CONSTRUCTIEMECHANICA 3

Transcriptie

1 CTB10 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Modue : Stabiiteit van het evenwicht Dee 1 : Theorie December 016 C. Hartsuijker en J.W. Weeman

2 CTB10 MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN Civiee Techniek TU-Deft December 016

3 Voorwoord C. Hartsuijker en J.W. Weeman, TU-Deft ii

4 Voorwoord Voorwoord Dit dictaat maakt onderdee uit van de eerstof van CTB10 ConstructieMechanica 3. De theorie en voorbeeden in dit dictaat zijn zo uitgewerkt dat dit onderdee in zefstudie bestudeerd kan worden. Op het coege worden de hoofdzaken aan de hand van voorbeeden toegeicht. De student wordt geacht zef deze onderwerpen nader te bestuderen. De zefstudie wordt met behup van de COZ ondersteund. Daarnaast zijn de sheets die op het coege worden gebruikt te downoaden van het internet. Ook extra oefenmateriaa kan hier worden verkregen. Deze site is te vinden op: Voor vragen bij het bestuderen van de stof en/of assistentie bij opdrachten kan gebruik gemaakt worden van de service van de studentassistenten van ConstructieMechanica. Voor meer informatie wordt verwezen naar de onderstaande web-site: Ten opzichte van de vorige versie van dit dictaat zijn er aeen keine oneffenheden verwijderd. Naast dit theorie-dee is er een tweede bunde met opgaven verkrijgbaar. In dit tweede dee is tevens een eeswijzer opgenomen voor studenten die CTB10 vogen. Ondanks de grootste zorgvudigheid bij het samensteen van dit dictaat zijn onvokomenheden niet uit te suiten. Wij steen het zeer op prijs dat fouten en onduideijkheden worden gemed. De auteurs, Coen Hartsuijker en Hans Weeman, December C. Hartsuijker en J.W. Weeman, TU-Deft iii

5 INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave 1. Stabiiteit van het evenwicht Betrouwbaar en onbetrouwbaar evenwicht Vormen van instabiiteit Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad Het knikprobeem Starre knikstaaf met transatieveer Starre knikstaaf met rotatieveer Starre knikstaaf met een buigzame staaf as veer Parae en in serie geschakede veren Naknikgedrag Symmetrisch abie naknikgedrag Symmetrisch stabie naknikgedrag Asymmetrisch naknikgedrag Enkee uitgewerkte voorbeeden Knik van gekoppede starre staven Staven gesteund door transatieveren Verend ingekemde staven Enkee uitgewerkte voorbeeden Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden Enkee uitgewerkte voorbeeden Knik van buigzame staven basisknik-gevaen Knikstaaf van Euer De 4e orde differentiaavergeijking voor buigingsknik Basisknikgevaen Samenvatting Enkee uitgewerkte voorbeeden Knik van verend ingekemde buigzame staven Eenzijdig verend ingekemde knikstaaf Exacte opossing met de 4e orde differentiaavergeijking Benaderingsmethode met momentenvaksteingen De benaderingsformue Tweezijdig verend ingekemde knikstaven ongeschoord Tweezijdig verend ingekemde knikstaven geschoord Samenvatting Enkee uitgewerkte voorbeeden Knik van door transatieveren ondersteunde buigzame staven Knikstaaf met verende randopegging Knikstaaf met verend tussensteunpunt Eastisch ondersteunde knikstaaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman iv

6 INHOUDSOPGAVE 8. Buigzame knikstaaf met aanpendeende koommen Opossen van de knikvergeijking Enkee uitgewerkte voorbeeden Formue van Rayeigh * Vervormingsenergie Vervormingsenergie door extensie Vervormingsenergie door buiging Formue van Rayeigh Enkee voorbeeden Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen) Staaf met vormafwijkingen Staaf met een dwarsbeasting Vergrotingsfactor (buigzame staven) De differentiaavergeijking voor een initiee gekromde staaf Drukstaaf met een initiëe uitbuiging Drukstaaf met een sinusvormige beginuitbuiging Drukstaaf met een paraboische beginuitbuiging Een geknikte drukstaaf Drukstaaf met een dwarsbeasting; schijnbare stijfheid Vrij opgeegde drukstaaf met een puntast in het midden Vrij opgeegde drukstaaf met momenten op de uiteinden Verend ingekemde drukstaaf Enkee numerieke voorbeeden Schijnbare buigstijfheid Instabiiteit door niet-ineair materiaagedrag Knik en naknikgedrag van een starre-staaf-systeem Bezwijken door instabiiteit starre staven Verend ingekemde staaf met dwarsbeasting Verend ingekemde staaf met initiëe scheefstand Enkee numeriek uitgewerkte voorbeeden Bezwijken door instabiiteit buigzame staven Bezwijken door instabiiteit van een portaa v C. Hartsuijker en J.W. Weeman

7 INHOUDSOPGAVE C. Hartsuijker en J.W. Weeman vi

8 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT 1. Stabiiteit van het evenwicht Stabiiteit heeft te maken met de betrouwbaarheid van het evenwicht. In paragraaf 1.1 worden enkee hiermee samenhangende basisbegrippen geïntroduceerd. Een evenwicht dat onbetrouwbaar is noemt men instabie. Gevaar voor instabiiteit bestaat met name bij op druk beaste sanke constructies. Maar instabiiteit kan ook optreden ten gevoge van afschuiving en wringing. In paragraaf 1. wordt een beknopt overzicht gegeven van verschiende vormen van instabiiteit. 1.1 Betrouwbaar en onbetrouwbaar evenwicht. Het evenwicht van een mens die met beide benen op de grond staat is meesta een betrouwbaar evenwicht. Hij za niet zomaar omvaen. De mens kan zefs op de tenen van één voet te staan zonder zijn evenwicht te veriezen. Daarvoor moet de werkijn van de actiekracht (zijn eigen gewicht) samenvaen met de werkijn van de reactiekracht (de kracht die de voer op zijn tenen uitoefent). Bij eke keine afwijking treedt een mechanisme in werking dat deze afwijking corrigeert. Zoang het corrigerend mechanisme ervoor zorgt dat hij niet omvat is het evenwicht van de mens, ook as hij op de tenen van één voet staat, betrouwbaar. Ook constructies zijn onderworpen aan storende invoeden en kunnen daardoor uit baans worden gebracht. Om toch niet hun evenwicht te veriezen moeten zij eveneens zijn voorzien van mechanismen die corrigerend werken bij verstoringen van het evenwicht. As voorbeed dienen de twee gewichtoze starre-staaf-systemen in figuur 1.1. Zij worden beast door een kracht F die constant is in grootte en richting. Beide systemen zijn zodanig opgested dat de werkijn van F door de scharnieren gaat. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 1

9 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Met weinig moeite is vast te steen dat beide systemen in evenwicht verkeren en dat de veerkrachten (de kracht in de transatieveer en het moment in de rotatieveer) nu zijn. Uit dit aatste zou men kunnen concuderen dat de veren voor het evenwicht niet nodig zijn en dus kunnen worden weggeaten. Ervaring heeft geeerd dat het evenwicht van de systemen zonder veer, zoas getekend in figuur 1., van een andere, minder betrouwbare aard is dan het evenwicht van de systemen met veer in figuur 1.1. Een keine uitwijking uit de rechtstand doet het evenwicht van de systemen in figuur 1. definitief veroren gaan. Het evenwicht is onbetrouwbaar. Bij de systemen in figuur 1.1 komen daarentegen de veren in werking om een uitwijking uit de rechtstand te corrigeren. Bij vodoende stijfheid kunnen de veren ervoor zorgen dat het evenwicht niet veroren gaat, maar zich herstet. Een dergeijk evenwicht is betrouwbaar. Figuur 1. De enig betrouwbare evenwichtsvorm is het stabiee evenwicht. Dat een stabie evenwicht betrouwbaar is, bijkt uit de vogende definitie: Een evenwicht is stabie as het systeem in ae naburige kinematisch mogeijke configuraties 1 van de evenwichtsstand de neiging heeft weer terug te keren naar de oorspronkeijke evenwichtsstand. Worden de optredende dynamische verschijnseen mede bezien, dan eidt een keine verstoring van het stabiee evenwicht tot een triing om de evenwichtsstand met een ampitude die binnen nauwe grenzen bijft. Door de atijd aanwezige demping za het systeem na veroop van tijd weer in de oorspronkeijke evenwichtsstand tot rust komen. Een evenwicht dat niet stabie is heet instabie, waarbij men onderscheid kan maken tussen abie evenwicht en neutraa of indifferent evenwicht. 1 Een kinematisch mogeijke configuratie is een verpaatsings- of vervormingstoestand die vodoet aan ae kinematische betrekkingen en randvoorwaarden C. Hartsuijker en J.W. Weeman

10 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT Bij abie evenwicht bestaan er in de omgeving van de evenwichtsstand kinematisch mogeijke configuraties waarin het systeem de neiging heeft zich steeds verder van de oorspronkeijke evenwichtsstand te verwijderen. Bij neutraa of indifferent evenwicht zijn er in de directe omgeving van de oorspronkeijke evenwichtsstand nieuwe evenwichtsstanden mogeijk. De drie vormen van evenwicht kunnen worden geïustreerd aan de hand van een kogetje in het zwaarteved, zie figuur 1.3. Het gewicht van het kogetje is G. Er is geen wrijving. Figuur 1.3 stabie evenwicht In figuur 1.3a bevindt het kogetje zich in een boschaa. De stand ϕ = 0 is een evenwichtsstand. In naburige standen ϕ 0 is er een terugdrijvende kracht Gsinϕ waardoor het kogetje wi terugkeren naar de oorspronkeijke evenwichtsstand ϕ = 0. In de stand ϕ = 0 is het evenwicht dus stabie. abie evenwicht In figuur 1.3b igt het kogetje op de boschaa. De stand ϕ = 0 is opnieuw een evenwichtsstand. Omdat er in naburige standen ϕ 0 nu een wegdrijvende kracht Gsinϕ werkt is het evenwicht in ϕ = 0 abie. neutraa evenwicht In figuur 1.3c igt het kogetje op een horizontaa vak. Eke stand kan een evenwichtsstand zijn. Er is nergens een terug- of wegdrijvende kracht. Het evenwicht is indifferent of neutraa. De gegeven omschrijving van de begrippen stabie, abie en neutraa eidt er toe dat voor een stabiiteitsonderzoek het evenwicht in naburige standen van de oorspronkeijke evenwichtsstand moet worden onderzocht. Dit is een beangrijk verschi met wat in de ineaire mechanica gebruikeijk is. In de ineaire mechanica worden de evenwichtsvergeijkingen toegepast op de geometrie van de onvervormde constructie. In deze vergeijkingen komen geen verpaatsingsgrootheden voor. Een dergeijke berekening noemt men geometrisch ineair. Een andere benaming is eerste-orde-berekening C. Hartsuijker en J.W. Weeman 3

11 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Bij een onderzoek naar de aard van het evenwicht, een stabiiteitsonderzoek, moet worden nagegaan hoe het evenwicht verandert as de constructie uit de oorspronkeijke evenwichtsstand overgaat naar een wiekeurige naburige stand. Per definitie moet in de evenwichtsbeschouwing dus de invoed van de veranderde geometrie worden betrokken. In de evenwichtsvergeijkingen zuen nu we verpaatsingsgrootheden voorkomen. Een dergeijke berekening noemt men geometrisch niet-ineair. Een andere benaming is tweede-orde-berekening. Met behup van het voorgaande kan het verschi in de aard (betrouwbaarheid) van het evenwicht worden verkaard voor de staafsystemen zonder veer in figuur 1.4 en die met veer in figuur 1.5. Figuur 1.4 Figuur 1.5 Wanneer, door weke oorzaak dan ook, de staafsystemen zonder veer uit hun evenwichtsstand raken, gaat de werkijn van F niet meer door ae scharnieren en is er geen evenwicht. De beasting F wi de uitwijking uit de oorspronkeijke rechtstand vergroten. Het evenwicht is abie. Zijn er we veren, dan zuen deze zich tegen een uitwijking verzetten. Bij vodoende stijfheid kunnen zij de constructie weer doen terugkeren in de oorspronkeijke evenwichtsstand. Het evenwicht is stabie C. Hartsuijker en J.W. Weeman

12 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT Zijn de veren bij de gegeven beasting onvodoende stijf dan heeft de constructie asnog de neiging zich te verwijderen van de oorspronkeijke evenwichtsstand en is het evenwicht ondank de aanwezigheid van de veren abie. Opmerking: Het stabiiteitsprobeem is in beginse een stijfheidsprobeem. Opmerking: In het spraakgebruik wordt de term stabie noga eens verward met het begrip kinematisch bepaad (of paatsvast). Zo zegt men we ten onrechte dat de constructies in figuur 1.4 abie en die in figuur 1.5 stabie zijn. Men bedoet echter te zeggen dat de constructies in figuur 1.4 kinematisch onbepaad of niet paatsvast zijn en dat de constructies in figuur 1.5 kinematisch bepaad zijn. Kinematisch bepaadheid of paatsvastheid is een eigenschap die wordt bepaad door de geometrie van de constructie 1 en die onafhankeijk is van de beasting. Stabiiteit staat daarentegen voor een karakterisering van de aard van het evenwicht, waarvoor het nodig is ook de beasting te kennen. Bij eenzefde constructie kan het evenwicht onder de ene beasting stabie en onder een andere beasting instabie zijn. Men dient daarom te spreken over de stabiiteit van het evenwicht (en niet over het stabie zijn van een constructie!) As voorbeed dienen de kinematisch onbepaade constructies uit figuur 1.6, waarvan het evenwicht onder invoed van de getekende beasting we degeijk stabie is. Figuur Tot de geometrie van de constructie worden ook gerekend de wijze van opeggen en de manier waarop de verschiende constructiedeen met ekaar zijn verbonden C. Hartsuijker en J.W. Weeman 5

13 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Een ander voorbeed is de kabe. Het bijzondere van kabes is dat ze geen eigen natuurijke vorm hebben. De kabe is een niet-vormvast constructie-eement waarvan de vorm zich zodanig bij de beasting aanpast dat het evenwicht stabie is, zie figuur 1.7. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

14 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT 1. Vormen van instabiiteit In deze paragraaf wordt een beknopt overzicht gegeven van verschiende vormen van instabiiteit onder de aanname dat het materiaa zich ineair eastisch gedraagt (eastische instabiiteit). Knik van op druk beaste staven Knik is het verschijnse dat het evenwicht van een op centrische druk beaste staaf potseing instabie wordt. Dit gaat gepaard met sterk toenemende verpaatsingen oodrecht op de staafas waardoor uiteindeijk bezwijken optreedt. De beasting waarbij knik optreedt noemt men de knikbeasting. De knikbeasting is een bovengrens voor het draagvermogen van een op centrische druk beaste staaf. De op centrische druk beaste starre staaf in figuur 1.8, die verend is ingekemd, za omvaen zodra de knikast wordt bereikt. De rotatieveer bijkt bij deze beasting niet meer vodoende weerstand te kunnen bieden om de staaf rechtop te houden. Figuur 1.8 De op centrische druk beaste buigzame staaf in figuur 1.9 za bij het bereiken van de knikast potseing uitbuigen. De grootte van de uitbuiging neemt onbepaad toe waardoor uiteindeijk bezwijken optreedt. Omdat men bij buigzame staven te maken heeft met een combinatie van druk en buiging spreekt men hier ook we van buigingsknik. Figuur 1.9 Knik van op druk beaste ringen en bogen C. Hartsuijker en J.W. Weeman 7

15 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3 In een ring onder azijdige druk heerst eveneens een centrische drukkracht. Ook hier kan bij een bepaade drukkracht het evenwicht potseing instabie worden, wat gepaard gaat met veries van de cirkevorm van de ring, zie figuur Figuur 1.10 Ook bij centrisch gedrukte bogen kan knik optreden, zie figuur Figuur 1.11 Opmerking: De knikformues voor ringen zijn ook toe te passen op buizen met een (constante) onderdruk van binnen of een overdruk van buiten. Bij dat aatste kan men bijvoorbeed denken aan transporteidingen in diep water. In paats van knik spreekt men dan van imposie C. Hartsuijker en J.W. Weeman

16 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT Torsieknik van op druk beaste staven Torsieknik speet een ro bij staven waarvan de doorsnede een keine wringstijfheid en een reatief grote buigstijfheid heeft, zoas bij dunwandige open profieen. Onder invoed van een centrische drukkracht, keiner dan de knikast, kan de staaf potseing gaan torderen, zie figuur 1.1. Men heeft hier te maken met een combinatie van druk en wringing. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 9

17 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Kip van op buiging beaste staven Kip komt voor bij op buiging beaste baken met een doorsnede waarvan de hoofdtraagheidsmomenten sterk in grootte verschien, bijvoorbeed bij hoge smae baken. Bij een beasting in het vak van de grootste stijfheid kunnen dergeijke baken potseing uit het vak van de beasting verpaatsen en roteren as gevog van een vervorming door wringing. Bij kip heeft men te maken met een combinatie van buiging en wringing. Figuur 1.13 toont de kipvervorming van een ingekemde igger die in het vrije einde wordt beast door een (dwars-)kracht. Figuur 1.14 aat de kipvervorming zien van een vrij opgeegde igger waarin het buigend moment constant is over de engte. De opeggingen in A en B zijn zodanig dat de bak daar wordt verhinderd om zijn engteas te roteren (gaffeopeggingen). Figuur 1.13 Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

18 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT Knik van op wringing beaste staven Op wringing beaste staven (assen) kunnen bij een bepaade waarde van de beasting potseing zijdeings gaan uitbuigen. De uitbuigingsvorm is een ruimteijke kromme, zie figuur Men heeft hier te doen met een combinatie van wringing en buiging. Figuur 1.15 Pooien van op druk en/of afschuiving beaste paten Het knikverschijnse bij paten noemt men pooien. Pooien treedt op onder invoed van druk- en schuifkrachten in het vak van de paat. Bij een bepaade beasting kunnen potseing verpaatsingen oodrecht op het vak van de paat optreden en vertoont het paatoppervak goven, zie figuur Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 11

19 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Anders dan bij staven kan een paat na pooien nog beasting opnemen. In het bijzonder bij dunne paten kan deze toename aanzienijk zijn, tot enige maen de pooispanning. In de viegtuigbouw, waar men met hee dunne paten werkt, maakt men hiervan gebruik. Men hoeft zich dus geen zorgen te maken as men uit een viegtuigraampje op de veugehuid goven ziet verschijnen en ook weer ziet verdwijnen. Bij in de civiee techniek toegepaste staaconstructies heeft men meesta te maken met reatief dikke paten. Hier is de toename van het draagvermogen na het bereiken van de pooispanning sechts gering. De oorzaak moet worden gezocht in het optreden van pastische vervormingen waardoor a sne bezwijken optreedt. Het pooiverschijnse kan zich ook manifesteren in de fenzen en ijven van dunwandige profieen die uit paten zijn opgebouwd, zoas I-profieen en kokeriggers. Pooien kan men betrekkeijk eenvoudig verhinderen door op de paatsen waar de pooigoven worden verwacht verstijvingsribben of -schotjes aan te brengen. Pooien van axiaa beaste cirkeciindrische schaen Aanvankeijk verwachtte men bij het pooien van axiaa beaste cirkeciindrische schaen op theoretische gronden een gofpatroon as in figuur In werkeijkheid bijkt een ruitvormig patroon van pooien te ontstaan en igt de werkeijke pooibeasting ongeveer 30% hoger. De proefresutaten tonen daarbij een grote spreiding. De verkaring hiervoor wordt gevonden in het feit dat bij schaen vaak sprake is van een doorsagverschijnse (zie hierna), waarbij imperfecties (vormafwijkingen) een grote ro speen. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

20 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT Doorsag van zwak gekromde bogen en schaen Een gehee ander instabiiteitsprobeem is doorsag. Bij doorsag speet normaakrachtvervorming een beangrijke ro. Een bekend mode is dat van de twee staven in figuur 1.18a, die onder invoed van de beasting F op druk worden beast. Laat men de kracht F geeideijk toenemen dan zuen de staven steeds meer verkorten en za het aangrijpingspunt C zakken. Op een zeker ogenbik za de gezamenijke engte van de verkorte staven geijk zijn aan de engte van de overspanning. Op dat ogenbik is het evenwicht niet meer stabie en saat het staafsysteem door naar een nieuwe stabiee evenwichtsstand, zie figuur 1.18b. Figuur 1.18 In figuur 1.19 is voor dit doorsagprobeem een zogenaamd ast-verpaatsingdiagram getekend. Het ast-verpaatsing-diagram geeft ae combinaties (F,w) waarbij de constructie in evenwicht is. As de beasting F geeideijk toeneemt wordt in P het ogenbik bereikt dat doorsag optreedt. Omdat de beasting niet kan afnemen springt het systeem van evenwichtstoestand P direct over naar evenwichtstoestand Q. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 13

21 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Instabiiteit kan okaa en gobaa optreden. Bij okae instabiiteit kan men onder meer denken aan: knik van een koom in een gebouw; knik van een staaf in een vakwerk; pooien van het ijf van een I-profie; okae doorsag van een boschaa 1. In het geva van gobae instabiiteit wordt het evenwicht van de constructie in zijn gehee instabie. As voorbeed worden genoemd. kip van een vakwerkigger; knik van een hoog en sank torengebouw; knik van een raamwerk; doorsag van een boschaa. Eerder werd aangenomen dat het materiaa zich ineair-eastisch gedraagt. Het optreden van instabiiteit noemt men dan we eastische instabiiteit. Bij een beasting beneden de knikbeasting bijken vaak zogenaamde tweedeorde-verpaatsingen 3 op te treden die men kan zien as een ineiding op de knikvorm 4. Gedraagt een materiaa zich easto-pastisch, dan kunnen deze verpaatsingen aaneiding geven tot bezwijken door instabiiteit ang voordat de eastische knikast is bereikt. In dergeijke gevaen spreekt men van eastopastische instabiiteit. 1 Lokae doorsag kan optreden as gevog van geometrische imperfecties (vormafwijkingen) en kan vaak aaneiding geven tot doorsag van de gehee constructie (gobae instabiiteit). Onder knikbeasting wordt in gegeneraiseerde zin verstaan de beasting waarbij eastische instabiiteit optreedt. 3 Deze verpaatsingen vindt men met een geometrisch niet-ineaire berekening of tweede-ordeberekening. Op de oorzaken en gevogen wordt nader ingegaan in de hoofdstukken 5 en 6. 4 Onder knikvorm wordt in gegeneraiseerde zin verstaan de uitbuigingsvorm waarmee het optreden van instabiiteit gepaard gaat C. Hartsuijker en J.W. Weeman

22 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad In dit hoofdstuk wordt het knikprobeem uitgewerkt voor starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad. Dat zijn systemen waarbij de vervormde toestand met één parameter kan worden beschreven. In paragraaf.1 wordt de knikbeasting berekend voor een enkee starre staaf gesteund door een transatieveer of rotatieveer, waarna in paragraaf. wordt ingegaan op het naknikgedrag. Na enkee uitgewerkte voorbeeden in paragraaf.3 suit het hoofdstuk af met een serie opgaven in paragraaf.4..1 Het knikprobeem Het knikprobeem wordt uitgewerkt in paragraaf.1.1 voor een enkee starre staaf gesteund door een transatieveer en in paragraaf.1. voor een starre staaf gesteund door een rotatieveer. Hierbij wordt aandacht besteed aan het astverpaatsing-diagram. In de paragraaf.1.3 wordt de knikbeasting berekend voor twee gevaen waarin de veer is vervangen door een buigzame staaf Starre knikstaaf met transatieveer De verticaa opgestede starre staaf in figuur.1a, beast door een verticae kracht F, is onderin scharnierend opgeegd en wordt bovenin gesteund door een horizontae transatieveer. Het systeem heeft één vrijheidsgraad, waarvoor men bijvoorbeed de horizontae verpaatsing w aan de top kan kiezen, zie figuur.1b. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 15

23 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De verticae stand (rechtstand) w = 0 is een evenwichtsstand. Voor een onderzoek naar de aard van het evenwicht in deze stand moet het evenwicht in naburige standen w 0 worden beschouwd. Voor w 0 za zich in de veer een horizontae kracht H ontwikkeen die zich verzet tegen een uitwijking w, zie figuur.1b. Hierna wordt aangenomen dat de transatieveer een ineair-eastische karakteristiek heeft met veerstijfheid k 1 t, zie figuur.. Er gedt dan: H = k w t De stijfheid van een transatieveer heeft as dimensie kracht/engte. Figuur. Voor de staaf in scheefstand wordt hierna het momentenevenwicht om de scharnieropegging onderzocht. Daarbij wordt aangenomen dat w << zodat men voor de arm a van de veerkracht H mag steen, zie figuur.1b: a De verticae kracht F zorgt voor een wegdrijvend koppe Fw. De veerkracht H = kw zorgt voor een terugdrijvend koppe Ha H = kt w. Er zijn nu drie mogeijkheden: 1. Fw kt w < 0 Er resuteert een terugdrijvend koppe. Het evenwicht in de rechtstand w = 0 is stabie voor F < kt.. Fw kt w > 0 Er resuteert een wegdrijvend koppe. Het evenwicht in de rechtstand w = 0 is abie voor F > kt. 3. Fw kt w = 0 De scheefstand w 0 is een nieuwe evenwichtsstand. De grootte van de uitwijking w is onbepaad. Voor F = k is het evenwicht dus neutraa of indifferent. t 1 De index t duidt op transatieveer C. Hartsuijker en J.W. Weeman

