8 Krommen in de ruimte

Transcriptie

1 8 Krommen in e ruime Alles sroom en nies blij Herakleios 6 e eeuw v Chr De baan van een beween eelje in he vlak o in e ruime is een vlakke kromme respecievelijk een ruimekromme In eerse insanie zullen we ons in i hoosuk beperken o ruimekrommen Voor vlakke krommen el een vrijwel analoo verhaal Na e keuze van een rechhoeki assenselsel wor een ruimekromme eeven oor rie coörinaauncies x y en z zo a x y z e plaas is van he bewuse eelje op ijsip Me anere wooren: x y z is e posiievecor van he eelje op ijsip We noemen x y z een parameriserin o parameervoorsellin van e ruimekromme We spreken ook wel van een eparameriseere kromme Eén en ezele kromme kan vele parameriserinen hebben zie opave 8 We veronersellen a e collecie van alle ijsippen waarop e bewein eeinieer is een eelinerval is van o e ehele Als he nie naer is aaneeven an is e bewein eeinieer op Voorbeelen van eparameriseere krommen zijn: 4 4 h cos sin x z O y Opave 8 a Wa is he snijpun van e baan van me he vlak z 7? b Wa is he laase pun van e baan van? c Wa is he snijpun van e baan van h me he vlak z 5? Wa is he snijpun van e baan van h me he vlak x 0 5? 7

2 Opave 8 Ga na hoe e baan van he eelje er bij elk van e rie bovensaane voorbeelen uizie Je kun aarvoor op je raische rekenmachine eers een eschike projecie ekenen Teken bijvoorbeel bij e vlakke kromme eparameriseer oor: x en y Opave 8 Geeven zijn rie eparameriseere ruimekrommen p 4 4 q en r 4 4 a Ga na a e eeljes bij eze rie parameriserinen ezele baan oorlopen b Hoe beween e eeljes bij p en q en opziche van elkaar? c Doorloop he eelje bij e parameriserin s 4 4 ook e zele baan als bij p q en r? Hoewel he us srik enomen verschillene inen zijn zullen we in he vervol vaak spreken over een kromme als we een eparameriseere kromme beoelen Di slorie aalebruik lei in e prakijk nie o problemen en he maak e zinnen wa miner lan Ne als vecoren kunnen we krommen 5 opellen en me een reëel eal vermenivulien Da aa als vol Laa en wee krommen zijn De kromme wor eeinieer oor Voor een reëel eal λ wor e kromme λ eeinieer oor λ λ Ne als bij vecoren spreken we a a en Opave 84 Beschouw nomaals e ruimekrommen p 4 4 q en r 4 4 Gee parameriserinen van e ruimekrommen p q p q r en p q r 5 Veel eienschappen elen op een analoe wijze voor vlakke en voor ruimekrommen Daarom spreken we in zulke evallen over krommen 8

3 Beschouw e kromme De asan van e plaas van he bijbehorene eelje o e oorspron op ijsip is De asansuncie ie wor enoeer me wor us eeinieer oor: Opave 85 Bekijk e kromme k cos sin cos sin a Laa zien a e asansuncie k consan elijk is aan b Wa beeken i voor e baan van he bijbehorene eelje? Een eelje bewee volens e kromme De snelheisvecor o korwe snelhei van he eelje op ijsip kunnen we bepalen oor e emiele snelhei op een klein ijsinerval [ ] e berekenen en aarna o nul e laen naeren De emiele snelhei van he eelje op he ijsinerval [ ] is elijk aan Di herschrijven we o: Laen we vervolens o nul naeren an vinen we e snelheisvecor ' ' ' op ijsip : He iereniëren van een ruimekromme ebeur us ne als van een vlakke kromme coörinaaewijs 6 De snelheisvecor behorene bij e plaasvecor noeren we me ḟ De snelheisvecor ḟ is parallel me e raaklijn aan e kromme in he pun ' ' ' De uncie ḟ noemen we e snelheiskromme van e kromme ḟ 6 De snelheisvecor ḟ is alleen an eeinieer als e coörinaauncies en in ierenieerbaar zijn Di wor silzwijen veronersel Meer no: we aan er vanui a alle rie e coörinaauncies onbeperk vaak ierenieerbaar zijn in alle ijsippen x z O y 9

