Analyse en beheer van financieel risico van aandelen

Transcriptie

1 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen door J.J. Huj onder begeledng van dr. r. J. van den Berg en drs. W.M. van den Bergh afsudeerscrpe Informaca & Econome Erasmus Unverse Roerdam

2 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Inhoudsopgave. Voorwoord en dankbeugng.... Inledng, probleemsellng en opze...4. Inledng...4. Probleemsellng en opze...5. Mehodologe en model rendemengenererende proces...6. Effcëne markhypohese en Markov egenschap...6. Cenrale lmesellng en normale verdelng...6. Rendemengenererende proces en volale oepassng fnanceel rscobeheer Black-choles Model Hedgng Modellen volale en rekenmehoden ARCH, GARCH(x,y) en EWMA Maxmum lkelhood mehode Ubredng model rendemengenererende proces en rekenmehoden Verborgen Markov proces Forward-backward mehode Verb mehode Baum-Welch mehode Alernaeve rekenmehode voor ugebred model n-grid mehode Opmalsae en ubredngen Vergeljkng modellen en rekenmehoden Concluses en aanbevelngen Lerauurljs...7 Afsudeerscrpe Informaca & Econome

3 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen. Voorwoord en dankbeugng D onderzoek s geschreven als afsudeerscrpe voor de sude Informaca & Econome (I&E) aan de Erasmus Unverse e Roerdam. I&E s n augusus 998 van sar gegaan als zelfsandge opledng. De opledng vnd haar oorsprong n de voormalge afsudeerrchng Besuurljke Informaca (BI) van de sude Economere. De propedeuse Economere, de onderdeel umaake van he currculum van BI, s bj I&E vervangen door de propedeuse Econome. Daarnaas zjn er nog wa nuance verschllen ussen BI en I&E me berekkng o de afsudeerrchngen. I&E ondersched momeneel een dreal verschllende rchngen: Informaon Managemen, e-busness en Arfcal Inellgence & Economcs (AI&E). ezamen me een weeal werkcolleges en een aanal keuzevakken val deze afsudeerscrpe onder de afsudeerrchng AI&E en meer specfek onder de rchng Compuaonal Fnance. He onderzoeksgebed van deze rchng heef voornameljk berekkng op he formuleren van (ne-paramersche) modellen en rekenmehoden voor de fnancële wereld. De wee voorgaande werkcolleges nroduceerden verschllende modellen en rekenmehoden om fnancële jdreeksen e analyseren en hebben hermee de bass gevormd voor d onderzoek. Naas he aanreken van deze kenns, hebben de begeleders van deze werkcolleges, Jan van den Berg en Wllem-Max van den Bergh, mj enhousas gemaak voor he vakgebed Compuaonal Fnance en mj gesmuleerd om mjn scrpe n deze rchng e schrjven door op een zeer poseve maner feedback e geven en aljd bered e zjn vragen e beanwoorden en exra maeraal e verschaffen. Ik zou hen daarvoor bj deze wllen bedanken. Daarnaas zjn er nog vele andere mensen, de mj op zeer ueenlopende maneren onderseund of afgeled hebben. D lep ueen van he geven van krsche feedback, bj sommge personen veelal onder he geno van een alcoholsche versnaperng, o mj eroe dwngen werk e verrchen. De bereffende mensen ween we k bedoel. Bj deze bedank k ook hen. Is he ne voor een bjdrage aan mjn scrpe, dan s he wel voor goed gezelschap. In he bjzonder wl k mjn ouders ervoor bedanken da zj mj de mogeljkhed hebben gegeven om e suderen en da zj mjn sude ook aljd onderseund hebben. Ook wl k mjn begeleder, Jan van den Berg, nogmaals n he bjzonder bedanken. Deze sond aljd klaar om krsche en poseve feedback e geven, vragen e beanwoorden en exra maeraal e verschaffen. Behalve mj op een professonele maner e begeleden heef hj mj geïnspreerd en geholpen om aan een promoerajec aan de unverse e begnnen. Afsudeerscrpe Informaca & Econome

4 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen. Inledng, probleemsellng en opze De laase decenna s de relevane van gedegen analyse en beheer van fnanceel rsco gebleken. Fnancële debacles zoals de Meallgesellschaf- en de Orange Couny-affare zjn voorbeelden van de rampzalge gevolgen, de fnanceel wanbeled op d gebed en gevolg kan hebben.. Inledng Vanaf 990 was een aanal jaren achereen sprake van een serke dalng van de rene. Uendeljk werd n 99 een hsorsch laagepun berek. Orange Couny, een groo Amerkaans bedrjf, besloo oen om een aanzenljk geldbedrag egen de oenmalge lage rene e lenen om vervolgens van d bedrag oblgaes me een hogere renevergoedng e kopen. Deze sraege zou zeer wnsgevend zjn als de rene verder zou dalen of laag zou bljven. In 994 seeg de rene echer explosef. De waarde van de porefeulle vermnderde herdoor dramasch. Orange Couny besloo deze daarop e lquderen. He resulaa hervan was een verles van $.7 mljard... Eveneens begn jaren 90 sloo Meallgesellschaf, een groo Dus bedrjf, een zeer groe hoeveelhed leverngsconracen af om gedurende en jaar lang ole egen een van evoren vasgeselde prjs aan haar klanen e leveren. Door de leverngsprjs van evoren vas e sellen was de ondernemng zeker van haar oekomsge nkomsen. De nkoopprjs van de e leveren ole was echer aan rsco onderhevg. Inden de nkoopprjs van de ole zou sjgen, zou de ondernemng mnder wns maken omda de verkoopprjs mmers vas sond. He was zelfs mogeljk da de nkoopprjs hoger zou zjn dan de verkoopprjs. Om d fnancële rsco e beheren gng de ondernemng over o de aanschaf van ermjnconracen, waarn gedurende de loopjd van de leverngsconracen doorgerold zou worden. Deze sraege word wel een roll-over hedge [5] genoemd. Inden de prjs van de ole zou sjgen dan zou de wns op deze ermjnconracen even groo zjn als he verles op de leverngsconracen. Herdoor word de nkoopprjs van de ole mn of meer vasgelegd. Meallgesellschaf dach he fnanceel rsco van de nkoopprjs van de ole op deze wjze e elmneren. De oleprjs daalde echer. Herdoor moes de ondernemng haar margn-verplchng [5] van de ermjnconracen nakomen. Herdoor vloede op kore ermjn zeer veel geld u de ondernemng. De ondernemng beredeneerde da op de lange ermjn per saldo wns behaald zou worden omda door de lage nkoopprjs van ole veel wns gerealseerd zou worden op de leverngsconracen. Da was welswaar correc. Echer, de ggansche hoeveelhed geld de op kore ermjn u de ondernemng wegvloede, brach de lqude en daarmee de connuïe van de ondernemng n gevaar. Meallgesellschaf besloo uendeljk haar pose e sluen. D resuleerde n een verles van $, mljard... Deze voorbeelden onderbouwen de relevane van analyse en beheer van fnanceel rsco. Een wllekeurge, gerapporeerde rscoanalyse had he debacle van Orange Couny kunnen voorkomen, gedegen rscobeheer da van Meallgesellschaf. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 4