24 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD In figuur.3 zijn in een zogenaamd ast-verpaatsing-diagram of F-w-diagram ae combinaties van F en w uitgezet waarbij evenwicht optreedt. Figuur.3 Uit de vergeijking voor het momentenevenwicht in scheefstand: Fw k w = t 0 vindt men twee evenwichtstakken: w = 0 en F is onbepaad (evenwicht in de rechtstand). Voor F < kt is het evenwicht op deze tak stabie (zie 1). Voor F > kt is het evenwicht abie (zie ). F = kt en w is onbepaad (evenwicht in scheefstand). Het evenwicht op deze tak is neutraa (zie 3). De waarde F = kt waarbij het evenwicht zich op de stabiiteitsgrens bevindt wordt de knikast F k genoemd: F = k (.1) k t Bij F = Fk bestaat er geen eenduidig verband tussen beasting en verpaatsing en bijken meerdere evenwichtsstanden mogeijk: de staaf kan uitknikken. Men spreekt hier van een vertakkingspunt in het gedrag van de constructie. Opmerking: Men omschrijft de knikkracht F k ook we as de kracht waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Bij een uitwijking naar inks vertoont de staaf hetzefde gedrag as bij een uitwijking naar rechts. Het F-w-diagram is dan ook spiegesymmetrisch in de F- as. In figuur.3 is sechts de rechter heft getekend C. Hartsuijker en J.W. Weeman 17

25 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De gedigheid van het F-w-diagram en dan met name de neutrae tak, beperkt zich tot die keine waarden van w waarbij voor de arm a gedt: a = w Deze beperking is niet in het F-w-diagram aangegeven. De grootte van de knikast Fk = kt is recht evenredig met de stijfheid k van de veer. Het stabiiteitsprobeem is in beginse dan ook een stijfheidsprobeem. Voor het bepaen van de knikast doet de sterkte van de veer niet ter zake. We is de sterkte van de veer maatgevend voor de grootte van de uitwijking waarbij na uitknikken breuk optreedt, dus voor de engte van de neutrae tak. Ook hiermee wordt in het F-w-diagram geen rekening gehouden. De verpaatsing w kan op de neutrae tak in het F-w-diagram het bij wijze van spreken oneindig groot worden 1. Een positieve waarde van F komt overeen met een drukkracht in de staaf. As de staaf op trek wordt beast is F negatief en is het evenwicht in w = 0 atijd stabie. De stabiee tak w = 0 voor F < kt gedt dus ook voor F < 0. In het F-wdiagram in figuur.3 is dit minder interessante dee van de stabiee tak weggeaten..1.. Starre knikstaaf met rotatieveer De verticaa opgestede starre staaf in figuur.4a is onderin verend ingekemd en wordt beast door een verticae kracht F. Het systeem heeft één vrijheidsgraad, waarvoor de rotatie ϕ van de staaf wordt gekozen, zie figuur.4b. Figuur.4 1 Ook a werd in de afeiding aangenomen w << en ook a kan de uitwijking w nooit groter worden dan de staafengte. Even zo goed had men de horizontae uitwijking w aan de top as vrijheidsgraad kunnen kiezen C. Hartsuijker en J.W. Weeman

26 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD De verticae stand ϕ = 0 (de rechtstand) is een evenwichtsstand. Voor een onderzoek naar de aard van het evenwicht in de rechtstand moet het evenwicht in naburige standen ϕ 0 worden beschouwd. As ϕ 0 za zich in de veer een moment M ontwikkeen dat zich verzet tegen de rotatie ϕ, zie figuur.4c. Hierna wordt aangenomen dat de rotatieveer een ineair-eastische karakteristiek heeft met veerstijfheid k 1 r, zie figuur.5. Voor het moment M dat de veer op de staaf uitoefent gedt dan: M = k ϕ r De stijfheid van de rotatieveer wordt uitgedrukt in kracht engte per radiaa. De dimensie is kracht engte omdat de radiaa een dimensieoze grootheid is. Figuur.5 Voor het bepaen van de knikkracht wordt het momentenevenwicht van de staaf in scheefstand onderzocht. Daarbij wordt aangenomen dat de rotatie ϕ zo kein is dat voor de horizontae uitwijking w aan de top gedt, zie figuur.4b: w = sinϕ ϕ De verticae kracht F zorgt voor een wegdrijvend koppe Fw F ϕ. Het moment in de veer zorgt voor een terugdrijvend koppe M = k ϕ. Er zijn weer drie mogeijkheden: 1. F ϕ krϕ < 0 Er resuteert een terugdrijvend koppe. Het evenwicht in de rechtstand ϕ = 0 is stabie voor F < k r /.. F ϕ krϕ > 0 Er resuteert een wegdrijvend koppe. Het evenwicht in de rechtstand ϕ = 0 is abie voor F > k r /. 3. F ϕ krϕ = 0 De scheefstand ϕ 0 is een nieuwe evenwichtsstand. De grootte van de rotatie ϕ is onbepaad. Voor F = k r / is het evenwicht neutraa. r 1 De index r duidt op rotatieveer C. Hartsuijker en J.W. Weeman 19

27 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 In figuur.6 zijn in een F-ϕ -diagram ae combinaties van F en ϕ uitgezet waarbij evenwicht optreedt. Het momentenevenwicht van de staaf in scheefstand: F ϕ k r ϕ = 0 eidt tot twee evenwichtstakken: ϕ = 0 en F is onbepaad (evenwicht in de rechtstand). Deze tak is stabie voor F < k r / (zie 1) en abie voor F > k r / (zie ). F = k r / en ϕ is onbepaad (evenwicht in scheefstand). Het evenwicht op deze tak is neutraa (zie 3). Figuur.6 Opmerking: Let op de overeenkomst met het ast-verpaatsing-diagram in figuur.3. De knikkracht F k is de waarde van F waarbij het evenwicht zich op de stabiiteitsgrens bevindt: k r F k = (.) Bij deze kracht is evenwicht in uitgebogen stand mogeijk C. Hartsuijker en J.W. Weeman

28 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.1.3. Starre knikstaaf met een buigzame staaf as veer In deze paragraaf wordt de knikast berekend voor een starre staaf met een buigzame staaf as transatieveer (eerste voorbeed) of rotatieveer (tweede voorbeed). De grootte van de knikast wordt afgeeid uit het evenwicht in uitgebogen stand. Voorbeed 1 Een buigzame staaf as transatieveer In figuur.7 wordt starre staaf AB via de oneindig stijve pendestaaf BC zijdeings gesteund door de in D ingekemde staaf CD met buigstijfheid EI. De afmetingen vogen uit de figuur. Figuur.7 Voor het bepaen van de knikkracht wordt het evenwicht van de starre staaf in scheefstand bekeken, zie figuur.8. Figuur.8 As de starre staaf een uitwijking w aan de top ondergaat, moet de buigzame staaf deze verpaatsing vogen. Dit betekent dat op de buigzame staaf in C een kracht H moet werken. De grootte van H kan men met behup van een vergeet-mij-nietje uitdrukken in de verpaatsing w: 3 H 3EI w = H = w 3 3EI (.3) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 1

29 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Bij de in figuur.8 aangenomen uitwijking w ontstaat in staaf BC bijkbaar een drukkracht H. In B werkt op starre staaf AB dus ook de drukkracht H. Voor het momentenevenwicht om A van starre staaf AB in scheefstand vindt men nu: AB 3EI T A = Fw H = Fw w = 0 De knikast F k is de waarde van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Uit bovenstaande vergeijking vindt men voor w 0 : 3EI F k = Opmerking: Had men de uitwijking w naar inks gekozen dan zou in staaf AB een trekkracht zijn ontstaan. Voor het berekenen van de knikast maakt het geen verschi of men de verpaatsing naar rechts dan we naar inks kiest. In feite werkt de buigzame staaf CD as een transatieveer, zie figuur.9a. De stijfheid van de veer vogt uit (.3) en bedraagt: k H 3EI = = w t 3 De gevonden knikast kan men nu controeren met behup van de in paragraaf.1.1 afgeeide uitdrukking (.1), zie figuur.9b: F 3EI 3EI = k = = k t 3 Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

30 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Voorbeed Een buigzame staaf as rotatieveer In figuur.10 is starre staaf AB stijf verbonden met de buigzame staaf BC. Staaf BC heeft een buigstijfheid EI. A is een scharnieropegging en C een roopegging. De afmetingen kunnen uit de figuur worden afgeezen. Figuur.10 De knikast wordt weer berekend uit het evenwicht van de starre staaf in uitgebogen stand, zie figuur.11. Figuur.11 As starre staaf AB in B een horizontae uitwijking w ondergaat, za de buigzame staaf BC horizontaa mee verpaatsen. Omdat de buigzame staaf in B stijf is verbonden met de starre staaf, wordt de buigzame staaf daarbij gedwongen in B dezefde rotatie ϕ te ondergaan as starre staaf AB: ϕ = w C. Hartsuijker en J.W. Weeman 3

31 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Dit betekent dat er in B op BC een moment M B moet werken. De grootte van M B kan met behup van een vergeet-mij-nietje worden uitgedrukt in de rotatie ϕ : M B 3EI ϕ = M B = ϕ 3EI (.4) Op AB werkt in B een even groot, maar tegengested gericht moment ( M B is een verbindings- of interactiekracht). De vergeijking voor het momentenevenwicht om A van staaf AB in scheefstand uidt nu: AB 3EI T A = Fw M B = Fϕ ϕ = 0 (.5) De knikast F k is de waarde van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Voor ϕ 0 vindt men uit de afgeeide evenwichtsvergeijking: k F =1,5 EI C. Hartsuijker en J.W. Weeman

32 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Opmerking: As men de uitbuiging naar inks neemt, verandert het moment in B van richting. Voor het berekenen van de knikast maakt het echter niet uit of men de uitbuiging naar rechts dan we naar inks kiest. De buigzame staaf BC gedraagt zich in feite as een rotatieveer, zie figuur.1. Dat de rotatieveer horizontaa kan verpaatsen is hierbij niet reevant 1. De veerstijfheid vogt uit (.4): k r M B 3EI = = ϕ Figuur.1 De grootte van de knikkracht kan men nu controeren met behup van de in paragraaf.1. afgeeide uitdrukking (.): F k = k r /. Bedenkend dat de engte van de op knik beaste staaf hier is, vindt men: kr EI F k = = 1,5 1 In de vergeijking voor het momentenevenwicht speet de paats waar het moment M aangrijpt immers geen ro C. Hartsuijker en J.W. Weeman 5

33 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA Parae en in serie geschakede veren Figuur.13a toont een starre knikstaaf die in B in evenwicht wordt gehouden door twee evenwijdig aan ekaar gepaatste transatieveren met verschiende stijfheden k 1 en k. Men noemt beide veren parae geschaked. Beide veren kan men vervangen door één enkee veer met een equivaente veerstijfheid k 1 p, zie figuur.13b. Figuur.13 De berekening van de stijfheid k p geschiedt aan de hand van figuur.13c. Bij de getekende verpaatsing w van B ondergaan beide parae geschakede veren dezefde verenging en zijn de krachten in de veren k1w en kw. Uit het krachtenevenwicht van knooppunt B vindt men: H = k1w + kw Voor de equivaente stijfheid k p van de vervangende veer gedt: H k w + k w k k k w w 1 p = = = 1 + Concusie: Bij parae geschakede veren is de equivaente stijfheid geijk aan de som der stijfheden van de afzonderijke veren. Eigenschappen van parae geschakede veren: As van één van de veren in het paraesysteem de stijfheid oneindig groot wordt, dan wordt ook de stijfheid van de equivaente veer oneindig groot. As van één van de veren in het paraesysteem de stijfheid nu wordt, dan bijft de stijfheid van de equivaente veer eindig. 1 De index p duidt op de paraeschakeing van de veren C. Hartsuijker en J.W. Weeman

34 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Voor de knikast van de staaf in figuur.13a/b betekent dat 1 : ofwe: F = k = k + k k;p p 1 Fk;p = Fk1 + Fk (.6) Hierin zijn Fk 1 = k1 en Fk = k de knikasten bij de veerstijfheden k 1, respectieveijk k. Een andere paatsing van de twee transatieveren is die in figuur.14a. Deze paatsing achter ekaar noemt men in serie geschaked. Ook nu kan men beide veren vervangen door één enkee veer met een equivaente veerstijfheid k s, zie figuur.14b. Figuur.14 De berekening van de stijfheid k s geschiedt aan de hand van figuur.14c. Bij een kracht H in B moeten beide veren dezefde kracht H overbrengen. Omdat de stijfheid van beide veren verschiend is zijn de verengingen verschiend. Ste deze zijn respectieveijk w 1 en w. Hiervoor gedt: H H w1 = en w = k k 1 Uit de kinematische betrekking voor het samenste van veren vogt voor de verpaatsing van B: H H w = w1 + w = k + k (.7) 1 De equivaente stijfheid k s van de vervangende veer is gedefinieerd as: k s H = w 1 In k;p F duidt de index p op de paraeschakeing. De index s duidt op serieschakeing van de veren C. Hartsuijker en J.W. Weeman 7

35 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 waaruit vogt: H w = (.8) k s Uit de geijksteing van (.7) en (.8) vogt nu: = + k k k s 1 Concusie: Bij in serie geschakede veren is de reciproke van de equivaente stijfheid geijk aan de som van de reciproke stijfheden der afzonderijke veren. Eigenschappen van in serie geschakede veren: As van één van de veren in het seriesysteem de stijfheid oneindig groot wordt, dan bijft de stijfheid van de equivaente veer eindig. As van één van de veren in het seriesysteem de stijfheid nu wordt, dan wordt ook de stijfheid van de equivaente veer nu. Voor de knikast van de staaf in figuur.14a/b betekent dat 1 : ofwe: = = + F k k k k;s s = + (.9) F F F k;s k1 k Hierin zijn Fk 1 = k1 en Fk = k weer de knikasten bij de veerstijfheden k 1, respectieveijk k. 1 In F k;s duidt de index s op de serieschakeing C. Hartsuijker en J.W. Weeman

36 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Ter iustratie van het voorgaande dienen de twee oneindig stijve knikstaven in figuur.15a en b, die in B verend worden gesteund door twee staven met respectieveijk een rekstijfheid EA en een buigstijfheid EI. Figuur.15 As in het geva van figuur.15a een van de staven oneindig stijf wordt kan B niet horizontaa verpaatsen en moet de ook stijfheid van de vervangende veer oneindig groot zijn. Dit is kenmerkend voor een paraesysteem. In figuur.15c zijn de staven geschematiseerd tot veren. De veerstijfheden zijn: EA 3EI k = k 1 = en 3 De equivaente veerstijfheid k p voor het paraesysteem is: EA 3EI kp = k1 + k = + 3 Hiermee vindt men voor de knikkracht: 3EI Fk = kp = EA + In het geva van figuur.15b is sprake van een seriesysteem. As van een van de staven de stijfheid oneindig kein wordt, dan verdwijnt de stijfheid van het hee systeem, wat karakteristiek is voor een seriesysteem C. Hartsuijker en J.W. Weeman 9

37 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 In figuur.15d zijn de staven geschematiseerd tot veren. Voor de equivaente veerstijfheid k s van het seriesysteem gedt: k = s k + EA 3EI 1 k = + 3 Hiermee vindt men voor de knikkracht Fk = + F 3EI k EA = k : s C. Hartsuijker en J.W. Weeman

38 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD. Naknikgedrag In paragraaf.1 werd voor het berekenen van de knikast het evenwicht in uitgebogen stand bekeken. Daarbij werd aangenomen dat de uitwijking w vee keiner is dan de engte van de knikstaaf, of wat op hetzefde neerkomt dat de knikstaaf maar een zeer keine rotatie ϕ ondergaat. Deze aanname heeft tot gevog dat in de vergeijking voor het evenwicht in scheefstand aeen maar termen voorkomen die ineair zijn in de verpaatsing w of rotatie ϕ. Kwadratische en hogere orde termen in de verpaatsing ontbreken. Men spreekt dan ook van geineariseerde evenwichtsvergeijkingen. De geineariseerde evenwichtsvergeijkingen eiden tot de juiste waarde van de knikkracht F k, maar geven geen informatie over het naknikgedrag; men za atijd een neutraa evenwicht vinden. Hierna wordt voor drie gevaen het naknikgedrag nader onderzocht door in de evenwichtsvergeijking ook hogere orde termen in de verpaatsing mee te nemen. In het de staafmechanica speet het naknikgedrag overigens geen beangrijke ro...1. Symmetrisch abie naknikgedrag In paragraaf.1.1 bevatte de vergeijking voor het momentenevenwicht in scheefstand van de staaf in figuur.16 uitsuitend ineaire termen in de verpaatsing w: Fw k w = t 0 Dit as gevog van de benadering: a = w Ontwikket men a in een machtreeks van w: 4 1 w 1 w a = w = (1 ) 4 8 dan bijkt dat sechts de eerste term in de evenwichtsbeschouwing werd betrokken. Hierna wordt de invoed van de tweede term in de machtreeks onderzocht, waarna tensotte ook nog de exacte opossing van het naknikgedrag wordt gepresenteerd C. Hartsuijker en J.W. Weeman 31

39 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Figuur.16 Benadering van het naknikgedrag Ste de machtreeks wordt afgebroken na de kwadratische term in w, zodat: 1 w a = (1 ) Het wegdrijvend koppe is Fw. Bijft de veerkracht H = ktw horizontaa gericht, bijvoorbeed doordat, zoas in figuur.16 is aangegeven, het veereinde is bevestigd aan een verticae ro, dan is het terugdrijvend koppe: 1 w Ha = ktw(1 ) In het geva van evenwicht moet het wegdrijvend koppe Fw in grootte geijk zijn aan het terugdrijvend koppe Ha, waaruit vogt: 1 w Fw = ktw(1 ) Hieruit vogen twee evenwichtstakken: De evenwichtstak w = 0 en F is onbepaad (evenwicht in de rechtstand). Het evenwicht is stabie as F < kt en abie as F > kt (zie paragraaf.1.1). De kracht F op de stabiiteitsgrens is de knikast: Fk = kt. 1 w De evenwichtstak F = kt(1 ) voor w 0 (evenwicht in scheefstand). Deze paraboische tak geeft een benadering van het werkeijke naknikgedrag. In figuur.17 zijn beide takken getekend in een het ast-verpaatsing-diagram met angs de assen uitgezet de dimensieoze grootheden ( F/ Fk ) = ( F/ kt ) uitgezet tegen ( w/ ) = sinϕ C. Hartsuijker en J.W. Weeman

40 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Figuur.17 Door in de evenwichtsbeschouwing een derdegraads term in de verpaatsing w te betrekken wordt nadere informatie over het naknikgedrag verkregen. Het evenwicht na uitknikken bijkt niet neutraa, maar abie te zijn: zou de verpaatsing een weinig toenemen, dan moet de beasting F afnemen teneinde het evenwicht te handhaven. Gebeurt dat niet dan wordt het wegdrijvend koppe Fw groter dan het terugdrijvend koppe Ha en verwijdert de staaf zich steeds verder van de betrokken evenwichtsstand. Exacte opossing van het naknikgedrag Voor de door een transatieveer gesteunde starre staaf is ook een nauwkeurige opossing van het naknikgedrag mogeijk. As parameter wordt nu de rotatie ϕ gehanteerd, zie figuur.18. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 33

41 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De verpaatsing aan de top is: w = sinϕ. Het wegdrijvend koppe is: Fw = F sinϕ. De kracht in de veer is: H = ktw = kt sinϕ. De arm van de kracht in de veer is: a = cosϕ. Het terugdrijvend koppe wordt dan: Ha = kt sinϕ cosϕ. In het geva van evenwicht moeten het weg- en terugdrijvend koppe even groot zijn: Fsinϕ = k sinϕ cosϕ t Hieruit vogen twee evenwichtstakken: ϕ = 0 en F is onbepaad (evenwicht in de rechtstand). F = kt cosϕ voor ϕ 0 (evenwicht in scheefstand). Dit is de evenwichtstak na uitknikken. De waarde van F in het vertakkingspunt is de knikkracht F k : F = k k t In figuur.19 is in het ast-verpaatsing-diagram ( F/ Fk ) = ( F/ kt ) = cosϕ uitgezet tegen ( w/ ) = sinϕ en wordt de evenwichtstak na uitknikken voorgested door een cirke, immers: sin ϕ + cos ϕ = 1 en dus w F + = 1 F k Figuur.19 Het evenwicht na uitknikken is abie. Verder is het naknikgedrag symmetrisch: de staaf heeft kan even zo goed naar inks as naar rechts uitknikken C. Hartsuijker en J.W. Weeman

42 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD... Symmetrisch stabie naknikgedrag Voor de verend inkemde starre staaf in figuur.0 werd in paragraaf.1. uitgegaan van onderstaande geineariseerde vergeijking voor het momentenevenwicht van de staaf in scheefstand: F ϕ k r ϕ = 0 Dat in deze evenwichtsvergeijking aeen ineaire termen in de rotatie ϕ voorkomen is het gevog van de vereenvoudigend benadering: w = sinϕ ϕ Deze benadering gaat aeen op voor zeer keine waarden van ϕ. Figuur.0 Een geineariseerde evenwichtsvergeijking eidt atijd tot een neutraa naknikgedrag. Voor het werkeijke naknikgedrag kan men niet vostaan met de ineaire termen in ϕ, maar moeten ook hogere orde termen in de evenwichtsbeschouwing worden betrokken. Exacte opossing van het naknikgedrag In dit geva is het werkeijke naknikgedrag betrekkeijk gemakkeijk te vinden. As in figuur.0b M = krϕ het moment is dat de veer op de staaf uitoefent, dan vindt men, zonder enige vereenvoudiging, voor het momentenevenwicht in scheefstand: F sinϕ k ϕ = 0 r Dit eidt tot twee evenwichtstakken: ϕ = 0 en F is onbepaad. Dit is het evenwicht in de rechtstand, met stabie evenwicht voor F < k r / en abie evenwicht voor F > k r / (zie paragraaf.1.). De knikast F k = k r / is de waarde van F op de stabiiteitsgrens, waarbij ook evenwicht in scheefstand mogeijk is C. Hartsuijker en J.W. Weeman 35

43 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 k ϕ F = = F sinϕ r k ϕ voor ϕ 0. sinϕ Dit is dit de evenwichtstak na uitknikken. In figuur.1 zijn beide evenwichtstakken getekend in een ast-verpaatsingdiagram, met angs de assen uitgezet de dimensieoze grootheden F/ F k en sin ϕ = w/. Figuur.1 Het evenwicht na uitknikken is stabie. Verder is het naknikgedrag symmetrisch: de staaf heeft geen voorkeur om naar inks of naar rechts uit te knikken...3. Asymmetrisch naknikgedrag Voor de starre staaf in figuur. werd in paragraaf.1.3 de knikast berekend: F k =1,5 EI Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

44 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Daarbij werd uitgegaan van de geineariseerde evenwichtsvergeijking (.5): 3EI Fw M B = Fϕ ϕ = 0 Deze evenwichtsvergeijking met aeen ineaire termen in de verpaatsing w geeft geen informatie over het naknikgedrag. Daarvoor moeten ook hogere orde termen in de beschouwing worden betrokken. Dat kan door de invoed van de dwarskracht in BC in het evenwicht mee te nemen, zie figuur.3. (.5) Wordt BC in B beast door een moment M B 3EI = ϕ dan ontstaat er een dwarskracht V B : M B 3EI VB = = ϕ Figuur.3 M B : Bekijkt men het evenwicht van de staaf in uitgebogen stand, en houdt men niet aeen rekening met het moment M B, maar ook met de dwarskracht V B, dan vindt men voor het momentenevenwicht om A: of: F ϕ M V ϕ = 0 B 3EI 6EI Fϕ ϕ ϕ = 0 B De evenwichtsvergeijking bevat nu ook een kwadratische term in ϕ. (.10) De knikast is de waarde van F waarbij evenwicht is in uitgebogen stand mogeijk. Voor het bepaen van de knikast wordt gewerkt met de geineariseerde evenwichtsvergeijkingen: aeen de ineaire termen in ϕ worden meegenomen C. Hartsuijker en J.W. Weeman 37

45 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Kwadratische termen (en eventuee aanwezige hogere orde termen) worden verwaaroosd. In het voorbeed betekent dit dat de rotatie ϕ zo kein is dat de invoed van V B kan worden verwaaroosd ten opzicht van de invoed van M B. Vergeijking (.10) vereenvoudigt dan tot de eerder afgeeide vergeijking (.5): 3EI Fϕ ϕ = 0 waaruit men voor ϕ 0 de knikast vindt: F k =1,5 EI Voor het naknikgedrag moet men terugvaen op vergeijking (.10). Deze geeft twee evenwichtstakken: ϕ = 0 en F is onbepaad; de tak voor het evenwicht in de rechtstand, stabie voor F < Fk en abie voor F > Fk. EI F = 1,5 (1 + ϕ) = F k (1 + ϕ) voor ϕ 0; de evenwichtstak na uitknikken. Beide evenwichtstakken zijn in figuur.4 getekend in een F-ϕ -diagram. Figuur.4 In het vertakkingspunt is het gedrag van de constructie nu niet symmetrisch. Bij een uitwijking naar rechts moet F toenemen (stabie evenwicht) en bij een uitwijking naar inks moet F afnemen (abie evenwicht). Het evenwicht in een scheefstand is bijkbaar abie voor ϕ < 0 en stabie voor ϕ > 0. As de staaf uitknikt za dat atijd naar inks zijn C. Hartsuijker en J.W. Weeman

