VEREND GESTEUNDE STAVEN

Transcriptie

1 Rappornr Bl VERED GESTEUDE STAVE --== o -+-,--= o, o ==---rn-o---4--,-= o --I Deel I Hoofdrappor

2

3 ederlandse organsae voor oegepas nauurweenschappeljk onderzoek TO Rappor IBBC Insuu TO voor Bouwmaeralen en Bouwconsruces Posbus AA Delf Lange Kleweg GH Rswjk Telefoon Telefax Telex bbc nl Tel VERED GESTEUDE STAVE Rappornr BI Daum Projecnr Aueur A Koser Trefwoord Sable, Knk WP-onderwerp 24 Serke en Sable Kader Saalbouwkundg Genooschap Smulerngssubsde EZ IBBC-TO maak deel ul van de Hooldgroep Bouw en Meaal TO Te Dl rappor man u,sluled,n zqn gnllpnl n derdr>n le nrnge w<llcr versrek He gebruk voor reclamecoele,nden en/of vermengvu,,g,nr bv algemen;l drsrbulle rs ursluend mogellk na vooraf door TC schrfeljk verleenje oesemmng

4

5 blec IHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave deel I Hoofdrappor IHOUDSOPGAVE WOORD VOORAF IV SYMBOLEIJST V ILEIDIG 2 PROBLEEM- E DOELSTELIG lteratuuroderzoek Inledng Oplossngsmehoden Oplossngen mbv dfferenaalvergeljkngen Bepalng Eulerse knkkrach van een verend geseunde kolom Afledng en oplossng van de DV voor een neel ugebogen kolom Toepassngen en ubredngsmogeljkheden Veerserke Momenen en dwarslcrachenverdelng Invloed van roaeveren en de orsesjfhed van de kolom Meerdere kolommen Verend geseunde plaa Schemaserngen en benaderngsformules Schemaserng en Benaderngsformules Imperfeces Imperfeces van de kolom Excenrce van de verende onderseunng Excenrce n langsrchng van de kolom Excenrce n dwarsrchng van de kolom Spelng n de verbndng kolom - onderseunng He elaso-plassch, plassch gebed De gemodfceerde E-modulus heore Fceve bugsjfhed Reduceren van hoge benodgde veersjfheden Onderzoek mbv de endge elemenenmehode Reserende concluses en/of opmerkngen

6 nummer B-B7-59 blad 4 VOORSTEL ODERZOEK E MODELVORMIG 3 4 Voorsel onderzoek 42 Modelvormng DE GEMODIFICEERDE E-MODULUS THEORIE E EE AAGEREIKTE OPLOSSIG 32 5 De gemodfceerde El-modulus heore 32 5 Algemeen E,-a relaes 52 Parabolsche E -a relae Parabolsche a- relae Oplossngen voor k,;r - relae 4 53 Parabolsche E, -a relae Parabolsche E, -a relae; knkcurve ECCS(b) 533 Parabolsche a- relae; Knkcurve ECCS(b) Parabolsche E, -a relae; fceve knkcurve ECCS(b) 5 54 Resume en concluses Aa ng ereke oplossng UMERIEKE VERIFJCATlE MET DIAA 67 6 Algemeen Schemaserng consruce Modelvormng bnnen DIAA Elemenype en elemenenverdelng Resspannngsverdelng Geomersche mperfece Pn-ended kolom en de vervangende geomersche mperfece IJkng Verend geseunde kolom Veersjfhed Resulaen Snap-back Verwerkng en presenae van de resulaen e-lneare regresse analyse BO 6422 Resulaen n abellen en grafeken Besprekng DIAA resulaen Concluses Verfcae Veerserke Besprekng oplossngen Voorsel relae k cr - X, 7

7 nummer BI b]ad 7 SAMEV AITIG COCLUSIES 8 VOORSTEL VOOR VERVOLGODERZOEK LITERATUUR 3 4 Inhoudsopgave Deel II Bjlagen IHOUDSOPGAVE WOORD VOORAF SYMBOLELJJST IV V BIJLAGE Rekenvoorbeeld 2 Rekenvoorbeeld 2 3 Behandelng van publcaes bereffende verend geseunde kolommen 4 Resulaen DIAA berekenngen

8

9 nummer BI-B7-59 blad I\ lroord Vooraf D rappor s he resulaa van een onderzoek n he kader van de endsude aan de afdelng Cvele Technek van de Technsche Unverse Delf, afsudeerrchng Mechanca en Consruces, sece Saalconsruces He onderzoek s verrch n dens van de afdelng Saalconsruces van he TO-Insuu voor Bouwmaeralen en Bouwconsruces (TO-IBBC) e Rjswjk Onderzoek s verrch naar de sable van op druk belase verend geseunde saven, me name naar de benodgde sjfhed en serke van de verende onderseunngen n he elaso-plassch gebed Theoresche oplossngen zjn vergeleken me geomersch en fyssch nelneare compuerberekenngen, ugevoerd me he endge elemenenpakke DIAA He onderzoek sond onder ledng van Prof dr r J Wardener Prof r J Weveen (TV-DELFT) (TV-DELFT; TO-IBBC) me begeledng van r FSK Bjlaard r HH Snjder r H de Jong (TO-IBBC) (TO-IBBC) (TU-DELFT) Me dank aan bovengenoemden voor hun waardevolle advezen Delf, me 9BB A Koser

10

11 nummer BI blad V Symbolenljs Symbool Beekens A E F Er FD FE F Fo Fv F p I M Q L Oppervlake van de profeldoorsnede Elascesmodulus van saal Tangen-modulus Krach Draagkrach volgens DIAA berekenngen Eulerse knkkrach De nsableskrach Draagkrach ongeseunde kolom De krach de een verende onderseunng moe kunnen weersaan De normaalkrach n een saaf, waarbj de grensoesand van algehele nsable van de saaf opreed Traaghedsmomen Bugend momen ormaalkrach Relaeve nsablesspannng ak / a 8 volgens de ECCS Dwarskrach He aanal verend geseunde kolommen, gekoppelde kolommen Cl e k l lk m n p w,2 b,2 C,2 kkr k kr (E) Wo Onderlnge afsand van de verende onderseunngen Coëffcën Coëffcën Coëffcën Excenrce Veersj fhed Kreke veersjfhed Eulerse kreke veersjfhed Lenge van de saaf, gemeen ussen de scharnerend opgelegde enden Knklenge He aanal velden, waarn de saaf door de verende onderseunng word verdeeld He veldnummer (eerse veld 4 n = ) Verhoudng ussen de Eulerse knkkrach en de aanwezge normaalkrach De verhoudng ussen de proporonalesgrens en de vloegrens Ubugng Inële ubugng

12 nummer BJ blad VI f; a À rr ( ae a" a;; a p À "" Às Relaeve rek ormaalspannng Eulerse knkspannng De rekenwaarde voor de vloegrens De nsablesspannng Proporonalesspannng Slankhed van de saaf De relaeve slankhed van de saaf Een parameer de de nvloed van de rekenwaarde vloegrens weergeef (Aa = rrve/ a 9 ) De relaeve syseemslankhed van de saaf P Een funce van m

13 nummer BI blad Inledng In veel consruces komen op druk belase saven voor Deze saven moeen voldoende serk en sabel zjn Conrole op nsable (oa knk) vnd plaas door he bepalen van de nsablesspannng ( ak ), welke groer moe zjn dan de n de saaf aanwezge rekenspannng De draagkrach van een op druk belase saaf kan worden vergroo door de saaf e onderseunen (fg ) Crucale vraag s echer hoe sjf en serk de onderseunngen moeen zjn, zoda de saaf de gewense draagkrach berek fg î n- El 2 m-2 m-! a a l=ma L Schemaserng verend geseunde saaf Voor he berekenen van de benodgde veersjfhed (k) word bj de hudge mehode ugegaan van de lneare elascesheore Door nu de dfferenaal vergeljkng (DV) van he evenwch voor elk veld op e sellen en op e lossen mbv de juse rand- en overgangsvoorwaarden, word de relae ussen de Eulerse knkkrach en de veersjfhed verkregen (fg 2) îl nel a a 5 m2 2 Fg kl -nei Eulerse knkkrach als funce van de veersjfhed U fguur 2 bljk nu da de Eulerse knkkrach na een bepaalde veersjfhed ne meer oeneem Deze veersjfhed word de kreke

