Meetkunde, met wat inductie

Transcriptie

1 Meetkue, met wat iuctie DICK KLINGENS ( aes: Kimpeewaa College, Kimpe aa e IJssel (NL) augustus 009 Fomule va Heo We zulle i hetgee volgt gebuikmake va ee i het huiige meetkueoewijs iet zo bekee fomule, amelijk ie va Heo. Daaom eest ee afleiig va ie fomule, hie gebasee op gelijkvomighei. figuu I figuu zij I e I' opvolge het mielput va e icikel (staal ) e het mielput va e uitcikel bij e zije BC (staal a ) va iehoek BC. De pute C' e C" zij e pojecties va I e I' op e lij B. Nu is, weges IC' // I'C": IC' : I'C" C' : C" Zoals beke [] is C' s a e C" s, waabij s gelijk is aa e halve omtek (semipeimete) va iehoek BC. Zoat: () : a (s a) : s Vee zij e iehoeke BC'I e I'C"B gelijkvomig (hh). E at geeft: BC' : I'C" C'I : C"B of, met BC' s b e BC" s c : () (s b) : a : (s c) Elimiatie va a uit () e () geeft (via elig): s a s ( s a)( s c) s ( s a)( s b)( s c) s b s c s Of: s ss ( a)( s b)( s c) Is F e oppevlakte va iehoek BC, a vie we met F s (zie hietoe, zo oig, het tweee geeelte va oot []): F s( s a)( s b)( s c) Deze laatste fomule staat beke als e fomule va Heo (aa Heo va lexaië, ±0 - ±75, Egypte). [] I- e uitcikels De i e voige paagaaf afgeleie fomule zulle we gebuike bij het bewijs va e volgee stellig. Meetkue, met wat iuctie [ ] Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam

2 Stellig. Ligge op e zije B va iehoek BC e ( ) eelpute D, D, D 3,, D, a gelt voo e icikels (staal k ) e e bij C behoee uitcikels (staal k ) va het -tal eeliehoeke D C, D D C, D D 3 C,, D BC : waabij e opvolge e stale zij va e icikel e va e bij C behoee uitcikel va iehoek BC. figuu De vaag ie u wellicht bij e leze opkomt, is: Waaom hebbe we e fomule va Heo oig om e stellig te bewijze? Het atwoo: De oppevlakte F va ee iehoek is (ee te elimiee) itemeiai tusse e staal va e icikel e e staal va ee uitcikel va ie iehoek. Immes, we hebbe ees gezie at F s, e vee is i figuu 3 (waai D het mielput is va e uitcikel bij B ) [3] : F F (DC ) + F (DBC ) F (DB ) zoat: F b + a c ( a+ b c) ( a+ b+ c c) of: F ( s c) figuu 3 We vie a oo gelijkstellig at s ( s c), waauit volgt: s c (3) s I iehoek IB is vee: ta, ta B s a s b E a is, gebuikmake va e fomule va Heo e opieuw va F s : Meetkue, met wat iuctie [ ] Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam

3 ( ) ( ) ta ta B s s c F s c ( s a)( s b) s( s a)( s b)( s c) s F s E it geeft: (4) ta ta B s c s Zoat uit (3) e (4) volgt: (5) ta ta B E eigelijk gaat het om eze laatste fomule! ls We bekijke eest het geval voo ; at wil zegge at we via het eige eelput D op B moete aatoe at voo e beie eeliehoeke D C e D BC va iehoek BC gelt (zie figuu 4): figuu 4 aloog aa fomule (5) is u i iehoek D C met D C q : (6) ta ta q e i iehoek D BC, eveees aaloog aa (5): 80 (7) ta B ta ta B ta(90 ) ta B cot Na vemeigvuligig va (6) e (7), e met gebuik va (5) zelf, is a: (8) ta ta B q q q Iuctie () We kue u Stellig met volleige iuctie bewijze. Zoals beke veloopt ee egelijk bewijs (meestal) i ie stappe. De eeste aava hebbe we ees i e voige paagaaf gezet: Stap. De eigeschap gelt voo (voo is e stellig tiviaal). Stap. We gaa e u va uit at e stellig gelt voo ee veelig va iehoek BC i iehoeke (iuctieveoestellig). E gelt us voo elk -tal ( aasluite gelege) eeliehoeke, bepaal oo ( ) eelpute D k op e zije B: Meetkue, met wat iuctie [ 3 ] Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam

4 figuu 5 Va iehoek D C stelle we e gootte va e staal va e icikel gelijk aa e ie va e bij C behoee uitcikel gelijk aa (zie figuu 5). Volges stap is a, met e twee eeliehoeke D C e D D C va iehoek D C: (9) Stap 3. We bekijke a het -tal eeliehoeke D C, D D 3 C,, D D C, D BC ie gevom woe oo e ( ) eelpute D, D 3,, D, D (it laatste eelput is toegevoeg op het lijstuk D B ). Op basis va e iuctieveoestellig (stap ) is a (e legtes va e stale va iehoek D BC zij + e + ): Same met (9) geeft it: 3 + Waamee Stellig volges het picipe va volleige iuctie is beweze: e i e stellig geoeme eigeschap gelt u immes ook voo ( + ) iehoeke. E e omcikels ebij Ook als we e omcikels va e beschouwe (eel)iehoeke ebij betekke, kue we ee elatie tusse e goottes va e stale vie. E gelt a: Stellig. Zij R k e legtes va e stale va omcikels va e iehoeke D C, D D C, D D 3 C,, D BC e is R ie va e omcikel va iehoek BC, a is: R R R R waabij k, k, e ezelfe betekeis hebbe als i Stellig. Op e weg aa het bewijs va eze stellig kijke we eest aa e uitukkig BC zelf. Nu is: + F F s + s c 4F ( s + s c ) R abc abc F immes, voo F gelt ook (zie evetueel oot [4]): abc F 4R + R i iehoek Meetkue, met wat iuctie [ 4 ] Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam

5 E a is: Zoat: (*) s c ( a+ b)( s a)( s b) 4 ( a+ b)( b+ c a)( a+ c b) + s s c s( s c) s( s a)( s b)( s c) F 4 ( a+ b)( c ( a b) ) F + ( a+ b)( c ( a b) ) c ( a b) c ( a b) + R abc bc ac c a b + ab c a b + ab + bc ac We voege u i e telles va e beuke i het echte li espectievelijk e tem +b e +a toe, met uiteaa telkes ee coectie. Da is, a eig heschijve: + c a + b ab b c b + a ab a R bc bc bc ac ac ac e aabij gelt voo e teme tusse e haakjes: ab b ab a ab ab+ ab ab + 0 bc bc ac ac abc zoat via e cosiusegel i iehoek BC blijkt at: (0) + c + b a c + a b + cos + cos B R bc ac Opmekig. De hiebove staae uitwekig (via het toevoege va teme) is wellicht wat gezocht. Zie oot [5] voo ee aee afleiig va elatie (0), uitgaae va het eeste eel va e elatie (*). figuu 6 Vevolges bekijke we e veelig va iehoek BC bij éé eelput D op e zije B, waabij D C q. Da is i figuu 6, met tweemaal gebuik va elatie (0): (cos + cos q) + cos(80 q) + cos B (a) R R cos + cos q cosq+ cos B Dus: zie (0) (b) + + cos cos B R R R De beschouwe som is aamee oafhakelijk va e liggig va het put D op B. Tot slot. Voo e ( ) eelpute D k op het lijstuk B, e us voo e eeliehoeke, hebbe we a: Meetkue, met wat iuctie [ 5 ] Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam

6 + + () cos + cos B R R R R Immes, e cosiusse va e beie hoeke bij elk va e eelpute D k valle, zoals i elatie (a), stees tege elkaa weg. Uit () volgt a eevouig: R R R R Waamee Stellig beweze is. Iuctie () Ook Stellig ka atuulijk met volleige iuctie woe beweze. Stap. Voo is e eigeschap juist. Dit is i e voogaae paagaaf beweze; zie aatoe figuu 6 e elatie (b). Stap (iuctieveoestellig). Voo het -tal i iehoek BC ( aasluite gelege) eeliehoeke D C,, D BC is e stellig juist; us gelt: (3) R R R R Stap 3. Op het lijstuk D B kieze we u het put D, waaoo e ( + ) eeliehoeke va iehoek BC otstaa. Va e twee (ieuwe) eeliehoeke D - D C e D BC va iehoek D - BC zij e stale opvolge ', ', R' e +, +, R + ; zie figuu 7. figuu 7 Op go va stap e zij eeliehoeke i iehoek D - BC is a: (4) + R R R+ Uit (3) e (4) volgt a: R R R R+ R De i Stellig geoeme eigeschap gelt us ook voo e ( + ) eeliehoeke va iehoek BC. E aamee is Stellig beweze volges het picipe va volleige iuctie. Meetkue, met wat iuctie [ 6 ] Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam

7 Note [] Voo e afleiig va eze fomules zie bijvoobeel (op e website va e auteu): - Dick Kliges (00): Icikel. Op: - Dick Kliges (00): Uitcikels. Op: [] Voo ekele aee bewijze va e fomule va Heo (e wat mee ifomatie) zie, eveees op e website va e auteu: - Dick Kliges (000): De fomule va Heo. Op: Op eze webpagia staat ook het bewijs va e fomule F s. We geve at bewijs hieoe kot wee. I evestaae figuu is [3] : F F (BCI ) + F (CI ) + F (BI ) Dus: F a+ b+ c ( a+ b+ c) s [3] We gebuike i hetgee volgt e otatie F (X) voo e fuctie ie aa e geslote figuu X e oppevlakte eva toevoegt (oppevlaktefuctie). Gevolg: F F (BC). [4] Va iehoek BC is E ee miellij va e omcikel (mielput O). Het put D is het voetput va e hoogtelij h uit op BC. De echthoekige iehoeke DC e BE zij gelijkvomig (hh; e hoeke C e E staa immes beie op bg(b), zoat: D : B C : E Of: h : c b : R Dus: bc R h Vemeigvuligig va eze elatie met a geeft a: abc R ah R F abc E it esulteet i: F 4R [5] We hebbe, uitgaae va e elatie (*): + ( a+ b)( c ( a b) ) ( a+ b)( c a b + ab) R abc abc Volges e sius- é cosiusegel i iehoek BC is a: + (Rsi + Rsi B)(-abcosC + ab) (si + si B)( cos C) R ab RsiC sic Zoat: (si si B) si C si + B cos B + + R si Ccos C cos C si Meetkue, met wat iuctie [ 7 ] Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam C

8 80 C si C + Vee is: si + B si si(90 C) cos C e aaloog: cos B + Zoat: cos B cos + B R E a is, volges éé va e goiometische optelligsfomules: + cos + cos B R Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam (The Nethelas) Op it wek is ee 'Ceative Commos Naamsvemelig 3.0 Neela Licetie' va toepassig. Deze licetie ka woe igezie op: « Meetkue, met wat iuctie [ 8 ] Copyight 009 PaD Softwae, Rotteam