4 Opave 86 Bereken voor e krommen en h van opave 8 e bijbehorene snelheiskrommen ḟ ġ en ḣ De snelhei van een beween eelje op ijsip is e lene van e snelheisvecor ḟ De snelhei wor enoeer me ḟ en wor eeven ' ' ' oor De plaasuncie en e snelheisuncie ḟ zijn vecorwaarie uncies: en ḟ zijn ruimelijke vecoren Maar e asansuncie en e snelheisuncie ḟ zijn reëelwaarie uncies: en ḟ zijn nieneaieve eallen Oma in he Neerlans e erm snelhei zowel wor ebruik voor e snelheisvecor als voor e rooe ervan kan i soms verwarrin even In he Enels besaa i probleem nie oma e snelheisvecor aar wor aaneeven me velociy en e rooe van e snelheisvecor me spee Opave 87 Bekijk weer e rie krommen van opave 8 a Bereken e bijbehorene snelheisuncies ḟ ġ en ḣ b In welk pun hee een eelje a bewee volens e kromme zijn laase snelhei? Als he oe is an heb je bij onereel a ezien a e snelhei bij e kromme h consan is c Laa zien a ook he inprouc ḣ 00 consan is Laa zien a e hoek ussen e snelheisvecor ḣ en e z-as consan is en bereken ie hoek Opave 88 Bekijk weer e kromme k cos sin cos sin a Laa zien a e snelheisvecor op ijsip wor eeven oor k sin cos cos b Laa zien a e snelhei op ijsip elijk is aan cos c Wa is e minimale snelhei van he eelje? Waar bevin he zich an? Wa is e maximale snelhei van he eelje? Waar bevin he zich an? 0

5 Opave 89 Een plae klaverblaknoop kan woren beschreven oor e kromme: cos cos cos sin Teken eze knoop eers op e raische rekenmachine a Toon aan a cos b Welke waaren kan e asansuncie aannemen? c Gee een parameriserin van e snelheiskromme Toon aan a ḟ 5 6 cos 5cos e Wa is e laase snelhei ijens he oorlopen van e kromme Opave 80 Een ruimelijke klaverblaknoop kan woren beschreven cos cos cos sin sin oor e kromme: a Toon aan a 5 4cos b Welke waaren kan e asansuncie aannemen? c Gee een parameriserin van e snelheiskromme Toon aan a 9 4 cos ġ e Welke waaren kan e snelhei aannemen? Bij wee krommen en kunnen we een inproucuncie einiëren oor De uncie ee voor elke e waare van he inprouc van e vecoren en Dus o korwe Voorbeel Als 4 4 en an is Voor he iereniëren van he inprouc van wee krommen besaa een reel ie verrassen veel lijk op e proucreel voor ewone uncies Er el namelijk: owel

6 He bewijs lijk veel op a van e proucreel voor ewone uncies is namelijk e limie van [ ] als o nul naer Verer is [ ] [ ] [ ] De laase uirukkin naer o als naer o nul Di ee he ewense resulaa We kunnen bij wee ruimekrommen en ook een uiprouc 7 einiëren oor De kromme ee voor elke he uiprouc van e vecoren en Dus o korwe: Voor he iereniëren van he uiprouc van wee ruimekrommen besaa een soorelijke proucreel als voor he iereniëren van he inprouc namelijk: owel He bewijs van e proucreel voor he uiprouc is vrijwel hezele als a van e proucreel voor he inprouc Opave 8 Schrij he bewijs van e proucreel voor he uiprouc nejes ui Opave 8 Een eelje bewee over een kromme k eeinieer oor cos sin sin cos sin k a Toon aan a k k een consane vecor is b Ze in wooren wa he resulaa van onereel a beeken 7 He uiprouc is nie eeinieer voor vlakke krommen

7 Opave 8 Een eelje bewee over een bol me sraal r Zijn baan wor beschreven oor e kromme Bewijs a e snelheisvecor van he eelje sees loorech saa op e sraal owel voor elke Hin: a na a r en ierenieer eze uirukkin naar Bekijk een eelje a bewee over e kromme We vinen e versnellinsvecor o korwe versnellin van he eelje op ijsip oor e emiele versnellin op een klein ijsinerval [ ] e berekenen en aarna o nul e laen naeren Deze versnellinsvecor wor enoeer me en is elijk aan: " " " noemen we e versnellinskromme " " " De uncie van he eelje a bewee lans e kromme De rooe van e versnellinsvecor wor ook versnellin enoem noaie en wor eeven oor " " " voorbeelen e versnellinsvecor naer onerzoeken We zullen in een aanal Opave 84 Bereken zowel e versnellinsvecor als e versnellin van e krommen p 4 4 en r 4 4 Opave 85 Bekijk e kromme k ie wor eeinieer oor k sin cossin sin cos Toon aan a k k Opave 86 Een eelje bewee me consane snelhei over een kromme Toon aan a e snelheisvecor loorech saa op e versnellinsvecor Hin: kijk no eens oe naar opave 8