14 nummer BI blad 2 veersjfhed (k kr ) genoemd De formule voor de kreke veersjfhed ([25]) n he elassche gebed lud ( ) Waarn m He aanal velden, waarn de saaf door de verende onderseunng word verdeeld Een funce van m; ( = l 2( + cos() m Is de veersjfhed van de onderseunngen groer dan of geljk aan de kreke veersjfhed, dan s de knklenge (l k ) geljk aan de veldlenge (a ) Inden de veersjfhed lager s dan de kreke veersjfhed, dan word de relae ussen de Eulerse knkkrach en de veersjfhed gegeven door krommen Deze krommen verschllen maar weng van reche ljnen, zoda ook voor d gebed eenvoudge formules zjn op e sellen Formule () kan worden herschreven door X/= /a E n () e subsueren Zo vnden we de relae ussen de slankhed van de saaf en de kreke veersjfhed (2) Ugaande van een slankhed van een kolom kan de nsablesspannng en de benodgde veersjfhed worden berekend In bjlage s van deze rekenmehode een voorbeeld gegeven Voor slanke saven bljk deze op de lneare elascesheore gefundeerde mehode goede resulaen e geven, maar ne voor de meer gedrongen saven (X s ) Herbj lever deze mehode, naarmae de slankhed klener word, seeds groere waarden op voor de benodgde veersjfhe d In bjlage 2 s een voorbeeld gegeven, me reële waarden voor de verschllende parameers He bljk da de benodgde kreke veersjfhed me een facor 2,25 daal, als de draagkrach me 5% word gereduceerd (X=24X=3, nsableskromme c ) D effec doe zch serker voor naarmae de slankhed klener word De benodgde kreke veer sjfhed bj X s =O s nameljk een facor 4 groer dan bj X s =2 D erwjl de draagkrach van bede saven nagenoeg geljk s

15 nummer EI blad 3 g,,,,;,,,;,;;;;;;;;;;;;;;;;c;,j oo 2 o, os oa 2, s s 2 \ID Fg 3 Relae ussen de ECCS nsableskromme c en de kreke veer sjfhed He rekenvoorbeeld s grafsch weergegeven n fguur 3 Heru bljk ook dudeljk he al aangedude probleem

16 nummer BJ blad 4 2 Probleem- en doelsellng De hudge mehode voor he berekenen van de benodgde sjfhed van de verende onderseunngen van verend geseunde kolommen, een Eulerse knkberekenng, lever naarmae de slankhed van kolommen klener word onevenredg groe waarden op voor de benodgde veersjfhed, doorda he maeraalgedrag ne meer lnear-elassch s He doel van d onderzoek s dan ook e komen o een complee rekenmehode, welke voor elke slankhed van een saaf realssche waarden geef voor de sjfhed en serke van de verende onderseunngen, gebaseerd op juse ugangspunen (maeraalgedrag, prakjk ec)

17 nummer BI blad 5 3 Lerauuronderzoek 3 Inledng He lerauuronderzoek bereffende verend geseunde kolommen heef de volgende doelsellngen ) He opdoen van deeën, de kunnen worden gebruk bj he oplossen van he geselde probleem 2) He verkrjgen van een overzch van de "hudge sand van zaken" 3) He kunnen oesen van resulaen aan de lerauur 4) Een maner e vnden om een gevonden oplossng geschk e maken voor soorgeljke problemen, zoals bv kolommen de evens egen roae zjn geseund Van de publcaes bereffende verend geseunde kolommen ([ ),[ 2], [ 5]-[9],[22],[23],[26]-[29]) zjn daaroe samenvangen gemaak welke n bjlage 3 zjn opgenomen 32 Oplossngsmehoden In [ 7] en [27] word he probleem opgelos mbv evenwch- en vormveranderngsvergeljkngen, waarbj gebruk word gemaak van rand- en overgangsvoorwaarden Meer elemenar s de oplossngsmehode mbv dfferenaalvergeljkngen (par 33) To slo bljk ook de energe mehode geschk e zjn om d probleem op e lossen In [ 5] en [ 6] s deze mehode oegepas Bj deze dre analysche mehoden word meesal een homogeen selsel vergeljkngen verkregen, kenmerkend voor sablesproblemen Een ne rvale oplossng word verkregen door de deermnan geljk aan nul e sellen D led o een formule voor de relae ussen de Eulerse knkkrach en de sjfhed van de verende onderseunngen Een ne analysche oplossng s de endge elemenenmehode Deze word n enkele arkelen gebruk ([ ], [ 8]) He oepassngsgebed s ne, zoals bj voorgaande mehoden, beperk o he elassche gebed De mehode kan zowel n he elassche als he elaso-plassche gebed worden oegepas Een nadeel van deze mehode s echer da geen nzch word verkregen n de problemaek rondom de verend geseunde saven

18 nummer BI blad 6 33 Oplossngen mbv dfferenaalvergeljkngen 33 Bepalng Eulerse Jmkkrach van een verend geseunde kolom Beschouwd word een vervormde, neel reche kolom De vergeljkngen voor he momen en de dwarskrach luden als volg M = Efw" Q = M + Pw = Efw " + Pw (3) (32) He combneren van deze wee vergeljkngen lever de dfferenaalvergeljkng (DV) op van he evenwch, voor een op druk belase saaf Waarn rp 2 = F / EI w " " + cp2-; = (33) De algemene oplossng van deze DV, herschreven n een geschke vorm lud A, ( a sncpx - x smp a) En ( a snrp ( a - x ) - ( a - x ) snço a) ln = + a a + Cr,,x/a + Dn(a - x)/a (34) De consanen An, E n, Cr,, en D n kunnen worden bepaald mbv randen overgangsvoorwaarden De volgende overgangsvoorwaarden kunnen daarvoor worden gebruk ) Connule van de verplaasng w pv de veren 2) Connule van he bugend momen M pv de veren 3) Connule van de hoekverdraaüng w pv de veren 4) Evenwch van de dwarskrach Q pv de veren ad ) Connue van de verplaasng pv een knoop n + lever = Dn+ (35) ad 2) Connuïe van he bugend momen pv een knoop n+l lever Àn = En+ (36) Of sn(cpa) =, wa echer overeenkom me l k = a

19 nummer BI blad 7 ad 3) Connule van de hoekverdraang pv een knoop n en gebrukmakend van (35) en (36) lever B n+ [ - sn] - 2B n [ - sn] + B n - [ -sn] + Dn + - 2D n + Dn - = (37) Waarn = rpa ad 4) De formule van de dwarskrach (32) kan mbv (34),(35) en (36) worden herschreven o (3B) f _,, J l L Fg 3 Krachen de werken op knoop n Vercaal evenwch pv knoop n (39) Ugewérk lever d de volgende vergeljkng op -ka Dn rp a El (3) Een mogeljke oplossng voor B n en D n lud En = B(snn + cosn) {3) D n = D(snn + cosnl) (32) Subsue hervan n de vergeljkngen (3 7) en (3) lever de volgende vergeljkngen op B[(l - cos9-)( - sn) - ( - cos)] + D[l - cosl] = B[snçoa(l - cosl9-)] + D[f- ( - cosl9-)] = (33) (34) Waarn {3 = ka 3 2El

