NOTITIE : KRACHTENMETHODE

Transcriptie

1 NOIIE : KRHENEHODE Een korte uiteenzetting over steunpuntszettingen, toevaige inkemmingsmomenten en temperatuurseffecten bij doorgaande iggers op buiging beast. Ir. J.W. Weeman pri 0

2 Kractsverdeing t.g.v. een steunpuntszetting In figuur is een doorgaande igger over drie steunpunten gescetst waarvan et middensteunpunt een keine zetting δ ondergaat. z-as δ Figuur : Doorgaande igger met steunpuntszakking Gevraagd wordt de conseuenties te onderzoeken van deze zetting op de kractsverdeing in de igger. De igger is enkevoudig statisc onbepaad en met beup van de kractenmetode kan de kractsverdeing worden gevonden door één statisc onbepaade te kiezen en de daarbij beorende vormveranderingsvoorwaarde op te steen. Hieronder is een statisc bepaad oofdsysteem gekozen waarbij de statisc onbepaade et steunpuntsmoment in is. δ δ Figuur : Statisc bepaad oofdsysteem De ierbij beorende vormveranderingsvoorwaarde is: ϕ ba ϕ bc Uitwerken met de vergeet-mij-nietjes en rekening oudend met de zakking van et steunpunt evert : δ δ Deze uitkomst aat zien dat et steunpuntsmoment keiner wordt t.g.v. van de zakking van et steunpunt en dat daardoor natuurijk et vedmoment groter za worden. oon dat zef aan! Ir J.W. Weeman ms apri 0

3 Kractsverdeing t.g.v. verende randinkemmingen In figuur is een doorgaande igger over drie steunpunten gegeven waarvan de randen in en verend zijn ingekemd. k k z-as Figuur : Doorgaande igger met verende randinkemmingen Gevraagd wordt de conseuenties van de verende inkemmingen te onderzoeken op de kractsverdeing in de igger. De veer kan b.v. de verende werking van een gescoorde koom voorsteen zoas in figuur is weergegeven. k LE rotatieveer ½ Figuur : erende werking van een koom 6 k De grootte van et moment in de veer angt af van de rotatie van de igger t.p.v. et steunpunt. Deze is weer afankeijk van de beasting die op de statisc onbepaade constructie werkt. Het probeem ier is dat et moment in de veer afankeijk is van een rotatie die nog onbekend is. Door ook nu een statisc bepaad oofdsysteem te kiezen met et steunpuntsmoment in as statisc onbepaade kan eenduidig de opossing worden bepaad. Het nog onbekende moment in de rotatieveren wordt as beasting op et statisc bepaade oofdsysteem in rekening gebract zoas in figuur 5 is weergegeven. veer Figuur 5 : Statisc bepaad oofdsysteem met beasting uit de veren De reatie tussen et moment in de veer bij en de rotatie van de igger t.p.v. is voor de aangenomen rictingen : veer 6 Het moment in de veer is ecter afankeijk van de rotatie! s de veerreatie in deze vergeijking wordt verwerkt ontstaat: Ir J.W. Weeman ms apri 0 veer

4 k 6 6 k + De rotatie in is nu uitgedrukt in de statisc onbepaade. Hiervan kan gebruik gemaakt worden in de vormveranderingsvoorwaarde die oort bij de gekozen statisc onbepaade: ϕ ba ϕ bc Uitwerken met de vergeet-mij-nietjes evert : veer veer veer k In deze uitdrukking kan de eerder gevonden uitdrukking voor de rotatie in worden gesubstitueerd: k 6 k + In deze vergeijking is aeen de statisc onbepaade nog onbekend. Het scrijfwerk kan worden beperkt door een veroudingsgeta tussen de rotatieveerstijfeid en de buigstijfeid van de igger te introduceren: k De statisc onbepaade is iermee te scrijven as: + k met: 6 k k en + De grenzen voor de stijfeidsverouding van de inkemming t.o.v. de igger kunnen eenvoudig worden erkend: voedige inkemming k scarnierende ondersteuning k 0 0 Het steunpuntsmoment kan dus ongeveer % afwijken door de invoed van een verende randinkemming. Het veroop van deze invoed is in figuur 6 weergegeven. k Figuur 6 : Invoed van de inkemmingstijfeid op et steunpuntsmoment Ir J.W. Weeman ms apri 0