5 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Om fnanceel rsco e analyseren en beheren, zjn n de loop der jd verschllende modellen en rekenmehoden onwkkeld. He algemene dee van een model s da verbanden ussen bepaalde eneen bnnen een afgebakende conex vasgelegd kunnen worden op bass van egenschappen van deze eneen. Door de afbakenng van de conex waarbnnen he model geldg s, s een model een gesmplfceerde weergave van een bepaalde suae. Buen de gespecfceerde conex hoeven de gemodelleerde verbanden ne geldg e zjn. De krach van he beschrjvend vermogen van een model s herdoor serk afhankeljk van de aannames de omren een bepaalde suae gedaan kunnen worden. Er zjn suaes denkbaar waarvan modellen, de vandaag de dag zeer popular zjn, geen correce beschrjvng hoeven e geven omda bepaalde aannames onerech worden gedaan. Inzch n de acherlggende mehodologe van een model s crucaal voor correce oepassng van da model. Incorrece oepassng van een model kan nameljk leden o rampzalge gevolgen.. Probleemsellng en opze Esseneel voor de analyse en he beheer van rsco van aandelen zjn modellen om he verloop van he rsco van aandelen over de jd e beschrjven. Een populare klasse van deze modellen zjn de zogenaamde ARCH [5] modellen. De beschrjvng van he verloop van he rsco van aandelen over de jd word door deze modellen door mddel van een auoregresseve vergeljkng weergegeven. Herdoor word he adapevermogen van he model echer beperk. Immers, de schang van he rsco op een wllekeurg jdsp neg naar de rend u he verleden. Inden sprake s van een harde rendbreuk, s de schang van he rsco gedurende een kore perode na deze breuk onzuver. In d onderzoek zal geëvalueerd worden n hoeverre verborgen Markov keens [6] als alernaef model gebruk kunnen worden om een beschrjvng e geven van d rsco en jde van een rendbreuk. De opze van d onderzoek s als volg: allereers heef he onderzoek een beschrjvende funce. Heroe zal een basaal model voor rendemenen van aandelen geformuleerd worden en zal de acherlggende mehodologe van d model beschreven worden. Op bass van egenschappen van de mark waarop deze aandelen verhandeld worden, s he mogeljk om een beschrjvng e geven van he rsco van deze aandelen n ermen van kansdchhed. Op bass van d model zjn verschllende oepassng denkbaar n he kader van fnanceel rscobeheer. Van een dergeljke oepassng zal een voorbeeld gegeven worden en er zal worden aangeoond hoe belangrjk he s om he verloop van he rsco van aandelen goed e kunnen schaen. Daarna zullen de eerder genoemde ARCH modellen beschreven worden en zal aannemeljk gemaak worden n welke suaes deze modellen geen goede schang kunnen maken van he verloop van d rsco. Vervolgens zal een verborgen Markov model als alernaef worden aangedragen. D model veres echer wa aanpassngen, wl d goed brukbaar zjn op fnancële jdreeksen. Heroe zal een rekenmehode specfek voor d onderzoek worden onwkkeld. ensloe zullen de presaes van de verschllende modellen vergeleken worden en kan geconcludeerd worden of en n hoeverre een verborgen Markov model een beere beschrjvng van he verloop van rsco van aandelen over de jd weer kan geven en opzche van de ARCH modellen. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 5

6 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen. Mehodologe en model rendemengenererende proces In d onderdeel zal een basaal model geformuleerd worden voor rendemenen van aandelen. De acherlggende mehodologe s onleend aan he boek Opons, Fuures & oher dervaves [5] geschreven door John Hull.. Effcëne markhypohese en Markov egenschap Volgens de zwakke vorm van de effcëne markhypohese [] (EMH) s alle hsorsche nformae n de prjs van een aandeel verwerk. D word veroorzaak door de aanwezge compee op de mark. Inden een paroon ondek zou worden waarmee rscovrje wns behaald zou kunnen worden, zou de vraag naar he bereffende aandeel drec sjgen. D led drec o een prjssjgng, zoda geen rscovrje wns meer behaald kan worden en he paroon ene word gedaan. Een proces waarvan he hsorsch verloop geen nvloed heef op he verloop ervan n de oekoms saa n de wskunde bekend als een Markov proces []. In he verlengde van de gedachegang van de effcëne markhypohese kan he rendemengenererende proces van aandelen beschouwd worden als een Markov proces en zjn elkaar opvolgende rendemenen onafhankeljk.. Cenrale lmesellng en normale verdelng De cenrale lmesellng [4] sel da nden onafhankeljke, sochassche varabelen elkaar opvolgen, de resulerende kansverdelng over een bepaalde jdsperode naar een normale verdelng [] neg. Inden veronderseld word da he rendemengenererende proces van aandelen een Markov proces volg en elkaar opvolgende rendemenen onafhankeljk zjn, dan kan geseld worden da de resulerende kansverdelng van deze rendemenen over een bepaalde jdsperode normaal verdeeld s. Een normale kansverdelng word volledg beschreven door de volgende kansdchhedfunce: () f ( x) exp σ ( x µ ) σ π Deze kansdchhedfunce heef wee parameers: de verwachngswaarde µ en de sandaarddevae σ. De verwachngswaarde van de normale kansverdelng kom o sand door alle ndvduele verwachngswaarden van de onderlggende, sochassche varabelen over de bereffende jdsperode e sommeren. In d geval zjn de onderlggende, sochassche varabelen rendemenen d over zeer kore jdsperoden. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 6

7 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen De verwachngwaarde µ van rendemenen over een bepaalde, langere jdsperode s derhalve: () µ E( d ) Herbj saa ( d ) jdsp. E voor de verwachngswaarde van he rendemen d op De sandaarddevae s een maasaf voor de mae van onzekerhed omren de verwachngswaarde. De varane, he kwadraa van de sandaarddevae, s he gekwadraeerde verschl ussen de waarde van een sochassche varabele en de verwachngswaarde ervan. De varane van de normale kansverdelng kom o sand door alle ndvduele varanes van de onderlggende, sochassche varabelen over de bereffende jdsperode e sommeren. De varane σ van rendemenen over een bepaalde jdsperode s derhalve: () σ [ d ( )] E d He s herbj ne relevan u welke kansverdelngen de onderlggende, sochassche varabelen afkomsg zjn. Er hoeven dus geen addonele aannames e worden gemaak omren he proces da deze varabelen genereer. lechs op bass van de verondersellng da he rendemengenererende proces van aandelen een Markov proces volg en da elkaar opvolgende rendemenen onafhankeljk zjn, kan geseld worden da de resulerende kansverdelng van rendemenen over een bepaalde jdsperode normaal verdeeld s.. Rendemengenererende proces en volale In he verlengde van de EMH kan dus geseld worden da rendemenen van aandelen over een bepaalde jdsperode bj benaderng beschouwd kunnen worden als rekkngen u een normale kansverdelng. Nu zal op bass van deze egenschap een model geformuleerd worden voor he onderlggende, rendemengenererende proces van aandelen. Beschouw allereers de sochassche varabele x, de over een bepaalde jdsperode eder jdsp onderhevg s aan een sochassche veranderng dx, waarbj: (4) dx ~ N( 0, ) N voor een normaal verdeelde kansverdelng me verwachngswaarde 0 en sandaarddevae. Deze specfeke verschjnngvorm van de normale verdelng saa wel bekend als de sandaard normale verdelng []. He proces da deze sochassche varabele x over de jd volg saa ook wel bekend als een Wener proces [5] of een Brownse bewegng [5]. Herbj saa ( 0,) Afsudeerscrpe Informaca & Econome 7