20 nurruner BI blad 8 Als randvoorwaarde geld da de kolom aan de uenden scharnerend s opgelegd, dus ) De verplaasng y =, voor x = O,l 2) He bugend momen M =, voor x = O,l D beeken da Bo,m+l = Dom+I =, en dus da de cosnus erm u de oplossngen (3) en (32) verdwjn Verkregen s nu een selsel homogene vergeljkngen Een ne rvale oplossng kan worden verkregen door de deermnan geljk aan nul e sellen D led o de volgende vergeljkng [( - cos-j)( - sn) - (l - cos)][- ( - cos!9-)] - sn(l - cos9-) 2 = O (35) Herschrjven me X = - cos(,,) = - cos(jrr/m) X2 -X[(l - cos)+ (3( - sn)/ 3 ] + (3(- cos)/ 2 = O (36) Waarn j =,2,,m- (He aanal halve snusgolven waarn de kolom uknk) Deze vergeljkngen (m- suks) geven de relae ussen de Eulerse knkkrach van de kolom en de sjfhed van de veren De vergeljkng de bj een bepaalde veersjfhed de laagse knkkrach oplever s maagevend (fg 32) lo r! 2 /_ -- 2 Sprr>9 BZr/3 Spnrq 2 ( eo OO 2 4 Fg 32 One and wo prnc nbonhp Relae relaeve veersjfhed {3 - Eulerse knkkrach

21 nummer BI blad 9 De kreke veersjfhed s de mnmum veersjfhed waarbj de knklenge van de kolom geljk s aan de afsand ussen de verende onderseunngen De kreke veersjfhed kan worden gevonden door n vergeljkng (36) voor de Eulerse knkkrach rr2 EI/ a 2 en voor j, m e subsueren De formule voor de kreke veersjfhed lud nu als volg = 2rr 2EJ [ + cos(] a 3 m (37) 332 Afledng en oplossng van de DV voor een neel ugebogen kolom De nële ubugng word veronderseld snusvormg e zjn en lud als volg (38) Waarn R = Amplude van een halve snusgolf c; = Coördnaaas vanaf he uende van de kolom, n de rchng van de kolom De DV van he evenwch lud nu E!w"(x) + Pu; (x) = E!wj(x) (39) De algemene oplossng s geljk aan formule (34) De parculere oplossng lud (32) Waarn De consanen kunnen nu wor den bepaald me dezelfde rand- en overgangsvoorwaarden als bj de neel reche saaf u onsaa echer een ne homogeen selsel vergeljkngen, waaru de consanen kunnen worden opgelos De uendeljke formule voor de ubugng van een verend geseunde, mperfece kolom lud w(x) = R[(9,J/ 2 )sn(n + x/ a)éj j - G[q(snx/a - (x/a)sn) + x/a]sn(n + )\ - G[q(sn(l - x/a) - ( - x/a)sn) + ( - x/a)]snn\] (32)

22 nummer BI blad Waarn R = R 2 / (3/ - 2 ) q(,9;) = ( - cos9;)/[( - cos) - ( - cos3j)( - sn)] 3 G(cx) = cos( )/ cos ( ) coso = _ [ 3 (cos3j - cos)q(, 3)Ef(45m m + ) j ka 3 = af/ EI Mbv Foureronwkkelng kan voor een wllekeurge nële ubugng van een verend geseunde kolom, de formule voor de ubugng n belase oesand worden bepaald 333 Toepassngen en ubredngsmogeljkheden 333 Veerserke De benodgde veerserke kan mbv de afledng van de DV voor een neel ugebogen kolom worden bepaald De veren worden geach spannngsloos aan de mperfece kolom e zjn bevesgd De krach de n de veren zal opreden s de bjkomende verplaasng maal de sjfhed van de onderseunngen De serke van de onderseunngen moe groo genoeg zjn om deze krach e kunnen opnemen [2) 3332 Momenen en dwarskrachenverdelng De ubugng van de verend geseunde kolom n belase oesand s nu bekend Door subsue van (32) n (3) en (32) kan he verloop van de dwarskrach en he bugend momen over de lenge van de kolom, worden bepaald [3] 3333 Invloed van roaeveren en de orsesjfhed van de kolom De DV (33) kan worden ugebred zoda hj meer "algemeen geldg" s aas bugknk kunnen verend geseunde kolommen ook bezwjken gv orse, orseknk en bugknk u he vlak De nvloed van he orderen van de kolom word beschreven door een exra DV Deze lud 2 lf n + lfn = (322)

23 nummer Bl blad Waarn a 2 = (Fl p / A - GJ)/ El w De DVs zjn onafhankeljk van elkaar als alleen orse of bugknk word beschouwd en kunnen dan afzonderljk van elkaar worden opgelos Bj orseknk zjn de DVs echer wel afhankeljk van elkaar De oplossngen kunnen op soorgeljke wjze als bj bugknk van een nële reche saaf (par 33) worden bepaald In de lerauur [ 5], [ 6], [], (6] en [7] s de nvloed van roaeveren en de orsesjfhed van een verend geseunde kolom voor een aanal specale gevallen onderzoch Enkele belangrjke concluses zjn ) Ook energe mehoden kunnen worden gebruk om he sablesprobleem van een door roae- en ranslae veren geseunde kolom op e lossen ([ 5]) Herbj word ook rekenng gehouden me verhnderde welvng en de orsesjfhed van de kolom 2) Inden de kolom ook door momenen aan de uenden word belas, dan bljk he "kreke" momen serk afhankeljk e zjn van de verhoudng ussen de roaesjfhed (om de saafas) en de ranslaesjfhed van de onderseunngen ([ 5 ]) 3) Voor profelen me een groe orsesjfhed verbeeren de resulaen serk ([ 6]) 4) Verhogng van de roaesjfhed egen orderen van de kolom, roaesjfhed egen bugng van de kolom en zjdelngse sjfhed van de onderseunngen led o verhogng van de Eulerse knkkrach Meerdere kolommen Bj he berekenen van de Eulerse knkkrach van doorgekoppelde kolommen kan dmv van een "schaalfacor", gebruk worden gemaak van de resulaen van een enkele verend geseunde kolom De schaalfacor geef de relae ussen de benodgde veersjfhed van een enkele verend geseunde kolom en de benodgde veersjfhed van doorgekoppelde kolommen Bj eenzelfde knkvorm en dus draagkrach (van de afzonderljke kolom), bljk da de benodgde veersjfhed van doorgekoppelde kolommen een facor 2( - cosa) (de schaalfacor) groer moe zjn dan de benodgde veersjfhed van een enkele verend geseunde kolom a s n deze facor afhankeljk van de wjze waarop de laase kolom aan de funderng s verbonden De wee mees voorkomende gevallen a = krr/ (M + l);k =,2,,M; nden kolom M evens verend gekoppeld s aan de "funderng"

