De wetten van Kepler

Transcriptie

1 De wee va Keple

2 Ihoudsopave De wee va Keple Vecoe i de uime He iwedi poduc 8 He uiwedi poduc 0 4 Komme i de uime 7 5 De euze va Newo 8 6 De wee va Newo 48 7 De wee va Keple 5 8 He Keplepobleem 6 9 Tabelle Expeimeele uiave voo vwo wisude D vesie auusus 00 Aueu: Mais va Haadel Me medewei va: Leo va de Boe, Ge Hecma, Raie Kaedes, Klaas Ladsma, Keoep Wisude D va de Radboud Uivesiei Di maeiaal is o sad eome i he ade va ee LIO-pojec, odeseud doo NWO

3 Vecoe i de uime Wisude is ee aal Josiah Willad Gibbs I de eese die paaae eve we ee ileidi i de meeude, die doo de Giese wisudie Euclides i de dede eeuw voo Chisus wed bescheve i de Elemee, ee deiedeli vezamelwe ove meeude e eeude Deze meeude wod daaom oo wel Euclidische meeude eoemd De Euclidische meeude a wode odevedeeld i vlae meeude e uimemeeude Wij zulle os bepee o de uimemeeude, omda we die vooal odi zulle hebbe De meese cocepe ue eche zode eie moeie veaald wode aa de vlae meeude, op he mome da de behoee e is Oze isee is de modee maie me coödiae Di hee als voodeel da de uime diec op ee cosucieve maie voohade is, e bovedie da aas meeudi edeee de aleba ee ui e eicië eeedschap is He is absoluu oodzaelij om deze aal e lee spee, wil je de wisude ache de plaeebae ue beijpe We aa e va ui da de eallelij, besaade ui de eële ealle, beed is Hie is ee plaaje me 05, 4, π 4 ec 4 4 π - 0 De collecie va de eële ealle wod eoeed me he symbool We ue eële ealle bij elaa opelle e me elaa vemeivuldie, e de eels daavoo zij beed I avoli va de Fase wisudie Reé Descaes i zij Geomeia ui 67 voee we de Caesische uime i op alebaïsche wijze: besaa ui alle diealle u, u, u waabij u, u, u eële ealle zij De Caesische uime a wode ebui om de uime, waai wij os bevide, e beschijve Di aa als vol Kies acheeevoles die odeli loodeche lije die doo éé pu aa He sijpu va de die lije hee de oospo e deze oee we me o va oospo De die lije zij de eese, weede e dede as o x-as, y-as e z-as Voozie de lije va ee zelde schaalvedeli, waabij i de oospo he eal ul

4 saa Ee willeeui pu i de uime hee loodeche pojecies op el va de die asse Deze eve de especievelije coödiae va he pu He dieal u, u, u oee we soms o me u e we zie u als ee pu i de diedimesioale uime Omeeed hoe bij el pu u i de diedimesioale uime die ealle u, u e u He eal u hee de eese coödiaa va u, u de weede coödiaa va u e u de dede coodiaa va u I hebbe we ee uiveoe pu o 0, 0, 0 Hieode is ee plaaje eeed va ee echhoei blo me ee hoe- 0, 0, 0 u u, u u De lee va he blo is pu o e ee hoepu, u, de beede is u e de hooe is u, waabij we aaeme da deze die ealle posiie zij e as 0,0, u u, u,0 u u,0, u u, u u, u,0,0 o 0, u,0 u, u,0 e as e as We deiiëe i wee beweie, ee opelli e ee scalaie veme- u u, u u e v ivuldii De opelli va wee pue, v, v v leve ee ieuw pu v, u v, u v, u v De vemeivuldii va ee pu u, u u u op via de omule u v u, me ee eëel eal λ wod scalaie vemeivuldii eoemd ee scalai is ee eëel eal e leve ee ieuw pu u λu λu, λu λu λ op via de omule, Me op da we ee Giese lee ebui hebbe voo de scalai he eële eal e ie ee ewoe lee Di doe we me ee ede: op deze maie zij scalaie eële ealle o bee e odescheide va vecoe die

5 alijd ve wode edu e da om de leesbaaheid e oede E zij oo adee abae maiee om vecoe e oee Bijvoobeeld me ee pijl ebove: u o me ee seep eode: u I hadescheve sue vediee deze schijwijze de vooeu De opelli e de scalaie vemeivuldii wee dus coödiaasewijs Deze beweie hebbe ee aaal mooie eieschappe, zoals: u v v u u o o u u u v w u v w u u λ μu λμu λ u v λu λv λ μ u λu μu We spee daaom soms lieve va vecoe da va pue Bij ee veco dee we aa ee pijl veplaasi vaui de oospo aa he bijbehoede pu We zulle beide opvaie ebuie e dus de ee ee spee ove pue e de adee ee ove vecoe Bede wel da vecoe bij os alijd aaijpe sae i de oospo, di i eeselli o de i adee coexe ebuie zoeaamde vije vecoe, die i el pu ue aaijpe I eie ideiicee we ee veco me zij eidpu I de paij leid di ie o vewai De meeudie beeeis va opelle is zo da de eidpue va de vecoe o, u, u v e v i die volode de hoepue vome va ee paallelloam v u + v o u Als o, u e v op ee lij lie, da oeme we he paallelloam oaad

