Inhoudstafel. 1 Janko Pallay, BMW 19 11

Transcriptie

1 PORTFOLIO WISKUNDE

2 Inhoustfel Bsiswiskune en rekenregels 2 Elementire functies 3 Grfieken tekenen 4 Recursie- en Differentievergelijking 5 Limieten 6 Afgeleien 7 Toepssingen vn fgeleien in clculus 8 Asymptoten 9 Integrlen Differentilvergelijkingen Stelsels en Mtrices 2 Functies met meer vrielen 3 Evenwichten en stiliteit 4 Biologische moellen Jnko Plly, BMW 9

3 Bsiswiskune en rekenregels. Rechten y y = y 2 y x 2 x (x x ) l l 2 ls m =m 2 l l 2 ls m m 2 =.2 Cirkel r 2 =( x x ) 2 + ( y y ) 2 met fstnsformule (voor strl) ( P,Q)= (( x 2 x ) 2 + ( y y ) 2 ) v. cirkel oor punt (5,7) met M (2,3) strl = ((5 2) 2 + (7 3) 2 )= (9+ 6)=5 vergelijking: 5 2 =(x 2) 2 + ( y 3) 2.3 Goniometrie gren 36 = r 2 π tn θ= sin θ cos θ secθ= cosθ cscθ= sin θ cot θ= tn θ sin 2 θ+ cos 2 θ= sin 2 θ cos 2 θ + = cos 2 θ tn 2 θ+ =sec 2 θ Bijzonere hoeken α π/6 π/4 π/3 π/2 Sin α /2 V2/2 V3/2 Cos α V3/2 V2/2 /2 Tn α V3/3 V3 X Verwnte hoeken sin ( α)= sin (α) cos( α)=cos(α) tn ( α)= tn(α) sin(π α)=sin α cos(π α)= cos(α) tn (π α)= tn(α) sin( π 2 α)=cosα cos( π 2 α)=sin α tn ( π 2 α)=cot α sin(π+ α)= sin α cos(π+ α)= cos(α) tn (π+ α)=tn(α) 2 Jnko Plly, BMW 9

4 Som en verschil Formules vn Simpson Duele hoek Driehoeken 2 = 2 + c 2 2..c.cos Â.4 Exponenten r s = r + s r s =r s r = r ( ) r = r r ( ) r = r r ( r ) s = r s.5 Logritmen x=log y y= x log (x y)=log x+ log y log ( x y )=log x log y log x r =r log x log = log log log x=log x log e x=ln x log x =x log x = x 3 Jnko Plly, BMW 9

5 2 Elementire functies 2. Even en oneven f (x)= f ( x) even y sls symmetrie f (x)= f ( x) oneven oorsprong ls symmetrie 2.2 Smengestele functies ( f o g)( x)= f ( g(x)) lees: f ná g { f x=2x3=u g x= x 3 v. f o g x= f g x= f x 3 =2x 3 3 g o f = g f x= g 2x3=2x Veelterm functies f (x)= o x + x + 2 x n x n + n x n 2.4 Rtionle functies p( x) f (x)= q( x) q( x) n is even -> functie is even n is oneven -> functie is oneven Concreet: Michelis-Menten moel (enzymenrecties) r (N )= N N,k= positieve constnten k + N k =hlf verzigingsconstnte 2.5 Mchtsfuncties f (x)=x r r R 2.6 Exponentiële functies f (x)= x met: = constnte functie y= x = < < lene functie > stijgene functie < onmogelijk, zie logritmische functies (2.8) 2.7 Inverse functies f ( x) f (x) f (x) f [ f (x)]= x f [ f ( x)]=x v. f x= y= x 3 5 x 3 = y 5 x= 3 y 5 f x= 3 x 5 Niet lle functie heen inverse: één-één regel Als een horizontle lijn e grfiek slecht in één punt snijt, heeft eze een inverse. 4 Jnko Plly, BMW 9