24 nurruner BI blad 2 ex= krr/(2m + l);k =,3,,2M-; nden kolom M ne gekoppeld s aan de "funerng" 3335 Verend geseunde plaa In [4] word de DV vermeld en de oplossng behandeld van een door veren geseunde, axaal belase plaa De oplossngsmehodek s geljk aan de van verend geseunde kolommen Een relae word gevonden ussen de elassche knkkrach, de veersjfheden en de lenge- breede verhoudngen van de plaavelden Ook de benodgde veerserke kan op dezelfde wjze als n paragraaf 333 s behandeld, worden gevonden 34 Schemaserngen en benaderngsformules 34 Schemaserngen In de lerauur [ l], [25], [28] en [29] worden mbv vereenvoudgde schemaserngen van de verend geseunde kolom, benaderngsformules voor de kreke veersjfhed en de serke gevonden Deze benaderngsformules zjn vaak eenvoudg en dus goed n de prakjk e gebruken Een veel gebruk model s n fguur 33a weergegeven Men kom o d model door e sellen da als k;;?kar, de knklenge van de kolom geljk s aan de veldlenge (a ) Bugpunen van deze knkvormen bevnden zch pv de verende onderseunngen Tpv de onderseunngen kan dus geseld worden da w" = -M / EI = en er mag een fcef scharner worden geplaas De nvloed van mperfeces kunnen n rekenng worden gebrach door de saaf een begnexcenrce Wo (bv groo de n de rchljnen [25] oegesane mperfece, me l = a) pv de verende onderseunng e geven De bugpunen zullen zch dan n werkeljkhed ne meer exac pv de verende onderseunngen bevnden, waar n he model echer wel van word ugegaan De fou de herdoor onsaa s volgens [28] verwaarloosbaar klen M>v evenwchsvergeljkngen, waarbj de kolom word belas me de Eulerse knkkrach (lç = a ), kan een formule voor de kreke veersjfhed worden bepaald

25 nummer; BI blad 3 ; -- r _L Îv T fg 33 Vereenvoudgde schemaserngen Voor een alleen n he mdden verend geseunde kolom lud he momenen evenwch voor saafdeel (323) Subsue van F v veersjfhed op = kw n (324) lever de formule voor de kreke k 2FE = k,;r = - w + ) a w (324a) Soorgeljke evenwchsbeschouwngen van een door 2, 3 en 4 veren geseunde kolom, lever de volgende formules op voor de kreke veersjfhed k,;r = 3 FE ( w + l) a w = 34FE ( a ) (324b) (324c) " ) (324d) Deze formules bljken voor W o = overeen e komen me de kreke veersjfhed van een verend geseunde kolom, welke volg u een Eulerse knkberekenng De formules (325) a,b,c en d kunnen mbv abel 5 u [25] worden herschreven o mfe W o kr = w+ ) (325) De benodgde serke kan nu worden verkregen door de veersjfhed

26 nummer Bl blad 4 van de onderseunngen (mnmaal k,;r ) e vermengvuldgen me de bjkomende ubugng (par 333) Dus mfe Fv = w + w) (326) De groose waarden van k,r en F v worden verkregen als de nële ubugvorm affen s aan de knkvorm waarbj de kolom bezwjk In [23] word van een soorgeljk model ugegaan Herbj s aan elk scharner een nële ubugng w ( = / 5) gegeven ov he boven en onderlggende scharner (fg 32b) De volgende formule word gevonden voor de benodgde serke van de onderseunngen Fv = 2do n F a n - (327) Waarn n = F E F Word nu n formule (327) (d + d) vervangen door n/ (n - )w en F E door F dan bljk voor m = 2 formule (327) geljk aan formule (328) e zjn D klop, omda ook de modellen voor m = 2 me elkaar overeenkomen Opmerkeljk s da formule (327) voor m-+oo een wee maal zo groe waarde voor F v oplever dan formule (329) In [23] zjn de resulaen van DIAA berekenngen voor een broeksukconflgurae n een hoogspannngsmas weergegeven Herbj zjn verschllende mperfecevormen voor de randsaaf (de als verend geseunde saaf kan worden beschouwd) oegepas He bleek da de resulaen van de DIAA berekenngen, me als mperfecevorm he harmonca model, goed overeen kwamen me n proeven gevonden waarden Bj de expermenen was de grooe en de vorm van de mperfece ne geljk mperfece aan de n DIAA berekenngen oegepase He model van fguur 32a word n [ ] ugebred me roaeveren pv de verende onderseunngen, de de kolom legen orderen seunen Bede veren seunen de kolom op een bepaalde afsand vanaf he zwaarepun Mbv evenwchsbeschouwngen word een relae gevonden ussen de ranslae- onderseunng (en), bj kreke belasng en roaesjfhed van de verende Toepassng van hezelfde model op verend geseunde lggers ([ ], [7]), waarbj een normaalkrach (a 8 A/2) word veronderseld n de drukflens aan e grjpen, lever een benodgde veerkrach op Deze veerkrach s volgens numereke berekenngen van [ 8] en expermenen een facor wee e klen De oorzaak hervan word ne n hel arkel [7) vermeld Opgelos word d door de nële mperfece wee maal zo groo e maken

27 nummer B-B7-59 blad Benaderngsformules In [ 7] word een dreal benaderngsformules vergeleken me de oplossng volgens een Eulerse knkberekenng Inden a klen s ov l (F cr 75FE(l = a)) dan s de formule van een connue verend geseunde kolom een goede benaderng van de Eulerse knkberekenng van een door een endg aanal veren geseunde kolom De formule voor een connue verend geseunde kolom lud k = 25F cr a l c 2 (328) Opm Deze formule geef voor alle slankheden een goede benaderng van de benodgde veersjfhed Is a ongeveer geljk aan l (F cr F E (l = a )), dan geef een door Wner onwkkelde benaderngsformule goede resulaen voor de benodgde veersjfhed Deze benaderngsformule lud k = 4 Fcr lc (329) Opm Formule (37) geef voor de veersjfhed de nodg s voor klenere Eulerse knkkrachen (F cr 5F E (l = a )) zeer conservaeve waarden Een derde formule, gebaseerd op de wee voorgaande; geef een goede conservaeve benaderng voor de benodgde veersjfhed Deze lud - a 4 Fcr a k - [25 + l5( f7 ]- 2 - k l cr (33) Een vrj omslachge benaderng voor de relae ussen de Eulerse knkkrach en de veersjfhed word n [ 9] gegeven Her word een gemodfceerde veersjfhed F u oegepas, volgens F u = (ka 3 )/ (2EI) (33) Voor F u word de formule van een connue verend geseunde kolom oegepas (ze form (329), + opm) Voor F u => 25 word geseld da F cr = FE(l = a ) Voor ussenlggende waarden van F u word de volgende benaderngsformule vermeld F cr F E (l = a) = Per = 5+2Fu (332) Ugaande van een Eulerse lmkberekenng vnd dezelfde schrjver mbv een sandaardprocedure, n een laer gepublceerd arkel [ ], een benaderngsformule Deze formule s geldg voor elke knkvorm en

28 nummer BI blad 6 s onafhankeljk van he aanal verende onderseunngen De formule lud Waarn k a 5 fj = 2El fj = = Àa = a F / EI 5 ( - cos) (vl + vsmt )2 (333) Formule (334) kan dmenseloos worden gemaak me p = F / FE = 2 / rr2 en s = (32w De nu verkregen formule kan op zjn beur goed worden benaderd door een kwar crkel Zo word een eenvoudge oplossng gevonden voor een complex probleem 35 Imperfeces 35 Imperfeces van de kolom In veel publcaes word de relae onderzoch ussen de Eulerse knkkrach van een verend geseunde kolom en de veersjfhed van de onderseunngen De werkeljke draagkrach van de kolom s echer gv oa nële mperfeces en resduele spannngen klener dan de Eulerse knkkrach ln [25] word aangegeven hoe vanu de Eulerse knkkrach, va de knklenge, de slankhed van de kolom en een knkcurve de nsablesspannng van een verend geseunde kolom kan worden bepaald Op een Eulerse knkberekenng en dus op de relae ussen de veersjfhed en de Eulerse knkkrach hebben mperfeces geen nvloed In een aanal publcaes ([28], [29]) word echer mbv een model (ze ook par 34), waarn de kolom neel ugebogen word veronderseld, een formule voor de kreke veersjfhed bepaald In deze formule s de kreke veersjfhed wel afhankeljk van nële mperfeces De lerauur s dus, wa de nvloed van nële mperfeces op de benodgde veersjfhed beref, me elkaar n egenspraak Wel algemeen geaccepeerd word he fe da nële mperfeces van nvloed zjn op de benodgde serke van de verende onderseunngen Serker nog n veel publcaes word de benodgde serke mbv mperfeces bepaald In paragraaf 333 en 34 s deze mehode behandeld