46 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Opmerking: Bij een uitwijking naar rechts vergroot de dwarskracht V B het terugdrijvend moment om A. Bij een uitbuiging naar inks veranderen de richting van het moment M B en dwarskracht V B. De dwarskracht vermindert het terugdrijvend moment om A. Dit verkaart waarom staaf AB de voorkeur heeft om naar inks uit te knikken. Voor het bepaen van de knikast maakt het daarentegen geen enke verschi of men de uitwijking van de staaf naar inks of naar rechts kiest. Men vat daarvoor immers terug op de geineariseerde evenwichtsvergeijking, waarin de invoed van de dwarskracht niet is opgenomen. Opmerking: Het evenwicht op een tak na uitknikken is stabie as in een stand ϕ = ϕ1 en een beasting F = F1 = Fk (1 + ϕ1) de staaf in naburige standen ϕ = ϕ1 ± ϕ1 en geijkbijvende beasting F = F1 de neiging heeft weer terug te keren naar de evenwichtsstand ϕ = ϕ1 omdat in de naburige standen ϕ = ϕ1 ± ϕ1 het terugdrijvend koppe groter is dan het wegdrijvend koppe. Dit met een evenwichtsbeschouwing aan te tonen is meesta behoorijk bewerkeijk 1. 1 Informatie over het naknikgedrag en de aard van het evenwicht na uitknikken kan men veea sneer en eenvoudiger met behup van een energiebeschouwing krijgen dan met een evenwichtsbeschouwing. Een aanpak gebaseerd op een energiebeschouwing vat echter buiten het kader van dit boek C. Hartsuijker en J.W. Weeman 39

47 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3.3 Enkee uitgewerkte voorbeeden De berekening van de knikbeasting wordt in deze paragraaf geïustreerd aan de hand van een aanta voorbeeden. Van de verschiende aspecten die daarbij aan de orde komen worden genoemd: de betekenis van het zwaartepunt in een stabiiteitsberekening (de voorbeeden 1 t/m 3); de invoed van excentrisch aangrijpende krachten (voorbeed 3); het bepaen van de veerstijfheid (de voorbeeden 4, 8 en 9); de voorkeursrichting voor uitknikken (voorbeed 6) het naknikgedrag (de voorbeeden 1 en 7 t/m 9) C. Hartsuijker en J.W. Weeman

48 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Voorbeed 1 De driehoekige homogene paat in figuur.5 heeft een constante dikte. De paat rust op zijn punt en wordt in evenwicht gehouden door een transatieveer met stijfheid k 1. De veer kan zowe trek- as drukkrachten overbrengen. De afmetingen vogen uit de figuur. Houdt in de numerieke uitwerking aan k = 50 kn/m en a = 1 m. Figuur.5 Gevraagd: a. Het gewicht G van het bok waarbij het evenwicht instabie wordt. b. De richting waarin het bok kantet nadat het evenwicht instabie is geworden. Uitwerking: a. In het zwaarteved werken op ae massa-eementjes krachtjes. De resutante van a deze evenwijdige gewichtskrachtjes is het bokgewicht G. Het bokgewicht G is geen kracht die in werkeijke zin bestaat, maar is een grootheid waarmee men gemakkeijk kan rekenen. As resutante van een ste krachtjes heeft het bokgewicht G dan ook geen aangrijpingspunt, maar een werkijn waarangs men deze mag verschuiven. As het bok in het zwaarteved roteert behouden ae gewichtskrachtjes hun grootte en richting. Dit gedt ook voor het bokgewicht G. Nu doet zich de bijzondere omstandigheid voor dat, hoe de stand van het bok ook is, de werkijn van G atijd door één bepaad punt van het bok gaat. Dit bijzondere punt is gedefinieerd as het massacentrum of zwaartepunt 3. In dit voorbeed wordt van deze eigenschap gebruik gemaakt door het bokgewicht G aan te aten grijpen in het zwaartepunt, niet omdat het zwaartepunt het werkeijke aangrijpingspunt van G is, maar omdat hier ten ae tijde de werkijn van G door gaat. 1 Voor het gemak wordt in t k de index t voor transatieveer hier weggeaten. Het wegaten van deze index is mogeijk zoang hierdoor geen verwarring ontstaat. Omdat men hier mag aannemen dat het zwaarteved homogeen is. 3 In een homogeen zwaarteved vaen zwaartepunt en massacentrum samen C. Hartsuijker en J.W. Weeman 41

49 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Het evenwicht wordt instabie zodra er evenwicht in scheefstand mogeijk is. In figuur.6 is het bok in scheefstand getekend. Er wordt aangenomen dat de rotaties en verpaatsingen zo kein dat de een richtingsverandering van de veerkracht H mag worden verwaaroosd. Bij een rotatie ϕ van het bok gedt voor de kracht H: H = k 3aϕ Figuur.6 Het gewicht G veroorzaakt een wegdrijvend koppe. De kracht H zorgt voor een terugdrijvend koppe. As er evenwicht in scheefstand is gedt: T A = G aϕ H (3a + aϕ ) = = agϕ 9ka ϕ 6ka ϕ verwaarozen = 0 (.11) Voor het berekenen van de beasting waarbij instabiiteit optreedt za men zich in de evenwichtsvergeijkingen gewoonijk beperken tot aeen de termen die ineair zijn in de verpaatsingen. De derde term in (.11) wordt dus verwaaroosd. Opmerking: Men kan steen dat de rotatie ϕ zo kein is dat kwadratische term in ϕ een orde keiner is dan de ineaire termen. De geineariseerde evenwichtsvergeijking is: agϕ 9ka ϕ = 0 (.1) Met k = 50 kn/m en a = 1 m vogt hieruit voor het kritieke bokgewicht G k waarbij het evenwicht instabie wordt: G k 9 9 = ka = (50 kn/m)(1 m) = 5 kn b. De geineariseerde evenwichtsvergeijking (.1) eidt tot neutraa evenwicht op de stabiiteitsgrens en geeft geen informatie over de werkeijke aard van het C. Hartsuijker en J.W. Weeman

50 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD evenwicht in het vertakkingspunt. Daarvoor moet men terugvaen op vergeijking (.11), nu met de kwadratische term in ϕ : agϕ 9ka ϕ 6ka ϕ = 0 Er is evenwicht as: ϕ = 0 (de rechtstand) en G is onbepaad. 9 ϕ 0 (een scheefstand) en G = ka + 3kaϕ De evenwichtstakken zijn getekend in figuur.7. Figuur.7 Op de schuine evenwichtstak is het evenwicht stabie voor ϕ > 0 (G moet toenemen as het bok naar rechts kantet) en abie voor ϕ < 0 (G moet afnemen as het bok naar inks kantet). Het evenwicht in het vertakkingspunt is dus abie en het bok za na naar inks kanteen C. Hartsuijker en J.W. Weeman 43

51 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed De stabiiteit van het evenwicht van een homogeen rechthoekig bok met gewicht G wordt op de in figuur.8a aangegeven manier verzorgd door twee transatieveren. De veren hebben een stijfheid k = 10 kn/m. Houdt verder in de numerieke uitwerking aan = 4 m en a = 0,5 m. Figuur.8 Gevraagd: Het gewicht van het bok waarbij het evenwicht instabie wordt. Uitwerking: De stabiiteitsgrens is bereikt as er evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Er moet dus worden gezocht naar de bijbehorende waarde van G. In figuur.8b is het tot ijneement geschematiseerde bok in scheefstand getekend. Bij een rotatie ϕ naar rechts wordt de inker veer over een afstand aϕ uitgerekt en wordt de rechter veer over dezefde afstand ingedrukt 1. In de inker veer ontstaat een trekkracht kaϕ en de rechter veer een even grote drukkracht. Samen zorgen ze voor een terugdrijvend koppe: a kaϕ. Het gewicht G grijpt aan in het zwaartepunt van het bok, dit is op have hoogte. De uitwijking is hier 1 ϕ. Het bokgewicht zorgt voor een 1 wegdrijvend koppe: G ϕ. 1 In herinnering wordt gebracht dat deze verticae verpaatsing geijk is aan het product van de horizontae afstand a tot het draaipunt A en de rotatie ϕ. Niet omdat het zwaartepunt het werkeijke aangrijpingspunt van G is, maar omdat hier atijd de werkijn van G door gaat C. Hartsuijker en J.W. Weeman

52 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD De vergeijking voor het momentenevenwicht van het bok in scheefstand uidt: 1 T A = G ϕ a kaϕ = 0 Voor ϕ 0 vindt men hieruit de gevraagde kritieke waarde G k waarbij de stabiiteitsgrens wordt bereikt: G k 4ka 4 (10 kn/m)(0,5 m) = = = 30 kn 4 m C. Hartsuijker en J.W. Weeman 45

53 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 3 Gegeven de twee constructies (a) en (b) in figuur.9. Houdt in de numerieke uitwerking aan = m en k r = 5000 knm/rad. Gevraagd: Voor beide constructies de knikast F k. Figuur.9 Uitwerking: Figuur.30 toont beide constructies met een scheefstand ϕ. Figuur.30 Constructie (a), zie figuur.30a: Voor het momentenevenwicht om A vindt men: of: T A = F( + ϕ) F( ϕ) k ϕ = 0 F ϕ k ϕ = 0 r r C. Hartsuijker en J.W. Weeman

54 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD waaruit vogt: kr 5000 knm F k = = = 150 kn ( m) Constructie (b), zie figuur.30b: De vergeijking voor het momentenevenwicht om A wordt nu: of: waaruit vogt: T A = F( + 3 ϕ) F( ϕ) k ϕ = 0 4F ϕ k ϕ = 0 r kr 5000 knm F k = = = 65 kn 4 4 ( m) Concusie: De knikbeasting van constructie (b) bedraagt de heft van die van constructie (a). Opmerking: Men zou de twee krachten F kunnen opvatten as de gewichten van twee denkbeedige ichamen die door een gewichtoze stang stijf met ekaar zijn verbonden. De zwaartepunten van de ichamen zijn de aangrijpingspunten van de krachten F op de vormvaste constructie. Bij constructie (a) igt het zwaartepunt van dit systeem van twee denkbeedige ichamen in P. As het ichaam roteert za men in dit punt de resutante F moeten aten aangrijpen, zie figuur.31a. Bij constructie (b) igt het zwaartepunt twee keer zo hoog, nameijk in Q, zie figuur.31b. Laat men de resutante F in Q aangrijpen dan eidt dat inderdaad tot een knikbeasting die haf zo groot is as wanneer P het aangrijpingspunt is. r Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 47

55 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 4 De oneindig stijve koom AB in figuur.3a is in A ingekemd in igger CAD met buigstijfheid EI. De koom wordt bovenin beast door een kracht F. Opeggingen en afmetingen vogen uit de figuur. Gevraagd: De knikbeasting F k. Figuur.3 Uitwerking: In figuur.3b is de koom ingekemd een rotatieveer met stijfheid k r. Ligger CAD gedraagt zich immers as een rotatieveer. Het meeste werk geeft hier eigenijk het bepaen van de veerstijfheid. Voor de veerstijfheid gedt, zie figuur.33a: k r M = ϕ Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

56 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Met behup van vergeet-mij-nietjes vindt men, zie figuur.33b: 4EI 3EI 7EI M = M1 + M = ϕ + ϕ = ϕ Dit betekent voor de veerstijfheid: k r M 7EI = = ϕ Hiermee is het knikprobeem teruggebracht tot het basisgeva dat in paragraaf.1. werd uitgewerkt. Figuur.34 De knikbeasting is de beasting waarbij in uitgebogen stand evenwicht is. In figuur.34b is de koom in scheefstand getekend. De vergeijking voor het momentenevenwicht in scheefstand is: 7 T A = F ϕ EI ϕ = 0 Hieruit vindt men voor ϕ 0 : F = Fk = 3,5 EI Dit is de gevraagde knikbeasting C. Hartsuijker en J.W. Weeman 49

57 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 5 De oneindig stijve staaf AB in figuur.35a wordt in A gesteund door een rotatieveer en in B door een transatieveer. Bij de gegeven stijfheden k r = 50 knm/rad voor de rotatieveer en k t = 40 kn/m voor de transatieveer is de knikast afhankeijk van de staafengte. Figuur.35 Gevraagd: De engte waarbij de knikast minimaa is en de grootte van deze knikast. Uitwerking: In figuur.35b is de staaf in scheefstand getekend. In A werkt dan op de staaf een moment M = krϕ en in B een horizontae kracht H = kt ϕ. De vergeijking voor het momentenevenwicht om A uidt: T A = F ϕ k t ϕ k r ϕ = 0 Voor ϕ 0 vindt men hieruit de knikast: F k kr = kt + De knikast F k as functie van de engte is minimaa as: df d k kr = kt = 0 Hieruit vindt men de gevraagde engte: t H kr 50 knm = = = 6,5 m =,5 m k 40 kn/m Deze waarde van gesubstitueerd in (.13) evert de minimum knikast: M (.13) C. Hartsuijker en J.W. Weeman

58 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD F k;min kr (50 knm) = kt + = (40 kn/m)(,5 m) + = (,5 m) = (100 kn) + (100 kn) = 00 kn t.g.v. transatieveer t.g.v. rotatieveer Opmerking: Uit (.13) bijkt dat bij grote engte de transatieveer domineert en bij keine engte de rotatieveer. De knikast is minimaa as de bijdragen van rotatie- en transatieveer in (.13) even groot zijn C. Hartsuijker en J.W. Weeman 51

59 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 6 De oneindig stijve koom ABCD in figuur.36a is verend ingekemd in A en wordt in B en C gesteund door twee draden van kunststof. De draden werken as transatieveren, maar kunnen geen druk opnemen. Afmetingen, veerstijfheden en beasting zijn in de figuur bijgeschreven. Figuur.36 Gevraagd: De waarde van F waarbij instabiiteit optreedt. Uitwerking: As de koom naar inks uitknikt komt de onderste draad sap te hangen en werkt aeen de bovenste draad as transatieveer. Bij een uitwijking naar rechts komt de onderste draad in werking en vat de bovenste draad sap. Het gedrag bij een uitwijking naar inks is dus niet geijk aan dat bij een uitwijking naar rechts. De knikkracht is de keinste kracht waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. De bovenste draad (veer) heeft in het momentenevenwicht om A een grotere terugdrijvende werking dan de onderste draad (veer) 1. De ongunstigste situatie is dus die waarbij de bovenste draad sap komt te hangen. Met andere woorden: de koom za naar rechts uitknikken. In figuur.36b. is de koom in scheefstand getekend, met in D een uitwijking w. In B, ter paatse van de onderste draad, is de uitwijking dan 1 w. De onderste draad evert een terugdrijvende kracht H: H = k w = (100 kn/m) w = (50 kn/m) w t 1 1 De verende inkemming in A evert een terugdrijvend moment M: w w M = krϕ = kr = (4800 knm) = (100 kn) w (4 m) (4 m) 1 Vanwege de grotere afstand tot A C. Hartsuijker en J.W. Weeman

60 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Voor het momentenevenwicht om A van de koom in scheefstand vindt men nu: T A = F w (50 knm) w ( m) (100 kn) w = 0 Voor w 0 vindt men hieruit: F = Fk = (100 kn) + (100 kn) = 1300 kn t.g.v. k Dit is de gevraagde knikast. t H t.g.v. k r Opmerking: Bij een uitwijking naar inks zou men uit het evenwicht in de scheefstand hebben gevonden 1 : F = (5 kn) + (100 kn) = 145 kn t.g.v. k t t.g.v. k Deze waarde is inderdaad hoger dan knikast van 1300 kn. r M 1 Deze berekening wordt aan de ezer overgeaten C. Hartsuijker en J.W. Weeman 53

61 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 7 De oneindig stijve mast AB in figuur.37 is afgetuid met twee draden met een rekstijfheid EA = 500 kn. De mast heeft een hoogte h = 6 m. Beide draden hebben een engte = 7,5 m. In verticae stand van AB staan beide staven strak maar zijn verder spanningsoos. De invoed van het eigen gewicht van koom en draden wordt buiten beschouwing geaten. Gevraagd: De knikkracht F k. Figuur.37 Uitwerking: De knikkracht is bereikt zodra ook evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. As de mast scheef gaat staan komt maar één van de draden in werking, de andere gaat sap hangen. In figuur.38a heeft de mast een uitwijking w aan de top in B gekregen. Om deze uitwijking te kunnen vogen moet de inker draad met een bedrag verengen: = 3 5 w Hierdoor ontstaat in de draad een trekkracht N: EA N = = 3 5 EA w (.14) Opmerking: Er wordt aangenomen dat de uitwijking w zo kein is dat de richtingsverandering van de draad mag worden verwaaroosd C. Hartsuijker en J.W. Weeman

62 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD In figuur.38b zijn ae krachten getekend die in B op de mast in scheefstand werken. Figuur.38 De verticae krachten in B veroorzaken in scheefstand een wegdrijvend moment om A: wegdrijvend moment: 4 ( F + N) w 5 De horizontae kracht in B geeft een terugdrijvend moment om A: terugdrijvend moment: 3 5 N h Op de stabiiteitsgrens is er evenwicht in uitgebogen stand. Uit het momentenevenwicht vindt men: 4 3 T A = F w + N w N h = Substitueer hierin uitdrukking (.14) voor N: 4 3 EA F w + ( w ) w 5 5 t.g.v. de verticae component van N 3 3 EA ( w) h = De verticae component van N evert in de evenwichtsvergeijking een bijdrage die kwadratisch is in de verpaatsing w. Voor het bepaen van de knikbeasting wordt gewerkt met de geineariseerde evenwichtsvergeijking en wordt de kwadratische term weggestreept. Dit eidt tot: 9 h Fw EAw = C. Hartsuijker en J.W. Weeman 55

63 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor de gevraagde knikast vindt men hieruit voor w 0 : F k 9 h 9 (6 m) = EA = (500 kn) = 70 kn 5 5 (7,5 m) Opmerking: De verticae component van N heeft na uitknikken een negatieve invoed op de grootte van F, zie figuur.38b. Dit betekent dat het evenwicht op de stabiiteitsgrens abie is C. Hartsuijker en J.W. Weeman

64 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Voorbeed 8 In figuur.39 is de oneindig stijve staaf AB scharnierend verbonden met de in C rechthoekig omgezette buigzame staaf BCD. Ae verdere informatie kan aan de figuur worden onteend. Figuur.39 Gevraagd: a. De knikast en de richting waarin uitknikken paats vindt. b. De richting waarin staaf AB uitknikt. Uitwerking: a. Voor het berekenen van de knikast kan BCD worden geschematiseerd tot een horizontae transatieveer, zie figuur.40. Hiermee is het knikprobeem tot het basisgeva dat werd afgeeid in paragraaf.1.1. Voor de stijfheid van de veer gedt: Figuur.40 k = H w De reatie tussen de verpaatsing w en de kracht H is te berekenen met hoekveranderingsvergeijkingen 1. 1 Dit probeem werd eerder met momentenvaksteingen uitgewerkt in Toegepaste Mechanica dee, paragraaf 8.4., voorbeed 8, bz. 57. Hoekveranderingsvergeijkingen werken hier echter sneer. Hoekveranderingsvergeijkingen voor constructies met verpaatsbare knooppunten werden behanded in TOEGEPASTE MECHANICA dee 3, modue 1, paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman 57

65 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 In figuur.41a is voor BCD de momentenijn getekend ten gevoge van een kracht H in B. Figuur.41 In figuur.41b is in C een scharnierende verbinding aangebracht en is het weggenomen buigend moment H vervangen door het momentenpaar H op de staafeinden. In deze figuur zijn ook de knoopverpaatsingen getekend ten gevoge van de verpaatsing w. Voor de rotaties van de staafeinden in C gedt: ϕ BC C H ( ) = + 3EI CD C ( ) w H ϕ = + 3EI De hoekveranderingsvergeijking ϕ waaruit vogt: H w H + = + 3EI 3EI H EI k = = 3 w BC C CD C = ϕ eidt tot: C. Hartsuijker en J.W. Weeman

66 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Hiermee wordt voor de knikast 1 gevonden: F EI = k = k b. Wanneer BCD wordt geschematiseerd tot een horizontae transatieveer vindt men de juiste knikkracht, maar kan men niets zeggen over het naknikgedrag en de richting waarin staaf AB uitknikt. Om daar achter te komen moet men de invoed van de dwarskracht V in BC in de beschouwing betrekken, zie figuur.4a. Uit het evenwicht van BCD vindt men voor deze dwarskracht: V = 1 H Figuur.4 Bij een uitwijking naar rechts verkeint deze dwarskracht het wegdrijvend moment om A. De beasting F moet toenemen bij toenemende verpaatsing w: het evenwicht na uitknikken is stabie. Bij een uitwijking naar inks veranderen H en V van richting, zie figuur.4b. De dwarskracht zorgt nu voor een extra wegdrijvend moment om A. Wordt de uitwijking w groter, dan moet de beasting afnemen: het evenwicht na uitknikken is abie. Concusie: Staaf AB za naar inks uitknikken. 1 Om niet in herhaing te vaen wordt gebruik gemaakt van uitdrukking (.1) in paragraaf.1.1. Gebruik echter nooit formues die men niet begrijpt C. Hartsuijker en J.W. Weeman 59

67 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 9 Van het portaa in figuur.43a zijn de oneindig stijve koommen AB en CD stijf verbonden met de buigzame rege BC. Ae gegevens kunnen verder aan de figuur worden onteend. Figuur.43 Gevraagd: De knikast en de richting waarin het portaa uitknikt. Uitwerking: Ten gevoge van een horizontae verpaatsing van rege BC ondergaat koom CD een tweemaa zo grote rotatie as koom AB, zie figuur.43b. As vrijheidsgraad wordt gekozen de rotatie ϕ van koom AB. De rotatie van koom CD is dan ϕ. De buigzame rege wordt vanwege de stijve verbindingen met de koommen in B en C gedwongen mee te roteren. In B over een hoek ϕ en in C over een hoek ϕ. Hierdoor ontstaan momenten M B in B en M C in C. In figuur.44 zijn de koommen in scheefstand vrijgemaakt van de rege en zijn ae verbindingskrachten tussen koommen en rege getekend. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

68 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Uit het momentenevenwicht van de rege vogt dat in de rege een dwarskracht V werkt: M V = B + M C Verder is aangenomen dat in de rege nog een normaakracht N werkt. Hierna wordt eerst ingegaan op het gedrag van rege BC as veer. Daarna wordt de knikast berekent en tensotte wordt ingegaan op het naknikgedrag. Het gedrag van rege BC as veer Rege BC gedraagt zich as een veer, maar met een gedrag dat gecompiceerder is dan dat van een gewone rotatieveer waarvoor gedt M = kϕ. M B en M C zijn beide afhankeijk van zowe ϕb = ϕ as van ϕc = ϕ. Om het verband te vinden tussen de momenten en rotaties in B en C wordt gebruik gemaakt van vergeet-mij-nietjes, zie figuur.44: M B M C ϕ B = + 3EI 6EI M B M C ϕ C = + 6EI 3EI Eimineer M C door vergeijking (.15) met twee te vermenigvudigen en op te teen bij vergeijking (.16). Men vindt dan: 4EI EI M B = ϕb + ϕc Evenzo kan men M C in ϕ B en ϕ C uitdrukken: EI 4EI M C = ϕb + ϕc Met ϕb = ϕ en ϕc = ϕ vindt men uit de vergeijkingen (.17) en (.18) het veergedrag van rege BC: 4EI EI 8EI M B = ϕ + ϕ = ϕ EI 4EI 10EI M C = ϕ + ϕ = ϕ (.15) (.16) (.17) (.18) (.19) (.0) Opmerking: De vergeijkingen (.17) en (.18) kunnen ook in matrixvorm worden genoteerd 1 : 1 Betrekking (.1) werd eerder a afgeeid in het kader van de eindige eementenmethode, zie TOEGEPASTE MECHANICA dee 3, modue 1, paragraaf De matrix [ ] K heette daar eementstijfheidsmatrix C. Hartsuijker en J.W. Weeman 61

69 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4EI EI M B ϕb = M C EI 4EI ϕc Schrijft men hiervoor (.1a) { m} = [ K ]{ ϕ} (.1b) dan is er toch een overeenkomst te herkennen met het gedrag M gewone rotatieveer. = kϕ van een Knikast Voor het berekenen van de knikast worden de vergeijkingen voor het momentenevenwicht van de koommen in scheefstand opgested: AB M B + M C T A = F ϕ + N M B ϕ = 0 O( ϕ ) CD 1 M B + M C T D = N M C + ϕ = 0 O( ϕ ) (.) (.3) De momenten M B en M C zijn ineair in ϕ. De aatste term in beide evenwichtsvergeijkingen geeft de invoed van de dwarskracht V en is kwadratisch in ϕ. Voor het berekenen van de knikast mogen deze termen worden verwaaroosd. Eimineer N uit (.) en (.3) door vergeijking (.3) met twee te vermenigvudigen en op te teen bij vergeijking (.): Met: F ϕ M M = 0 M B eidt dit tot: B C 8EI 10EI = ϕ en M C = ϕ 8EI Fϕ ϕ = 0 Voor ϕ 0 vindt men hieruit de knikast F k : k 8EI F = C. Hartsuijker en J.W. Weeman

70 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD Naknikgedrag Om iets te weten te komen over het naknikgedrag moeten de weggestreepte termen in (.) en (.3) nu we worden meegenomen: M B + M C F ϕ + N M B ϕ = 0 O( ϕ ) O( ϕ ) 1 M B + M C N M C + ϕ = 0 Na eimineren van N uit (.4) en (.5) vindt men: Met: Fϕ M B M C + ( M B + M C) ϕ = 0 M wordt dit: B O( ϕ ) 8EI 10EI = ϕ en M C = ϕ 8EI 18EI Fϕ ϕ + ϕ Hieruit vindt men de vogende benadering van het naknikgedrag: 8EI 18EI F = ϕ In figuur.45 is het ast-verpaatsing-diagram getekend. Na het uitknikken is het evenwicht bij een uitwijking naar inks stabie (F moet toenemen) en bij een uitwijking naar rechts abie (F moet afnemen) (.4) (.5) stabie abie Figuur.45 Concusie: Het portaa za na het bereiken van de knikast naar rechts uitknikken C. Hartsuijker en J.W. Weeman 63

71 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA C. Hartsuijker en J.W. Weeman

