 4,000 7,7 3,994 9,8 3,96,6,000 7, 4,990 0,9 4,90,0 4,69, 6,999 8,7,909 6,,60,0,06 0,6 7 6,98, 6,63,8,896 0,6,86 0, 8 7,98 7,3 7,07,0 6,0 0,, 0,0 9 8,74 3,8 7,7 0,3 6,044 0,0, 0,0 0 9,89,7 7,338 0, 6,049 0,0,6 0,0 9,839 0,0 7,37 0,0 6,049 0,0,6 0,0 Ee ader idee is om ee apare sapel e make voor sokke die ie meer op mij schoo passe. Als er ruime op mij schoo osaa, vul ik die op me sokke va de sapel. Di kos auurlijk ee exra sapelje aas de wasmad, maar he lever wel wa op. E zo ku je doorgaa me dige uirekee... Coclusie Ik hoop da u a di arikel geïspireerd be om ook om u hee e kijke e de wiskude e zie die os omrig. Verder sa ik ope voor ideeë om he sokkeprobleem verder ui e werke: is er og ee maier e bedeke om he aaal sokke op mij schoo e reducere? Ku je zo oplossig ook og doorrekee? Ik be beieuwd. Jurje Bos Ierpay Nederlad B.V., Urech 48 Losse sokke
Het effectief tarief van de transactiekosten op de aankoop van de eigen zelfbewoonde woning
He effecief arief va de rasaciekose op de aakoop va de eige woig Seupu Beleidsreleva oderzoek Besuurlijke Orgaisaie Vlaadere Spoor Fiscaliei ber.brys@hoge.be He effecief arief va de rasaciekose op de aakoop
Nadere informatieHoofdstuk 3 Logaritmen en groei. Kern 1 Groeitijden
Uiwerkige Wiskude A Newerk VWO 6 Hoofdsuk Logarime e groei www.uiwerkigesie.l Hoofdsuk Logarime e groei Ker Groeiijde a Op = 0 geld voor eide formules da H = 0. log8 H = 0 = 0 8 = 80. Da is ah keer zo
Nadere informatiePeriodiciteit bij breuken
Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer
Nadere informatieRijen met de TI-nspire vii
Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatieElektrificering van een (bestaande) fiets, wat globale berekeningen
Elekrificerig va ee (besaae) fies, wa globale berekeige Hieroer heb ik ee algemee uileg geaa va wa berekeige ie va belag zij voor ee elekrificaie va ee fies. Voor e helerhei e uileg zij wa perceages e
Nadere informatieEen toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.
006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II
Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te
Nadere informatieHoofdstuk 6 - Recursie en differenties
Hoofdsuk 6 - Recursie e differeies ladzijde 54 V-a ; ; ; 7 ; 8 ; 4 ; 7 ; 0 ; 7 ; 4 ; ; ; 5 ; 8 ; ;,5 ; 5 ; 6,5 ; 8 ;,5 ; ; 400 ; 00 ; 00 ; 50 ; 5 ;,5 ; 6,5 ; Rij : ieuwe waarde = oude waarde Rij : ieuwe
Nadere informatieDeel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12
Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel
Nadere informatieBIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen
BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examevrage make Algemee Tijdes je exame mag je Bias gebruike. De Bias diet compleet obeschreve e obeplakt te zij. Het gebruik va briefjes als pagiawijzers is iet toegestaa. Het
Nadere informatiex 4,60en y 6,22. Dus de maximale gemiddelde winst is 6,22 euro per mat. Er worden dan 460matten per week geproduceerd. dw dq
15 Differeie«re bladzijde178 16 a dw dq ˆ 1,5q2 8,25q W 550mae per week, dus q ˆ 5,5 dw dq ˆ 1,5 5,5 2 8,25 5,5 ˆ 0 qˆ5,5 Ui de sches volg da W maimaal is voor q ˆ 5,5. W ma ˆ 0,5 5,5 3 4,125 5,5 2 10
Nadere informatieC. von Schwartzenberg 1/8. 1b Bij situatie II is er sprake van een evenredig verband. bij p = 12,50 hoort q = 6500. W is evenredig met S,
G&R havo A eel C vo Schwarzeberg 1/8 1a Bij I wor y vier keer zo klei (us he viere eel) ; bij II wor y (precies als ) ook vier keer zo groo 1b Bij siuaie II is er sprake va ee evereig verba a (rech)evereig
Nadere informatieHoofdpijndagboek. Neurologie
