Numerieke Analyse. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe

Transcriptie

1 Numerieke Anlyse Prof. Dr. Guido Vnden Berghe

2 Chpter 6 Benderingstheorie Doelstelling In dit hoofdstuk zullen de benderingen vn functies n bod komen, die niet steunen op het principe vn interpoltie. In eerste instntie zullen de zogenmde kleinste kwdrten npssingen, zowel discreet ls continu, in detil besproken worden. Vermits zl blijken dt het continue gevl slechts degelijk kn behndeld worden m.b.v. orthogonle functies en veeltermen zl een belngrijk deel vn dit hoofdstuk gewijd zijn n de studie vn die functies en hun toepssingen bij het numeriek rekenen. In de ltste prgrf zl ook ndcht besteed worden n rtionle benderingstechnieken en n de Pdé bendering in het bijzonder. De studie vn de benderingstheorie omvt twee lgemene types vn problemen. Eén probleem treedt op wnneer een functie expliciet gegeven wordt, mr wnneer het wenselijk is een eenvoudiger type functie te vinden, zols bijvoorbeeld een veelterm, die kn gebruikt worden om benderde wrden vn de gegeven functie te beplen. Het tweede probleem in de benderingstheorie is te situeren bij het npssen vn functies n gegeven wrden en het vinden vn de beste functie in een gegeven klsse die kn gebruikt worden om de gegevens voor te stellen. Beide problemen werden in hoofdstuk 5 reeds ngerkt. De Lgrnge interpoltieveelterm en de ndere vormen voor die veelterm werden ingevoerd hetzij ls benderingen voor functies, hetzij ls fit voor beplde gegevens. De kubische splines en de Hermite polynomen kunnen ook ntwoorden geven voor bovenstnde problemen. In dit hoofdstuk zullen ndere technieken voor de bendering vn functies n de orde komen. 6.1 De Tylorveelterm Hier wensen we de bruikbrheid vn de Tylorreeks ls middel voor functiebendering te illustreren. Tylor s theorem is bruikbr voor functies die een zeker ntl continue fgeleiden bezitten. Voor functies wrvoor het Tylor theorem vn 1

3 toepssing is, mg men de mogelijkheid om deze voor te stellen m.b.v. de Tylorveelterm niet over het hoofd zien. Lt ons even herinneren dt, wnneer f een functie is met een continue (n+1) de fgeleide over een intervl (c δ, c + δ), deze functie kn geschreven worden ls f(x) = p n (x) + E n (x), (6.1) wrbij p n een veelterm is met grd kleiner dn of gelijk n n en E n de sluitterm of restterm voorstelt. Deze worden gegeven door en p n (x) = 1 k! f (k) (c)(x c) k (6.2) x E n (x) = 1 (x t) n f (n+1) (t)dt n! c 1 = (n + 1)! f (n+1) (ξ x )(x c) n+1 ξ x c < δ. (6.3) Een belngrijk specil gevl treedt op wnneer c = 0 wordt; dn spreken we vn een Mclurinreeks. zols Door Tylor s theorem bekomen we Tylorreeksen voor vele belngrijke functies cos x = ( 1) k x2k (2k)! ( < x < ) (6.4) 1 x = ( 1) k (x 1) k (0 < x < 2). (6.5) De reeksen, die in deze voorbeelden optreden zijn mchtreeksen. Volgend theorem geeft n wnneer deze mchtreeksen convergeren en hoe ze in de prktijk bij numeriek werk kunnen ngewend worden. We geven enkel de verwoording vn de theorem s en gn niet in op de bewijzen. Theorem Voor elke mchtreeks k (x c) k bestt er een getl r in het intervl [0, ] zo dt de reeks convergeert voor x c < r en divergeert voor x c > r. 2

4 Het getl r (dit kn zijn) wordt de convergentiestrl vn de reeks genoemd. Ze kn zeer vk berekend worden door de zgn. verhoudingstest, d.w.z. ls lim A n+1/a n < 1 n dn convergeert A k. Gebruik deze test ls oefening om n te tonen dt de cosinusreeks (6.4) convergeert voor lle reële x-wrden. Als drenboven lim A n+1/a n > 1 n dn divergeert A k. Gebruik dit feit tezmen met het voorgnde om ls oefening de convergentiestrl vn (6.5) te beplen. Hieruit blijkt dt de convergentiestrl voor de cosinusontwikkeling (6.4) is, terwijl deze voor de reeks (6.5) +1 is. Voor het gebruik vn Tylorreeksen in numerieke toepssingen is volgend theorem vn belng. Theorem Weze r de convergentiestrl vn k (x c) k dn definieert f(x) = k (x c) k een functie die continu fleidbr is in het intervl x c < r. Bovendien is f (x) = k k (x c) k 1. k=1 Deze reeks bezit ook een convergentiestrl r. Als bovendien b c < r en x c < r dn wordt x b f(t)dt bekomen door de termsgewijze integrtie vn de f-reeks. De resulterende reeks heeft ook een convergentiestrl r. Bovenstnde smenvttend kunnen we vooropstellen dt we een mchtreeks termsgewijs kunnen fleiden en integreren binnen zijn convergentieintervl. 3

5 Voorbeeld We beschouwen de trnscendente functie, de sinusintegrl, gedefinieerd ls Si(x) = x 0 sin t dt. t Bepl een bendering voor deze integrl. Oplossing Steunend op bovenstnde theorem s kunnen we ls volgt te werk gn. x 0 sin t = sin t t = sin t dt = t Si(x) = ( 1) k t 2k+1 (2k + 1)! ( 1) k t 2k (2k + 1)! ( 1) k 1 x t 2k dt (2k + 1)! 0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!(2k + 1) De bekomen reeks voor Si(x) convergeert snel voor kleine wrden vn x. 6.2 Discrete kleinste kwdrtennpssing Veronderstel dt er experimenteel in een gebied tussen x 0 en x n een reeks meetresultten y i (i = 0,..., n) met een zekere meetfout bekend zijn. De methoden, besproken bij de interpoltietheorie, (hoofdstuk 5) veronderstellen dt de geconstrueerde benderingsvormen in de punten x i smenvllen met de y i. Wnneer de gegevens met meetfouten behept zijn, is het wenselijker te zoeken nr een eenvoudiger wetmtigheid welke zo dicht mogelijk de meetresultten weergeeft. Het probleem vn discrete kleinste kwdrten bestt erin een lineire combintie te vinden vn voorgeschreven lineir onfhnkelijke functies g 0,..., g m, wier wrden in de punten x i de gegeven wrden y 0,..., y n zo goed mogelijk benderen. In veel prktische toepssingen kiest men ls functies g k respectievelijk x k. In dergelijke omstndigheden wordt de verzmeling gegevens {(x i, y i ) i = 0, 1,..., n} benderd door een veelterm p m (x) = m k x k vn grd m < n en wordt ls criterium vooropgesteld dt de grootheid (y i p m (x i )) 2 (6.6) 4

6 miniml zou zijn. Definiëren we S( 0,..., m ) = (y i 0 1 x i... m x m i ) 2 dn is het voorgestelde criterium ls volgt te vertolken S 0 = 0, S 1 = 0,..., S m = 0, of (y i 0 1 x i... m x m i )x j i = 0 (j = 0, 1,..., m) of n 0 x j i + 1 n x j+1 i m n x j+m i = x j i y i (6.7) (j = 0, 1,..., m). Dit is een stelsel vn m+1 lineire vergelijkingen in m+1 onbekenden, de zgn. norml vergelijkingen. De coëfficiëntenmtrix is ls volgt te noteren : D m = s 0 s 1... s m s 1 s 2... s m+1.. s m s m+1... s 2m met s j = x j i. Wnneer de determinnt vn D m verschillend is vn nul dn is het stelsel (6.7) een stelsel vn Crmer en beplt het 0, 1,..., m éénduidig. Theorem Bewijs De mtrix D m is symmetrisch en positief definiet. Bij constructie is de mtrix D m symmetrisch. Drenboven is het gemkkelijk te verifiëren dt D m = V T V met V de volgende (n + 1) (m + 1) mtrix 1 x 0 x x m 0 1 x 1 x 2 V = 1... x m x n x 2 n... x m n 5

