LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITT Deze eeswijzer geeft een overzicht van de te bestuderen onderdeen van het dictaat ConstructieMechanica 3 : Stabiiteit van het Evenwicht. Het nieuwe dictaat is opgezet as een compeet overzicht van de basismechanica die over het onderwerp stabiiteit handet. Dit gaat verder dan de eerdoeen die getoetst worden op het tentamen ConstructieMechanica 3. Het dictaat is in vergeijing tot het oude dictaat hierdoor in omvang toegenomen maar dit omt met name door de vee zeer uitgebreide voorbeeden. Hierdoor is dit dictaat vee beter geschit as modern eermidde. In deze eeswijzer za per hoofdstu worden aangegeven wee onderdeen getoetst worden en wee deen verrijingsstof zijn. Een ruime hoeveeheid opgaven is opgenomen in het tweede dee. Het is besist niet de bedoeing ae opgaven te bestuderen. Maa een seectie aan de hand van de in deze eeswijzer genoemde opgaven. De antwoorden/uitweringen van genoemde opgaven in deze eeswijzer zijn te vinden op BacBoard / internet. Hoofdstu In dit hoofdstu wordt het ader en de begrippen uiteengezet. Deze stof is essentiee voor het herennen van stabiiteitsprobemen. De theorie an op het tentamen worden getoetst met theorievragen. Beangrije constatering van de ennismaing met stabiiteit van het evenwicht is dat een stabie evenwicht een evenwicht is waarbij de beaste constructie bij een eine verpaatsing t.o.v. de evenwichtsstand terugeert naar deze evenwichtsstand. Zie hiervoor oo de introductie-video op BacBoard. Hoofdstu Dit hoofdstu start met de stabiiteit van het evenwicht van starre staafsystemen met vrijheidsgraad. Aan de hand van deze eenvoudige systemen is de ern van een stabiiteitsprobeem uit een te zetten. Paragraaf. en de voorbeeden behandeen de standaard aanpa: zet de constructie in de verpaatste stand maa de constructie vrij en geef ae verbindingsrachten aan ste de evenwichtsvoorwaarde(n) op in de verpaatste stand onderzoe de aard van dit evenwicht en bepaa bij wee beasting er nog juist evenwicht is Bij het opossen van de geineariseerde evenwichtsvergeijing bijt dat de verpaatsing van de vrijheidsgraad er niet toe doet (onder de aanname dat deze ein is) Paragraaf. over het nanigedrag is geen tentamenstof. Het begrip nanigedrag moet je we ennen, het bepaen ervan vat buiten het beste van deze BSc-cursus. Paragraaf.3 behandet een aanta essentiëe voorbeeden. Van voorbeed en 9 is het nanigedrag op bz 43 en 63 eesstof. Hoofdstu 3 In dit hoofdstu worden geoppede staafsystemen behandet met vrijheidsgraad. In paragraaf 3. wordt de essentie hiervan weergegeven. De standaard aanpa van hoofdstu is oo hier van toepassing. Bij het opsteen van de evenwichtsvergeijingen moet er echter op geet worden dat het evenwicht wordt beschouwd van ieder vrijgemaat dee en dat tussen deze vrijgemaate deen verbindingrachten unnen zitten. Beangrij bij de opossingsfase is om de evenwichtsvergeijingen zodanig te combineren dat deze verbindingrachten worden geëimineerd. In het voorbeed op bz 65-68 wordt dit verder verduideijt. De generaisatie Ir J.W. Weeman - - 8 december 06
naar systemen met meer dan twee geoppede staven is outer ter toeichting. De afgeeide formues zijn niet bedoed om te onthouden. De essentie is dat de beasting op een geopped systeem an worden vervangen door een aanpendeende beasting die extra op het geschoorde eement wordt gepaatst. Zie hiervoor oo de sheets over dit onderwerp. Dit onderdee wordt veea getoetst op het tentamen en eert terug in hoofdstu 8. De theorie wordt in paragaaf 3.3 verder verduideijt aan de hand van voorbeeden waarbij voorbeed,, 5, 8 en 9 de beangrijste zijn. Hoofdstu 4 Na constructies met vrijheidsgraad wordt in dit hoofdstu de compexiteit verhoogd door te