Neurologie Hoofdpijdagboek Ileidig U heef me uw behaled ars of hoofdpijverpleegkudige afgesproke da u ee hoofdpijdagboek gaa bijhou. U heef al uileg gehad hoe u di moe doe. I ze folr zee we alles og ees
Nadere informatieExponentiële functies. Introductie 145. Leerkern 145
Ope Ihoud Uiversiei leereeheid 5 Wiskude voor milieuweeschappe Expoeiële fucies Iroducie 5 Leerker 5 De grafiek va ee groeifucie 5 Terug i de ijd: egaieve expoee 8 Tijdseehede dele: gebroke expoee 5 De
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatieEvaluatie pilot ipad onder docenten
Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012
Nadere informatieUitwerkingen toets 11 juni 2011
Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het
Nadere informatieBuren en overlast. waar je thuis bent...
Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Formules voor groei
Moderne wiskunde 9e ediie Havo A deel Uiwerkingen Hoofdsuk - Formules voor groei bladzijde 00 V-a = 08, ; 870 08, ; 70 0, 8; 60 00 00 870 70 08,, gemiddeld 0,8 b De beginhoeveelheid is 00 en de groeifacor
Nadere informatieEen meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij
Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude
Nadere informatieStatistiek = leuk + zinvol
Statistiek = leuk + zivol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel ee statistisch oderzoek kue beoordele ee statistisch oderzoek kue opzette ee probleem vertale i stadaardmethode gegeves verzamele, verwerke via
Nadere informatiewiskunde A bezem havo 2017-I
Disribuieriem Een disribuieriem is een geribbelde riem die in een moderne verbrandingsmoor van een auo zi. Zo n riem heef en opziche van een keing voordelen: hij maak minder lawaai en er is geen smering
Nadere informatie7.1 Recursieve formules [1]
7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u
Nadere informatieSteekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef
Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte
Nadere informatieWerkboek. meer. check! Geluk. in 3Weken! Marjan van de Bult
Werkboek meer Geluk J check! in 3Weken! Marjan van de Bul www.gelukfabriek.nl Unlock your Luck vormgeving www.somehingilse.nl Alsjeblief! Hier is jouw eigen werkboek voor meer geluk in 3 weken. Misschien
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatie. Tijd 75 min, dyslecten 90min. MAX: 44 punten 1. (3,3,3,3,2,2p) Chemische stof
RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T112-HCMEM-H579 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punen kunnen worden behaald. Anwoorden moeen alijd zijn voorzien van een berekening, oeliching
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.
Nadere informatieAmber, 13 jr: Steenbok Shopaholic Weet wat ze wil Goed in atletiek Favo kleur Blauw
Me dak aa: www.brossois.l (schoee) e www.eoioby.l (kledig), www.sheilasbroodjes-iere.l (dae lek). Seciale dak aa Frak Nagegaal. foosri e o Sh ké MUD, 13 jr: Weegschaal Shoaholic Ka ooi kieze Goed i ekee
Nadere informatieHoofdstuk 3 Exponentiële functies
Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid,
Nadere informatien e 52 tip voor meer s gel uk op je werk n plek X
e k meer op j e werk plek gelu 52 p s voor X 52 TIPS voor meer GEluk op je werkplek v HEre we go! Als je googled op Geluk e Kaoor, wa krjg je da? Ses va kaoorarkeleleveracers e copyshops. Hoog jd dus voor
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Exponentiële formules
V-1a 4 Hoofdsuk 1 - Exponeniële formules Hoofdsuk 1 - Exponeniële formules Voorkennis prijs in euro s 70 78,0 percenage 100 119 1,19 b Je moe de prijs me he geal 1,19 vermenigvuldigen. c De BTW op de fies
Nadere informatieLogaritmen, Logaritmische processen.