6 2.8 Logritmische functies Zijn e inverse vn exponentiële functies. f (x)= x f ( x)=log x,> Geen negtief logritme!! 2.9 goniometrische functie f (x)=.sin(x+ c)+ met =mplitue 2π = perioe c=horiz. versch =vert. versch 3 Grfieken tekenen 3. Trnsformties y= f (x) y= f (x)+ verticle verschuiving y= f ( x c) horizontle verschuiving y= f (x) spiegeling ron x-s y= f ( x) spiegeling ron y-s 3.2 Logritmische ijking 3.2. SEMI- LOG plot y=. x log y=log. x Y =log log x Y =log x log Y =log. xlog y=x Y =x log y=x log y = x y= x. y= x y= x LOG-LOG plot y= x r log y=log x r Y =log log x r Y =log r log x Y =r X log y=x Y =X log y= log x log y=log x log y = logx y= logx. y=x. y=x 5 Jnko Plly, BMW 9

7 4 Recursie- en ifferentievergelijkingen 4. Recursief N t =N t. R - Tij is impliciet (niet f te lezen) - R is e groeifctor (rico vn e rechte) N t - = N t R = ouers kineren =cte 4.2 Expliciet N t =N R t - Tij is expliciet (flezen op x-s) - N is eginntl - R is e groeifctor R n f x R= n f x N Rn f x 4.3 Verschil Recursievergelijking N t = f N t met gegeven N Differentievergelijking N = f N t N t = gn t met gegeven N 5 Limieten 5. Bestne ieten v. x 2 =25 x5 5.2 Linker- en rechteriet x x x = + x v. x x = - x x x =onestn 6 Jnko Plly, BMW 9

8 5.3 Onestne ieten v. sin x=onestn x Wnt sin x vrieert tussen - en (ivergeert) 5.4 Rekenregels x c x c x c x c.f x= xc f x [ f x g x]= x c [ f x.g x]= xc f x f x gx = x c g x x c 5.5 Continuïteit x=c x c f x g x x c gx f x. x c ls g x f x= f c n is e functie continu in c 5.6 Limieten ij oneinig x f x= x p x qx = { L estt niet 5.7 Snwich theorem Als f x g x hx en f x= h x=l x c xc n g x= L x c v. e x.cosx x cos x e x e x.cosx e x x e x = e x = x e x.cosx= us x 5.8 Bijzonere goniometrische ieten sin x cos x = = x x x x ls ls ls gr p grq gr p= grq gr p grq 7 Jnko Plly, BMW 9

9 6 Afgeleien 6. Algemeen N N th N t N th N t = = t th t h Dit is e gemiele vernering = rico vn rechte oor [t, N(t)] en [t+h, N(t+h)] Voor ogenlikkelijke vernering moet het intervl zo klein mogelijk zijn, us h zo klein mogelijk N th N t h h f ' x= h f ' c= h f xh f x h f ch f c h,inien estt h =rico rklijn in punt C (Rechte) (Getl) vergelijking rklijn: y f c= f ' cx c vergelijking norml (loorecht op rklijn): Nottie: n y n e fgeleie: x n 6.2 Toegepste vooreelen y f c= f ' c x c 6.2. Afgeleie vn een constnte functie f(x)= f xh f x f ' x= = h h h h = h h = opm.: h mr NADERT lng rechts en links (ners elen oor nul!) Afgeleie vn een lineire functie f(x)=mx+ f xh f x m xh mx mxmh mx f ' x= = = = h h h h h h h opm.: h mr NADERT lng rechts en links (ners elen oor nul!) Men ziet t een constnte functie een ijzoner gevl is vn e lineire functie, met m=. 6.3 Prouctregel h' x= f ' x. gxg ' x. f x h x= f x.g x us rechthoek h x x= f x x. g x x mh h =m Alles elen oor Δx en ieten nemen h x x hx=opp opp 2 [ f x x f x] g x[ g x x g x] f x x 8 Jnko Plly, BMW 9

10 6.4 Quotiëntregel f ' x g x g ' x f x h ' x= g x Kettingregel f o g ' x= f ' [ g x] g ' x v. x 3x2 2 =2 3x Impliciet fleien Strtegie: Afleien nr x, n oplossen nr v. x vn y3 x 2 y x2 y 2 =x x y3 x 2 x y x x 2 y2 = x x x 2 x y 3 x 2 3 y 2 [ y x]4 y x x x = x 3 y2 x 2 x4y2 x y 3 y= y 2 x y3 = x 3 y 2 x 2 x4 y x y3 x 2 = 2 x y 3 x 2 3 y 2 x y x= y x x x x 2 y2 =4 y x 6.7 Afgeleien vn goniometrische functies 6.8 Afgeleien vn exponentiële functies x =x = x=e x eln ln x x xln = x ln x e g x =e g x g ' x 9 Jnko Plly, BMW 9

