7.9. Inhomogene lineaire stelsels. We keren nu weer terug naar de situatie

Transcriptie

1 79 Inhomogene lineaire selsels We keren nu weer erug naar de siuaie x ( A(x( + g(, ( waarbij A( een (n n-marix is en g( een vecor me n coördinaen Vergelijkbaar me de heorie voor gewone lineaire differeniaalvergelijking geld nu: als A( en g( coninu zijn op een inerval I, dan kan de algemene oplossing van ( op da inerval I geschreven worden in de vorm x( v( + c x ( + + c n x n (, waarbij {x (,, x n (} een fundamenaalverzameling is voor he homogene selsel x ( A(x( en waarbij v( een pariculiere oplossing is van he inhomogene selsel ( In de voorgaande paragrafen hebben we gezien hoe we in veel gevallen een fundamenaalverzameling van zo n homogeen selsel x ( A(x( kunnen bepalen We zullen ons nu concenreren op he vinden van een pariculiere oplossing v( van zo n inhomogeen selsel ( We beschouwen alleen he geval da A( nie van afhang: x ( Ax( + g( me A een consane (n n-marix Als deze marix A diagonaliseerbaar is, dan geld A P DP voor zekere invereerbare marix P en diagonaalmarix D Sel dan x( P y(, dan volg: x ( Ax( + g( P y ( AP y( + g( en dus (wan P is invereerbaar y ( P AP y( + P g( Dy( + h( me h( P g( Di is weer een selsel onkoppelde differeniaalvergelijkingen, maar nu inhomogeen in plaas van homogeen Deze nie-gekoppelde differeniaalvergelijkingen zijn van de vorm y i( λ i y i ( + h i (, i,,, n, waarbij λ,, λ n de eigenwaarden zijn van de marix A Deze eerse orde lineaire differeniaalvergelijkingen kunnen allemaal afzonderlijk worden opgelos via de mehoden van Er geld dan voor zekere y i ( e λ i e λ is h i (s ds + c i e λ i, i,,, n, waarbij c,, c n R Vervolgens vinden we me x( P y( de oplossing van he oorspronkelijke gekoppelde selsel differeniaalvergelijkingen Voorbeeld x ( Ax( + g( me A ( 3 en g( ( 4 A λi λ 3 λ λ (λ (λ + λ en λ

2 λ : ( 3 3 v ( 3 en ( ( 3 3 λ : v ( 3 Dus: A P DP me bijvoorbeeld P en D ( Sel nu x( P y(, dan volg dus: y ( Dy( + h( me h( P g( ( 3 ( 4 ( + 6 Dus: { y ( y ( + y ( y ( + 6 ofewel ( + + c e y( c e ( ( + 7 { y ( + + c e y ( c e + c ( e + c ( e Dan volg: x( P y( ( ( c e ( c e c e + c e c e + c e ( c e + c e c e + c e ( ( ( c 4 e + c ( e Als de marix A defec is, dan is A weliswaar nie diagonaliseerbaar, maar besaa er wel een Jordan normaalvorm J en een invereerbare marix P zodanig da A P JP De subsiuie x( P y( leid in da geval nie o een volledig onkoppeld selsel differeniaalvergelijkingen, maar de vergelijkingen zijn wel allemaal achereenvolgens op e lossen door me de laase vergelijking e beginnen Ook in da geval vinden we vervolgens me x( P y( de oplossing van he oorspronkelijke selsel differeniaalvergelijkingen Voorbeeld x ( Ax( + g( me A ( 9 4 ( e en g( A λi λ 9 4 λ λ λ + (λ λ (weemaal λ : ( v ( 3

