Kleine didactiek DE VERSCHILFORMULE VOOR DE SINUS. [ Dick Klingens ]
|
|
- Tobias van der Zee
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Kleine didactiek DE VERSCHILFORMULE VOOR DE SINUS [ Dick Klingens ] In de vierde klas vwo komt de uitbreiding van de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus voor andere dan scherpe hoeken aan de orde. Daaraan voorafgaand worden die verhoudingen meestal eerst opgevat als functies van reële getallen, waarbij dan bijvoorbeeld wordt afgesproken dat sin(x) = sin(x rad), met x reëel. Dan volgen nieuwe definities van de sinus en cosinus als verhoudingen van de coördinaten van punten op de eenheidscirkel. Dat dit niet noodzakelijk is en dat er direct kan worden voortgebouwd op leerstof uit de onderbouw wordt in onderstaande kleine didactiek geïllustreerd, waarbij formulevaardigheid, zo belangrijk in het vervolg, voorop staat. Inleiding Als van hoeken van 30 en 60 de waardes van de sinus be(re)kend zijn het uitrekenen gebeurt (nog steeds) in de onderbouw dan kan eenvoudig worden vastgesteld dat een formule als sin(p q) = sin p sin q onjuist is. Immers met p = 60 en q = 30 hebben we: sin(60 30 ) = sin(30 ) = ½ en sin(60 ) sin(30 ) = ½ 3 ½ Dat sommige functies wél en andere weer níet deze eigenschap hebben, kan met elementaire functies worden geïllustreerd. Is f (x) = 4x, dan is: f (6 3) = f (3) = 12 f (6) f (3) = = 12 en er blijkt ook dat: f (p q) = 4(p q) = 4p 4q = f (p) f (q) voor iedere reële p en q. Echter, met g(x) = 4x + 5 hebben we: g(6 3) = g(3) = 17 g(6) g(3) = = 12 Toch kunnen we ook een uitdrukking als sin(60 45 ) = sin(15 ) berekenen, zonder rekenmachine, exact! Want er bestaat daarvoor tóch een formule, de verschilformule voor de sinus en natuurlijk is dat niet sin(p q) = sin p sin q. We kunnen deze verschilformule direct zij het met een enkele aanvullende afspraak (definitie) afleiden uit de definitie van de sinus (zoals gebruikelijk vastgelegd in een rechthoekige driehoek) en uit de oppervlakte van een driehoek, daarmee terug grijpend op de lesstof in de onderbouw (en dat kan zeker geen kwaad!). Voorkennis A. In een willekeurige, maar scherphoekige driehoek ABC geldt voor de oppervlakte V(ABC) van die driehoek, waarbij F de projectie is van C op AB: V(ABC) = ½ CF AB Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 1 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
2 Met sin(a) = CF/AC = CF/b is dan: V(ABC) = ½ ( b sin(a) ) c of: V(ABC) = ½bc sin(a) Maar geldt deze formule ook als (bijvoorbeeld) hoek A stomp is? In zo n stomphoekige driehoek geldt analoog: V(ABC) = ½ CF AB Maar de lengte van CF kan nu slechts in de sinus van hoek A 1 (de nevenhoek of buitenhoek van hoek A van driehoek ABC) worden uitgedrukt: CF = b sin(a 1 ) Om toch in dit geval dezelfde formule te kunnen gebruiken als bij een scherphoekige driehoek, wordt een afspraak gemaakt (die overigens ook in andere situaties van pas zal komen), vervat in de volgende definitie: Definitie. Voor hoeken X met 0 X 180 geldt: sin(x ) = sin(180 X ) Gevolg In de in A stomphoekige driehoek ABC is sin(a) = sin(180 A) = sin(a 1 ). En dan hebben we bij deze driehoek: V(ABC) = ½ CF AB = ½ (b sin(a 1 )) c Zodat ook bij een stomphoekige driehoek, als gevolg van de afspraak: V(ABC) = ½bc sin(a) In woorden: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden en de sinus van de door die zijden ingesloten hoek. Opmerking. Uit het bovenstaande blijkt dat het niet uitmaakt of er in de formule voor de oppervlakte van de driehoek gebruik gemaakt wordt van een scherpe of van een stompe hoek. B. Voor de oppervlakte V(ABCD) van het trapezium ABCD (AB // CD, a > c) geldt, met E, F als projecties van A, B op de lijn CD en met CE = x, DF = y: V(ABCD) = V(ABEF) V(BEC) V(ADF) Dus: V(ABCD) = a h ½h x ½h y Of: V(ABCD) = a h ½h(x + y) = a h ½h(a c) = ½ha + ½hc Zodat: V(ABCD) = ½h(a + c) In woorden: Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 2 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