6 Opave I de iuu hieode saa de pue o, u, v e w He pu o is de oospo Neem de iuu ove e bepaal me de paallelloamcosucie de pue u v w e u v w e a a da deze pue samevalle u v o w Opave Laa me ee alebaïsche beeei zie da voo el dieal pue u, v e w e opziche va ee eoze oospo o eld: u v w u v w Schij hievoo u, v e w ui i coödiae: u, u u v, v v w w, w w u, v e,,, Bij de scalaie vemeivuldii va ee veco v me ee posiie eal λ osaa ee veco λ v, die i dezelde ichi wijs als v e λ ee zo la is Bij vemeivuldii me ee eaie eal λ is de veco λ v λ λ ee zo la als v, e is zij ichi eeeseld aa die va v v -v o v v v 4

7 Opave Laa me ee alebaïsche beeei zie da voo el eal λ e el weeal pue u e v e opziche va ee eoze oospo o eld: λu v λu λv Schij hievoo u e v wee ui i coödiae We schijve meesal v i plaas va v E voo u v schijve we owe u v De bijbehoede eeeels doe veouwd aa Zo is λu v λu λv, u v u v v u e u v w u v w Is v o, da vome alle veelvoude λ v waabij λ loop doo ee lij, eaamd de dae va v Telle we bij iede pu va de lij λ v ee vase veco u op, da ije we de lij u λv, die doo u aa e paallel is aa de dae va v u λv λ v u v o Opave 4 Hieode saa de pue o, u e v Pu o is de oospo Neem de iuu ove e ee de pue u v, u v e v u ebij u o v 5

8 Opave 5 Hieode saa wee pue a e b b a a Neem de iuu ove e ies zel ee plaas voo de oospo o Ze vevoles de pue a b, a b e b a ebij b Neem de iuu omaals ove e ies u ee adee plaas voo de oospo Ze vevoles wee de pue a b, a b e b a ebij c Veelij de iue die je bij a e bij b heb eee Val je ies op? d Tee i beide iue oo he pu a b ebij? Kij je wee hezelde pu? e Voo wele ealle λ e μ zal de plaas va he pu λa μb ie ahae va de plaas va de oospo? Fomulee ee vemoede Le ui da el pu va de vom λa λ b op de lij doo a e b li Le ui da de plaas va ee pu va de vom λa λ b ie aha va de plaas va de oospo Opave 6 Geeve is ee diehoe me hoepue a, b e c We ieze ee zeee oospo o i he Euclidische vla alhoewel alles wa we vede i deze opave opschijve oahaelij is va deze euze He pu da midde usse a e b li is p, he pu da midde usse b e c li is q e he pu da midde usse a e c li is Hiea is deze diehoe eeed O we i he Euclidische vla -dimesioaal o de Euclidische uime -dimesioaal wee, doe ie e zae 6

9 c q b p a a Du de middes p, q e ui i de hoepue a, b e c b Du oo de hoepue a, b e c ui i de middes p, q e Hi: Tee de die middepaallelle c Too aa da he pu z a b c li op de zwaaelij doo a d Too aa da de die zwaaelije va de diehoe doo éé pu aa Di pu wod he zwaaepu va de diehoe eoemd Ee zwaaelij i ee diehoe is de lij doo ee hoepu e he midde va de ovesaade zijde 7

10 He iwedi poduc Toe aleba e meeude escheide vae wae, was hu vooa lazaam e hu u bepe Maa sids beide vae zij veeid, hebbe ze elaa odeli vese e zij ze ezamelij opeoe aa peecie Joseph-Louis Laae 76-8 Opave De lee va ee veco u u, u, u is u u u Di is i e zie doo de selli va Pyhaoas wee maal oe e passe i de bloiuu op paia De lee va veco u oee we me u Opave Beee i el va de volede evalle de lees va de wee eoemde vecoe e de asad usse hu eidpue a a,, e b,, b c,,4 e d,, c e 0,, e,, Opave Geeve is ee diehoe i de uime me hoepue o, u e v De hoe usse de vecoe u e v oeme we γ Hiebij is 0 γ 80 v a Ga a da u v v u als γ 90 b Ga a da e oo da u u v v u als 90 v v u als γ 90 o γ u Opave 4 Ga i el va de volede evalle a o de hoe usse de wee eoemde vecoe ech, schep o somp is a a,, e b,, b c,,4 e d,, c e 0,, e,, 8