29 nummer BI blad Excenrce van de verende onderseunng 352 Excenrce n langsrchng van de kolom f - rei Q - a X, ; Fg 34 Excenrce n langsrchng (a) en n dwarsrchng {b) van de kolom In [ ] s de nvloed van de excenrce van de verende onderseunngen n langsrchng van de kolom onderzoch Er bljk geen "kreke veersjfhed" meer e zjn De draagkrach van de kolom word groer naarmae de veersjfhed oeneem en benader een waarde de lager lg dan de draagkrach van een exac n he mdden (bj m = 2) verend geseunde kolom De verlagng van de draagkrach gv excenrce van de onderseunng( en) n langsrchng van de kolom kan oplopen o 2% (fguur 35) o / / // / An"""«-cal 633 p" 5 r 4 Sy-h "" 3 OO IOO 7!! OO ve S" L >m Fg 35 O IOO 2 ) 4«> 5 /; 7 o Invloed van excenrce van langsrchng van de kolom de verende onderseunng n

30 - nummer BI blad Excenrce n dwarsrchng van de kolom Een excenrce van de verende ondersfmnng( en) n dwarsrchng van de kolom veroon soorgeljk gedrag als excenrce n langsrchng van de kolom De draagkrach van een kolom word klener naarmae de excenrce oeneem Inden de verende onderseunng aan de flens s bevesgd pv aan he zwaarepun van he profel, dan geef een n [ ] onderzoche kolom een serke verlagng (max Rl 4%) van de draagkrach (fguur 36) Excenrce van de onderseunngen n dwarsrchng heef ook nvloed op de Eulerse knkkrach D bljk o_ok u fguur 37 De Eulerse knkkrach van de kolom word klener naarmae de excenrce van de onderseunng(en) oeneem Opgemerk moe worden da fguur 34 berekkng heef op bug- en orseknk van verend geseunde kolommen 7 5 llc H AOO 3 oo 7 IOO U5 l lórn o roo 3 4 soo C 8 Fg 36 Invloed van excenrce van de verende onderseunng n dwarsrchng van de kolom Voorgaande geld alleen voor cenrsch belase kolommen Inden een kolom ne cenrsch word belas dan s de n he zwaarepun van he profel bevesgde onderseunng, nden bugknk maagevend s, ne meer he mees effecef Effecever s een aan de "drukzjde" (nden de kolom alleen door he momen F e aan de uenden word belas) bevesgde onderseunng De mees effeceve plaas van de verende onderseunng s afhankeljk van de grooe van de excenrce e van de belasng Weng effecef s een aan de "rekzjde" bevesgde onderseunng

31 nummer BI blad 9 OB ol =-=----= Effec of brace eccenrcy on buckllng load, column A, (---),column 8 Fg 3 7 He effec van excenrce n dwarsrchng op de Eulerse knkkrach 353 Spelng n de verbndng kolom - onderseunng De nvloed van spelng n de verbndng kolom - onderseunng s volgens [ ] relaef klen ov de nvloed van nële ubugng en mag daarom worden genegeerd n de berekenng(en) van verend geseunde kolommen 36 He elaso-plassch, plassch gebed 36 De gemodfceerde E-modulus heore Zodra de gemddelde normaalspannng n de kolom de proporonalesgrens overschrjd s he maeraalgedrag ne meer lnear elassch De E-modulus kan dan worden vervangen door de E - modulus De E -modulus s afhankeljk van he spannngsnvo Deze relae kan op een weeal maneren worden bepaald

32 nummer BI blad 2 ) Door evaluae van he spannngs- rekdagram van een op rek of druk beproefde saaf 2) Door u e gaan van een resspannngsverdelng Theoresche udrukkngen voor de E - modulus kunnen hermee worden bepaald In een weeal publcaes ([ 7],[9]) word de relae ussen he spannngsnvo ( aa p ) en de E -modulus parabolsch veronderseld Zolang de normaalspannng n de kolom klener dan of geljk s aan de proporonalesgrens, s de E -modulus geljk aan de E-modulus aarmae de spannng sjg neem de E -modulus af, o een waarde nul bj de vloespannng In formule (334) Opm De CRC (Column Research Councl) gebruk voor he bepalen van de oelaabare knkkrach van een kolom n he elassche gebed de Eulerse knkcurve In he elaso-plassche gebed word dan de E-modulus vervangen door de E-modulus De proporonalesgrens word geseld op 5a In [ 7] word voorgeseld om de E-modulus n de formules voor de benodgde veersjfheden n he elaso-plassche gebed e vervangen door de E-modulus Zodoende zjn de formules voor zowel he elassche als he elaso-plassche gebed geschk Grafsch s deze oplossng weergegeven n fguur 38 Om he n [9] behandelde compuerprogramma geschk e maken voor analyses n he elaso-plassche gebed, word ook her de E modulus bj een gemddelde normaalspannng groer dan de proporonalesgrens vervangen door de E -modulus

33 nummer BI blad 2 ] "9 "D ), ) -4-4 b - r "( J l J, j!-! Î,! J J, ;! !, I, -! - /! /, l + l J/,, J l!,,,,, J r,, r / r l, -\<--< r-,-, l>!, _, r f --- -I\ -- ï -! -----, l !!! l l -,!! s 2 9 s z o z s o rl-}>j>i p9ur,, " I 8 s o o o VJ <X? -< 9 co ; Cl) U) Fg 38 Relae kreke veersjfhed - syseemslankhed kolom (volgens [ 7])

34 nummer BI blad Flceve bugsjfhed In [ 2] worden de nvloeden de he draagvermogen van de kolom bepalen (resduele spannngen, geomersche mperfeces, ec) verwerk mbv een zgn fceve bugsjfhed Deze fceve bugsjfhed word als volg gedefneerd Elfc {3EI (335) Me Fc {3 -= À FE (336) Waarn = bjbehorende draagkrach volgens de ECCS knkcurven Bj oepassng van deze mehode voor he bepalen van de kreke veersjfhed, s de knklenge al bekend (l k = a ) Dus ook de slankhed van de geseunde kolom s bekend De facor {3 kan dan drec mbv formule (336) worden bepaald Grafsch s de relae ussen de relaeve bugsjfhed ((3) en de relaeve slankhed (À) n fguur 3 9 weergegeven Subsue van (335) n formule (2) lever me (336) de volgende formule op voor de kreke veersjfhed _ kcr a (337) Grafsch s formule 337 weergegeven n fguur 3

35 - nummer Bl-B7-59 blad 23 8 J "O "O -,,,!, J - I I f -< I I - J l J! ; I -- - ""!" 8! f f! ( - - I I f f I ;? 4,(!! f I r,, 4! -- + r ; J! l l!! f f - --r, """ ! f f l!!! -- - l!!! l! o s o e o L"O s o s o o z o z o o d o o lo II) U) 3 j/, u C,, L Fg 39 Relae relaeve bugsjfhed - relaeve slankhed

36 nummer B-B7-59 blad 24 l -,,, b r ( r,, r f l, + l I I ; J S,,, f j,_- I f!! l! I /, - ï ; j - _,f l,,,, / l! l y-< /! J /" J \,,,--( r! _)!,, l --- _ )- ; r" _ J r! - - -!! s l ;! s 2 2 s z [a J]J>>j p"llkfjr"\9,a l r I - > o z s o l "O! r! ị <? -< U) a> U) o o VI "9 Fg 3 Relae kreke veersljfhed - syseemslankhed kolom (volgens [ 2])