3 De oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het halve product van de hoogte en de som van de (lengtes van de) evenwijdige zijden. De verschilformule We gaan uit van twee scherpe hoeken ter grootte van p en q (met p > q, en beide gemeten in graden), die we zo plaatsen dat ze één been OX gemeenschappelijk hebben, en daarmee beide het punt O als hoekpunt. We plaatsen de hoeken verder zo, dat hoek p de hoek q overlapt. Is XOA = p en XOB = q, dan is: BOA = p q. De punten A en B liggen zó op de benen van de hoeken dat AB in het punt D loodrecht staat op OX. De oppervlakte V(OBA) van driehoek OBA is met behulp van de formule uit de paragraaf Voorkennis te berekenen: V(OBA) = ½OA OB sin(p q) Na vermenigvuldiging met 2: (1a) V(OBA) 2 = OA OB sin(p q) De oppervlakte van driehoek OBA kunnen we echter ook op een andere manier bepalen: V(OBA) = V(ODA) V(ODB) Of, opnieuw na vermenigvuldiging met 2: (2a) V(OBA) 2 = OD OA sin p OD OB sin q Dan volgt uit (1a) en (2a): OA OB sin(p q) = OD OA sin p OD OB sin q Deling van het linker en rechter lid van deze uitdrukking door (OA OB) geeft: sin(p q) = OD/OB sin p OD/OA sin q In driehoek ODB is OD/OB = cos q; in driehoek ODA is OD/OA = cos p. Zodat: sin(p q) = sin p cos q cos p sin q Dit is de bedoelde verschilformule voor de sinus. Voorbeeld sin(15 ) = sin(60 45 ) = sin(60 ) cos(45 ) cos(60 ) sin(45 ) of: sin(15 ) = ½ 3 ½ 2 ½ ½ 2 = ¼ 2 ( 3 1) En verder Bij het bovenstaande bewijs zijn we uitgegaan van twee scherpe hoeken p en q. We zullen nu p en q beide stomp kiezen (met opnieuw p > q). Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 3 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
4 Het gevolg daarvan is dat de projectie van D van A en B aan de andere kant van O op de lijn OX ligt. Ook hier is dan AOB = p q (een scherpe hoek). Voor de oppervlakte van driehoek OBA geldt: (1b) V(OBA) 2 = OA OB sin(p q) Ook is V(OBA) 2 = V(OBD) 2 V(OAD) 2, zodat: (2b) V(OBA) 2 = OB OD sin(180 q) OA OD sin(180 p) Uit (1b) en (2b) volgt, na deling door (OA OB) en op grond van de hierboven vermelde definitie: (3) sin( p q ) = OD sin OD OA q OB sin p In driehoek OAD is OD/OA = cos(180 p) en in driehoek OBD is OD/OB = cos(180 q). Om nu op dezelfde formule voor sin(p q) uit te komen als in de vorige paragraaf, maken we opnieuw een (op alle plaatsen in de wiskunde geldende) afspraak en let daarbij op het minteken dat in het rechter lid vóór cos staat: Definitie. Voor hoeken X met 0 X 180 geldt: cos(x ) = - cos(180 X ) Uitdrukking (3) gaat op grond hiervan over in: sin(p q) = (- cos p) sin q (- cos q) sin p Zodat inderdaad ook nu geldt: sin(p q) = sin p cos q cos p sin q We moeten nu (ook) nog kijken naar het geval dat de projecties D en E van A en B op de lijn OX aan verschillende kanten van O liggen. Hier is: (4) V(OBA) 2 = OA OB sin(p q) Verder is: V(DEBA) 2 = (OD + OE)(AD + BE) Uitwerking van het rechter lid geeft: V(DEBA) 2 = (OD AD) + OD BE + OE AD + (OE BE) De termen tussen haakjes in het rechter lid zijn opvolgend het dubbele van de oppervlaktes van de