7 Hieruit volgt dt voor een willekeurige (m + 1)-dimensionle vector D, = T D = T V T V = (V ) T (V ) = V, V Het in-produkt V, V 0. Het gelijk worden n nul vn het in-produkt impliceert V = 0. Vermits bij constructie de kolommen vn V lineir onfhnkelijk zijn impliceert V = 0 utomtisch = 0. D.w.z. dt V, V > 0 voor 0, wt het gestelde bewijst. Een symmetrische positief definiete mtrix kn geschreven worden ls een produkt vn een niet-singuliere beneden tringulire mtrix en zijn getrnsponeerde (zie prgrf 2.2.2). Dit betekent dt det(d m ) 0. Hieruit kunnen we besluiten dt er steeds m een stel coëfficiënten 0, 1,..., m bestt wrvoor k x k voldoet n het discrete kleinste kwdrten principe t.o.v. {(x i, y i ) i = 0, 1,..., n} met n > m. De discrete kleinste kwdrten methode zols hierboven geschetst, lt toe een globle vereffening uit te voeren, ngezien er nr de veelterm vn grd m gezocht wordt, die zich het best door lle experimentele punten legt. Drdoor wordt de correctie op elke ordint beïnvloed door lle gegeven meetpunten. Het soms niet zo geschikt zijn vn dergelijke werkwijze doet ons uitzien nr zgn. lokle vereffening vn de experimentele meetpunten. Hierbij wordt in een bscis x k wr een meting vn y gebeurd is, het meetresultt y k onderworpen n een correctie die slechts een gering ntl nburige ordinten in het gedrng brengt. De meeste vn deze vereffeningsvoorschriften steunen op de discrete kleinste kwdrten gedchte. Beschouwen we opnieuw een stel meetwrden {(x i, y i ) i = 0, 1,..., n} en stellen we voor de eenvoud equidistntie voor tussen de x i, i.e. x k+1 x k = x. Is x k een bscis niet te dicht bij de uiteinden gelegen, dn wensen we voor (x k, y k ) een correctie formule te construeren die p punten links en p punten rechts vn (x k, y k ) in het gedrng brengt. Beschouwen we ter illustrtie het meest eenvoudige voorbeeld in deze context, nl. de zgn. lineire lokle vereffening, wrbij we de veelterm p 1 (x) = x in cht nemen en rond x k één linkse nbuur x k 1 en één rechtse x k+1 in de berekening betrekken. Het discrete kleinste kwdrten voorschrift levert voor bovenstnd probleem het criterium : (y k x k 1 ) 2 + (y k 0 1 x k ) 2 + (y k x k+1 ) 2 moet minimum zijn. Dit criterium is vertlbr in onderstnd stelsel in de onbekenden 0 en 1 (y k 1 + y k + y k+1 ) (x k 1 + x k + x k+1 ) = 0 (x k 1 y k 1 + x k y k + x k+1 y k+1 ) 0 (x k 1 + x k + x k+1 ) (6.8) 1 (x 2 k 1 + x 2 k + x 2 k+1) = 0 6

8 Hieruit kunnen in principe 0 en 1 opgelost worden. In het gevl vn equidistntie tussen de meetpunten, volgt rechtstreeks uit de eerste reltie in (6.8) y k 1 + y k + y k+1 3 = x k = p 1 (x k ) wt ntoont dt de beschouwde lokle vereffening erin bestt elke y k te vervngen door (y k 1 + y k + y k+1 )/3 voor k = 1, 2,..., n 1. An de uiteinden kn dit evenwel niet gebeuren, wegens gebrek n een links nburig punt voor x 0 en een rechts nburig punt voor x n. Dit probleem lost men doorgns op door voor die punten respectievelijk gebruik te mken vn de rechte behorend bij (x 1, y 1 ) en (x n 1, y n 1 ) wrin men respectievelijk x = x 0 en x = x n substitueert. Als voorbeeld hiervn beschouwen we het puntentriplet (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) en (x 2, y 2 ). Het stelsel (6.8) wordt in gevl vn equidistntie voor deze drie punten ls volgt herschreven. y 0 + y 1 + y 2 = x 1 (6.9) x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 = 3 0 x (x x x 2 2). (6.10) Door de term in 0 te elimineren uit (6.9) en (6.10) resulteert er (x 0 x 1 )y 0 + (x 2 x 1 )y 2 = 1 (x 2 0 2x x 2 2) wt rekening houdend met de equidistntie te schrijven is ls wruit (y 2 y 0 ) x = 1 [(x 1 x) 2 2x (x 1 + x) 2 ] 1 = y 2 y 0 2 x. = 2 1 ( x) 2 Dit introducerend in (6.9) levert : 0 = (y 0 y 2 )x 0 2 x Hieruit volgt dn dt + 5y 0 + 2y 1 y 2 6. p 1 (x 0 ) = x 0 = (y 0 y 2 ) 2 x = 5y 0 + 2y 1 y 2 6 x 0 + 5y 0 + 2y 1 y y 2 y 0 2 x x 0 7

9 Op nloge wijze kn men n het ndere uiteinde vn de gegevenstbel steunend op het triplet (x n 2, y n 2 ), (x n 1, y n 1 ) en (x n, y n ) fleiden dt p 1 (x n ) = x n = y n 2 + 2y n 1 + 5y n 6. (6.11) De lokle vereffening met één pr dichtste nburen en een veelterm vn de eerste grd is dn ls volgt te verrichten in het gevl vn equidistntie vn de bscissen : nvngsformule : p 1 (x 0 ) = (5y 0 + 2y 1 y 2 )/6 centrle formule : p 1 (x k ) = (y k 1 + y k + y k+1 )/3 (k = 1, 2,..., n 1) eindformule : p 1 (x n ) = ( y n 2 + 2y n 1 + 5y n )/6. Opmerking Soms wordt i.p.v. voorgesteld: het criterium (6.6) het volgende meer lgemene lterntief w i (y i p m (x i )) 2, wrbij de w i gewichten zijn, die gegeven positieve getllen voorstellen. Het invoeren vn gewichten lt ons toe verschillende grden vn belngrijkheid te hechten n verschillende bscissen. In dit gevl kn men op nloge wijze een stelsel norml vergelijkingen fleiden. Stelsel (6.7) neemt dn ook de volgende lgemener vorm n: n 0 w i x j n i + 1 w i x j+1 n i m w i x j+m i = w i x j i y i (6.12) (j = 0, 1,..., m). Voorbeeld Gegeven de volgende wrden: x i y i w i Er wordt gevrgd voor de gegeven wrden de kwdrtische kleinste kwdrten npssing te construeren. 8

10 Oplossing De norml vergelijkingen voor dit probleem zijn w i + 1 w i x i + 2 w i x 2 i = w i x i + 1 w i x 2 i + 2 w i x 3 i = w i x 2 i + 1 w i x 3 i + 2 w i x 4 i = 6 w i y i 6 w i x i y i 6 w i x 2 i y i N uitvoering vn de sommen dient volgend stelsel opgelost te worden: = = = wrvn de oplossing luidt 0 = = = (6.13) 6.3 Continue kleinste kwdrten bendering De vorige prgrf behndelt de kleinste kwdrten npssing n een discrete verzmeling meetgegevens. Het ndere benderingsprobleem ngehld in de inleiding slt op de bendering vn functies. Veronderstel dt f C[, b] (d.w.z. we beschouwen de verzmeling functies die continu zijn in het gesloten intervl [, b]) en dt een veelterm p n (x) vn grd tenminste n, vereist is om de volgende uitdrukking te minimliseren : (f(x) p n (x)) 2 dx (6.14) met p n (x) = k x k. Definiëren we in nlogie met het discrete vrgstuk : E( 0, 1,..., n ) = ( n f(x) k x k) 2 dx dn wordt bovenstnd criterium vertolkt ls E = 0 voor j = 0, 1,..., n of j ( n f(x) k x k) x j dx = 0. 9

11 Dus om p n (x) éénduidig te beplen moet het volgende stelsel lineire vergelijkingen opgelost worden nr k (k = 0, 1,..., n) k x j+k dx = x j f(x)dx, j = 0, 1,..., n. Opnieuw krijgen die de nm norml vergelijkingen mee, en bovenstnd stelsel is een stelsel vn Crmer zols in het discrete vrgstuk. Vermits voor een willekeurige vector x < Ax, x > = = = = = A ij x i x j = i,j,0 ( b i+j+1 ) x i x j i,j=0 i + j + 1 i+j+1 x i x j i + j + 1 t i+j x i x j dt i,j,=0 (t i x i ) (t j x j )dt i j ( t i x i ) 2 dt > 0 volgt hieruit dt A positief definiet is, zodt det A 0 Dit stelsel is voorts herschrijfbr ls : Voorbeeld [ b j+k+1 j+k+1 ] k = x j f(x)dx, j = 0, 1,..., n. (6.15) j + k + 1 We beschouwen de (continue) kubische veelterm kleinste kwdrten bendering vn e x in het intervl [0, 1]. Uit bovenstnde theorie is gemkkelijk f te leiden dt de norml vergelijkingen kunnen genoteerd worden ls 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 De oplosssing vn dit stelsel is 0 = e, = e 1 1 e 2 6 2e. 1 = e 2 = e, 3 = e, wt resulteert in de volgende derde-grdsveelterm p 3 (x) = x x x