5 et deze gevonden uitdrukking voor et steunpuntsmoment kan ook et moment bij de inkemming worden bepaad. Eerder was gevonden: 6 k + Het moment in de veer is dan: k ( + ) ( + ) veer k k 6 6 k 6 + ( + )( + ) veer + k veer k met : k en + De grenzen voor de stijfeidsverouding van de inkemming t.o.v. de igger kunnen eenvoudig worden erkend: voedige inkemming k scarnierende ondersteuning k 0 0 Het moment t.p.v. de rand kan dus 00% afwijken door de invoed van een verende randinkemming. Het veroop van deze invoed is in figuur 7 weergegeven. veer veer 0 k.0 Figuur 7 : Invoed van de inkemmingstijfeid op et steunpuntsmoment oor de eerder gepresenteerde koom met een engte en buigstijfeid die geijk zijn aan die van de igger ontstaat: k + 0 k k veer Het steunpuntsmoment neemt door de invoed van de randinkemming met 7% af. ij de rand ontstaat een moment dat de eft is van et moment dat zou ontstaan bij een voedige inkemming. 6 Ir J.W. Weeman ms apri 0 5

6 oepassing voor betonconstructies ij betonconstructies dient atijd rekening geouden te worden met een toevaig inkemmingsmoment t.p.v. de vrije opegging. Hiervoor dient een maximae grootte van / van et naburige vedmoment in rekening te worden gebract. Hieronder za worden onderzoct oe deze eis zic veroudt tot et voorgaande. s er geen inkemming in en aanwezig is kan et vedmoment in de igger worden bepaad door et okae extreem te vinden van de momentenijn tussen en. Deze momentenijn kan gescreven worden as: ( x) x + x( x x x x x x ) + + Het moment is extreem as de afgeeide van deze functie (dwarskract) nu is. Differentiëren evert: d ( x) x + De dwarskract in et iggerdee is nu voor: x + 0 x Het vedmoment is op deze paats: 9 ved ( +, max ) ogens de moet rekening geouden worden met een toevaig inkemmingsmoment dat in grootte / bedraagt van dit gevonden vedmoment. Hieruit vogt: toevaig We moeten ons we reaiseren dat dit moment t.p.v. negatief is, er ontstaat immers trek aan de bovenzijde van de igger. Dit toevaige inkemmingsmoment kan vergeeken worden met et eerder gevonden moment in de rotatieveer. Geijksteen evert: veer + 6,56 + Hieruit vogt dat indien de stijfeidsverouding keiner is dan,56 de inkemming mag worden opgevat as een toevaige inkemming vogens de. k, 56 De ierbij beorende veerstijfeid van de rotatieveer is:,56 k Hieruit vogt dat et bij een toevaig inkemmingsmoment inderdaad om een vrij kein moment gaat ten gevoge van een geringe stijfeid van de inkemming. In dit voorbeed igt de grens voor et moment op % van et inkemmingsmoment dat bij een voedige inkemming zou optreden. Ir J.W. Weeman ms apri 0 6

7 Kractsverdeing t.g.v. een temperatuursbeasting Een stijging van de temperatuur in een materiaa eidt tot een verenging. Deze verenging is afankeijk van de ineaire uitzettingscoëfficiënt α [ K - ] en de toename van de temperatuur. ε α s deze verenging of vervorming vrij kan optreden ontstaan ierdoor we verpaatsingen maar za er geen wijziging optreden in de kractsverdeing zoang we ons ten minste baseren op een e orde berekening. s de vrije vervorming t.g.v. een temperatuursbeasting wordt verinderd ontstaat een geee andere situatie. In de onderstaande figuur is een voorbeed gegeven van een statisc onbepaade igger die door zonbestraing aan de bovenzijde een ogere temperatuur krijgt dan aan de onderzijde. z-as Figuur : erinderde temperatuursvervorming Deze constructie kan vrij vervormen indien et middensteunpunt er niet is. De vezes aan de bovenzijde van de igger zuen anger wien worden dan die aan de onderzijde. De vrije vervorming is gescetst in figuur 9a. Het krommen van de igger wordt aeen veroorzaakt door et versci in verenging tussen de boven en onderzijde, zie figuur 9b. De igger kan orizontaa ook een verpaatsing ondergaan. Deze wordt veroorzaakt door et constante dee van de rekverdeing over de oogte van de doorsnede. In dit voorbeed wordt dit dee buiten bescouwing geaten en kijken we aeen naar de invoed t.a.v. buiging. ε boven κ x z-as + z ε onder (a) Figuur 9 : rije vervorming ten gevoge van een temperatuursbeasting (b) Uiteraard kan deze situatie zic niet voordoen. De opegging in dwingt de igger zodanig te verbuigen dat de verticae verpaatsing in nu is. Dit is een vormveranderingsvoorwaarde waarvan gebruik moet worden gemaakt bij et bepaen van de kractsverdeing. Ir J.W. Weeman ms apri 0 7