11 Opave 5 Geeve zij de vecoe u u, u, u e v v, v, v Neem aa da u o e v o De hoe usse u e v oeme we Too aa da he volede eld: v u v u v u v 0 pecies da als 90 u v u v u v 0 pecies da als u v u v u v 0 pecies da als u Ui opave 4 blij da he eal u v u v u v ies ze ove de hoe γ usse de vecoe u e v We schijve i he vevol owe u v voo u v u v u v e oeme u v he iwedi poduc o owe ipoduc va de vecoe u e v i Me op da he ipoduc u v ee veco is, maa ee eëel eal Omda eële ealle oo scalaie eoemd wode, wod he ipoduc oo wel he scalaie poduc eoemd Teuijed vide we u de volede selli: Selli Als u o e v o, da eld he volede: u v 0 pecies da als u loodech saa op v, u v 0 pecies da als de hoe usse u e v somp is, u v 0 pecies da als de hoe usse u e v schep is Opave 6 Ga i el va de evalle va opave me behulp va he ipoduc a o de hoe usse de wee vecoe ech, schep o somp is Beschouw de lij doo he pu u die paallel is aa ee veco v o El pu va de lij a wode escheve als u v voo zeee λ i Omeeed li el pu va de vom u v op de lij We oeme u λv me λ i ee paameevooselli va lij De veco u wod ee seuveco va eoemd e de veco v ee ichisveco He eal λ is de paamee We selle ee paameevooselli op va de lij m doo de pue a =,, 4 e b = 4,, 0 Ee seuveco va deze lij is bijvoobeeld a =,, 4 Ee ichisveco va deze lij is bijvoobeeld b a =,, -4 Ee paameevooselli va lij m is,, 4 + λ,, -4 Maa e zij veel mee moelijhede Oo 4,, 0 + λ,, - is ee paameevooselli va m Gee zel o eele adee paameevoosellie va m 9

12 Opave 7 De pue a,0,0, c 0,4,0 e 0,0,6 d zij hoepue va ee bal oabcde Pu m is he midde va ibbe bc e pu is he midde va ibbe c Lij aa doo de pue a e e lij l aa doo de pue d e m l e z d x a o c m b y a Sel paameevoosellie op va de lije e l b Ga me ee alebaïsche beeei a da de lije e l elaa sijde e beee de coödiae va hu sijpu Zoals we wee, wod ee vla i de uime bepaald doo die pue, die ie op ee lij lie Di beee da ee vla wod bepaald doo éé pu i da vla e wee ichisvecoe va da vla, die ie popoioeel zij Pecieze eomuleed: el pu i ee vla V, da aa doo ee pu u, me ie-popoioele ichisvecoe v e w, is va de vom u λv μw voo zeee ealle λ e μ Omeeed li el pu va de vom u λv μw i V Ee paameevooselli va V is u λv μw me λ e μ i De veco u is ee seuveco va vla V 0

13 V u λv μw u w o v Opave 8 Geeve is ee ubus oabcde me ibbe 4 Pu m is he midde va ibbe b e pu is he midde va ibbe d z d e m x a o b c y a Laa zie da de lije ac e db loodech op elaa saa b Is de hoe usse de lijsue am e m schep, ech o somp? Ee pu p li zodai op de z-as, da lijsu bp loodech saa op he vla doo a, m e c c Beee de coödiae va pu p Hi: ee lij saa loodech op ee vla, als hij loodech saa op wee ie-popoioele ichisvecoe va da vla He ipoduc hee ee aaal mooie eieschappe He ipoduc is symmeisch, da wil zee da voo alle vecoe u e v eld: u v v u He ipoduc is oo bilieai, da wil zee da voo alle vecoe u e v e voo alle eële ealle λ eld:

14 u v w u u v w u v λu v λu v u λv λu v w v w u w He bewijs va deze eels aa doo u u, u, u, v, v, v w, w w v e w, e schijve e vevoles lie- e echelid ui e schijve i coödiae Opave 9 Coolee doo middel va uischijve da: a u v v u b u v w u w v w λ u v λ u v c Ee adee mooie eieschap va he ipoduc is, da oo de lee va ee veco emee a wode beeed E eld amelij voo ele veco u da u u u owel u u u Opave 0 Coolee he bovesaade doo middel va uischijve Opave Geeve zij wee vecoe u e v i va de eels voo ipoduce de volede omules: a u v u v u v b u v u v u v c u v u v d u v u v u v u v Bewijs me behulp Opmei Ui opave c vol da de diaoale i ee paallelloam loodech op elaa saa, pecies da als he paallelloam ee ui is Ga di a De omule bij odedeel d saa beed als de paallelloamwe Als je va ee paallelloam de lees va de zijde e de lee va éé va de diaoale e, da u je me deze omule de lee va de adee diaoaal beeee

15 De volede selli ee ee awood op de vaa aa de meeudie beeeis va he iwedi poduc Selli Als u o e v o, da eld u v u v cos γ, waabij γ de hoe is usse u e v Bewijs We eee ees ee eschi plaaje v u o γ u v Vevoles beije we de lees va de zijde va de diehoe me hoepue o, u e v De asad va o o u is elij aa u e de asad va o o v is elij aa v De asad va u o v is elij aa de asad va o o u v e die is elij aa u v Passe we u de cosiuseel op deze diehoe, da vide we da: u v u v u v cos γ He lielid is voles opave b elij aa: u v u v eld: u v u v u v u v cos γ eevoudi doo schappe vol Dus, waaui de selli Opave Beee de hoe die de vecoe a,, e b 4,5,6 me elaa mae i ade auweui Opave Beee de hoe usse de lijsue am e m i de ubus va opave 7 i ade auweui Opave 4 Le ui hoe Selli diec vol ui Selli