11 6.9 Afgeleie vn inverse functies x f x= of f ' [ f x] 6. Afgeleie vn logritmische functies x ln x= f x= f ' [ f x] = e ln x= x x log x= ln.ln x ln x x ln = x = ln 2 x ln f ' x ln f x= x f x v. x = x x ln 3x= 3 3x = x x ln x2 = 2x x 2 7 Toepssingen vn fgeleien in clculus 7. Men Vlue theorem Als f continu is over [,] en fleir over ],[ n estt een punt c Є ],,[ zot f f = f ' c 7.2 Stijgen of len f ' x x, f is stijgen over [,] f ' x x, f is len over [,] 7.3 Hol en ol f ' ' x x [,] f is hol over[,] f ' ' x x [,] f is ol over[,] 7.4 Reltieve extrem f ' c=en f ' ' c reltief minimum voor x=c f ' c=en f ' ' c reltief mximum voor x=c 7.5 Buigpunten f ' ' c=en f ' ' vernert vnteken x=cis uigpunt 7.6 Regel vn l'hospitl f x= g x= x x x ls n f x= x x x f x g x =L f ' x g ' x =L g x= v. x2 x2 x 6 64 x 2 4 = x 6 64 x 2 4 = x 2 MAAR 6 x 5 2 x = =6 23 =48 Jnko Plly, BMW 9

12 7.7 Lineristie Over een kort intervl kn e rklijn e oorspronkelijke functie eneren. L x= f f ' x f x v. Wre vn 65=? We weten t f x= x en f ' x= 2 x en kennen 64 in e uurt vn 65. L x= f f ' x = f 64 f ' =8 6 =8,625 8, Asymptoten 8. Verticle symptoot f x=± of f x=± x=cva xc + x c - Kortom: nulpunten vn e noemer ie geen nulpunten vn e teller zijn 8.2 Openingen Nulpunten vn e noemer ie wel nulpunten vn e teller zijn 8.3 Horizontle symptoten x f x= of x f x= y= HA Kortom: gerg vn functie nr oneinig, us iet nemen. (Coeff. Hoogste gr teller/ coeff. Hoogste gr noemer) 8.4 Schuine symptoot Enkel ls: gr teller = gr noemer + Eucliische eling uitvoeren, rest gt nr ij x oneinig Jnko Plly, BMW 9

13 9 Integrlen 9. Riemnn som f x x= P n k= f c k x k - f(x) is het integrn - is e onersom - is e ovensom - c k is het mien vn Δx k - c k. x k = Opp. Rechthoek - som v. Opp= integrl 9.2 Eigenschppen f xx= f xx= f xx k f xx=k f xx k=cte [ f xg x]x= f x x g x x c f xx= f xx c f x x ls f x over [,] f x x gelt ls f x g x over[,] gelt f x x g x x ls m f x M over [,] gelt m f xx M 9.3 Funmentele stelling vn e clculus () x Als f continu is over [, ], n is e functie F gegeven oor F x= continu over [, ] en fleir over ], [ met x F x= f x. M..w. Is een integrl het inverse vn een fgeleie. f uu x is 9.4 Funmentele stelling vn e clculus (2) Als f continu is over [, ] n gelt vn f(x), zo t F'(x)=f(x). f x x=f F wr F(x) e primitieve functie is 2 Jnko Plly, BMW 9

14 9.5 Primitive functies (nti-fgeleien) x x F x= f uu= f u u f uu=cg x Primitieve functies vn eenzelfe functie f(u) verschillen onerling slecht in een constnte (C). f xx oneple integrl x =C 9.6 Formules voor integrlen f uu 9.7 Toepssingen 9.7. Oppervlkteerekening Als f en g continu zijn over [, ] en f(x) g(x) x Є [, ] n is e oppervlkte tussen f en g over [, ] gelijk n A= [ f x gx] x Cumultieve vernering N = f t t Definitie oneple integrl (9.5) N t t = f u uc t N t= f uuc t N t= f uun N t N = f uu t t N t N = N u u C=? N = f uuc =C=C N(t) N() is e cumultieve vernering (vn popultiegrootte tussen en t) 3 Jnko Plly, BMW 9

