NUMERIEKE WISKUNDE, 1-ste deel Inleiding in de Numerieke Analyse. Department of Mathematics. November door

Transcriptie

1 .5.5 grfiek f 3 de grds 6 de grds 9 de grds 5 de grds ÍÒ Ú Ö Ø Ø¹ÍØÖ Ø 0.5 Deprtment of Mthemtics NUMERIEKE WISKUNDE, -ste deel Inleiding in de Numerieke Anlyse door Numerieke Wiskunde Groep Deprtement Wiskunde Universiteit Utrecht November 0

2

3 Voorwoord Numeriek Wiskunde. Een numeriek wiskundige ontwerpt en nlyseert rekenschem s (lgoritmen) voor het numeriek oplossen vn (gewoonlijk) rekenintensieve rekenproblemen. Hij let drbij op efficiëntie (met het rekenschem produceert een computer snel de oplossing) nuwkeurigheid (de oplossing is nuwkeurig binnen vn te voren opgegeven foutgrenzen) betrouwbrheid (er is een zekere grntie dt de gewenste nuwkeurigheid ook ddwerkelijk gehld wordt) robuustheid (de performnce (d.w.z., efficiëntie, nuwkeurigheid, betrouwbrheid) wordt ook gehld voor nburige problemen) De rekenschem s moeten geïmplementeerd worden voor verwerking op een computer. Dit is het werkterrein vn de informticus. En ze kunnen voor zekere toepssingen geoptimliseerd worden. Dit is het werkterrein vn de computtionl scientist. De grenzen tussen Numerieke Wiskunde en Informtic en Computtionl Science is vg: de efficiëntie vn een rekenschem hngt f vn de rchitectuur vn de computer wrop het schem moet drien en wt efficiënt is en nuwkeurig hngt f vn de toepssing. De rekenschem s zijn numeriek en niet symbolisch, d.w.z., de geproduceerde oplossingen bestn uit getllen. Voor nlyse ten behoeve vn inzicht, voorspellingen, beleid, ontwerp, etc., worden de oplossingen gewoonlijk gevisuliseerd middels grfieken of nimties. In het weerprtje in het 8 uur journl zijn de beelden vn het weer vn fgelopen dg foto s (stellietbeelden), mr de beelden met pijlen die de windrichting ngeven, lijnen vn gelijke luchtdruk, bewegende wolkenprtijen, etc., dus de beelden die het weer voorspellen zijn nimties verkregen met rekenschem s ls boven bedoeld. De cursus. Het doel vn deze cursus is tweeledig. (i) Voor eenvoudige problemen de functies in deze cursus zijn reëelwrdig en gedefiniëerd op een reëel intervl willen we lten zien wt efficiëntie, nuwkeurigheid, betrouwbrheid en robuustheid is en welke overwegingen een rol spelen bij het fleiden vn schem s met dergelijke eigenschppen. (ii) Verder zullen we benderingstrtegiën bekijken die vk de bsis vormen voor rekenschem s voor ingewikkeldere problemen. Bij tl vn mthemtische problemen is de excte oplossing niet in hndzme vorm te vinden. Zo is f(x)dx mr voor reltief weinig functies f ls getlwrde te beplen, zijn differentilvergelijkingen nog zeldzmer in eindige termen vn elementire functies oplosbr en zijn wortels vn vergelijkingen f(x) = 0 slechts zelden te beplen. En de oplossingen vn deze problemen worden zelfs ongedefiniëerd ls men vn de optredende functies slechts in een ntl punten de wrden kent, terwijl dit bijv. bij de experimentele wetenschppen toch een veel voorkomende situtie is. In dit college, en in vervolg colleges, zullen wij lten zien hoe men de genoemde problemen benderd kn oplossen door de optredende functies te benderen door functies uit zinnige functieklssen wrvoor de gestelde problemen wèl oplosbr zijn. Belngrijke vrgen die hierbij een rol zullen spelen zijn: Wt is (een bovengrens voor) de fout in de numerieke bendering; Wt zijn de kosten verbonden n het berekenen vn deze bendering; i

4 Wt is het effect op het eindresultt vn fouten in de ingngsgegevens en vn fouten die gemkt worden door het rekenen in eindige precisie. Het dictt. Dit dictt is een bewerking vn een collegedictt geschreven door A. vn der Sluis en M. de Gee. Verschillende leden vn de numerieke wiskunde groep, i.h.b. G. Sleijpen en R. Stevenson, hebben drn bijgedrgen. ii

5 Inhoudsopgve Voorwoord i Interpoltie.0 Inleiding Lineire interpoltie Lgrnge interpoltie Interpoltie met functiewrden en fgeleiden Inverse (lineire) interpoltie Numerieke differentitie 5. Eenvoudige formules. Effect vn frondfouten Nuwkeuriger formules Experimenteel gevonden functiewrden Foutschttingen bij numerieke processen 0 3. Fouten Afrondfouten Foutvoortplnting Representtiefouten Extrpoltieprocessen Numerieke integrtie Inleiding De trpeziumregel Automtische integrtie en Romberg schem s Andere kwdrtuurformules Convergentie vn kwdrtuurschem s A Interpoltie met fgeleiden 5 B Rombergschem s 53 C De Euler Mc-Lurin reeks 55 Vrgstukken 57 Interpoltie Numerieke differentitie Foutschttingen bij numerieke processen Numerieke integrtie Index 74

6 INTERPOLATIE Interpoltie.0 Inleiding Een bsis element in de numerieke wiskunde is het benderen vn een functie f door een ndere functie f uit een geschikte functieklsse. Wnneer bijvoorbeeld f slechts bekend is in een ntl punten, kn dn deze f, die ook in tussengelegen punten gedefiniëerd is, gebruikt worden om de wrde vn f in zo n tussenpunt te benderen of om de extremen, de integrl of de fgeleide vn f te benderen. Ook wnneer f in principe in ieder punt beschikbr is, mr moeilijk te evlueren vlt, kn f hier voor gebruikt worden. Vk zijn de functies f oplosingen vn differentilvergelijkingen en kunnen de functiewrden lleen (en ook nog mr lleen bij bendering) berekend worden in zekere rekenpunten. Bij bijvoorbeeld de weersvoorspellingen berekent men de tempertuur lleen om de 5 minuten. Of zijn functiewrden lleen bekend in zekere meetpunten (de tempertuur vn gisteren is lleen gemeten in een ntl meetsttions). In dit hoofdstuk benderen we f door een interpoltiepolynoom, d.w.z. een polynoom dt met f overeenstemt in een ntl (steun)punten.. Lineire interpoltie.a Zij < b twee punten in R en f een functie die gedefiniëerd is op [, b]. Lt verder c en d twee verschillende punten zijn in [, b]. Het lineire interpoltiepolynoom vn f op de steunpunten c en d is dn gedefiniëerd ls het eerste grds polynoom p dt in c en d dezelfde wrde nneemt ls f. Men gt snel n dt het bedoelde polynoom gegeven wordt door oftewel p(x) = f(c) + x c (f(d) f(c)) () d c p(x) = x d c d f(c) + x c f(d). () d c Grfisch komt dit er op neer dt men op [, b] de grfiek vn f bendert door de rechte lijn door de punten (c, f(c)) en (d, f(d)). Lineire interpoltie is een veel nuwkeuriger proces dn de meeste mensen denken. Beschouw bijvoorbeeld volgend tbelletje vn de sinus. x 35 o 36 o 37 o 38 o 39 o sin(x) Stel eens dt we sin(37 o ) niet gekend hdden en deze door lineire interpoltie uit sin(36 o ) en sin(38 o ) hdden willen beplen. Dn ws er uitgekomen , hetgeen slechts 9 eenheden vn de vijfde deciml verschilt vn het wre ntwoord. Dit is eigenlijk wel een verrssend resultt, en er rijzen dn ntuurlijk meteen vrgen, zols - zou je ook voor ndere rgumenten dn 37 o zo n goed resultt krijgen; - zou dt ook zo zijn op ndere intervllen [c, d] met d c = ; - wt gebeurt er op lngere of kortere intervllen; - hoe zit dit bij ndere functies.