72 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3. Knik van gekoppede starre staven Gekoppede knikstaven kunnen hun stabiiteit aan ekaar ontenen. In paragraaf 3.1 wordt dit uitgewerkt voor staven gesteund door transatieveren en in paragraaf 3. voor verend ingekemde staven. De beschouwing bijft beperkt tot systemen met één vrijheidsgraad. In paragraaf 3.3 is een aanta uitgewerkte voorbeeden opgenomen. Het hoofdstuk suit af met een aanta opgaven in paragraaf Staven gesteund door transatieveren Gegeven de twee starre staven AB en CD in figuur 3.1a, met verschiende engten 1 en, verschiende beastingen F 1 en F, en in de top gesteund door horizontae transatieveren met verschiende veerstijfheden 1 k 1 en k. Voor deze staven werd in paragraaf.1.1 de knikast afgeeid: F F = k k;1 1 1 = k k; Figuur 3.1 In figuur 3.1b zijn beide staven gekopped door pendestaaf BC. Hierna wordt nagegaan wat de invoed van deze koppeing is op de grootte van de knikbeasting. 1 Omdat misverstanden zijn uitgesoten wordt de index t voor transatieveer hierna weggeaten C. Hartsuijker en J.W. Weeman 65

73 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Ste F 1 en F groeien geeideijk aan van nu tot de waarde waarbij het gekoppede systeem uitknikt. Het aangroeien van de beasting kan men tot uitdrukking brengen door midde van een beastingfactor die geeideijk toeneemt van 0 tot de waarde n waarbij knik optreedt. De waarden F 1 en F zijn dan feiteijk aeen maar referentiewaarden die aangeven hoe de totae beasting over de twee koommen is verdeed. Voor het bepaen van de knikbeasting wordt het evenwicht in scheefstand onderzocht, zie figuur 3.a. In scheefstand kunnen de twee starre staven via pendestaaf BC krachten op ekaar uitoefenen. Ste in de pendestaaf werkt een normaakracht N. In figuur 3.b is pendestaaf BC vrij gemaakt en zijn de krachten getekend die in B en C werken op de starre staven in scheefstand. Let daarbij op de richting van de veerkrachten bij de aangenomen richting van de verpaatsing w. Figuur 3. Uit het momentenevenwicht van beide staven om respectieveijk A en D vindt men: T A = nf w k w + N = T D = nf w k w N = C. Hartsuijker en J.W. Weeman

74 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Dee de eerste vergeijking door 1 en de tweede door : F1 n w k1w + N = 0 1 F n w kw N = 0 De onbekende normaakracht N in pendestaaf BC is nu te eimineren door beide vergeijkingen bij ekaar op te teen. Men vindt: F1 F n( + ) w ( k1 + k) w = 0 1 Hieruit vogt voor w 0 de beastingfactor n waarbij knik optreedt: n = k1 + k F F Beast men sechts één van beide staven, bijvoorbeed aeen staaf AB, zie figuur 3.3, dan is F = 0 en vindt men: of: k + k ( k + k ) n = = F1 F F = nf = ( k + k ) k; (3.1) Figuur 3.3 Deze waarde is groter dan de knikast k 1 1 van de individuee staaf AB. Staaf AB onteent hier dus een dee van zijn stabiiteit aan de stijfheid van de veer bij staaf CD. Dat kan men ook direct zien aan uitdrukking (3.1) voor n. De knikbeasting bijkt hier afhankeijk van de som van de veerstijfheden ( k1 + k) en niet van de verdeing van die stijfheden over beide veren. Het systeem in figuur 3.4b, met een enkee veer en veerstijfheid ( k1 + k), eidt dus tot dezefde knikbeasting as het systeem in figuur 3.4a C. Hartsuijker en J.W. Weeman 67

75 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Figuur 3.4 Opmerking: De ongunstigste situatie treedt op as de totae beasting op de kortste staaf staat. In dat geva heeft n een minimum. Hebben beide staven dezefde engte, zoas in figuur 3.5a, dan vereenvoudigt de uitdrukking (3.1) voor n tot: ( k1 + k) n = F + F 1 Figuur 3.5 In de noemer komt nu de som van de staafbeastingen voor. Bijkbaar maakt het voor de knikbeasting nu niet meer uit hoe de totae beasting over de verschiende staven is verdeed. Voor het bepaen van de knikbeasting kan men het systeem in figuur 3.5a vervangen door een enkee verend gesteunde staaf met daarop de totae beasting en een veerstijfheid die geijk is aan de som van de veerstijfheden, zie figuur 3.5b. Onderzoekt men het knikgedrag van meer dan twee gekoppede staven, zoas in figuur 3.6a, dan vindt men: k1 + k + k ki n = = F1 F F3 Fi i Uit deze uitdrukking komt naar voren dat met name op grote druk beaste korte staven een ongunstige invoed hebben op de knikbeasting van het systeem. Een staaf met reatief keine engte en reatief grote beasting F eidt in de noemer van (3.) tot een naar verhouding grote waarde van F / waardoor n sterk kan (3.) C. Hartsuijker en J.W. Weeman

76 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN afnemen. De ongunstigste situatie treedt op as de totae beasting op de kortste staaf staat. n k heeft dan een minimum. Figuur 3.6 Opmerking: In de praktijk za men atijd beducht moeten zijn voor op grote druk beaste korte pendestaven. Hebben ae staven dezefde engte zoas in figuur 3.6c, dan vereenvoudigt uitdrukking (3.) tot: ( k i ) n = F i Het systeem kan men weer vervangen door een enkee verend gesteunde staaf met daarop de totae beasting Fi, en een veerstijfheid die geijk is aan de som van de stijfheden van de afzonderijke veren, zie figuur 3.6d. k i (3.3) Opmerking: Ook as de staven verschiende engte hebben kan men voor het berekenen van de knikbeasting het systeem vervangen door een enkee verend gesteunde staaf, maar dan moet men we de beasting aanpassen. Heeft de enkee staaf heeft een (referentie)engte 0, dan moet de totae beasting Fi F i worden vervangen door een aangepaste beasting 0, zie figuur 3.6b. Voor de staven anger dan 0 wordt de beasting verminderd, voor staven korter dan 0 wordt de beasting vergroot. Dit aatste wijst er weer op dat op druk beaste korte staven de grootte van de knikbeasting in ongunstig zin beïnvoeden. i C. Hartsuijker en J.W. Weeman 69

77 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor de knikast van de staaf in figuur 3.6b gedt 1 : F = k k 0 Hiermee vindt men voor de beastingfactor n waarbij de staaf uitknikt: Fk k0 ( k i ) 0 k n = = = = i F F Fi Fi 0 i Dit is in overeenstemming met de hiervoor afgeeide uitdrukking (3.). i Opmerking: Voor de knikbeasting maakt het geen verschi of de staven a of niet met hun top op geijke hoogte iggen, zie figuur 3.7. Figuur 3.7 Van de constructie in figuur 3.7c, met staaf BC onder 45, is in figuur 3.8 staaf AB in scheefstand getekend. As in BC een normaakracht N werkt wordt de vergeijking voor het momentenevenwicht van AB om A: T A = F w k w N w + N = Figuur Zie uitdrukking (.1) in paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman

78 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voor w is de derde term zeer kein ten opzichte van de vierde en mag deze worden verwaaroosd, zodat in de evenwichtsvergeijking aeen de horizontae component van de koppestaaf voorkomt: F 1 1 w k1w 1 + N 1 = 0 Voor de knikbeasting maakt het dan ook niet uit of de koppestaven horizontaa of onder een heing staan. Koppeing van twee staven in ekaars verengde. Een andere manier waarop twee knikstaven kunnen worden gekopped is in ekaars verengde, zoas in figuur 3.9a. Figuur 3.9 Voor het berekenen van de knikast heeft het systeem in figuur 3.9b in scharnier S een uitwijking w gekregen. In de veer heeft zich dan een terugdrijvende kracht kw ontwikked. Uit het momentenevenwicht van de gehee constructie om respectieveijk A en B vindt men de horizontae opegreacties. Deze waarden zijn in de figuur bijgeschreven. Het momentenevenwicht van BS om S vereist 1 : T = F w kw = 0 BS 1 S 1 + Hieruit vindt men voor w 0 de knikast F k : k 1 k F k = = Men kan ook kiezen voor het momentenevenwicht van AS om S. Dat eidt tot hetzefde resutaat C. Hartsuijker en J.W. Weeman 71

79 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Hoewe uiterijk sterk verschiend is het knikprobeem van de twee staven in figuur 3.10a, die in ekaars verengde iggen, in wezen geijk aan het knikprobeem van de twee naast ekaar gepaatste paatste staven in figuur 3.10b. Figuur 3.10 Beide staven worden op druk beast door een kracht F en zijdeings gesteund door een transatieveer met stijfheid k. Voor het systeem in figuur 3.10b gedt: k 1 = 0; k = k en F1 = F = F Deze waarden gesubstitueerd in uitdrukking (3.1) voor de beastingfactor n waarbij knik optreedt, eidt tot: of: k1 + k k 1 k n = = = F1 F F F F F k = nf = k Dit is in overeenstemming met wat eerder werd gevonden voor de knikast van de twee staven in ekaars verengde C. Hartsuijker en J.W. Weeman

80 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3. Verend ingekemde staven De aanpak bij gekoppede verend ingekemde staven is vergeijkbaar met die in paragraaf 3.1 voor door transatieveren gesteunde staven. Daarom wordt de behandeing sechts in beknopte vorm gepresenteerd. In figuur 3.11 zijn de twee verend ingekemde starre staven AB en CD gekopped door pendestaaf BC. Ae benodigde gegevens kunnen aan de figuur worden onteend 1. n is weer de beastingfactor waarbij instabiiteit optreedt. Figuur 3.11 As vrijheidsgraad wordt de uitwijking w gekozen, zie figuur 3.1a. In figuur 3.1b zijn de staven AB en CD vrijgemaakt van BC en in scheefstand getekend, met de krachten die er in B en C op werken en de momenten in A en D. Er is aangenomen dat in BC een normaakracht N werkt. Figuur Omdat in deze paragraaf aeen maar rotatieveren voorkomen en verwarring met transatieveren is uitgesoten, wordt voor de stijfheid k r van een rotatieveer de vereenvoudigde notatie k gehanteerd C. Hartsuijker en J.W. Weeman 73

81 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Uit het momentenevenwicht van AB en CD om respectieveijk A en D vogt: AB w T A = nf1 w + N 1 k1 = 0 CD w T D = nf w N k = 0 Na eimineren van de normaakracht N vindt men: n ( F + F ) w ( k + k ) w = Voor w 0 vogt hieruit voor de beastingfactor n waarbij knik optreedt : n = k k + F F Of, meer agemeen, bij meer dan twee staven, zie figuur 3.13a: k n = Fi i i i 1 (3.4) (3.5) Figuur 3.13 Hebben ae staven dezefde engte zoas in figuur 3.13c, dan vereenvoudigt deze uitdrukking tot: 1 ki n = (3.6) F i C. Hartsuijker en J.W. Weeman

82 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Men kan het systeem dan weer vervangen door een enkee verend ingekemde staaf waarop de totae beasting Fi aangrijpt, en een stijfheid van de verende inkemming die geijk is aan de som ki van de afzonderijke veerstijfheden, zie figuur 3.13d. Opmerking: Ook as de staven ongeijk van engte zijn kan men het systeem voor het bepaen van de knikbeasting vervangen door een enkee verend ingekemde staaf, maar dan dient men zowe de beasting as de veerstijfheden aan te passen, afhankeijk van de (referentie)engte 0 van deze staaf, zie figuur 3.13b: Fi F = k k = i i i 0 0 Opmerking: In de vergeijking voor het momentenevenwicht van een staaf in scheefstand speet het aangrijpingspunt van het terugdrijvend moment M = kϕ geen ro. Dit betekent dat het voor het berekenen van de knikbeasting niet uitmaakt of de rotatieveren boven of onder aan de staaf zitten. Opmerking: Voor de knikbeasting maakt het geen verschi of de koppestaven a of niet horizontaa open 1, zie figuur Figuur 3.14 Koppeing van twee staven in ekaars verengde. De geede knikstaaf in figuur 3.15a bestaat uit de starre staven AC en BC die in C door midde van een rotatieveer met ekaar zijn verbonden. De afmetingen en wijze van opeggen en beasten vogen uit de figuur. 1 Zie ook de opmerkingen die hierover werden gemaakt in paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman 75

83 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Figuur 3.15 Het systeem heeft één vrijheidsgraad waarvoor de uitwijking w van C uit de rechtstand wordt gekozen, zie figuur 3.15b. Ten gevoge van deze uitwijking ondergaat AC een rotatie ϕ 1 en BC een rotatie ϕ : w ϕ 1 = en 1 w ϕ = In C roteren beide staven ten opzichte van ekaar over een hoek ϕ : w w ϕ = ϕ1 + ϕ = + 1 Bij een stijfheid k van de rotatieveer ontstaat hierdoor in de verende verbinding een buigend moment M: w w 1 1 M = kϕ = k( + ) = kw( + ) 1 1 De knikast F k vindt men as de beasting waarbij evenwicht is in uitgebogen stand. Uit het evenwicht van de vervormde constructie in zijn gehee vindt men dat de horizontae opegreacties in A en B nu zijn. Het momentenevenwicht om C van AC en BC eiden vervogens tot dezefde vergeijking, zie figuur 3.15b: 1 1 T C = F w M = Fw kw( + ) = 0 Voor w 0 vogt hieruit de knikast F k : 1 1 Fk = k( + ) C. Hartsuijker en J.W. Weeman

84 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Opmerking: Anders dan voor het systeem met transatieveer in figuur 3.16a 1 bestaat er voor het systeem met rotatieveer in figuur 3.16b geen equivaent waarbij de gekoppede knikstaven naast ekaar staan. Dat is we het geva as de rotatieveren as verende inkemmingen worden toegepast, zie figuur Figuur 3.16 Figuur Behanded aan het einde van paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman 77

85 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA Enkee uitgewerkte voorbeeden De berekening van de knikbeasting voor een systeem van gekoppede knikstaven wordt in deze paragraaf nader geïustreerd aan de hand van ef voorbeeden. Van de verschiende aspecten die daarbij aan de orde komen worden genoemd: het stabiee evenwicht van een kinematisch onbepaade constructie (voorbeed 1); de combinatie van transatie en rotatieveer (voorbeed ); het bepaen van de veerstijfheid (de voorbeeden 3, 6 en 9); de gunstige invoed van op trek beaste pendestaven op de stabiiteit van het evenwicht (de voorbeeden 1 en 8); okae en gobae instabiiteit (voorbeed 10); het toepassen van eerder afgeeide formues (de voorbeeden 3 t/m 8); het geva van rotatie-instabiiteit (voorbeed 11) C. Hartsuijker en J.W. Weeman

86 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voorbeed 1 In figuur 3.18 is een homogeen rechthoekig bok in C en D opgeegd op twee verticae pendestaven van verschiende engte. Het bok heeft een eigen gewicht G en wordt verder in E beast door een verticae kracht F. De afmetingen vogen uit de figuur. Figuur 3.18 Gevraagd: De waarden van F waarvoor het evenwicht van deze kinematisch onbepaade constructie stabie is. Uitwerking: Bij een verticae stand van de pendestaven vogt uit het momentenevenwicht van het bok om respectieveijk C en D dat pende AC op trek wordt beast en pende BD op druk, zie figuur 3.19a: AC N BD = + F N = ( F + G) Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 79

87 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Het bok is in deze stand in evenwicht. Om de aard van het evenwicht te onderzoeken wordt het bok een keine horizontae uitwijking w opgeegd, zie figuur 3.19b. Door de scheefstand van de pendes ontstaan er tussen de pendes en het bok horizontae interactiekrachten. De grootte en richting van deze krachten kan men afeiden uit het momentenevenwicht om respectieveijk A en B van de pendes in scheefstand. De op trek beaste pende AC oefent in scheefstand een terugdrijvende kracht op het bok uit: terugdrijvende kracht: w F a De op druk beaste pende BD oefent in scheefstand op het bok een wegdrijvende kracht uit: w wegdrijvende kracht: ( F + G) 3 a Het evenwicht is stabie as de terugdrijvende kracht groter is dan de wegdrijvende kracht, dus as: waaruit vogt: w w F > ( F + G) a 3 a F > G Dit is de gevraagde voorwaarde voor stabie evenwicht. Het evenwicht is abie as F < G en neutraa as F = G. Opmerking: Het evenwichtssysteem onteent zijn stabiiteit aan de op trek beaste pendestaaf. Agemeen kan worden gested dat in een systeem van gekoppede knikstaven de op trek beaste pendestaven een gunstige invoed hebben op de stabiiteit van het evenwicht C. Hartsuijker en J.W. Weeman

88 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voorbeed Gegeven de constructie in figuur 3.0a. Voor de veerstijfheden gedt k r = 8000 knm/rad en k t = 1000 kn/m. De overige gegevens kunnen aan de figuur worden onteend. Gevraagd: De knikast F k. Figuur 3.0 Uitwerking: Van de beasting op rege BC komt 5 F terecht bij koom AB en 3 F bij koom 5 CD. De knikkracht is de beasting waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Om deze te vinden wordt aan rege BC een uitwijking w opgeegd. In figuur 3.0b zijn AB en CD in scheefstand getekend, vrijgemaakt van rege BC. In A werkt op AB een inkemmingsmoment M: w w M = krϕ = kr = (8000 knm) = (000 kn) w (4 m) (4 m) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 81

89 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 In C werkt op CD een horizontae kracht H: H = k w = (1000 kn/m) w t Verder is uitgegaan van een onbekende trekkracht N in rege BC. Het momentenevenwicht van AB om A eidt tot: AB T A = F w + N (4 m) (000 kn) w = 0 5 Het momentenevenwicht van CD om D eidt tot: CD 3 T D = F w N (4 m) (1000 kn/m) w (4 m) = 0 5 De knikast vindt men door N te eimineren uit beide evenwichtsvergeijkingen. Vermenigvudig bijvoorbeed de eerste vergeijking met 15 en de tweede met 15: 6 Fw + N (60 m) (30 10 kn) w = 0 9 Fw N (60 m) (60 10 kn) w = 0 en te beide bij ekaar op: 15 Fw (90 10 kn) w = 0 dan vindt men hieruit voor w 0 : kn F = Fk = = 6000 kn 15 Dit is de gevraagde knikast. 3 3 M H C. Hartsuijker en J.W. Weeman

90 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voorbeed 3 De constructie in figuur 3.1a onteent haar kinematisch bepaadheid aan twee kruisschoren in de vorm van dunne staen strippen die aeen trekkrachten kunnen opnemen. De rekstijfheid van deze strippen is EA. De koommen en reges mogen as oneindig buig- en rekstijf worden opgevat. Gevraagd: De knikbeasting F k. Figuur 3.1 Uitwerking: As het systeem uitknikt za de rege horizontaa verpaatsen, zie figuur 3.1b. Bij een verpaatsing naar rechts ontwikket zich in schoor AB een trekkracht die de optredende verpaatsing tegenwerkt. De andere schoor komt sap te hangen. Het gedrag van schoor AB kan worden geschematiseerd tot dat van een horizontae transatieveer in B. De stijfheid van de veer vindt men as het quotiënt van de horizontae component H van de kracht in de schoor en de horizontae verpaatsing w van de rege. Om de horizontae verpaatsing w van B te kunnen vogen moet AB met een bedrag verengen. Uit figuur 3.a kan men afeiden dat: = 4 5 w Ten gevoge van deze verenging ontstaat in de schoor een normaakracht N: EA 4 EA N = = w C. Hartsuijker en J.W. Weeman 83

91 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De horizontae component H van deze kracht is, zie figuur 3.b: 4 16 EA H = N = w 5 15 Figuur 3. Voor de stijfheid k van de horizontae transatieveer in B betekent dat: H k = = w EA De geschoorde constructie in figuur 3.1a is hiermee hereid tot het systeem in figuur 3.3a. Omdat ae koommen dezefde engte hebben kan men dit systeem vervangen door de enkee koom in figuur 3.3b, met een beasting 4F. Voor de knikast van deze enkee koom gedt 1 : waaruit vogt: 16 EA 48 4Fk = k 3 = 3 = EA F k 1 = EA 15 Figuur Zie paragraaf.1.1, formue (.1) C. Hartsuijker en J.W. Weeman

92 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voorbeed 4 Gegeven de constructie in figuur 3.4, met aemaa oneindig stijve staven. Figuur 3.4 Gevraagd: De veerstijfheid k waarbij het evenwicht stabie is. Uitwerking: De beastingfactor n waarbij knik optreedt is te berekenen met (3.): k n = = 400 kn 600 kn 600 kn 400 kn m 6 m 4 m m k k = = ( ) kn/m 500 kn/m Het evenwicht is stabie as n > 1, ofwe: k n = > kn/m Hieruit wordt voor de veerstijfheid gevonden: k > 500 kn/m Opmerking: As n = 1 is de aanwezige beasting geijk aan de knikbeasting. As n < 1 is de aanwezige beasting groter dan de knikbeasting. De aanwezige beasting moet (met de factor n < 1) immers worden gereduceerd om tot de knikbeasting te komen. Het evenwicht is dus instabie voor n < 1. As n > 1 is de aanwezige beasting keiner dan de knikbeasting. De aanwezige beasting moet (met de factor n > 1) worden vergroot om tot de knikbeasting te komen. Het evenwicht is stabie voor n > C. Hartsuijker en J.W. Weeman 85

93 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Opmerking: In dit voorbeed is duideijk te zien dat de kortere staven een reatief grote invoed hebben op de vereiste veerstijfheid. Opmerking: Bij de uitwerking is gebruik gemaakt van formue (3.). Gebruik echter nooit formues waarvan de achtergrond niet wordt begrepen C. Hartsuijker en J.W. Weeman

94 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voorbeed 5 Het spant in figuur 3.5a is opgebouwd uit aemaa oneindig stijve staven die ondering scharnierend zijn verbonden. De randkoommen zijn scharnierend opgeegd. De middenkoom is verend ingekemd met veerstijfheid k r. De afmetingen kunnen uit de figuur worden afgeezen. Op de reges werkt een geijkmatig verdeede beasting q. Houdt in de numerieke uitwerking aan: a = 1 m en k r = 1440 knm/rad. Gevraagd: De knikbeasting q k. Figuur 3.5 Uitwerking: Van de verdeede beasting op de reges komt 3qa terecht bij iedere randkoom en 6qa bij de middenkoom, zie figuur 3.5b. Voor het berekenen van de knikbeasting wordt het evenwicht van het spant in scheefstand onderzocht. Ae koommen ondergaan dan dezefde rotatie θ. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 87

95 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 In figuur 3.6 zijn de koommen in een scheefstand getekend met ae krachten die er in D, E en F op werken. Daarbij is aangenomen dat in DE en EF de nog DE EF onbekende normaakrachten N en N werken. Verder is in de figuur het inkemmingsmoment M B = krθ getekend. Het momentenevenwicht van de drie koommen evert drie vergeijkingen: AD DE T A = 3qa 4aθ + N 4a = 0 BE DE EF B θ T = 6qa 4a N 4a + N 4a k θ = 0 CF EF T C = 3qa 4aθ N 4a = 0 De onbekende normaakrachten zijn eenvoudig te eimineren door ae drie de vergeijkingen bij ekaar op te teen 1 : Met 1qa 4aθ k θ = 0 r a = 1 m en k r = 1440 knm/rad vindt men hieruit voor de knikbeasting q k : q k 1440 knm = = = 30 kn/m 48a 48 (1 m) r k Aternatieve aanpak (m.b.v. eerder afgeeide formues) Omdat ae koommen dezefde engte hebben kan men hier gebruik maken van uitdrukking (3.6): waaruit vogt: 1 1 ki k q r k 4 kr n = = = a = q F 1qa 48qa q k = = 30 kn/m 48a r k i In dit geva met geijke koomengten had men het spant ook kunnen vervangen door één enkee verend ingekemde staaf waarop de totae beasting staat, zie figuur 3.7. Hiervoor gedt 3 : k r F k = Dit eidt hier tot: kr 1qka = 4a waaruit weer vogt: r 1 Dat gaat zo eenvoudig omdat ae koommen dezefde engte hebben. Zie paragraaf 3., na formue (3.6). 3 Zie paragraaf.1., formue (.) C. Hartsuijker en J.W. Weeman

96 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN q k = = 30 kn/m 48a r k Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 89

97 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 6 Gegeven het in figuur 3.8 getekende spant. De koommen zijn oneindig stijf. De 3 reges DE en EG hebben een buigstijfheid EI = knm. De reges zijn stijf verbonden met de randkoommen en scharnierend met de middenkoom. Beasting en afmetingen vogen uit de figuur. Houdt in de berekening aan a = 1 m. Gevraagd: De knikast F k. Figuur 3.8 Uitwerking: In figuur 3.9a is het spant in uitgebogen stand getekend. Ae koommen ondergaan dezefde rotatie θ. Vanwege de stijve hoekverbindingen moeten de reges deze rotatie in D en G vogen. Hierdoor worden momenten M opgewekt die zijn te berekenen met vergeet-mij-nietjes, zie figuur 3.9b: 3EI M = 4a θ (3.7) In figuur 3.9c zijn de koommen vrijgemaakt van de reges en zijn ae krachten en momenten getekend die er in D, E en G op werken. Daarbij is aangenomen dat DE in rege DE nog een normaakracht N kan werken en in rege EG een EG normaakracht N. De vergeijkingen voor het momentenevenwicht van de koommen in scheefstand uiden: AD DE T A = F 3aθ M + N 3a = 0 BE DE EG T B = F 3aθ N 3a + N 3a = 0 CG EG T C = F 3aθ M N 3a = C. Hartsuijker en J.W. Weeman