37 nummer BI blad Reduceren van hoge benodgde veersjfheden De Eulerse knkberekenng voor verend geseunde saven, lever naarmae de slankhed van een saaf klener word seeds groere waarden op voor de benodgde veersjfhed Jn [23) word een mehode aangegeven om hoge waarden voor de benodgde veersjfheden e voorkomen Door de draagkrach van een verend geseunde kolom me 5% e verlagen, kan me een lagere sjfhedses worden volsaan Deze mehode word aanrekkeljker naarmae de slankhed van een saaf klener word (Fg 3) Een andere maner om hoge benodgde veersjfheden e voorkomen word n [ 6] aangegeven Hern word geconcludeerd da n he elaso-plassch gebed voor de benodgde veersjfhed de waarde bj "9 mag worden gebruk Van hoge veersjfheden n he elasoplassche gebed s dan dus geen sprake meer (fg 3) 364 Onderzoek mbv de endge elemenenmehode Masu [ B] heef de endge elemenenmehode oegepas op verend geseunde kolommen Door verschllende parameers, zoals oa de slankhed van de kolom en de sjfhed van de onderseunngen, e varëren kunnen concluses worden gerokken omren de benodgde sjfhed en serke van de onderseunngen Masu rek de volgende concluses ) Bj gedrongen saven word de maxmale oelaabare belasngen volgens oa de ECCS knkcurve ne ne gehaald, ondanks verhogng van de veersjfhed Verhogen van de veersjfhed s nameljk op een gegeven momen (K 3 ) ne meer effecef He verschl ussen de gevonden draagkrach (bj K = 3) en de draagkrach volgens de knkcurven s bj gedrongen saven klen De verlagng van de velghed s dus ne krek U d oogpun bekeken s een kreke veersjfhed van K 3 dus voldoende (fg 32) Opm K = k k me k = 6rr 2 E/ / a 3 als À,, ko = 6Aa 6 Ia ÀÀ,, 2) De benodgde serke van de onderseunngen s afhankeljk van de slankhed van de saaf en de sjfhed van de onderseunngen Bj oename van de sjfhed van de onderseunngen neem de benodgde serke af

38 nununer; BI blad 26 r r --r r -y j, l l l l , - -, I J ; r -,!! l! l-!- l J - l l!! r j I = j!!! l - -, - -- ; l ;----, l =--; r L L! - l - r s o! J l, o o CD -( D of" CD U) of" " 9 j, Fg 3 Relae kreke veersjfhed - syseemslankhed kolom (volgens [ 6))

39 nurruner BI bled 27 _,,, a, -< u, j ;,, b a, U) Fg 32 Relae kreke veersjfhed - syseemslankhed kolom (volgens [ 8])

40 nummer BI-B7-59 blad 2B 3) De benodgde serke van de onderseunngen s klener dan 2% van de axale belasng, onder de voorwaarde da K 3 4) De verschllen n resulaen ussen de rechhoekge doorsnede en andere doorsneden zjn erg klen Bovensaande concluses gelden dus ook voor verend geseunde kolommen me een ne rechhoekge doorsnede 5) De benodgde serke van de verende onderseunngen neem af als he aanal onderseunngen oeneem Door O Conner [ ] worden wee verend geseunde kolommen, me = 484 (een gedrongen slaaf) en À, = 97 beschouwd De onderseunng en dus ook de sjfhed s bj bede kolommen geljk u bljk da de krach n de onderseunng van de gedrongen kolom onendg groo word D resulaa bevesg de jushed van concluse (2) en (3) n [ B] 37 Reserende concluses en/of opmerkngen ) In veel voorschrfen word als serke es voor de verende onderseunngen de zgn 2%-regel gehaneerd De jushed van deze 2%-regel word n een aanal publcaes geverfeerd Geconcludeerd word da de 2%-regel voor de n de publcaes beschouwde gevallen voldoe, zowel n he elassche- als he elaso-plassche gebed ([ l],[ B],[29)) Resrces bereffende de veersjfheden worden echer soms wel geseld 2) De normaalkrach s ne aljd unform verdeeld over de lenge van de kolom, maar vaak ook parabolsch of "half-parabolsch" u bljk da de elassche knkkrachl bj een (half-)parabolsche normaalkrach groer s dan de elassche knkkrach bj een unform verdeelde normaalkrach, omda mnder kolomlenge onder hoge druk verkeer [ 9] Word ook he elaso-plassche gedrag n beschouwng genomen dan val op da de kolom me een unform verdeelde normaalkrach zch langer elassch gedraag dan de kolom me een (half-)parabolsche verdeelde normaalkrach [ 9] 3) In de voorschrfen voor he onwerpen van salen bruggen s voor de dmensonerng van verend geseunde saven ugegaan van de lneare elascesheore (een Eulerse knkberekenng) Er zjn nog geen bruggen ngesor me als oorzaak he bezwjken van een verend geseunde saaf, welke gedmensoneerd s volgens de VOSB D geef een ndruk van de berouwbaarhed van de hudge

41 Î nummer Bl blad 29 mehode waarbj ook weer word ugegaan van de lneare elascesheore

42 nummer Bl blad 3 4 Voorsel onderzoek en modelvormng 4 Voorsel onderzoek Om de doelsellng van he onderzoek e bereken s allereers een lerauuronderzoek ugevoerd (hoofdsuk 3) U d lerauuronderzoek volgden deeën voor verder onderzoek, maar evens een veral reële oplossngen Voorgeseld word nu om eers de deeën voor verder onderzoek u e werken Deze deeën berusen op een vermnderng van de bugsjfhed van de kolommen bj oenemende normaalspannng (par 5) aas de oplossngen de voorvloeen u he lerauuronderzoek s er ook een oplossng aangegeven door een medewerker van he TO-IEBC Deze oplossng word ook n he onderzoek berokken (par 52) De mehode van aanpak s nu de oplossngen, aangevuld me de resulaen van de uwerkng van de deeën van he lerauuronderzoek e verfëren aan fyssch en geomersch ne lneare berekenngen Daaroe word gebruk gemaak van he compuerprogramma DIAA Door de fyssch en geomersche ne lneare berekenngen voor een aanal verschllende slankheden (X < ) u e voeren zal een goede vergeljkng ussen de DJAA berekenngen en de gevonden oplossngen mogeljk zjn (hoofdsuk 7) De bedoelng van voornoemde werkwjze s da u deze vergeljkng, en u overge moeven, zoals bjvoorbeeld de eenvoud van een oplossng, een mehode of oplossng volg welke voldoe aan de geselde doelsellng (hoofdsuk 2) Evenueel aangevuld me concluses en aanbevelngen (hoofdsuk 8) 42 Modelvormng Beschouwd word een zjdelngse verend geseunde kolom, aan de uenden scharnerend opgelegd (fg ) He onderzoek beperk zch o vervormngen n he vlak van de consruce, waarbj knk u he vlak en orseknk worden geach e zjn verhnderd Ook locale ploo bljf buen beschouwng He onderzoek beperk zch daarbj n eerse nsane o de kreke veersjfhed, de veersjfhed waarbj de saaf uknk me de knklenge a De gedache herbj s da een gevonden oplossng na aanpassng ook voor benodgde veersjfheden klener dan de kreke, geschk zal zjn

43 nummer BI blad 3 Verend geseunde kolommen kunnen n vele varaes voorkomen He onderzoek beperk zch o een verend geseunde kolom me ) Een consane sjfhed van de kolom 2) Een consane normaalkrach over de lenge van de kolom 3) Een geljke onderlnge afsand van de verende onderseunngen 4) Scharnerende uenden 5) Cenrsche belasng 6) Geen roaeveren aanwezg