16 Opave 5 Ee model va he CH 4 -molecuul zie e als vol ui He oolsoaoom zi i he zwaaepu va ee eelmaie eaëde waabij de waesoaome i de hoepue zie Kies de oospo zo, da deze bij he C-aoom li Noem de vecoe vaui he C-aoom aa ee va de H-aome especievelij h, h, h e h 4 De lees va de vie vecoe h i zij elij e de zes hoee usse h i e h i j zij oo elij Omda he oolsoaoom i he zwaaepu zi, is h h h h 4 elij aa de ulveco j h 4 Beee i ade auweui de hoe usse h i e h j i j h h h h Hi: Beij h 4 h h He ipoduc is zee eschi om de loodeche pojecie p va ee veco u op de dae va ee veco me o e beeee De dae va is de lij die pecies besaa ui alle veelvoude va de veco Dus p is ee veelvoud va, owel p λ voo ee zee eal λ We ue u de volede selli bewijze 4 Selli Geeve zij ee veco u e ee veco o De loodeche u pojecie p va u op de dae va wod eeve doo p Bewijs We eee wee ees ee eschi plaaje u h u-p p o 4 Deze selli eld zowel i als i 4

17 De veco p is de loodeche pojecie va u op, dus de veco u p saa loodech op Dus u p 0 Vulle we u p λ i, da vide u u we da u λ 0 Dus u λ 0, owel λ De pojecieveco p is dus elij aa u Ee veco o i hee ee omaalveco va ee vla V, als loodech saa op alle ichie i he vla V Opave 6 Laa U he vla zij me omaalveco,, 0, da aa doo de oospo o a Bepaal he beeld p va u 4, 5, 6 bij loodeche pojecie op de dae va b Bepaal he beeld q va u 4, 5, 6 bij loodeche pojecie op vla U Hi: Ga a da p q u e maa daa ebui va u 4, 5, 6 bij spieeli i vla U c Bepaal he beeld s va Opave 7 Laa V he vla zij doo ee pu q e me omaalveco o Bewijs da voo ee veco v eld: a Als v i vla V li, da is v q b Als v q, da li v i vla V Opave 8 Laa W he vla zij me omaalveco,, aa doo he pu q,, voo ee veco v, v v, da E zij eële ealle a, b, c e d zo da v eld: v li i vla W, pecies da als, av bv cv d Bepaal de ealle a, b, c e d Opave 9 Laa V he vla zij da eeve wod doo de veeliji v 5v 8 v v, v v li i vla V, pecies v v 5v v, v, v v, dwz ee veco, da als 8 Vid vecoe q e zo da eld: ee veco v li i vla V, pecies da als v q 5

18 6 Selli 4 Laa V he vla zij doo ee pu q e me omaalveco o Laa p de loodeche pojecie va ee pu v op vla V zij e s he spieelbeeld va v i vla V Da eld q v v p e q v v s Bewijs We ije op ee zodaie wijze aa de siuaie, da we he vla V va opzij zie Hiedoo zie we V als ee lij Lij is de dae va de omaalveco De loodeche pojecies va v e q op lij oeme we w especievelij He plaaje zie e da zo ui Me behulp va selli zie we da q v w Ui de bilieaiei va he ipoduc vol u da q v w We zie i he plaaje da w p v e da w s v Dus q v v w v p e q v v w v s q w v p o V s

19 q e me o- v Opave 0 Laa V he vla zij doo he pu,, maalveco,, 0 Vede is eeve he pu 4, 5, 6 a Beee de coödiae va de loodeche pojecie va v op V b Beee de coödiae va he spieelbeeld va v i V c Beee de asad va pu v o vla V Opave Laa V he vla zij doo ee pu q e me omaalveco o e laa v ee willeeui pu i de uime zij v q Laa zie da de asad va pu v o vla V elij is aa Opave Laa W he vla zij me veeliji v 4v 5v 0 e u 6, 5, ee pu Beee de asad va pu u o vla W Opave Laa V he vla zij me veeliji av bv cv d u u, u u o vla V elij is aa Too aa da de asad va pu au bu cu d a b c, Me behulp va he ipoduc ue we de hoe usse wee vecoe beeee Me ei adee ue we hieui aleide hoe de hoe usse wee lije, de hoe usse ee lij e ee vla e de hoe usse wee vlae beeed a wode We eve de esulae zode bewijs De deails wode ievuld i opave 4 o e me 7 Beij wee sijdede lije me ichisvecoe v especievelij w Deze lije sijde elaa ode vie hoee die o alle vie elij zij aa 90 o wee aa wee elij zij Ode de hoe usse de wee lije vesaa we v w de leise va deze vie hoee Voo deze hoe α eld: cos α v w Als de wee lije elaa uise, da ue we ee va de lije zodai veplaase da deze de adee lij sijd Ode de hoe va de wee lije vesaa we da de hoe usse de veplaase lij e de adee lij 7