8 ij deze vormveranderingsvoorwaarde, die iets zegt over een verticae verpaatsing, oort een statisc onbepaade in de vorm van een verticae kract. Het za duideijk zijn dat de opegreactie in de bedoede statisc onbepaade is. In figuur 0 is dit weergegeven. Gevoesmatig kan we worden aangevoed dat in een ankerkract moet werken om et opbuigen tegen te gaan. Figuur 0 : Invoed van de statisc onbepaade De ier gepresenteerde werkwijze kan, bij et bepaen van de kractsverdeing van statisc onbepaade constructie beast met een temperatuursbeasting, as agemeen recept worden bescouwd. Eerst wordt de vrije vervorming (statisc bepaade oofdsysteem) bepaad waarna op ogisce wijze de vormveranderingsvoorwaarde duideijk wordt. De daarbij beorende statisc onbepaade is dan eenvoudig te bepaen. epaen van de kractsverdeing oor et bepaen van de kractsverdeing moet de v.v.v. uit figuur 0 worden uitgewerkt. Dit oudt in dat de verpaatsing in t.g.v. de temperatuursbeasting samen met verpaatsing in t.g.v. de aangegeven opegreactie nu moet zijn. De kromming in de igger t.g.v. et temperatuursversci is geijk aan, zie figuur 9b: ε κ boven ϕ ε onder α z-as v.v.v. : w 0 angezien et temperatuursversci over de geee igger constant is, is deze kromming ook over de geee igger constant. Dit krommingsveroop is in figuur weergegeven. () κ ϕ κ α constante kromming v.v.v. : w 0 κ α Figuur : Krommingsveroop t.g.v. de temperatuursinvoed Ir J.W. Weeman ms apri 0

9 De verticae verpaatsing in kan bepaad worden indien de oekverdraaiing in bekend is. Deze oekverdraaiing kan m.b.v. de steingen voor et krommingsvak worden bepaad. Hiervoor gebruiken we de eis dat de verticae verpaatsing in nu moet zijn: ϕ + ϕ κ 0 Nu de oekverdraaiing in bekend is kan met beup van figuur de verpaatsing in worden bepaad: ϕ κ α κ α Figuur : erpaatsing in t.g.v. de temperatuursinvoed Ga zef na dat de verticae verpaatsing t.g.v. de temperatuur in geijk moet zijn aan: w α ϕ + () Deze verpaatsing is negatief, de igger verpaatst in naar boven, etgeen geee in overeenstemming is met wat we mogen verwacten. Uiteraard kan deze vrije verpaatsing niet optreden. De opegreactie, de statisc onbepaade, za ervoor moeten zorgen dat de totae verpaatsing in nu wordt. et een eenvoudig vergeet-mij-nietje kan deze verpaatsing worden uitgedrukt in de statisc onbepaade. ( ) w () Dat de totae verpaatsing in nu moet zijn (v.v.v.) oudt in : w + w 0 α () Door de invoed van de temperatuur ontstaat in dus een ankerkract. Deze opegreactie veroorzaakt een moment in dat geijk is aan: α α De momentenijn t.g.v. de temperatuur is in figuur gescetst. (5) Ir J.W. Weeman ms apri 0 9

10 α Figuur : omentenijn t.g.v. de temperatuursinvoed De uiteindeijke vervorming met de opegreacties zijn in figuur weergegeven. erk op dat bij temperatuursinvoeden de reatie tussen de momentenijn en de vervormingstekens niet meer opgaat! z-as α α α Figuur : erpaatsing t.g.v. de temperatuursinvoed ternatief voor de bepaing van de kractsverdeing angezien de kromming t.g.v. de temperatuursbeasting constant is kan er ook een aternatief worden gegeven voor de bepaing van de vrije opbuiging van de igger. In de kromming van figuur wordt de gereduceerde -ijn erkend van een igger beast op beide uiteinden door een koppe. In figuur 5 wordt dit getoond. κ constante kromming κ Figuur 5 : Euivaente temperatuursbeasting In feite kan de temperatuursbeasting worden vervangen door een euivaente beasting die dezefde vrije vervorming tot gevog eeft. Deze beasting wordt in figuur 5 aangeduid met de koppes. Ir J.W. Weeman ms apri 0 0