8 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Gedurende een kore jdsperode van jdsp naar jdsp veranderen van x naar x + x, waarbj: + zal de waarde ε, waarbj ε ~ N( 0, ) (5) x Nameljk; de ndvduele verwachngswaarde en sandaarddevae van de onderlggende, sochassche varabelen zjn her respeceveljk 0 en. De verwachngswaarde en de sandaarddevae van de resulerende normale verdelng over een jdsperode zjn derhalve 0 en. Beschouw nu de volgende sochassche varabele y, de over een bepaalde jdsperode eder jdsp onderhevg s aan een sochassche veranderng dy, waarbj: (6) dy ~ N( µ,σ ) Herbj zjn µ en σ wllekeurge, consane waarden. De sochassche varabele y volg dan he volgende proces over de jd: (7) dy µ d + σdx D proces saa ook wel bekend als een gegeneralseerd Wener proces [5]. Gedurende een kore jdsperode van jdsp naar jdsp + zal de waarde veranderen van y naar y + y, waarbj: (8) y µ + σε Nameljk; de ndvduele verwachngswaarde en sandaarddevae van de onderlggende, sochassche varabelen zjn her respeceveljk µ en σ. De verwachngswaarde en de sandaarddevae van de resulerende normale verdelng over een jdsperode zjn derhalve µ en σ. Beschouw nu een meer complexe, sochassche varabele y, de over een bepaalde jdsperode eder jdsp onderhevg s aan een sochassche veranderng dy, waarbj: (9) dy ~ N[ µ ( y, ), σ ( y, ) ] σ funces van de waarde van de onderlggende, sochassche varabele y en de jd. De sochassche varabele y volg dan he volgende proces over de jd: Herbj zjn µ ( y,) en ( y,) (0) dy µ ( y, ) d + σ ( y, )dx Afsudeerscrpe Informaca & Econome 8

9 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen D proces saa ook wel bekend als een Io proces [5]. Gedurende een kore jdsperode van jdsp naar jdsp + zal de waarde veranderen van y naar y + y, waarbj y als volg gescha kan worden: () y µ ( y, ) + σ ( y, ) ε Nameljk; de ndvduele verwachngswaarde en sandaarddevae van de bereffende sochassche varabelen zjn her respeceveljk µ ( y,) en σ ( y,). Inden de waarden van deze funces gedurende de jdsperode (vrjwel) consan bljven, dan zjn de verwachngswaarde en de sandaarddevae van de resulerende normale verdelng µ y, en σ ( y, ). ( ) Nu kan op bass van kenns over deze processen en hun (geschae) veranderng over de jd een model voor he rendemengenererende proces van aandelen geformuleerd worden. Veronderseld word da rendemenen d van aandelen beschouwd kunnen worden als een rekkng u een normale kansverdelng me verwachngswaarde µ en sandaarddevae σ : () d ~ N( µ,σ ) Herbj kunnen µ en σ evenueel over de jd varabel zjn. He rendemengenererende proces van aandelen volg dan he volgende proces over de jd: () d µ d + σdx D proces saa ook wel bekend als een geomersche Brownse bewegng [5]. Gedurende een kore jdsperode van jdsp naar jdsp + zal de waarde van he bereffende aandeel veranderen van naar +, waarbj als volg gescha kan worden: (4) µ + σε ofwel, de schang van he rendemen over deze kore jdsperode s dan: (5) µ + σε He rendemen over een kore perode neg bljkbaar naar een bepaalde verwachngswaarde µ me een bepaalde mae van onzekerhed σε daaromren. Deze mae van onzekerhed word wel volale [5] genoemd. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 9

10 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen 4. oepassng fnanceel rscobeheer Op bass van he model, da n voorgaand hoofdsuk s geformuleerd, zjn verschllende oepassngen denkbaar n he kader van fnanceel rscobeheer. In d onderdeel zal een dergeljke oepassng besproken worden. Deze oepassng s gebaseerd op he zogenaamde Black & choles [5] model. D zeer populare model s op vele maneren gedocumeneerd. De documenae u d onderdeel s onleend aan he boek Opons, Fuures & oher dervaves geschreven door John Hull. Deze oepassng zal aanonen hoe belangrjk he s om een goede schang e kunnen maken van he verloop van volale. 4. Black-choles Model He gebruk van dervaen van aandelen s een popular nsrumen om fnanceel rsco e beheren. Me behulp van dervaen zoals opes en fuures s he mogeljk om fnanceel rsco e hedgen [5]. Aandelen en dervaen zjn nameljk bede onderlggend aan dezelfde bron van onzekerhed: prjsflucuaes van he bereffende aandeel. Herdoor zjn de prjzen van dervaen over een zeer kore perode perfec gecorreleerd me de prjs van he bereffende aandeel. He s dus mogeljk om he rsco van een porefeulle e beheren of zelfs e elmneren. Verondersel nu da een sochassche varabele y over de jd een Io proces volg zoals n onderdeel. s geformuleerd. De sochassche varabele y volg dan he volgende proces over de jd: (6) dy µ ( y, ) d + σ ( y, )dx Me behulp van Io s lemma [5] kan bewezen worden da een wllekeurge funce z van y en he volgende proces over de jd volg: z z z z (7) dz µ + + σ d + σdx y y y Bljkbaar volg de sochassche varabele z eveneens een Io proces over de jd, waarbj: z z z µ y, µ + + σ (8) ( ) x x en z x (9) σ ( y, ) σ Afsudeerscrpe Informaca & Econome 0

11 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen In onderdeel. s he volgende model geformuleerd voor he proces da he aandeel over de jd volg: (0) µ + σε Verondersel nu da de sochassche varabele f de prjs s van een dervaa van he aandeel. De sochassche varabele f moe een funce zjn van en. Op bass van Io s lemma kan geseld worden da de sochassche varabele f he volgende proces over de jd volg: f f f f () f µ + + σ + x σ He aandeel en he dervaa f zjn onderlggend aan dezelfde bron van rsco: he Wener proces dx. He s dus mogeljk om een porefeulle zodang samen e sellen da he Wener proces geëlmneerd kan worden. De samensellng van deze porefeulle Π s dan als volg: f () Π f + De houder van deze porefeulle heef dus n long [] pose n aandeel en een shor [] pose n dervaa f. De porefeulle Π volg dan he volgende proces over de jd: f () Π f + Door vergeljkng (0) en () e subsueren n vergeljkng (), volg: f f (4) Π σ Gedurende jdsperode s he Wener proces dx geëlmneerd u porefeulle Π. De porefeulle Π s dus rscovrj gedurende de jdsperode. In he verlengde van de EMH kan geseld worden da he rendemen van porefeulle Π over jdsperode geljk s aan de rscovrje rene r : (5) Π rπ Door vergeljkng () en (4) e subsueren n vergeljkng (5), volg: f f f (6) + σ r f Afsudeerscrpe Informaca & Econome