driehoeken OAD en OEB, zodat: (5) V(OBA) 2 = OD BE + OE AD Uit (4) en (5) volgt na deling door (OA OB): (6) sin( p q) = OD BE OE AD OA OB + OB OA In driehoek OAD is OD/OA = cos(180 p) = - cos p en AD/OA = sin(180 p) = sin p; in driehoek OEB is BE/OB = sin q en OE/OB = cos q. Uitdrukking (6) gaat daarmee over in: sin(p q) = (- cos p) sin q + (cos q) sin p Zodat ook in dit geval geldt: sin(p q) = sin p cos q cos p sin q Conclusie. Met 0 < q < p < 180 geldt de verschilformule voor de sinus: Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 4 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
5 sin(p q) = sin p cos q cos p sin q En ook We kiezen q = 0 en passen daarmee de verschilformule toe: sin p = sin(p 0 ) = sin p cos 0 cos p sin 0 Het ligt op basis hiervan voor de hand af te spreken: Definitie. sin 0 = 0 en cos 0 = 1 Opmerking. Hiermee geldt de verschilformule dus voor q = 0. Dat dit een handige (goede) afspraak is, kunnen we zien in een in D rechthoekige driehoek ODA waarvan de lengte van de rechthoekszijde OD gelijk is aan 1 en ODA = x. Laten we de waarde van x hoe langer hoe kleiner worden we schrijven dat als: lim x 0 (spreek uit: limiet(waarde) als x nadert tot 0), dan kunnen we ook de waarde van de sinus van x en die van de cosinus van x bekijken: lim 0 x 0(sin x) = lim AD x 0 OA = 1 = 0 lim 1 x 0(cos x) = lim OD x 0 OA = 1 = 1 In het eerste geval wordt de zijde AD eveneens hoe langer hoe kleiner: limx 0 AD = 0 In beide gevallen gaat het lijnstuk OA hoe langer hoe meer lijken op het lijnstuk OD, waarvan de lengte onveranderd gelijk is aan 1: lim x 0 OA = OD = 1 Gevolgen - Door handig te vermenigvuldigen met 0 en 1 kunnen we schrijven: sin(180 ) = sin(180 ) 1 cos(180 ) 0 = sin(180 ) 1 cos(180 ) 0 = sin(180 ) cos(0 ) cos(180 ) sin(0 ) En ook is, vanzelfsprekend: sin(180 ) = sin(180 0 ) De verschilformule geldt dus ook voor p = sin(90 ) = 1 en cos(90 ) = 0 - sin(180 ) = 0 en cos(180 ) = -1 - sin(90 p) = sin(90 ) cos p cos(90 ) sin p = 1 cos p 0 sin p = cos p Conclusie. Voor de cosinus geldt:.cos(x) = sin(90 X) - En dan is volgens deze laatste formule, met X = 90 p: cos(90 p) = sin(90 (90 p)) = sin p Conclusie. Voor de sinus geldt:.sin(x) = cos(90 X) - sin(-p) = sin(0 p) = sin(0 ) cos p cos(0 ) sin p = - sin p Conclusie. Voor de sinus geldt:.sin(-x) = - sin(x) - We beschouwen de functie f (X) = sin(90 + X). Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 5 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
6 Met X = p is dan: f (p) = sin(90 + p) = sin(90 ) cos p + cos(90 ) sin p = 1 cos p + 0 sin p = cos p Met andere woorden: f (X) = cos X. Dan is dus: f (-p) = cos(-p). Maar ook is: f (-p) = sin(90 + (-p)) = sin(90 p) = cos p. Dus: cos(-p)= cos p. Conclusie. Voor de cosinus geldt:.cos(-x) = cos(x) De somformule voor de sinus We leggen de hoeken p en q opnieuw met één been langs de lijn OX, maar nu zó dat de niet-samenvallende benen aan verschillende kanten van OX liggen. Met DOA = p en DOB = q, is dan AOB = p + q. Nu is: (7) V(OBA) 2 = OA OB sin(p + q) En ook: V(OBA) 2 = V(ODA) 2 + V(ODB) 2 Of: (8) V(OBA) 2 = OA OD sin p + OD OB sin q Uit (7) en (8) volgt, na deling door (OA OB): sin( p + q ) = OD sin OD OB p + OA sin q In driehoek ODB is OD/OB = cos q en in driehoek ODA is OD/OA = cos p; zodat:.sin(p + q) = sin p cos q + cos p sin q Dit is de somformule voor de sinus. Opmerking. We kunnen de somformule ook afleiden uit de verschilformule. Immers, op basis van de Gevolgen uit de vorige paragraaf geldt: sin( p+ q) = sin( p (- q)) = sin p cos(- q) cos p sin(- q) = sin p cosq cos p (-sin q) = sin p cosq+ cos p sin q Voorbeelden We zagen reeds: - sin(90 + p) = sin(90 ) cos p + cos(90 ) sin p = 1 cos p + 0 sin p = cos p - sin(90 p) = cos(-p) = cos p En ook is: - sin(180 + p) = sin(180 ) cos p + cos(180 ) sin p = 0 + (-1) sin p Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 6 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