15 9.7.3 Gemiele wren Als f continu is over [, ] n is e gemiele wre vn f over [, ] f gem = f xx Ook estt er een punt c Є [, ] zot V = Volume vn omwentelingslichmen [ f x] 2 x 9.8 Sustitutie ls oplosmethoe f [ g x].g ' xx= f uu Werkwijze: x ln x x u=ln x u x = A x=x u x f c = x ln x = xu xu= u ln u c ln ln xc u Opm: Bij eple integrlen: ook grenzen npssen u=x 3 x u 2 3x v. 2 x 3 x x x =3 x2 BOVENDIEN ls x= u=2 ls x=2 u= =ln ln 2=ln u 2 u [ln u ] 2 2 =ln 5 f x x 9.9 Splitsen in prtieelreuken ls oplosmethoe 9.9. Noemer evt verschillene fctoren met nulpunt xx A x B x = Ax B x AB x A = A= xx xx B= x x = x x Noemer is een prouct vn gelijke fctoren met nulpunt x x A 2 x B A x = 2 x x B AxB Ax A B 2 x 2= = A= x 2 x 2 B= x ) x = 2 x x 2 2) x 2 x A x B x C 2 x Noemer met verschillene fctoren zoner reëel nulpunt 2 x 3 x 2 2 x 2 x 2 2x 2 A xb x 2 2 C xd x Noemer met gelijke fctoren zoner reëel nulpunt x 2 x x 2 A x B 2 x 2 C xd x Jnko Plly, BMW 9

16 9. Prtiële integrtie ls oplosmethoe u v=uv v u v '=sin x v= cos x v. x sin x u=x u'= u v=uv v u=x cos x cos x = x cos xsin x 9. Hulpmieltjes voor e oplossing vn integrlen Herschrijf e integrl: tn x= sin cos x Vereenvouig integrl Herschrijf u: u=2x- x=/2(u-) x 2 x Vermenigvulig met (Prt. Integreren): u= f(x), v'= Herhlelijk integreren (sin, cos, e) Eucliische eling ij rtionle functies + x x 2 = x2 2 x2 = 2 x2 meestl: u=veelterm, ln, Bgtn, Bgsin.. meestl: v=sin, cos, e x... x 2 2 x5= x 2 2 x4=x 2 4 Differentil vergelijkingen. Algemeen 2 y v. x = x y is een vergelijking ie e vergelijking vn een fgeleie functie evt. 2 x Differentil vergelijkingen vn e vorm = f x g y woren opgelost m..v. scheiing vn x vrielen. = f x g y x g y x = f x u ' x= f x gux gux u' xx= f xx g y = f xx Delen oor g(y) stel y= u(x), n is / x = u'(x) integreren nr x g(u(x)) = g(y) & u'(x) x = 5 Jnko Plly, BMW 9

17 .2 Pure time vergelijkingen Enkel fhnkelijk vn e tij (x) x = f x = f xx y= f x x.3 Autonome vergelijkingen =g y x g y =x.3. g y=k y =k x y y y = k x ln y =k xc y =e k xc y =e C e k x y=±e C e k x y=c. e k x met C=±e C.3.2 g y=k y y = y y = y = k x 2 y =k xc y= k xc y y = k x oplossen met prtieelreuken (9.9) [ln y ln y ]=k xc [...] k x C e y= C e k x.4 Allometrische groei L L t =k L 2 L 2 t ls k = isometrisch ls k llometrisch k Integreren geeft: L =C L 2 6 Jnko Plly, BMW 9