20 α Opave 4 Waaom saa i de omule, waamee de hoe usse wee lije wod beeed, he ipoduc usse absolue waade sepe? Beij ee lij me ichisveco v e ee vla me omaalveco Tezij de lij loodech saa op he vla, vesaa we ode de hoe usse de lij e he vla de hoe usse de lij e zij pojecie op he vla Voo v deze hoe β eld: si β v β δ o Opave 5 I de iuu hiebove is doo he sijpu va lij e vla ee lij eeed me de omaalveco als ichisveco Le ui da v voo de hoe δ usse die wee lije eld: cos δ e da v si β cosδ Opave 6 Le ui da de omule v si β oo lop, als de lij v wel loodech saa op he vla 8

21 Beij wee ie-evewijdie vlae me omaalvecoe m especievelij Ode de hoe usse de wee vlae vesaa we de leise va de hoee die je zie als je las de ichi va de sijlij va de vlae m ij Voo deze hoe γ eld: cos γ m γ Opave 7 Le ui da de hoe usse wee sijdede vlae elij is aa de hoe usse de daes va de omaalvecoe va die vlae Opave 8 Geeve is ee ubus oabcde me ibbe 4 Pu m is he midde va ibbe b e pu is he midde va ibbe d a Beee de asad va pu o vla ac b Beee de asad va pu m o lij o Beee i ade auweui: c de hoe usse de lije a e md d de hoe usse lij m e vla ac e de hoe usse vla abd e vla bcde de hoe usse vla ac e vla be x e a z d o m b c y 9

22 He uiwedi poduc Wees ie bezod ove je moeilijhede me wisude I a je vezeee da de mije oe zij Albe Eisei I oze Caesische uime hebbe we u e da behoee aa ee veco, ie de ulveco, die loodech saa op wee eeve vecoe die ie elaas veelvoud zij Bijvoobeeld waee we ee omaalveco zoee va ee eeve vla Iuïie is duidelij da zo veco alijd wel besaa, maa i de paij val he vaa ie mee om e diec ee e vide E moe aa eeed wode, zoals blij ui he volede voobeeld We zoee ee veco,, vecoe a,, e, 4, 5 me o die loodech saa op de b Voo de ezoche veco moe elde: a 0 e b 0 Di houd i da: 0 e Di zij wee veelijie me die obeede We aa ees éé va de obeede elimiee, bijvoobeeld Doo de eese veeliji me e vemeivuldie e de weede veeliji me e daaa he veschil va beide veelijie e eme, vide we: Nu zie we da we 9 e 4 ue eme Vulle we di i i de eese veeliji, da ije we: owel Dus vide we,9,4 Ee coole bevesi da,9,4 loodech saa op de vecoe a e b Ku je o mee vecoe eve die loodech saa op zowel a als b? 0

23 Opave Bepaal i el va de volede evalle ee veco me o, die loodech saa op de wee eeve vecoe a a,, e b,0, b c 0,5, e d,0, 5 4,,,,6 c e e Opave Geeve is ee ubus oabcde, die i ee asseselsel is eplaas, zoals aaeeve i de odesaade iuu Bepaal alebaïsch o meeudi va el va de volede vlae ee omaalveco e z d a vla abd b vla be c vla ac x a o b c y We ue he bovesaade pocedé om ee veco e vide, die loodech saa op wee eeve vecoe, oo i he alemee uivoee Bij u, u u v v, v v, beide oelij aa de ul- wee vecoe u, e, veco, zoee we ee veco,,, oo oelij aa de ulveco, die loodech saa op zowel u als v E moe da elde: u 0 e v 0 Uiescheve i coödiae: u u u 0 e v v v 0 We ieze e voo om de obeede e elimiee Hievoo vemeivuldie we de eese veeliji me v e de weede veeliji me u Di ee: u v uv uv 0 e u v uv uv 0 Neme we vevoles he veschil va beide veelijie, da vide we: u v u v u v u v 0 owel u v uv uv uv Di is ee veeliji waai de obeede ie mee vooom We ue u eme: uv uv e uv uv Vevoles vulle we de eoze waade i i de eese veeliji: u u u v u v u u v u v 0, owel