7 = - sin p - sin(270 ) = sin( ) = - sin(90 ) = -1 - sin(360 p) = sin(180 + (180 p)) = sin(180 ) cos(180 p) + cos(180 ) sin(180 p) = 0 + (-1) sin p = - sin p - sin(360 + p) = sin(360 (-p)) = - sin(-p) = sin p Som- en verschilformule voor de cosinus Uit het bovenstaande kunnen we nu eenvoudig afleiden: cos(p + q) = sin(90 (p + q)) = sin((90 p) q) = sin(90 p) cos q cos(90 p) sin q Zodat:.cos(p + q) = cos p cos q sin p sin q Dit is de somformule voor de cosinus. Voorbeelden - cos(135 ) = cos( ) = cos(90 ) cos(45 ) sin(90 ) sin(45 ) = 0 1 ½ 2 = - ½ 2 - cos(270 ) = cos( ) = cos(180 ) cos(90 ) sin(180 ) sin(90 ) = (-1) = 0 - cos(360 ) = cos( ) = cos(270 ) cos(90 ) sin(270 ) sin(90 ) = 0 0 (-1) 1 = 1 - cos(360 + p) = cos(360 ) cos p sin(360 ) sin p = 1 cos + 0 = cos p Met vervanging van q door -q kan uit de somformule voor de cosinus worden afgeleid dat: cos(p q) = cos (p + (-q)) = cos p cos(-q) sin p sin(-q) = cos p cos q sin p (- sin q) Zodat:.cos(p q) = cos p cos q + sin p sin q En dit is de verschilformule voor de cosinus. Voorbeelden - cos(135 ) = cos( ) = cos(180 ) cos(45 ) + sin(180 ) sin(45 ) = (-1) ½ = - ½ 2 - cos(225 ) = cos( ) = cos(270 ) cos(45 ) + sin(270 ) sin(45 ) = 0 + (-1) ½ 2 = - ½ 2 En natuurlijk kan dit laatste ook gevonden worden met onder meer: - cos(225 ) = cos( ) = cos(360 ) cos(135 ) + sin(360 ) sin(135 ) = 1 (- ½ 2) + 0 = - ½ 2 Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 7 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
8 Leerlingen Natuurlijk is bovenstaande tekst, in deze vorm, niet geschikt voor leerlingen. Maar wellicht geeft de wijze waarop de theorie in dit artikel is benaderd, de onderwijsgevende lezer voldoende inspiratie om er een werkblad of lesbrief van (bij) te maken. Noot Zie ook: Dick Klingens (2009): Klassikaal / Pythagoras via de goniometrie. In: Euclides 84(6), april 2009, p Over de auteur Dick Klingens is eindredacteur van Euclides en was tot aan zijn pensioen in 2010 wiskundeleraar en schoolleider aan het Krimpenerwaard College te Krimpen aan den IJssel. adres: dklingens@pandd.nl Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 8 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatie12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft
Nadere informatieSamenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Nadere informatieEen bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.
Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieDe hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry
De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatie0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen
0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken
Nadere informatieHoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
Nadere informatieHet oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B
Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B Inleiding Voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen heb je een aantal dingen nodig:. Kennis over
Nadere informatieInleiding goniometrie
Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieStelling van Pythagoras