3 Voor een gegeneraliseerde eigenvecor v vinden we bijvoorbeeld: ( 3 9 (A Iv v : 3 3 ( 3 v Dus: A P JP me bijvoorbeeld P ( 3 en J ( ( Sel nu x( P y(, dan volg dus: y ( Jy( + h( me h( P g( ( 3 ( e ( e + 3 Dus: { y ( y ( + y ( + y ( y ( e + 3 { y ( y ( y ( + y ( y ( e + 3 De laase vergelijking heef als algemene oplossing: y ( e c e Invullen in de eerse vergelijking geef dan: y ( y ( e 3 + c e Di heef als algemene oplossing: y ( e c e + c e Dus: ( e y( c e + c e e c e Dan volg: ( ( 3 e x( P y( c e + c e e c e ( e c e + c (3 e e c e + c e ( ( ( ( ( e c 5 e 3 + c e Een weede manier om een pariculiere oplossing v( van ( e vinden is me de mehode van onbepaalde coëfficiënen Als de vecor g( een geschike vorm heef, dan kan he mogelijk zijn om de vorm (me nog onbepaalde coëfficiënen van zo n pariculiere oplossing v( e raden, waarna de coëfficiënen bepaald worden door in e vullen Deze mehode is eigenlijk alleen oepasbaar in he geval van een consane marix A en een geschike vorm voor g( ( 3 Voorbeeld 3 x ( Ax( + g( me A en g( ( ( voorbeeld Merk op da g( + 4 c ( 3 e + c ( ( 4 We hebben al gezien da e Vergelijk me 3

4 de algemene oplossing van he homogene selsel x ( Ax( is Voor een pariculiere oplossing kunnen we nu v( u + u proberen Dan geld: v ( u Invullen geef dan: ( ( u Au + Au Hierui volg: Dus: Au ( : Hierui volg da u Dus: Au ( 4 6 : Hierui volg da u ( Au + 4 ( 3 ( 4 ( u en Au + ( o ( 4 ( 4 Voor u vinden we dan: Au u ( 3 4 ( 6 6 ( 8 8 ( ( ( 4 Dus: v( u 8 + u 8 ( Voorbeeld 4 x ( Ax( + g( me A en ( ( ( ( g( e 3 + e + cos + 3 sin ( 4 6 De marix A heef( de eigenwaarden ( λ en λ De bijbehorende eigenvecoren zijn bijvoorbeeld v en v respecievelijk Dus: ( e e Ψ( e is een fundamenaalmarix van x ( Ax( Voor een pariculiere oplossing proberen we nu: Dan volg: Invullen geef dan: ( ( e e v( u e 3 + u e + u 3 e + u 4 cos + u 5 sin v ( 3u e 3 + u ( + e + u 3 e u 4 sin + u 5 cos 3u e 3 + u e + (u + u 3 e u 4 sin + u 5 cos Au e 3 + Au e + Au 3 e + Au 4 cos + Au 5 sin ( ( ( ( + e 3 + e + cos sin

5 Hierui volg: ( Au + 3 3u Au u ( Au 3 + u + u 3 ( Au 4 + u 5 ( Au 5 + u 4 Voor u volg dus: ( (A 3Iu : 3 ( 3 ( 3 u ( 3 Verder geld: ( u is een eigenvecor van A behorende bij de eigenwaarde Kies dus bijvoorbeeld u Voor u 3 vinden we dan bijvoorbeeld: ( (A Iu 3 u ( : ( u 3 ( Ten sloe hebben we nog Au 4 u 5 ( en ( Au 5 u 4 Hierui volg (bijvoorbeeld da ( A u 5 Au 4 A Nu is Dus: (A + Iu 5 ( : A Voor u 4 vinden we dan ( u 4 Au 5 5 ( ( 3 5 ( ( u 5 + ( ( ( ( 5 5 ( Als pariculiere oplossing vinden we dus uieindelijk: ( ( ( v( e 3 + e + e ( ( 3 4 ( u u 5 5 ( cos + ( 5 5 ( sin ( 4 5

6 Ten sloe hebben we ook hier de mehode van variaie van consanen Evenals in he geval van gewone differeniaalvergelijkingen is deze mehode vrij algemeen bruikbaar Beschouw weer he inhomogene selsel ( Sel nu da we een fundamenaalmarix Ψ( van he homogene selsel x ( A(x( kennen Dan geld dus: Ψ ( A(Ψ( De algemene oplossing van da homogene selsel kan dan geschreven worden als Ψ(c me c een consane vecor Sel nu x( Ψ(u( (variaie van consanen als oplossing van he inhomogene selsel ( Dan volg: x ( Ψ (u( + Ψ(u ( Invullen geef dan: Aangezien Ψ ( A(Ψ( volg hierui da Ψ (u( + Ψ(u ( A(Ψ(u( + g( Ψ(u ( g( u ( Ψ (g(, wan Ψ( is invereerbaar Inegreren geef dan: en dus: u( Ψ (sg(s ds + c x( Ψ(u( Ψ( Ψ (sg(s ds + Ψ(c De consane vecor c kan evenueel worden vasgelegd door middel van een beginvoorwaarde: x( x Dan volg: Ψ( c x en dus c Ψ ( x De oplossing van he beginwaardeprobleem x ( A(x( + g( me x( x is dan: x( Ψ( Ψ (sg(s ds + Ψ(Ψ ( x ( 5 6 Voorbeeld 5 x ( Ax( + g( me A en g( 3 4 ( e A λi 5 λ λ λ λ (λ (λ + λ en λ en Dus: λ : λ : ( ( ( e e Ψ( e e v v ( ( ( ( e e 6