7 . Lineire interpoltie grfiek f grfiek p f(x) p(x) c x d Figuur : De grfiek vn een functie f en vn een lineir interpoltie polynoom p vn f..b Kortom, ls je een functie bendert met een ndere wil je weten wt de fout ongeveer is en wr die vn fhngt. Voor lineire interpoltie doet de volgende stelling hierover een uitsprk (hierin duidt een nottie ls [, b, c, d] het gesloten intervl n opgespnnen door de uitersten vn het rijtje, b, c, d en evenzo ], b, c, d[ het bijbehorende open intervl;, b, c, d hoeven drbij geen stijgend rijtje voor te stellen; met nme is dus bijv. [5, 3] toegestn met dezelfde betekenis ls [ 3, 5]). Stelling.. Lt c en d punten in [, b] zijn met c d. Zij f C[, b], en lt f en f bestn op ], b[. Dn geldt voor het lineire interpoltiepolynoom p vn f op de steunpunten c en d, en voor elke x [, b] dt er een ξ ]c, d, x[ is, zo dt f(x) p(x) = (x c)(x d) f (ξ). (3) Bewijs. Als x = c of x = d, dn is f(x) p(x) = 0 en kn men ξ willekeurig kiezen. Zij dus nu x c, x d. Dn is er, voor deze vste wrde vn x, een getl q zo dt Beschouw voor deze vste q de functie f(x) p(x) = q(x c)(x d). ϕ : t f(t) p(t) q(t c)(t d). Hiervoor geldt: ϕ(c) = ϕ(d) = ϕ(x) = 0. Volgens de stelling vn Rolle zijn er minstens twee (verschillende) punten y en z in ]c, d, x[ zodt ϕ (y) = ϕ (z) = 0. Opnieuw volgens Rolle is er ook een ξ ]y, z [, dus ξ ]c, d, x[, zo dt ϕ (ξ) = 0. Wegens ϕ (t) = f (t) q volgt nu q = f (ξ).

8 4 INTERPOLATIE Opmerking.. Hoewel we p een inter poltiepolynoom noemen kunnen we p ntuurlijk ook gebruiken om te extrpoleren (dt wil zeggen, het benderen vn f(x) met p(x) voor x / [c, d]). Stelling.. doet dn nog steeds een uitsprk over de fout..c Als we ons beperken tot echte interpoltie (dus x [ c, d]), dn kunnen we met stelling.. eenvoudig een bovengrens voor de bsolute interpoltiefout vinden: Stelling.. Zij f C[c,d], f C ]c,d[. Definiëer R f (c,d) = f p,[c,d] (= sup{ (f p)(x) : x [c,d]}), wrbij p het lineire interpoltiepolynoom is vn f op de steunpunten c en d. Dn geldt 8 (d c) inf f (x) R f (c,d) ] c, d[ 8 (d c) sup f (x). ] c, d[ I.h.b. geldt voor vste m = d+c dt lim (d c) 0 R f (c,d) 8 (d c) = f (m). Bewijs. Dit volgt eenvoudig uit mx x [c,d] (x c)(x d) = (m c)(m d) = 8 (d c), R f (c,d) f(m) p(m), en, voor de ltste bewering, een toepssing vn de insluitstelling voor limieten. In woorden zegt bovenstnde stelling dus dt, indien f (m) 0, de mximle fout bij lineire interpoltie symptotisch fneemt met het kwdrt vn de fstnd tussen de steunpunten. Voorbeeld.. Neem f(x) = sin(x) (voortn x in rdilen). In onderstnde tbel stn voor verschillende wrden vn m = c+d en d c de wrden vn R sin (c, d) gegeven (op de regel met R ) en de fctor wrmee R sin (c, d) gereduceerd wordt ls bij vste wrde vn m de wrde vn d c gehlveerd wordt (op de regels met red ). m\(d c) R red R red R red R red We zien, dt in de eerste drie rijen de reductiefctor het getl 4 heel rdig bendert. Dt in de derde rij de reductiefctoren wt verder vn 4 fliggen wordt verklrd doordt de tweede fgeleide vn de sinus op de intervllen [0, 0.], [0.05, 0.5] en [0.075, 0.5] in reltieve zin sterk vriëert. In de vierde rij ziet men een reductiefctor 8 opdoemen. Men kn inderdd bewijzen dt deze fctor symptotisch juist is (zie prgrf.d).

9 . Lgrnge interpoltie 5.D Opgve.. Zij f een voldoend vk differentiëerbre functie, en zij p het lineire interpoltiepolynoom vn f op de punten c d. Lt zien dt voor lle x en ]x,c,d[ er een η ], c, d, x[ is met f(x) p(x) = (x c)(x d)[f () + ( x+c+d 3 )f (η)]. (4) Anwijzing: Het bewijs loopt nloog n dt vn stelling..; bedenk dt voor de overeenkomstig gedefiniëerde functie ϕ ook nog geldt: ϕ () = 0. Opgve.. In de situtie vn opgve.., en met ζ := x+c+d 3 het zwrtepunt vn c, d en x, lt zien dt er een θ ],ζ[ en een φ ]η,θ[ zijn, zo dt f(x) p(x) = (x c)(x d)[f (ζ) + ( ζ)(θ η)f (φ)] (5) Merk op door willekeurig dicht bij ]x,c,d[ te nemen dt dit betekent dt ξ uit (3) ongeveer gelijk is n het zwrtepunt vn x en de steunpunten c en d. Lt zien dt indien f een derde grds polynoom is er zelfs gelijkheid geldt. Opgve..3 In de situtie vn opgve.. en met m = d+c, bewijs dt indien f (m) = 0 er geldt 8 7 R f (c,d) lim = f (m). (d c) 0 3(d c) 3 Verklr hiermee de fctor 8 in de ltste rij vn de tbel in.c. (Merk op dt het rekenwerk nzienlijk vereenvoudigt ls men m = 0 veronderstelt. G n dt dit geen wezenlijke beperking is.). Lgrnge interpoltie.a Als ntuurlijke generlistie vn lineire interpoltie kn men de pproximtie beschouwen vn een functie f door een n-de grds polynoom p, zodnig dt de wrden vn f en p in een voorf gegeven n + -tl verschillende punten x 0,...,x n overeenstemmen. Men spreekt dn vn n-de orde Lgrnge interpoltie. Een polynoom p dt n deze eisen voldoet is gemkkelijk n te geven, en wel in een vorm die een duidelijke generlistie vn () is: wrin p(x) = n f(x k )L k n (x) (6) k=0 L k n (x) = (x x 0) (x x k )(x x k+ ) (x x n ) (x k x 0 ) (x k x k )(x k x k+ ) (x k x n ). (7) Immers, L k n heeft voor elke k de grd n, en L k n (x i ) = 0 voor i k, L k n (x k ) =, zodt p(x i ) = f(x i ) voor i = 0,...,n. Het polynoom p is het Lgrnge interpoltiepolynoom vn f op de steunpunten x 0,...,x n.