98 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN DE EG De onbekende normaakrachten N en N kan men eenvoudig eimineren door de drie evenwichtsvergeijkingen bij ekaar op te teen 1. Men vindt dan: 3EI 1Fθ M = 1Fθ θ = 0 4 Voor θ 0 vogt hieruit de gevraagde knikast: F k 3 1 EI knm = = = 5000 kn 8 8 (1 m) Figuur Dat gaat zo eenvoudig omdat ae koommen dezefde engte hebben C. Hartsuijker en J.W. Weeman 91

99 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Aternatieve aanpak (m.b.v. eerder afgeeide formues) De constructie had men ook kunnen schematiseren tot het starre-staaf-systeem met rotatieveren in figuur 3.30a. De stijfheid van de rotatieveren vogt uit (3.7): 3 M 3EI 3 (40 10 knm ) 3 k = = = = knm ϕ 4a 4 (1 m) Figuur 3.30 Omdat ae koommen dezefde engte hebben kan men gebruik maken van de in paragraaf 3. afgeeide uitdrukking (3.6): Met: 1 k F k n = = F F = 3 m k i i r i i = k = knm F = 4F eidt deze uitdrukking tot: (60 10 knm) Fk (3 m) 5000 kn n = = = F 4F F waaruit men vindt: F k = nf = 5000 kn Omdat ae koommen even ang zijn kan men, voor het berekenen van de knikbeasting, de constructie vervangen door de enkee verend ingekemde staaf in figuur 3.30b, waarop de totae beasting staat en met een stijfheid van de verende inkemming die geijk is aan de som van de stijfheden van de afzonderijk rotatieveren 1. 1 Voor de grootte van de knikast maakt het niet uit of de rotatieveren boven of onderaan de staaf zitten, of daar ergens tussen in. Zie paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman

100 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voor de knikast van deze staaf gedt 1 : waaruit vogt: 3 kr knm 3 4Fk = = = 0 10 kn 3 m F = 5000 kn k Waarschuwing: Werk aeen met formues as ze worden begrepen! 1 Zie paragraaf.1.. formue (.) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 93

101 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 7 Gegeven de constructie in figuur 3.31, met aemaa oneindig stijve staven. Ae rotatieveren hebben dezefde stijfheid k = 700 knm/rad. Gevraagd: De beasting F k waarbij knik optreedt. Figuur 3.31 Uitwerking (m.b.v. een eerder afgeeide formue): Ae staven hebben dezefde engte. Voor de beastingfactor n waarbij knik optreedt kan men dan gebruik maken van uitdrukking (3.6) uit paragraaf 3.. Met in totaa vier rotatieveren en een totae beasting 6F vindt men: waaruit vogt: 1 1 k 4 (700 knm) F i k 6 m 800 kn n = = = = F F 6F F F k = nf = i 800 kn Opmerking: Net as in de vorige twee voorbeeden kan de constructie voor het berekenen van de knikbeasting worden geschematiseerd tot een enkee verend ingekemde staaf. Deze aanpak wordt nu aan de ezer overgeaten C. Hartsuijker en J.W. Weeman

102 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voorbeed 8 Gegeven de constructie in figuur 3.3, waaraan ae gegevens kunnen worden onteend. Ae staven zijn oneindig stijf. Gevraagd: De knikast F k. Figuur 3.3 Uitwerking: De beasting op het overstek in E is statisch equivaent met de beasting op de koommen in figuur 3.33a. Figuur 3.33 In figuur 3.33b zijn de koommen getekend nadat de rege een uitwijking w is opgeegd. Omdat de koommen van ongeijke engte zijn ondergaan ze verschiende rotaties. In C en D zijn de krachten getekend die op de koommen in scheefstand werken, waarbij is aangenomen dat in CD een normaakracht N werkt. Voor de door de verende inkemmingen geeverde momenten gedt: C. Hartsuijker en J.W. Weeman 95

103 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 w M A = (8000 knm) = (000 kn) w (4 m) w M B = (36000 knm) = (6000 kn) w (6 m) Uit het momentenevenwicht van de koommen in scheefstand vindt men: AC 1 T A = F w + N (4 m) (000 kn) w = 0 (3.8) BD 3 T B = + F w N (6 m) (6000 kn) w = 0 (3.9) Eimineer de onbekende normaakracht N door vergeijking (3.8) met zes te vermenigvudigen en (3.9) met vier en ze dan bij ekaar op te teen: 3 F w (36000 kn) w = 0 Hieruit vindt men voor w 0 de knikkracht: F = 1000 kn k Opmerking: De op trek beaste koom AC heeft een gunstige uitwerking op de stabiiteit van het evenwicht. De trekkracht zorgt immers voor een terugdrijvende werking, zie figuur 3.33b. Aternatieve aanpak (m.b.v. eerder afgeeide formues) Voor het berekenen van de knikbeasting van de constructie in figuur 3.33a kan men ook gebruik maken van de in paragraaf 3. afgeeide uitdrukking (3.5): k Fk n = = F Fi i i i De koombeastingen F i zijn hierin drukkrachten. In figuur 3.33a is de beasting op koom AC een trekkracht. Deze kracht moet daarom met een negatief teken in de formue worden ingevoerd: (8000 knm) (36000 knm) + Fk (4 m) (6 m) 1000 kn n = = = 1 3 F F F F + (4 m) (6 m) Voor de knikkracht vindt men hieruit de reeds eerder gevonden waarde: F = nf = 1000 kn k M M B A C. Hartsuijker en J.W. Weeman

104 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voorbeed 9 Gegeven de constructie in figuur 3.34a, waaraan ae benodigde informatie kan worden onteend. Houd in de numerieke uitwerking aan: k = 1500 knm/rad. C a = 1 m, EI = 3000 knm en Gevraagd: De knikast F k. Figuur 3.34 Uitwerking: De buigzame iggers AA' en BB' werken as rotatieveren zodat de constructie kan worden geschematiseerd tot een knikstaaf met drie rotatieveren, zie figuur 3.34b. De rotatieveren in A en B hebben dezefde veerstijfheid k. Hiervoor gedt, zie figuur 3.34c: M M EI 3000 knm k = = = = = 3000 knm θ M 3a a 1 m 3EI In figuur 3.35 is knikstaaf ACB in vervormde toestand getekend, met de momenten die in A, B en C op AC en BC werken C. Hartsuijker en J.W. Weeman 97

105 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Figuur 3.35 Uit het momentenevenwicht van ACB om A en B vogt dat er in A en B geen horizontae opegreacties zijn. De knikkracht kan men nu berekenen uit het momentenevenwicht van AC of BC, bijvoorbeed: BC C T = F 4aθ k θ k θ = 0 Voor θ 0 vindt men hieruit de knikkracht: F k k kc 3000 knm 1500 knm = + = + = 1500 kn 4a a 4 (1 m) (1 m) C Opmerking: Dat de horizontae opegreacties in A en B nu zijn is een gevog van het bijzondere feit dat de momenten die in A en B op ACB werken even groot en tegengested gericht zijn. Zou dat niet zo zijn, bijvoorbeed in het geva van ongeijke veerstijfheden in A en B, dan zijn de horizontae opegreacties in A en B niet meer nu en mogen deze niet worden vergeten in de vergeijking voor het momentenevenwicht C. Hartsuijker en J.W. Weeman

106 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Voorbeed 10 Gegeven het spant in figuur 3.36, met rotatieveren in B en C. In de berekening moet worden aangehouden a = 3 m. Figuur 3.36 Gevraagd: De knikbeasting F k in de vogende twee gevaen: a. k B = knm/rad en k C = 3000 knm/rad ; b. k B = knm/rad en k C = 4500 knm/rad. Uitwerking: Hier doet zich het probeem voor dat de constructie onder de gegeven beasting op twee manieren kan uitknikken, zie figuur Figuur 3.37 As de veerstijfheid in C vodoende kein is ten opzichte van die in B, dan za koom ACD uitknikken zoas is aangegeven in figuur 3.37a. Men noemt dit partiëe knik of okae instabiiteit. Dit in tegensteing tot gobae instabiiteit, waarbij het spant in zijn gehee uitknikt zoas in figuur 3.37b. Gobae instabiiteit treedt op as de veerstijfheid in C naar verhouding groot is ten opzichte van de veerstijfheid in B C. Hartsuijker en J.W. Weeman 99

107 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor het bepaen van de knikbeasting moeten beide mogeijkheden dus worden onderzocht. Partiëe knik of okae instabiiteit In figuur 3.38 is knikstaaf ACD in vervormde toestand getekend. Uit het momentenevenwicht van de constructie in zijn gehee vogt dat er in A en D geen horizontae opegreacties zijn. Voor het moment in C gedt: M C = k C θ Figuur 3.38 De knikast vindt men vervogens uit het momentenevenwicht van AC of CD. Hier wordt gekozen voor CD: CD C T = F aθ + k θ = 0 Voor θ 0 vogt hieruit: F k;part C moment in C kc = (3.10) a Gobae instabiiteit In figuur 3.39a is het spant in vervormde toestand getekend. Omdat in voorgaande voorbeeden a meerder keren een dergeijk probeem werd uitgewerkt wordt hier direct gebruik gemaakt van het feit dat men (omdat de koommen van geijke engte zijn) voor het berekenen van de bijbehorende knikast de constructie kan vervangen door de enkee verend ingekemde staaf in figuur 3.39b 1. Voor de knikast hiervan gedt : F k;gob kr kb = = a (3.11) 1 Zie paragraaf 3.. Zie uitdrukking (.) in paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman

108 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Figuur 3.39 De keinste van de gevonden waarden F k;part en F k;gob is de werkeijke knikast. a. k B = knm/rad en k C = 3000 knm/rad F F k;part k;gob kc (3000 knm) = = = 000 kn a (3 m) kb knm = = = 500 kn a (3 m) Partiëe knik is maatgevend; staaf ACD knik uit: Fk = Fk;part = 000 kn b. k B = knm/rad en k C = 4500 knm/rad. F F k;part k;gob kc (4500 knm) = = = 3000 kn a (3 m) kb knm = = = 750 kn a (3 m) Nu is gobae instabiiteit maatgevend; het spant knikt in zijn gehee uit: Fk = Fk;gob = 750 kn Opmerking: Nadere beschouwing eert dat het spant niet één, maar twee vrijheidsgraden heeft en dus feiteijk in het vogende hoofdstuk thuis hoort 1. De beschikbare kennis bijkt hier evenwe vodoende om het probeem op te kunnen ossen. 1 Dit probeem wordt daar nog een keer aan de orde gested in paragraaf 4.1, voorbeed C. Hartsuijker en J.W. Weeman 101

109 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 11 Van een gebouwtje met een regematige veehoek as pattegrond rust het dak in het midden op een koom en aan de omtrek op m pendestijen in de hoekpunten van de veehoek, zie figuur De veehoek heeft een omgeschreven cirke met straa r. Verder hebben middenkoom en pendes dezefde engte. De koom is zowe in het dak as in de fundering ingekemd en heeft een wringstijfheid GI w. De dakbeasting, inbegrepen het eigen gewicht, is geijkmatig verdeed. De totae dakbeasting is Q. Gevraagd: De dakbeasting Figuur 3.40 Q k waarbij rotatie-instabiiteit optreedt. Uitwerking: Van de totae dakbeasting komt eenderde op de middenkoom en tweederde op pendestijen aan de omtrek. Met in totaa m pendestijen is de verticae beasting per pendestij Q/ m. 3 Instabiiteit treedt op zodra ook in een geroteerde toestand evenwicht mogeijk is. Ste het dak roteert over een hoek ϕ waardoor ae pendes aan de top een uitwijking rϕ krijgen, zie figuur Is er in die stand evenwicht, dan moet op eke pende een horizontae kracht H werken waarvan de grootte en richting vogen uit het momentenevenwicht van de pende in scheefstand. Voor pende AB in figuur 3.41b moet geden: Q T A = r H 0 3 m ϕ = C. Hartsuijker en J.W. Weeman

110 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN Hieruit vogt: Qr H = 3m ϕ Figuur 3.41 Opmerking: Omdat een pendestaaf aeen maar een normaakracht kan overbrengen moet de resuterende kracht in B de richting van de staafas hebben. Op het dak werken even grote krachten H as op de pendestijen, maar dan tegengested gericht 1. Deze krachten wien de rotatie van het dak vergroten. Zij zorgen voor een wegdrijvend moment in het vak van het dak. Bij m pendestaven gedt: Qr Qr M wegdrijvend = m rh = m r 3m ϕ = 3 De ingekemde koom werkt as een veer een zorgt voor een terugdrijvend moment: M terugdrijvend GI = w ϕ Is het dak in geroteerde stand in evenwicht, dan moeten het wegdrijvend en terugdrijvend moment even groot zijn: Qr GI ϕ = 3 w ϕ ϕ 1 De krachten H zijn interactiekrachten tussen pendestijen en dak C. Hartsuijker en J.W. Weeman 103

111 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor ϕ 0 vindt men hieruit de gevraagde kritieke dakbeasting Q k waarbij rotatie-instabiiteit optreedt: Q 3GI w k = r Opmerking: As bijzonderheid vat hier op dat de knikbeasting onafhankeijk is van de engte van koom en pendestijen 1. Evenmin is de knikbeasting afhankeijk van het aanta pendestijen m. Opmerking: In paragraaf 1. werd as één van de knikvormen het geva van torsieknik genoemd. Het verschijnse van torsieknik in op druk beaste staven toont grote overeenkomst met dit voorbeed van rotatie-instabiiteit. Ook bij torsieknik is de knikast onafhankeijk van de staafengte. 1 Dit is een gevog van het feit dat de engte van de pendekoommen geijk is aan de engte van de ingekemde koom C. Hartsuijker en J.W. Weeman

112 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN 4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden Het knikprobeem van een starre-staaf-systeem met twee vrijheidsgraden wordt in paragraaf 4.1 toegeicht aan de hand van vier voorbeeden. In paragraaf 4. is een aanta vraagstukken opgenomen. 4.1 Enkee uitgewerkte voorbeeden Voorbeed 1 Verend gekoppede knikstaven Figuur 4.1 toont een systeem van twee gekoppede knikstaven AB en CD, waarbij de koppeing niet meer bestaat uit een starre staaf, maar uit een transatieveer. De staven AB en CD hebben dezefde engte en de drie veren hebben dezefde stijfheid k. Figuur 4.1 Het systeem heeft twee vrijheidsgraden. Om de stand van het vervormde systeem te beschrijven zijn immers twee parameters nodig. Hiervoor worden de verpaatsingen w in B en w in C gekozen. B C De knikbeasting is een beasting waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Om deze te berekenen zijn in figuur 4. de staven AB en CD in B en C vrijgemaakt en in scheefstand getekend, met de krachten die er in B en C op werken. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 105

113 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Hierbij is aangenomen dat wb < wc. In de veer tussen B en C ontstaat dan een trekkracht 1. Let goed op de richtingen van de veerkrachten. Uit het momentenevenwicht van de staven om respectieveijk A en D vindt men: AB A B B C B T = F w kw + k( w w ) = 0 CD D C C C B T = F w kw k( w w ) = 0 as vogt te herschrijven: ( F k) w + k w = 0 B B C C (4.1a) kw + ( F k ) w = 0 (4.1b) Dit is een stese van twee homogene vergeijkingen in de vrijheidsgraden w. C w B en De triviae nuopossing wb = wc = 0 is niet interessant omdat er naar evenwicht in uitgebogen stand wordt gezocht. Opossingen ongeijk nu bestaan aeen as de determinant van de coëfficiëntenmatrix nu is: of: Det = ( F k) ( k ) = 0 F 4 F( k) + 3( k ) = 0 Deze vierkantsvergeijking in F heeft twee opossingen: F1 = k en F = 3k Evenwicht in uitgebogen stand bijkt sechts mogeijk voor deze twee bijzondere waarden van F. De keinste waarde geeft de knikast: Fk = F1 = k Voor F < Fk keert het systeem steeds terug naar de nustand en is het evenwicht stabie, zie het ast-verpaatsing-diagram in figuur As wb > wc ontstaat in de veer tussen B en C een drukkracht k( wb wc ). De evenwichtsvergeijkingen veranderen hier niet door C. Hartsuijker en J.W. Weeman

114 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN Figuur 4.3 Voor F = Fk is er voor het eerst evenwicht in uitgebogen stand mogeijk en treedt een vertakkingspunt op in het gedrag van het systeem. De optredende knikvorm is bepaad door de verhouding wb/ w C die men vindt door de waarde van de knikast te substitueren in een van de evenwichtsvergeijkingen (4.1). Substitutie van F = Fk = k in bijvoorbeed evenwichtsvergeijking (4.1a) eidt tot: ( k k) wb + k wc = 0 F k Hieruit vindt men voor de knikvorm, zie figuur 4.4a: Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 107

115 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 wb 1 w = + C De grootte van de uitbuiging is onbepaad. Dit is inherent aan het feit dat met geineariseerde evenwichtsvergeijkingen wordt gewerkt. Deze zuen atijd eiden tot neutraa evenwicht. Op het werkeijke naknikgedrag wordt hier niet ingegaan. Voor F > Fk is het evenwicht in de nustand abie. Een tweede vertakkingspunt op treedt op as F = F = 3k. Ook dan is er evenwicht in uitgebogen stand mogeijk. De bijbehorende uitbuigingsvorm vindt men weer door F = F = 3k in een van de evenwichtsvergeijkingen te substitueren, bijvoorbeed in vergeijking (4.1a): (3 k k) wb + k wc = 0 F Hieruit vindt men voor de uitbuigingsvorm, zie figuur 4.4b: w w B C = 1 Opmerking: Het aanta vertakkingspunten in het gedrag van een constructie is geijk aan het aanta bijzondere waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Dit is aanta is geijk aan het aanta vrijheidsgraden van de constructie 1. Opmerking: De vergeijkingen (4.1) kan men (na tekenwisseing) op de vogende manier in matrixvorm schrijven: k k wb wb F = 0 k k w w C C In de verkorte notatie is dat: [ K ]{ w} F { w} = 0 en met behup van de eenheidsmatrix [ I ] ook te schrijven as: ([ K ] F [ I ]){ w} 0 Hierin is [ ] brengt en { } = (4.) K de stijfheidsmatrix die het gedrag van de veren tot uitdrukking w de vector die de uitbuiging beschrijft. F is de beasting en fungeert in deze betrekking as parameter. 1 Het aanta vertakkingspunten kan soms keiner zijn dan het aanta vrijheidsgraden. Dit doet zich voor as de karakteristieke vergeijking in F een aanta geijke wortes heeft C. Hartsuijker en J.W. Weeman

116 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN Het zoeken naar die waarden van F waarvoor (4.) een opossing { w} 0 heeft staat in de wiskunde bekend as een eigenwaardeprobeem. Zo n opossing is aeen mogeijk as de coëfficiëntendeterminant van (4.) nu is. Dit is sechts het geva voor een aanta bijzondere waarden van F, die de eigenwaarden worden genoemd. In het agemeen is het aanta eigenwaarden geijk aan het aanta vrijheidsgraden. De keinste eigenwaarde is de knikast. Bij eke eigenwaarde F i hoort een opossing { w } i, de zogenaamde eigenvector. Deze beschrijft de bijbehorende uitbuigingsvorm. De grootte van de uitbuiging bijft onbepaad. De knikvorm wordt gegeven door de eigenvector bij de keinste eigenwaarde. Concusie: Het geineariseerde knikprobeem kan worden beschreven as een eigenwaardeprobeem. De keinste eigenwaarde is de knikast. De knikvorm wordt gegeven door de eigenvector bij de keinste eigenwaarde C. Hartsuijker en J.W. Weeman 109

117 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed Twee in een buigigger ingekemde starre knikstaven In figuur 4.5a zijn de starre staven AB en CD stijf verbonden met buigigger BC. Ligger BC heeft een buigstijfheid EI en fungeert voor de starre staven as een verende inkemming. Afmetingen en beasting kunnen uit de figuur worden afgeezen. Figuur 4.5 De constructie heeft twee vrijheidsgraden, waarvoor de rotaties ϕ B en ϕ C van respectieveijk AB en CD worden gekozen, zie figuur 4.5b. Uit het vorige voorbeed kwam naar voren dat de knikkracht F k de keinste waarde van F is waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Bij evenwicht in uitgebogen stand gedt voor de staven AB en CD, zie figuur 4.6: M M B C = F ϕ (4.3a) B = F ϕ (4.3b) C Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

118 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN Met vergeet-mij-nietjes kan men voor BC de rotaties momenten M en M berekenen: B C M B M C ϕ B = + 3EI 6EI M B M C ϕ C = + 6EI 3EI ϕ B en ϕ C ten gevoge van de Met deze betrekkingen wordt feiteijk het gedrag van igger BC as verende inkemming beschreven. Substitueer hierin de uitdrukkingen (4.3) voor M en M : M B M C F F B = + = + B C ϕ ϕ ϕ 3EI 6EI 3EI 6EI M B M C F F C = + = B + C ϕ ϕ ϕ 6EI 3EI 6EI 3EI Uitwerking eidt tot een stese van twee homogene vergeijkingen in de vrijheidsgraden ϕ B en ϕ C : F F (1 ) ϕb + ϕc = 0 3EI 6EI F F ϕb + (1 ) ϕc = 0 6EI 3EI B C (4.4a) (4.4b) De triviae nuopossing ϕb = ϕc = 0 is niet interessant omdat naar het evenwicht in uitgebogen stand wordt gezocht. Opossingen ongeijk nu bestaan aeen as de determinant Det van de coëfficiëntenmatrix nu is: F F 1 F F Det = 1 = + 1 = 0 3EI 6EI 1 EI 3 EI Dit is een vierkantsvergeijking in F. Er zijn twee waarden van F die hieraan vodoen: EI 6EI F 1 = en F = De keinste waarde is de knikkracht: F EI = F = k 1 De grootte van de uitbuiging na uitknikken is onbepaad. De knikvorm igt we vast. Deze is bepaad door de verhouding ϕb/ ϕ C en vindt men door de waarde van F = Fk = EI/ in een van de evenwichtsvergeijkingen (4.4) te substitueren, bijvoorbeed in (4.4a): C. Hartsuijker en J.W. Weeman 111

119 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 F k k F ( EI/ ) ( EI/ ) 1 1 (1 ) ϕb + ϕc = ϕb + ϕc = 0 3EI 6EI 3 3 Hieruit vindt men: ϕb ϕ C = 1 De knikvorm is getekend in figuur 4.7a. Figuur 4.7 De uitbuigingsvorm bij de tweede eigenwaarde vindt men op dezefde manier: ϕb 1 ϕ = + C F = F = 6 EI/, zie figuur 4.7b, Figuur 4.8 toont het ast-verpaatsing-diagram. Het gedrag van de constructie heeft twee vertakkingspunten. Omdat werd gewerkt met geineariseerde evenwichtsvergeijkingen wordt na uitknikken neutraa evenwicht gevonden. Op het werkeijke naknikgedrag wordt hier niet ingegaan. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

120 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN Variant uitwerking De vergeijkingen (4.3) kan men in matrixvorm ook op de vogende manier schrijven: M B ϕb F = 0 (4.5) M ϕ C C Voor het verband tussen de momenten en rotaties in de einden van staaf BC werd eerder een betrekking afgeeid in paragraaf.3, voorbeed 9: 4EI EI M B ϕb = M C EI 4EI ϕc Substitueer deze betrekking in (4.5) en men vindt: 4EI EI ϕb ϕb F = 0 EI 4EI ϕc ϕc of in verkorte matrixnotatie: [ K ]{ ϕ} F { ϕ} = 0 Hierin is [ ] brengt en { } (4.6) K de stijfheidsmatrix die het gedrag van igger BC tot uitdrukking ϕ de vector die de uitbuiging beschrijft. F is de beasting en fungeert in deze betrekking as parameter. Met de eenheidsvector [ I ] kan men voor (4.6) schrijven: ([ K ] F [ I ]){ ϕ} = 0 (4.7) In deze vorm is het knikprobeem weer duideijk as een eigenwaardeprobeem te herkennen. Een opossing ongeijk nu bestaat aeen as de determinant van ([ K ] F [ I ]) nu is. Om deze te berekenen worden de vergeijkingen (4.7) uitgeschreven: 4EI EI ( F) ϕb + ϕc = 0 EI 4EI ϕb + ( F ) ϕc = 0 (4.8a) (4.8b) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 113

121 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor een opossing ongeijk nu moet dus geden: 4EI EI Det = ( F) ( ) = EI EI = ( F) 8( )( F) + 1( ) = 0 Deze vierkantsvergeijking in ( F ) eidt tot de twee reeds eerder gevonden eigenwaarden: EI 6EI F 1 = en F = (4.9) waarvan de keinste de knikkracht is: F EI = F = k 1 Door de gevonden eigenwaarden (4.9) in één van de vergeijkingen (4.8) te substitueren vindt men de bijbehorende eigenvectoren (uitbuigingsvormen), zie figuur 4.9: Figuur { ϕ1} ϕ + = 1 en 1 { ϕ} ϕ + = + 1 De knikvorm wordt beschreven door de eigenvector { ϕ 1} C. Hartsuijker en J.W. Weeman

122 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN Voorbeed 3 Een geede starre knikstaaf Het systeem in figuur 4.10 bestaat uit de geede starre knikstaaf ABC, gekopped aan een voedig ingekemde buigzame staaf. Afmetingen en beasting vogen uit de figuur. Figuur 4.10 Het systeem heeft twee vrijheidsgraden: Om de vervormde stand van de geede staaf voedig vast te eggen heeft men twee parameters nodig. Hiervoor worden de verpaatsingen w en w gekozen, zie figuur B C Figuur 4.11 De ingekemde buigzame staaf werkt as een veer. Met behup van vergeet-mijnietjes is het verband tussen de interactiekrachten HB; H C en de verpaatsingen w ; w te bepaen 1 : B C 1 De berekening wordt aan de ezer overgeaten C. Hartsuijker en J.W. Weeman 115