7 is een fundamenaalmarix van x ( Ax( Dan volg: ( ( ( Ψ e e e ( e e e Dus: Hierui volg: en dus ( u ( Ψ e e (g( e e x( Ψ(u( ( ( ( + e u( + c e + c ( e e e e ( ( + e + c e + c ( ( 4 e + c e c e ( + + e c e + c e ( ( ( 3 e 4 + e + c ( e ( + e ( + e e + c ( e Elk van deze drie mehoden heef z n voor- en nadelen De eerse mehode werk eigenlijk alleen als de marix A diagonaliseerbaar is De weede mehode kan alleen oegepas worden als g( een geschike vorm heef De laase mehode werk in principe alijd, maar he vinden van u( ui u ( kan wel eens lasig zijn Bovendien moe men hierbij de inverse van de fundamenaalmarix Ψ( bepalen Er zijn ook veel inhomogene selsels eerse orde lineaire differeniaalvergelijkingen waarvoor alle drie mehoden ongeveer evengoed werken ( ( 3 Voorbeeld 6 x ( Ax( + g( me A en g( In voorbeeld 4 en voorbeeld 3 hebben we di inhomogene selsel differeniaalvergelijkingen al opgelos me behulp van de eerse wee mehoden Me de mehode van variaie van consanen kan he ook: en dus Dan volg: Ψ ( ( 3e e Ψ( e ( e e u ( Ψ (g( e ( 3 ( 3 ( e e e 3e ( e e ( e e e 3e ( 4 ( ( e ( + 6e Hierui volg ( ( + e u( + c ( + 7e + c 7

8 en dus: x( Ψ(u( ( 3e e e e ( ( + e + c ( + 7e + c ( c e + c e c e + c e ( ( c 8 ( 4 e + c ( e Ten sloe merken we nog op da ook de Laplace ransformaie gebruik kan worden om selsels lineaire (nie per sé van de eerse orde differeniaalvergelijkingen me consane coëfficiënen op e lossen Maar di lever wel vaak behoorlijk wa rekenwerk op We gaan daar nu nie verder op in 8

9 Hoofdsuk 9: Nie-lineaire differeniaalvergelijkingen en sabiliei Hoewel we reeds vele mehoden gezien hebben om allerlei ypen differeniaalvergelijkingen op e lossen, zijn er och nog veel differeniaalvergelijkingen waarvoor we nie zo gemakkelijk een exace (analyische oplossing kunnen vinden Vooral in he geval van nie-lineaire differeniaalvergelijkingen is he in he algemeen nie eenvoudig om zo n exace oplossing via analyische mehoden e vinden Me behulp van numerieke mehoden is he dan och vaak mogelijk om nie een exace oplossing, maar wel een benadering van zo n oplossing e vinden Hierover saa he één en ander in hoofdsuk 8 van he boek, maar in di vak zullen we aan deze numerieke mehoden geen aandach beseden Deze worden laer behandeld in een apar vak over Numerieke Wiskunde In veel gevallen is he echer helemaal nie nodig om een exace oplossing van een differeniaalvergelijking of zelfs een numerieke benadering daarvan e vinden In plaas van dergelijke kwaniaieve informaie heef men vaak genoeg aan kwaliaieve informaie, waarmee he gedrag van de oplossing(en in kaar gebrach kan worden Als we bijvoorbeeld van een differeniaalvergelijking van de vorm dy d f(, y een zogenaamd faseporre maken, dan word he gedrag van de oplossingen heel snel duidelijk Zo n faseporre besaa ui de banen (rajecories van oplossingen die in he fasevlak worden geekend door he richingsveld e besuderen Zie bijvoorbeeld ook en 5, maar ook 9, 95 en 97 in Sewar Zonder de oplossingen zelf e bepalen is he hiermee mogelijk (heel veel kwaliaieve informaie over die oplossingen e vinden 9 He fasevlak: lineaire selsels In hoofdsuk 7 hebben we gezien hoe we van selsels eerse orde lineaire differeniaalvergelijkingen oplossingen kunnen bepalen zolang de coëfficiënen consan zijn Een dergelijk homogeen selsel kan geschreven worden in de vorm x ( Ax( me x( x ( x n ( waarbij A een consane (n n-marix is In he geval da n kunnen we de oplossingen ekenen in he x, x -vlak, he zogenaamde fasevlak Deze siuaie lijk serk op de siuaie van een auonome differeniaalvergelijking dy d f(y, waarbij f dus nie van de variabele afhang De oplossingen waarvoor f(y noem men wel de kriieke punen of kriische punen van de differeniaalvergelijking Deze punen dy corresponderen me de consane oplossingen, immers: Deze oplossingen worden d 9,