12 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen heru volg de volgende vergeljkng; f f f (7) + r + σ rf Deze vergeljkng saa wel bekend als de Black-choles-Meron [5] dfferenaal vergeljkng. Er besaan vele oplossngen voor deze vergeljkng. De oplossng voor een specfek dervaa s afhankeljk van de randvoorwaarden de gebruk worden. De mees smpele verschjnngsvormen van opes zjn European call [5] en pu [5] opes. Een European call ope geef he rech om op jdsp een aandeel egen een van e voren vasgeselde waarde X e kopen. Een European pu ope he rech om e verkopen. De randvoorwaarde voor een European call ope s derhalve:, waarbj (8) f max( X,0) De randvoorwaarde voor een European pu ope s:, waarbj (9) f max( X,0) De oplossng van de Black-choles-Meron dfferenaal vergeljkng voor de randvoorwaarden van European call ope c en de European pu ope p zjn: r (0) c N ( d ) Xe N ( ) en d r () p Xe N ( d ) N( ) waarbj: () d ln d ( X ) + ( r + σ ) 0 σ en () d ( X ) + ( r σ ) ln 0 d σ σ N voor de cumulaeve kansverdelng van een normaal verdeelde sochassche varabele me een verwachngwaarde 0 en een sandaarddevae. Herbj saa ( x) Afsudeerscrpe Informaca & Econome

13 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen 4. Hedgng Verondersel nu da he vanu he oogpun van fnanceel rscobeheer wenseljk s voor een bepaalde ondernemng om een European call ope c e schrjven op een bepaalde hoeveelhed aandelen. Heroe moe de ondernemng op eder jdsp de volgende porefeulle Π aanhouden: dc (4) Π c + d U vergeljkng (0) kan afgeled worden da voor een European call ope geld da: dc d (5) N ( ) d In abel s een smulae weergegeven van he beheer van een dergeljke porefeulle. day dela shares purchased coss of shares purchased cumulave coss ncl. Ineres neres coss 0 00,00 0, ,4.576,4 0,5 96,8 0, ,89-.79,76 0,6-99,9 0,4 7 67,4.46,0 0, 99,64 0, -,0-.,5 0,0-4 96,45 0, , ,64 0,6-5 95,4 0, - 57,79-.88,70 0, ,6 0, 88,50.77,5 0,0 7 94,44 0, ,8-997,99 0, ,7 0,0 6,8.06,0 0,0 9 96,6 0, 8,90.4,0 0,0 0 97,85 0, 55,.98,6 0,05 95,6 0, ,77-846,44 0,- 97,8 0,0 6,0.09,5 0,05 99, 0, 4,.4,7 0,06 4 0, 0, ,09.87,86 0,09 5 0,9 0,4 6 6,88.507,84 0, 6 0,6 0,5-8 85,7-.655,6 0,7-7 0, 0, - 7,8-.47,8 0, ,06 0,0-0 97,47-479,77 0,9-9 94, 0,0-57,5-,4 0, ,0 0,00 0 5,8-86,54 0,0-94,85 0,00 0 6,9-69,60 0,00-9,40 0,00 0 7,56-5,04 0,00-88,99 0,00 0 0,6-5,68 0, ,0 0,00 0 0,00-5,68 0, ,9 0,00 0-5,68 RIKE 0,00 0 0,00-5,68 abel : hedge-smulae (ou-he-money) In d voorbeeld wl de ondernemng een European call ope creëren me een loopjd van 5 dagen. Deze ope heef een uoefenwaarde van?0 en heef berekkng op 00 aandelen. De rscovrje rene s bekend en bedraag 0,05 per jaar. De volale s eveneens bekend en bedraag 0,40 per jaar. Afsudeerscrpe Informaca & Econome

14 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Allereers word he koersverloop van he aandeel gesmuleerd op bass van vergeljkng (0). Vervolgens word per dag de afgelede N ( d ) berekend. Op bass van deze afgelede word eveneens per dag bepaald hoeveel aandelen de ondernemng n porefeulle moe hebben en dus hoeveel aandelen gekoch of verkoch worden. ensloe worden de ransace- en de neres kosen bepaald, de voorvloeen u deze aan- en verkopen. De oale kosen van deze hedge-smulae bedragen?5,68. Aan he ende van de loopjd kan de ope ou-he-money [5] of n-he-money [5] endgen. Als de ope ou-he-money endg, zoals bj de smulae n abel, verval de ope. Inden de ope echer n-he-money endg moe de ondernemng haar verplchng nakomen en de aandelen egen de vasgeselde uoefenwaarde leveren. In abel s een smulae weergegeven waarbj de ope n-he-money endg. day dela shares purchased coss of shares purchased cumulave coss ncl. Ineres neres coss 0 00,00 0, ,4.576,4 0,5 00,64 0,7,9.687,95 0,0 0, 0, 4 46,45.04,4 0,08 00,8 0,6-5 48,40-.6,0 0,0-4 0,95 0,9 6,99.885,99 0, ,58 0, -7 77,90-.68,4 0,4-6 97,56 0, ,08-.67,9 0,- 7 96, 0, - 7,08-.90,7 0,07-8 9,44 0, ,74-77,9 0,0-9 96,87 0, 5 489,77.6,59 0,0 0 98,84 0,6 4 5,.64,0 0,07 99,06 0,5 0 4,99-.57,09 0,0-0,98 0,6.00,48.67,57 0, 0,89 0,4-9,55-.5,4 0,0-4 04,9 0,9 4 46,06.996,7 0, ,7 0,9 0 7,54.0,90 0,0 6 0,9 0, , ,6 0,54 7, 0,67.59, ,6 0,0 8 4,4 0,7 5 67, ,4 0, 9,89 0, , ,76 0,- 0 7, 0, , ,69 0,46 9,7 0, ,8 0.66,97 0,9,05 0,99 6, ,45 0,07 4,60,00 6,44.4,96 0,0 4 9,7,00 0,85-.40,4 0,00-5 7,9,00 0 4,4.44,57 RIKE 0, ,00-44,57 abel : hedge-smulae (n-he-money) De oale kosen van deze hedge-smulae bedragen?44,57. Deze kosen zjn he gemddelde resulaa van de aan- en verkoop van de onderlggende aandelen. De heoresche verwachngswaarde van de European call ope u d voorbeeld s?60. Bj bede smulaes zjn de kosen heraan echer ongeljk. De onzekerhed omren de heoresche verwachngswaarde word onder andere veroorzaak omda de porefeulle slechs per dag gebalanceerd word. Naarmae de porefeulle frequener gebalanceerd word, convergeer de verwachngswaarde van de European call ope naar de heoresche waarde. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 4

15 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen In fguur zjn de ukomsen van een 000-al van deze hedge-smulaes weergegeven n een hsogram. Herbj zjn de oale kosen weergegeven op de x-as en s de frequene weergegeven op de y-as. U deze fguur val de onzekerhed omren de heoresche waarde van de ope dudeljk waar e nemen fguur : ukomsen hedge-smulaes IGMA0,40 In fguur zjn de ukomsen van een dreal expermenen weergegeven. Herbj besaa eder expermen u een 000-al hedge smulaes. Ieder expermen maak echer gebruk van een andere schang van de volale IGMA0,5 IGMA0,40 IGMA0,45 fguur : ukomsen hedge-smulaes me verschllende schangen van volale Afsudeerscrpe Informaca & Econome 5