PERIODE Lineaire, Kwadraische en Exponeniele funcies. Logarimen. Logarimen, Logarimische processen. OPDRACHT 1 Gebruik je (G)RM voor de berekening van: 1) log 2) log 0 3) log 00 4) log 000 5) log 1 6)
Nadere informatiewww. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc
POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2
Nadere informatieTabellenrapportage CQ-index Kraamzorg
Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo I
indeamen wiskunde B vwo 009 - I Over een parabool gespannen In figuur is de grafiek van de funcie f me f ( ) = 3 geekend. Tussen wee punen en S die even ver van O op de -as liggen, word denkbeeldig een
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatieDe standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door
RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:
Nadere informatieEindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013
Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 havo 2004-II
Bacerieculuur De groei van he aanal baceriën van een bacerieculuur hang onder andere af van he voedingsparoon, de emperauur en de beliching. Ui onderzoek blijk da he aanal baceriën van een bepaalde bacerieculuur
Nadere informatieWaar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?
Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.
Nadere informatieEen studie van reguliere schierveelhoeken met behulp van algebraïsche combinatoriek
Faculei Weeschappe Vakgroep Wiskude Ee sudie va reguliere schierveelhoeke me behulp va algebraïsche combiaoriek Dries Hose Promoor: Bar De Bruy Maserproef igedied er behalig va de academische graad va
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe
Nadere informatieVernieuwen in de zorg Mijn hobby
okober 2014 ummer 6 magazie Veraderige i de zorg Houd ik i 2015 dezelfde zorg e oderseuig? Verieuwe i de zorg Mij hobby Waeer ik kras geie ik Puzzel e wi cadeaubo! okober 2014 ummer 6 magazie ihoud 3 4
Nadere informatieHoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht
Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde Lineaire modellen
Praktische opdracht Wiskude Lieaire modelle Praktische-opdracht door ee scholier 3940 woorde 19 februari 2009 1 1 keer beoordeeld Vak Wiskude Voorwoord Te eerste leek het os ee leuke opdracht waar je veel
Nadere informatieRecursie van Poincaré-reeksen
Recursie va Poicaré-reekse Joachim de Rode 3 augusus 2 Bachelorscripie Begeleidig: dr Joche Heiloh KdV Isiuu voor wiskude Faculei der Nauurweeschappe, Wiskude e Iformaica Uiversiei va Amserdam Samevaig
Nadere informatieUitwerkingen Toets 1 IEEE, Modules 1 en 2
Uiwerkingen Toes IEEE, Modules en Daum: 9 sepember 007 Tijd: 0.40.0 (90 minuen) Opgave I) Di is een warmmakerje. In woorden is V is de serieschakeling van, en (de parallelschakeling van 3 en 4) of V =
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatieComplexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
. Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd
Nadere informatieHoofdstuk 4. Opdracht 4.16. Algemene oplossing: Algemene oplossing: n 1 1 2 n 1 7/2. Algemene oplossing: + = + ( ) Algemene oplossing: Opdracht 4.