10 6 INTERPOLATIE Opmerking.. Het polynoom p is uniek. Immers zij p een nder n-de grds polynoom dt met f overeenstemt op de verschillende punten x 0,...,x n. Dn is p p een n-de grds polynoom met n + verschillende nulpunten, hetgeen betekent dt p p = 0. Het rechterlid vn (6) is de Lgrnge representtie vn p. (Elk polynoom heeft tlloze representties; vergelijk bijvoorbeeld () en ().). De polynomen L k n uit (7) zijn de Lgrnge coëfficiënten; zij hngen slechts f vn x 0,...,x n, en niet vn f. In de litertuur worden ze vk geschreven ls L k n (x) = ω(x) (x x k )ω (x k ) met ω(x) = n (x x i ). Stelling.. lt zich eenvoudig generliseren. Het bewijs lten we chterwegen: het loopt geheel nloog n dt vn stelling... Stelling.. Lt x 0,...,x n verschillende punten zijn in [, b]. Lt f C[, b], en lt f, f,...,f (n+) bestn op ], b[. Dn geldt voor het bijbehorende interpoltiepolynoom p en voor elke x [, b] dt er een ξ ]x 0,x,...,x n,x[ is, zo dt f(x) p(x) = (x x 0 )(x x ) (x x n ) f(n+) (ξ) (n + )!. (8) Opmerking.. Wt betreft het punt ξ in stelling.. kn men weer bewijzen dt ( ) ξ n x + x i, (9) n + dus ξ is ongeveer het zwrtepunt vn x,x 0,x,...,x n (Vergelijk opgve..) i=0 i=0.b Een belngrijk gevl krijgt men ls de fstnd tussen twee opeenvolgende steunpunten steeds gelijk is, zeg gelijk n h. Dn nummert men de steunpunten zo dt x k = x 0 + kh voor k = 0,...,n. Men noemt dit equidistnte Lgrnge interpoltie. Schrijven we nu x = x 0 + qh, dn krijgt men: L k n (x) = q (q (k ))(q (k + )) (q n) ( ) n k k!(n k)! (0) voor k = 0,...,n. Merk op dt het rechterlid vn (0) onfhnkelijk is vn h, hetgeen betekent dt de coëfficiënten hergebruikt kunnen worden wnneer de stpgrootte h vernderd wordt..c Stel dt een functie f gegeven is voor x = 0, 0., 0., etc. Als we dn met 4 punts interpoltie f(0.65) willen beplen kunnen we dt bijv. doen met ls steunpunten 0.4 t/m 0.7, 0.5 t/m 0.8 of 0.6 t/m 0.9. Zou dt verschil uitmken? We proberen dit eens voor f(x) = e x. Men krijgt dn resp ; ; , zodt f p = ; ; Dus ls we de steunpunten zo kiezen dt het interpoltiepunt x in het middelste deelintervl ligt krijgen we het beste resultt. Is dit verschil stelselmtig? Bekijken we eens de restterm (x x 0 )(x x ) (x x n ) f(n+) (ξ) (n + )! ()

11 . Lgrnge interpoltie 7 Wnneer f (n+) op de gezmenlijke interpoltie intervllen slechts weinig vriëert, hetgeen geen onredelijke nnme is ngezien men meestl interpoleert op kleine intervllen, dn wordt het gedrg vn de fout in fhnkelijkheid vn x voornmelijk bepld door het gedrg vn het polynoom (x x 0 )(x x ) (x x n ). In het equidistnte gevl dt we zojuist beschouwden hebben we x i = x 0 + ih. Schrijven we weer x = x 0 + qh dn krijgen we (x x 0 )(x x ) (x x n ) = h n+ q(q ) (q n). () Voor n =,,3,4,5 zijn de grfieken vn q(q ) (q n) in figuur geschetst. De e e e e e e e e+00.00e+00.00e e e e e+0.3e e e+0.4e e+0.69e e Figuur : De grfiek vn de functies q q(q ) (q n) voor n =,, 3,4, 5,6 met drin de wrden vn lokle extrem (in drie decimlen). wrden vn de lokle extrem zijn in de tekening ngegeven. Het blijkt dt deze extrem inderdd het kleinst zijn midden op het interpoltie intervl zodt men bij lngzm vriërende f (n+) dus inderdd mg verwchten dt de interpoltiefouten het kleinst zijn in het (of een) middelste interpoltie intervl. Hiermee moet men dn

12 8 INTERPOLATIE bij de keuze vn de steunpunten rekening proberen te houden. Buiten het intervl [0, n] groeit het rechterlid vn () snel ls functie vn q. Dit verklrt de veel grotere fout bij extrpoltie..d Bij functies die men in de prktijk tegenkomt zijn de hogere fgeleiden vk bijzonder ingewikkelde uitdrukkingen, wrbij het vrijwel ondoenlijk is te schtten hoe groot de wrden wel kunnen worden. Toch kn men zich wel een indruk verschffen vn de wrden vn f (n+). Een vn de methoden drvoor werkt ls volgt: Stel: We kennen de functiewrden in een (groot) ntl punten x 0,...,x n,x n+,..., (die we eenvoudigheidshlve in volgorde vn grootte genummerd denken: x 0 < x < ). Lt p 0 het n-de orde interpoltiepolynoom zijn op x 0,...,x n, dn kunnen we de wrde vn het polynoom en die vn de functie vergelijken in het punt x n+. We vinden zodoende de wrde vn f (n+) in n punt ξ 0 [x 0, x n+ ]: f (n+) (ξ 0 ) = (n + )! (x n+ x 0 )(x n+ x ) (x n+ x n ) [f(x n+) p 0 (x n+ )]. (3) Evenzo vindt men uitgnde vn het interpoltiepolynoom p op x,...,x n+ en de functiewrde in x n+ de wrde vn f (n+) in n ξ [x, x n+ ] etc. f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ 0 ) x 0 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 Figuur 3: De grfiek vn de functie f loopt door de punten (ξ i, f (ξ i)). Vn deze punten weten we dt ze op de horizontle lijnstukjes liggen (het i-de punt ligt ergens op het i-de lijnstukje). Stel nu eens dt deze ldus verkregen wrden f (n+) (ξ i ) een gldjes verlopende rij vormen en lten we deze, lthns in gedchten, eens grfisch uitzetten d.m.v. horizontle lijnstukjes op de hoogte f (n+) (ξ i ) boven het intervl [x i, x i+n+ ] (zie figuur 3 voor n = ). Dn snijdt de grfiek vn f (n+) l deze horizontle lijnstukjes en men hoopt dt

13 . Lgrnge interpoltie 9 hij binnen de ngegeven strook loopt. Op die mnier krijgt men dn een indruk vn de wrden vn f (n+). Men kn dit beschouwen ls een bedenkelijke gng vn zken, mr men doet hetzelfde wnneer men, om enig zicht op het verloop vn een lstige functie te krijgen, een ntl functiewrden beplt (zie figuur 4) en dn nneemt dt het verloop door de getrokken kromme wordt weergegeven en niet door de gestippelde. Figuur 4: Als we vn een functie een ntl wrden kennen (gemrkeerd met o ), dn nemen we n dt de grfiek vn de vn de functie meer lijkt op de getrokken kromme dn op de gestippelde..e Tot dusver hebben we ons bezig gehouden met de fout die je bij interpoltie mkt ls je gebruik mkt vn excte functiewrden. In werkelijkheid heb je die vrijwel nooit. Zo moet men er in het voorbeeld in.a mee rekening houden dt er (frond)fouten ter grootte vn 0 6 op de functiewrden kunnen zitten. Het is een essentiële numeriek wiskundige vrgstelling bij llerhnde numerieke processen hoe dergelijke ingngsfouten in het resultt doorwerken. We gn dt nu n voor interpoltie. We merken eerst op dt ls we n+ punts interpoltie toepssen op een polynoom f vn grd hoogstens n, we wegens opmerking.. f zelf terug krijgen. In het bijzonder geldt dit voor f(x) =. Bijgevolg geldt de interessnte reltie: n k=0 L k n(x) = voor lle x. I.h.. zijn echter niet lle Lgrnge coëfficiënten positief, zodt n k=0 L k n(x). Stel nu dt de functiewrden f(x k ) met fouten ǫ k belst zijn, ǫ k ǫ. Deze werken in het interpoltieresultt door ls L k n (x)ǫ k, en dt is hoogstens ǫ L k n (x). Deze grens kn bereikt worden; nmelijk, ls ǫ k net telkens ± ǫ is met het teken vn L k n (x). Als nu mx x Lk n (x) veel groter dn zou zijn zouden fouten in de f(x k ) dus zeer versterkt kunnen doorwerken. Bij equidistnte interpoltie (d.w.z. x k = x 0 + kh) met niet l te veel punten vlt dit echter nog l mee. Onderstnd geven we voor dit gevl bovengrenzen voor n k=0 L k n(x) in fhnkelijkheid vn n en vn de ligging vn x ten