16 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Allereers s he expermen u fguur weergegeven. Herbj s ugegaan van de correce waarde van de volale. Deze bedraag 0,40. He weede expermen onderscha de grooe van de volale en scha deze op 0,5 erwjl ze 0,40 bedraag. De kansverdelng van d expermen s lnks-scheef en heef een dkke recher saar. De scheefhed naar lnks word veroorzaak door he sysemasch onderschaen van he rsco. D led o een e lage mae van ndekkng. Inden de ope nu ou-he-money endg en er dus ne geleverd hoef e worden zjn gernge ndekkosen gemaak. Echer, nden de ope n-he-money endg, s de ondernemng ne volledg ngedek en zullen hoge kosen gemaak moeen worden om de verplchngen na e kunnen komen. D veroorzaak de dkke recher saar. He derde expermen overscha he rsco en scha deze op 0,45 erwjl ze 0,40 bedraag. De kansverdelng van d expermen s rechs-scheef en heef een slanke recher saar. De scheefhed naar rechs word veroorzaak door he sysemasch overschaen van he rsco. D led o een e hoge mae van ndekkng. Inden de ope nu ou-hemoney endg en er dus ne geleverd hoef e worden zjn e hoge ndekkosen gemaak. Echer, nden de ope n-he-money endg s de ondernemng meer dan volledg ngedek. D veroorzaak de slanke recher saar. In abel zjn de verwachngswaarde en de sandaarddevae van de dre verschllende hedge-expermenen weergegeven. sgma average sdev 0,5 97,8 87, 0,40 79,99 80,40 0,45 95,0 84, abel : verwachngswaarde en spredng oale kosen hedge-expermenen U deze waarden bljk da de verwache kosen van de expermenen, waarbj een ncorrece schang gemaak s van de volale, aanzenljk hoger zjn. Bovenden s de spredng rond deze verwachngswaarde hoger. Een nauwkeurge schang van volale s bljkbaar esseneel voor een gedegen analyse en beheer van fnanceel rsco. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 6

17 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen 5. Modellen volale en rekenmehoden In he kader van fnanceel rscobeheer s he esseneel om een goede schang e kunnen maken van he verloop van de volale van aandelen over de jd. In d onderdeel zullen populare modellen en rekenmehoden heroe beschreven worden. 5. ARCH, GARCH(x,y) en EWMA In fguur s he verloop van de slokoers van de AEX-ndex weergegeven over he jaar ,00 70,00 68,00 66,00 64,00 6,00 60,00 58,00 56,00 fguur : koersverloop AEX-ndex over jaar 000 PO De dagrendemenen zjn n fguur 4 weergegeven over de jd. 6,00% 4,00%,00% 0,00% -,00% -4,00% -6,00% -8,00% fguur 4: dagrendemenen AEX-ndex over jaar 000 REURN Afsudeerscrpe Informaca & Econome 7

18 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Op bass van he verloop {,,, } K s he samengeselde dagrendemen u op jdsp als volg berekend: (6) u ( ) ln U fguur 4 bljk da volale over de jd vareer. Een naïeve mehode om de volale op een wllekeurg jdsp e schaen, s door de laase n geobserveerde rendemenen u n beschouwng e nemen en e verondersellen da deze allemaal afkomsg zjn u dezelfde normale verdelng. De verwachngswaarde µ van deze verdelng op jdsp kan dan als volg gescha worden: (7) µ n n u De varane σ, een maasaf voor volale, van deze verdelng op jdsp kan dan als volg gescha worden: (8) σ n u nµ n Omda de verwachngswaarde µ van he rendemengenererende proces van aandelen over een kore jdsperode, zoals een dag, vrjwel geljk s aan nul kan deze buen beschouwng worden gelaen en kan vergeljkng (8) herschreven worden o: n (9) σ n u Deze naïeve mehode ken aan edere observae een geljk gewch oe n de verondersellng da alle observaes afkomsg zjn u dezelfde verdelng. Nu kan geseld worden da he waarschjnljker s da een observae afkomsg s u dezelfde verdelng naarmae deze recener heef plaasgevonden. In he verlengde van deze gedachegang kan een klasse modellen voor volale geformuleerd worden, de een groer gewch oeken aan observaes naarmae deze recener hebben plaasgevonden: (40) σ α u n De varabele α ken herbj een posef gewch oe aan rendemen u. Omda een groer gewch word oegekend aan observaes naarmae deze recener hebben plaasgevonden, geld: α > α als > j. j Afsudeerscrpe Informaca & Econome 8

19 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Bovenden moe aan de volgende voorwaarde worden voldaan: n (4) α Een model da gebaseerd s op deze gedachegang s he zogenaamde ARCH [5] model. D model ken daarnaas nog een gewch oe aan de lange ermjn gemddelde volale V. Nameljk; hoewel volale een oevalsverloop veroon, bljk emprsch da ze naar een soor lange ermjn gemddelde neg. D verschjnsel saa wel bekend als mean reverson [5]. He geheel kan als volg geformuleerd worden: (4) σ αu + γv n Herbj geld da: n (4) α + γ Een bjzondere vorm van he ARCH model s he zogenaamde GARCH(,) [5] model. Herbj neem he gewch da aan een observae word oegekend exponenoneel af n de jd zoda α + βα, waarbj β een consane s ussen 0 en : (44) σ αu + βσ + γv Herbj geld da: (45) α + β + γ Herdoor kan vergeljkng x herschreven worden o: (46) σ αu + βσ + ( α β )V He algemenere GARCH(x,y) [5] model neem de laase x rendemenen en de laase y geschae waarden van de varane n beschouwng om de hudge varane e schaen. He GARCH(,) model s de mees populare vorm van GARCH(x,y). Een eenvoudger model da de lange ermjn gemddelde volale buen beschouwng laa s he zogenaamde EWMA [5] model. Bj d model neem he gewch da aan een observae word oegekend eveneens exponenoneel af n de jd: (47) σ ( λ ) + u λσ Afsudeerscrpe Informaca & Econome 9

20 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Herbj s λ een waarde ussen 0 en. He EWMA model s dus egenljk een bjzondere vorm van he GARCH(,) model, waarbj α ( λ ), β λ en γ 0. oms s he GARCH(x,y) model ne sabel en word een negaeve waarde oegekend aan γ omda α + β >. In een dergeljke suae kan beer gebruk gemaak worden van he EWMA model. 5. Maxmum lkelhood mehode De parameers van deze modellen kunnen gescha worden me de maxmum lkelhood [5] mehode. Bj deze mehode worden de waarden voor de parameers zodang gekozen da de kans op de reeks geobserveerde rendemenen maxmaal s. De kans op een reeks van normaal verdeelde observaes me een verwachngswaarde 0 en een over de jd varërende varane σ kan berekend worden me behulp van de volgende kansdchhedfunce: (48) u exp πσ σ He maxmalseren van een vergeljkng s equvalen aan he maxmalseren van he logarme van deze vergeljkng. Door he logarme van vergeljkng x e maxmalseren kunnen consane vermengvuldgngsfacoren buen beschouwng gelaen worden: (49) ln ( σ ) u σ Nu zal he GARCH(,) model worden oegepas op de volale van de AEX-ndex over he jaar 000. In d expermen kom de varane σ per jdsp volgens vergeljkng (46) o sand. De parameers α en β worden door een eraef algorme zodang gekozen da vergeljkng x gemaxmalseerd word. In d opmum geld dan: α 0, 0769, β 0,9007, γ 0, 0070 en V 0, De maxmum lkelhood waarde bedraag n d opmum 94,8. Op dezelfde wjze kan he EWMA model oegepas worden. Per jdsp kom de varane σ volgens vergeljkng (47) o sand. In he opmum geld dan: λ 0,9879. De maxmum lkelhood waarde n d opmum bedraag 99,08. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 0