Hoofdsuk Opdrch.6 k x + xk = = r = Algemee oplossig: k r xk = + xk = + / k xk = + k 9 7 x = x + 7 x + x = 7 x x = + + + 7 = r = Algemee oplossig: r 7/ x = + x = + / x = 7 c α α ( α α ) x = x x x x = x
Nadere informatieCombinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)
1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete
Nadere informatieUitslagen voorspellen
Eindexamen vwo wiskunde A pilo 04-I Vraag Anwoord Scores Uislagen voorspellen maximumscore 3 De afsand ussen Wilders en Thieme is 4 De conclusie: nie meer dan wee maal zo groo maximumscore 3 Bij gelijke
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
a b c d e a Analyse De omze was in 987 ongeveer, miljard (de recher as) De wins was ongeveer 6 miljoen (linker as) 6 miljoen 6 miljoen = %, % Er is sprake van verlies als de wins/verlies-grafiek negaief
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieAppendix A: De rij van Fibonacci
ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd
Nadere informatie2.4 Oppervlaktemethode
2.4 Opperlakemehode Teken he --diagram an de eenparige beweging me een snelheid an 10 m/s die begin na 2 seconden en eindig na 4 seconden. De afgelegde weg is: =. (m/s) In he --diagram is de hooge an de
Nadere informatieKoftig Texel & Lesformulier Texel per dag
Koftig Texel & Lesformulier Texel per dag Mica de Jog 0807580 2a DBKV Marlee Aredok Ihoud: Voorbereidig Lesformuliere Koftig Opgestuurde bestad aar Wieeke Voorbereidig Begisituatie: Ik ga erva uit dat
Nadere informatieDe speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.
Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet
Nadere informatie1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten
Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke
Nadere informatieBlok 1 - Vaardigheden
6 Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Exra oefening - Basis B-a Bij abel A zijn de facoren achereenvolgens 8 : = 6 ; 08 : 8 = 6 en 68 : 08 = 6. Bij abel A is sprake van exponeniële groei. Bij abel
Nadere informatieMachtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178
Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel
Nadere informatieHET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.
HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Exponentiële functies
Hoofdsuk - Eponeniële funcies Voorkennis: Groeifacoren ladzijde 7 V-a 060, 80 8, - euro 079, 0, 9, 88 c 0, 98, - 998, V-a De facor waarmee je de oude prijs vermenigvuldig om de nieuwe prijs e krijgen is
Nadere informatiePuzzelboekje. V E R E N A A R R I T A A N D N A A N S E D E N T
AA EN tatie Puzzelboekje 1. B 3. 2. V L O E L D 5 G I N 4. D 6 G 2 6. B 10. 4. A D 11. W O 7 8 12. V eer epol eledaw eretels partedroow ed www.ieuwsbegrip.l 3 3. A 1 5. 8. 9. T 7 G W pixelid.l T Illustraties:
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 83 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor
Nadere informatieBetrouwbaarheidsintervallen
tatistiek voor Iformatiekude, 005 Les 3 Betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we groothede va ee populatie met behulp va steekproeve kue schatte. We hebbe daarbij gezie dat
Nadere informatieimtech Arbodienst (versie 2.0)
imtech Arbodiest (versie 2.0) veilig e gezod werke (Gezodheids)risico s bij autorijde Buite de verkeersveiligheid e de oderhoudsstaat va de auto ka ook het lagdurig zitte i de auto tot (gezodheids)klachte
Nadere informatieRijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder
Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met
Nadere informatiehaarlemmerolie van de IT? Tobias Kuipers en Per John
Complexiei onder conrole, kosen inzichelijk? Naar een diensbare Gezien de populariei van is he goed eens erug e gaan naar de basis en e kijken naar wa SOA eigenlijk is, wa de redenen zijn om he in e voeren,
Nadere informatieBlok 4 - Vaardigheden
Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Blok - Vaardigheden bladzijde a domein en bereik b x = = = c Me behulp van onderdeel b en de grafiek: d Eers: log x = ofwel x = = Dan me behulp van de grafiek:
Nadere informatieEnquête social media gebruik ROC West-Brabant
Equête social media gebruik ROC West-Brabat Jauari / februari 2012 I jauari 2012 is ee studeteequête geoped, met als thema social media i het oderwijs. De equête is door 514 mbo-studete igevuld. Afhakelijk
Nadere informatieAnalyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013
Aalyse wijze e stimulere va ivulle atioale Studete Equête 20. Pascal Breders 19 jui 2013 Aaleidig Studiekeuze3 is veratwoordelijk voor de uitvoerig va de atioale Studete Equête (SE). De atioale Studete
Nadere informatiePARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer
Nadere informatieWerktekst 1: Een bos beheren
Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig
Nadere informatieOBS 't Gijmink Oudertevredenheid ods 't Gijmink Online Evaluatie Instrument maart 2016
Oudertevredeheid ods 't Gijmik Pagia 1 va 7 www. Olie Evaluatie Istrumet OBS 't Gijmik Oudertevredeheid ods 't Gijmik maart 2016 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2016 DigiDoc Pagia 1 va 7 Oudertevredeheid
Nadere informatieStudiekosten of andere scholingsuitgaven
Bij voorlopige aanslag inkomsenbelasing 2013 IB 275-1T31FD Volg u in 2013 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen voor een EVC-procedure (Erkenning Verworven Compeenies)?