ijen naar constructies met vrijheidsgraden. Dit is in feite een tussenstap naar het onderzoeen van continue systemen van hoofdstu 5. Paragraaf 4. introduceert de aanpa voor systemen met vrijheidsgraden. Essentiee is dat er t.o.v. de systemen met vrijheidsgraad nu een stese van evenwichtsvergeijingen ontstaat. Dit stese is een homogeen stese (rechterid is nu) waarvoor aeen een niet-triviae opossing an worden gevonden indien de determinant van de coëfficiëntenmatrix geij is aan nu. Dit evert twee niasten. De aagste niast is maatgevend. Oo nu bijt dat de grootte van de verpaatsingen van de vrijheidsgraden niet unnen worden bepaad. De verhouding tussen de verpaatsingen unnen we worden bepaad. Net as bij systemen met vrijheidsgraad is de uitbuigingsvorm we beend, de grootte ervan echter niet. Op bz 3 wordt in een opmering de reatie geegd met het eigenwaarde probeem in de wisunde. Deze opmering is tentamenstof. Bestudeer voorbeed beij voorbeed 3 en 4. Hoofdstu 5 Na de starre systemen wordt in dit hoofdstu geeen naar buigzame staven. Dit eidt tot een continue beschrijving m.b.v. de differentiaavergeijing voor buigingsni. Beangrije paragrafen zijn 5. en 5.. In paragraaf 5. wordt voor een eenvoudige staaf de Euerse niracht bepaad m.b.v. een e orde D.V. Beangrij bij deze afeiding is om in te zien dat dit mogeij is aangezien de verticae opegreacties nu zijn waardoor in iedere snede de verticae component van de snederachten S z oo nu moet zijn. In paragraaf 5. is voor de agemene op dru beaste buigzame staaf niet vodaan aan deze eis en eidt de compete aanpa van het evenwicht in de verpaatste stand tot een 4 e orde D.V. waarvan de agemene opossing in paragraaf 5.3 wordt bepaad. As de continue beastingen afwezig zijn gedt: w'' '' + w'' 0 S z M ' w' w( x) C cosαx + C sinαx + C x + C 3 4 met : α Van dit theoriegedeete is het beangrij de modestappen te (her)ennen en met de differentiaavergeijing de basisnigevaen te unnen onderzoeen. Met name het omgaan met de randvoorwaarden is hierbij essentiee. De resutaten van deze aanpa eidt tot de vijf basisnigevaen die op bz 46 en 48 grafisch zijn weergegeven. Het oordeeundig unnen toepassen van deze basisgevaen is essentiee. De voorbeeden iustreren deze aanpa. Let voora op voorbeed 0. Bij het geijtijdig uitnien van de twee op dru beaste staven unnen de staven geen stijfheid (weerstand) aan eaar ontenen en heeft de starre verbinding tussen de beide staven feiteij geen beteenis. Nog een beangrij aspect dat in dit hoofdstu aan de orde omt is het onderscheid tussen gobae instabiiteit en ocae instabiiteit. Oo is het onderennen van verschiende nivormen een beangrij eement. Voorbeeden hiervan zijn oo in het coege behanded Ir J.W. Weeman - - 8 december 06
met name of de starre nivorm (gobae ni) dan we de ocae (Euerse ni) maatgevend is. Hoofdstu 6 Hoofdstu 6 handet over verend ingeemde op dru beaste buigzame staven. De veren zijn rotatieveren. In dit hoofdstu worden drie basissystemen behanded: - paragraaf 6. : Enezijdig verend ingeemde staaf - paragraaf 6. : Tweezijdig verend ingeemde staaf, ongeschoorde constructie - paragraaf 6.3 : Tweezijdig verend ingeemde staaf, geschoorde constructie In paragraaf 6. wordt gestart met de enezijdig verend ingeemde staaf. Met de 4 e orde D.V. en vier randvoorwaarden wordt een homogeen stese vergeijingen opgeost waarmee de niast uit een transcendente vergeijing an worden opgeost. Deze opossingmethode is weiswaar exact maar niet erg pratisch. Aangetoond wordt dat een zeer nauweurige benaderingsformue an worden gevonden voor deze enezijdig verend ingeemde staaf. + LET OP : Deze formue is aeen gedig voor de r / π enezijdig verend ingeemde staaf! () De aternatieve benadering van dit probeem in paragraaf 