21 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen In abel 4 word de oepassng van he GARCH(,) model op de volale van de AEX-ndex over he jaar 000 weergegeven. alpha bea gamma V lkelhood 0,0769 0,9007 0,0070 0, ,8 dae spo relave reurn varance lkelhood , , 95,08% -5,04% , 98,46% -,55% 0,0000 7, ,4 98,7% -,9% 0, , ,48 0,0%,5% 0,00004, ,5 0,60%,58% 0,0007 7, ,89 99,05% -0,95% 0, , ,84 98,8% -,6% 0, , , 00,60% 0,59% 0, , ,56 0,09%,07% 0,000 6, ,89 98,0% -,0% 0, , ,44 97,7% -,0% 0, , ,6 0,5%,5% 0, , ,8 0,06%,06% 0, , ,8 97,7% -,0% 0, , ,4 99,78% -0,% 0,0000 8, ,68 00,7% 0,70% 0, , ,5 0,%,% 0, , ,07 00,88% 0,88% 0,0008 8, ,76 99,5% -0,49% 0, ,5 abel 4: volale AEX-ndex over jaar 000 [GARCH(,)] 94,8 In fguur 5 zjn de dagrendemenen van de AEX-ndex over he jaar 000 en he verloop van de door GARCH(,) geschae volale weergegeven. 6,00% 0, ,00%,00% 0, , , ,00% 0, , ,00% -4,00% -6,00% -8,00% 0, , , , , REURN VARIANCE fguur 5: dagrendemenen AEX-ndex over jaar 000 me volale[garch(,)] Afsudeerscrpe Informaca & Econome

22 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen De klasse van modellen, de n d hoofdsuk behandeld s, scha he verloop van volale over de jd door mddel van een auoregresseve vergeljkng. Herdoor word he adapevermogen van he model echer beperk. Immers, de schang van volale op een wllekeurg jdsp neg naar de rend u he verleden. Inden sprake s van een rendbreuk, s de schang van volale gedurende een kore perode na deze breuk onzuver. D verschjnsel bljk ook u fguur 5: nden de volale over een bepaalde jdsperode relaef hoog en vervolgens relaef laag s, word gedurende een kore perode na de rendbreuk he merendeel van de gewchen oegekend aan observaes u een verdelng me een hoge volale. Herdoor s de schang van de volale gedurende deze perode e hoog. Naarmae meer observaes afkomsg zjn u een verdelng me een lage volale convergeer de schang naar een verdelng me een lage volale. Door een groer gewch oe e kennen aan recenere observaes word deze convergene versneld. Hoe dan ook, gedurende een kore perode na een rendbreuk s de n d hoofdsuk behandelde klasse van modellen ne n saa om een zuvere schang e maken van volale. In fguur 6 s een specfeke jdsperode u fguur 5 weergegeven ezamen me een rendljn om de convergene van he GARCH(,) model weer e geven. 6,00% 0, ,00% 4,00%,00%,00% 0, , ,00000,00% 0,00% -,00% -,00% 0, , , ,00% 0, REURN VARIANCE Log. (VARIANCE) fguur 6: dagrendemenen AEX-ndex over bepaalde perode jaar 000 me volale[garch(,)] U deze fguur bljk da gedurende een kore perode na de rendbreuk he merendeel van de gewchen oegekend word aan observaes u een verdelng me een hoge volale. Herdoor s de schang van de volale gedurende deze perode e hoog. Afsudeerscrpe Informaca & Econome

23 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen 6. Ubredng model rendemengenererende proces en rekenmehoden De n he voorgaande hoofdsuk behandelde ARCH modellen zjn bljkbaar ne n saa om kor na een rendbreuk een zuvere schang e maken van he verloop van de volale van aandelen. In d hoofdsuk zal een alernaef model geïnroduceerd worden. De formulerng van he model en de erbj behorende rekenmehoden, de n d hoofdsuk behandeld zullen worden, zjn onleend aan een handledng, de s geschreven door Lawrence Rabner. 6. Verborgen Markov proces He basale model beschouw rendemenen van aandelen als rekkngen u een normale verdelng. De saus s van he rendemengenererende proces word derhalve op eder jdsp gekarakseerd door een verwachngswaarde µ en een sandaarddevae σ : (50) s { µ, σ } De saus van he rendemengenererende proces op jdsp word genoeerd als q. Door he vrjkomen van nformae op wllekeurge jdsppen kunnen de parameers over de jd veranderen. He rendemengenererende proces kan daardoor over een bepaalde jdsperode n meerdere saussen s verkeren: (5) s { s, s,, } K s n He veranderen van de saus van he rendemengenererende proces kan eveneens beschouwd worden als een sochassch proces. In he verlengde van de EMH kan geseld worden da d een Markov proces s: nden een paroon ondek zou worden n he veranderen van de saus van he rendemengenererende proces waarmee rscovrje wns behaald zou kunnen worden, zou de vraag naar he bereffende aandeel drec sjgen. D led drec o een prjssjgng, zoda geen rscovrje wns meer behaald kan worden en he paroon ene word gedaan. Omda d onderlggende proces ne fysek waarneembaar s, word he een verborgen Markov proces [6] genoemd. D verborgen Markov proces word gemodelleerd door { } a j waarbj a j als volg gedefneerd word: (5) a P( q + s q s ) j j en, j n He rendemengenererende proces word gemodelleerd door b { b ( u )} b ( u ) als volg gedefneerd word: (5) b ( u ) P( u q s ) en n, waarbj a, Afsudeerscrpe Informaca & Econome

24 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Deze kans kan gescha worden me vergeljkng (). De nële saus van he rendemengenererende proces word gemodelleerd door π { π }, waarbj π als volg gedefneerd word: π en n (54) P ( q ) s He gehele model word als volg genoeerd: (55) λ { a,b,π} 6. Forward-backward mehode Beschouw nu een reeks geobserveerde rendemenen u { u, u,, } K u en verondersel da de parameers λ van he ugebrede model bekend zjn. De kans da he rendemengenererende proces op jdsp n saus s verkeer, kan op meerdere maneren gedefneerd worden. Een mogeljke defne s de volgende: (56) P( q s u,λ ) De mees waarschjnljke saus q op jdsp kan nu als volg gescha worden: (57) s q, waarbj arg max[ P( q s u,λ )] n Vergeljkng (56) kan me de forward-backward [6] mehode berekend worden. Heroe word deze vergeljkng als volg herschreven: (58) P( q s u, λ) P ( q s, u λ ) P( u, λ) De noemer van deze vergeljkng kan als volg herschreven worden: (59) P( u, λ ) P( q s, u λ ) n Beschouw nu de forward [6] varabele ( ) (60) α ( ) P( u, u, K, u, q s λ ) en de backward [6] varabele ( ) β : α : (6) β ( ) P( u, u,, u q s, λ) + + K Afsudeerscrpe Informaca & Econome 4