14 0 INTERPOLATIE opzichte vn x 0,...,x n. x [x 0, x ] x [x, x ] x [x, x 3 ] x [x 3, x 4 ] x [x 4, x 5 ] n = n =.5.5 n = n = n = Men ziet hieruit nog dt deze wrden bij stijgende n lngzm oplopen. Men kn bewijzen (zie bijvoorbeeld Ntnson, Constructive Function Theory, vol. III, Theorem ) dt voor willekeurige x 0 < < x n, mx x [ x 0, x n ] k=0 n L k n (x) > ln(n + ) 8 π (4).F Veronderstel dt we geïnteresseerd zijn in de wrde vn een functie f in een punt x, en dt de functie slechts bekend is in de punten < x < x 0 < x < wrbij x (x 0,x ). Indien we niet tevreden zijn met het resultt vn een zeker Lgrnge interpoltie polynoom op een neengesloten rijtje steunpunten wronder x 0 en x, dn kunnen we slechts hopen een betere bendering te krijgen door meer steunpunten toe te voegen die evenwel verder verwijderd zijn vn x. Bij equidistnte steunpunten, efficiënte berekeningswijzen vn het Lgrnge interpoltiepolynoom wrbij de steunpunten in de volgorde x 0,x,x,... dnwel x 0, x, x, x,... worden toegevoegd stn bekend ls Newton s voorwrtse formule respectievelijk Guß voorwrtse formule (zie vrgstuk 9). Op grond vn inzichten verkregen in.c kunnen we voor vste grd n, nnemende dt f (n+) lngzm vriëert, vn de Guß formule betere resultten verwchten. De vrg is of er voor n convergentie optreedt vn het resultt vn interpoltie nr f(x). Dit blijkt slechts onder bijzondere voorwrden het gevl te zijn. Zo is bij Newton s voorwrtse formule een noodzkelijke (niet eens voldoende) voorwrde dt f regulier (d.w.z. differentiëerbr) is in het complexe hlfvlk Rez x 0. En bij de formule vn Guß moet f zelfs in het hele complexe vlk regulier zijn. Voor een functie ls +x, die op de reële s C is, kn dus eenvoudig geen convergentie optreden bij Guß, en ook niet bij Newton ls x 0 < 0, wegens de singulriteiten voor x = ±i. Uit het hieronder gegeven voorbeeld blijkt zelfs dt wnneer men met het verhogen vn de orde tegelijkertijd de fstnd tussen de steunpunten verkleint convergentie geen uitgemkte zk is: Voorbeeld.. [Runge] Zij p n het Lgrnge interpoltie polynoom vn de functie +x op de punten x (n) k = 5+k 0 n, k = 0,,...,n. Er geldt lim n p n (x) = f(x) dn en slechts dn ls 5 5 log x ξ dξ < 5 5 log x i dξ x < , zie figuur 5. Problemen ls in bovenstnd voorbeeld worden veroorzkt door (4). Voor een overzicht vn positieve resultten ngnde convergentie vn interpoltieschem s bij het verhogen vn de orde, zie P.J. Dvis, Interpoltion nd Approximtion, Ch. IV. Een voldoende voorwrde voor uniforme convergentie is ruwweg dt de fstnd tussen het betreffende gebied en de singulriteiten groot genoeg is. Deze fstnd beplt immers de grootte vn de fgeleiden.

15 .3 Interpoltie met functiewrden en fgeleiden.5 grfiek f 3 de grds 6 de grds 9 de grds 5 de grds Figuur 5: De getrokken kromme is de grfiek vn de functie f : x /( + x ). De ndere krommen zijn de grfieken vn Lgrnge interpoltie polynomen op steunpunten die equidistnt verdeeld liggen tussen 5 en +5. De benderingskwliteit verbetert in het midden bij toenemend ntl steunpunten, terwijl die n de rnd verslechtert. Opgve.. Zij f C[,b], x (n) k = + k b n, k = 0,...,n. Bender f door p n gedefinieerd ls het stuksgewijs lineir interpoltie polynoom op de intervllen [x (n) k,x(n) k+ ]. Bewijs dt lim n f p n,[,b] = 0..3 Interpoltie met functiewrden en fgeleiden.3a De Tylor polynomen. Een heel bekende methode om een functie te benderen met een polynoom is het gebruiken vn de Tylor ontwikkeling. Als eigenlijke benderingsmethode wordt deze techniek in de numerieke wiskunde niet zo vk gebruikt; veel belngrijker echter is zijn rol in de nlyse vn ndere numerieke processen. We vtten hier kort enige resultten uit de nlyse smen. Stelling.3. Lt c een punt in het intervl [, b] zijn, en f C n [, b]. Het n-de orde Tylor polynoom p n vn f in c is gegeven door p n (x) = n (x c) k f(k) (c). k! k=0 Voor x [,b] geldt voor de restterm R n (x) = f(x) p n (x) dt ) R n (x) = x c (x t) n (f (n) (t) f (n) (c))dt (= o((x c) n ) (x c)). (n )!

16 INTERPOLATIE Als zelfs f C n+ [c, x], dn b) R n (x) = x c (x t) n f (n+) (t)dt (= O((x c) n+ ) (x c)). n! en er bestt dn een, x fhnkelijke, ξ ]c, x[ zodt c) R n (x) = (x c)n+ f (n+) (ξ) (n + )! Opmerking.3. Er geldt p n (k) (c) = f (k) (c) voor k = 0,...,n. Bovenstnde stelling doet geen uitsprk over convergentie vn R n (x) nr nul voor n..3b Interpoltie in het lgemeen. In het lgemene gevl stelt men zich bij interpoltie de opgve om bij een functie f een polynoom p te construeren, zodnig dt in een ntl gegeven steunpunten niet lleen de wrden vn f en p overeenstemmen, mr ook de wrden vn een ntl vn hun fgeleiden. Het ntl fgeleiden mg per steunpunt verschillen. Het zl duidelijk zijn, dt zowel Lgrnge interpoltie ls pproximtie met Tylor polynomen bijzondere gevllen zijn. We bekijken hiertoe een rij (x 0,x,...,x n ) getllen x i die niet lleml verschillend wrden hoeven te hebben. Zo komt in de rij (0,0,,,,0) de wrde 0 drie ml voor en de wrde twee ml. Nottie.3. Lt (x 0,x,...,x n ) een rij getllen zijn. We zeggen dt p = f op (x 0,x,...,x n ) ls p(x i ) = f(x i ) voor lle i = 0,...,n en bovendien p (j) (x i ) = f (j) (x i ) ls de wrde vn x i j + of meer keer voorkomt in de rij (x 0,x,...,x n ). We nemen hierbij n dt f in de x i gedefiniëerd is en in dt punt ook voldoende vk differentiëerbr is. Dus met p = f op (0,0,,,,0) bedoelen we dt p(0) = f(0), p (0) = f (0), p (0) = f (0), (immers 0 komt drie ml voor in de rij (0,0,,,,0)), p() = f() en p () = f (), ( komt twee ml voor) en p( ) = f( ). Stelling.3. Lt (x 0,x,...,x n ) een rij getllen zijn. Dn is er een uniek polynoom p vn grd hoogstens n wrvoor p = f op (x 0,x,...,x n ): deze p wordt het interpoltie polynoom voor f op (x 0,x,...,x n ) genoemd. Anders dn bij pproximtie met Lgrnge en Tylor polynomen is in dit lgemene gevl een expliciete gednte vn het interpoltiepolynoom niet zo eenvoudig n te geven. We volstn drom met het geven vn bovenstnd resultt over existentie, uniciteit en onderstnd resultt over de restterm. De bewijzen vn deze stellingen kn men vinden in Bijlge A. In deze bijlge (in het bewijs vn Stelling A.3) en in Vrgstuk 9 wordt overigens een recursieve definitie gegeven voor het interpoltiepolynoom, wrin het interpoltiepolynoom uitgedrukt wordt in lger grds interpoltiepolynomen, d.w.z, in polynomen die f in één punt minder interpoleren. Met behulp vn deze uitdrukking (een generlistie vn de voorwrtse Newton formule ls vermeld in.f) kn je polynoomwrden gemkkelijk en efficiënt berekenen.