11 De opbuiging t.g.v. deze euivaente beasting kan eenvoudig met een vergeet-mijnietje worden bepaad: w ( ) α Dit is uiteraard dezefde opbuiging () die eerder op basis van de steingen van et krommingsvak werd bepaad. epaen van et vervormingsgedrag oor et bepaen van de doorbuiging van een constructie die wordt beast door een temperatuursbeasting moet worden teruggegrepen op de definities van de kinematisce en constitutieve vergeijkingen. Daarbij moet ondersceid worden gemaakt tussen rekken die ontstaan ten gevoge van de tot nu toe gebruikeijke beastingen en rekken ten gevoge van temperatuursinvoeden: ε ε F + ε Op dezefde wijze is ook de totaa optredende kromming te scrijven as: κ κ F + κ (6) De kinematisce betrekkingen bijven van kract: dw ϕ( x) dϕ d w κ ( x) De constitutieve reatie egt uiteraard aeen een reatie tussen (gegeneraiseerde) spanningen en de vervorming κ t.g.v. de gebruikeijke beastingen: ( x) κ F ( x) (7) ombinatie van (6) en (7) evert: ( x) κ ( x) + κ ( x ) () Hierdoor ontstaan, uitgaande van een bekende momenten- en krommingsverdeing t.g.v. de temperatuursbeasting, de trits vergeijkingen waarmee de verpaatsingen kunnen worden bepaad: d w ( x) + κ ( x) dw ( x) ϕ( x) ( x) + κ w( x) ϕ( x) Deze werkwijze za gedemonstreerd worden aan de and van een voorbeed. (9) Ir J.W. Weeman ms apri 0

12 oorbeed In de onderstaande figuur is een paatbrug op drie steunpunten gegeven beast met een geijkmatig verdeede beasting en een temperatuurbeasting. De paatdikte is constant en bedraagt,0 m. De paatbrug wordt as igger berekend waarbij een strookbreedte van,0 m wordt aangeouden. z-as Gegevens : 0m; 5 o ; α0-5 K - ; E 0000 N/mm ; 5 kn/m Figuur 6 : oorbeed van een paatbrug De kractsverdeing in de paatbrug t.g.v. de geijkmatig verdeede beasting kan opgeted worden bij de kractsverdeing t.g.v. de temperatuursinvoeden op basis van et beginse van superpositie. oor een igger op drie steunpunten kan met beup van de metode van oekveranderingsvergeijkingen voor de kractsverdeing worden gevonden:,5 knm,5 knm 0 97,5 knm,5 knm Figuur 7 : Kractsverdeing t.g.v. de geijkmatig verdeede beasting De kractsverdeing t.g.v. de temperatuurbeasting is ieronder weergegeven.,75 knm α 56,5 knm,75 knm 7,5 knm Figuur : Kractsverdeing t.g.v. de temperatuursbeasting Ir J.W. Weeman ms apri 0

13 De uiteindeijke kractsverdeing wordt zodoende: 50 knm 00 knm 900 knm 00 knm Figuur 9 : Kractsverdeing oor et bepaen van et vervormingsgedrag van de constructie is de momentenverdeing as functie van x nodig. Deze is voor et ved te bepaen door deze opgebouwd te denken uit de vogende aandeen: f ( x ) x + x x f ( x) x ( x) + x f ( x) 56, 5 x 56,5 knm Figuur 0 : omentenverdeing as functie van x De momentenverdeing voor ved wordt zodoende: x ( x) f( x) + f ( x) + f ( x) + x ( x) x 00 x 75 ( ) x ( x) + 56,5 De kromming t.g.v. de temperatuurbeasting is (et op: de kromming is negatief!): α κ 0,0005 De zakkingsijn kan nu worden gevonden met (9) : dw ϕ x) w( x) ϕ( x) ( x) + κ ( x) ( Hierbij ontstaan twee integratieconstanten die kunnen worden opgeost met de randvoorwaarden dat voor x0 en x de zakkingen nu moeten zijn. x Ir J.W. Weeman ms apri 0

14 Uitwerken met bijvoorbeed PLE of DERIE evert: zakking w(x) oekverdraaiing ϕ(x) Figuur : ervormde constructie voor ved In de bovenstaande figuur voor de zakkingsijn is in groen de zakkingsijn getekend die op treedt ten gevoge van aeen de geijkmatig verdeede beasting. Door de invoed van de temperatuur za de zakking in et ved afnemen. Ir J.W. Weeman ms apri 0