25 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen De eller van vergeljkng (58) kan als volg herschreven worden: (6) P( q s, u λ ) α ( ) β ( ) Vergeljkng (58) kan als geheel dus als volg herschreven worden: (6) P( q s u, λ ) Omda geld: (64) α ( ) b ( ) α ( ) β ( ) n α ( ) β ( ) π u 0 Kan α () recursef berekend worden: (65) α ( ) α ( j) a b ( u ) n j 0 Omda ook geld: (66) β ( ) Kan ( ) β eveneens recursef berekend worden: (67) β ( ) a b ( u ) β ( ) n j 0 j j j + 6. Verb mehode Me behulp van de forward-backward mehode kan gescha worden wa de mees waarschjnljke, ndvduele saus op een bepaald jdsp s. He s echer nauwkeurger om d e doen aan de hand van de kans op de gehele saussequene. Deze kans kan als volg gedefneerd worden: (68) P( q, q, K, q,λ ) u He maxmalseren van deze kans s equvalen aan he maxmalseren van de volgende kans: (69) P( q, q, K, q, λ ) u Afsudeerscrpe Informaca & Econome 5

26 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen De sequene van saussen, de deze kans maxmalseer, kan berekend worden me de Verb [6] mehode. Heroe word de volgende kans gedefneerd: (70) γ ( ) [ q, q, K, q s, u, u, K, u λ] Omda geld: max q, q, K, q (7) γ ( ) π b ( u ) kan ( ) γ recursef gescha worden: (7) γ ( ) γ ( j) j n max [ a ] b ( u ) jdens de recurse word door een abel ( ) j δ bjgehouden welk argumen deze kans maxmalseer voor edere waarde van en : [ a ] (7) δ ( ) argmax γ ( j) Omda geld: (74) s j n q, waarbj arg max[ γ ( j) ] j j n Kan de mees waarschjnljke sequene van saussen recursef gescha worden: (75) q δ ( q ) Baum-Welch mehode Inden de parameers van he ugebrede model bekend zjn, s he mogeljk om he sausverloop van he rendemengenererende proces over de jd e schaen me de herboven beschreven rekenmehoden. He schaen van deze parameers zelf s echer een zeer complex probleem. Er s geen analysche mehode bekend om d probleem op e lossen. He s wel mogeljk om de modelparameers λ zodang e kezen da de kans P ( u λ) lokaal gemaxmalseerd word. Heroe kan de Baum-Welch [6] mehode gebruk worden. Deze mehode saa ook wel bekend als de expecaonmodfcaon [6] mehode. Bj deze mehode worden de modelparameers herscha op bass van een reeks observaes u en a-pror kenns over he model λ. De schang van de nële saus van he rendemengenererende proces π { } word nu als volg gedefneerd: (76) π P( q s,λ ) u π Afsudeerscrpe Informaca & Econome 6

27 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Deze kans kan me de forward- en backward varabelen u onderdeel 6. gescha worden: (77) P( q s u, λ ) α( ) β( ) n α ( ) β ( ) De schang van de sausveranderngen van he rendemengenererende proces a word als volg gedefneerd: (78) { } a j a j ( s q s u, λ) P q P, + ( q s u, λ) De noemer van deze kans kan als volg herschreven worden: (79) P( q s, q s u, λ ) + j j α ( ) ajbj ( u ) β+ ( j) P( u, λ ) Zowel de noemer en de eller van vergeljkng (79) kunnen nu me behulp van de forward- en backward varabelen u onderdeel 6. berekend worden. { } De kansverdelng ( ) gedefneerd: (80) b ( u ) P( u q s, u, λ) b b u van he rendemengenererende proces word als volg waarbj de parameers van saus s als volg gescha kunnen worden: (8) en µ P ( q s u, λ ) P u ( q s u, λ ) (8) σ P ( q s u, λ ) ( u µ ) P ( q s u, λ ) Deze wee vergeljkngen kunnen eveneens me behulp van de forward- en backward varabelen u onderdeel 6. berekend worden. D neuwe model λ geef een beere verklarng voor de reeks observaes dan he oorspronkeljke model λ n de zn da P( u λ ) P( u λ). Door de modelparameers op deze maner eraef e herschaen, convergeer de schang van he model naar de maxmum lkelhood schaer. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 7

28 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen 7. Alernaeve rekenmehode voor ugebred model He model u voorgaand hoofdsuk beschouw he verloop van de volale van aandelen over de jd als onafhankeljk proces. Herdoor zou d model na een rendbreuk een beere schang van de volale kunnen maken dan de ARCH modellen. Echer, de rekenmehode de n voorgaand hoofdsuk behandeld s om de parameers van he ugebrede model e schaen, de Baum-Welch mehode, behoef vrj nauwkeurge a-pror kenns. Omda over deze a-pror weng znvolle aannames gedaan kunnen worden, zal n d hoofdsuk een rekenmehode geformuleerd worden de de parameers kan schaen, zonder da heroe a-pror kenns nodg s. 7. n-grid mehode Veronderseld word da rendemenen beschouwd kunnen worden als rekkngen u een normale verdelng. Daarnaas s de saus van he rendemengenererende proces s µ, σ varabel over de jd. Over een bepaalde jdsperode kan he { } rendemengenererende proces dus meerdere saussen s { s, s, } K s n doorlopen. De n-grid mehode neem over een bepaalde jdsperode alle mogeljke q q, q,, n beschouwng en scha per saussequene de saussequenes { K q } modelparameers λ op bass van een reeks observaes u { u, u,, }. K u Vervolgens word voor de schang van eder mogeljk model λ de kans P ( u λ ) berekend. He model da deze kans maxmalseer, s de maxmum lkelhood schaer voor de gegeven reeks. In fguur 7 s n een boomdagram weergegeven hoe alle mogeljke saussequenes over een dreal jdsppen sysemasch bepaald kunnen worden.????????? K?? K? fguur 7: boomdagram saussequenes over dreal jdsppen Er zjn een dreal verschllende observaes dus er kunnen maxmaal dre verschllende saussen doorlopen worden. In d boomdagram worden alle combnaes van deze dre saussen bepaald. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 8

29 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Een reeks van een -al observaes kan maxmaal verschllende saussen doorlopen. In d geval s edere observae e beschouwen als een rekkng u een andere verdelng. He aanal saussequenes da n beschouwng word genomen door de n-grid mehode s dan dus. De complexe van he algorme bedraag dus n n ermen van bg-oh [7] noae: O ( n) n. D s dus een zeer rekennenseve mehode. In abel 5 zjn alle saussequenes, de volgen u he boomdagram van fguur 7, weergegeven. abel 5: raser me alle mogeljke saussequenes over dre jdsppen Nu kan per saussequene q he erbj horende model λ gescha worden. De nële saus van he rendemengenererende proces π { π } word als volg gedefneerd: (8) π P( q s q u ), Deze kans kan als volg gescha worden: (84) P( q s q u), ψ ( ) Herbj geld: (85) ( ) ψ nden s q anders ψ ( ) 0 De sausveranderngen van he rendemengenererende proces a { a j } worden als volg gedefneerd: (86) a P( q s q s, q u ) j + j, Afsudeerscrpe Informaca & Econome 9

30 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen Deze kans kan als volg gescha worden: (87) P( q s q s, q u) Herbj geld: (88) ( ) + j, ξ ψ ξ j nden q s q+ s j { } De kansverdelng ( ) gedefneerd: j ( ) ( ), anders ξ ( ) 0 j b b u van he rendemengenererende proces word als volg (89) b ( u ) P( u u q s, q, u) waarbj de parameers van saus s als volg gescha kunnen worden: (90) en (9) µ σ ψ ψ ( ) ψ u ( ) ( ) ( u µ ) ψ ( ) ensloe word bepaald welk van deze modellen he mees waarschjnljk s. D s he model λ da de kans P ( u λ ) maxmalseer. Deze kans kan me de forward varabele u onderdeel 6. gescha worden: (9) P( u λ ) α ( ) n Afsudeerscrpe Informaca & Econome 0