Nadere informatieExamen beeldverwerking 10/2/2006
Richlijnen Examen beeldverwerking 10/2/2006 Di is een gesloen boek examen. Communicaieapparauur en beschreven of bedruk papier of andere voorwerpen zijn dus nie oegelaen. Schrijf je naam op elk blad. Schrijf
Nadere informatieDe basis cursus scripting in AutoCAD voor studenten van. de Sacrale Kunst van Luiheid Les 2 2004 Joop F. Moelee
Aha, daar zij jullie weer. Heb je al tijd over? Al lekker lui achterovergehage met je voete op het bureau e lurked aa ee blikje bier terwijl je computer al het werk voor je doet? Da gaa we u verder. De
Nadere informatie12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1
WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de
Nadere informatiemedewerkers museumboerderij de Wendezoele
LES 2: KERNLES: ONTDEK DE BOERDERIE I deze les staat het beleve va het erfgoed cetraal. KENMERKEN Tijd Les wordt gegeve door Beodigde materiale 60 miute medewerkers museumboerderij de Wedezoele overzicht
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel
Nadere informatieUITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006
UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP Valkeswaard, 0 jui 006 Opgave. Als we ee verzamelig pute i de ruimte hebbe, moge we ee put va de verzamelig spiegele i ee ader put va de verzamelig e het beeld hierva toevoege
Nadere informatieWijzigingsformulier Ziektekostenverzekering
De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves
Nadere informatieSchatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen
Werke aa de zelfstadigheid va kidere 2 Ileidig Werke aa zelfstadigheid is ee oderwerp dat al vele jare ee belagrijk oderdeel is va het oderwijsaabod op OBS De Spiegel. I 2008 is beslote om Zelfstadig werke
Nadere informatieBijeenkomst Gemeenschappelijke Oudercommissies Sport Opvang Maarssen (S.O.M.). op:
Deis va Dokkum Notule Bijeekomst Gemeeschappelijke Oudercommissies Sport Opvag Maarsse (S.O.M.). op: Woesdag 18 jui 2014. Aawezig: Deis va Dokkum,,,. Teves Hek Kuiters ames het bestuur va de S.O.M. Afgemeld:
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO 2015
Correcievoorschrif VWO 205 ijdvak wiskunde C (pilo) He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor
Nadere informatieDeel 2. Basiskennis wiskunde
Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de funcie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de funcie f in he pun 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D) f 0
Nadere informatieOp zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting
Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!
Nadere informatiePROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1
PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked
Nadere informatieAnaloge Elektronika 1 DE SCHMITT TRIGGER
Analoge Elekronika DE SCHMITT TIGGE Een Schmi rigger is een komparaor me hyseresis. Ne zoals bij een komparaor is de ingang een analoog signaal, erwijl de uigang een digiaal signaal is. De uigangsspanning
Nadere informatieimtech Arbodienst (versie 2.0)
imtech Arbodiest (versie.0) veilig e gezod werke Wat is beeldschermwerk? Vrijwel alle katoormedewerkers va Imtech verrichte regelmatig beeldschermwerk. Oder ivloed va ee verdere automatiserig va werktake
Nadere informatie