18 Mtrices en lineire lger. Stelsels vergelijkingen Stelsels woren opgelost oor sustituties, eintie of gelijkstelling..2 Het egrip mtrix [ 2 n met m = # rijen n n = # kolommen m m2 mn] m x n e immensie vn e mtrix.3 Mtrix trnsponeren A=[ ] 3 6] A '= [ 2 3 Geruikt voor etere leesrhei in teksten..4 Bewerkingen met mtrices.4. Optellen AB=B A ABC =A BC A=A =nulmtrix.4.2 Vermenigvuligen!! Volgore elngrijk!!!! # kolommen A = # rijen B!! Als A=[ ij ]m l Komt neer op vermenigvuligen vn i e rij met j e kolom. en B=[ ij ]l n DAN C= AB m n en [c ij ]= k = l ik kj ABC= ACBC ABC = AB AC ABC =A BC A= A= A n n A k =A k A= A A k v. A 2 =A A A 3 = A A A 7 Jnko Plly, BMW 9

19 .5 Eenheismtrix [ Vermenigvuligen met eenheismtrix ] A I =I A=A I k = I k Z levert geen vernering op..6 Inverse mtrix Als A een inverse mtrix A heeft, gelt A A A A= I Inien A geen inverse mtrix A heeft, noemt men A singulier, inien wel heet A nonsingulier. A = A AB =A B Als A=[ ] n A = [ ] eterminnt.6. Berekenen vn inverse mtrix [ c ] [ e f g h ] omvormentot [ e f.7 Leslie Mtrix.7. Algemeen c ] g h] = [ N # -jrigen N # -jrigen N t # 2-jrigen =[ N 2 N m t] # m-jrigen N t=p N t N 2 t= P N t Antl -jrigen volgen jr = ntl -jrigen ie it jr overleven met N m t=p m N m P e overlevingskns. N t=f N tf N t...f m N m t Antl -jrigen volgen jr=ntl nkomelingen vn lle generties it jr met F e vruchtrheiscijfer. F... F m F m P... L=[F ] P... N t=l N t P m.7.2 Stiele leetijsvereling Als men herhlelijk e Leslie-mtrix uitvoert, stelt men volgene relties vst. 8 Jnko Plly, BMW 9

20 q t= N t N t q t= N t t N t} N pt= t N t N t =cte q = q =cte t verhouing -jrigen over totl = leeftijsvereling De grootste eigenwre eplt e groei vn e popultie ij een Leslie mtrix. De overeenkomstige eigenvector is e stiele leeftijsvereling..8 Vectoren x=[ x x 2] x=[ r cos r sin ] x=[ x x 2] [, y= y y 2] x 2 y 2] x y=[ x y x=[ x x 2] r sin ] = [ x = x 2 x Lineire feeling [ ][ x x 2] [ = x x 2] enkel uitrekken/inkrimpen [ x x 2] [ = r cos R cos sin rsin ] =[ sin cos ] R [ r cos r cos cos sin sin r sin cos cos sin ] [ = r cos r sin] geri over een hoek θ. Eigenwren en eigenvectoren Als A een vierkntmtrix (n x n) is, n is een niet-nulvector x t voloet n eigenvector vn mtrix A en is λ een eigenwre vn mtrix A. A x= x een.. Eigenwren en eigenvectoren erekenen A x= x A x x= A x I x= A I x= et A I = zot x et[ c ] [ ] [ =et c ] = 9 Jnko Plly, BMW 9

21 v. A=[ ] et[ ] = = =3 of 2 = 2 =3 [ ][ x x 2] [ = ] 2 x 7 x 2 = 2 x 7x 2 =} x =, x 2 = 2 [ ] u = 2nloog Grfisch: U =[ U 2 =[ U U ] U c U ] Als 2 n zijn u en u 2 lineir onfhnkelijk. Gevolg: Men kn elke vector x schrijven ls lineire comintie vn twee eigenvectoren rightrrow x= u 2 u 2. Toepssing: Mcht vn een mtrix ml een vector A n x= u 2 2 u 2 A=[ 2 vrg : A 3 2] x met x=[ 4 ] = u =[ { ] 2 =4u 2 =[ 2 3] [ 4 ] [ ] = 2[ 3] 2 { = 4= 2 2 = 3 2 { =2 2 = A x=2 [ ] [ 2 3] [ 4 = ] 2 Jnko Plly, BMW 9