24 u u uuv uuv uuv uuv uuv uuv, dele doo uv uv 0, owel u! ee, Maa i de beeei hiebove hebbe we ees edeeld doo u, ewijl di eal wel ees 0 zou ue zij He is eche ee eevoudie opave om a e aa da de zojuis evode veco loodech saa op de vecoe u e v, oo i he eval da u 0 We vide zo de veco u v u v, u v u v u v u v Opave Ga me ee echseese beeei a da de veco u v u v, u v u v u v u v idedaad loodech saa op de, vecoe u u, u u e v, v v, v, Maa de veco zou wel ees de ulveco ue zij Di is idedaad he eval als u e v popoioeel zij, dwz veelvoude va elaa zij, zoals eevoudi is a e aa Maa o he oo a ebeue, als u e v ee veelvoude va elaa zij, veeis ee schepee bli We selle de oplossi va di pobleem o eve ui e ebuie de evode uidui als deiiie voo he uiwedi poduc He uiwedi poduc o uipoduc u v va de vecoe u e v wod edeiieed doo: u v u v uv, uv uv, uv uv Me op da he uipoduc va wee vecoe wee ee veco i is, di i eeselli o he ipoduc va wee vecoe, da ee eëel eal is He uipoduc hee ee aaal mooie eieschappe, die we ees zulle bespee Ne als he ipoduc is oo he uiwedi poduc bilieai, zoda: u v w u u v w u v λu v λu v u λv λu v w v w u w I eeselli o he symmeische ipoduc is he uipoduc ai- v u u v symmeisch, da wil zee:

25 Hieui vol diec da u u o, me adee woode he uipoduc va ee veco me zichzel is de ulveco Immes u u u u, dus u u e dus is u u o o Oo vol vijwel diec da veodesel da u λv u v o, als u e v popoioeel zij Immes u v λ v v λ v v, da is o Opave 4 Coolee doo middel va uischijve da: a u v v u b u v w u w v w λ u v λ u v c Opave 5 Beee voo el va de die pae vecoe i opave he uipoduc Veelij de awoode me de awoode op opave Opave 6 Beij wee de ubus oabcde va opave Pu m is he midde va ibbe b e pu is he midde va ibbe d Beee va el va de volede vlae ee omaalveco a vla amc b vla am c vla em d vla am Voo ipoduc e uipoduc elde de volede ipelpoducomules Selli Voo u, v e w elde de omules: u v w u v w u v w u wv u vw Bewijs He bewijs is ee wesie va lie- e echelid uischijve i coödiae, waabij u u, u, u, v v, v, v e w w, w, w Bijvoobeeld voo de eese omule vide we: u v w u v w v w u v w v w u v w v w x e a z d o b m c y

26 u v w u w v uv w uv uv w uv uv E beide uiduie i he echelid zij idedaad elij He bewijs va de weede omule ve wa mee schijwe, maa aa e zo Opave 7 Bewijs de weede omule va Selli Opave 8 Bewijs me behulp va de eese omule va Selli da u u v 0 e u v v 0, owel u v saa loodech op u e op v Selli Voo u e v beide o eld: u v u v si γ, waabij γ de hoe is usse de vecoe u e v Bewijs We lae zie da u v u v si γ Daabij wode beide omules va Selli ebui Ga bij he leze va he bewijs pecies a, wele omule e bij ele sap wod oeepas Bede da de eese omule va selli oo va echs aa lis a wode eleze u v u v u v u v u v u v vu v uv v vu u v uu v u v u v u v u v cos γ u v u v cos γ u v cos γ u v si γ Ee diec evol va Selli is da de lee va de veco u v elij is aa de oppevlae va he paallelloam da wod opespae doo de vecoe u e v, dwz he paallelloam me hoepue o, u, u+v e v i die volode v u + v o u 4

27 Beij u wee vecoe u e v, die ie popoioeel zij De lee va de veco u v wod volledi bepaald doo de lees va de vecoe u e v e de hoe usse deze wee vecoe Omda de veco u v oo loodech moe saa op zowel u als v, li deze hiemee bija vas E zij o wee moelijhede voo u v, die elaas eeeselde zij De daadweelije ichi va u v wod e sloe bepaald doo de zoeaamde ueeeeel: u v wijs i de ichi waai ee ueee zich veplaas, waee deze va u aa v wod edaaid Ee bewijs va di laase ei voe e ve om hie e eve Sameeva hebbe we de volede meeudie beschijvi va he uiwedi poduc v u u v Selli He uiwedi poduc u v saa loodech op zowel u als v Zij lee is elij aa de oppevlae u v si γ va he paallelloam, opespae doo u e v Zij ichi wod eeve doo de ueeeeel Deze meeudie eieschappe lee u v eeduidi vas z Beee x y, y z e x z e a a da hu ichie oveeesemme me de ueeeeel Opave 9 Laa x,0,0, y 0,,0 e 0,0, Opave 0 Bewijs da als Hi: Gebui Selli u v o, da zij u e v popoioeel Opave Bewijs da a b c d a cb d a db c Me op da je di op wee maiee aa u pae: lie- e echelid uischijve i coödiae veel schijwe o ebui mae va de omules va Selli 5

28 Opave Bewijs da u v w v w u w u v o Hi: Gebui de weede omule va Selli Opave Maa ee samevai e ee omuleaa ove de beippe ipoduc e uipoduc i 6