123 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 w w HB 5 HC 768 EI 40 EI B HB = w 3 B w 3 C C = + 4 EI 48 EI H B 1 H EI EI C = + H = w + w 48 EI 3 EI 7 7 C 3 B 3 C (4.10) Deze betrekkingen beschrijven het gedrag van de buigzame staaf as veer. Voor het bepaen van de knikkracht wordt van de geede staaf het momentenevenwicht in uitgebogen toestand onderzocht: BC T B = F ( wc wb ) HC = 0 ABC T A = FwC HB HC = 0 Substitutie van de uitdrukkingen (4.10) voor H B en H C in deze betrekkingen eidt tot een stese van twee homogene ineaire vergeijkingen in de vrijheidsgraden w en w : B C 10 EI 48 EI F + wb + F wc = EI 4 EI w B + F + w C = (4.11) De triviae nuopossing wb = wc = 0 is niet interessant omdat dit de rechtstand is en het evenwicht in een uitgebogen stand wordt gezocht. Opossingen ongeijk nu bestaan aeen as de determinant van de coëfficiëntenmatrix nu is: waarin: Det = F + a F + a F a a = EI a = Uitwerking eidt tot de vogende vierkantsvergeijking in F : De wortes zijn: 7F 40Fa + 576a = 0 F1 =,60a =,60 EI F = 31,69a = 31,69 EI C. Hartsuijker en J.W. Weeman

124 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN De keinste worte geeft de knikkracht: F k EI = F1 =,60 Voor F stabie. < F keert het systeem steeds terug naar de nustand en is het evenwicht k Voor F = Fk is er voor het eerst evenwicht in uitgebogen stand mogeijk en treedt een vertakkingspunt in het gedrag van het systeem op, zie figuur 4.1. Figuur 4.1 De knikvorm is getekend in figuur 4.13a. Deze is bepaad door de verhouding wc/ w B = 3,41 en wordt gevonden door terugsubstitutie van F = Fk =,60 EI/ in een van de vergeijkingen (4.11). De grootte van de uitbuiging is onbepaad. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 117

125 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor F > Fk is het evenwicht in de rechtstand abie. Een tweede vertakkingspunt treedt op as F = F, zie figuur 4.1. Ook dan is er evenwicht in uitgebogen stand mogeijk. De bijbehorende uitbuigingsvorm, getekend in figuur 4.13b, is bepaad door de verhouding wb/ w C = 0,59. Deze waarde vindt men weer door F = F = 31,69 EI/ in een van de vergeijkingen (4.11) te substitueren C. Hartsuijker en J.W. Weeman

126 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN Voorbeed 4 Spant met okae en gobae instabiiteit Van het spant in figuur 4.14 is koom BE verend ingekemd in B en bestaat koom ACD uit de twee in C verend met ekaar verbonden deen AC en CD. Gevraagd: De knikkracht F k. Figuur 4.14 Uitwerking: De constructie heeft twee vrijheidsgraden, waarvoor in figuur 4.15a zijn gekozen de verpaatsingen w en w in respectieveijk C en D. C D Figuur 4.15 Uit de geometrie van het vervormde spant kan men afeiden: w a w w a D D C θ B = en θc = C. Hartsuijker en J.W. Weeman 119

127 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor de momenten in B en C gedt: w M = k = k (4.1) D B Bθ B B a wd wc M C = kcθc = kc (4.13) a Ten gevoge van het moment in B ontstaat in DE een drukkracht M B /a, zie figuur 4.15b, waarin ACD apart is getekend. Voor ACD kunnen twee vergeijkingen voor het momentenevenwicht worden opgested: CD M B T C = F( wd wc ) a M C = 0 a ACD M B T A = FwD a = 0 a Substitueer hierin de uitdrukkingen (4.1) en (4.13) voor respectieveijk M B en M C en men vindt na het ordenen van de termen de vogende twee homogene vergeijkingen in de vrijheidsgraden w en w : kc kb kc F wc F wd 0 a + = 4a a B kb F w = a C D 0 Een opossing ongeijk nu bestaat aeen as de coëfficiëntendeterminant nu is: waaruit vogt: kc kb Det = F F 0 a = a F F 1 k = a C kb = a De keinste van beide is maatgevend en is de gevraagde knikkracht. (4.14) (4.15) Om de bijbehorende knikvormen te vinden worden de evenwichtsvergeijkingen (4.14) en (4.15) op de vogende manier geschreven. 1 ( ) ( ) F 1 F w C + F ( F 1 + F ) w D = 0 (4.16) ( ) F F w = (4.17) D C. Hartsuijker en J.W. Weeman

128 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN Knikvorm bij F = F1 < F Substitueer F = F1 in (4.17). As F1 F vindt men hieruit w D = 0. Vervogens vindt men voor F = F1 uit (4.16) dat de verpaatsing w C onbepaad is. De knikvorm is getekend in figuur 4.16a. Figuur 4.16 Knikvorm bij F = F < F1 Voor F = F vindt men uit (4.17) dat w D onbepaad is. Uit (4.16) vindt men, mits F1 F, de verhouding tussen de verpaatsingen in C en D: F 1 wc F ( F 1 + F ) 1 = = wd F1 F De knikvorm is getekend in figuur 4.16b. F C. Hartsuijker en J.W. Weeman 11

129 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Knikvorm as F = F1 = F Uit (4.16) en (4.17) vindt men dat de verpaatsingen w C en w D nu beide onbepaad en onafhankeijk van ekaar zijn. Een mogeijke knikvorm is getekend in figuur 4.16c. In feite bestaat de knikvorm nu uit een ineaire combinatie van de knikvormen in figuur 4.16a en b. Opmerking: In paragraaf 3.3, voorbeed 10, werd ditzefde voorbeed met numerieke waarden uitgewerkt. Knik vogens figuur 4.16a werd aangemerkt as okae instabiiteit en knik vogens figuur 4.16b as gobae instabiiteit C. Hartsuijker en J.W. Weeman

130 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5. Knik van buigzame staven basisknikgevaen Bij buigzame staven is het bekendste basisknikgeva de knikstaaf van Euer, zie figuur 5.1a. Dit knikprobeem wordt in paragraaf 5.1 opgeost met behup van een tweede orde differentiaavergeijking. Figuur 5.1 Om ook knikprobemen met astiger randvoorwaarden op te kunnen ossen wordt in paragraaf 5. een agemeen gedende vierde orde differentiaavergeijking voor prismatische staven afgeeid. De vierde orde differentiaavergeijking wordt in paragraaf 5.3 toegepast op het basisknikgeva in figuur 5.1b. Bij de opossing komt naar voren dat de knikvorm een sinus is die zich singert om de drukijn, waarbij de have gofengte de zogenaamde knikengte is. Hiermee kan men zonder vee rekenwerk voor nog een aanta basisknikgevaen de knikast vaststeen. Na een samenvatting in paragraaf 5.4 vogen in paragraaf 5.5 enkee voorbeeden waarin gebruik wordt gemaakt van vijf basisknikgevaen. Het hoofdstuk suit af met een aanta vraagstukken in paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman 13

131 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA Knikstaaf van Euer De vrij opgeegde buigzame prismatische staaf in figuur 5.a wordt op druk beast door een kracht F. De werkijn van F vat samen met de staafas, zodat de rechtstand een evenwichtsstand is. Figuur 5. Het evenwicht in de rechtstand is stabie as de staaf in eke wiekeurige (kinematisch mogeijke) naburige configuratie de neiging heeft naar deze stand terug te keren. De stabiiteitsgrens wordt bereikt zodra voor de keinste waarde van F evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. Een probeem hierbij is de uitbuigingsvorm. Er zijn oneindig vee kinematisch mogeijke uitbuigingsvormen in de omgeving van de rechtstand. In dit verband is de staaf op te vatten as een systeem met oneindig vee vrijheidsgraden (vervormingsmogeijkheden). Ter vereenvoudiging wordt aangenomen dat de uitbuiging za optreden in het x-z-vak, waarbij de x-as samenvat met de staafas in rechtstand. Deze aanname impiceert dat de z-as samenvat met een hoofdtraagheidsrichting van de doorsnede. Aan het einde van deze paragraaf wordt hierop teruggekomen. Ste de in figuur 5.b geschetste uitgebogen stand is een evenwichtsstand. Uit het momentenevenwicht van de vervormde staaf in zijn gehee vogt dat de verticae opegreacties in de opeggingen nu zijn. As de uitgebogen stand een evenwichtsstand is dan moet ek dee van de staaf in evenwicht zijn, zie figuur 5.c. Het buigend moment M in de snede is een gevog C. Hartsuijker en J.W. Weeman

132 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN van de verbuiging uit de rechtstand 1. In de snede werkt verder een horizontae drukkracht F (horizontaa krachtenevenwicht). In de snede werkt geen verticae kracht (verticaa krachtenevenwicht). Uit het momentenevenwicht van het staafdee in figuur 5.c vogt: M Fw = 0 (5.1) Voor een ineair eastische staaf met buigstijfheid EI gedt: M = EIw Substitutie van deze uitdrukking voor M in evenwichtsvergeijking (5.1) eidt voor een prismatische staaf tot een homogene ineaire differentiaavergeijking van de tweede orde met constante coëfficiënten: EIw + Fw = 0 (5.) De coëfficiënten EI en F heten constant omdat zij onafhankeijk van x zijn. De differentiaavergeijking is homogeen omdat in ae termen de nog onbekende functie w = w( x) voorkomt. Behave aan de differentiaavergeijking moet de verpaatsing w ook vodoen aan twee kinematische randvoorwaarden: w = 0 in x = 0 w = 0 in x = Deze randvoorwaarden zijn eveneens homogeen. Een homogene differentiaavergeijking met homogene randvoorwaarden heeft atijd de triviae nuopossing. Van nu verschiende opossingen bestaan aeen voor bepaade waarden van F. Deze waarden heten in de wiskunde eigenwaarden; de bijbehorende opossingen w heten eigenfuncties. Het knikprobeem manifesteert zich dus opnieuw as een eigenwaardeprobeem. Ste: F α = (5.3a) EI Hiermee kan men voor differentiaavergeijking (5.) schrijven: Door hierin w + α w = 0 (5.3b) t tx w = e te substitueren vindt men de karakteristieke vergeijking: + α = 0 1 De positieve richtingen van zowe het buigend moment M as de verpaatsing w zijn gereateerd aan het x-z-assenstese. In de figuur moeten ze in hun positieve richting getekend worden! C. Hartsuijker en J.W. Weeman 15

133 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De twee wortes zijn: t1, = ± αi met α = F EI De opossing van de differentiaavergeijking is daarmee: α xi 1 w = C e + C e α xi Met behup van de formue van Euer 1 : a+ bi a ( ) e = e cosb + isin b met a, b R kan de opossing worden omgewerkt tot: w = C cosα x + C sinα x (5.4) 1 De randvoorwaarden w = 0 in x = 0 en x = eiden tot een homogeen stese vergeijkingen: 1 0 C1 = 0 cosα sinα C Onmiddeijk is te zien dat C 1 = 0 en dat een opossing met C 0 aeen mogeijk is as: sinα = 0 Dit is het geva as: α = 0, ± π, ± π,... Negatieve waarden van α veranderen sechts het teken van de constante C en kunnen buiten beschouwing bijven. De waarde α = 0 eidt tot de triviae opossing w( x ) = 0 voor F = 0 ; dit is de onbeaste staaf in de rechtstand. Niet-triviae opossingen zijn dus aeen mogeijk voor: dus as: nπ α = met n = 1,,... n n F = α EI = n n π EI De bij deze eigenwaarden F n behorende uitbuigingsvormen van de staaf (eigenfuncties) zijn: 1 Leonhard Euer ( ) was een vooraanstaand en uiterst veezijdig Zwitsers wiskundige. Werd geboren in Base en overeed in St. Petersburg waar hij een groot dee van zijn even woonde en werkte. Heeft 886 pubicaties op zijn naam staan C. Hartsuijker en J.W. Weeman

134 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN nπx wn = Cn sinαnx = wˆ n sin waarin w ˆ n een ampitude van onbepaade grootte is, zie figuur 5.3. Figuur 5.3 De knikkracht is de keinste waarde van F waarbij de staaf in uitgebogen stand in evenwicht is: F π EI = F = (5.5) k 1 Deze keinste eigenwaarde wordt de knikkracht van Euer 1 genoemd. De gevaen n =, 3,... hebben geen praktische betekenis, tenzij de staaf op één of meer paatsen door een tussensteunpunt wordt verhinderd zijdeings te verpaatsen. Bij een prismatische staaf is het gebruikeijk de afstand tussen twee opeenvogende buigpunten in de knikvorm (momentennupunten) de knikengte k te noemen. Voor de knikstaaf van Euer gedt k =, zie figuur 5.3 voor het geva n = 1. De knikkracht wordt bepaad door de geometrische grootheden en I en de easticiteitsmoduus E. De knikkracht is onafhankeijk van de sterkte van het materiaa. 1 De formue van Euer voor de knikast van een koom is een van de bekendste formues in de mechanica. Euer eidde de formue in 1757 af en pubiceerde deze in Overigens had de Nederander Petrus van Musschenbroek ( ), werkend in Utrecht en ater Leiden (en uitvinder van de Leidse fes), experimentee a vastgested dat de knikast omgekeerd evenredig moest zijn met het kwadraat van de staafengte C. Hartsuijker en J.W. Weeman 17

135 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Twee uiterijk geijke drukstaven, de een van normaa staa en de ander van hoogwaardig staa, knikken uit bij dezefde drukkracht omdat beide materiaen dezefde easticiteitsmoduus hebben gested dat tot aan het ogenbik van uitknikken beide staven binnen het ineair eastische gebied bijven, zie figuur 5.4. Figuur 5.4 Opmerking: Omdat de knikast evenredig is met de buigstijfheid EI van de staaf kan men weer steen dat het knikprobeem een stijfheidsprobeem is. Voor π EI F < F = is het evenwicht in de rechtstand stabie. k Voor F = Fk is er ook evenwicht in een uitgebogen stand (de knikvorm) mogeijk. Het evenwicht na uitknikken is neutraa. Voor F > F is het evenwicht in de rechtstand abie. k Het gedrag van de staaf vertoont in de rechtstand w = 0 oneindig vee vertakkingspunten 1 : F n = n π EI In figuur 5.5 is het staafgedrag weergegeven in een F-w ˆ -diagram, waarbij ŵ de ampitude van de sinusvormige uitbuiging voorstet. 1 Dit is in overeenstemming met het oneindig grote aanta vrijheidsgraden dat een buigzame staaf heeft C. Hartsuijker en J.W. Weeman

136 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Figuur 5.5 Van het oneindig grote aanta vertakkingspunten in de rechtstand w = 0 zijn er sechts twee getekend. De horizontae tak op de stabiiteitsgrens F = Fk stemt overeen met de karakteristiek van het neutrae evenwicht. Nauwkeuriger berekeningen tonen aan dat het evenwicht na uitknikken niet neutraa, maar stabie is 1. Het stabiee naknikgedrag van de staaf heeft voor de praktijk overigens geen betekenis. Opmerking: Zou de staaf niet in een pat vak uitknikken, dan kan de uitbuiging atijd worden ontbonden in de twee verpaatsingscomponenten v en w in de hoofdrichtingen y en z van de doorsnede, zie figuur 5.6. Figuur 5.6 Zijn de opeggingen as boscharnieren uitgevoerd, dan vogt uit het momentenevenwicht van een afgesneden dee van de uitgebogen staaf: M y M z Fv = 0 (5.6a) Fw = 0 (5.6b) 1 De werkeijke evenwichtstak na uitknikken heeft in het vertakkingspunt geen horizontae raakijn C. Hartsuijker en J.W. Weeman 19

137 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Tezamen met de betrekkingen: M = EI v M y z yy = EI w zz eiden de vergeijkingen (5.6) tot twee ontkoppede differentiaavergeijkingen: F v + v = 0 F = EI yy zz π EI yy k1 π EI zz 0 k F w + w = F = EI Concusie: De staaf knikt uit in één van de hoofdrichtingen. De knikkracht F k is de keinste van F k1 en F k. Opmerking: Het is niet vanzefsprekend dat een prismatische staaf in één van de twee hoofdrichtingen uitknikt. Dat doet zich aeen voor as de randvoorwaarden in de hoofdrichtingen zijn ontkopped (onafhankeijk van ekaar zijn). Tenzij uitdrukkeijk anders is aangegeven, wordt hierna aangenomen dat atijd knik in het vak van tekening optreedt C. Hartsuijker en J.W. Weeman

138 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5. De 4 e orde differentiaavergeijking voor buigingsknik De knikstaaf van Euer in figuur 5.7a is een statisch bepaad systeem. Figuur 5.7 Wordt de scharnieropegging vervangen door een inkemming, zoas in figuur 5.7b, dan ontstaat een statisch onbepaad systeem en kunnen de opegreacties niet meer rechtstreeks uit het evenwicht worden afgeeid. Wordt van de op druk beaste staaf in figuur 5.7c het evenwicht in vervormde toestand onderzocht, dan za men rekening moeten houden met een onbekende opegreactie A v in A en een onbekend inkemmingsmoment B m in B. Uit het evenwicht van de vervormde staaf in zijn gehee is, bij de in de figuur aangegeven richtingen van A en B, sechts af te eiden dat A v = B m /. v m Bij statisch onbepaade staven geven deze onbekende opegreacties compicaties in een aanpak zoas geschiedde bij de knikstaaf van Euer. Hoewe men op vernuftige (ingenieuze) wijze toch uit de voeten kan komen met een e orde differentiaavergeijking, gebaseerd op het evenwicht van een afgesneden dee van de staaf, gaat thans de voorkeur uit naar een 4 e orde differentiaavergeijking, afgeeid uit het evenwicht van een eementje uit de vervormde staaf. As de staaf vervormt zuen de spanningen en spanningsresutanten (normaakracht N en dwarskracht V) meedraaien met de doorsnede waarin zij werken. Hiermee moet dus rekening worden gehouden. Teneinde niet op de richtingsverandering van N en V in te hoeven gaan, za hierna worden gewerkt met de resuterende snedekracht S as resutante van N en V, zie figuur 5.8. De componenten van S in x- en z-richting zijn S x en S z. De tekenafspraak daarbij is C. Hartsuijker en J.W. Weeman 131

139 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 dat S x en S z positief zijn as ze op een positief snedevak in de positieve richting werken en op een negatief snedevak in de negatieve richting. Figuur 5.8 In figuur 5.9 is een stukje x van de vervormde staafas geschetst, tezamen met de krachten en momenten die in de (niet getekende) doorsneden op het staafeementje werken. Bij het opsteen van de evenwichtsvergeijkingen voor het staafeementje za voor de voedigheid worden aangenomen dat op de staaf verdeede beastingen q x en q z werken. Deze beastingen grijpen aan in de staafas en veranderen niet in grootte en richting. In figuur 5.9 zijn sechts de richtingen van q x en q z aangegeven. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

140 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN De vergeijkingen voor het krachtenevenwicht in resp. de x- en z-richting zijn: F = S + ( S + S ) + q x = x x x x x = S + q x = 0 x x F = S + ( S + S ) + q x = z z z z z = S + q x = 0 z z De vergeijking voor het momentenevenwicht is: (5.7) (5.8) 1 1 Ty A = M + Sx w Sz x + ( M + M ) qx x w + q z x x = 1 w (5.9) = M + Sx w Sz x ( q )( ) 0 x + qz x = x Na deen door x vindt men in de imietovergang x 0 voor de evenwichtsvergeijkingen (5.7) t/m (5.9): dsx qx 0 dx + = dsz qz 0 dx + = dm dx dw + Sx Sz = 0 dx of, in een beknoptere schrijfwijze: S + q = 0 (5.10) x x S + q = 0 (5.11) z z M + S w S = 0 (5.1) x z Opmerking: In vergeijking (5.1) voor het momentenevenwicht komen de verdeede beastingen q x en q z niet voor: hun bijdrage in vergeijking (5.9) is een orde keiner dan die van de andere termen en verdwijnt as x 0. Opmerking: Voor het evenwicht van een staafeementje in onvervormde toestand werd eerder afgeeid 1 : N + qx = 0 extensie V + qz = 0 gescheiden te behandeen buiging M V = 0 1 Zie TOEGEPASTE MECHANICA dee 1, paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman 133

141 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Het verschi tussen deze evenwichtsbetrekkingen en de vergeijkingen (5.10) t/m (5.1) voor een eementje in vervormde toestand zit met name in vergeijking (5.1) voor het momentenevenwicht en komt tot uiting in de term Sxw. Door deze term worden in een geometrische niet-ineaire aanpak de gevaen van extensie en buiging gekopped. Deze term geeft ook het verschi tussen V en S z aan: V = M S = M + S w (5.13) z x Bij de verdere uitwerking wordt aangenomen dat er geen verdeede beasting in de x-richting (staafrichting) werkt, dus q x = 0. Differentieer (5.1) naar x: M + S w + S w S = 0 x x z Met behup van (5.10) en (5.11) kan hiervoor worden geschreven: M + S w q w + q = 0 x x z As q x = 0 wordt deze vergeijking: M + S w + q = 0 (5.14) x z Hierin is S x constant. Dit vogt voor q x = 0 uit vergeijking (5.10). Is de buigstijfheid EI, dan gedt voor het buigend moment: M = EIw Substitutie in (5.14) eidt tot: of: ( EIw ) + S w + q = 0 x z ( EIw ) Sxw = qz (5.15) In het geva van een prismatische staaf is de buigstijfheid EI constant 1 en gaat vergeijking (5.15) over in: EIw S w = q (5.16) x z Met deze 4 e orde differentiaavergeijking in de verpaatsing w wordt het geometrisch niet-ineaire gedrag van een prismatische staaf beschreven. Opmerking: In het geva van een geometrisch ineaire berekening, waarbij het evenwicht wordt betrokken op de onvervormde toestand, werd eerder afgeeid 3 : EIw = q z 1 EI is onafhankeijk van x. Met de aantekening dat q x = 0 en er dus geen verdeede beasting in de x-richting (staafrichting) werkt. 3 Zie TOEGEPASTE MECHANICA dee, paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman

142 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN De invoed van de vervormde geometrie komt in (5.16) dus tot uiting in de term S w. x Opmerking: Differentiaavergeijking (5.16) kan ook worden gevonden door het geometrisch ineaire gedrag van een buigigger te combineren met het geometrisch nietineaire gedrag van een kabe. Figuur 5.10 Voor een buigigger met verdeede beasting q z;1 gedt, zie figuur 5.10a: EIw = q z;1 Voor een kabe met verdeede beasting q z; gedt 1, zie figuur 5.10b: Hw = q z; waarin H is de horizontae component van de kabekracht is. Wordt het gedrag van buigigger en kabe in één constructie verenigd, dan is w voor beide geijk en gedt voor de totae verdeede beasting: q = q + q = EIw Hw (5.17) z z;1 z; Hierin heeft H, de horizontae component van de kabekracht, dezefde betekenis as S x, de horizontae component van de resuterende snedekracht S. Vergeijking (5.17) is dan ook identiek met vergeijking (5.16). Bij knikprobemen is er geen beasting dwars op de staaf, dus q z = 0. Verder treedt knik atijd op in op druk beaste staven. Ste de kracht waarmee de staaf op druk wordt beast is F, dan gedt Sx = F, zie figuur Zie TOEGEPASTE MECHANICA dee 1, paragraaf De kabevorm z( x ) is nu w( x ) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 135

143 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Figuur 5.11 Met q x = 0 en Sx of: waarin: = F wordt differentiaavergeijking (5.16): EIw + Fw = 0 (5.18) w + α w = 0 (5.19) F α = (5.0) EI Deze homogene 4 e orde differentiaavergeijking in de verpaatsing w igt ten grondsag aan het knikprobeem en noemt men de knikvergeijking. De vergeijking gedt voor prismatische staven met constante drukkracht 1. In de vogende paragraaf wordt de knikvergeijking uitgewerkt voor het basisknikgeva in figuur 5.11b. 1 Dit is het geva as q z = 0. De drukkracht is dan onafhankeijk van x C. Hartsuijker en J.W. Weeman

144 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.3 Basisknikgevaen In de vorige paragraaf werd de 4e orde differentiaavergeijking voor een prismatische knikstaaf afgeeid: waarin: w + α w = 0 (5.19) F α = (5.0) EI Om de opossing te vinden wordt dezefde aanpak gevogd as bij de e orde differentiaavergeijking voor de knikstaaf van Euer in paragraaf 5.1. Substitutie van t 4 tx w = e evert de karakteristieke vergeijking: + α t = 0 Deze heeft vier wortes: t1, = ± αi en t 3,4 = 0 Hiermee vindt men voor de agemene opossing van de knikvergeijking: w = C cosα x + C sinα x + C x + C (5.1) Voor de verdere uitwerking van het knikprobeem zijn er per ved atijd vier in de verpaatsing w te formueren voorwaarden beschikbaar: twee per rand en vier per vedovergang. In figuur 5.1 zijn de randvoorwaarden geformueerd voor drie verschiende knikstaven. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 137

145 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De formuering gaat op dezefde manier as in het geva van een geometrisch ineaire berekening, met dien verstande dat waar in een geometrisch ineaire berekening met de dwarskracht V wordt gewerkt, in de geometrisch niet-ineaire berekening met de component S z van de snedekracht S moet worden gewerkt, zie de knikstaaf in figuur 5.1c. In figuur 5.13 is van deze staaf het rechter randeementje in vervormde toestand getekend. Figuur 5.13 De dwarskracht V en normaakracht N zijn met het eementje meegedraaid. Hun resutante S heeft een horizontae component S x en een verticae component S z. Uit het verticaa evenwicht van het randeementje vogt direct de randvoorwaarde S = 0. z Opmerking: Uit het horizontaa krachtenevenwicht vogt Sx = F. Van deze randvoorwaarde werd in paragraaf 5. a (impiciet) gebruik gemaakt bij de afeiding van de differentiaavergeijking. Ten behoeve van het uitwerken van de rand- of overgangsvoorwaarden vogen hierna de uitdrukkingen voor resp. ϕ, M en S z : ϕ = w = αc sinα x αc cosα x C (5.) 1 3 M = EIw = α EI C1 cosα x + α EI C sinα x (5.3) F Voor S z wordt gebruik gemaakt van uitdrukking (5.13), in paragraaf 5. uit het momentenevenwicht afgeeid: Met S = M + S w z M x = EIw en x F S = F = α EI kan men S z op de vogende manier uitdrukken in de verpaatsing w: S = EIw α EI w z F C. Hartsuijker en J.W. Weeman