22 2 Functies met meer vrielen 2. Algemeen v. f x, y=sin xcos y De functie f is fhnkelijk vn x én y. Functies met twee vrielen woren voorgestel op een rieimensionl ssenstelsel. f x, y=sin xcos y 2.2 Prtieel fgeleien Als f een functies is met twee vrielen x en y, n is e prtieel fgeleie nr x gelijk n f x, y f xh, y f x, y = f x x x, y= h h en e prtieel fgeleie nr y gelijk n f x, y f x, yh f x, y = f y y x, y= h h Prktisch komt het overeen met één vriele vstzetten en ehnelen ls een constnte en fleien nr e nere vriele. f x, y=x 2 ysin x f x, y =2 y xcos x v. x f x, y =x 2 y 2.2. Prtiële fgeleien vn een hogere ore f y x x, y= 2 f x y = f x f y in it gevl eerst fleien nr y, n nr x. 2.3 Rkvlkken Vergelijking vn het rkvlk z: z z = f x y, x x x f x y, y y y z= f x, y=4x 2 y 2 punt,2,8 f =8x,2,88 =8 x v. f =2y,2,82 2=4 x z 8=8 x 4 y 2 8 x4 y z=8 2 Jnko Plly, BMW 9

23 2.4 Differentieerrhei De lineire enering vn f x op x= x is L x= f x f ' x x x De fstn tussen f x en L x is f x Lx = f x f x f ' x x x Delen we e fstn oor e fstn tussen x en x, nmelijk x x vinen we t f x Lx x x = f x L x x x = f x f x f ' x x x = f x f x f ' x x x x x f x f x Vervngen we f ' x oor en e iet neemt, krijgt men x x f x L x x x x x =. We zeggen t f ifferentieerr is, ls het hiern voloet. Voor functies met twee onfhnkelijke vrielen gelt t ze ifferentieerr zijn in x, y f x, y Lx, y wnneer: = x, y x, y x x 2 y y 2 Voor L x, y zie wt volgt 2.5 Linerisering Als f ifferentieerr is in x, y n is e lineristie gegeven oor: L x, y= f x, y f x y, x x x f x y, y y y De enering L x, y f x, y heet stnr lineire enering of rkvlkenering. 2.6 Vector vlue functions Wt ls f :R n [ R m f x, x 2,..., x n x x..., x, 2, n f 2 x, x 2,..., x n ]... f m x, x 2,..., x n Concreet voor f :R 2 R 2 x, y[ f x, gx, y] De lineristie is f x, y= f x, y f x, y x g x, y= gx, y g x y, x x, y] [ = f x y, g x, y ] [ L x, x, y y=[ L x, y=[ f x, y gx, y ] [ f x, y x x f x y, y y y x x g x y, y y y f x, y x x x f x, y y y y ] g x, y x x x g x y, y y y f x, y ] x y gx, y g x, y [ x x y y ] x y JcoiMtrix 22 Jnko Plly, BMW 9

24 f i :R n R m,i=,2,.., n x, x 2,..., x n =[x x 2 n][ f x, x2,..., xn f 2 x, x 2,..., x n ] x f m x, x 2,..., x n f f... x x n f Jcoi=[ ] m f... m x x n Lineristie vn f in het punt x *, x 2,...,x n * is n f x *,..., x n * x x* L x *,..., x f n *=[ 2 x *,..., x n * J... x *,..., x n f m x *,..., x n *[ *]... x *] n x n 3 Evenwichten en stiliteit 3. Evenwichten vn ifferentievergelijkingen x t = f x t t=,,2,... Vste punten: x= f x Anlytisch x t = f x t x t =x t Grfisch (snijpunten vn 2 rechten) 3.2 Stiliteit vn evenwichten vn ifferentievergelijkingen Een evenwicht x* vn x t is stiel ls f ' x Bewijs: x t =x*z t x t = f x t = f x *z t L x= f x* f ' x* x x * L x* z t = f x * f ' x * z t x t =x*z t f x* f ' x * z t z t = f ' x*z t Linerisering in x= x* sustitutie vn x= x* z t evenwicht, us: f x *= x*, x* n schrppen Lineire enering Vorm vn exponentiële groei y t =R y t met oplossing y t = y R t Voor R gelt R t =. Hier is R = f ' x *. x Dus ls f ' x * zl z t neren nr z *= en us x t x ls t. x t = x2 t=,,2,... v. f ' x= 5 2 x= 5 x = 2 stiel of en x= 5 2 = 5 2 onstiel 23 Jnko Plly, BMW 9

