10 Binomiaalcoëfficiënten

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "10 Binomiaalcoëfficiënten"

Sandra Verbeek
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 WIS0 0 Bioiaalcoëfficiëte 0. Defiitie Cobiatoische defiitie Voo iet-egatieve gehele getalle e defiiëe we als het aatal deelvezaelige va eleete uit ee vezaelig va eleete. Uitspaa: bove. Voobeeld: de vezaelig {, 2, 3, 4} heeft als deelvezaelige et 2 eleete {, 2}, {, 3}, {, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} dus Het aatal ije va veschillede eleete uit ee vezaelig et eleete is... + Ele deelvezaelig et eleete is op! aiee als zo ij te schijve. Coclusie:! Geealisatie Voo willeeuige eële e gehele defiiëe we {! als 0 0 als < 0 Me op: Voo N 0 hie e vede is N 0 de vezaelig va iet-egatieve gehele getalle stet dit et de cobiatoische defiitie oveee. is ee polyoo i va gaad. De diehoe va Pascal

2 WIS0 2 De blaco posities hebbe de waade 0 odat daa ee facto 0 bevat. 0.2 Idetiteite Vebad et de faculteit Voo, N 0 et geldt {defiitie va, gebui 0 }! {defiitie va, gebui 0 }! j0 j {doeisplitsig, gebui N 0 e } j0 j! j j {duytasfoatie j l } l l! l l {defiitie va faculteit}!!! Syetie Voo N 0, Z geldt Als 0, zij beide lede volges de voige idetiteit ies gelij aa!!! Als < 0, is het lielid gelij aa 0 weges de defiitie va, e het echtelid is gelij aa 0 odat i da ee facto 0 vooot. Als >, zij beide lede 0 op god va vewisselde aguetatie. Deze idetiteit velaat waao de ije i de diehoe va Pascal syetisch zij. Waaschuwig: de idetiteit geldt iet als < 0, bijvoobeeld 2 aa 3 0. Absoptie Ode aaae va > 0 geldt {defiitie bi.co., gebui 0 }! {ecuete beteig voo!, gebui > 0 }! {defiitie va }

3 WIS0 3! j0 j {splits facto et j 0 af, gebui > 0 }! j j {duytasfoatie j l + }! 2 l0 l {defiitie va }! {defiitie bi.co., gebui 0 } Absoptie We hebbe de idetiteit afgeleid voo > 0. Maa als 0, geldt deze oo odat da beide lede 0 zij. Ee aaloge idetiteit die de odeste ide gelij houdt, is Het polyooaguet Voo N 0 et is {syetie, gebui N 0 } {absoptie, et } {syetie, gebui N 0 } We hebbe de idetiteit u afgeleid voo gehele positieve. Maa beide lede va de gelijheid zij polyoe va gaad + i, dus het veschil is ee polyoo va gaad + i dat oeidig veel ulpute heeft alle positieve gehele waade va. Zo polyoo oet idetie 0 zij hoofdstellig va de algeba. Deze edeeig zulle we ode de aa het polyooaguet vae gebuie. De optelfoule I de diehoe va Pascal is el getal de so va het getal lis ebove e echt ebove. Dit volgt uit de optelfoule +

4 WIS0 4 die oo voo egatieve e iet-gehele geldt. Bewijs: voo 0 geldt + {absoptie, gebui 0 } + {eee} e da geldt de foule voo alle weges het polyooaguet. Soatie De optelfoule is ee ecuete beteig voo de ije va de diehoe va Pascal. We ue deze gebuie o foules et iductie te bewijze. Voobeeld: voo, N 0 Iductie aa. Basis: 0 + [ 0]. Stap: voo is 0 {splits af, gebui 0 } + 0 {iductiehypothese} + + {optelfoule} + + Aaloog: De bioiaalstellig De bioiaalstellig De getalle i de diehoe va Pascal tede op als coëfficiëte i de epasie va + y, als volgt:

5 WIS0 5 Cobiatoisch geaelij i te zie: aa ee te y wodt bijgedage doo bij het uitwee va het poduct aal de -te e aal de y -te te ieze. Dit a juist op aiee. De bioiaalstellig De bioiaalstellig + y 0 y Wil dit oo gelde igeval y, da oete we defiiëe 0 0. Bewijs et iductie aa. Voo 0 zij beide lede, voo > 0 geldt De bioiaalstellig + y {eee} + y + y {iductiehypothese} + y 0 y {distibutie} + y {duytasfoatie l } l l y l + y l 0 y {splits af l, 0 ; tesplitsig} + y + + y {optelfoule} + y + y {splits af 0, } y 0 Speciale gevalle Voo y ijge we: 0 2 bijv , Voo, y ijge we: [ 0] 0 bijv ,

6 WIS0 6 Niet-atuulije epoet Beschouw de fuctie fz + z Deze is aalytisch i z 0, e et iductie ue we bewijze dat We hebbe dus fz {Tayloees} D f0 0! z {foule voo D f } 0! z {defiitie bi.co.} z 0 D fz + z Niet-atuulije epoet Het absolute quotiët va opeevolgede coëfficiëte is + + +, dus de covegetiestaal is. +!! Dit geeft de ee algeee vo va de bioiaalstellig: + y y De so is eidig als N 0 e ee covegete ees als < y. 0.4 Poducte Poductfoule De foule heeft de eigeschap dat die het dubbele voooe va vewijdet, wat uttig is igeval de soatievaiabele is. Bewijs: voo gehele 0 geldt {vebad et faculteit}!!!!!! {vevag! i telle e oee doo! }!!!!!! {vebad et faculteit}

7 WIS0 7 Voo < of < 0 zij beide lede 0. Dus de idetiteit geldt voo willeeuige e, ode de voowaade dat 0 N 0. Die laatste voowaade a wode vewijded et het polyooaguet. Soe va poducte Niet zivol deze va buite te lee! Quotiëte 0 / {poductfoule} 0 / {duytasfoatie l } +l l0 / l {soatie-idetiteit} / ++ {eee} / + {absoptie} Newtoeese Newtoeese Odat ee polyoo va gaad is, is el polyoo va gaad d te schijve i de vo d f c bijvoobeeld 0

8 WIS { } { } { 0 } Ee degelije otwielig heet de Newtoees va f. Diffeeties E geldt dus voo geldt I het bijzode is λ λ f f f0 dus de Newtoees va f is te schijve als f d c 0 d c 0 { c als d 0 als > d d f0 0 Bioiaalcoëfficiëte i de ifoatica I ee boo is de padlegte de so, geoe ove alle ope, va hu afstad tot de wotel. I ee biaie boo et N ope is de padlegte geiddeld N + 4 N 2N N 3N I ee boo et N ope is de padlegte geiddeld N 4 N 2 2N 2 N

9 WIS0 9 Het vejaadagspoblee Bij de hashtable-datastuctuu wode geheugeadesse toebedeeld doo ee vesleutelig va de waade die oet wode opgeslage. We zij ei geïteesseed hoe vaa dit tot ee botsig leidt twee veschillede waade waaaa hetzelfde ades wodt toegeed. Populaie vesie va hetzelfde poblee: hoe goot is de as dat twee ese i ee goep dezelfde vejaadag hebbe? Beschouw ee goep et N pesoe. De as dat pesoo 2 iet dezelfde vejaadag heeft als pesoo is /, et 365. De as dat de vejaadag va pesoo 3 veschilt va de adee twee is vevolges 2/, ezovoot; i totaal is de as dat alle N pesoe ee veschillede vejaadag hebbe N N N N! N N Het vejaadagspoblee Matheatica:

Vergelijkbare documenten

Steekproefkarakteristieken en betrouwbare uitspraken

Steekproefkarakteristieken en betrouwbare uitspraken Steekpoefkaakteistieke e betouwbae uitspake Steekpoefkaakteistieke. De ities Ee steekpoef uit X s W (; ) is ee ij X ; X ; :::; X zo dat de X i zij oafhakelijk; de X i hebbe dezelfde vedelig als X. Belagijke