17 .4 Inverse (lineire) interpoltie 3 Opmerking.3. Een essentieel element bij lgemene interpoltie is, dt men in ieder steunpunt slechts een neengesloten stel fgeleiden, beginnend vnf de nulde (de functiewrde zelf) mg nemen. Als men dt niet doet, zijn existentie en uniciteit niet ltijd gegrndeerd. Voorbeeld.3. Er bestt geen eerste grds polynoom met p(0) =, p (0) = en er bestn er oneindig veel vn de tweede grd die n deze eisen voldoen. Nst Lgrnge interpoltie (x i x j lle i j) en Tylor polynomen (x i = x 0 lle i) heeft ook het gevl x i = x i+ (lle i, i + n) en x i x j lle i j een fzonderlijke nm; men spreekt dn vn Hermite interpoltie. Stelling.3.3 Lt (x 0,x,...,x n ) een rij getllen zijn. Zij p het polynoom vn grd hoogstens n dt gelijk is n f op (x 0,x,...,x n ). Als f C[, b] en f (n+) bestt op ], b[, dn bestt er voor elke x [, b] een ξ ]x 0,...,x n,x[ zodnig dt f(x) p(x) = (x x 0 )(x x ) (x x n ) f(n+) (ξ) (n + )! (5) Als voor de ξ in stelling.. geldt ook hier weer (9). Er is bijvoorbeeld precies een polynoom p vn grd hoogstens 5 zodt p = f op (0,0,0,,,). Voor dit polynoom is er voor iedere x R een ξ tussen 0, en x zodt.4 Inverse (lineire) interpoltie f(x) p(x) = x 3 (x )(x (ξ) )f(6). 6! Bij het tbelletje in.a vn de sinus zou men zich de vrg kunnen stellen: voor welke wrde vn x heeft sin(x) de wrde ? De vrg kn benderd bentwoord worden door de tbel vn rechts nr links te lezen en lineir te interpoleren in Men vt dus de wrden vn de sinus op ls rgumenten, de wrden vn x ls functiewrden, en interpoleert in feite op de inverse functie, in dit gevl de boogsinus. Dit heet drom inverse interpoltie. Met (), en m.b.v. de wrden vn sin(36 o ) en sin(37 o ) vinden we in dit gevl x = o. Hoe nuwkeurig is dit ntwoord? Met stelling.. vinden we voor de fout: f (ξ) = f (ξ), wrin f echter niet de sinus, mr de inverse functie is. Vn de sinus kennen we de inverse functie, mr in het lgemeen is de inverse niet expliciet bekend. Een mogelijkheid biedt dn invers differentiëren. Voor een inverteerbre en voldoend gldde functie g, zij y = g(x) en dus x = g (y). Door de reltie g g = Id te differentiëren m.b.v. de kettingregel vindt men (g ) (y) = g (x). Hiermee verkrijgt men (g ) (y) = d ( dy g (g (y)) ) = g (g (y)) d dy (g (y)) (g (g (y))) = g (x) (g (x)) 3 (6)

18 4 INTERPOLATIE Met g(x) = sin(x) kunnen wij nu de fout schtten, wrbij we dn ook g (x) = cos(x) nodig hebben. Wegens cos 36 o = 0.809, cos 37 o = vinden we ls bovengrens voor de fout /(0.8) rdilen grden. Het juiste ntwoord is grden, en de fout o.

19 5 Numerieke differentitie. Eenvoudige formules. Effect vn frondfouten.a Vnwege de definitie f f(x (x 0 ) = lim 0 +h) f(x 0 ) h 0 h zou men f (x 0 ) kunnen benderen met het eindige quotiënt, een zogenmde differentie quotiënt. Als we schrijven f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h + R (h), (7) dn is R (h) de fout bij de stpgrootte h. Annemend dt f C [x 0,x 0 + h], vinden we door f(x 0 + h) in een Tylor reeks te ontwikkelen een uitdrukking voor R (h): R (h) = h f (ξ), met ξ tussen x 0 en x 0 + h. (8) Voor h klein zl f (ξ) niet veel verschillen vn f (x 0 ), en we zien dt, indien f (x 0 ) 0, symptotisch de fout liner met h fneemt. x 0 h x 0 x 0 +h x 0 h x 0 x 0 +h Figuur 6: De richting vn de rklijn ( ) n de grfiek ( ) vn de functie f is de fgeleide f (x) die we willen benderen. De richting vn de koorde ( ) in het rechter figuur doet dt veel beter dn die in het linker figuur..b Uit het linker pltje in figuur 6 zien we dt het quotiënt in (7) niet zo n goede keuze is. Veel betere resultten kunnen we verwchten vn de in het rechter pltje gesuggereerde bendering. We schrijven f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 h) h + R (h). (9) Als de derde fgeleide vn f bestt en continu is vinden we door f(x 0 +h) en f(x 0 h) volgens Tylor te ontwikkelen in x 0 de restterm R (h) = h 6 f (ξ), x 0 h < ξ < x 0 + h. (0) De fout gt nu inderdd veel sneller nr nul voor h 0, nl. indien f (x 0 ) 0, symptotisch met het kwdrt vn de stpgrootte h.

20 6 NUMERIEKE DIFFERENTIATIE.C Lten we voor verschillende stpgrootten h, rekenend met zes cijfers, eens de fgeleiden vn de exponentiële functie e x in x 0 = beplen met behulp vn (9). x e x h bendering fout We zien dt voor dlende h de bendering nvnkelijk beter wordt, mr drn verslechtert. De reden voor dit verschijnsel is niet moeilijk n te geven. Voor bijv. h = hebben we de volgende situtie: f(x 0 + h) =.700 f(x 0 h) = Bij het ftrekken vllen de eerste drie cijfers tegen elkr weg, en we houden er slechts drie over. Dit heeft de volgende consequenties: De oorspronkelijke wrden vn f zijn belst met frondfouten. De bsolute grootte vn deze fouten is hoogstens 5.0 6, en de reltieve fouten zijn dus hoogstens / De bsolute frondfout in het verschil kn dus oplopen tot (nmelijk bij tegengestelde tekens vn de frondfouten), hetgeen een reltieve fout in het verschil veroorzkt vn / , dt is dus 000 ml zo groot ls de mximle reltieve fout in de f-wrden. Dit effect wordt ntuurlijk sterker nrmte h kleiner wordt. We zijn hier ngelopen tegen bekend probleem in de numerieke wiskunde: Het ftrekken vn twee bijn even grote getllen. Voor de benderingsformule (9) betekent dit dt de te bereiken nuwkeurigheid gelimiteerd is. Enerzijds wil je h zo klein mogelijk hebben om de rest klein te mken; nderzijds mg h niet klein zijn om bovengenoemde reden. Er zl dus een optimle wrde vn h zijn wrbij de uitkomst zo nuwkeurig mogelijk is. Angezien de frondfout onbekend is kunnen we deze wrde niet beplen. Wel kn men een mjornt, d.w.z. bovengrens, vn de fout minimliseren, en wel ls volgt. Lt de wrden vn f belst zijn met frondfouten hoogstens ǫ. Dit levert dn een bijdrge vn hoogstens S (h) = ǫ/h tot de bsolute fout in de numerieke bendering voor f (x 0 ). De tweede bijdrge is de restterm R (h) ls in (0). De totle fout wordt dus gemjoreerd door de grootheid ϕ(h) die gegeven wordt door ϕ(h) = ǫ h + h 6 m ()