10 ook wel evenwichsoplossingen genoemd In he geval van een ( -selsel spreek men van kriieke punen of kriische punen als Ax o Deze punen corresponderen me consane of evenwichsoplossingen Als de A, dan is A invereerbaar en geld dus: Ax o x o Da wil zeggen: de oorsprong is he enige kriieke of kriische pun In hoofdsuk 7 hebben we gezien da x( ve r een oplossing is van x ( Ax( als Av rv, ofewel als r een eigenwaarde is van de marix A en v een bijbehorende eigenvecor In he geval van een ( -marix A hebben we wee (evenueel complexe of samenvallende eigenwaarden r en r Hierbij onderscheiden we nu de volgende gevallen r, r R, r r en r r > De eigenwaarden r en r zijn dan óf beide posiief óf beide negaief, erwijl de algemene oplossing geschreven kan worden als x( c v e r + c v e r Als r < r <, dan volg: [ ] x( e r c v e (r r + c v c v e r voor, wan r r < In da geval hee de oorsprong een knoop(pun (node en ook wel een pu (sink omda alle banen naar de oorsprong oe gerokken worden Zie figuur 9 op pagina 485 Voor < r < r krijgen we dezelfde paronen, maar deze worden dan in egengeselde riching doorlopen (van de oorsprong vandaan De oorsprong hee ook dan een knoop(pun (node en dan ook wel een bron (source omda de banen vanui de oorsprong lijken e komen en naar he oneindige wegsromen r, r R, r r en r r < In da geval hebben de eigenwaarden egengeseld eken en is de één dus posiief en de ander negaief Als r > en r <, dan geld: x( c v e r + c v e r c v e r voor Voor c verdwijnen alle oplossingen naar oneindig voor in de riching van v of v afhankelijk van he eken van c Alleen oplossingen die beginnen op de lijn door v (dus: c worden (in een reche lijn naar de oorsprong oe gerokken De oorsprong hee in di geval een zadelpun Zie figuur 9 op pagina r, r R en r r r De eigenwaarde r heef dus algebraïsche mulipliciei We nemen even aan da r < Voor r > krijgen we dezelfde banen, die dan in egengeselde riching doorlopen worden We onderscheiden wee mogelijkheden: (a De eigenwaarde r heef meekundige of geomerische mulipliciei Dan geld: x( c v e r + c v e r, waarbij {v, v } lineair onafhankelijk is De verhouding ussen x ( en x ( is dan onafhankelijk van (consan Elke baan lig daarom op een reche lijn door de oorsprong De oorsprong word dan wel een zuivere knoop (proper node genoemd Zie figuur 93 op pagina 487