44 nummer BH37-b9 blad 32 5 Gemodfceerde E -modulus heore 5 Algemeen Tgv verschllende nvloeden (geomersche mperfeces, 5 De gemodfceerde E -modulus heore en een aangereke oplossng resduele spannngen, maaafwjkngen, ec) reed plaaseljk vloe op n een doorsnede bj een lagere gemddelde spannng dan de vloegrens (a 9 ) De gemddelde spannng waarbj voor he eers vloe n een doorsnede opreed word a P genoemd (proporonalesgrens) Herna s he verband ussen a g em en ê ne meer rech evenredg Bj oepassng van een b-lnear a- dagram s de E-modulus voor he gevloede gedeele geljk aan nul Voor he nog ne gevloede gedeele n de kolom s de E-modulus nog geljk aan E, de Young modulus Een fceve E-modulus, de E,-modulus kan nu worden bepaald door de E modulus e vermengvuldgen me de verhoudng ussen he ne gevloede oppervlak en he oale oppervlak van een doorsnede geyalse I-profelen gelase I-profe- gelase koker Î J len profelen nb J! ul,2 D,25 If IË h, h/b < 2 h/b > 2 b Resspannngsverdelngen o /o res res e Fg 5 Resspannngsverdelngen volgens [25) Op deze maner kan een heoresche formule worden afgeled voor de E-modulus, welke afhankeljk s van he gemddelde spannngsnvo, de vorm van de doorsnede en de resspannngsverdelng Inden nu de vorm van de doorsnede bekend s en u word gegaan van een

45 nurruner Bl blad 33 resspannngsverdelng (bv volgens fguur 5, u [25)), dan s de E - modulus alleen nog afhankeljk van he spannngsnvo E = J (a) (5) Twee andere mehoden voor he bepalen van de E -modulus zjn ) Ugaan van een formule voor he spannngs-rekdagram of van een formule voor de E -modulus zelf 2) Ugaan van he spannngs-rekdagram van een op rek of druk belas profel Men vnd reële waarden voor de E -modulus, doorda ook de nvloed van maeraalnhomogeneen en maaafwjkngen worden meegenomen adeel s echer da de zo gevonden E, -modulus moeljk n berekenngen kan worden oegepas, omda de E -modulus ne n formulevorm s gegeven en voor elk profel anders zal zjn He prncpe van de gemodfceerde E -modulus heore s nu de E modulus n de formule voor de kreke veersjfhed () e vervangen door de E,-modulus De formule voor de kreke veersjfhed lud na herschrjven als volg (52) He gedachenexpermen herbj was De E-modulus s afhankeljk van he gemddelde spannngsnvo en word klener naarmae de spannng sjg Bj kolommen word echer de nsablesspannng hoger naarmae de slankhed klener word De reduce van de kreke veersjfhed kan dus groer zjn naarmae de relaeve syseemslankhed klener word Bj oepassng van de ECCS-nsablescurven s n d hoofdsuk gekozen voor de knkcurve ECCS(b) D om de resulaen goed e kunnen vergeljken me de fyssch en geomersch ne-lneare berekenngen n hoofdsuk 6 Voor de fyssch en geomersch ne-lneare berekenngen s gekozen voor een HE-B 2 als model voor de verend geseunde kolom Hervoor s de knkcurve ECCS(b) van oepassng

46 nununer BI blad Er"l relaes In deze paragraaf word formule 5 nader bepaald Ugegaan word van een formule voor de E-modulus zelf of van een formule voor de spannngs-rek relae waardoor de formule van de E,-modulus vaslg (hellngshoek) Om nzch n de maere e behouden word voor eenvoudge formules gekozen 52 Parabolsche E, -a relae In de lerauur (par 36) s gekozen voor een parabolsche E -a relae na de proporonalesgrens De E, -modulus kan dan m bv de volgende formule worden weergegeven (53) Randvoorwaarden E ( P = E Og E/( P)=O o, E () = Heru volg da Waarn p a b = C = -E [(E+ _ - )2p] 2 2p (E_+ - ) 2 2p E(-- 2p ) (E_+ ) 2 2p Herschreven lud de formule voor de E -modulus nu o - o 2 E = [ - ( P ]E - Op (54)

47 nummer BI blad 35 Grafsch s deze formule weergegeven n fguur 53, voor p = 5 o p = 9 De bjbehorende spannng s-rek relae s n fguur 52 weergegeven In formule lud de bjbehorende spannngs-rek relae als volg a --p p _ a_a 9 = anh -p (55)

48 nummer BI-B7-59 blad 36 l,,,, - r r,,!!! ;!!! - + +! ---;- + f! f!!!! r, ----!""""""""""""""""""!"""""l"""""""""" I I I f!! -r r -r r r,!!! j Î Î, I +,,, -, l!!!, ; l Pllll r -- -, ----r -- --,, I! j, I ; ; - -J- l- - - J!! l,! l I, o s o 3 e o LO s o s o "O lj) h) lj) ld lj) o o Fg 52

49 - nummer BI blad 37! -- ;!!! j!! r r! l { - l - ", f I ; ;, I f I f f f f I f f I I f f I f f Ï + + -Ï!! I ; ;,è f I ;, - - ;, 4,- f I I ;!! -r r T - "9 I f I I f I!!! f I "! f I I l f! ; - r? r,,,! f!! s o z o o o -wlw en (J) r- ld LI) Il),,, > () - CII L Fg 53

50 nummer BI blad Parabolsche a-c relae Ugegaan word van fguur 54 He verloop van he spannngs-rek dagram word parabolsch veronderseld en kan mbv de volgende formule worden beschreven a = a c 2 + b c + c (56) Randvoorwaarden a(c p ) = a p a(c p ) = E a(c 9 ) = Heru volg da a(c 9 ) = = Ec p a P a E2 = 4(ap - a a ) a b = E[l - P 2(a p - a a ) a2 p C = 4(a p - a 8 ) De E,-modulus kan nu als volg worden bepaald a da E ( = E d = 2cu + b = l ( -p ) - ( - p ) (!!_) E - p U 9 (5 7) He verloop van de E -modulus als funce van de spannng s grafsch weergegeven n fguur 5 5

51 nummer BI blad 39 _, T r--, r r,, f f J! l l I f I ;! l f I f - - -, - - I f!!, f I f I f +, I ( - - I, r! -,,,,,- r - " f n \ """", r, ; r! r!,!!! -,,,,, --,! f Î!! J I l Î f ; - l l +, f!, L ; - -!,,! J ;!! l!! ; o s o e o L"O s o s o " Clu,UlC>d, "\ "O z o o o ll l l ll l/) ll L Fg 54

52 nummer BI blad 4, a I I Ï - f,, f I, _ - f f f f f I - -, -- --, ; l r ; - -! I I!!! f 4 &, 4, ; ;!, f !!!! I! ; -- -! J "" "7 -! l j!!!! l o s o e o 3,u,uuod9 L"O s o s o z o o o, h) Fg 55

53 nummer BI-B7-59 blad 4 53 Oplossngen voor de kjr->--s relae U de formules (54) en (5 7) bljk da de E,-modulus afhankeljk s van de spannngsverhoudng (a/a ) n de kolom Deze spannngsverhoudng s maxmaal geljk aan de spannngsverhoudng (aja9 ) de word oegesaan door nsablescurven De knklenge van de verend geseunde kolom s herbj geljk aan de onderlnge afsand van de verende onderseunngen (k kr!) Door mddel van herhaalde subsue kunnen nu formules voor de benodgde kreke veersjfhed worden bepaald, welke wederom afhankeljk zjn van de syseemslankhed van de kolom 53 Parabolsche E, -a relae De Eulerformule s n veel voorschrfen en rchljnen een ugangspun voor de draagkrach van slanke kolommen Door nu de E modulus e vervangen door de E,-modulus, s de Eulerformule ook geschk voor he elaso-plassche gebed De formule voor de draagkrach van de kolom lud dan (5Ba) Opm He CRC gebruk na de proporonalesgrens (p = 5) een parabolsche E, - a relae(form 54) Formule (5Ba) kan dan worden herschreven o (5Bb) Subsue van formule (5Ba) me X s = X n de formule van de E - modulus (54) led o een kwadrasche vergeljkng n (E IE) E, 2-2_ E, - - F +[( p) -2H+2p - (59) Às À8 De oplossng van deze kwadrasche vergeljkng lud - 2 ; = pf/ - ( - p) 2 + (p; ) VÀs e ( - p)2-4p-s s + 4-s 4 (5) Subsue van de formules (5) n formule (52) led o de volgende formule voor de kreke veersjfhed n he elaso-plassche gebed

