Het Noethertheorema. Scoop oktober Noethertheorema. Paul Friedel

Transcriptie

1 Noeherheorema Scoop okober 2003 Paul Friedel He Noeherheorema Welke auurkudesude heef er ie va he Noeherheorema gehoord? Er word op geheimziige oo over gesproke door docee die, als he erop aakom, ooi verelle hoe he u precies zi I de serie Scoop vul de gae i je keis deze keer de is ad ous va he Noeherheorema Om maar meee me de deur i huis e valle geef ik hier he heorema: Noeherheorema: Iedere symmerie va ee fysisch syseem correspodeer me ee behoude grooheid, e voor iedere behoude grooheid is er ee symmerie va he syseem e vide Ee voorbeeld Di is auurlijk volsrek obegrijpelijk, maar he word duidelijker aa de had va ee voorbeeld Sel u da we ee syseem hebbe da raslaie-ivariaie heef, dek bijvoorbeeld aa ee spelleje afelvoebal da door miliaire op ee vliegdekschip gespeeld word Als he schip rusig vaar, maak he voor he spelleje ies ui hoe hard he schip gaa, he zou evegoed i de have kue ligge als me 50 kope richig de Perzische Golf some He schip als geheel ku je eeparig lae bewege zoder da de mechaica op he schip verader De behoude grooheid die hiermee correspodeer, is impuls Di is eevoudig i e zie Als he schip me cosae selheid (cosae impuls) voorbeweeg is er gee eo krach die op he schip werk Maar ee frame waarop gee krach werk, is okoppeld va de omgevig I zo ieriaalframe zij de drie wee va Newo geldig Nu wee we ook da he omogelijk is vas e selle wa de absolue posiie va zo frame is, wa da zou je immers ee refereiepu moee hebbe da buie he frame lig, maar welk refereiepu zou daarvoor i aamerkig kome? Je ku bijvoorbeeld de posiie e opziche va de oordpool bepale, maar er is gee objecieve rede e bedeke waarom juis da ee refereiepu zou moee zij He zou e zo logisch zij om Zuphe of de Bermudadriehoek als refereie e eme We kue dus cocludere da voor ee eeparig beweged frame, allee de afsade bie da frame releva zij De posiie va he frame e opziche va de res va he heelal doe ie er zake He bovesaade voorbeeld is ie ech bevrediged Eigelijk is de argumeaie ee cirkelredeerig (huiswerk: zoek de logische foue i bovesaad sukje, he wrig bij de defiiie va ee ieriaalframe) Maar ook zoder al di redeere e ierpreere is de sellig va Noeher e begrijpe He is da wel odig om he agrageformalisme e gebruike 3

2 Scoop okober 2003 Noeherheorema agrageformalisme We defiiëre ee fucie, de agragiaa, als volg: E E (,, ) ki po De agragiaa is ee fucie va de posiie, de selheid e de ijd He is ook mogelijk om og hogere orde ijdsafgeleide e gebruike, maar di is meesal ie odig e maak de zaak er voor os ie helderder op, dus vergee we da maar eve Verder defiiëre we de acie als: S d We gebruike u ee duivelse ruc: he variaiepricipe Di pricipe sel da de evoluie va ee syseem alijd zodaig is da de acie eremaal is We zulle di u ader bekijke De agragiaa is ee fucie va, die op zichzelf weer ee fucie va is Sel u da de juise oplossig voor () gegeve word door c Da de acie eremaal is, wil zegge da de acie ie verader oder ee kleie veraderig i, ofwel + d ds 0 c c Als we di uiwerke, vide we de bewegigsvergelijkig voor de plaas : d 0 d Deze vergelijkig hee de Euler-agrage vergelijkig, voor ee afleidig hierva, kijk i [1] He is eigelijk ie duidelijk waarom ee syseem u voldoe aa he variaiepricipe, maar he blijk erg goed e werke Ee soorgelijke ruc ku je ook oepasse om de brekigswe va Sellius af e leide Als je de ijd uireke die lich odig heef om va de ee plaas aar de adere e kome, erwijl de brekigside ie overal gelijk is, volg lich alijd he pad da de mise ijd kos Di pricipe lever, als je eve doorreke, de we va Sellius op De acie S speel hier de rol va oale ijd e he pad is gegeve door de waarde va () op ieder ijdsip He is ie zo heel erg da de werkig va he aciepricipe ie duidelijk is, wa vaak ku je aaoe da de agrageformulerig euivale is me de origiele formulerig Voor ee bewijs da di geld voor syseme die voldoe aa de Newoiaase mechaica, zie [1] Sel u da we ee specifieke variaie va kieze, + d +, me ifiiesimaal De grooheid hoef ie klei e zij We eme u aa da deze rasformaie ee symmerie is, ofwel: de bewegigsvergelijkig va he syseem verader ie als we oevoege Di is he geval als de veraderig i ul is Deze veraderig i kue we uirekee: 4