29 4 Komme i de uime Alles soom e ies blij Healeios 6 e eeuw v Ch De baa va ee beweed deelje i he vla o i de uime is ee vlae omme especievelij ee uimeomme I eese isaie zulle we os i di hoodsu bepee o uimeomme Voo vlae omme eld ee vijwel aaloo vehaal Na de euze va ee echhoei asseselsel wod ee uimeomme eeve doo die coödiaaucies x, y e z, zo da x, y, z de plaas is va he bewuse deelje op ijdsip Me adee woode: x, y, z is de posiieveco va he deelje op ijdsip We oeme x, y, z ee paameisei o paameevooselli va de uimeomme We spee oo wel va ee epaameiseede omme Eé e dezelde omme a vele paameiseie hebbe zie opave 4 We veodeselle da de collecie va alle ijdsippe, waaop de bewei edeiieed is, ee deelieval is va o de ehele Als he ie ade is aaeeve, da is de bewei edeiieed op Voobeelde va epaameiseede omme zij:, 4, 4,, h cos, si, x z O y Opave 4 a Wa is he sijpu va de baa va me he vla z 7? b Wa is he laase pu va de baa va? c Wa is he sijpu va de baa va h me he vla z 5? d Wa is he sijpu va de baa va h me he vla x 0, 5? 7

30 Opave 4 Ga a hoe de baa va he deelje e bij el va de die bovesaade voobeelde uizie Je u daavoo op je aische eemachie ees ee eschie pojecie eee Tee bijvoobeeld bij de vlae omme epaameiseed doo: x e y Opave 4 Geeve zij die epaameiseede uimeomme p,4, 4, q 4, 4 8, 4 8 e,4, 4 a Ga a da de deeljes bij deze die paameiseie dezelde baa doolope b Hoe bewee de deeljes bij p e q e opziche va elaa? c Dooloop he deelje bij de paameisei s,4, 4 oo de zelde baa als bij p, q e? Hoewel he dus si eome veschillede die zij, zulle we i he vevol vaa spee ove ee omme, als we ee epaameiseede omme bedoele Di slodie aalebui leid i de paij ie o pobleme e he maa de zie wa mide la Ne als vecoe ue we omme 5 opelle e me ee eëel eal vemeivuldie Da aa als vol Laa,, e,, wee omme zij De omme wod edeiieed doo λ edeiieed doo λ λ Voo ee eëel eal λ wod de omme Ne als bij vecoe spee we a da e Opave 44 Beschouw omaals de uimeomme p, 4, 4, q 4, 4 8, 4 8 e,4, 4 Gee paameiseie va de uimeomme p q, p q, e p q 5 Veel eieschappe elde op ee aaloe wijze voo vlae e voo uimeomme Daaom spee we i zule evalle ove omme 8

31 Beschouw de omme,, De asad va de plaas va he bijbehoede deelje o de oospo op ijdsip is De asadsucie, die wod eoeed me, wod dus edeiieed doo: Opave 45 Beij de omme cos,si cos,si a Laa zie da de asadsucie cosa elij is aa b Wa beee di voo de baa va he bijbehoede deelje? Ee deelje bewee voles de omme,, De selheidsveco o owe selheid va he deelje op ijdsip ue we bepale doo de emiddelde selheid op ee lei ijdsieval [, +] e beeee e daaa o ul e lae adee De emiddelde selheid va he deelje op he ijdsieval [, +] is elij aa Δ Di Δ heschijve we o: Δ, Δ, Δ Δ Δ Δ Δ,, Δ Δ Δ Lae we vevoles o ul adee, da vide we de selheidsveco ' ' ' op ijdsip :,, He dieeiëe va ee uimeomme ebeu dus e als va ee vlae omme coödiaaewijs 6 De selheidsveco behoede bij de plaasveco oee we me De selheidsveco is paallel me de aalij aa de omme i he pu ' ' ' De ucie,, oeme we de selheidsomme va de omme 6 De selheidsveco is allee da edeiieed, als de coödiaaucies, e i dieeieebaa zij Di wod silzwijed veodeseld Mee o: we aa e vaui da alle die de coödiaaucies obepe vaa dieeieebaa zij i alle ijdsippe x z O y 9

32 Opave 46 Beee voo de omme, e h va opave 4 de bijbehoede selheidsomme, e h De selheid va ee beweed deelje op ijdsip is de lee va de selheidsveco De selheid wod eoeed me e wod eeve ' ' ' doo De plaasucie e de selheidsucie zij vecowaadie ucies: e zij uimelije vecoe Maa de asadsucie e de selheidsucie zij eëelwaadie ucies: e zij ieeaieve ealle Omda i he Nedelads de em selheid zowel wod ebui voo de selheidsveco als voo de ooe eva, a di soms vewai eve I he Eels besaa di pobleem ie, omda de selheidsveco daa wod aaeeve me velociy e de ooe va de selheidsveco me speed Opave 47 Beij wee de die omme va opave 4 a Beee de bijbehoede selheidsucies, e h b I wel pu hee ee deelje da bewee voles de omme zij laase selheid? Als he oed is, da heb je bij odedeel a ezie da de selheid bij de omme h cosa is c Laa zie da oo he ipoduc h 0,0, cosa is d Laa zie da de hoe usse de selheidsveco h e de z-as cosa is e beee die hoe Opave 48 Beij wee de omme cos,si cos,si a Laa zie da de selheidsveco op ijdsip wod eeve doo si,cos,cos b Laa zie da de selheid op ijdsip elij is aa cos c Wa is de miimale selheid va he deelje? Waa bevid he zich da? d Wa is de maximale selheid va he deelje? Waa bevid he zich da? 0