21 . Nuwkeuriger formules 7 wrin m een mjornt is voor f (x) op een voldoend grote mr ook weer niet l te grote omgeving [x 0 h 0, x 0 + h 0 ] vn x 0. Deze functie heeft een minimum ǫ m voor h = 3 3ǫ/m. Wnneer voor deze h geldt h h 0 dn beschouwt men hem ls de optimle. In het voorbeeld met e x vinden we zo met x 0 =, ǫ = 5.0 6, h 0 = 0., m = 3.3 dt h = en φ(h) = D De tweede fgeleide kunnen we benderen door met (9) eerst f (x 0 + h) en f (x 0 h) te benderen, en hiermede vervolgens de bendering f (x 0 + h) f (x 0 h) h voor f (x 0 ) te construeren. Met enig rekenen en Tylor vinden we () f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) + f(x 0 h) h + R 3 (h), R 3 (h) = h f(4) (ξ). (3).E De effecten vn frondfouten zijn nu nog ernstiger. Anloog n.c vinden we nu S 3 (h) = 4ǫ h ls bovengrens voor het effect vn de frondfouten in de f-wrde op de numerieke bendering voor f (x 0 ) en dt loopt snel op bij dlende h. Formule (3) levert met h = 0.0 en de tbel vn.c voor f () een wrde.70 en voor h = 0. een wrde.7. Men kn een nlogon vn () opstellen, en vindt dn een optimle foutschtting voor h 0...F Formules (9) en (3) zijn equidistnte formules. Een generlistie vn (3) wordt gegeven door wrin f (x 0 ) = h f(x 0 + h ) (h + h )f(x 0 ) + h f(x 0 h ) h h (h + h )/ + R 4 (h,h ) (4) R 4 (h,h ) = h f (ξ ) h f (ξ ), ξ (x 0,x 0 + h ) en ξ (x 0 h,x 0 ). (5) 3(h + h ) Merk op dt i.h.. slechts R 4 (h,h ) = O(mx{h,h }).. Nuwkeuriger formules De formules in sectie. zijn enigzins dhoc fgeleid en hebben geen erge hoge nuwkeurigheidsorde. Een systemtischer mnier, wrmee ook hogere nuwkeurigheidsorden bereikt kunnen worden (ls we fzien vn het effect vn frondfouten), is de te differentiëren functie te benderen met een Lgrnge interpoltiepolynoom p n op steunpunten {x k : 0 k n} en dit polynoom te differentiëren. M.b.v. de Lgrnge representtie uit (6) krijgt men zo f (i) () p (i) n () = n k=0 L (i) kn ()f(x k) (6) wrbij de coëfficiënten L (i) kn () dus onfhnkelijk zijn vn f. Duidelijk is dt de bendering (6) slechts zinnig is voor i n. Angezien (6) exct is voor f P n, kunnen

22 8 NUMERIEKE DIFFERENTIATIE we voor vste {x k : 0 k n}, i en, de fctoren L (i) kn () behlve door differentitie vn de Lgrnge coëfficiënten ook beplen door een stelsel vn n + vergelijkingen op te lossen dt verkregen wordt door voor f(x) chtereenvolgens,x,... x n te nemen. Men kn eenvoudig ntonen dt dit stelsel een unieke oplossing heeft. Voor equidistnte puntenrijen {x k }, i = n en met h de fstnd tussen opvolgende steunpunten krijgt men de volgende formules: f (x 0 + h) [f(x ) f(x 0 )]/h (7) f (x ) [f(x ) f(x ) + f(x 0 )]/h (8) f (x + h) [f(x 3) 3f(x ) + 3f(x ) f(x 0 )]/h 3 (9) etc., welke voor voldoend gldde f een restterm O(h ) hebben. Formules met een restterm vn hogere orde kn men verkrijgen door de techniek uit deze sectie met n > i toe te pssen. Een voorbeeld vn een dergelijke formule met n = 4 en i = is f () [f( h) 8f( h) + 8f( + h) f( + h)] (30) h met restterm O(h 4 ). De coëfficiënt voor f() blijkt hier nul te zijn..3 Experimenteel gevonden functiewrden Wnneer men een functie f wil differentiëren wrvn men slechts experimenteel gevonden functiewrden kent dn kunnen de tot dusverre ontwikkelde differentitieformules wel heel slecht uit de bus komen. Voorbeeld.3. Stel dt men vn de functie f(x) = +x door meting functiewrden beplt voor x k = + k 0 (k = 0,... 4), en dt de resultten vn onderstnde tbel worden verkregen. Men ziet dt de meetfout circ bedrgt. Bendert men nu f (0.60) met behulp vn de formule (30) dn vindt men f (0.60).0, hetgeen 0% fout is. x f(x) Een ndere npk is nu dt we f niet benderen met een 4-de grds polynoom en dt differentiëren (zols in (30)), mr dt we een lineire functie zo goed mogelijk n de gevonden functiewrden npssen, en dn die lineire functie differentiëren. 4 k=0 g(x k) ls norm op functies gedefiniëerd op de punten x k, Kiezen we g = dn levert elementir rekenwerk dt de beste bendering vn f door een lineire functie gegeven wordt door x α 0β α β 0 α 0 α α x + α β 0 α β α 0 α α wrbij α 0 = n +, α = x k, α = x k, β 0 = f(x k ) en β = f(x k )x k. Het minimliseren vn de fstnd in bovenstnde norm is bekend ls de kleinste kwdrten

23 .3 Experimenteel gevonden functiewrden 9 methode. Het differentiëren vn het verkregen lineir polynoom levert nu de bendering f (0.6) α 0β α β 0 = 0.99 hetgeen een heel wt beter resultt is dn wt eerder werd α 0 α α verkregen. Op soortgelijke wijze kn men, ls men wt meer punten heeft, f npssen n een polynoom vn hogere grd, en dt dn differentiëren.