6.. is geen tentamenstof. De tweezijdig verend ingeemde staaf uit paragraaf 6. is zodanig opgeegd dat de steunpunten oodrecht t.o.v. de oorsproneije staafas unnen verpaatsen. Deze situatie omt voor in ongeschoorde raamweren. Door handig gebrui te maen van de pe van het buigpunt in de uitbuigingsvorm an een formue worden opgested voor de niast. η η ( η + η ) ( η + η 4) π 0 r η 4 + ; ρ ρ met : 0 r η 4 + ; ρ ρ In deze paragraaf wordt tevens aangetoond dat de niast voor de enezijdig verend ingeemde staaf uit paragraaf 6. oo met deze formue an worden gevonden. In paragraaf 6.3 omt het aatste basisgeva voor verend ingeemde buigzame staven aan bod. De staaf is nu geschoord hetgeen inhoudt dat de beide steunpunten oodrecht op de staafas niet t.o.v. eaar verpaatsen. Aangetoond wordt dat voor deze situatie een niast an worden gevonden met de onderstaande formue: met : ( 5 + ρ )( 5 + ρ ) ( 5 + ρ )( 5 + ρ ) r ρ r ρ π. LET OP : Deze formue is aeen gedig voor de verend ingeemde ongeschoorde staaf! LET OP : Deze formue is aeen gedig voor de verend ingeemde geschoorde staaf! In paragraaf 6.4 is het gehee nog een eer samengevat met een overzicht van de gebruite formues voor diverse configuraties van rotatieveren. De formues worden op het tentamen aemaa gegeven op een bijgevoegd formuebad. In paragraaf 6.5 worden diverse voorbeeden behanded. Bestudeer met name voorbeed, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en de uitbreiding van bz en a. Ir J.W. Weeman - 3-8 december 06
Hoofdstu 7 : Bijzondere verende ondersteuningen In hoofdstu 7 zijn diverse voorbeeden gegeven van mogeije verende ondersteuningen. Dit unnen zowe rotatie as transatieveren zijn. Van dit hoofdstu is aeen van beang om de stappen in de modevorming te herennen. Met name het formueren van de randvoorwaarden en het uitweren van de randvoorwaarden m.b.v. de D.V. zijn hierbij beangrije stappen. Hoofdstu 8 : Aanpendeende beasting voor buigzame nistaaf Hoofdstu 8 gaat nogmaas in op de aanpendeende beasting zoas geïntroduceerd in hoofdstu 3. Voor diverse buigzame nistaven wordt geeen naar de niast. In de sheets wordt een iets andere benadering geozen, Voor een aanta voorbeeden wordt onderzocht in hoeverre de exacte maximae beasting zich verhoudt tot het eenvoudige mode dat in hoofdstu 3 is gevonden. m + Uit het onderzoe bijt dat deze aanpa conservatief is en een goede afschatting geeft van de maximae beasting op een geopped systeem waarbij het schorende eement een op dru beaste buigzame staaf is (es7.pdf). Hoofdstu 9 Dit hoofdstu behoort niet tot de tentamenstof. Hoofdstu 0 In dit hoofdstu wordt het begrip vergrotingsfactor geïntroduceerd. Dit onderwerp omt terug bij de construerende vaen en is buitengewoon beangrij voor de ingenieurspratij. Het bijt dat initiee scheef staande constructies die op dru worden beast, door de excentrisch aangrijpende druracht, schever gaan staan. De uiteindeije scheefstand an worden uitgedrut in de initiëe scheefstand d.m.v. een zgn. vergrotingsfactor. Voor starre staafsystemen gedt: w n w n 0 met : n vergrotingsfactor Naarmate de beasting dichter in de buurt igt van de niast neemt de vergrotingsfactor steeds meer toe. Om constructies dus min of meer ongevoeig te maen voor het e orde effect (d.w.z. gevoeig voor het schever gaan staan door invoed van de excentrische racht in combinatie met de initiëe scheefstand) is het dus noodzaeij de vergrotingsfactor niet te groot te aten worden. Een factor, beteent dat de verpaatsingen en oo de rachtsverdeing in de constructie met 0% toeneemt. Vaa is dit a onacceptabe. Om een vergrotingsfactor einer dan, te verrijgen moet de factor n groter zijn dan. Hetgeen inhoudt dat de wereije beasting één-efde-dee van de niast mag zijn.! Het onderdee op bz 3 betreffende de exacte opossing die oo gedig is bij grote verpaatsingen is geen tentamenstof. Aardig detai van dit onderdee is overigens we dat de starre staaf met transatieveer een nanigedrag heeft dat niet stabie terwij het systeem met een rotatieveer we een stabie nanigedrag heeft. Ir J.W. Weeman - 4-8 december 06