3 5 Scoop okober 2003 Noeherheorema d d d I de laase sap gebruike we de bewegigsvergelijkig Als we u wille da d0 da moe gelde: 0 Q Deze defiiie va Q, laa zie da Q behoude is We oeme Q vaak de ladig De elekrische ladig va ee syseem is iderdaad behoude oder bepaalde voorwaarde e da kue we die vide me behulp va he Noeherheorema, maar i he algemee ka Q va alles zij Ee igewikkelder voorbeeld Misschie be je oderhad de draad ee beeje kwij, maar aa de had va ee voorbeeld word duidelijk wa de verschillede begrippe beekee Sel, we hebbe ee plaee die om de zo draai We gaa erva ui da de zo zo zwaar is da we de bewegig hierva moge verwaarloze De agragiaa is u mmg m , me M de massa va de zo e m de massa va de plaee Deze agragiaa is ivaria oder roaies i he bewegigsvlak (y) va de plaee 0 ) ( d R Ee ifiiesimale roaie om de z-as kue we schrijve als i ijz j d ε

4 Scoop okober 2003 Noeherheorema We hebbe he evi-cevia-symbool gebruik, di is gedefiieerd als ε ε ε yz zy z ε ε ε yz yz yyy ε ε zy zy K We sommere over iedere ide die dubbel voorkom (i di geval i) Voor de - compoe va d hebbe we bijvoorbeeld: d ) ( y (huiswerkopgave 2: coroleer da de formule voor d j iderdaad klop) De behoude ladig is u gemakkelijk e vide Q j m j ε j ijz i ( p) z He evi-cevia-symbool lever precies he uiproduc op e Q is dus ies aders da de draaiimpuls i de z-richig! He omgekeerde geval De sellig va Noeher zeg ook da he mogelijk is om bij ee gegeve behoude grooheid de bijbehorede symmerie e vide I de uaummechaica is di mooi e zie Sel, we hebbe ee syseem me impulsbehoud We wee da i de uaummechaica iedere grooheid me ee operaor correspodeer I di geval hebbe we: Pˆ h i We gaa u de operaor i ee complee e-mach zee e de Taylorreeks bepale: (he word zo meee duidelijk waarom we di doe) ( iβpˆ 1 ) ( h ) ( ) iβpˆ 1 e β!! me β gewoo ee geal Nies bijzoders Maar kijk u ees aar ee raslaie, + α Voor de golffucie va he syseem geld da, als we weer de Taylorreeks opschrijve, 1 Ψ( ) Ψ( + )! α, ( ) Ψ( ) α Deze uidrukkig is hezelfde als de e-mach die we e uischreve, me α hβ We zie dus da de raslaie word gegeereerd door de impulsoperaor i ee e-mach e zee e e lae werke op de golffucie: e iβpˆ Ψ( ) Ψ( +hβ ) 6