11 (b De eigenwaarde r heef meekundige of geomerische mulipliciei Dan geld: x( c v e r + c (v e r + v e r, waarbij v een eigenvecor van A is behorende bij de eigenwaarde r en v een gegeneraliseerde eigenvecor Merk op da x( [(c v + c v + c v ] e r De vorm ussen de rechhoekige haken sel een lijn voor door he pun c v + c v evenwijdig aan de vecor v De banen kunnen nu gesches worden door deze lijnen e schesen en daarop de riching voor groer wordende aan e geven (v als c > en v als c < Voor gaa een baan precies door he pun c v + c v Voor > volg de baan de riching die we zojuis hebben aangegeven, maar uieindelijk word de baan naar de oorsprong oe gerokken vanwege de facor e r me r < Zo onsaa figuur 94 op pagina 488 De oorsprong hee dan wel een onzuivere knoop (improper node, een gedegenereerde knoop, een onaarde knoop of een éénakkig knooppun Voor r > worden dezelfde banen juis in egengeselde riching doorlopen 4 r, r / R: r, λ ± iµ me λ, µ R, λ en µ > Deze siuaie word geheel geypeerd door (vergelijk me selling 9 van 55 in Lay ( { x λ µ x ( λx ( + µx ( ( x( : µ λ x ( µx ( + λx ( In he x, x -vlak (he fasevlak kunnen we nu poolcoördinaen invoeren: Dan geld: Differeniëren naar lever nu: x ( r( cos θ( en x ( r( sin θ( {r(} {x (} + {x (} en an θ( x ( x ( r( r ( x (x ( + x (x ( Hierui volg: en θ ( cos θ( x (x ( x (x ( {x (} r( r ( x ( [λx ( + µx (] + x ( [ µx ( + λx (] λ [ {x (} + {x (} ] λ{r(} en dus: r ( λr( ofewel r( c e λ voor zekere consane c R Verder geld da zoda cos θ( x ( r( cos θ( {r(} {x (}, {r(} {x (} θ ( x ( [ µx ( + λx (] x ( [λx ( + µx (] {x (} µ [ {x (} + {x (} ] {x (} µ {r(} {x (}

12 Hierui volg da θ ( µ en dus: θ( µ + θ me θ de waarde van θ( voor Voor µ > beeken di da θ( afneem als groer word De banen bewegen zich dan kloksgewijs De oorsprong hee in di geval een spiraalpun Voor λ < gaan de banen naar de oorsprong oe en is de oorsprong dus een pu (sink Voor λ > gaan de banen juis van de oorsprong vandaan en is de oorsprong dus een bron (source 5 r, r / R: r, λ ± iµ me λ, µ R en λ In da geval zijn de eigenwaarden zuiver imaginair en word de siuaie gekarakeriseerd door ( x µ ( x( µ In da geval vinden we: r ( en θ ( µ Dus: r( c R en θ( µ + θ In da geval zijn de banen dus cirkels rond de oorsprong Deze cirkels worden kloksgewijs doorlopen als µ > en in egengeselde riching als µ < Alle oplossingen zijn dus periodiek me periode π/µ De oorsprong word in da geval wel een cenerpun genoemd 9 Auonome selsels en sabiliei Voor een lineair selsel eerse orde differeniaalvergelijkingen x ( Ax( me de A onderscheiden we drie vormen van (insabiliei: He selsel hee insabiel als er oplossingen besaan die voor naar oneindig gaan He selsel hee sabiel als alle oplossingen begrensd blijven voor 3 He selsel hee asymoisch sabiel als alle oplossingen naar de oorsprong gaan voor Insabiliei reed dus op als minsens één eigenwaarde van A posiief is of als beide eigenwaarden nie reëel zijn, maar wel een posiief reëel deel hebben Als beide eigenwaarden negaief zijn of als beide eigenwaarden nie reëel zijn me negaief reëel deel hebben we e maken me een asympoisch sabiel selsel Als de eigenwaarden zuiver imaginair zijn, dan hebben we een sabiel selsel da nie asympoisch sabiel is Di is ook he geval als één eigenwaarde gelijk aan nul en de andere negaief is De precieze wiskundige definiies van deze begrippen is geen enamensof Da slaan we dus over We beschouwen een auonoom selsel differeniaalvergelijkingen van de vorm dx d F (x, y en dy d G(x, y, waarbij F en G coninue funcies zijn, waarvan bovendien de pariële afgeleiden naar x en y ook coninu zijn Zo n selsel kan ook geschreven worden als ( ( x x( F (x, y ( f(x( me x( en f(x( y( G(x, y De funcies F en G hangen dus nie explicie af van de onafhankelijke variabele, maar alleen van de afhankelijke variabelen x en y Deze funcies x en y hangen nauurlijk zelf wel van af