31 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen De gehele n-grid mehode kan als volg recursef geformuleerd worden: Invoer: Een reeks observaes u { u, u, K, u } en he maxmaal aanal verschllende saussen n waarn he rendemengenererende proces kan verkeren. Aanroep: ϑ ( ) Recurse ( ) ϑ : nden dan: voor n : q anders: voor Uvoer: ϑ s ( +) n : bereken voor bereken π volgens vergeljkng (84) j n : bereken j µ volgens vergeljkng (90) bereken σ volgens vergeljkng (9) P u λ volgens vergeljkng (9) bereken ( ) nden ( u λ ) P( u λ ) P > dan: λ λ Model λ, da de kans ( u λ ) P maxmalseer. a volgens vergeljkng (87) 7. Opmalsae en ubredngen Zoals n voorgaand onderdeel s geformuleerd, scha de n-grid mehode he model van saussequenes, waarbj he aanal observaes s. Een groo aanal van de gegenereerde saussequenes s echer equvalen. Bjvoorbeeld; de saussequenes s, s, s en s, s, s onderscheden bede dezelfde wee saussen alleen word aan deze saussen een ander ndexnummer oegekend. Om dubbelellng e voorkomen, word de volgende voorwaarde gedefneerd: (9) q ( q, q, K q ) max + + Deze voorwaarde ze erop oe da op een sysemasche maner nummers aan de verschllende saussen worden oegekend. Afsudeerscrpe Informaca & Econome

32 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen In fguur 8 s n een boomdagram weergegeven hoe alle saussequenes van alle mogeljke saussen over een dreal jdsppen sysemasch bepaald kunnen worden nden deze voorwaarde n ach word genomen.??? K? K fguur 8: boomdagram mogeljke saussequenes In abel 6 zjn alle saussequenes, de volgen u d boomdagram, weergegeven. D aanal s aanzenljk mnder dan he aanal da weergegeven s n abel 5. Herdoor hoeven veel mnder modellen n beschouwng e worden genomen, hegeen de rekenjd aanzenljk versnel. abel 6: boomdagram mogeljke saussequenes De geopmalseerde n-grid mehode kan als volg recursef geformuleerd worden: Aanroep: ϑ, ( ) Recurse (,n) ϑ : nden dan: voor n + : q anders: voor ϑ s [ +,max(, n) ] n : bereken voor bereken π volgens vergeljkng (84) j n : bereken j µ volgens vergeljkng (90) bereken σ volgens vergeljkng (9) P u λ volgens vergeljkng (9) bereken ( ) nden ( u λ ) P( u λ ) P > dan: λ λ a volgens vergeljkng (87) Afsudeerscrpe Informaca & Econome

33 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen De n-grid mehode scha nu he model van e saussequenes. De complexe van n he algorme bedraag nu n ermen van bg-oh noae: O ( n) e. Deze opmalsae vermnder de rekenjd dus aanzenljk. Verder val nog wns e boeken op de rekenjd door bepaalde berekenngen op een nellgenere maner u e voeren. In plaas van berekenngen op de bodem van de recurse u e voeren worden nu verschllende ussenresulaen opgeslagen. Om alle modelparameers e berekenen worden de volgende varabelen gedeclareerd: coun _ om he aanal observaes e ellen da n saus verkeer, coun _ aj om q he aanal ranses van saus s naar s j e ellen, observaes de n saus s verkeren e sommeren en sum_ q om de waarde van de sqsum _ om de gekwadraeerde waarde van de observaes de n saus s verkeren e sommeren. De geopmalseerde n-grid mehode kan als volg recursef geformuleerd worden: Aanroep: ϑ, ( ) Recurse (,n) ϑ : nden dan: voor n + : q anders: voor s coun _ q + + coun _ a q + + sum _ q + u sqsum _ q + u ϑ [ +,max(, n) ] n : bereken π volgens vergeljkng (84) mbv ussenresulaen voor j n : bereken a j volgens vergeljkng (87) mbv ussenresulaen bereken µ volgens vergeljkng (90) mbv ussenresulaen bereken σ volgens vergeljkng (9) mbv ussenresulaen P u λ volgens vergeljkng (9) bereken ( ) nden ( u λ ) P( u λ ) P > dan: λ λ Door deze ussenresulaen op e slaan, word de rekenjd van de n-grid mehode wederom aanzenljk vermnder. Verder s he nog mogeljk om de n-grid mehode e versnellen door verschllende heurseken [7] oe e passen. Her zal echer ne verder op worden ngegaan. q Afsudeerscrpe Informaca & Econome

34 Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen 8. Vergeljkng modellen en rekenmehoden In d onderdeel zal een vergeljkng gemaak worden ussen de presaes van de ARCH modellen en de n-grid mehode. He doel s om e evalueren n hoeverre de n-grid mehode kor na een rendbreuk een beere schang kan maken van volale dan een ARCH model. He volgende expermen word nu ugevoerd: gedurende een kore jdsperode word he verloop van een aandeel gesmuleerd op bass van vergeljkng (0). Halverwege deze jdsperode word een rendbreuk gesmuleerd. Op eder jdsp word vervolgens me behulp van bede mehoden een schang gemaak van de volale. ensloe word bepaald n hoeverre de geschae modellen de jdreeks kunnen verklaren. In abel 7 s d expermen weergegeven. varance smulaed reurn EWMA lkelhood n-grid lkelhood 0,0 4,87% 0,007 5,04 0, ,67 0,0,0% 0,007 5,8 0, ,95 0,0 -,76% 0,0078-4,65 0,00655,4 4 0,0 0,58% 0, ,85 0, ,0 5 0,0-4,5% 0, ,95 0, ,77 6 0,0,04% 0,00875,4 0,00655,7 7 0,0-9,7% 0,0068,75 0,00655,74 8 0,0-4,04% 0, ,69 0, ,78 9 0,0 0,70% 0, , 0, ,0 0 0,0,9% 0,00468,9 0,00655,05 0,0-8,0% 0, ,9 0,096599,00 0,0-4,9% 0,0605 4,0 0,096599, 0,0-68,56% 0, , 0, ,5 4 0,0 44,5% 0,7647 0,6 0, ,8 5 0,0-6,05% 0,880,68 0,096599,0 6 0,0 7,% 0,9040,88 0,096599,0 7 0,0-0,9% 0,0874,44 0,096599,4 8 0,0,% 0,0564,08 0,096599,88 9 0,0 0,4% 0,0584,7 0,096599,9 0 0,0,74% 0,04805,86 0,096599,75,6 55,59 abel 7: vergeljkng lkelhood EWMA en n-grid Omda GARCH(,) ne sabel s over deze jdsperode word gebruk gemaak van he EWMA model. Per jdsp kom de varane σ volgens vergeljkng (47) o sand. He opmum word gescha me behulp van de maxmum lkelhood mehode. In d opmum geld dan: λ 0, De maxmum lkelhood waarde n d opmum bedraag,6. Afsudeerscrpe Informaca & Econome 4