146 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Uitwerking eidt tot: Sz = EIw α EI w = α EI C3 = FC3 (5.4) F Opvaend is deze we zeer eenvoudige uitdrukking voor S z. F Opmerking: Uitdrukking (5.4) voor S z vindt men het snest door uitdrukking (5.3) naar x te differentiëren en hierbij α EI maa uitdrukking (5.) op te teen. De sinus- en cosinustermen bijken dan tegen ekaar weg te vaen; aeen de term met C 3 bijft over. De ezer wordt geacht dit na te gaan. Voor de duideijkheid is in tabe 5.1 een overzicht gegeven van de uitdrukkingen voor w en zijn afgeeiden en in tabe 5. van de uitdrukkingen voor w, ϕ, M en S. z Tabe 5.1 Tabe 5. Het knikprobeem wordt hierna uitgewerkt voor de staaf in figuur Figuur 5.14 De randvoorwaarden eiden met behup van de betrekkingen (5.1) t/m (5.3) tot de vogende vier homogene vergeijkingen in C1 t/m C 4 : C. Hartsuijker en J.W. Weeman 139

147 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 x = 0 ; w = 0 C + C = x = 0 ; M = 0 α EIC = 0 x = ; w = 0 C cosα + C sinα + C + C = x = ; ϕ = 0 αc sinα αc cosα C = In dit stese vergeijkingen is α 0, want α = 0 komt overeen met het niet interessante geva van de onbeaste staaf. Uit de randvoorwaarden in x = 0 bijkt dat C 1 en C 4 dan niet anders dan nu kunnen zijn. De voorwaarden in x = vereenvoudigen hierdoor tot: C αc sinα + C = 0 3 cosα + C = 0 3 Een opossing ongeijk nu bestaat aeen as de determinant van de coëfficiëntenmatrix nu is: waaruit vogt: Det = sinα αcosα = 0 (5.5) tanα = α (5.6) De knikkracht F k is bepaad door de keinste positieve waarde van α die vodoet aan de transcendente vergeijking (5.6). De opossing is sechts proberenderwijs te vinden 1. As hupmidde kan de grafiek in figuur 5.15 dienen, waarin de waarden van f1 = tanα en f = α as functie van α zijn uitgezet. De waarden van α waarvoor de functies f 1 en f ekaar snijden zijn opossingen van de vergeijking f1 = f. Figuur Hier is de opossing handmatig gezocht. Men kan de opossing uiteraard ook vinden met een rekenprogramma zoas MAPLE C. Hartsuijker en J.W. Weeman

148 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Uit de grafiek wordt duideijk dat de vergeijking tanα = α oneindig vee opossingen heeft. Voor de keinste positieve opossing wordt gevonden: k α EI EI EI α = 4,4934 π F = ( ) = π π 0,7 (0,7 ) (5.7) Vergeeken met de knikstaaf van Euer heeft een voedige inkemming van een der staafeinden een verdubbeing van de knikkracht tot gevog 1, zie figuur Figuur 5.16 Opmerking: Bij prismatische staven met constante drukkracht wordt het probeem van buigingsknik beschreven door een homogene 4e orde differentiaavergeijking met homogene randvoorwaarden. Homogeen betekent dat zowe in de differentiaavergeijking as in de randvoorwaarden uitsuitend termen in de verpaatsing w voorkomen. Dergeijke probemen staan in de wiskunde bekend as eigenwaardeprobemen: de aagste eigenwaarde is de knikkracht, de bijbehorende eigenfunctie is de knikvorm. In figuur 5.17 is de knikvorm geschetst. Figuur 5.17 Daar C1 = C4 = 0 gedt: w = C sinα x + C x (5.8) 3 1 In de praktijk wordt voor de knikast atijd aangehouden Fk = π EI/ = 19, 739 EI/. Met α = 4,4934 is de exacte opossing echter Fk = ( α) EI/ = 0,191 EI/ C. Hartsuijker en J.W. Weeman 141

149 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor de verticae component S z van de snedekracht S gedt vogens (5.4): Sz = C F 3 k Op de rand in A werkt dus een kracht C3F k naar beneden 1. Dit is in figuur 5.17 de verticae opegreactie A in A: A Hieruit vogt: C = C F v 3 k 3 Av = F Verder gedt vogens (5.6): k Fk π α = = EI 0,7 Voor de knikvorm in (5.7) kan men nu schrijven: π x Av w = C sin x 0,7 + F k sinusgof v drukijn De tweede term in deze uitdrukking voor de knikvorm is de vergeijking van de drukijn, dit is de werkijn van de resutante S van F k en A v, zie figuur Concusie: De knikvorm bestaat uit een sinus die zich singert om de drukijn: w = C1 cosα x + C sinα x + C3x + C 4 sinusgof drukijn Dit bijkt voor ae prismatische knikstaven te geden. Tussen de coëfficiënten C en C3 = Av / Fk in uitdrukking (5.9) voor de knikvorm bestaat een betrekking die vogt uit één van de vergeijkingen (5.5), bijvoorbeed de eerste: C sinα + C = 0 C = C 3 3 sinα Voor de knikvorm kan men dus ook schrijven: A v sinα x x sinα w C x x = + = + F sinα sinα k met π α = 0,7 (5.9) (5.1) (5.30) 1 De tekenafspraak voor S z uidt: Sz is positief as deze op een positief snedevak in de positieve z- richting werkt en op een negatief snedevak in de negatieve z-richting. Het snedevak op de rand in A is negatief. Verder is S negatief. Dus werkt de kracht in positieve z-richting. 14 z C. Hartsuijker en J.W. Weeman

150 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Hierin is: Av C = = F k B F m k Concusie: De knikvorm igt vast, maar de grootte van de uitbuiging, vastgeegd door C, bijft onbepaad. Dit is karakteristiek voor het knikprobeem. Opmerking: Het minteken in uitdrukking (5.30) doet, na een bik op figuur 5.17, noga vreemd aan, maar wordt verkaard door het negatief zijn van sinα voor α = π/0,7 : zodat: π sinα = sin = 0,975 0,7 x x w = C 0,975sin π + 0,7 In het agemeen is het niet gebruikeijk de knikvorm zo gedetaieerd uit te werken. Het is overzichteijker is om α er in te aten staan, zoas in uitdrukking (5.30). Opmerking: Bij knik van buigzame staven bijkt het meesta erg handig te werken met de dimensieoze grootheden α x en α. Uit de in (5.8) gegeven knikvorm kan het buigend moment worden berekend. Het veroop bijkt sinusvormig te zijn: M = EIw = C sinα x met π α = 0,7 Het momentenvak na uitknikken is geijkvormig met het vak dat wordt ingesoten door de drukijn en de vervormde staafas, zie figuur Waar de drukijn de vervormde staafas snijdt, is het buigend moment nu. De afstand tussen twee opeenvogende momentennupunten wordt de knikengte k genoemd. De knikengte k is de engte van een have sinusgof : π αk = π k = (5.31) α C. Hartsuijker en J.W. Weeman 143

151 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Agemeen gedt voor de knikkracht van een prismatische staaf: F EI π k = α EI = ( α k ) = k k EI (5.3) De knikengte van de staaf in figuur 5.17 vindt men uit (5.30), waarin α = π / 0,7 : π π k = = = 0,7 α π/0,7 Men kan ook gebruik maken van uitdrukking (5.31), waarin = π EI = π EI = 0,7 = k Fk π EI/ Fk = π EI/ : Opmerking: De knikengte kan worden gezien as de engte die de (tweezijdig vrij opgeegde) knikstaaf van Euer moet hebben om tot dezefde knikkracht te komen as de staaf met de werkeijk beschouwde randvoorwaarden, zie figuur Figuur 5.18 In een aanta gevaen kan handig gebruik worden gemaakt van de eigenschap dat bij prismatische staven de knikvorm atijd een sinus is die zich singert om de drukijn met k as de engte van de have sinusgof. De knikkracht F π EI = k k is de keinste waarde van F waarbij in uitgebogen stand evenwicht mogeijk is. Dat wi zeggen: as de staaf uitknikt gebeurt dit met een zo groot mogeijke knikengte k of, wat op hetzefde neerkomt, met zo weinig mogeijk knikgoven C. Hartsuijker en J.W. Weeman

152 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Dit wordt geïustreerd aan de hand van staaf AB in figuur 5.19, die in A voedig is ingekemd en in het vrij zwevende einde B wordt beast door een drukkracht F. Figuur 5.19 As de staaf uitknikt za de staafas vervormen tot een sinus die zich singert om de drukijn. De drukijn (werkijn van F) igt horizontaa en gaat door het vrij zwevende einde B; daar bevindt zich een buigpunt (momentennupunt) in de knikgof. Het aanta knikgoven moet zo kein mogeijk zijn. Voorts moet de knikgof in A een horizontae raakijn hebben, want de staaf is in A ingekemd. Het is nu eenvoudig in te zien dat de knikengte k twee keer de staafengte is: k = De bijbehorende knikkracht is dan: π EI π EI F = = k k 4 Voor de knikvorm kan worden geschreven: w = C(1 cos α x) waarin π π α = = k C is een constante van onbepaade grootte en staat voor de verpaatsing van B, zie figuur In figuur 5.0 is voor een aanta basisknikgevaen aangegeven hoe de knikvorm zich sinusvormig om de drukijn singert. In geva () kunnen de inkemmingen ten opzicht van ekaar verpaatsen; in geva (5) is dat uitgesoten C. Hartsuijker en J.W. Weeman 145

153 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De knikprobemen in figuur 5.0 zijn, met uitzondering van geva (), voor het eerst opgeost door Leonhard Euer ( ). Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

154 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.4 Samenvatting De agemene uitdrukking voor de knikvorm van een prismatische staaf met buigstijfheid EI en een constante drukkracht F = F uidt: Hierin is: w = C1 cosα x + C sinα x + C3x + C 4 sinusgof drukijn k α = F k EI De knikvorm aat zich interpreteren as een sinus die zich singert om de drukijn, zie figuur 5.1. De knikvorm igt vast maar de ampitude van de sinus is onbepaad. Figuur 5.1 De knikengte k is de afstand tussen twee opeenvogende buigpunten (momentennupunten) en is geijk aan de have gofengte: k π = α Voor de knikkracht F k gedt: F k = α EI = k π EI De knikkracht is de keinste kracht waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogeijk is. As de staaf uitknikt za dat dus gebeuren met een zo groot mogeijk knikengte en dus met zo weinig mogeijk knikgoven C. Hartsuijker en J.W. Weeman 147

155 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Tabe 5.3 geeft een overzicht van de vijf basisknikgevaen. Tabe C. Hartsuijker en J.W. Weeman

156 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.5 Enkee uitgewerkte voorbeeden In deze paragraaf wordt een aanta voorbeeden uitgewerkt waarbij voor het berekenen van de knikast gebruik kan worden gemaakt van de vijf basisknikgevaen die in paragraaf 5.4 zijn opgenomen in tabe 5.3. Tenzij duideijk anders is aangegeven treedt knik aeen op in het vak van tekening. In de numerieke uitwerking wordt vaak gested π 10. Voorbeed 1 De houten koom in figuur 5. is in A voedig ingekemd en in B vrij zwevend. Figuur 5. Voor de easticiteitsmoduus van hout gedt Gevraagd: De knikkracht F k. E = 10 GPa. Uitwerking: Voor deze koom is basisknikgeva (1) van toepassing: F π EI = 4 k De koom za uitknikken in de sapste richting, dat is de z-richting. Voor het traagheidsmoment gedt: 1 I = I zz = (40 mm)(100 mm) = 0 10 mm 1 en voor de buigstijfheid: EI = (10 10 N/mm )(0 10 mm ) = Nmm E= 10 GPa = 00 knm Voor de knikast vindt men nu: F π (00 knm ) = 80 kn 4 (,5 m) k C. Hartsuijker en J.W. Weeman 149

157 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed De oneindig stijve igger ABCD in figuur 5.3 is in A opgeegd op een scharnier en in B en C op de koommen BB' en CC'. Koom BB' heeft in beide einden scharnierende verbindingen. Koom CC' heeft in beide einden stijve verbindingen. Beide koommen zijn oneindig rekstijf. Verdere gegevens kunnen aan de figuur worden onteend. Gevraagd: De waarde k Figuur 5.3 F = F waarbij de constructie bezwijkt door instabiiteit. Uitwerking: Een koom kan nooit meer dragen dan zijn knikast. As men de beasting F geeideijk aat toenemen en in één van de koommen wordt de knikast bereikt dan komt een verdere toename van de beasting voor rekening van de andere koom, totdat ook bij deze de knikast is bereikt. Op dat ogenbik treedt bezwijken door instabiiteit op. Figuur 5.4 In de in beide einden scharnierende koom BB' kan men de knikstaaf van Euer herkennen, basisknikgeva (3), waarvoor gedt, zie figuur 5.4: BB k EI F π = C. Hartsuijker en J.W. Weeman

158 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Voor de in beide einden ingekemde koom CC' gedt basisknikgeva (5): CC k = EI F 4π Bij het bereiken van de stabiiteitsgrens uidt de vergeijking voor het momentenevenwicht van ABCD om A: Hierin is π EI 4π EI T A = a a + 3F a = 0 F = F de gevraagde knikkracht: F k 3π EI = k C. Hartsuijker en J.W. Weeman 151

159 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 3 Gegeven de constructie in figuur 5.5. Beide staven zijn oneindig rekstijf. Figuur 5.5 Gevraagd: De maximum kracht F die de constructie kan dragen avorens bezwijken door instabiiteit optreedt en de richting β (0 β π /) waarin deze kracht werkt. Uitwerking: De kracht F is maximaa as zowe in AC as BC de knikkracht wordt bereikt. Knooppunt C kan niet verpaatsen. Op staaf AC is basisknikgeva (3) van toepassing. Met F AC π EI π k = = AC ( ) Op staaf BC is basisknikgeva (4) van toepassing. Met F EI BC π π 4 π k = = = BC EI EI EI ( ) ( 3) 3 AC = vindt men: BC = 3 vindt men: Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

160 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Voor de maximum kracht F = F vindt men, zie figuur 5.6: F max π EI 5 π max = 1 + (4/3) = De richting β vindt men uit: AC k BC k 3 EI F 1 tan β = = = 0,75 β = 36,87 F 4/ C. Hartsuijker en J.W. Weeman 153

161 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 4 Gegeven de constructie in figuur 5.7. AB heeft een buigstijfheid EI = 400 knm. Verder mag de vervorming door normaakracht worden verwaaroosd. Figuur 5.7 Gevraagd: De waarde van F waarbij de knikkracht in de koom AB wordt bereikt. Uitwerking: B kan niet horizontaa verpaatsen. Op koom AB is dus basisknikgeva (4) van toepassing: F AB π EI π k (400 knm ) = = 3000 kn (4 m) Figuur 5.8 De gevraagde kracht F is nu te vinden uit vergeijking voor het momentenevenwicht van CBD om C, zie figuur 5.8: T waaruit vogt: F = 150 kn C = (80 kn/m)(1 m)(6 m) + F(1 m) (3000 kn)(8 m) = C. Hartsuijker en J.W. Weeman

162 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Voorbeed 5 De houten koom in figuur 5.9 is ingekemd in A en wordt in B door de oneindig stijve stang BC verhinderd in y-richting te verpaatsen. De easticiteitsmoduus van hout is E = 10 GPa. Gevraagd: De knikast F k. Figuur 5.9 Uitwerking: De staaf kan uitknikken in het x-y-vak en in het x-z-vak. Bij uitknikken in het x-y-vak is basisknikgeva (4) van toepassing met k = 0,7 : F π EI yy π k; x-y-vak = = 1 ( ) Bij uitknikken in het x-z-vak gedt basisknikgeva (1) met k = : F π EI zz k; x-z-vak = 4 Voor de buigstijfheden gedt: EI yy 1 EI yy = (10 10 N/mm ) (180 mm)(60 mm) = 3, 4 10 Nmm GPa = 3,4 knm 1 EI yy = (10 10 N/mm ) (60 mm)(180 mm) = 91,6 10 Nmm 1 = 91,6 knm C. Hartsuijker en J.W. Weeman 155

163 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Hiermee vindt men voor de knikasten: F F π (3,4 knm ) = 7 kn (3 m) k; x-y-vak π (91,6 knm ) = 81 kn 4 (3 m) k; x-z-vak De keinste knikast is maatgevend. De koom za dus vogens basisgeva (4) uitknikken in het x-y-vak: F = 7 kn k C. Hartsuijker en J.W. Weeman

164 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Voorbeed 6 Het spant in figuur 5.30 draagt een geijkmatig verdeede beasting q. De buigstijfheid van de koommen is EI = 18 MNm. De rege is oneindig stijf. Figuur 5.30 Gevraagd: De beasting q k waarbij instabiiteit optreedt. Uitwerking: Beide koommen worden even zwaar beast en zuen dus geijktijdig uitknikken. De koommen kunnen ter paatse van de verbinding met de rege we horizontaa verpaatsen, maar niet roteren. Figuur 5.31 Dit betekent dat de knik optreedt vogens basisgeva () met k =, zie figuur 5.31: F k 3 π EI π (18 10 knm ) = = 5000 kn (6 m) Uit het verticaa krachtenevenwicht van de rege op het ogenbik van uitknikken vogt: q (8 m) = (5000 kn) Hieruit vindt men voor de knikbeasting q = 150 kn/m k F k q = q : k C. Hartsuijker en J.W. Weeman 157

165 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 7 Gegeven de twee raamwerken in figuur 5.3, het ene ongeschoord en het andere geschoord. In beide raamwerken hebben de koommen een buigstijfheid EI 1 = 3600 knm over de onderste verdiepingsaag en een buigstijfheid EI = 4500 knm over de bovenste verdiepingsaag. De reges en schoren zijn oneindig stijf. Gevraagd: De knikbeasting F k. Figuur 5.3 Uitwerking: Beide koommen worden even zwaar beast en zuen dus geijktijdig uitknikken. Door de oneindig stijve tussenrege, die stijf met de koommen is verbonden, kunnen de onderste en bovenste koommen onafhankeijk van ekaar uitknikken. a. Het ongeschoorde raamwerk In het ongeschoorde raamwerk kunnen de knooppunten oodrecht op de koomrichting verpaatsen. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

166 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Knik van de onderste koommen geschiedt vogens basisgeva () met k = 1, zie figuur 5.33a: F π EI1 π k1 1 (4 m) (3600 knm ) = = 50 kn Knik van de bovenste koommen geschiedt vogens basisgeva (1) met k =, zie figuur 5.33b: F π EI π k 4 4 (3 m) (4500 knm ) = = 150 kn Maatgevend bij het ongeschoorde raamwerk is de situatie in figuur 5.33b waarbij de bovenste koommen uitknikken: Fk = Fk = 150 kn b. Het geschoorde raamwerk In het geschoorde raamwerk worden de knooppunten door de schoren verhinderd te verpaatsen. Figuur 5.34 Knikken de onderste koommen uit dan gedt nu basisgeva (5) met k = 0,5 1, zie figuur 5.34a: F 4π EI1 4π k1 1 (4 m) (3600 knm ) = = 9000 kn Voor de bovenste koommen gedt basisknikgeva (4) met k = 0,7, zie figuur 5.34b: F π EI π k (3 m) (4500 knm ) = = kn Bij het geschoorde raamwerk bijkt knik van de onderste koommen maatgevend: Fk = Fk1 = 9000 kn C. Hartsuijker en J.W. Weeman 159

167 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Opmerking: Door het aanbrengen van schoren in een raamwerk kan de knikbeasting aanzienijk worden vergroot. In dit voorbeed is de knikbeasting van het geschoorde raamwerk 64% groter dan van het ongeschoorde raamwerk. Opmerking: In het geschoorde raamwerk kunnen de koommen onafhankeijk van ekaar zowe naar binnen as naar buiten uitknikken C. Hartsuijker en J.W. Weeman

168 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Voorbeed 8 Koom AB in figuur 5.35 heeft een engte buigstijfheid EI. De koom is in A ingekemd en in B bevestigd aan een horizontae transatieveer met stijfheid k t. Figuur 5.35 Gevraagd: De stijfheid van de veer as voor de knikkracht gedt: F π EI = k Uitwerking: Voor de knikast van een buigzame prismatische staaf gedt agemeen: F π EI = k k Er wordt hier dus gevraagd naar de veerstijfheid waarbij de knikengte k geijk is aan de koomengte. Ste koom AB ondergaat bij uitknikken een verpaatsing w in B. Door de veer wordt dan in B een horizontae kracht H = ktw op de koom uitgeoefend, zie figuur 5.36a. Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 161

169 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De knikvorm is een sinus die zich singert om de drukijn. De drukijn is de werkijn van de resutante van F en H. De knikengte k is de afstand tussen twee momentennupunten. Het buigend moment is nu waar de drukijn de staafas snijdt. In B is het moment nu. Het vogende momentennupunt igt op een afstand k van B. As k = moet de drukijn de staafas in A snijden, zie figuur 5.36b. In inkemming A moet het buigend moment dus nu zijn! Uit het momentenevenwicht van de vervormde koom om A of uit de heing van de drukijn vogt: F w = k w k t Voor de gevraagde veerstijfheid vindt men hieruit: k π EI Fk π t = = = 3 EI C. Hartsuijker en J.W. Weeman

170 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Voorbeed 9 De op druk beaste staaf ABCD in figuur 5.37 heeft een oneindig stijf middendee BC. De randdeen AB en CD hebben een eindige buigstijfheid EI = 430 knm. Gevraagd: De knikast F k. Figuur 5.37 Uitwerking: In figuur 5.38a is een symmetrische knikvorm geschetst en in figuur 5.38b een keersymmetrische knikvorm. De knikvorm voor de buigzame staafdeen is een sinus die zich singert om de drukijn. Figuur 5.38 Uit het momentenevenwicht van de vervormde staaf vogt dat de verticae opegreacties in A en D nu zijn. De drukijn is dus de werkijn van de drukkracht F. Het buigend moment is evenredig met de afstand van de vervormde staafas tot de staafas. In figuur 5.38a is het buigend moment maximaa in het oneindig stijve stuk BC. In figuur 5.38b igt het maximum moment ergens tussen A en B, respectieveijk C en D. De afstand tussen twee momentennupunten is de knikengte k. Midden tussen twee momentennupunten, dus op een afstand 0,5 k van een momentennupunt, is het moment maximaa. De afstand 0,5 k is aangegeven in de figuren Uit figuur 5.38a eest men af k = 6 m, en uit figuur 5.38b k < 6 m C. Hartsuijker en J.W. Weeman 163

171 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Knik za optreden bij de grootste knikengte, dus vogens figuur 5.38a. Voor de knikast vindt men: F π EI π (430 knm ) = = 100 kn k k (6 m) Opmerking: Is de staaf prismatisch, met over de gehee engte dezefde buigstijfheid EI = 430 knm, dan is de knikengte k = 8 m en wordt de knikkracht: F π EI π (430 knm ) = = 675 kn k k (8 m) Het oneindig stijve middenstuk BC bijkt hier dus een aanzienijke invoed op de grootte van de knikast te hebben C. Hartsuijker en J.W. Weeman

172 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Voorbeed 10 Van de uit twee staven opgebouwde constructie in figuur 5.39a iggen A, B en C op de hoekpunten van een geijkzijdige driehoek. Normaakrachtvervorming mag worden verwaaroosd. 1 F F F F 3 3 Figuur 5.39 Gevraagd: De knikast F k. Uitwerking: De kracht F kan men ontbinden in componenten 1 F 3 angs AC en BC, zie figuur b. De staven AC en BC worden even zwaar beast en zuen dus geijktijdig uitknikken. Om de knikast te vinden wordt tijdeijk in C een scharnier aangebracht, zie figuur 5.40a. 1 F F F F 3 3 Figuur 5.40 Door dit scharnier kunnen AC en BC onafhankeijk van ekaar vervormen. Voor beide staven gedt basisknikgeva 3 (de knikstaaf van Euer met k = ) en treedt knik op as: C. Hartsuijker en J.W. Weeman 165

173 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 F 3 π EI π EI 3 = F k = 3 De knikvorm (sinusvorm) igt vast, maar niet de grootte en richting van de AC BC uitbuigingen ŵ en ŵ, zie figuur 5.40a. Zonder dat de knikbeasting verandert kan men de uitbuigingen zo op ekaar afstemmen dat de hoek in C weer 60 wordt, zie figuur 5.40b. Vervangt men het scharnier in C daarna weer door een stijve hoekverbinding dan heeft men de knikvorm van de oorspronkeijk gegeven constructie, zie figuur 5.41a. F = F = π EI 3 k Figuur 5.41 Voor de knikast maakt het bijkbaar niet uit of C een scharnierende of stijve verbinding is. Opmerking: De knikvorm is keersymmetrisch. Bij een symmetrische knikvorm zoas in figuur 5.41b fungeert knooppunt C as inkemming en gedt voor beide staven basisknikgeva 4, met k = 0,7. Omdat deze knikengte keiner is dan bij de keersymmetrische knikvorm, is de bijbehorende knikast groter en dus niet maatgevend C. Hartsuijker en J.W. Weeman