13 en heen daarom afhankelijke variabelen De funcies F en G zijn dus wel implicie afhankelijk van Een selsel me deze eigenschap hee auonoom Een selsel van de vorm x ( Ax(, waarbij A een consane ( -marix is, is een voorbeeld van een dergelijk auonoom selsel In sommige gevallen kunnen we de banen van zo n auonoom selsel vinden door een eerse orde differeniaalvergelijking op e lossen: dy dx dy/d G(x, y dx/d F (x, y Als deze differeniaalvergelijking bijvoorbeeld separabel is, dan kunnen we deze oplossen me de mehode van Zie ook: Sewar, 93 Voorbeeld Sel da dx d y en dy d dy dx x y x Dan volg: y dy x dx De oplossingen zijn dan: y x c me c R willekeurig De banen zijn dus hyperbolen Zie figuur 94 op pagina 5 Merk op da (x, y (, he enige kriieke pun is We kunnen he selsel ook schrijven in de vorm ( x ( x( me x(x ( x( y( ( De eigenwaarden van de marix zijn r en r Voor de bijbehorende ( ( eigenvecoren vinden we (bijvoorbeeld v en v respecievelijk De oplossing is dus: x( c ( e + c ( e { x( c e + c e y( c e c e De eigenvecoren v en v zijn duidelijk in figuur 94 erug e vinden Voor gaan de banen naar oneindig in de riching van v of v als c Alleen voor c (op de lijn door v dus worden de banen naar de oorsprong oe gerokken Voorbeeld Beschouw he auonome selsel gegeven door dx d 4 y en dy d 3x Di selsel is nie-lineair De kriieke punen worden bepaald door 4 y en 3x y en x ± 3

14 De kriieke punen zijn dus: (, en (, Om de banen e kunnen bepalen kijken we naar dy 3x dx 4 y (4 y dy ( 3x dx De oplossingen hiervan zijn: 4y y x + x 3 c me c R willekeurig He is nie zo eenvoudig om deze banen e ekenen, maar me behulp van een compuer kunnen we figuur 95 op pagina 5 vinden In die figuur is duidelijk e zien da he kriieke pun (, een cenerpun is, erwijl he kriieke pun (, een zadelpun is Beschouw de differeniaalvergelijking voor een slinger (zie pagina 498: d θ d + γ dθ d + ω sin θ Hierbij zijn γ en ω consanen De funcie θ( geef hierbij de hoek en opziche van de evenwichssand aan Zie figuur 9 op pagina 498 Deze differeniaalvergelijking is nie-lineair vanwege de erm me sin θ We kunnen deze weede orde differeniaalvergelijking omzeen naar een selsel van wee eerse orde differeniaalvergelijkingen door x( θ( en y( θ (, dan volg: x ( θ ( y( en y ( θ ( ω sin θ( γθ ( ω sin x( γy( Dus: { x ( y( ( y ( ω sin x( γy( Omda γ en ω consanen zijn is di dus een auonoom selsel De kriieke punen volgen ui: y en ω sin x γy y en sin x De kriieke punen zijn dus: (±nπ, me n,,, Veraald naar de fysische werkelijkheid komen deze punen overeen me de wee evenwichsposiies, waarbij he slingergewich rech onder (θ he ophangpun hang of rech daarboven (θ π He zal duidelijk zijn da he eerse evenwichspun sabiel is, erwijl de weede insabiel is Als we slinger ies ui he onderse evenwich loslaen gaa deze slingeren oda ie uieindelijk weer o rus kom in he evenwichspun, da dus zelfs asympoisch sabiel is Als we daarenegen de slinger loslaen op een pun nabij he bovense evenwichspun, dan zal de slinger door de zwaarekrach naar beneden vallen en na verloop van ijd o rus komen in he onderse evenwichspun He bovense evenwichspun is dus (zeer insabiel Als er geen demping zou zijn (geen wrijving en geen zwaarekrach dan geld: γ In da geval zal de slinger bij een geringe uiwijking en opziche van he onderse evenwichspun blijven slingeren, maar zal deze nie o rus komen in he evenwichspun In da geval hebben we dus e maken me een sabiel evenwichspun, da nie asympoisch sabiel is Zie figuur 93 op pagina Bijna lineaire selsels We beschouwen nu een selsel van de vorm x ( Ax( + g(x( (3 We nemen aan da x o een zogenaamd geïsoleerd kriisch pun is Da wil zeggen da er een omgeving van x o besaa waarin zich geen ander kriiek pun bevind Verder nemen we aan da de A, zoda x o ook een geïsoleerd (he enige immers kriisch pun is van he lineaire selsel x ( Ax( Als nu g(x( klein is, dan zeggen we da (3 bijna lineair is We definiëren nu 4