12 De optredende coëfficiëntenmtrix die voorkomt in het voorbeeld is een Hilbertmtrix. Vn dergelijke mtrices is bekend dt ze slecht geconditioneerd zijn. Numerieke resultten bekomen door gebruik te mken vn die mtrices zijn sterk gevoelig voor frondingsfouten en moeten ls onbetrouwbr beschouwd worden. Deze eigenschp wordt ongelukkig ook gedeeld met de norml vergelijkingen (6.15) voor willekeurige wrden vn en b. De grd vn slecht geconditioneerd zijn stijgt in het lgemeen met de orde vn de mtrix. Om hiern te verhelpen gt men meestl over op een ndere techniek om kleinste kwdrten benderingen te bekomen, voor f C[, b]. Hiertoe moeten wel enkele concepten geïntroduceerd worden. In de verdere nottie stelt Π n de verzmeling vn lle veeltermen voor vn grd kleiner dn of gelijk n n. Verder stellen φ 0,..., φ n functies voor die continu zijn en voldoen n de volgende eigenschppen : Definitie De functies φ 0,..., φ n zijn lineir onfhnkelijk in [, b] wrbij b > ls er uit c 0 φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) c n φ n (x) = 0 voor lle x [, b] volgt dt c 0 = c 1 =... = c n = 0. Anders worden de functies lineir fhnkelijk genoemd. Theorem Als φ j (x) voor elke j = 0, 1,..., n een veelterm is vn grd j dn zijn φ 0,..., φ n lineir onfhnkelijke functies in elk intervl [, b] met < b. Bewijs Veronderstel dt c 0,..., c n reële getllen zijn wrvoor c 0 φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) c n φ n (x) = 0 voor lle x [, b]. Vermits P (x) = c k φ k (x) verdwijnt in [, b] bezit P een oneindig ntl wortels. P (x) is een veelterm vn hoogstens n de grd die verdwijnt in meer dn n wortelpunten, d.w.z. de coëfficiënt vn elke mcht vn x verdwijnt. Vermits elke φ j exct vn j de grd is, impliceert dit dt c j = 0 voor elke j = 0, 1,..., n. Voorbeeld Weze φ 0 (x) = 2, φ 1 (x) = x 3, φ 2 (x) = x 2 + 2x + 7. Uit theorem volgt dt φ 0, φ 1 en φ 2 lineir onfhnkelijk zijn in het intervl [, b] ls b >. Veronderstel dt Q(x) = x + 2 x 2 een element uit Π 2 11

13 voorstelt dn kunnen we ntonen dt er constnten 0, 1, 2 bestn zo dt Q(x) = 0φ 0 (x) + 1φ 1 (x) + 2φ 2 (x). Inderdd 1 = 1 2 φ 0(x) x = φ 1 (x) + 3 = φ 1 (x) φ 0(x) x 2 = = φ 2 (x) 2x 7 = φ 2 (x) 2[φ 1 (x) φ 0(x)] 7 2 φ 0(x) wruit Q(x) = [ φ 0(x) ] [ + 1 φ1 (x) φ 0(x) ] [ + 2 φ2 (x) 2φ 1 (x) 13 2 φ 0(x) ] = [ ] 2 φ0 (x) + [ ]φ 1 (x) + 2 φ 2 (x). Dit voorbeeld illustreert een lgemener eigenschp, die ls volgt in een theorem kn verwoord wordt. Theorem Als φ 0, φ 1,..., φ n een verzmeling is vn onfhnkelijke veeltermen in Π n dn kn elke ndere veelterm in Π n eenduidig geschreven worden ls een lineire combintie vn φ 0, φ 1,..., φ n. (zonder bewijs) Definitie Een integreerbre functie w wordt een gewichtsfunctie in [, b] genoemd ls w(x) 0 voor x [, b], mr w(x) 0 in elk deelintervl vn [, b] (de gewichtsfunctie kn wel nul worden in enkele discrete punten vn het intervl [, b]). Het doel vn gewichtsfuncties bestt erin verschillende grden vn belngrijkheid toe te kennen n benderingsfouten in beplde gebieden vn het intervl. Veronderstel dt φ 0, φ 1,..., φ n lineir onfhnkelijke functies in [, b] zijn, dt w een gewichtsfunctie is in [, b] en dt voor f C[, b] een lineire combintie p(x) = k φ k (x) gezocht wordt die E( 0,..., n ) = w(x)[f(x) k φ k (x)] 2 dx (6.16) 12

14 minimliseert. Dit probleem reduceert zich in het bijzonder tot de situtie beschouwd n het begin vn deze prgrf, ls de gewichtsfunctie w(x) = 1 en φ k (x) = x k voor elke k = 0, 1,..., n. De norml vergelijkingen gessocieerd met (6.16) volgen uit 0 = E [ b = 2 w(x) f(x) j wt kn geschreven worden ls ] k φ k (x) φ j (x)dx, voor j = 0, 1,..., n, w(x)f(x)φ j (x)dx = k w(x)φ k (x)φ j (x)dx voor j = 0, 1,..., n. Veronderstel dt de functies φ 0, φ 1,..., φ n zo kunnen gekozen worden dt w(x)φ k (x)φ j (x)dx = { 0 ls j k γ k > 0 ls j = k. (6.17) Dn geldt voor elke j = 0, 1,..., n : w(x)f(x)φ j (x)dx = j w(x)[φ j (x)] 2 dx = j γ j en dus j = 1 w(x)f(x)φ j (x)dx. γ j De kleinste kwdrten benderingsmethode wordt ldus sterk vereenvoudigd wnneer de functies φ 0, φ 1,..., φ n zo gekozen worden dt ze voldoen n (6.17). Dergelijke functies worden orthogonle functies genoemd in het intervl [, b] t.o.v. de gewichtsfunctie w(x). Definitie {φ 0, φ 1,..., φ n } wordt een orthogonle verzmeling vn functies genoemd in het intervl [, b] t.o.v. de gewichtsfunctie w ls w(x)φ j (x)φ k (x)dx = { 0 ls j k γ k > 0 ls j = k. Als drenboven γ k = 1 voor elke k = 0, 1,..., n dn wordt de verzmeling orthonorml genoemd. Bovenstnde ideeën smenvoegend leidt tot : 13

15 Theorem Als {φ 0,..., φ n } een verzmeling orthogonle functies is in het intervl [, b] t.o.v. de gewichtsfunctie w dn is de kleinste kwdrten bendering vn f in [, b] t.o.v. de gewichtsfunctie w met p(x) = k φ k (x) k = Voorbeeld w(x)φ k (x)f(x)dx w(x)[φ k (x)] 2 dx = 1 w(x)φ k (x)f(x)dx. γ k Voor elk positief geheel getl n vormt de verzmeling functies I n = {φ 0, φ 1,..., φ 2n 1 } met φ 0 (x) = 1 2π φ k (x) = 1 π cos(kx) voor elke k = 1, 2,..., n en φ n+k (x) = 1 π sin(kx) voor elke k = 1, 2,..., n 1 een orthonorml stel functies in [ π, π] voor de gewichtsfunctie w(x) = 1. Als nu f C[ π, π], is de kleinste kwdrten npssing (ook trigonometrische veelterm genoemd) d.m.v. functies in I n gedefinieerd door S n (x) = met k = 2n 1 π π k φ k (x) f(x)φ k (x)dx voor elke k = 0, 1,..., 2n 1. De limiet vn S n wnneer n is de welbekende Fourier reeksontwikkeling vn f. Om de trigonometrische veelterm opgespnnen door I n te beplen die f(x) = x bendert voor π < x < π, dienen we te berekenen π 1 0 = x dx = 2 π 2π 2 xdx = π 2π 2π 0 2 π k = 1 π x cos(kx)dx = 2 π x cos(kx)dx = 2 π π π k 2 [( 1)k 1] π n+k = 1 π π π 0 voor k = 1, 2,..., n x sin(kx)dx = 0 voor elke k = 1, 2,..., n en

16 De trigonometrische veelterm opgespnnen door I n die x bendert is dus S n (x) = π π k=1 ( 1) k 1 k 2 cos(kx). 6.4 Orthogonle veeltermen Alhoewel orthogonle functies en veeltermen in het bijzonder ook behndeld zijn in de cursus nlyse behndelen we in deze prgrf enkele nuttige eigenschppen, die voor numerieke nlyse problemen vn uitzonderlijk belng zijn. Het volgende theorem, dt steunt op het zgn. Grm Schmidt proces, beschrijft hoe orthogonle veeltermen in [, b] t.o.v. de gewichtsfunctie w(x) geconstrueerd kunnen worden. Theorem De verzmeling veeltermen {φ 0, φ 1,..., φ n } gedefinieerd zols hieronder in [, b] t.o.v. de gewichtsfunctie w is orthogonl : φ 0 (x) = 1, φ 1 (x) = x B 1 voor elke x b wrbij B 1 = xw(x)[φ 0(x)] 2 dx w(x)[φ 0(x)] 2 dx, wnneer k 2 φ k (x) = (x B k )φ k 1 (x) C k φ k 2 (x) voor elke x b wrbij B k = xw(x)[φ k 1(x)] 2 dx w(x)[φ k 1(x)] 2 dx en C k = xw(x)φ k 1(x)φ k 2 (x)dx w(x)[φ k 2(x)] 2 dx. 15

17 Bewijs Elke φ k is vn de vorm 1.x k + lgere orde termen, zo dt lle noemers in B k en C k verschillend vn nul zijn. We zullen nu door inductie ntonen dt Voor k = 1 w(x)φ k (x)φ i (x)dx = 0 voor elke i < k. w(x)φ 1 (x)φ 0 (x)dx = = = w(x)(x B 1 )dx xw(x)dx B 1 w(x)dx [ xw(x)[φ 0 (x)] 2 dx xw(x)[φ 0(x)] 2 ] dx w(x)[φ w(x)[φ 0 (x)] 2 dx = 0. 0(x)] 2 dx Veronderstel dt het resultt wr is voor k = n 1 dn geldt voor k = n en i = n 1 w(x)φ n (x)φ n 1 (x)dx = = = w(x)[(x B n )φ n 1 (x) C n φ n 2 (x)]φ n 1 (x)dx w(x)(x B n )[φ n 1 (x)] 2 dx xw(x)[φ n 1 (x)] 2 dx B n w(x)[φ n 1 (x)] 2 dx = 0. Op nloge wijze kn ngetoond worden dt voor k = n en i = n 2 (trek dit zelf n ls oefening) w(x)φ n (x)φ n 2 (x)dx = 0. (6.18) Voor k = n en i < n 2 hebben we w(x)φ n (x)φ i (x)dx = = = w(x)[(x B n )φ n 1 (x) C n φ n 2 (x)]φ i (x)dx w(x)xφ n 1 (x)φ i (x)dx w(x)φ n 1 (x)[φ i+1 (x) + B i+1 φ i (x) + C i+1 φ i 1 (x)]dx = 0. 16

18 Theorem uit theorem lineir on- Voor elke n > 0 zijn de veeltermen φ 0,..., φ n fhnkelijk in [, b] en w(x)φ n (x)q k (x)dx = 0 voor elke veelterm Q k vn grd k < n. Bewijs Het is evident dt het eerste deel vn het bewijs rechtstreeks volgt uit theorem We geven hier echter een lterntief bewijs. Om n te tonen dt φ 0,..., φ n lineir onfhnkelijk zijn, veronderstel dt 0 = c 0 φ 0 (x) c n φ n (x) voor elke x [, b]. Voor elke k = 0, 1,..., n vermenigvuldig met w(x)φ k (x) om te bekomen Dn 0 = c j w(x)φ j (x)φ k (x). j=0 0 = c j w(x)φ j (x)φ k (x)dx = c k w(x)[φ k (x)] 2 dx j=0 wruit volgt c k = 0. Vermits dit wr is voor elke k = 0, 1,..., n volgt hieruit dt {φ 0,..., φ n } een verzmeling lineir onfhnkelijke functies is. Weze Q k (x) een veelterm vn grd k. Uit theorem volgt dt er getllen c 0,..., c k bestn zo dt Dus k Q k (x) = c j φ j (x). j=0 k w(x)q k (x)φ n (x)dx = c j w(x)φ j (x)φ n (x)dx = 0 j=0 vermits φ n orthogonl is t.o.v. φ j voor elke j = 0, 1,..., k (k < n). 17

19 Voorbeeld Eén vn de meest frequent optredende verzmelingen vn orthogonle veeltermen is deze vn de Legendre veeltermen, die orthogonl zijn in [ 1, 1] t.o.v. een gewichtsfunctie w(x) 1. De klssieke definitie vn de Legendre veeltermen vereist dt P n (1) = 1 voor elke n en een recursieve reltie kn gebruikt worden om de veeltermen met n 2 te genereren. Volgens theorem is : φ 0 (x) B 1 = xdx 1 1 dx = 0 φ 1 (x) = (x B 1 ) = x 1 1 B 2 = dx 1 1 x2 dx = 0 en C 2 = 1 1 x2 dx 1 1 dx = 1 3 en φ 2 (x) = (x B 2 )φ 1 (x) C 2 φ 0 (x) = (x 0)x = x Zo ook B 3 = 1 1 x(x2 1 3 )2 dx 1 1 (x2 1 3 )2 dx = 0 C 3 = 1 1 x.x.(x2 1 3 )dx 1 1 x2 dx = 8/45 2/3 = 4 15 en zo φ 3 (x) = (x B 3 )φ 2 (x) C 3 φ 1 (x) = x.(x ) 4 15 x = x3 3 5 x enz.... Wensen we de klssieke definitie te weerhouden (d.i. P n (1) = 1), dn leiden we gemkkelijk f P 0 (x) = φ 0 (x) = 1 P 1 (x) = φ 1 (x) = x P 2 (x) = 3 2 φ 2(x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 5 2 φ 3(x) = 1 2 (5x3 3x) enz... wt in overeenstemming is met de lgemene definitie voor Legendre veeltermen : (formule vn Rodrigues) P n (x) = ( 1)n 2 n n! d n dx n [(1 x2 ) n ] n 1 en P 0 (x) 1. (6.19) 18

20 Merk wel op dt de op die wijze gedefinieerde Legendre veeltermen niet genormeerd zijn op één. Hun norm wordt gegeven door 1 1 P k (x)p l (x)dx = 2 2k + 1 δ kl. (6.20) Uit (6.19) en (6.20) kunnen we tevens de coëfficiënt vn x n in P n (x) beplen, i.e. 1 d n P n (x) = 2 n n! dx n (x2 1) n = 1 d n 2 n n! dx n (x2n nx 2n ) = (2n)! 2 n (n!) 2 xn... (6.21) wruit volgt dt de coëfficiënt vn x n gegeven wordt door (2n)! 2 n (n!) 2, (6.22) terwijl het uit bovenstnde bespreking evident is dt de coëfficiënt vn x n 1 nul is. Voorbeeld Een nder verzmeling orthogonle veeltermen, die we verder in dit hoofdstuk zullen nwenden, is de verzmeling vn de Chebyshev polynomen, {T n }. Zij kunnen uit theorem fgeleid worden in het intervl [ 1, 1] door gebruik te mken vn de gewichtsfunctie (1 x 2 ) 1/2. Wij zullen nu de Chebyshev veeltermen rechtstreeks fleiden, en ndien ntonen dt ze voldoen n de vereiste orthogonliteitsvoorwrden. Voor x [ 1, 1] definieer T n (x) = cos[n bgcos x] voor elke n 0. Voer de substitutie θ = bgcos x in, wrdoor bovenstnde vergelijking wordt T n (θ) = cos(nθ) met θ [0, π]. Er kn een recursiebetrekking fgeleid worden door vst te stellen dt T n+1 (θ) = cos((n + 1)θ) = cos(nθ) cos θ sin(nθ) sin θ T n 1 (θ) = cos((n 1)θ) = cos(nθ) cos θ + sin(nθ) sin θ 19

21 wruit T n+1 (θ) = 2 cos(nθ) cos θ T n 1 (θ). Dit terug uitgedrukt in termen vn de vernderlijke x leidt tot Vermits T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x) voor elke 1 n. (6.23) T 0 (x) = cos(0. bgcos x) = 1 T 1 (x) = cos(1. bgcos x) = x volgen de overige Chebyshev veeltermen gemkkelijk uit (6.23), nl. T 2 (x) = 2xT 1 (x) T 0 (x) = 2x 2 1 T 3 (x) = 2xT 2 (x) T 1 (x) = 4x 3 3x T 4 (x) = 2xT 3 (x) T 2 (x) = 8x 4 8x 2 + 1, enz... Om nu de orthogonliteit vn de Chebyshev veeltermen n te tonen, beschouwen we 1 1 T n (x)t m (x) 1 x 2 dx = 1 1 cos(n bgcos x) cos(m bgcos x) 1 x 2 Door de substitutie θ = bgcos x herleidt zich dt tot dx 1 1 T n (x)t m (x) 1 x 2 dx = Veronderstel n m, dn is = 0 π π 0 cos(nθ) cos(mθ) sin θ cos(nθ) cos(mθ)dθ. ( sin θ)dθ cos(nθ) cos(mθ) = 1 [cos(n + m)θ + cos(n m)θ] 2 en 1 Evenzo π T n (x)t m (x)dx = 1 cos((n + m)θ)dθ + 1 cos((n m)θ)dθ 1 x [ ] π 1 = 2(n + m) sin((n + m)θ) + 1 sin((n m)θ) = 0. 2(n m) T 2 n(x) 1 x 2 dx = π T 2 0 (x) 1 x 2 dx = π 0 0 cos 2 (nθ)dθ = π 2 dθ = π. 20 π voor elke n 1 0 en

22 Orthogonle veeltermen bezitten veel interessnte eigenschppen, wrvn we er hier enkele expliciet vermelden en bewijzen. Theorem Als {φ 0, φ 1,..., φ n } een verzmeling orthogonle veeltermen is, gedefinieerd in [, b] t.o.v. de gewichtsfunctie w(x) en φ k is een veelterm vn grd k voor elke k = 0, 1,..., n dn bezit φ k k verschillende enkelvoudige wortels en deze wortels liggen in het intervl [, b]. Bewijs Vermits φ 0 een veelterm vn grd nul is, bestt er dus een constnte C 0 met φ 0 (x) = C. Dit impliceert dt voor k 1 0 = φ 0 (x)φ k (x)w(x)dx = C φ k (x)w(x)dx. Vermits w een gewichtsfunctie is, is w(x) 0 mr w(x) 0 in elk deelintervl vn [, b] (zie definitie 6.3.2). Bovenstnde betrekking impliceert dt φ k minstens éénml vn teken moet vernderen in [, b]. Veronderstel dt φ k precies j ml vn teken verndert in [, b] in de punten r 1, r 2,..., r j wrbij < r 1 < r 2... < r j < b en dt j < k. Zonder n de lgemeenheid vn het bewijs te schden kunnen we nnemen dt φ k (x) > 0 in [, r 1 [ ; uiterrd is φ k (x) < 0 in ]r 1, r 2 [,... en in het lgemeen bezit φ k een tegengesteld teken in elk vn de nliggende intervllen [, r 1 [, ]r 1, r 2 [,..., ]r j, b]. Definiëren we de j de grdsveelterm P ls j P (x) = (x r i )( 1) j. i=1 Bemerk dt het teken vn P (x) in overeenstemming is met het teken vn φ k (x) in elk vn de subintervllen [, r 1 [, ]r 1, r 2 [...]r j, b] wt leidt tot P (x)φ k (x) > 0 in elk vn deze intervllen. Vermits w(x) 0 in [, b], mr w(x) 0 in elk deelintervl vn [, b] impliceert dit dt P (x)φ k (x)w(x)dx > 0. (6.24) Vermits nu echter P (x) een veelterm is vn grd j < k, is P (x) te ontwikkelen ls een lineire combintie vn φ k (x) (k = 0,..., j), i.e. j P (x) = α i φ i (x). 21

23 Druit volgt dt j P (x)φ k (x)w(x)dx = α i φ i (x)φ k (x)w(x)dx = 0 wt in strijd is met (6.24). De enige veronderstelling gemkt in dit bewijs, is dt φ k precies j ml vn teken verndert in [, b] wrbij j < k ; uit bovenstnde strijdigheid moet fgeleid worden dt deze veronderstelling foutief is en dt φ k minstens k ml vn teken verndert in [, b]. Het middelwrdetheorem impliceert dt er een wortel bestt bij elke tekenverndering; d.w.z. φ k moet k verschillende enkelvoudige wortels bezitten in [, b]. Voor verder gebruik zullen we hier enkele prktische notties invoeren. Definitie Lt {φ k k 0} een orthogonle fmilie in [, b] t.o.v. de gewichtsfunctie w(x) zijn, dn definiëren we r n en s n ls volgt : φ n (x) = r n x n + s n x n (6.25) Aldus kunnen we schrijven dt φ n (x) = r n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ) = r n Ψ(x). (6.26) Hierin stellen de x i de wortels vn de orthogonle veelterm voor en is Ψ(x) de functie, geïntroduceerd in Opmerking Bovendien voeren we nog de volgende notties in : n = r n+1 r n (6.27) en γ n = w(x)φ n (x)φ n (x)dx > 0 (6.28) Theorem (Theorem over de recursiereltie) Weze {φ n } een orthogonle fmilie veeltermen t.o.v. w(x) dn is voor elke n 1 [, b] en gewichtsfunctie φ n+1 (x) = ( n x + b n )φ n (x) c n φ n 1 (x) (6.29) 22

24 met b n = n [ s n+1 r n+1 s n r n ] c n = r n+1r n 1 r 2 n (6.30) γ n γ n 1 (6.31) Bewijs Noteer vooreerst dt de recursiebetrekking (6.23) voor Chebyshev veeltermen een voorbeeld is vn (6.29). Om (6.29) f te leiden beschouwen we de volgende veelterm G(x) = φ n+1 (x) n xφ n (x) = r n+1 x n+1 + s n+1 x n +... r n+1 r n x(r n x n + s n x n ) = ( s n+1 r n+1s n r n ) x n (6.32) Het is duidelijk dt de grd(g) n. Uit theorem volgt G(x) = d n φ n (x) d 0 φ 0 (x) (6.33) wrbij d 0,..., d n een ngepste verzmeling constnten zijn. De optredende d i volgen uit d i = w(x)g(x)φ i(x)dx γ i = 1 [ w(x)φ n+1 (x)φ i (x)dx n w(x)xφ n (x)φ i (x)dx ]. γ i Uit de orthogonliteitseigenschppen volgt dt en w(x)φ n+1 (x)φ i (x)dx = 0 voor i n w(x)xφ n (x)φ i (x)dx = 0 voor i n 2 vermits de grd vn xφ i (x) n 1. Uit die beide resultten volgt dt d i = 0 voor 0 i n 2 en drdoor is G(x) = d n φ n (x) + d n 1 φ n 1 (x) 23

25 en φ n+1 (x) = ( n x + d n )φ n (x) + d n 1 φ n 1 (x) Hiermee is het bestn vn een drieterms recursiereltie ngetoond. Door de coëfficiënten vn x n in (6.32) en (6.33) n elkr gelijk te stellen vinden we dt r n d n = s n+1 r n+1s n r n, wruit onmiddellijk reltie (6.30) volgt. Anderszijds volgt uit bovenstnde redenering en uit (6.29) dt wruit d n 1 = n w(x)φ n (x)xφ n 1 (x)dx = c n, γ n 1 c n = r n+1 1 b w(x)φ n (x)xφ n 1 (x)dx. r n γ n 1 Vermits xφ n 1 (x) een veelterm is vn grd n is deze volgens theorem (6.3.2) te schrijven ls : xφ n 1 = f n φ n (x) + f n 1 φ n 1 (x) +..., met nog te beplen constnten f i. Uit het gelijkstellen vn de coëfficiënten vn x n in beide leden volgt dt f n = r n 1 r n. Als deze gegevens combinerend resulteert in de uitdrukking (6.31) voor c n. Voorbeeld Bepl de recursiereltie voor de Legendre veeltermen. Oplossing Uit voorbeeld volgen de wrden voor de coëfficiënten r n, s n en γ n, i.e. r n = (2n)! 2 n (n!) 2 s n = 0 en γ n = 2 2n

26 Dit betekent dt b n = 0, n = 2n + 1 n + 1 en c n = recursiereltie P n+1 (x) = 2n + 1 n + 1 xp n(x) n n + 1 P n 1(x) n, wt resulteert in de n + 1 Theorem Voor elke orthonormle verzmeling veeltermen {φ n } (d.i. γ n = 1) geldt (x y)φ n (x)φ n (y) = G n+1 (x, y) G n (x, y) (n 1), met x y en G n (x, y) = r n 1 [φ n (x)φ n 1 (y) φ n (y)φ n 1 (x)] r n Deze formule is ook geldig voor n = 0 mits er fgesproken wordt dt G 0 (x, y) = 0. Bewijs of Uit theorem volgt dt xφ n (x) = φ n+1(x) n b n n φ n (x) + c n n φ n 1 (x) xφ n (x)φ n (y) = φ n+1(x) φ n (y) b n φ n (x)φ n (y) + c n φ n 1 (x)φ n (y). n n n Evenzo krijgen we door verwisseling vn x en y yφ n (y)φ n (x) = φ n+1(y) φ n (x) b n φ n (y)φ n (x) + c n φ n 1 (y)φ n (x). n n n Wnneer we de ltste twee vergelijkingen lid n lid ftrekken en de optredende coëfficiënten lle uitdrukken in termen vn r k wrden verkrijgen we (x y)φ n (x)φ n (y) = r n r n+1 [φ n+1 (x)φ n (y) φ n+1 (y)φ n (x)] + r n 1 r n [φ n 1 (x)φ n (y) φ n 1 (y)φ n (x)], wt gezien de definitie vn G n (x, y) te noteren is ls (x y)φ n (x)φ n (y) = G n+1 (x, y) G n (x, y) 25

27 Voor het gevl n = 0 volgt enerzijds uit de definitie vn φ n (x) dt φ 0 (x)φ 0 (y) = r 2 0 en nderszijds uit de definitie vn G n (x) dt G 1 (x, y) = r 0 r 1 (φ 1 (x)φ 0 (y) φ 1 (y)φ 0 (x)). Dit ltste kn ook herschreven worden ls G 1 (x, y) = r 0 r 1 [(r 1 x + s 1 )r 0 (r 1 y + s 1 )r 0 ] = r 2 0(x y). Uit bovenstnde volgt dt (x y)φ 0 (x)φ 0 (y) = G 1 (x, y) G 0 (x, y) = r 2 0(x y) ls G 0 (x, y) = 0 gekozen wordt. Theorem Voor elke orthonormle verzmeling veeltermen {φ n } is n 1 r=0 φ r (x)φ r (y) = r n 1 r n φ n (x)φ n 1 (y) φ n (y)φ n 1 (x) x y (6.34) voor x y. Bewijs Uit theorem volgt dt n 1 r=0 φ r (x)φ r (y) = n 1 1 (G r+1 (x, y) G r (x, y)) x y r=0 1 = x y G n(x, y) = r n 1 φ n (x)φ n 1 (y) φ n (y)φ n 1 (x) r n x y Betrekking (6.34) is bekend ls de identiteit vn Christoffel-Drboux. 26

28 6.5 Chebyshev veeltermen en foutenreductie In deze prgrf zullen we de studie vn de Chebyshev veeltermen verderzetten. Deze studie zl tot de volgende resultten leiden : een vstleggen vn de optimle keuze voor de knooppunten bij de Lgrnge interpoltieveelterm, zo dt de fout zo klein mogelijk wordt; een methode ontwikkelen om de grd vn een benderende veelterm te reduceren, zo dt er een miniml verlies n nuwkeurigheid is. Uit de recursiebetrekking (6.23) vn de Chebyshev veeltermen is gemkkelijk f te leiden dt, voor elk n 1, T n een veelterm is vn grd n met 2 n 1 ls coëfficiënt vn x n. Theorem De Chebyshev veelterm T n vn grd n 1 bezit n enkelvoudige nulpunten in [ 1, 1] bij x k = cos ( 2k 1 2n π) (k = 1, 2,..., n). (6.35) Drenboven, bezit T n extremum punten bij x k = cos ( kπ ) n (k = 0,..., n) (6.36) met Bewijs T n ( x k) = ( 1) k (k = 0, 1,..., n). Als x k = cos ( 2k 1 2n T n ( x k ) = cos(n bgcos x k ) = cos = cos ( 2k 1 2 π) voor k = 1, 2,..., n dn is π ) = 0. ( n bgcos ( cos ( 2k 1 2n Aldus is x k een nulpunt vn T n voor elke k = 1, 2,..., n. Vermits T n een veelterm vn grd n is, moeten lle nulpunten vn T n vn deze vorm zijn. π)) ) 27

29 Om het tweede deel vn dit theorem n te tonen, beschouwen we vooreerst T n(x) = d n sin(n bgcos x) [cos(n bgcos x)] =. dx 1 x 2 Voor 1 k n 1 is dn T n( x k) = n sin(n bgcos(cos kπ n ))) 1 cos 2 ( kπn ) = n sin(kπ) sin( kπ n ) = 0. Vermits bovendien T n een veelterm vn grd n is, is T n een veelterm vn grd (n 1) en treden dus lle nulpunten vn T n op bij deze punten. De enige ndere mogelijkheden voor extrem vn de functie T n treden op bij de eindpunten vn het intervl [ 1, 1], d.i. bij x 0 = 1 en x n = 1. Vermits T n ( x k) = cos ( n bgcos ( cos ( kπ n )) ) = cos(kπ) = ( 1) k treedt een mximum op bij elke even wrde vn k en een minimum bij elke oneven wrde. In prktisch gebruik is het zeer dikwijls wenselijk over veeltermen te beschikken met coëfficiënt 1 bij de hoogste grdsterm. Dergelijke veeltermen worden monisch genoemd. Voor de Chebyshev veeltermen is de monische versie ls volgt te definiëren : T n (x) = 2 1 n T n (x) voor elke n 1. (6.37) De recursiebetrekking voor T n volgt rechtstreeks uit (6.23) in combintie met (6.37), i.e. : T 0 (x) = 1, T1 (x) = x, T2 (x) = x en T n+1 (x) = x T n (x) 1 4 T n 1 (x) voor elke n > 2. (6.38) Omwille vn het lineir verwntschp (6.37) tussen T n en T n impliceert theorem dt de nulpunten vn T n eveneens optreden bij x k = cos ( 2k 1 2n π) (k = 1, 2,..., n) 28

30 en dt de extrem vn T n voorkomen bij x k = cos ( kπ ) n (k = 0, 1, 2,..., n). Bij deze x k wrden, is voor n 1 T n ( x k) = ( 1)k 2 n 1 (k = 0, 1, 2,..., n). 29

31 Theorem De veeltermen vn de vorm T n met n 1 hebben de eigenschp dt 1 = mx 2 T n 1 n (x) mx p n(x) (6.39) x [ 1,1] x [ 1,1] voor lle p n (x) behorend tot de verzmeling Π n vn monische veeltermen vn de grd n. De gelijkheid in (6.39) is lleen geldig ls p n = T n. Bewijs Veronderstel dt p n Π n en dt mx p n(x) 1 = mx x [ 1,1] 2 T n 1 n (x),. x [ 1,1] Definieer dn Q = T n p n. Vermits T n en p n beide monische veeltermen zijn vn grd n, is Q een veelterm vn grd ten hoogste (n 1). Bovendien geldt in de extremum punten vn T n Q( x k) = T n ( x k) p n ( x k) = ( 1)k 2 n 1 p n( x k). Het feit dt p n (x k) 1 impliceert dt voor k = 0, 1,..., n 2n 1 Q( x k) 0 wnneer k oneven is, en Q( x k) 0 wnneer k even is. Vermits Q continu is, kn het middelwrdetheorem gebruikt worden om hieruit te bewijzen dt de (n 1) de grdsveelterm Q tenminste n nulpunten in het intervl [ 1, 1] bezit, wt onmogelijk is tenzij Q 0. Dit impliceert p n = T n. Theorem kn nu gebruikt worden om te ntwoorden op de vrg wr de interpoltieknooppunten moeten gekozen worden om de fout in de Lgrnge interpoltieveelterm te minimlizeren. Formule (5.6) toegepst op het intervl [ 1, 1] voor een functie f(x) die (n + 1) ml fleidbr is in [ 1, 1] en voor een ξ x [ 1, 1] leest f(x) = p n (x) + f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ) wrbij p n (x) hier opnieuw de Lgrnge vorm voorstelt. Om de fout in het lgemeen zo klein mogelijk te mken, kn men zoeken nr wrden voor x 0, x 1,..., x n die de grootheid (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ) 30

32 extremeren in het intervl [ 1, 1]. Vermits echter (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ) een monische veelterm vn de grd (n + 1) is impliceert theorem dt dit minimum bereikt wordt ls en slechts ls (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ) = T n+1 (x). Wnneer x k gekozen wordt ls de (k + 1) de wortel vn T n+1 voor elke k = 0, 1,..., n, d.w.z. x k wordt geïdentificeerd met dn is x k+1 = cos ( 2k + 1 2(n + 1) π) (k = 0, 1,..., n) mx T n+1 (x) = 2 n. Dit heeft tot gevolg dt x [ 1,1] mx x [ 1,1] (x x 1)(x x 2 )... (x x n+1 ) = 1 2 n mx x [ 1,1] (x x 0)(x x 1 )... (x x n ) voor elke keuze vn x 0, x 1,..., x n uit het intervl [ 1, 1]. Hieruit volgt dt ls p n (x) de interpoltieveelterm vn grd tenminste n is met de wortels vn T n+1 (x) ls knooppunten er dn geldt dt mx f(x) p n(x) x [ 1,1] 1 2 n (n + 1)! mx f (n+1) (x). x [ 1,1] Deze techniek om punten te kiezen die de fout op de interpoltieveelterm minimlizeert kn gemkkelijk uitgebreid worden tot een willekeurig gesloten intervl [, b] door gebruik te mken vn de verndering vn onfhnkelijk vernderlijke x = 1 [(b ) x + + b] 2 om ldus de getllen x k in het intervl [ 1, 1] te trnsformeren in de corresponderende getllen x k in het intervl [, b]. Chebyshev veeltermen kunnen ook ngewend worden om de grd vn de benderende veeltermen te reduceren met een minimum verlies n nuwkeurigheid. Dit is een bijzonder bruikbre techniek wnneer de benderende veelterm een zgn. Tylorveelterm is (= fgekpte Tylorontwikkeling). Alhoewel Tylorveeltermen nuwkeurig zijn in de omgeving vn het punt wrrond ze ontwikkeld zijn, verliest men snel n nuwkeurigheid wnneer ze ngewend worden verder vn dit punt weg. Omwille hiervn is het soms nodig hogere grds Tylorveeltermen n te wenden om in een gegeven intervl een voorf nvrde tolerntie te bereiken. Omdt nu de Chebyshev veeltermen een minimum-mximum wrde bezitten welke uniform gespreid in een intervl liggen, kunnen ze gebruikt worden om de grd vn een Tylorveelterm te verlgen zonder de fouttolerntie te overschrijden. Volgend voorbeeld illustreert de techniek. 31

33 Voorbeeld De functie f(x) = e x kn in het intervl [ 1, 1] benderd worden door de vierde grds Tylorveelterm ontwikkeld rond het punt nul (zie (6.2) en (6.3)) p 4 (x) = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 met een fout R 5 = f (5) (ξ(x)) x 5 e voor 1 x Veronderstel dt een fout 0.05 nvrdbr is. Beschouwen we dn de situtie die ontstt wnneer we de term x 4 in de Tylorveelterm vervngen door de equivlente Chebyshev veeltermen vn grd kleiner of gelijk vier. Het is gemkkelijk n te trekken m.b.v. (6.23) en de dropvolgende lgemene vormen voor T n (x) (0 n 4) dt x 0 = T 0 (x), x 1 = T 1 (x), x 2 = 1 2 T 0(x) T 2(x), x 3 = 3 4 T 1(x) T 3(x), x 4 = 3 8 T 0(x) T 2(x) T 4(x). De uitdrukking voor x 4 gesubstitueerd in p 4 (x) levert p 4 (x) = 1 + x + x2 2 + x [ T 0(x) T 2(x) T 4(x) ] = 1 + x + x2 2 + x T 0(x) T 2(x) T 4(x) = 1 + x + x2 2 + x (2x2 1) T 4(x) = x x x T 4(x). Nu is mx T 1 4(x) = 1 en x [ 1,1] 192 T 4(x) = en R T 4(x) = wt nog kleiner is dn de tolerntie Hieruit volgt dt de vierde orde term (1/192)T 4 (x) kn weggelten worden uit de veelterm en de gewenste nuwkeurigheid blijft nog steeds weerhouden. De derde grdsveelterm p 3 (x) = x x x3 is nuwkeurig binnen de tolerntie 0.05 in het intervl [ 1, 1]. Een poging om de derde grdsterm te elimineren resulteert in p 3 (x) = x x2 + 1[ T 1(x) T 3(x) ] = x x T 3(x). 32

34 Nochtns is mx 1 x [ 1,1] 24 T 3(x) = , wt gecombineerd met de mogelijke fout vn vroeger reeds bereikt, een bovengrens voor de fout 0.07 oplevert, wt de voorfgegeven tolerntie overschrijdt; dus p 3 (x) is drom de lgste grdsveelterm nvrdbr voor deze bendering. 6.6 Interpoltie met rtionle functies De klsse vn lgebrïsche veeltermen bezit een reeks voordelen voor gebruik in benderingstheorieën. Er zijn voldoende soorten veeltermen om elke continue functie in een gesloten intervl binnen een rbitrire tolerntie te benderen; veeltermen zijn gemkkelijk berekenbr bij beplde wrden; de fgeleiden en integrlen vn veeltermen bestn en zijn reltief eenvoudig te berekenen. Een ndeel bij het gebruik vn veeltermen bij bendering is hun neiging tot oscilleren. Deze neiging veroorzkt bij veeltermbendering dikwijls foutgrenzen die beduidend de gemiddelde benderingsfout overschrijden, vermits foutgrenzen bepld worden door de mximum benderingsfout. Om deze foutgrenzen te doen dlen, zullen we methoden beschouwen die de benderingsfout gelijkmtig spreiden over het gnse beschouwde intervl. Deze technieken vereisen de invoering vn een nieuwe klsse vn benderingsfuncties, nl. de rtionle functies. Een rtionle functie r vn grd N is een functie vn de vorm r(x) = p(x) q(x) wrbij p en q veeltermen zijn wier grden sommeren tot N. Vermits elke veelterm ook een rtionle functie is (lt q(x) 1) zullen benderingen m.b.v. rtionle functies resultten geven met geen groter foutengrenzen dn een bendering m.b.v. veeltermen. Rtionle functies hebben het bijkomend voordeel dt ze om een efficiënte bendering kunnen leveren voor functies die een oneindige discontinuïteit bezitten dicht bij, mr buiten het beschouwde intervl. Veeltermbendering is doorgns niet nvrdbr in deze situtie. Veronderstel dt r een rtionle functie is vn grd N = m + n vn de vorm r(x) = p(x) q(x) = p 0 + p 1 x p n x n q 0 + q 1 x q m x m. Deze zl ngewend worden om een functie f te benderen in een gesloten intervl I welke nul bevt. Opdt r zou gedefinieerd zijn in het punt nul is het nodig dt q 0 0. In feite kunnen we q 0 = 1 onderstellen. Er zijn derhlve N + 1 prmeters q 1, q 2,..., q m, p 0, p 1,..., p n beschikbr voor de bendering vn f door r. De Pdé benderingstechniek kiest de N + 1 prmeters zó dt f (k) (0) = r (k) (0) voor elke k = 0, 1,..., N. De Pdé bendering is de uitbreiding vn de Tylorveeltermbendering nr rtionle functies. Als in feite n = N en m = 0 is de Pdé 33

35 bendering de Tylorveelterm vn grd N ontwikkeld rond nul, d.i. de Mclurinveelterm vn grd N. Veronderstel dt f een Mclurinontwikkeling f(x) = i x i bezit. Dn of f(x) r(x) = f(x) p(x) q(x) = f(x)q(x) p(x) q(x) f(x) r(x) = + m i x i q i x i q(x) p i x i. (6.40) De functie f r en zijn eerste N fgeleiden zullen nul worden voor x = 0 ls het rechterlid in (6.40) kn geschreven worden ls x N+1 Q(x) met Q(x) een continue functie. Dit kn echter slechts gebeuren wnneer de coëfficiënten vn x k in de teller vn het rechterlid vn (6.40) nul zijn voor elke k = 0, 1,..., N. Dus (f r) (k) (0) = 0, d.i. f (k) (0) = r (k) (0) voor k = 0, 1,..., N ls in ( x +...)(1 + q 1 x q m x m ) (p 0 + p 1 x p n x n ) (6.41) geen termen voorkomen vn grd kleiner dn of gelijk n N. Om de nottie te vereenvoudigen, definiëren we p n+1 = p n+2 =... = p N = 0 en q m+1 = q m+2 =... = q N = 0. We kunnen dn de coëfficiënt vn x k in (6.41) uitdrukken ls k i q k i p k, d.w.z. de rtionle functie voor Pdé bendering resulteert uit de oplossing vn de N + 1 lineire vergelijkingen k i q k i p k = 0, k = 0, 1,..., N nr de N + 1 onbekenden q 1, q 2,..., q m, p 0, p 1,..., p n. Voorbeeld De Mclurinreeksontwikkeling voor e x is ( 1) i x i. i! 34

36 Om de Pdé bendering vn e x vn grd 5 met n = 3 en m = 2 te vinden moeten p 0, p 1, p 2, p 3, q 1 en q 2 zo bepld worden dt de coëfficiënten vn x k voor k = 0, 1,..., 5 in de volgende uitdrukking nul worden (1 x + x2 2 x )(1 + q 1x + q 2 x 2 ) (p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + p 3 x 3 ). Dit leidt tot de volgende vergelijkingen x 5 : q q 2 = 0 x 4 1 : q q 2 = 0 x 3 : q 1 q 2 = p 3 x 2 : 1 2 q 1 + q 2 = p 2 x 1 : 1 + q 1 = p 1 x 0 : 1 = p 0. De oplossing vn dit stelsel is : p 0 = 1, p 1 = 3 5, p 2 = 3 20, p 3 = 1 60, q 1 = 2 5 en q 2 = 1 20 zodt de Pdé bendering luidt : r(x) = x x x x x2. In onderstnde tbel sommen we de wrden vn r(x) en p 5 (x) (de vijfde orde Tylorveelterm rond x = 0) op. De Pdé bendering is duidelijk beter in dit voorbeeld. x e x p 5 (x) e x p 5 (x) r(x) e x r(x) Het is tevens interessnt het ntl rekenkundige bewerkingen vereist voor de berekening vn p 5 (x) en r(x) te vergelijken. Gebruik mkend vn geneste vermenigvuldiging kn men p 5 (x) ls volgt uitdrukken : ( p 5 (x) = 1 x 1 x ( x( 6 1 x( x)))). 35

37 Annemend dt de coëfficiënten vn 1, x,..., x 5 voorgesteld worden ls decimle getllen vereist één berekening vn p 5 (x), vijf vermenigvuldigingen en vijf optellingen/ftrekkingen. Op nloge wijze is r(x) te schrijven ls r(x) = 1 x( 3 5 x( x)) 1 + x( x) zodt één enkele berekening vn r(x) vijf vermenigvuldigingen, vijf optellingen/ftrekkingen en één deling vereist. Op het eerste gezicht dienen er meer berekeningen uitgevoerd te worden bij rtionle vormen. Nochtns kn r(x) heruitgedrukt worden door de breuk te schrijven in de vorm vn een kettingbreuk, i.e. r(x) = x x x x x2 = 1 3 x3 + 3x 2 12x + 20 x 2 + 8x = 1 3 x + 17 ( x ) x 2 + 8x = 1 3 x x 2 + 8x + 20 x r(x) = 1 3 x x /361 (x ) of (6.42) Geschreven in deze vorm, vereist één enkele berekening vn r(x) één vermenigvuldiging, vijf optellingen/ftrekkingen en twee delingen. Alhoewel de rtionle functiebendering uit het zojuist geziene voorbeeld resultten oplevert die superieur zijn n de veeltermbendering vn dezelfde grd, bezit de rtionle functiebendering een ruime vritie in nuwkeurigheid; de bendering bij 0.2 is exct tot op terwijl bij 1.0 de bendering en de functie slechts in overeenstemming zijn tot op Die nuwkeurigheidsvritie is niet onverwcht, 36

38 omdt de Pdé bendering steunt op de Tylorveelterm voorstelling vn e x en deze voorstelling bezit een brede vritie in nuwkeurigheid in [0.2, 1.0]. Om rtionle functiebenderingen met een meer uniforme nuwkeurigheid te bereiken, zullen we een klsse veeltermen bezigen die een uniform gedrg in het intervl [ 1, 1] bezitten, nl. de Chebyshev veeltermen. De lgemene Chebyshev rtionle functiebendering verloopt op nloge wijze ls de de Pdé bendering. We benderen een functie f door een N de grds rtionle functie r, geschreven in de vorm r(x) = p k T k (x) m q k T k (x) wrbij N = n + m en q 0 = 1. f(x) uitgeschreven ls een reeks opgebouwd met Chebyshev veeltermen levert f(x) r(x) = k T k (x) p k T k (x) m q k T k (x) of f(x) r(x) = [ ] [ m ] [ n ] k T k (x) q k T k (x) p k T k (x) m q k T k (x) (6.43) De coëfficiënten q 1, q 2,..., q m en p 0, p 1,..., p n worden zo bepld dt de teller in het rechterlid vn (6.43), uitgedrukt ls lineire combintie in de T k (x), coëfficiënten gelijk n nul heeft voor k = 0, 1,..., N. Twee problemen treden op bij de Chebyshev procedure wrdoor ze moeilijker te gebruiken is dn de Pdé methode. Eén probleem ontstt omdt het produkt vn q(x) en de reeksontwikkeling voor f(x) produkten vn Chebyshev veeltermen doet ontstn. Dit probleem wordt gemkkelijk opgelost door gebruik te mken vn de reltie T i (x)t j (x) = 1 2 [T i+j(x) + T i j (x)] (6.44) wt eenvoudig bewijsbr is door te steunen op de definitie vn T n en op cos cos b = 1[cos( + b) + cos( b)]. Het tweede probleem is moeilijker op te lossen en heeft te 2 mken met de berekening vn de Chebyshev reeks voor f(x). In theorie is dit geen moeilijk probleem wnt indien f(x) = k T k (x) 37

39 dn impliceert de orthogonliteit vn de Chebyshev veeltermen (zie voorbeeld 6.4.2) dt 0 = 1 π 1 1 f(x) 1 x 2 dx en k = 2 π 1 1 f(x)t k (x) 1 x 2 dx voor k 1. In prktijk kunnen deze integrlen zelden in gesloten vorm geëvlueerd worden en doorgns is een numerieke integrtietechniek nodig bij elke evlutie. Hiervoor verwijzen we nr hoofdstuk 8. Algemene not Om de meeste wiskundige functies te evlueren, moeten we meestl eerst berekenbre benderingen ervoor opstellen. Functies worden op vele wijzen gedefinieerd; integrlen en oneindige sommen zijn de meest voorkomende types gebruikt voor dergelijke definities. Zulk een definitie is bruikbr om de eigenschppen vn de functie op te stellen, mr is in het lgemeen weinig efficiënt voor de evlutie vn de functie. In dit hoofdstuk hebben we veeltermen en rtionle functies ingevoerd ls benderingen voor functies. De nm vn Brook Tylor ( ) is bekend n elke student, die de beginselen vn clculus kent. In 1715 schreef hij een boek met de titel Methodus Incrementorum Direct et Invers wr zijn welbekende ontwikkeling (6.2) vermeld werd. Hij is bovendien uteur vn vele werken over fysic, logritmen en reeksen. Gessocieerd met de nm vn Tylor, omwille vn het bovengenoemde theorem over reeksontwikkeling, is de nm vn Colin Mclurin ( ). Deze Schotse wiskundige kreeg toegng tot de universiteit vn Glscow op elfjrige leeftijd. Zijn werk Tretise of Fluxions dt verscheen in 1742 te Edinburgh bevt de bespreking vn de nu lgemeen bekende Mclurinreeks. Hij is ook bekend voor zijn werk over lgebr. Joseph Fourier ( ) is voorl bekend voor zijn werk over reeksen, die oorspronkelijk gebruikt werden in studies over de wrmtestroming. In 1820 werd Crl Friedrich Guss ( ) ngewezen door koning George IV om het koninkrijk Hnnover te meten. Guss hd reeds vroegere ervringen met het npssen vn meetgegevens. In 1794 hd hij reeds sommige methoden ontwikkeld, wronder de kleinste kwdrten methode, die hij toen nwendde voor het vereffenen vn geodetische en sterrenkundige problemen. Door gebruik te mken vn deze methode ws hij in 1801 succesvol in het berekenen vn de bn vn de plnetoïde Ceres met een voldoende nuwkeurigheid, zodt ze opnieuw kon geloclizeerd worden ndt ze voor meer dn een jr onvindbr ws n hr ontdekking door de stronoom G. Pizzi vn Plermo. De eerste publiktie vn resultten over de kleinste kwdrten methode gebeurde in 1806 door Adrien- Mrie Legendre. Het probleem zelf ws reeds een ruime tijd bekend. In zijn eenvoudigste vorm kn het ls volgt verwoord worden: gegeven een verzmeling vn individuele metingen, vind een gemiddelde wrde zodt de fwijking vn de meetresultten zo klein ls mogelijk is. Lplce suggereerde reeds in 1799 dt men de som vn de bsolute wrden vn de fouten zou moeten minimlizeren. De berekening vn dit probleem is hoe dn ook moeilijk. Dr 38