54 nummer Bl blad 42 Deze "academsche" oplossng s weergegeven n fguur 56 voor p = 5 o p = 9 Opvallend s, da nden p 4, de oplossng ne de Eulerse oplossng voor de kreke veersjfhed benader, maar voor > nader o (Aa 9 / l;a) De oplossng s dan geljk aan de n fguur 3 He CRC gebruk voor de knkcur ve p = 5 Toepassng van p = 5 n formule {5) led o de volgende berekkng voor de kreke veersjfhed n he elaso-plassche gebed (Aae l( >/ l kkr = Tal - 4l (52) Grafsch word deze oplossng n fguur 56 weergegeven door de ljn p = 5

55 nummer Bl blad 43 ; - J f > 8,, Il O CL - c ro,!,! r, li r J, ) l \J" C D ëî ë " -, -,,-,,-o-r,+,,,,, r,r,, -,, -,l, -- -, - - r -- - r - --r-- -- r VI! Î l L ,!!! l - _ J L l J j \jj! - 8 U? e 9 CZ? -< l f ; r - l + I J ;, co l - l f - - c ö!,, V\ f == } r--, J !!,-_ "------_4,---,---+-ö s o o o! Fg 56

56 nummer BJ blad Parabolsche E, - a relae ; knkcurve ECCS (b) Subsue van de "parabolsche E -modulus" (form 54) n de formule voor de kreke veersjfhed (52), led voor a a p gende formule voor de kreke veersjfhed [a =,{ _ ( (a/a) - p/) k,r l! ça -p o de vol (53) Voor de spannngsverhoudng (al a 6 ) word nu de relaeve nsablesspannng (a;;i a ), gegeven door knkcurve ECCS(b), aangehouden D led o een complexe formule voor de relae ussen de benodgde kreke veersjfhed en de syseemslankhed Grafsch s deze relae weergegeven n fguur 5 7a U fguur 5 7a bljk da de E, -modulus n eerse nsane nderdaad de benodgde kreke veersjfhed reduceer aarmae de syseemslankhed klener word s de reduce serker Voor O 2 s de benodgde kreke veersjfhed echer geljk aan nul D kan nauurljk ne jus zjn D word veroorzaak doorda de ECCS nsablescurven worden begrensd door de vloegrens De E, -modulus s dan geljk aan nul en dus ook de benodgde kreke veersjfhed Om och reële formules voor de kreke veersjfhed e verkrjgen kan worden overwogen om voor slankheden, klener dan de bj he maxmum behorende slankhed, he maxmum aan e houden Grafsch s d weergegeven n fguur 5 7b

57 nummer BI blad 45 O O -,,, b g ", J 8 > r, ro -o Lo o o ro l O 8 J!! I, I Q ro,,,,,, r r!!-- T O 6 î -- C d a aî ë T,,,;I ra r, o ro, r I I l!! I f I J f f -- + l -< } I l - l ;! ;! ; ;, l ; l a; f f f f! f! f I f - ", ; r - -r ;-, l,, l" C l l, l ! l j l! r Î f I! f!! T, _ - ", _L y l!,,, a Il r gj, - J , f! r= +;;;=;""""" J,,, z \l) ID co U) Q u > I_ Fg 5 7a

58 nummer BI blad 46,,,-,! "O """ ; - " 8 J D,D IJ" Cl C b Cl Cl!\ll "!! ; 8 ] "O J j "C J -, J, r ro ro Lo ro o ro,, r*-, lo r lo l"o li, r, \ r r, T,! r ; S! + I -< 4 J - I l!-! -- f T - + I f f I _! !! f I I f f f f f I I I, f I -, - - " " I f!!!!! l + j 4 f- 4! f J J -- -! ; ; ;! r - ; l,!, y! r - - =! -,-c è3 ; l,,, r - l 4 J!!,, { z, \l 9ï + CD "" --< ld C - a, U) f" a, > ID _J - Fg 57b

59 nummer; BI blad Parabolsche a - relae; ECCS knkcurve (b) Subsue van de E, -modulus (form 5 7) n de formule voor de kreke veersjfhed (52), led voor a a p o de volgende formule voor k rr [Aae j /( -p) _ (l _ p)(5!_) kcr = (a - p V ae (54) Voor de spannngsverhoudng (al a u ) word de nsablesspannng (ac/ a u ), gegeven door de nsablescurve ECCS(b), aangehouden D led wederom o een complexe formule voor de relae ussen de benodgde kreke veersjfhed en de syseemslankhed Grafsch s deze relae weergegeven n fguur 5Ba Evenals bj de oplossng n paragraaf 532 s ook bj deze oplossng de benodgde kreke veersjfhed voor O s Ä s,; 2 geljk aan nul en kan n d gebed dus ne jus zjn Daarom s ook bj deze oplossng voor slankheden klener dan de bj he maxmum behorende slankhed, he maxmum aangehouden (fg 58b) Opvallend n de fguren 5Ba,b s de dsconnule er plaase van de Eulerse oplossng D kan fyssch ne jus zjn Dl s de reden da n he vervolgonderzoek de spannngs-rek relae van fguur 52 word oegepas

60 nummer BI blad 48 IJ \J 8 r ro -o o,,,,,,_,,,,,,,,, ro ro LO ra -D ro, l "O "O """I _,J Jz CD V\ -< U) CD U) "C Cl _,J L z Fg 5Ba

61 nummer; BI-B7-59 blad 49 D \) ",,,,,,,,,,,, r ro ro LO o, o ro cr,,, w,_,,, O""I ro ;, ro ro o ro, r r - r, - ; I I ; " J + ; J, I I f I -- --! J J!, I I f f I f f I I - - -, I f, I I I I f f!, Z J ; r! l f 4 4 I!! f I! , ; J f!! V\!,!!-\K Î! -,!;-, _,_ 7 r r- ---, - - r r,! r - ê;!! Il c,,,, - IJ) d Il z a>, _,- O U> _) f" (I) U) of" a ) _) Fg 5Bb

62 nummer; BI blad Parabolsche E,; relae; fceve knkcurve ECCS De oplossngen n paragraven 532 en 533 zjn dus ne correc voor klene slankheden De oorzaak hervan lg bj de begrenzng van de draagkrach van kolommen door de vloegrens Bj de ECCS nsa- lescurven word aangenomen da ne knk, maar de vloegrens maagevend s voor kolommen me een relaeve slankhed Ä klener dan 2 Daardoor onsaa een dsconnue pv = 2 de fyssch ne jus kan zjn De oplossng van d probleem word gezoch n he aanpassen van de ECCS nsables curven, zoda een vloeende overgang pv X = 2 word verkregen Een dreal mogeljkheden zjn daaroe onderzoch ) Inwendge afoppng van de ECCS nsablescurven door een weede graads vergeljkng 2) Uwendge afoppng van de ECCS nsablescurven door een weede graads vergeljkng 3) Uwendge afoppng van de ECCS nsablescurven door een derde graads vergeljkng Aanpassng van de ECCS nsablescurven vnd plaas o de relaeve slankheden X = 25, 3 en 5