24 0 3 FOUTSCHATTINGEN BIJ NUMERIEKE PROCESSEN 3 Foutschttingen bij numerieke processen 3. Fouten 3.A Vrijwel ltijd zl het resultt vn een numerieke bendering vn een grootheid α niet exct zijn. De mte wrin vn α fwijkt, kunnen we uitdrukken in - de fout: α - de bsolute fout: α - de (bsolute) reltieve fout: α α De fout zelf is doorgns onbekend (wnt nders zou men het wre ntwoord α ook kunnen vinden). Men is vk l blij ls men een mjornt (d.w.z. bovengrens) voor de bsolute fout heeft. Zo weet men dt de bsolute fouten in de sinustbel uit.a hoogstens 0 6 zijn, mr de (gewone, bsolute, reltieve) fout zelf kent men niet. Het is dn ook onjuist te zeggen dt deze tbel de sinuswrden oplevert met een fout vn 0 6 : de wrden worden opgeleverd met een onbetrouwbrheid vn 0 6. Wij zullen dit onderscheid verder steeds nhouden. Onder onbetrouwbrheid (respectievelijk reltieve onbetrouwbrheid) verstn we dus bovengrenzen (mjornten) voor de bsolute (respectievelijk reltieve) fout. Eigenschp. (bewijs dit zelf): heeft onbetrouwbrheid ǫ = α + ǫ, ǫ ǫ, heeft reltieve onbetrouwbrheid ǫ = α( + ǫ ), ǫ ǫ. 3.B Foutfilosofie. Het is doorgns niet interessnt om een onbetrouwbrheid erg nuwkeurig op te geven: de mededeling, dt een reltieve onbetrouwbrheid.% is, is nuwelijks inhoudsrijker dn dt hij % is. Het is ntuurlijk wel vn belng, te weten of hij % dn wel 5% is, wnt nu is er onderhnd sprke vn een verschil in orde vn grootte. Hetzelfde geldt ntuurlijk voor de (bsolute) onbetrouwbrheid. Voorbeeld 3.. We bekijken weer dezelfde sinus-tbel uit.a, mr nu met wt meer decimlen om in het vervolg frondfouten te kunnen verwrlozen. x sin(x) 35 o o o o o Pssen wij nu lineire interpoltie toe met steunpunten 36 o en 38 o om sin(37 o ) te benderen, dn vinden we sin(37 o ) , wrin dus een fout zit vn Als bovengrens voor de fout vinden we met stelling..: fout 8 (4π/360) sin(38 o ) = Als mjornt voor de fout is deze informtie veel te nuwkeurig. Immers, we zien hieruit dt de 7 in de vierde deciml vn het berekende ntwoord misschien wel een 6 of een 8 hd moeten zijn, en dt lle volgende cijfers betekenisloos zijn. Dezelfde conclusie hd men kunnen trekken ls er een onbetrouwbrheid vn ws gegeven.

25 3. Fouten Een nder spect dt door het bovenstnde voorbeeld goed geïllustreerd wordt, is dt vn de overbodige decimlen. Dikwijls geven rekenpprten (computers, pocketclcultors, etc.) de uitkomst stndrd in de -voor hen- grootst mogelijke nuwkeurigheid, dt wil zeggen, in het mximl beschikbre ntl cijfers. Echter doordt een pproximtieproces is toegepst, gebeurt het mr zelden dt l deze cijfers inderdd ook juist zijn. Als men, zols in het bovenstnde voorbeeld, een ntwoord heeft met een onbetrouwbrheid vn ongeveer 0.000, dn is het n te bevelen om in een verslg niet meer dn 4 of 5 cijfers chter de komm te vermelden, dus in bovenstnd gevl of 0.607; men hndhft zo de onbetrouwbrheid op ongeveer hetzelfde niveu (deze wordt resp ), en vlt de lezer niet lstig met overbodige cijfers. Het is geen goede gewoonte om (zols nogl eens nbevolen wordt) een uitkomst f te ronden op een zodnig ntl cijfers dt het resultt gelijk is n het wre ntwoord fgerond op dit ntl cijfers. Dt zou bijvoorbeeld betekenen dt een uitkomst met een onbetrouwbrheid 0.000, moet worden fgerond op 0.43, met een onbetrouwbrheid De onbetrouwbrheid kn zo dus nzienlijk toenemen. Het is ook geen goede gewoonte het ntl correcte cijfers te hnteren ls mt voor de nuwkeurigheid vn een uitkomst. Immers, een uitkomst =.9999 voor een grootheid α = heeft geen enkel correct cijfer, mr is wel redelijk nuwkeurig. Omgekeerd geldt ntuurlijk wel, dt een groot ntl correcte cijfers (fgezien vn eventuele nullen voorn) een kleine reltieve onbetrouwbrheid grndeert. Zelfs indien men over een uitkomst met een kleine reltieve onbetrouwbrheid beschikt (zeg 0 0 ) dn is het nog niet ltijd verstndig om de eerste tien relevnte cijfers (dt zijn de cijfers die overblijven n weglting vn eventuele nullen voorn) ook lle te geven. Dikwijls is de lezer niet geïnteresseerd in een dergelijke nuwkeurigheid. Smenvttend: - Geef vn het resultt niet meer cijfers dn er nodig zijn om de onbetrouwbrheid ongeveer op hetzelfde niveu te hndhven. - Geef vn het resultt niet meer cijfers dn er gewenst worden. - Geef vn de reltieve of bsolute onbetrouwbrheid één, of hoogstens twee, relevnte cijfers. 3.C De bronnen vn fouten kunnen globl worden ingedeeld in drie groepen: - modelfouten - representtiefouten - frondfouten Modelfouten ontstn ls men trcht de fysische (of economische, biologische, technische) reliteit te beschrijven door middel vn een wiskundige vergelijking; vk worden hierbij kleine (en soms ook niet zo kleine) effecten verwrloosd. In het lgemeen zijn deze fouten vrij klein bij problemen uit de fysic, mr nzienlijk groter bij problemen uit de economie of de biologie. Deze fouten vllen eigenlijk buiten het kder vn de numerieke wiskunde. Representtiefouten ontstn doordt men het wiskundige probleem, dt ls model vn het fysische (economische, enz.) probleem dient, en wrvn men de oplossing niet kn beplen, vervngt door een nburig probleem dt men wel kn oplossen. Voorbeeld: men vervngt een fgeleide door een differentiequotiënt, zie hoofdstuk. Heel

26 3 FOUTSCHATTINGEN BIJ NUMERIEKE PROCESSEN vk hebben representtiefouten een beplde struktuur. Een belngrijke tk vn de numerieke wiskunde houdt zich bezig met het opsporen en uitbuiten vn deze struktuur. Zie verder sectie 3.4 en sectie 3.5. Afrondfouten ontstn doordt men rekenpprten slechts in eindige precisie rekenen. Zie verder sectie Afrondfouten 3.A Afrondfouten ontstn doordt rekenpprten niet met de verzmeling R vn reële getllen werken, mr met een eindige deelverzmeling Q vn Q. De elementen vn Q worden mchinegetllen genoemd. Gewoonlijk heeft deze verzmeling de volgende vorm Q = {y = ±.d...d s β e : d i {0,...,β }, d > 0 tenzij y = 0, e Z, m e M}. Hierbij heet ±.d...d s de mntisse, en e de exponent (t.o.v. het grondtl β). Computers rekenen meestl binir, d.w.z. β =, hoewel er ook wel hexdecimle rithmetiek toegepst wordt, d.w.z. β = 6. In het binire gevl zijn typische wrden (IEEE stndrd) s = 4, m = 5 en M = 8 (enkelvoudige precisie), dnwel s = 53, m = 0 en M = 04 (dubbele precisie). Rekenmchines rekenen meestl deciml (β = 0). Typische wrden zijn s = 0, m = 98, M = 00. Onder het bereik vn een mchine verstt men de verzmeling { R q q } {0} wrin q en q het kleinste resp. grootste positieve getl in Q is. Getllen binnen dit bereik kunnen door de mchine in goede reltieve precisie worden weergegeven. Als bij een berekening een uitkomst ontstt met bsolute wrde groter dn q dn spreekt men vn overflow. Vk wordt er dn een foutmelding gegenereerd, echter sommige rekenmchines leveren zonder verdere wrschuwing ±q f. Bij een uitkomst ongelijk n 0 in ] q, q [ (underflow) wordt doorgns op 0 fgerond zonder verdere wrschuwing. Eigenschp. (Bewijs dit zelf) Zij α 0 een getl dt binnen het bereik vn de mchine ligt. Zij het getl in Q (of een vn de twee getllen in Q) het dichtst bij α. Als de mchine α frondt tot, spreken we vn een correcte fronding. Dn heeft een reltieve fout vn hoogstens β s. In het lgemeen zl n iedere bewerking +,,, / en sin, cos, exp, enzovoort, vn getllen in Q het excte resultt niet meer in Q zitten. Er zl dus (opnieuw) fgerond moeten worden. Op deze wijze ontstt in grotere progrmm s een hele keten vn frondfouten, die bovendien op elkr inwerken. Hierin vlt meestl geen struktuur te ontdekken. Het beste dt men kn bereiken is het geven vn een bovengrens voor de uiteindelijke frondfout (dt is het totle effect vn lle voorfgnde frondingen) in het eindresultt. 3.B In prktijk komt het reltief zelden voor dt de begrenzingen vn het mchinebereik een rol spelen; bovendien, ls dit wel het gevl is, kn men zich drtegen wpenen door het inbouwen vn controles in het progrmm.