Een initiëe scheefstand an oo worden veroorzaat door horizontaa aangrijpende beastingen (netjes dwarsbeasting genoemd). Paragraaf 0. behandet dit onderwerp. De initiëe scheefstand ten gevoge van aeen de dwarsbeasting is in feite een eerstejaars mechanica-uitdaging en an worden bepaad met een zgn. eerste orde bereening. LET OP : Bestudeer grondig de begrippen die in dit hoofdstu aan de orde omen, met name de begrippen e en e orde zijn van beang! Hoofdstu In hoofdstu wordt onderzocht of de vergrotingsfactor uit hoofdstu 0 oo gedig is voor buigzame staven. Het bijt in het agemeen niet zo te zijn maar de pratische formue geeft over het agemeen prima resutaten. In de coege sheets wordt met behup van voorbeeden de procedure uiteengezet hoe de exacte vergrotingsfactor an worden bepaad. Oo hier gedt dat aeen de modestappen van beang zijn. Op het tentamen wordt zeer niet gevraagd om voor een bijzonder geva de exacte vergrotingsfactor te bepaen. Paragraaf.3 is extra verrijingstof en geen tentamenstof. Hoofdstu Het aatste onderwerp behandet de invoed van pasticiteit op het bezwijgedrag van constructies. Hiervoor is het noodzaeij om uit dee 3 Toegepaste Mechanica van Hartsuijer en Weeman hoofdstu 3 (bz 383) en met name paragraaf 3..3 (bz 390) te bestuderen. Een samenvatting van het meest reevante onderdee van dit hoofdstu is hieronder weergegeven. ACTIE : Loop zef deze samenvatting na aan de hand van de genoemde passages! Hier wordt voor een op buiging beaste doorsnede geeen naar het maximae moment dat de doorsnede an opnemen as we toestaand dat overa in de doorsnede vezes de tre en dru spanningen mogen toenemen tot de (maximae) voeispanning van het materiaa. Voor een rechthoeige doorsnede an eenvoudig worden gevonden dat gedt: bh M p 4 f y Waarbij M p staat voor het vopastisch moment van de doorsneden. As aeen in de uiterste vezes de voeispanning wordt toegestaan gedt de beende eastische grenswaarde voor het moment in de doorsnede: bh M e 6 f y Voor de rechthoeige doorsnede gedt dat deze vopastisch,5 eer het eastisch moment an dragen. Er zit dus boven de eastische grens voor deze doorsnedevorm nog fin wat reserve draagvermogen in de doorsnede. De factor,5 wordt de vormfactor genoemd en veea aangeduid met de etter α. Door pastisch gedrag van de doorsnede in combinatie met een initiëe scheefstand an vee eerder instabiiteit ontstaan. De niast is dan heemaa niet maatgevend. Op bz 385 is in figuur.3 dit grafisch weergegeven. De ritiee beasting waarbij bezwijen door instabiiteit ontstaat wordt aangegeven met c. As w p de verpaatsing is waarbij pasticiteit optreedt an eenvoudig een verband worden gevonden tussen de ritiee beasting c, de niast, de initiëe scheefstand w o en de verpaatsing w p : C + w w o p formue van Merchant Ir J.W. Weeman - 5-8 december 06
As de initiëe scheefstand wordt veroorzaat door b.v. een horizontae beasting H c dan an deze formue worden herschreven tot : C + H H C p Hierin is H p de racht waarbij vogens een eerste orde bereening voor het eerst de doorsnede vopastisch wordt. LET OP : ACTIE : e orde beteent dus zonder de invoed van de excentrisch aangrijpende druracht want dat is juist de e orde component in het gehee! Bestudeer de uitgewerte tentamenopgaven, maa deze oo zef en maa de opgaven achter in het boe waarvan de antwoorden en veea de uitweringen van zijn gegeven. Ir J.W. Weeman - 6-8 december 06