1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens
Nadere informatieScheve projectie. DICK KLINGENS ( adres: Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008
Scheve projectie DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008 1. Afbeelden Om een juiste indruk (afdruk, of een juist beeld) van 3-dimensionale
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren
Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Doel Het onderzoeken van de vermenigvuldigingsafbeelding (homothetie) en het bekijken van de relaties tussen het origineel en het beeld van een meetkundige
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieWiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Nadere informatiesin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )
G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieCabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Nadere informatieBogen op kegelsneden in Cabri
Bogen op kegelsneden in Cabri DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel april 2008 Het tekenen van een ellipsboog Zomaar een vraag van een Cabri-gebruiker
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieOefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc
Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit examen
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.
Nadere informatieAppendix MeetMini Twee meetkunde-miniaturen DICK KLINGENS ( adres: maart 2018
1 Appendix MeetMini Twee meetkunde-miniaturen DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@gmail.com) maart 018 1. De omgekeerde stelling van Reim [1] figuur a1 Gegeven in figuur a1: - de cirkels Γ en Γ' ; -
Nadere informatieMeetkunde-werkblad De stelling van Ptolemaeus
Meetkunde-werkblad De stelling van Ptolemaeus 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van middelpuntshoeken en omtrekshoeken van cirkels, van de elementaire eigenschappen
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
Nadere informatie2 Lijnen en hoeken. De lijn
1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatieVl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatieZelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatie1 Introductie. 2 Oppervlakteformules
Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie
Nadere informatieDe wiskunde van de beeldherkenning
De wiskunde van de beeldherkenning Op zoek naar wat er niet verandert! In het kader van: (Bij) de Faculteit Wiskunde en Informatica van de TU/e op bezoek c Faculteit Wiskunde en Informatica, TU/e Inhoudsopgave
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatieDraaistrekking en negenpuntscirkel
Draaistrekking en negenpuntscirkel [ Dick Klingens ] Vooraf In twee al enige tijd geleden verschenen nummers van Euclides schrijft Wim Pijls over Gelijkvormigheid (zie [e]). In de tweede aflevering stelt
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4
Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieEindexamen havo wiskunde B 2013-I
Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore De waarde van F is dan minimaal,5
Nadere informatiewiskunde B havo 2015-II
Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Nadere informatieE = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²
E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Hoeken van een driehoek
Werkblad Cabri Jr. Hoeken van een driehoek Doel Het meten van de hoeken en de buitenhoeken van een driehoek. Definities Nevenhoeken zijn hoeken die twee benen gemeenschappelijk hebben en samen 180 zijn.
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieMeetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatievoorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieOefentoets Versie A. Vak: Wiskunde Onderwerp: Meetkunde Leerjaar: 1 (2017/2018) Periode: 3
Oefentoets Versie A Vak: Wiskunde Onderwerp: Meetkunde Leerjaar: 1 (017/018) Periode: 3 Opmerkingen vooraf: Het gebruik van een rekenmachine en een tabellenboekje is toegestaan. Geef je antwoord alljd
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieBijlage 1 Rekenen met wortels
Bijlage Rekenen met wortels Deze bijlage hoort bij het hoofdstuk Meetkunde en Algebra juli 0 Opgaven gemarkeerd met kunnen worden overgeslagen. Uitgave juli 0 Colofon 0 ctwo Auteurs Aad Goddijn, Leon van
Nadere informatieMirakel van Morley. Vergeten Stelling uit de Vlakke Meetkunde. Ideale oefening als afsluiting van de Goniometrie in 6 VWO. Bruikbaar als P.O.
Mirakel van Morley Jacques Jansen Ideale oefening als afsluiting van de Goniometrie in 6 VWO. Bruikbaar als P.O. Vergeten Stelling uit de Vlakke Meetkunde 1 Instructies van docent Tijdens hun presentatie:
Nadere informatieDeze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.
Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatietan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN
HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN ) Gegeven: een rechthoekige driehoek ABC. Schrijf de volgende goniometrische getallen in functie van de lengten van de zijden van
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieExacte waarden bij sinus en cosinus
acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie
Nadere informatieCabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatiemet tijdseenheden overig niet-metrisch moeten zelf bedacht of opgezocht worden a geheeltallig en < 10
Meeteenheden omrekenen 1 2 3 4 5 Eenheid n n = 1 n = 2, n = 3 n > 3 Omrekeningsfactoren uitsluitend metrisch met tijdseenheden overig niet-metrisch Omrekeningsrichting van groot naar klein van klein naar
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 16 mei uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 9 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen.
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieBewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen
Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen 1540 1610 Margot Rijnierse Inleiding In de tijd van Ludolph van Ceulen hadden de meetkundige geleerden belangstelling voor de geschriften van de oude Grieken,
Nadere informatieOver de functies arcsin, arccos en arctan
Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,
Nadere informatieDeel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB
Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-I
wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieH24 GONIOMETRIE VWO. Dus PQ = 24.0 INTRO. 1 a 6 km : = 12 cm b. 5 a 24.1 HOOGTE EN AFSTAND BEPALEN. 2 a factor = 3
H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO a 6 km : 0.000 = cm a Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt 7 ze 0 meter in minuten. Dat is 0 0 = 800 meter in een uur. Dat is,8 km/u.. HOOGTE EN AFSTAND BEPALEN a factor = 0,6 Diepte put
Nadere informatieNiet-euclidische meetkunde
Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 20 februari 2013 Hans van Ballegooij Maaslandcollege Oss Inhoudsopgave 1 De elementen van Euclides 1 2 Niet-euclidische
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales
Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het
Nadere informatieToelatingstest Wiskunde, dinsdag 21 juni 2011, uur.
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Toelatingstest Wiskunde, dinsdag 1 juni 011, 930-100 uur Het gebruik van een telefoon is niet toegestaan
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieDe notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16
Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieOver het Monge-punt van een viervlak
Over het Monge-punt van een viervlak Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel september 2005 Inleiding Het is mogelijk door elke ribbe van een viervlak een vlak aan te brengen evenwijdig
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-II
Eindeamen wiskunde B- vwo 008-II Een zwaartepunt Van een cirkelschijf met middelpunt (0, 0) en straal is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie f
Nadere informatie