8 In e mechanica is he ebruikelijk om bij een bepaale kromme e posiievecor e noeren me r e snelheisvecor me v en e versnellinsvecor me a De r saa voor raius wa voersraal beeken e v saa voor velociy snelhei en e a voor acceleraion versnellin Vaak laen we emakshalve he woor vecor we en hebben we he over e posiie r e snelhei v en e versnellin a Aan e noaie is e zien a er sprake is van een vecor en nie van een reëel eal He is ebruikelijk om e lene van een vecor aan e even me ezele leer maar an nie ve-eruk: e asan o e oorspron is r r e snelhei is v v en e versnellin is a a Deze noaie is boni en bovenien onubbelzinni Je moe er even aan wennen maar na enie ij bese je waarschijnlijk wel e voorelen van eze noaie We bekijken een vieral klassen van bijzonere ruimekrommen De eenpari rechlijnie bewein Voor u en v in beschrij e kromme r u v een reche lijn He pun u is e posiie op ijsip 0 De snelhei is v r v en e versnellin is a r o Oma e snelhei consan is wor e lijn eenpari oorlopen De eenpari versnele bewein Voor reële eallen a b en c me a > 0 beschrij e vlakke kromme r a b c een berparabool De snelhei is v a b en e versnellin is a 0 a Opave 87 Laa zien a voor e eenpari versnele bewein el: v a ab b en a a De eenpari cirkelvormie bewein Voor r > 0 en ω 0 beschrij e vlakke kromme r r cosω r sinω een cirkel me sraal r en hoeksnelhei ω De snelhei en e versnellin zijn v rωsinω rωcosω en a rω cosω rω sinω 4

9 Opave 88 Laa zien a voor een eenpari cirkelvormie bewein me hoeksnelhei ω over een cirkel me mielpun o en sraal R el: a v r b v v ωr c a ω r a ω R e a v / R Door opave 88 vinen we opnieuw zie V4-maeriaal De ween van Newon a bij een eenparie cirkelbewein e versnellin erich is naar he mielpun en e rooe elijk is aan v /R Di wer in 659 rees aaneoon oor Chrisiaan Huyens De richin en rooe van e versnellin van een eenparie cirkelbewein kan ook als vol woren aelei: Opave 89 Laa r een eenparie bewein zijn me snelhei v over een cirkel me mielpun o en sraal R De perioe van e bewein is T v a Ga na a v r T 4 R v b Toon aan a a r Hin: ierenieer e uirukkin bij a R c Toon aan a e versnellin erich is naar he mielpun en elijk is aan v /R De harmonische bewein Voor a b > 0 beschrij e vlakke kromme r a cosω bsinω een ellips me halve lane as a en halve kore as b Deze bewein wor wel e harmonische bewein enoem Opave 80 Laa zien a voor e harmonische bewein el: a a ω r b r v / ω a b 5

10 Sellin 8 De Perkenwe Als een bewein r een versnellin a hee ie proporioneel is me r wz op elk ijsip zijn r en a veelvouen van elkaar an el he volene: De baan van e bewein li in een vlak oor e oorspron o De oppervlake van he perk a per ijseenhei wor uievee oor he lijnsuk me einpunen o en r is consan me anere wooren in elijke ijen woren elijke perken oorlopen Bewijs Bekijk e kromme n eeinieer oor n r v Dan is n r v r v v v r a o r a o De laase sap el oma r en a veelvouen zijn van elkaar Maar als n vooruren snelhei o hee an moe he een consane vecor zijn Noem eze vecor n Oma n n r v loorech saa op r speel e bewein zich a in he vlak oor e oorspron me normaalvecor n Di bewijs he eerse eel van e sellin Neem voor 0 een willekeurie beinij en laa een ijsip zijn laer an 0 De oppervlake van he perk a wor uievee oor he lijnsuk me einpunen o en rs in he ijsinerval [ 0 ] noemen we O We onen aan a O r v O h O Welnu voor een klein posiie eal h is: O h h oppervlake van e riehoek me hoekpunen o r en r h h oppervlake van he parallelloram opespannen oor r h r en r r r h r r h r r r v h h 6

11 rh r rh r o Laen we vervolens h naar nul aan an zien we a O r v Oma r v n een consane vecor is is O n een consan eal Maar an is O n opave 80 Dus woren in elijke 0 ijen elijke perken oorlopen Opave 8 Laa zien a voor e oppervlakeuncie in he bewijs van e O n Perkenwe el: 0 7