15 Definiie Als g coninue eerse pariële afgeleiden heef en g(x( x( voor x o, (4 dan is g(x( klein en opziche van x( en noem men (3 een bijna lineair selsel in de buur van he kriisch pun x o He kan hierbij handig zijn om gebruik e maken van ( x( x( x( {x(} y( + {y(} r( en g(x( ( g (x, y g (x, y De limie in (4 is dan namelijk equivalen me g(x( {g (x, y} + {g (x, y} g (x, y r en g (x, y r voor r He selsel ( da we voor de slinger hebben gevonden kan geschreven worden in de vorm ( ( ( x ( ω x( ω x( me x( γ sin x( x( y( Di is een voorbeeld van een bijna lineair selsel in de buur van de oorsprong Immers: g (x, y en g (x, y ω (sin x( x( Me behulp van x( r( cos θ( en de Taylorreeks voor sin x rond x vinden we g (x, y r ω (sin x( x( r( ω {x(}3 3! r( ω {r( cos θ(}3 6r( 6 ω {r(} {cos θ(} 3 voor r( We keren nu weer erug naar he algemene nie-lineaire auonome selsel x F (x, y en y G(x, y (5 Di selsel is bijna lineair in de buur van een kriiek pun (x, y als de funcies F en G coninue pariële afgeleiden hebben o aan de weede orde Om di aan e onen maken we gebruik van de Tayloronwikkelingen rond he pun (x, y van F en G: F (x, y F (x, y + F x (x, y (x x + F y (x, y (y y + η (x, y en G(x, y G(x, y + G x (x, y (x x + G y (x, y (y y + η (x, y, 5

16 waarbij η (x, y (x x + (y y en η (x, y (x x + (y y voor (x, y (x, y Nu geld: F (x, y en G(x, y, wan (x, y is een kriiek pun van (5 He selsel (5 kan dus geschreven worden in de vorm ( d x x d y y ( Fx (x, y F y (x, y G x (x, y G y (x, y ( x x y y ( η (x, y + η (x, y Nu geld da he gedrag van oplossingen van zo n bijna lineair selsel gelijk is aan da van he bijbehorende lineaire selsel ( ( ( d x x Fx (x, y F y (x, y x x d y y G x (x, y G y (x, y y y zolang we nie e maken hebben me zuiver imaginaire of samenvallende eigenwaarden In die gevallen kan er ander gedrag opreden bij he nie-lineaire selsel We gaan hier nu echer nie verder op in In he geval van de slinger hebben we dus: F (x, y y en G(x, y ω sin x γy Deze funcies zijn oneindig vaak differenieerbaar en F x, F y, G x ω cos x en G y γ He bijbehorende lineaire selsel in de buur van (x, y (, is dus ( ( ( d x x d y ω γ y Op pagina 5 is een faseporre (figuur 935 geekend van he geval da ω 3 en γ /5 De kriieke punen zijn dus (±nπ, me n,,, De evenwichspunen corresponderend me even waarden van n zijn (aanrekkende spiraalpunen, erwijl de evenwichspunen corresponderend me oneven waarden van n zadelpunen zijn De eersen komen weer overeen me he asympoisch sabiele evenwichspun van de slinger aan de onderkan, erwijl de andere evenwichspunen berekking hebben op he insabiele evenwichspun aan de bovenkan De banen die door de zadelpunen gaan verdelen he vlak in verschillende gebieden Zo n baan word een separarix genoemd Elk van deze gebieden beva precies één asympoisch sabiel evenwichspun (spiraalpun De oplossingen sarend in zo n gebied gaan uieindelijk naar da evenwichspun 6