5 Noeherheorema Scoop okober 2003 Er is dus ee duidelijke correspodeie usse raslaies e impuls Di kom auurlijk over als gegoochel, maar he is mogelijk om aa e oe da deze procedure de juise symmerie oplever voor alle uaummechaische groohede die behoude zij He bewijs is echer e igewikkeld om hier e kue behadele Kijk bijvoorbeeld i [2] Voor de eche diehards, uaumveldeheorie I de klassieke auurkude is he agrage-formalisme ee mooi hulpmiddel om op ee geüificeerde maier over dyamica e prae, maar we kee over he algemee ook de oderliggede vergelijkige va he syseem De bewegigsvergelijkig ka ook worde gevode zoder he formalisme e gebruike, i os voorbeeld door gewoo Newoiaase mechaica oe e passe I de uaumveldeheorie (QFT, uaummechaica voor gevorderde) ka di ie De acie is ie slechs ee hulpmiddel, maar ee uigagspu voor de heorie Er is wellich ie ees ee oderliggede mechaica Ee gemiddeld model i de QFT doorloop de volgede sadia 1 Me eme ee acie, eveueel gemoiveerd door fysische iuïie 2 Bereke de bewegigsvergelijkig 3 De waarde va alle fysische parameers die ui de acie volge, is oeidig (zogeaamde divergeies zij ee sadaard probleem i de QFT, maar ze kue worde opgelos, zie sap 4) 4 Trek oeidig va deze waarde af, de heorie is u gereormaliseerd (Zo rücksichlos gaa he er ie ech aa oe i de QFT, maar ech ejes gaa alles ook ie i zij werk, wiskudig gezie) 5 Vergelijk de gereormaliseerde parameers me de meewaarde 6 Herhaal sap 1 /m 5 oda he gewese resulaa is bereik De acie is dus alles wa er beked is va he syseem Oderliggede wee (zoals de Newoiaase mechaica) zij ie beked Toch leid QFT o mooie resulae Ee va de belagrijkse eigeschappe va de modere QFT is da alle modelle vereigbaar zij me de speciale relaivieisheorie, i egesellig o de klassieke uaummechaica Di zorg ervoor da de agrage-heorie er ies aders uizie da he klassieke geval, maar he pricipe blijf hezelfde We vervage allee de agragiaa door ee agragedichheid l, die vaak ook weer gewoo agragiaa word geoemd De acie is da gegeve door 4 S l d We iegrere over de ruime- e ijdcoördiae Di is eigelijk hezelfde als de klassieke agragiaa, allee werke we hier me eergiedichhede, die we vervolges weer over de ruime iegrere De kieische erm i de agragiaa word vervage door ee erm me afgeleide, zoals ϕ ϕ 7

6 Scoop okober 2003 Noeherheorema We sommere weer over de ide, maar di keer loop over de ruimecoordiae e over de ijdcoördiae me ee mieke Hierbove saa dus 2 ϕ 2 2 ϕ De variabele ϕ is de waarde va he uaumveld Da is vergelijkbaar me ee elekrisch of ee mageisch veld, allee is de ierpreaie veel lasiger, maar daar hoeve we os ie druk om e make He veld ϕ speel de rol die i he klassieke geval speelde Ee ypische QFT agragiaa (deze beschrijf elekroe e posiroe) zie er zo ui: ψ a is ee vecor me 4 compoee, ( γ ab + ab ) b l Ψ a m 1 Ψ adere mari), 1 ab is de eeheidsmari e de vecor 0 Ψ b iψ γ 8 γ ab is ee 44 mari (voor iedere ee a ab Ψa is gedefiieerd door Deze vecore leve ie i de ormale vierdimesioale ruime, he zij zogeaamde spiore Die lijke wel op vecore, maar gedrage zich aders oder roaies e da is precies wa elekroe ook blijke e doe Di vreemde gedrag word veroorzaak door he fei da elekroe fermioe zij Bosoe zij veel gemakkelijker e beschrijve i de QFT We hebbe u wee paar idices, ee sel voor de spiorruime (ab) e ee ader sel voor de gewoe ruime () Omda de vecore imagiaire gealle kue bevae, heef deze agragiaa ee bijzodere ivariaie Sel u da we ψ a vermeigvuldige me ee imagiaire e-mach Ψ a iα e Ψa, iα Ψ a Ψae, Me α ee cosae We oeme di ee U(1)-rasformaie I plaas va ee behoude ladig, vide we ee behoude sroom: j Ψ l a ( Ψ ) De ladig is da a y z, j j + j + j j 0 y z 3 Q j d (huiswerkopgave 3: laa zie da de ijdsafgeleide va Q iderdaad ul is, gebruik de sellig va Gauss) De sroom word i di geval gegeve door (gee afleidig) j iψ aγ Ψ e de ladig is ab 3 Q d Ψa Ψa, b

7 Noeherheorema Scoop okober 2003 Je zie, i de QFT is he ie alijd direc duidelijk wa je je u precies fysisch moe voorselle He blijk da deze ladig he aaal elekroe mi he aaal posiroe el Q is dus everedig me de elekrische ladig va he syseem, wa elekroe hebbe ladig -1 e posiroe ladig +1 I di voorbeeld is he og precies e zegge wa de ierpreaie va de ladig Q is, maar over he algemee is da heel moeilijk He Noeherheorema help ja da bij he vide va die ladige e symmerieë He is duidelijk da we og wel eve door kue gaa me he behadele va voorbeelde va oepassige va he Noeherheorema e symmerie (zie illusraie), maar waarschijlijk is je uihoudigsvermoge imiddels afdoede op de proef geseld I elk geval ku je u zelf de bewerige va je docee over he Noeherheorema arekee, als je wil Emmy Noeher Emmy Amalie Noeher werd i 1882 gebore i Erlage, Duislad Haar vader (Ma Noeher) was ee gewaardeerd wiskudige aa de uiversiei va Erlage I 1900 kreeg ze haar diploma als lerares Fras e Egels Ze besloo echer gee les e gaa geve, maar wiskude e gaa sudere He probleem was da ze ee vrouw was Vrouwe moche i Duislad wel sudere, maar voor ieder college moes de bereffede professor persoolijk oesemmig geve Haar sudie liep goed e i 1903 verrok ze aar Göige, waar op da mome vele groe weeschappers werke, zoals Hilber, Klei e Mikowski Nada ze haar docorsiel had behaald (i Erlage) ko ze formeel ie verder werke i de wiskude Ee posdoc -plaas was aa vrouwe ie oegesaa Ze bleef daarom i Erlage om haar vader e helpe Haar ale viel echer op: ze werd uigeodigd lid e worde va de Deusche Mahemaiker Vereiigug e i 1913 gaf ze colleges i Wee I 1915 vroege Hilber e Klei of ze weer aar Göige wilde kome Ze moch daar gee college geve, maar da probleem werd opgelos door de colleges oder de aam va Hilber e lae plaasvide Noeher was slechs assise, maar i de prakijk deed ze al he werk De afleidig va he heorema va Noeher was éé va de eerse dige die ze deed i Göige I 1918 werd ee arikel over de afleidig gepubliceerd [3] aer heef ze og belagrijk werk verrich i de heorie va ideale e rige, maar haar precieze bijdrage zij moeilijk e acherhale, omda ze vaak ie oder haar eige aam ko publicere Veel va de resulae die ze boeke zij daarom verschee oder de aam va maelijke professore of zelfs sudee I 1933 werd Noeher door de Nazi s gedwoge om haar posiie i Göige op e geve vawege haar Joodse achergrod Ze verrok aar Noord-Amerika, waar ze odermeer aa he Isiue for advaced Sudy heef gewerk I 1935 sierf ze 9

8 Scoop okober 2003 Noeherheorema Meer leze [1] JB Mario ST Thoro, Classical Dyamics of Paricles ad Sysems, Sauders College Publishig, 1995 [2] HF Joes, Groups, Represeaios ad Physics, Isiue of Physics, 1998 [3] E Noeher, Ivariae Variaiosprobleme, Nachr vd Kö Ges d Wiss zu Göige, 1918, p He arikel is i he Duis geschreve, maar vrij goed e volge He is e vide i de Arisbiblioheek, maar bij de aueur va di arikel is ook ee kopie e krijge Mail hiervoor aar scoop@scieceuval [4] hp://www-gapdcss-adacuk/~hisory/mahemaicias/ Noeher_Emmyhml Op de websie va S Adrews Uiversiy i Scholad is ee mooie verzamelig biografieë va wiskudige e vide e ee hoop leuke iformaie er omhee Ee eche aarader [5] hp://wwwemmyoehercom Nie ech geweldige iformaie, maar wel makkelijk e ohoude e de websie lik zelf weer door aar adere sies De algemee relaivieisheorie (ART) is af e leide als je de eis sel da alle fysica door middel va éé formalisme beschreve moe kue worde, oafhakelijk va he frame waari da plaasvid Zo moe bijvoorbeeld de beschrijvig i bolcoördiae hier op aarde overeekome me die i ee verselled caresisch coördiaesyseem me de oorsprog op Mars Deze symmerie (oder algemee coördiaerasformaies) is alles wa odig is om de ART af e leide Bie he vakgebeid va de kosmologie is de siuaie helemaal mooi, he blijk amelijk da he heelal op groe schaal homogee is (raslaieivaria) e isoroop (roaieivaria) Di zorg ervoor da de Eiseivergelijkige va de ART ee suk vereevoudigd kue worde Op di plaaje is graviaioal lesig e zie ich va serreselsels word afgeboge i he graviaieveld va dicherbij gelege selsels Di effec word door de ART voorspeld e is dus uieidelijk slechs ee symmerie-effec 10