25 3.3 Evenwichten vn ifferentilvergelijkingen Als y een evenwichtspunt is vn x =g y en us g y= n is: y stiel ls e functie terugkeert nr y n een kleine storing y onstiel ls e functie niet terugkeert nr y n een kleine storing 3.4 Stiliteit vn evenwichten vn ifferentilvergelijkingen 3.4. Anlytisch Bewijs: Stel y is een evenwichtspunt is vn x =g y en us g y= y= y z x y= x yz= x z z =g y z x L y=g y g ' y y y L y=g ' y y y L yz=g ' y yz y=g ' y z g ' yz g y z y=cte Linerisering in Sustitutie vn us fgeleie is nul Lineire enering y= y y= y z Stel =g ' y, n is z=g yz= z x met oplossing: z x=z e x. Als, is zx= x. Als keert e functie terug nr hr evenwichtswre stiel evenwicht Als keert e functie niet terug onstiel evenwicht. Gevolg uit z x=z e x ls, hoe groter λ, hoe sneller het weggt vn e evenwichtswre ls, hoe negtiever λ, hoe sneller het terugkeert nr evenwicht. λ is een eigenwre en is e richtingscoëfficiënt vn e rklijn vn g(y) in y Grfisch Is e richtingscoëfficiënt vn e rklijn vn g negtief (lene functie) in een evenwichtspunt stiel evenwicht y= yz, ls z y zl stijgen x ls z y zl len x Boven x-s: pijltjes nr rechts Oner x-s: pijltjes nr links y, ls z y zl len x ls z y zl stijgen x Evenwicht stiel ls pijltjes er nrtoe n 24 Jnko Plly, BMW 9

26 3.5 Evenwichten en stiliteit ij stelsels vn ifferentilvergelijkingen (lineir) [ x x 2 t] [ = ] [ x t x 2 t ] xt =xt is het evenwicht en it geeurt ls xt =[ ] We schrijven x=c u c 2 u 2 xt =c t u c 2 2 t u 2 (vector=lineire comintie vn eigenvectoren,.) Als en slecht ls én 2 gelt x t=[ x ] Stiel Opm. en 2 R et A STABIEL v. [ x t x 2 t] [ =,4,2,3,] [ x x 2 t] [ is een evenwicht. ],4,2 et[,3,],4,,2,3 met { =, 2 =,2} STABIEL 3.6 Evenwichten en stiliteit ij stelsels vn ifferentilvergelijkingen (niet-lineir) { x t=f x t, x t 2 x 2 t=g x t, x 2 t met x *, x 2 * ls evenwichtspunt t gelt voor x *=F x *, x 2 * en x 2 *=G x *, x 2 * x t =x *zt en x 2 t =x 2 *z t L x, x 2 = F x *, x 2 * F x *, x 2 * x =F x *, x 2 * F x *, x 2 * x x *z t F x *, x 2 * F x *, x 2 * x x * z t F x *, x 2 * x L 2 x, x 2 =G x *, x 2 * Gx *, x 2 * x =G x *, x 2 * G x *, x 2 * x x 2 *z 2 t Gx *, x 2 * Gx *, x * 2 x x 2 * z 2 t G x *, x 2 * x x x * F x *, x * 2 x 2 t z F x *, x * 2 x 2 z t F x *, x 2 * x 2 z 2t z t F x *, x * 2 x 2 x x * G x *, x 2 * x 2 z t G x *, x * 2 x 2 z t Gx *, x * 2 x 2 z 2t z t Gx *, x * 2 x 2 x x * 2 2 z 2t z t 2 x x * 2 2 z t 2 z t 2 25 Jnko Plly, BMW 9

27 In mtrix vorm [ z t z 2 t] [ F x*, x2* x G x *, x 2 * x F x *, x 2 * x 2 G x *, x * 2 x 2 ] [ zt z 2 t] Men herkent hier e Jcoi-Mtrix. Anloog n e lineire stelsels (3.5) kunnen we esluiten t ls eie eigenwren vn e Jcoi-Mtrix kleiner zijn n in hun solute wre, het evenwichtspunt stiel is. Opm. en 2 R et A STABIEL 26 Jnko Plly, BMW 9