27 3. Afrondfouten 3 We nemen drom n dt het volgende geldt: Er bestt een (klein) getl ξ, de reltieve mchine precisie, en een functie rd (round) : R Q zo dt voor elk reëel getl α geldt rd(α) = α( + ξ) met ξ ξ (3) en bovendien voor elke Q rd() =, (3) met de fsprk, dt getllen die men vn buiten in het rekenpprt invoert, door rd worden fgebeeld in Q. We nemen verder n dt de optelopertie + die de mchine uitvoert op getllen en b uit Q ls resultt levert + b = rd( + b) = ( + b)( + ξ), ξ ξ en nloog voor de mchineoperties,, /. D.w.z., we veronderstellen een optimle rithmetiek. Om dit te reliseren wordt er intern met één of meerdere extr cijfers gerekend. 3.C Om te lten zien hoe frondfoutennlyse werkt, bekijken we nu het voorbeeld vn het optellen vn een ntl mchinegetllen 0,..., n, in deze volgorde. Allereerst tellen we 0 en op: Hierbij wordt opgeteld, enzovoort: 0 + = ( 0 + )( + ξ ), ξ ξ. ( 0 + ) + = (( 0 + )( + ξ ) + )( + ξ ) = S, ξ i ξ, i =,; (( 0 + ) + ) + 3 = ((( 0 + )( + ξ ) + )( + ξ ) + 3 )( + ξ 3 ) = S 3 ξ i ξ, i =,,3. (Om de uitdrukking nog enigszins overzichtelijk te houden, nemen we n = 3.) We krijgen zo: S 3 = 0 ( + ξ )( + ξ )( + ξ 3 ) + ( + ξ )( + ξ )( + ξ 3 )+ + ( + ξ )( + ξ 3 ) + 3 ( + ξ 3 ). We merken nu op dt er zeker een ξ 4 is met ξ 4 ξ zo dt ( + ξ )( + ξ )( + ξ 3 ) = ( + ξ 4 ) 3 (g n), en evenzo is er een ξ 5 met ξ 5 ξ, zo dt S 3 = 0( + ξ 4 ) 3 + ( + ξ 4 ) 3 + ( + ξ 5 ) + 3 ( + ξ 3 ). (33) Bijgevolg, ls S 3 de wre som voorstelt, geldt S 3 S 3 = 0 [( + ξ 4 ) 3 ] + [( + ξ 4 ) 3 ] + [( + ξ 5 ) ] + 3 ξ 3 Nu geldt [(+ξ 4 ) 3 ] = 3ξ 4 +3ξ 4 +ξ3 4 3ξ 4 en [(+ξ 5 ) ] = ξ 5 +ξ 5 ξ 5 zodt, indchtig de foutfilosofie uit 3.B, S 3 S 3 < ( )ξ. Het teken < wordt uitgesproken ls kleiner dn of ongeveer gelijk n.

28 4 3 FOUTSCHATTINGEN BIJ NUMERIEKE PROCESSEN 3.D We constteren dt het ons weinig gebt heeft l de optredende ξ s door middel vn indices vn elkr te onderscheiden; dit blijkt vk het gevl te zijn bij frondfoutennlyse. We lten drom deze indices meestl weg. Dit betekent dn wel dt een en hetzelfde symbool ξ een ntl verschillende wrden kn representeren, zelfs binnen één formule. We mken drom de volgende nottiefsprk: Bij frondfoutennlyse zl ξ steeds een getl voorstellen met bsolute wrde kleiner dn of gelijk n ξ, mr iedere keer dt ξ voorkomt, kn hij een ndere wrde hebben. Met deze fsprk krijgen we voor de berekende som S 3 S 3 = ((( 0 + )( + ξ) + )( + ξ) + 3 )( + ξ) = = 0 ( + ξ) 3 + ( + ξ) 3 + ( + ξ) + 3 ( + ξ) (34) (vergelijk (33)). We hebben hier l stilzwijgend gebruik gemkt vn een volgende nottiefsprk: Een reltie ls f(ξ) = g(ξ), met f en g functies vn R nr R, moet in de frondfouten nlyse gelezen worden ls: bij elke ξ, ξ ξ, is er een ξ, ξ ξ, zodt f(ξ ) = g(ξ ). Merk op, dt volgens deze fsprk het = teken geen symmetrische reltie weergeeft. Het symbool ξ is dus vergelijkbr met de ordesymbolen o en O vn Lndu. Zo geldt er (g n!) ξ = ξ mr niet Dit is vergelijkbr met mr niet ξ = ξ. O(x ) = O(x) (x 0) O(x) = O(x ) (x 0). G ook n, dt de volgende uitdrukkingen juist zijn: ξ ξ = ξ ( + ξ)( + ξ) = ( + ξ). 3.E Bij frondfoutennlyse komen we blijkbr llerlei mchten vn ( + ξ) tegen, ook negtieve en niet gehele mchten, en we willen weten, hoever die vn f kunnen liggen. In eerste bendering (dt wil zeggen voor ξ 0, k vst) geldt ( + ξ) k kξ (35) (eerste orde Tylor bendering). De vrg is voor welke wrden vn k dit bij een vste wrde vn ξ nog bruikbr is. Hierover doet het volgende lemm een uitsprk.

29 3. Afrondfouten 5 Lemm 3.. Zij k R. Dn geldt + kx ( + x) k + kx( + kx) voor k en kx (36) kx ( + x) k kx( kx) voor k en kx. (37) Bewijs. Noem f(x) = ( + x) k ( + kx). Dn geldt f(0) = 0, f (x) 0 voor x 0 en k en f (x) 0 voor x 0 en k. Hiermee volgt de linker ongelijkheid in (36). Angnde de rechter ongelijkheid in (36) merken we op dt + x e x voor lle x R, zodt voor k 0, kx geldt ( + x) k e kx = + kx + k x + kx + k x ( + kx3 + k x k3 x 3 ) ( ) = + kx k x, en dus is de rechter ongelijkheid in (36) bewezen. De linker ongelijkheid in (37) volgt uit ( + x) k ( kx) e kx e kx =. De rechter ongelijkheid volgt m.b.v. (36) uit ( + x) k + kx = kx + k x + kx. We zien hieruit dt ls kξ (en dit is heel vk het gevl) de reltie (35) in de zin vn de foutfilosofie bevredigend vervuld is, en evenzo de reltie kξ (38) ( + ξ) k (merk op dt de ξ s links en rechts tegengesteld teken hebben). 3.F Toepssingen. G n dt in het lgemeen geldt: Eigenschp. Zij Sn de door het rekenpprt geleverde bendering voor de som S n = n i=0 i, gesommeerd vnf 0. Dn S n S n < (n 0 + n (n + i) i )ξ. i= Opgve 3.. Zij 0,..., n een stel mchinegetllen en S n = n i=0 i. Men kn deze getllen uiterrd in llerlei volgordes optellen, en krijgt dn steeds verschillende berekende wrden Sn. Toon n dt de onbetrouwbrheid in S n zols deze gegeven wordt door eigenschp 3.F miniml is ls men de getllen optelt in volgorde vn opklimmende bsolute wrde. Opgve 3.. Men kn de getllen 0,..., n ook ls volgt optellen: