3 Numerieke Integratie

Transcriptie

1 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 5 3 Numerieke Integrtie 3. Probleemstelling Gegeven een (voldoend gldde) functie f op een begrensd intervl [, b], bepl een bendering voor de integrl I := en geef een foutschtting voor de verkregen bendering. f(t) dt (3.) Een voor de hnd liggende npk vn dit probleem is het benderen vn f met een eenvoudig integreerbre functie, zols een polynoom (zie hoofdstuk ), en deze bendering exct te integreren. Voorbeelden: () Bender f met een lineir polynoom, f(x) = f() x b + f(b) x b + (x ) (x b) f (ξ x ) en integreer, f(x) dx = b (f() + f(b)) + (x ) (x b) f (ξ x ) dx. (3.) Omdt (x ) (x b) definiet is op [, b], mogen we op de restterm de middelwrdestelling vn de integrlrekening toepssen: Er is een punt η in [, b] zodt (x ) (x b) f (ξ x ) dx = f (η) Zo vinden we de trpeziumregel (met restterm) (x ) (x b) dx. f(x) dx = b (f() + f(b)) (b )3 f (η). (3.3) () Bender f met een stukje Tylorreeks op het midden vn het intervl, f(x) = f( b + ) + (x b + ) f ( b + ) + (x b + ) f (ξ x ), integreer en gebruik opnieuw de middelwrdestelling (omdt (x vinden we de middelpuntsregel (met restterm): b+ ) definiet is). Zo voor zekere η [, b]. f(x) dx = (b ) f( b + (b )3 ) + 4 f (η) (3.4) In het lgemeen vinden we zo een (lineire) integrtieformule Σ n i= w i f(t i ) ls bendering vn een integrl, f(x) dx = w i f(t i ) + rest, (3.5) i= wr {t,, t n } de steunpunten en {w,, w n } de gewichten heten. Bij gegeven steunpunten kunnen we het gewicht w i beplen door het i-de Lgrnge-polynoom L (n) i, cf. (.), te integreren (hetgeen i.h.. veel werk is). Een eenvoudige methode om bij gegeven steunpunten de

2 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 6 gewichten te beplen is de methode der onbeplde coëfficiënten. Deze methode berust op het feit, dt interpoltie en dus ook integrtie op n steunpunten exct is voor lle polynomen vn grd kleiner dn n en dt het voldoende is gelijkheid in (3.5) te testen voor een bsis in deze ruimte vn polynomen: i= w i (t i ) k = (x ) k dx = (b )k+ k +, k =,, n. (3.6) Als de steunpunten onderling verschillend zijn, t i t j (i j), dn is de mtrix in het linkerlid vn (3.6) een reguliere Vndermondemtrix, cf (.3b), en heeft het stelsel vergelijkingen dus een eenduidige oplossing. Ntuurlijk geldt hier bij het uitrekenen vn de gewichten eenzelfde bezwr ls bij interpoltie, n.l. dt deze mtrix meestl zeer slecht geconditioneerd is (tenzij n heel klein is). Op grond vn de restterm bij Lgrnge-interpoltie (.3) vinden we voor de rest in formule (3.5) de volgende foutschtting: rest n! mx x b f(n) (x) n x t i dx C (b ) n+ f (n), (3.7) wr C een constnte is, die lleen vn n en de keuze vn de steunpunten fhngt mr niet vn f. Het kn voorkomen dt de integrtieformule, gevonden bij een zekere verzmeling vn n steunpunten, ook exct is voor sommige polynomen vn hogere grd. Als we bijvoorbeeld op het intervl [, ] de drie volgende steunpunten kiezen, t =, t = en t 3 =, dn vinden we met behulp vn de methode der onbeplde coëfficiënten de vergelijkingen: w + w + w 3 =, w + w 3 =, 4 w + w 3 = 3. De gewichten zijn dus w = w 3 = /6 en w = /3. De gevonden integrtieformule is de formule vn Simpson. Deze formule is ook exct voor polynomen vn grd 3 en zij is vn orde 4. Hiervoor is dus een betere foutschtting dn (3.7) beschikbr. Om in zo n gevl een betere foutschtting te vinden, gebruiken we de Reststelling vn Peno: Stelling. Zij L een lineire functionl op C m ([, b]) zo, dt dn geldt L f =, voor lle polynomen vn grd kleinerdn m, (3.8) L F = f (m) (t) K(t) dt, K(t) := (m )! L x (x t) m Y (x t). (3.9) Hierin stt L x (x t) m Y (x t) voor de functionl L toegepst op de functie x (x t) m Y (x t) (ls functie vn x). Y is de Heviside functie, Y (z) = ls z en Y (z) = ls z <. Bewijs. Ps L toe op de Tylorontwikkeling vn f in f(x) = m j= f (j) () (x )j j! + x (x t) m (m )! f (m) (t) dt. Angezien L verdwijnt op het polynomile gedeelte vn deze ontwikkeling, volgt de bewering onmiddellijk hieruit.

3 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 7 Opmerking. Een integrtieformule, die exct is voor lle polynomen vn grd kleiner dn m heet een formule vn orde m. We kunnen deze stelling toepssen op de boven fgeleide formule vn Simpson. Deze formule is ook exct voor polynomen vn grd 3. We vinden: Angezien vinden we rest = L f = f(x)dx 6 (f() + 4f( ) + f()) [ ] f(4) (t) (x t)3 Y (x t)dx 3 ( t)3 Y ( t) 6 ( t)3 dt. = 4 K(t) := [ ] = (x t) 3 Y (x t)dx = t (x t) 3 dx = 4 ( t)4, { 4 ( t)4 6 ( t)3 = ( 3t)( t)3, t, 4 ( t)4 3 ( t)3 6 ( t)3 = (3t )t3, t. Dr de kern K(t) negtief is voor lle t in het intervl [, ], mogen we de middelwrdestelling toepssen. Er is dus een ξ [, ] zodt rest = 4 f(4) (ξ) K(t)dt = 88 f(4) (ξ). (3.) Opmerking. In dit gevl is het toevllig eenvoudiger de restterm voor de formule vn Simpson f te leiden uit de restterm voor het kubische interpoltiepolynoom π vn f, wrvoor geldt π() = f(), π( ) = f( ), π ( ) = f ( ), π() = f(). Op grond vn formule (.5) voor de restterm vn dit interpoltiepolynoom vinden we f(x) π(x)dx = 4 omdt x(x ) (x ) negtief is op het gehele intervl [, ]. f (4) (ξ x )x(x ) (x )dx = 88 f(4) (ξ), 3.b Guss-integrtie We vrgen ons nu f wt de mximle orde is, die we met een integrtieformule vn de vorm Σ n i= w i f(t i ) kunnen bereiken. Voor de eenvoud vn de formules nemen we n dt het integrtieintervl [, ] is. De integrtieformule bevt n prmeters, de gewichten w i en de steunpunten t i. Door substitutie vn de polynomen, x, x,, x n (met de methode der onbeplde coëfficiënten) vinden we n niet-lineire vergelijkingen voor de n prmeters vn de gezochte integrtieformule. We zullen vi een omweg lten zien dt deze vergelijkingen precies één oplossing hebben en dt de mximle orde vn een n-punts formule dus n is. Zo n formule vn mximle orde heet een Guss-formule. Bij een gegeven verzmeling steunpunten {t,, t n } kunnen we vi het lineire stelsel (3.6) de gewichten {w,, w n } beplen zo, dt de formule minstens vn orde n is, f(x) dx = w j f(t j ) ls f een polynoom vn grd kleiner dn n is. Hiermee is de formule exct voor polynomen vn grd kleiner dn n. Als de formule ook exct is voor polynomen met grd tussen n en n, dn moet dit in het bijzonder gelden voor de polynomen x k P n (x), k =,, n, P n (x) x k dx = w i P n (t i ) t k i. (3.) i=

4 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 8 Mr we weten ook dt het n-de Legendre polynoom loodrecht stt op lle polynomen vn lgere grd, d.w.z. P n (x) x k dx =, k =,, n. Dit betekent, dt het rechterlid vn (3.) nul is voor lle k, k < n. Omdt de Vndermondemtrix met elementen t k i niet singulier is, impliceert dit, dt P n (t i ) =, i =,, n. Zonder expliciet n een zeer slecht geconditioneerde Vndermondemtrix te moeten rekenen, kunnen we de gewenste steunpunten dus vinden ls de nulpunten vn het n-de Legendre polynoom. Deze nulpunten zijn enkelvoudig en liggen lle binnen het intervl (, ). Bovendien zien we hieruit, dt er op dit intervl precies één integrtieformule bestt vn orde n met n steunpunten. Om de restterm vn de gevonden n-punts Gussformule te vinden voor een willekeurige functie f C n ([, ]) interpoleren we f met een polynoom π vn grd n d.m.v. Hermiteinterpoltie op de nulpunten vn {t,, t n } vn P n. Hiervoor geldt volgens (.5) f(x) = π(x) + n i= (x t i ) f(n) (ξ x ) (n)!. Als we deze vergelijking integreren, de integrl over het polynoom π vervngen door de integrtieformule en op de restterm de middelwrdestelling toepssen, vinden we: f(x) dx = w j f(t j ) + f(n) (ξ x ) (n)! n (x t i ) dx. i= Omdt het polynoom Π n i= (x t i) vn gelijke grd is ls P n en dezelfde nulpunten heeft, zijn beide polynomen gelijk op een constnte fctor n. Deze vinden we uit de Rodrigues reltie voor P n, P n (x) = n n! d n dx n (x ) n = (n)! n (n!) xn + termen vn lgere orde = (n)! n (n!) n (x t i ) i= De integrl in de restterm kunnen we hiermee lsvolgt uitrekenen: n i= (x t i ) dx = n (n!) 4 ((n)!) P n (x) dx = n+ (n!) 4 (n + ) ((n)!). Zo vinden we dus de n-punts Guss formule f(x) dx = w j f(t j ) + f (n) (ξ) n+ (n!) 4 (n + ) ((n)!) 3. (3.) De gewichten vn een Guss formule zijn positief, immers w i = n, j i ( x t j t i t j ) dx >, (3.) dr de formule exct is voor lle polynomen vn grd n. Overigens zl men nooit de gewichten met behulp vn deze expressie uitrekenen. Vi de recurrente betrekking voor de Legendre polynomen kn men voor de gewichten de volgende formule vinden: w i = ( t i ) [P n(t i )]. (3.3) In de litertuur zijn ook n een ntl ndere typen integrtieformules een nm verbonden:

5 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 9 Een n-punts Newton-Cotes formule (n ) op het intervl [, b] is de formule met mximle orde op n equidistnte steunpunten {t :=, t,, t n := b}. Voor n > 6 zijn dit soort formules numeriek minder ntrekkelijk, omdt sommige gewichten dn negtief zijn. Voorbeelden zijn de trpeziumregel (n = ) en de regel vn Simpson (n = 3). Opgve 3.: Lt zien dt de orde vn zo n formule n is voor even n en n + voor oneven n. Een n-punts Lobtto formule (n ) op het intervl [, b] is de formule met mximle orde op de n steunpunten {t :=, t,, t n := b}, wrbij de steunpunten t,, t n zo gekozen worden, dt de orde mximl is. De orde vn zo n n-punts formule is n. De steunpunten vn deze formules zijn verbonden met de nulpunten vn P n (ls [, b] = [, ]) en ze liggen lle binnen het intervl. De gewichten zijn ltijd positief. De restterm heeft de vorm C f (n ) (ξ). Voorbeelden zijn opnieuw de trpeziumregel en de regel vn Simpson. Een n-punts Rdu formule (n ) op het intervl [, b] verkrijgen we door ofwel t = ofwel t n = b te kiezen en vervolgens de overige steunpunten en gewichten zo beplen, dt de orde mximl is. De orde vn zo n formule is n (in feite hebben we er twee, die elkrs gespiegelde zijn). Ook hier liggen de steunpunten binnen het integrtie-intervl en zijn de gewichten positief. De restterm heeft de vorm C f (n ) (ξ). 3.c Smengestelde integrtieformules Als we de fbreekfout, die ontstt door toepssing vn een integrtieformule op een functie, te groot vinden, kunnen we overgn op een formule vn hogere orde, mr ook kunnen we het integrtie-intervl in stukken verdelen en op ieder stuk fzonderlijk de integrtieformule toepssen. Als voorbeeld kiezen we de smengestelde middelpuntsregel M n. We verdelen het integrtie-intervl in n gelijke stukken vn lengte h := (b )/n, f(x) dx = h f( + jh h ) + n h 3 4 f (ξ j ) = M n (f) + R n (f), (3.4) wr ξ j een punt is in het deelintervl [ + jh h, + jh]. We kunnen de fbreekfout R n dus willekeurig klein mken, door h voldoend klein te kiezen. Evenls bij interpoltie is het ook hier vk gunstiger de orde vn de integrtieformule beperkt te houden en de nuwkeurigheid tot de gewenste wrde op te voeren door de lengte vn de deelintervllen, wrop deze wordt toegepst, te verkleinen. Een dergelijke strtegie convergeert voor een grotere klsse vn functies, dn integrtie d.m.v. een serie (enkelvoudige) formules vn steeds hogere orde. Bovendien heeft de restterm vn een smengestelde formule op ieder deelintervl dezelfde vorm en kunnen we deze gebruiken om de fbreekfout te schtten. In het voorbeeld (3.4) is de restterm een Riemnnsom voor de integrl vn de tweede fgeleide, h f (ξ j ) f (x) dx, voor n,

6 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 3 zodt we de rest ook kunnen schrijven ls 3 R n = h 3 4 f (ξ j ) = h 4 (f (b) f ()) + o(h ), (h ). (3.5) We concluderen hieruit dt de restterm in eerste bendering gelijk is n een constnte ml h, met een constnte, die niet vn h (mr wel vn f) fhngt, R n = C h + o(h ), (h +). Als de o(h )-term voldoend klein is t.o.v. C h, dn kunnen we C schtten door M te berekenen voor twee verschillende wrden vn h (of n) en hieruit de onbekende integrl te elimineren: I = M n + C h + o(h ) = M n + C( h ) + o(h ). Aftrekken geeft: We zien hieruit, M n M n = 3 4 C h + o(h ) R n = 4 C h + o(h ) = 3 (M n M n ) + o(h ). (3.6) De belngrijke conclusie, die we hieruit kunnen trekken, is dt we de fbreekfout in M n kunnen schtten door nst M n ook M n te berekenen. Dit geeft ons de mogelijkheid om een utomtisch fbreekcriterium te formuleren, dt een bendering levert met voorf voorgeschreven precisie onder de voorwrde, dt de o(h )-term in (3.5) klein is: < kies strtwrde voor n > ; < bereken M n > ; repet n := n; < bereken M n >; until M n M n/ < eps. (3.7) Als formule (3.6) een goede schtting vn de fout oplevert, dn kunnen we deze ook gebruiken om de verkregen bendering te verbeteren: Dit proces heet extrpoltie. I = M n + 3 (M n M n ) + o(h ). (3.8) Opgve 3.: Lt zien dt de lgoritme (3.7) niet ltijd het gewenste resultt flevert. Kies ls voorbeeld f = (x 4 )(x )(x 3 4 ) en strt met n =. 3 Het grote O-symbool en het kleine o-symbool zijn gedefinieerd lsvolgt. f(x) = O(g(x)) (x + ), ls er een hlfopen intervl (, + δ] bestt (met δ > ) en een positieve constnte C zodt f(x) C g(x) voor lle x (, + δ]. f(x) = o(g(x)) (x + ), ls lim x, x f(x) g (x) =, of nders gezegd, ls er bij iedere ε > een δ > bestt, zodt f(x) ε g(x) voor lle x (, + δ].

7 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 3 Opgve 3.3: Definieer P ls het lineire polynoom, dt voldoet n P(h ) = M n en P(h /4) = M n. Lt zien, dt P() precies de extrpoltie vn formule (3.8) levert, P() = M n + 3 (M n M n ). Conclusie: De fbreekfout is een functie vn h. Deze functie benderen we met een lineir polynoom (in h ). De wrde vn dit polynoom in nul is de wrde vn de extrpoltie. Extrpoltie is dus niets nders ls een specile vorm vn polynoombendering. Omdt de fbreekfout een functie vn h is, spreken we in dit gevl over h-kwdrt extrpoltie. Extrpoltie is een veelgebruikt hulpmiddel in de numerieke nlyse om een berekende bendering te verbeteren (niet lleen voor integrlen!). Extrpoltie kunnen we ltijd toepssen ls er een (symptotisch) verbnd is tussen de fout en een diskretistie-prmeter (b.v. de lengte vn het integrtie-intervl). Een nder voorbeeld is het volgende: Uit de Tylorontwikkeling vn f(x ± h) vn een voldoend gldde functie f vinden we voor de centrle differentie ls bendering vn de eerste fgeleide de formule zodt D h f := f(x + h) f(x h) h = f (x) + 3 h f (3) (x) + h h f (5) (t)(x t) 4 dt, f (x) = D h f + C h + O(h 4 ). (3.9) Vn dit verbnd tussen de fbreekfout en de stpgrootte h kunnen we gebruik mken on de schtting vn de fgeleide te verbeteren in het volgende getllenvoorbeeld. Voor de functiewrden vn log(x) in de buurt vn x = hebben we de volgende wrden, korrekt fgerond tot 5 decimlen (en dus met een frondfout kleiner dn.5): x f(x) Voor de fgeleide f () vinden we met centrle differenties de benderingen (met tussen hkjes de uiterste grenzen voor de frondfouten in de berekende wrden) De geschtte fbreekfout in D. f x= is dus D. f x= =.545 (±.5), D. f x= =.5675 (±.5). 3 (D. f x= D. f x= ) =.4633 (±.5) en ls we D. f x= hiermee verbeteren vinden we f ().54 (±.75). Opgve 3.4: G n, dt de grenzen voor de frondfouten in bovenstnde formules kloppen. Opgve 3.5: Stel dt we in bovenstnd voorbeeld ook f(.3) en f(.7) kennen, dn zouden we f () ook op bsis vn D. en D.3 kunnen benderen. Lt zien, dt de formule hiervoor is: f () = D h f + 8 (D h f D 3h f) + O(h 4).

8 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 3 Angezien we (3.9) voor voldoend gldde f verder kunnen ontwikkelen, f (x) = D h f + C h + C h 4 + O(h 6 ), kunnen we uit beide schttingen voor f () de h 4 -term elimineren. Leid de formule hiervoor f. Overigens merken we op, dt de nuwkeurigheid vn de boven gegeven wrden vn ln(x) geen hogere orde extrpoltie rechtvrdigen. 3.d Romberg integrtie Systemtisch gebruik vn extrpoltie bij numerieke integrtie kn leiden tot een efficiënt integrtieschem vn hoge orde voor een grote klsse vn functies. We zullen dt lten zien n de hnd vn het integrtieschem vn Romberg. Dit gt uit vn de symptotische-reeksontwikkeling vn de smengestelde trpeziumregel. Als we het integrtie-intervl [, b] verdelen in n deelintervllen vn lengte h := (b )/n en op ieder deelintervl de trpeziumregel (3.3) toepssen, dn vinden we de smengestelde trpeziumregel T h := h n (f() + f(b)) + h f( + jh). (3.) Als f C k+ ([, b]), dn heeft T h een (symptotische) reeksontwikkeling in even mchten vn h, T h = I + c h + c h c k h k + O(h k+ ), I := f(x) dx, (3.) wrin c,, c k constnten zijn, die lleen fhngen vn f (mr niet vn h). Het bewijs hiervn zullen we geven in 3h over de sommtieformule vn Euler-McLurin. Op grond vn het bestn vn deze reeks (wrvn we de coëfficiënten i.h.. niet kennen) kunnen we herhld extrpoleren en zo successievelijk de termen vn orde h, h 4, etc. in de fbreekfout vn de smengestelde trpeziumregel elimineren. T h = I + 4c h + 6c h c 3 h 6 + T h = I + c h + c h 4 + c 3 h 6 + ftrekken geeft T h T h = 3c h + 5c h c 3 h 6 + Elimintie (h -extrpoltie) vn de term vn orde h geeft dus T h := T h + 3 (T h T h ) = I 4c h 4 c 3 h 6 + = I + c h 4 + c 3h 6 + De fbreekfout in T h is weer een symptotische reeks in mchten vn h beginnend met een term vn orde h 4. Deze term kunnen we op nloge wijze elimineren (h 4 -extrpoltie) uit T h en T h, T h T h = 5c h c 3h 6 +, zodt T h := T h + 5 (T h T h) = I 6 5 h6 + = I + c 3h 6 + c 4h 8 + In het lgemeen kunnen we zo de dominnte term vn orde h k elimineren met T k h := T k h + 4 k (T k h T k h ). (3.)

9 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 33 Door extrpolties te berekenen vn steeds hogere orde kunnen we het volgende driehoekige tbleu vn benderingen opbouwen, T 4h T h T h T h T h T h (3.3) T h/ T h/ T h/ T 3 h/ De fbreekfout in de k-de kolom is vn orde h k, mits de geïntegreerde functie voldoend gld is. In de prktijk kunnen we de elementen vn dit tbleu rij voor rij met weinig moeite berekenen uit het resutt vn de smengestelde trpeziumregel voor de stpgrootten h, h/, h/4,. Als we T h berekend hebben, kunnen we ons bij de berekening vn T h/ werk bespren door op te merken, dt T h/ berekend kn worden uit T h en de wrden vn f op nieuwe steunpunten: T h/ = h = h n f() + f(b) + f() + f(b) + n = T h + h n f( + jh h/). f( + jh/) f( + jh) + f( + jh h/) De steunpunten vn T h zijn ook steunpunten vn T h/. In deze steunpunten behoeven we f niet opnieuw te evlueren (noch de functiewrden in het geheugen te bewren) voor de berekening vn T h/. Door deze eigenschp is een extrpoltieschem gebseerd op intervlhlvering voor de trpeziumregel zeer ntrekkelijk. Andere strtegieën voor de keuze vn de stpgrootte worden ook wel gebruikt, b.v. de rij h, h/, h/3, h/4, h/6, h/8, h/, h/6,. Bij het rekenen op een rekenmchine in de gebruikelijke floting point rithmetiek wordt de diepte vn de extrpoltie ntuurlijk beperkt door (frond- en fbreek)fouten bij de evlutie vn de te integreren functie en door frondfouten in de berekende trpeziumsommen. Als de correctie Th k Th k kleiner wordt, dn de frondfout in Th k, dn heeft verder extrpoleren ntuurlijk weinig zin, dr formule (3.) dn hr prktische geldigheid heeft verloren. In het tbleu (3.3) kunnen we dit i.h.. goed zien n het feit, dt de geschtte fout in de k-de kolom vnf zekere k niet meer met een fctor k fneemt. Tenslotte merken we op, dt we de extrpolties in (3.3) beter met behulp vn formule (3.) kunnen berekenen dn met de (equivlente) formule T k h = 4k Th k 4 k T k h omdt (3.) i.h.. een kleinere frondfout induceert in T k h., 3.e Voorbeeld vn het Rombergschem Een voorbeeld vn de effectiviteit vn het schem vn Romberg voor het benderen vn de integrl vn een (gldde) functie vinden we bij de berekening vn een bendering vn de integrl voor π, 4 + x dx = π, met Rombergintegrtie. In de eerste tbel zijn de benderingen fgedrukt, verkregen met de trpeziumregel op k deelintervllen, en chtereenvolgens de h -, h 4 -, h 6 -, h 8 - en h -extrpolties hiervn.

10 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 34 k t[, k] t[, k] t[, k] t[3, k] t[4, k] t[5, k] In de tweede tbel zijn de verschillen fgedrukt tussen de bovenstnde berekende wrden en de exkte wrde π en de log ervn. Het is duidelijk, dt de fouten in de eerste kolom met een fktor 4 fnemen bij verdubbeling vn de stpgrootte h. Dit bevestigt het feit, dt de overwegende term in de fout gelijk is n een constnte ml h. In de tweede kolom verwchten we een fnme vn de fout met een fktor 6 (vn de log vermindert dn met 4), mr we vinden een fnme met 6, hetgeen erop wijst, dt de coëfficiënt vn h 4 in de symptotische reeks voor de fout nul is. Inderdd geldt f () f () = voor f(x) = 4/( + x ). Deslniettemin wordt in het (stndrd) Romberg schem toch h 4 -extrpoltie toegepst, met ls resultt, dt de fout niet dlt. De h 6 -fhnkelijkheid blijft echter wel bestn, zodt de h 6 -extrpoltie in de volgende kolom de fout inderdd verder reduceert. In de vierde kolom zien we een h 8 -fhnkelijkheid en in de vijfde een (vge) h -fhnkelijkheid. Extrpoltie vn nog hogere orde heeft weinig zin, dr de verschillen in grootte vergelijkbr zijn geworden met de frondfouten. j k fout log fout log fout log fout log fout log fout log -.4e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e In de prktijk beschikken we niet over de exkte wrde, mr we kunnen wel de fout schtten met de formule (t[j, i] t[j, i ])/(4 j+ ). In de derde tbel worden deze schtting en de log ervn fgedrukt. In deze tbel vertoont de fnme vn de fout hetzelfde ptroon ls in de vorige. j i schtting log schtting log schtting log schtting log schtting log schtting log 3.33e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e In de vierde tbel worden het resultt vn de trpeziumregel op n deelintervllen, de fout en de log vn de fout nog eens bijeen gezet. n trp-regel fout log e e e e e e e In de vijfde tbel worden het resultt vn de trpeziumregel op n deelintervllen, de h-kwdrt extrpoltie ervn, de fout in deze extrpoltie en de log vn deze fout nog eens bijeen gezet. Zols reeds opgemerkt, is deze fout toevllig vn orde h 6.

11 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 35 n trp-regel extrpoltie fout log e e e e e e f Integrtie met vernderlijke stpgrootte Stel, dt we op het intervl [, ] de integrl willen beplen vn de functie sin (.+x ) met een fbreekfout vn ten hoogste ε := 6. Als we hiervoor de smengestelde middelpuntsregel willen gebruiken met stpgrootte h (op n = /h deelintervllen), dn moeten we volgens (3.4) in ieder deelintervl eisen: h3 f (ξ j ) 6, ξ j (jh h, jh). 4 An deze voorwrde is zeker voldn, ls Met betekent dit h 4 f (x) = (. + x) 3 cos mx f (x) 6. x. + x (. + x) 4 sin f, [, ]. 8, en dus h x Met zo n equidistnt integrtieschem zouden we dus twee millioen deelintervllen moeten gebruiken en evenveel evluties vn sin(.+x )! Op het deelintervl [, ] is de fbreekfout echter veel kleiner en kunnen we volstn met een veel grotere deelintervllengte h. Omdt f, [, ] 3, vinden we, dt h :=. voldoend klein is om een fout vn 5 7 (de helft vn de toegestne fout over het gehele intervl) te grnderen. Evenzo is op [ 4, ] een stpgrootte h :=. voldoende om een fout vn.5 7 over dt deelintervl te grnderen. Opgve 3.6: Bepl de stpgrootte h, wrmee de integrl, cos x dx berekend moet worden om een fbreekfout vn ten hoogste 8 te grnderen, ls we een smengestelde tweepunts Guss-formule gebruiken op equidistnte deelintervllen. Anwijzing: neem de foutschtting voor het deelintervl dt π/ bevt prt. Bentwoord dezelfde vrg voor het gevl dt het intervl eerst wordt opgebroken in de stukken [, π/] en [π/, ]. In feite is het gebruik vn een uniforme stpgrootte dus geen slimme strtegie voor integrlen met een sterk wisselende gldheid. Veel beter lijkt het om de stpgrootte n te pssen n de pltselijke gldheid vn de integrnd: verdeel het integrtie-intervl in stukken vn lengte h i die zo gekozen worden, dt de fout op het i-de deelintervl kleiner dn εh i is; de totle fout is dn hoogstens gelijk n ε ml de intervllengte. In de prktijk willen we ntuurlijk niet, dt we voor iedere integrnd opnieuw een opdeling vn het integrtie-intervl moeten opgeven. Een utomtische strtegie voor de keuze vn de stpgrootte kunnen we bseren op het idee, dt we de fbreekfout kunnen schtten door twee verschillende integrtieformules te gebruiken (of twee verschillende stpgrootten), zols we reeds zgen in 3c. Als we dn een integrl over het intervl [, b] moeten benderen met tolerntie vn ten hoogste ε(b ), dn kunnen we op een deelintervl [y, y + h] een fout toestn vn ten hoogste εh. Als de geschtte fout inderdd kleiner dn εh is

12 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 36 op dt intervl, dn ccepteren we de gevonden bendering, tellen deze op bij het reeds berekende stuk en gn verder met het volgende deelintervl. Als de gevrgde tolerntie niet gehld wordt, verdelen we het intervl in stukken, b.v. in [y, y +h/] en [y +h/, y +h], en pssen de procedure toe op ieder vn de stukken. Een voorbeeld vn zo n formulepr zou trpezium- en middelpuntsregel kunnen zijn. Hiervn weten we immers, cf. (3.-3), y+h y f(x) dx = h f(y + h/) + h3 4 f (ξ) = h (f(y) + f(y + h)) h3 f (η), zodt h 6 (f(y) f(y + h/) + f(y + h)) een goede schtting is vn de fbreekfout in de middelpuntsregel ls bendering vn de integrl over dit intervl. We ccepteren h f(y + h/) dus ls voldoend goede bendering voor de integrl over dit intervl ls deze (lokle) foutschtting kleiner is dn de (lokle) tolerntie εh en tellen dit op by het reeds berekende stuk vn de integrl. Als de lokle fouttolerntie niet gehld wordt, delen we het intervl in de stukken [y, y + h/] en [y + h/, y + h] en pssen we de formules toe op beide deelintervllen prt. Merk op dt we in een goede implementtie vn deze methode bij intervlhlvering de functie lleen opnieuw hoeven te evlueren in de nieuwe middelpunten, omdt het oude midden, wr we de functie reeds kenden, rndpunt vn de beide deelintervllen geworden is. Overigens let niets ons om i.p.v. het resultt vn de middelpuntsregel, h f(y + h/), het (nuwkeuriger) resultt vn Simpson s regel, h 6 (f(y) + 4f(y+h/) + f(y+h)), toe te voegen n het reeds berekende stuk vn de integrl, ls de lokle fouttolerntie gehld wordt (de benodigde functiewrden hebben we toch l berekend). De implementtie vn een dergelijke dptieve integrtiemethode is niet geheel trivil. In de eerste plts willen we het ntl functieëvluties minimliseren. Dus moeten we een formule (of formulepr) kiezen, wrvn de steunpunten zo gepltst zijn, dt ze bij verfijning steunpunt blijven en de reeds berekende functiewrde opnieuw gebruikt kunnen worden. Een dptieve routine kn slechts n één deelintervl tegelijk werken. Als de routine dus besluit een intervl op te delen in stukken, dn moet de informtie betreffende de rest opgeborgen kunnen worden op een stpel. Ook moeten er grenzen worden ingebouwd, zodt er niet tot in het oneindige verfijnd wordt, ls de lokle fouttest telkens negtief blijkt uit te vllen. De keuze voor een integrtieroutine met zelfzoekende stpgroote of een smengestelde formule met vste stpgrootte zl fhngen vn de integrnd, mr ook vn het doel wrvoor geïntegreerd wordt. Als er één integrl berekend moet worden, dn ligt een dptieve methode voor de hnd, wrbij lleen mr de mximl toeltbre fout behoeft te worden gespecificeerd. Als de integrnd echter nog vn ndere prmeters fhngt en ls deze integrl voor een groot ntl wrden vn deze prmeters berekend moet worden, dn zou integrtie met vste stpgroote wel eens de voorkeur kunnen verdienen, omdt de fbreekfout dn een veel glddere functie is vn deze prmeters. Bij een dptieve methode immers kn de beslissing verfijnen of niet door een kleine prmeterwijziging net nders uitvllen, hetgeen een sprong (discontinuïteit) veroorzkt in de fbreekfout. Opgve 3.6: Schrijf een procedure voor de integrtie vn een gegeven functie op een gegeven intervl met een voorgeschreven (geschtte) tolerntie met behulp vn een dptieve methode, gebseerd op intervlhlvering en de regel vn Simpson. (Schrijf eerst een recursieve versie; drvoor is geen (expliciete) stpel nodig, omdt deze reeds nwezig is in het recursiemechnisme.) 3.g Numerieke stbiliteit Als we een functie f in ieder punt x vn het integrtie-intervl kunnen berekenen met een bsolute fout δf(x), wrvoor geldt δf(x) d x [, b], (3.4)

13 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 37 dn vinden we voor de integrl over dt intervl een (onvermijdelijke) bsolute fout δi wrvoor we de volgende bovengrens vinden, δi = (f(x) + δf(x)) dx f(x) dx = δf(x) dx d b. (3.5) Als we de integrl benderen met een integrtieformule (eventueel een smengestelde formule) met positieve gewichten, die exct is voor constnten, f(x) dx = i= w i f(t i ) + rest met w i > i en i= w i = b, dn geldt voor het verschil tussen berekende en excte wrde (fgezien vn frondfouten bij het sommeren) w i δf(t i ) d b. (3.6) i= Deze fout is vn gelijke orde ls de onvermijdelijke fout (3.5). Integrtie met een formule met positieve gewichten is dus een numeriek stbiel proces. Opgve 3.7: In het integrtieschem vn Romberg bouwen we in feite een serie integrtieformules T h, Th, T h, vn steeds hogere orde op de steunpunten { + jh j =,,, n} met h := (b )/n. Lt zien dt Th overeenkomt met de smengestelde Simpsonregel en dus positieve gewichten heeft. Lt vervolgens zien dt lle extrpolties in dit schem formules zijn met positieve gewichten: T j h = n i= w j i f(t i) met w j i >, voor lle i en j. (Gebruik volledige induktie nr j.) We zien hieruit dt het Romberg schem numeriek stbiel is. 3.h De sommtieformule vn Euler-McLurin en de trpeziumregel De Bernoulli-polynomen B i (i =,, ) worden gedefinieerd door B =, (3.7) B k = k B k, k, (3.7b) Ze voldoen n de volgende eigenschppen: B k (x) dx =, k. (3.7c) B k () B k () = k B k (x) dx =, k, (3.8) B k ( x) = ( )k B k ( + x), k, (3.8b) B k+ () = = B k+ (), k. (3.8c) Deze ltste eigenschp (3.8c) kn ntuurlijk niet gelden voor B, omdt dit polynoom vn grd dn minstens twee nulpunten zou hebben. Voor even k zijn de B k in en gelijk en niet nul. Deze getllen worden gedefinieerd ls de Bernoulli-getllen B k, B k := ( ) k+ B k (), k =,,. (3.9)

14 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 38 Een bewijs voor (3.8) vinden we door (3.7b) te integreren en (3.7c) toe te pssen. We bewijzen de eigenschppen (3.8b-c) met volledige induktie nr de grd vn B k. Uit de definitie volgt onmiddellijk B (x) = x, (3.3) hetgeen voldoet n (3.8b) (induktiebsis). Stel nu, dt (3.8b) wr is voor B k (induktiehypothese), dn kunnen we dit polynoom integreren, B k (x) = x k B k (x) dx + c k, met een (voorlsnog) onbekende integrtieconstnte c k. Omdt B k ntisymmetrisch is t.o.v. het punt x =, is B k symmetrisch is t.o.v. dit punt ongecht de wrde vn c k. Voor B k+ geldt dn B k+ (x) = x (k + )B k (t)dt + c k+ = x t k (k + )B k (s)dsdt + c k (x ) + c k+ Als we vervolgens eis (3.7c) toepssen en deze expressie integreren over het intervl [, ], vinden we dt de integrl vn de eerste twee termen nul is omdt de integrnden ntisymmetrisch zijn t.o.v. het punt x =. De integrtieconstnte c k+ moet dus nul zijn om de integrl over het geheel nul te mken. Dit bewijst (3.8b) voor B k en B k+. Tenslotte is (3.8c) een gevolg vn de ntisymmetrie vn B k+ en de gelijkheid vn de functiewrden in x = en x =. Hiermee is (3.8) bewezen. Met behulp vn de polynomen en de getllen vn Bernoulli kunnen we nu een symptotische ontwikkeling geven voor de fbreekfout in de smengestelde trpeziumregel: Stelling (Sommtieformule vn Euler-McLurin). Zij f C m+ ([, b]) en h := (b )/n met m en n geheel, dn is er een ξ [, b] zodt f(x)dx = h n (f() + f(b)) + h + m j f( + jh) ( ) j (j)! B j h j (f (j ) (b) f (j ) ()) + O(h m+ f (m+) (ξ)). (3.3) Bewijs.Bekijk de integrl f dx op een deelintervl vn lengte h, zeg op [, h], en integreer prtieel met gebruik vn (3.7): f(x)dx = B ( x [ h )f(x)dx = hb ( x ] h h )f(x) = h (f() + f(h)) [ h B ( x h )f (x) ] h + hb ( x h )f (x)dx h B ( x h )f (x)dx. Als we doorgn met het prtiëel integreren vn de integrl vinden we ls lgemene formule: h k (k)! B k ( x h )f(k) (x)dx = h k+ (k + )! hk+ (k + )! [ B k+ ( x ] h h )f(k) (x) B k+ ( x h )f(k+) (x)dx, wrin de stokterm nul is wegens (3.8c). Nogmls prtiëel integreren geeft = hk+ (k + )! [ B k+ ( x ] h h )f(k+) (x) + hk+ (k + )! B k+ ( x h )f(k+) (x)dx

15 3 NUMERIEKE INTEGRATIE 39 en door invullen vn het Bernoulligetl wordt dit = B k+ h k+ (k + )! (f (k+) (h) f (k+) ()) + hk+ (k + )! B k+ ( x h )f(k+) (x)dx. In het totl vinden we dus de symptotische reeks f(x)dx = h (f() + f(h)) + m + hm+ (m + )! k= ( ) k B k h k (k)! B m+ ( x h )f(m+) (x)dx. (f (k+) (h) f (k+) ()) Als we deze expressie uitschrijven voor ieder deelintervl ( + jh, + jh + h), dn zien we dt lle fgeleiden op de interne deelpunten tegen elkr wegvllen, zodt de gevrgde formule (3.3) overblijft. Opmerking: Formule (3.3) mkt de smengestelde trpeziumregel bijzonder ntrekkelijk voor periodieke functies, immers de fbreekfout gt dn hrder nr nul dn iedere mcht vn h. Deze eigenschp hebben we in feite l gebruikt bij de discretistie vn de Fouriertrnsformtie, zie (.4).

16 REFERENCES References [] M. Hestenes & E. Stiefel, Methods of conjugte grdients for solving liner systems, J. Reserch NBS, 49, pp , 95. [] C. Lnczos, An itertion method for the solution of the eigenvlue problem of liner differentil nd integrl opertors, J. Reserch NBS, 45, pp. 55 8, 95. [3] J.K. Reid, On the method of conjugte grdients for the solution of lrge sprse systems of liner equtions, Proc. Conf. on Lrge Sprse Sets of Liner Equtions, Acdemic Press, New York, 97. [4] J.A. Meijerink nd H.A. vn der Vorst, An itertive solution method for liner systems of which the coefficient mtrix is symmetric M-mtrix, Mth.of Comp., 3, pp. 48 6, 977. [5] G.H. Golub & C.F. Vn Lon, Mtrix Computtions, The Johns Hopkins University Press, Bltimore, Mrylnd, USA, ste druk, 983, de druk, 988, 3 de druk, 995. [6] R. Bulirsch & J. Stoer, Introduction to Numericl Anlysis, Springer Verlg, Berlin, 977. (Ook verkrijgbr in een goedkope duitstlige pocketeditie). [7] D. Kincid & W. Cheney, Numericl Anlysis, Brooks & Cole Publishing Compny, Pcific Grove, Cliforni, USA, 99; de druk, 996.