33 Opave 49 Ee plae lavebladoop a wode bescheve doo de omme: cos cos, cos si Tee deze oop ees op de aische eemachie a Too aa da cos b Wele waade a de asadsucie aaeme? c Gee ee paameisei va de selheidsomme d Too aa da 5 6 cos 5cos e Wa is de laase selheid ijdes he doolope va de omme Opave 40 Ee uimelije lavebladoop a wode bescheve cos cos, cos si, si doo de omme: a Too aa da 5 4cos b Wele waade a de asadsucie aaeme? c Gee ee paameisei va de selheidsomme d Too aa da 9 4 cos e Wele waade a de selheid aaeme? Bij wee omme,, e,, ue we ee ipoducucie deiiëe doo = De ucie ee voo ele de waade va he ipoduc va de vecoe e Dus o owe Voobeeld Als, 4, 4 e,,, da is Voo he dieeiëe va he ipoduc va wee omme besaa ee eel, die veassed veel lij op de poduceel voo ewoe ucies E d d d eld amelij: owel d d d

34 He bewijs lij veel op da va de poduceel voo ewoe ucies d d is amelij de limie va Δ Δ als o ul ade Vede is Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ De laase uidui ade o d d d d als ade o ul Di ee he ewese esulaa We ue bij wee uimeomme,, e,, oo ee uipoduc 7 deiiëe doo De omme ee voo ele he uipoduc va de vecoe e Dus,, o owe:,, Voo he dieeiëe va he uipoduc va wee uimeomme besaa ee sooelije poduceel als voo he dieeiëe va he ipoduc, amelij: d d d d d d owel He bewijs va de poduceel voo he uipoduc is vijwel hezelde als da va de poduceel voo he ipoduc Opave 4 Schij he bewijs va de poduceel voo he uipoduc ejes ui Opave 4 Ee deelje bewee ove ee omme edeiieed doo cos si, si, cos si a Too aa da ee cosae veco is b Ze i woode wa he esulaa va odedeel a beee 7 He uipoduc is ie edeiieed voo vlae omme

35 Opave 4 Ee deelje bewee ove ee bol me saal Zij baa wod bescheve doo de omme Bewijs da de selheidsveco va he deelje seeds loodech saa op de saal owel voo ele Hi: a a da e dieeiee deze uidui aa Beij ee deelje da bewee ove de omme,, We vide de vesellisveco o owe veselli va he deelje op ijdsip doo de emiddelde veselli Δ op ee lei Δ ijdsieval [, +] e beeee e daaa o ul e lae adee Deze vesellisveco wod eoeed me e is elij aa: " " ",, oeme we de vesellisomme " " " De ucie,, va he deelje da bewee las de omme De ooe va de vesellisveco wod oo veselli eoemd oaie e wod eeve doo " " " We zulle i ee aaal voobeelde de vesellisveco ade odezoee Opave 44 Beee zowel de vesellisveco als de veselli va de omme p, 4, 4 e,4, 4 Opave 45 Beij de omme, die wod edeiieed doo si cos,si,si cos Too aa da Opave 46 Ee deelje bewee me cosae selheid ove ee omme Too aa da de selheidsveco loodech saa op de vesellisveco Hi: ij o ees oed aa opave 4

36 I de mechaica is he ebuielij om bij ee bepaalde omme de posiieveco e oee me, de selheidsveco me v e de vesellisveco me a De saa voo adius wa voesaal beee, de v saa voo velociy selheid e de a voo acceleaio veselli Vaa lae we emashalve he wood veco we e hebbe we he ove de posiie, de selheid v e de veselli a Aa de oaie is e zie da e spae is va ee veco e ie va ee eëel eal He is ebuielij om de lee va ee veco aa e eve me dezelde lee, maa da ie ve-edu: de asad o de oospo is, de selheid is v v e de veselli is a a Deze oaie is bodi e bovedie odubbelzii Je moe e eve aa wee, maa a eie ijd bese je waaschijlij wel de voodele va deze oaie We beije ee vieal lasse va bijzodee uimeomme De eepai echlijie bewei Voo u e v i beschij de omme u v ee eche lij He pu u is de posiie op ijdsip 0 De selheid is v v e de veselli is a o Omda de selheid cosa is, wod de lij eepai doolope De eepai veselde bewei Voo eële ealle a, b e c me a > 0 beschij de vlae omme, a b c ee bepaabool De selheid is v, a b e de veselli is a 0, a Opave 47 Laa zie da voo de eepai veselde bewei eld: v a ab b e a a De eepai cielvomie bewei Voo 0 e ω 0 beschij de vlae omme cosω, si ω ee ciel me saal e hoeselheid ω De selheid e de veselli zij v ωsi ω, ωcosω e a ω cosω, ω si ω 4