174 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN Voorbeed 11 Van het spant in figuur 5.4 kunnen ae benodigde gegevens aan de figuur worden onteend. Gevraagd: De knikkracht F k Figuur 5.4 Uitwerking: In dit geva moeten de mogeijkheden van zowe gobae as okae instabiiteit worden onderzocht. Gobae instabiiteit, zie figuur 5.43a Figuur 5.43 Omdat de koommen van geijke engte zijn mag men voor het berekenen van de knikast het spant in dit geva vervangen door de enkee verend ingekemde starre staaf in figuur 5.43b, waarop de totae beasting staat 1. Voor de knikast gedt: kr 9000 knm F k;gobaa = = = 1800 kn 5 m (a) 1 Zie paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman 167

175 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Lokae instabiiteit, zie figuur Figuur 5.44 De buigzame koom draagt 4/5 van de beasting F. Deze za uitknikken as: 4 π EI π (3000 knm) F = = 100 kn 5 (5 m) Hieruit vindt men de beasting Concusie: F F = F waarbij okae instabiiteit optreedt: k;okaa 5 F k;okaa = (100 kn) = 1500 kn (b) 4 Omdat k;okaa k;gobaa < F is okae instabiiteit (partiëe knik) maatgevend en za de buigzame koom uitknikken voordat het spant in zijn gehee instabie wordt: Fk = Fk;okaa = 1500 kn C. Hartsuijker en J.W. Weeman

176 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6. Knik van verend ingekemde buigzame staven Bij de in het vorige hoofdstuk behandede basisknikgevaen 1 zijn de buigzame staven opgeegd op een ro/scharnier of zijn ze voedig ingekemd. In dit hoofdstuk wordt de knikast berekend voor verend ingekemde buigzame staven, zie figuur 6.1. Figuur 6.1 Bij de staven in figuur 6.1a en 6.1b kan één van de staafeinden oodrecht op de staafas verpaatsen. Men noemt deze staven ongeschoord. Bij de staaf in figuur 6.1c kunnen de uiteinden niet oodrecht op de staafas verpaatsen. Deze staaf noemt men geschoord. Het knikprobeem van de eenzijdig verend ingekemde staaf in figuur 6.1a wordt uitgewerkt in paragraaf 6.1. Eerst exact met de vierde orde differentiaavergeijking voor buigingsknik (paragraaf 6.1.1) en daarna met benaderingsmethoden. Bij de eerste benaderingsmethode wordt gebruik gemaakt van de momentenvaksteingen (paragraaf 6.1.), bij de tweede benaderingsmethode wordt de knikast uitgedrukt in de zogenaamde eerste-orde-verpaatsing aan de top (paragraaf 6.1.3). Beide benaderingsmethode bijken ook tot goede resutaten te eiden as de staaf door een geijkmatig verdeede beasting op druk wordt beast, zie figuur 6.. Figuur 6. 1 Zie paragraaf 5.4, tabe C. Hartsuijker en J.W. Weeman 169

177 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De opossing van het knikprobeem in figuur 6.1a wordt gebruikt om in paragraaf 6. de knikast van de ongeschoorde staaf in figuur 6.1b te bepaen. Het knikprobeem van de geschoorde staaf in figuur 6.1c wordt uitgewerkt in paragraaf 6.3. Na een overzicht in paragraaf 6.4 van de verschiende formues vogen in paragraaf 6.5 enkee voorbeeden waarin met deze formues wordt gewerkt. Het hoofdstuk wordt afgesoten met een aanta opgaven in paragraaf 6.6. Opmerking: De basisknikgevaen (1) t/m (5) uit paragraaf kunnen as bijzondere gevaen worden afgeeid uit de verend ingekemde staven in figuur 6.1. Door de stijfheid van een rotatieveer nu te maken of oneindig groot te aten worden verandert deze in een scharnier, respectieveijk een vokomen stijve inkemming. 1 Zie figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

178 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6.1 Eenzijdig verend ingekemde knikstaaf In deze paragraaf wordt de knikast berekend voor de prismatische staaf AB in figuur 6.3, verend ingekemd in A en vrij zwevend in B. Figuur 6.3 In paragraaf wordt de exacte opossing bepaad met behup van de vierde orde differentiaavergeijking voor buigingsknik. In paragraaf 6.1. wordt een benaderingsmethode gehanteerd, waarbij gebruik wordt gemaakt van de momentenvaksteingen. In paragraaf wordt een benaderingsmethode uitgewerkt waarbij de knikast wordt uitgedrukt in de zogenaamde eerste-orde-verpaatsing aan de top. Beide benaderingsmethoden bijken ook goede resutaten te geven as de staaf door een geijkmatig verdeede beasting op druk wordt beast, zie figuur Exacte opossing met de 4e orde differentiaavergeijking. De knikvergeijking voor een prismatische staaf is 1 : waarin: w + α w = 0 F α = EI De agemene opossing is : w = C cosα x + C sinα x + C x + C Dit is de knikvorm van de staaf. De verend ingekemde staaf in figuur 6.3 heeft de vogende vier randvoorwaarden: x = 0 ; w = 0 (6.1) x = 0 ; M k ϕ = 0 EIw + k w = 0 (6.) r r x = ; M = 0 EIw = 0 (6.3) x = ; S = 0 EIw Fw = 0 (6.4) z 1 Deze werd afgeeid in paragraaf 5.. Zie paragraaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman 171

179 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De tweede randvoorwaarde vogt uit het momentenevenwicht van het randeementje van de staaf in vervormde toestand. Is het randeementje over een hoek d w/dx geroteerd, dan oefent de veer een tegenwerkend moment k r d w/dx uit, zie figuur 6.4. Figuur 6.4 Uit het momentenevenwicht vindt men: dw Ty = M + kr = EIw + krw = 0 dx De vierde randvoorwaarde werd reeds toegeicht in paragraaf 5.3. Tabe 6.1 Tabe 6. Uitwerking van de randvoorwaarden (6.1) t/m (6.4) waarbij men gebruik kan maken van de eerder in paragraaf 5.3 afgeeide uitdrukkingen in tabe 6.1 en/of 6. eidt tot het vogende homogene stese vergeijkingen in C 1 t/m C 4 : C 1 α EI αkr kr 0 C α EI cosα α EI sinα 0 0 = C3 C4 0 0 α EI C. Hartsuijker en J.W. Weeman

180 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN De nuopossing C1 = C = C3 = C4 = 0 is niet interessant, omdat deze hoort bij de rechte, niet uitgeknikte staaf. Een opossing ongeijk nu is sechts mogeijk as de determinant Det van de coëfficiëntenmatrix nu is 1 : Det = ( α EI) ( α EI sinα αk cos α ) = 0 Voor α 0 is deze voorwaarde te vereenvoudigen tot: α tanα = ρ met r kr ρ = (6.5) EI Opmerking: De opossing α = 0 vervat omdat deze staat voor de onbeaste staaf, immers α = F/ EI. Opmerking: De dimensieoze grootheid ρ = kr / EI kan worden gezien as de verhouding tussen de stijfheid van de rotatieveer en de stijfheid EI / van de buigzame staaf. De knikkracht F k wordt bepaad door de keinste positieve waarde van α die vodoet aan de transcendente vergeijking (6.5): F EI k = ( α) Bij een gegeven waarde van ρ kan de maatgevende waarde van α met behup van figuur 6.5 worden gevonden as het snijpunt van de ijnen f1 = tanα en f = ρ α. / (6.6) Figuur De determinant aat zich eenvoudig berekenen door deze naar de vierde koom te ontwikkeen. De ezer wordt bekend geacht met de reges voor het berekenen van een determinant C. Hartsuijker en J.W. Weeman 173

181 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Uit de figuur wordt duideijk dat de maatgevende opossing igt in het gebied 0 < α π/, dus gedt voor de knikkracht: π EI 0 < Fk 4 Men vindt deze uiterste waarden van de knikkracht terug as men voor de stijfheid k r van de rotatieveer de vogende twee extreme situaties bekijkt: k r = 0 (dan is ρ = 0 ) De opegging in A verandert in een scharnieropegging, zie figuur 6.6b. De staaf is kinematisch onbepaad en de knikast is nu. k r = (dan is ρ = ) De opegging in A verandert in een starre inkemming, zie figuur 6.6c. De knikast is nu overeenkomstig basisknikgeva (1) 1 π EI/4. Figuur 6.6 Wi men de invoed van de stijfheidsverhouding ρ op de grootte van de knikkracht onderzoeken, dan is het doematiger om omgekeerd te werk te gaan en voor waarden van α in het gebied 0 < α π/ de bijbehorende waarde van ρ = α tanα te berekenen. 1 Zie paragraaf 5.4, tabe C. Hartsuijker en J.W. Weeman

182 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Het resutaat is gegeven in figuur 6.7, waar functie van 1/ ρ = EI/ k. r k ( α ) = F / EI is uitgezet as Figuur 6.7 Een andere voorsteingswijze is gegeven in figuur 6.8. Figuur 6.8 Hier is op de verticae as uitgezet: ( α) Fk Fk = EI = π π π EI en op de horizontae as: Fk ( α) EI Fk = = ρ kr kr EI C. Hartsuijker en J.W. Weeman 175

183 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Het verband tussen deze grootheden bijkt vrijwe ineair. Een goede benadering is in figuur 6.8 de rechte streepjesijn. Voor de vergeijking van deze rechte ijn gedt: F k k EI + k = r π 4 F 1 Hieruit vindt men een eenvoudige benaderingsformue voor de knikkracht F k : Of: waarin: = + F k k r π EI 4 k k1 k (6.7a) = + (6.7b) F F F F k1 kr = en F π EI = 4 k (6.7c) F k1 is de knikkracht van een verend ingekemde starre staaf ( EI = ); F k is de knikkracht van een voedig ingekemde buigzame staaf ( k r = ), zie figuur 6.9. Figuur 6.9 Opmerking: De benaderde waarden voor F k vogens (6.7), die met een streepjesijn in figuur 6.7 zijn ingetekend, zijn aan de veiige kant: met de benaderingsformue wordt een iets te age waarde voor de knikkracht gevonden C. Hartsuijker en J.W. Weeman

184 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Opmerking De weerstand tegen uitbuigen (en uitknikken) wordt enerzijds gereaiseerd door: de buigstijfheid EI van de koom en anderzijds door de stijfheid k r van de rotatieveer. Hierbij is sprake van een serieschakeing 1. Tensotte wordt nog naar de knikvorm en knikengte gekeken. Met behup van de reaties: C = C 1 / tanα (uit de 3e randvoorwaarde) C 3 = 0 (uit de 4e randvoorwaarde) C = C (uit de 1e randvoorwaarde) 4 1 vindt men voor de knikvorm, zie figuur 6.10: sinα x sin α ( x) w = C1 cosα x 1 = C4 1 tanα sinα Opmerking: Bij het knikprobeem van een buigzame staaf is het nooit mogeijk ae constanten C1 t/m C 4 te bepaen. In dit geva kan men aeen vaststeen dat C 3 = 0. Van de overige constanten is het aeen mogeijk hun onderinge verhouding te berekenen. Dit eidt tot de knikvorm. Bij uitknikken is de vorm van de uitbuiging bekend, maar de grootte bijft onbepaad. De afstand tussen twee opeenvogende buigpunten (momentennupunten) in de knikvorm is de knikengte k ; zie figuur Figuur 6.10 Om deze engte te berekenen wordt voor de knikkracht geschreven: F π EI = k k 1 Zie paragraaf.14 voor de eigenschappen van een serieschakeing. Uitdrukking (6.7b) voor de knikkracht is in overeenstemming met uitdrukking (.9) voor twee in serie geschakede veren C. Hartsuijker en J.W. Weeman 177

185 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Substitueer deze uitdrukking voor F k in benaderingsformue (6.7a): = + π k EI EI r π k 4 Hieruit is voor de knikengte af te eiden: waaruit vogt: π EI 10 k = k r ρ met kr ρ = (6.8) EI 10 kr k = 4 + met ρ = (6.9) ρ EI Van deze uitdrukking za gebruik worden gemaakt in paragraaf 6., waar de knikast wordt berekend voor een tweezijdig verend ingekemde knikstaaf. Opmerking: Men schrijft voor uitdrukking (6.9) ook we: = η met k 10 η = 4 + (6.10) ρ Op deze manier kan men voor de knikkracht schrijven: π EI π EI F = = k k η (6.11) C. Hartsuijker en J.W. Weeman

186 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Benaderingsmethode met momentenvaksteingen * In deze paragraaf wordt een benaderingsmethode uitgewerkt die is gebaseerd op een bij de knikvorm aangenomen momentenveroop. Om met de aanpak vertrouwd te raken wordt eerst een voedig ingekemde staaf behanded en pas daarna een verend ingekemde staaf. Voedig ingekemde met constante drukkracht Van de knikstaaf in figuur 6.11a is in figuur 6.11b de knikvorm geschetst. Figuur 6.11 Het buigend moment is evenredig met de afstand van de staafas tot de verticaa opende drukijn. De momentenijn van de staaf in uitgeknikte toestand is dus affien met de knikvorm, zie figuur 6.11c. Bij een uitwijking w aan de top is het inkemmingsmoment Fw. In figuur 6.11d is het krommingsvak of M/ EI -vak getekend. Tengevoge van dit krommingsveroop is de verpaatsing in B geijk aan w. Ste de knikvorm is een paraboo, met de top in A, dan veropen ook het buigend moment M en de kromming κ = M/ EI paraboisch. Vogens de momentenvaksteing mag men, voor de berekening van de verpaatsing w in B, de vervorming van AB geconcentreerd in een knik θ ter hoogte van het zwaartepunt van het M/ EI -vak, waarvan de igging in figuur 6.11d is aangegeven. De grootte van de knik θ is geijk aan de oppervakte van het M/ EI -vak : θ = 3 Fw EI Voor de uitwijking w aan de top vindt men nu: 5 Fw 5 5 F w = θ = = 8 3 EI 8 1 EI Na deen door w vindt men hieruit een benadering voor de knikast: 1 EI EI F = Fk = =,40 5 w (6.1) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 179

187 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Deze waarde is gebaseerd op een aangenomen paraboisch momentenveroop. De gevonden waarde is aan de veiige kant; zij igt een fractie onder de werkeijke knikast, waarvoor gedt: π EI EI F k = =,46 4 Opmerking: De nauwkeurigheid van de methode vat en staat met de aangenomen knikvorm. Neemt men voor de knikvorm en momentenijn een sinusveroop aan, dan za men de exacte waarde vinden. De knikvorm is immers een sinus die zich singert om de drukijn. Neemt men voor de het momentenveroop een rechte ijn aan, zoas in figuur 6.1c, dan vindt men Fk = 3 EI/, een waarde die ongeveer % hoger igt dan de exacte waarde 1. Figuur 6.1 Verend ingekemde staaf met constante drukkracht In figuur 6.13a is de staaf verend ingekemd. Figuur 6.13 De uitwijking w aan de top bestaat nu uit twee bijdragen, zie figuur 6.13b: w = w1 + w 1 De berekening wordt aan de ezer overgeaten C. Hartsuijker en J.W. Weeman

188 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN De bijdrage w 1 is het gevog van de vervorming van de rotatieveer waardoor de inkemming roteert (kwispeeffect). De bijdrage w wordt veroorzaakt door de vervorming van de buigzame staaf. In figuur 6.13c is de momentenijn getekend. Deze is weer affien met de knikvorm in figuur 6.13b. Het inkemmingsmoment is Fw. Het inkemmingsmoment Fw moet door de veer worden geeverd waardoor een rotatie w 1 / optreedt. Bij een stijfheid k r van de veer moet dus geden: Fw = k Hieruit vogt: w 1 r w F = w kr 1 De verpaatsing w kan ook in w worden uitgedrukt door naar de vervorming van de staaf te kijken. In figuur 6.13d is het M/ EI -vak getekend, waarbij voor het moment as benadering opnieuw een paraboisch veroop is aangehouden, met de top van de paraboo in A 1. Uit het M/ EI -vak vindt men, zie figuur 6.13e: w Fw 5 F = = w 3 EI 8 EI,40 Opteen van de vergeijkingen (6.13) en (6.14) eidt tot: F F w1 + w = w = w + w kr EI,40 Na deen door w vindt men hieruit: F F 1 = + kr EI,40 Hierin is F de gezochte benadering van de knikast F k : F = k + k r EI,40 (6.13) (6.14) 1 De werkeijke momentenijn, zie figuur 6.13c, en dus ook het werkeijke M/ EI -vak, hebben in A geen verticae raakijn C. Hartsuijker en J.W. Weeman 181

189 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Deze uitdrukking voor de knikast, die is gebaseerd op een aangenomen paraboisch momentenveroop, heeft dezefde structuur as de eerder afgeeide (nauwkeuriger) benaderingsformue (6.7): waarin: = + (6.7b) F F F F k k1 k k1 kr = en π EI EI F k = =,46 4 (6.7c) Voedig ingekemde staaf met ineair veropende drukkracht De ingekemde staaf in figuur 6.14a wordt door een geijkmatig verdeede beasting q op druk beast. In figuur 6.14b is een te verwachten knikvorm getekend. Figuur 6.14 Het momentenveroop na uitknikken aat zich voor de gekromde staaf moeiijk berekenen. Daarom wordt hierna eenvoudigheidshave het momentenveroop aangehouden dat optreedt in een rechte staaf in scheefstand, zie figuur 6.15a. Figuur 6.15 Hierbij wordt aangenomen dat w, waardoor het geen verschi maakt of men een afstand angs de staafas meet of angs de verticaa C. Hartsuijker en J.W. Weeman

190 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN In figuur 6.15b is het bovenste dee van de staaf met een engte x vrijgemaakt. De resutante van de verdeede beasting is qx. Uit het momentenevenwicht van het vrijgemaakte dee om de snede vindt men het buigend moment M ( x ) in de snede: 1 x 1 x M ( x) = qx w = q w Het moment veroopt dus paraboisch. met de top van de paraboo boven in B, zie figuur 6.15c. Het inkemmingsmoment in A is dan 1 q w. In figuur 6.15d is het M/ EI -vak getekend. De knik θ is geijk aan de oppervakte van het M/ EI -vak : 1 qw 1 1 q θ = = w 3 EI 6 EI De paats van de knik igt ter hoogte van het zwaartepunt en is in de figuur aangegeven. Met de momentenvaksteing vindt men voor de verpaatsing w in B: q q w = θ = w = w EI 8EI Na deen door w vogt hieruit een benadering voor de knikbeasting: of, met Q q k = 8 EI 3 = q as de totae beasting op de staaf: Q k = 8 EI De exacte waarde, die astig is te berekenen 1, is Q k = 7,83 EI (6.15a) (6.15b) (6.16) De benadering vogens 6.15 is,% te hoog, dus aan de onveiige kant. Voor de praktijk, waar men atijd vodoende ver onder de knikast moet bijven, is dit verschi echter verwaaroosbaar kein. 1 De berekening van de exacte waarde vat buiten het kader van dit boek C. Hartsuijker en J.W. Weeman 183

191 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Verend ingekemde staaf met ineair veropende drukkracht Figuur 6.16a toont een verend ingekemde staaf die door een geijkmatig verdeede beasting op druk wordt beast. Figuur 6.16 As de staaf uitknikt za de uitwijking w aan de top uit twee bestanddeen bestaan, zie figuur 6.16b: w = w1 + w De uitwijking w 1 is het gevog van de vervorming van de veer. De uitwijking w is het gevog van de verbuiging van de staaf. Om beide te kunnen berekenen moet men het momentenveroop in de staaf na uitknikken kennen. Hiervoor wordt weer uitgegaan van het paraboische momentenveroop dat de staaf zou hebben as deze na uitknikken recht was gebeven, dus hetzefde momentenveroop dat werd gebruikt bij de ingekemde staaf, zie figuur 6.16c 1. Het inkemmingsmoment is 1 q w = 1 Qw. In de verende inkemming gedt: 1 Qw = k waaruit vogt: w 1 Q = kr r w w 1 (6.17) 1 Zie ook figuur 6.15c C. Hartsuijker en J.W. Weeman

192 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Met de momentenvaksteing kan men de verpaatsing w tengevoge van de verbuiging van de staaf berekenen. In figuur 6.16d is het M/ EI -vak getekend. De paats van de knik θ igt ter hoogte van het zwaartepunt en is in de figuur aangegeven. De grootte van de knik θ is geijk aan de oppervakte van het M/ EI -vak : 1 Qw 1 1 Q θ = = w 3 EI 6 EI Met de momentenvaksteing vindt men nu voor de verpaatsing w in B: Q Q w = θ = w = w EI 8EI Opteen van de vergeijkingen (6.17) en (6.18) eidt tot: Q Q w1 + w = w = w + w kr 8EI Na deen door w vindt men hieruit: Hierin is Q of: met: Q Q 1 = + kr 8EI = q de gezochte benadering van de totae knikbeasting Q k : Q = k + k r 8EI k1 k (6.18) (6.19a) = + (6.19b) Q Q Q k k r Q k1 = en k 8EI Q = (6.19c) Hier bijkt Q k1 de totae knikbeasting te zijn van een verend ingekemde starre staaf ( EI = ) en Q k de totae knikbeasting van een voedig ingekemde buigzame staaf ( k = ), zie figuur r C. Hartsuijker en J.W. Weeman 185

193 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Figuur 6.17 Opmerking: Benaderingsformue kan worden verbeterd door voor Q k de exacte waarde 7,83 EI / aan te houden, maar praktisch bezien heeft dat weinig zin C. Hartsuijker en J.W. Weeman

194 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN De benaderingsformue m.b.v. een 1 e orde uitwijking * In de vorige paragrafen werd bij de momentenvakmethode een schatting gemaakt van de momentenijn bij de knikvorm. Hierna wordt gewerkt met de momentenijn tengevoge van een dwarsbeasting die evenredig is met de verticae beasting op de verend ingekemde buigzame staaf. De uitwijking aan de top tengevoge van aeen de dwarsbeasting is de zogenaamde eerste-orde-verpaatsing w 0. Aannemende dat de knikvorm affien is met de eerste-orde-uitbuigingsvorm kan men de knikkracht uitdrukken in de eerste-orde-verpaatsing w0 de aan de top. Voor het berekenen van het inkemmingsmoment tengevoge van de verticae beasting wordt de knikvorm benaderd door een rechte ijn. Staaf met constante normaakracht In figuur 6.18b is voor een verend ingekemde staaf de uitbuigingsijn getekend tengevoge van een horizontae kracht H in de top. De uitwijking aan de top is w. De momentenijn is getekend in figuur 6.18c. 0 Figuur 6.18 M A is: = H (6.0) Het inkemmingsmoment M A Ste de knikvorm tengevoge van een verticae kracht F in de top is affien met uitbuigingsvorm tengevoge de horizontae kracht H in de top. zie figuur 6.18d. Bij een uitwijking w 0 aan de top gedt voor het inkemmingsmoment in A: M = F w (6.1) A k 0 Uit de geijksteing van (6.0) en (6.1) vogt: H = F w k 0 Dit eidt tot de vogende benaderingsformue voor de knikkracht: F k H = w 0 (6.) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 187

195 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Opmerking: De op deze manier berekende waarde van de knikkracht is een benadering want het ineaire momentenveroop in figuur 6.18c verschit van het werkeijke veroop in figuur 6.18e. Opmerking: w 0 is de zogenaamde eerste-orde uitbuiging aan de top. Dit is de uitbuiging tengevoge van uitsuitend de horizontae beasting, dus zonder de invoed van de verticae beasting C. Hartsuijker en J.W. Weeman

196 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Verificatie: De verpaatsing w 0 aan de top tengevoge van de kracht H is te berekenen met vergeet-mij-nietjes: w 0 3 H H 1 1 = + = kr 3EI + kr 3EI H Substitueer deze uitdrukking voor w 0 in (6.) en men vindt: F = k + k r 3EI Eerder werd een nauwkeuriger uitdrukking afgeeid (zie 6.7a): F = k + k r π EI 4 Benaderingsformue (6.) geeft een overschatting van de knikkracht en is daarmee aan de veiige kant. De overschatting bedraagt maximaa 1,6% as de staaf voedig is ingekemd. (6.3) (6.4) Staaf met ineair veropende drukkracht Voor de verend ingekemde staaf in figuur 6.19a, met een geijkmatig verdeede beasting q v, wordt aangenomen dat de knikvorm affien is met de uitbuigingsvorm tengevoge van een geijkmatig verdeede horizontae beasting q, zie figuur 6.19b. h Figuur 6.19 Ste w 0 is de eerste-orde uitwijking aan de top tengevoge van q h. De bijbehorende momentenijn tengevoge van q h is getekend in figuur 6.18c. Het inkemmingsmoment M is: A A 1 1 = h = h M q Q met Qh = qh (6.5) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 189

197 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Q h is de resutante van de horizontae beasting. In figuur 6.19d is de knikvorm getekend bij de geijkmatig verdeede verticae beasting. Er werd aangenomen dat deze affien is met de uitbuigingsvorm in figuur 6.19b. Voor de berekening van het inkemmingsmoment tengevoge van de verticae knikbeasting 1 q k wordt de uitbuiging benaderd door een rechte ijn, zie figuur 6.19e. Bij een uitwijking w 0 aan de top vindt men zo voor het inkemmingsmoment M : A M = q w = q w = Q w met Qk = qk (6.6) A k 0 k 0 k 0 Q k is de resutante van de verticae knikbeasting. Door de geijksteing van (6.5) aan (6.6): Q = Q w 1 1 h k 0 vindt men de vogende benaderingsformue: Q k Qh = w 0 (6.7) Opmerking: Door de knikvorm in figuur 6.19e te vereenvoudigen tot een rechte ijn krijgt de resutante tengevoge van de verticae beasting een te grote excentriciteit en wordt het inkemmingsmoment M A vogens (6.6) overschat. Dit betekent dat ook benaderingsformue (6.7) een overschatting van de knikbeasting geeft en daarmee aan de veiige kant is. Verificatie De verpaatsing w 0 aan de top tengevoge van de verdeede beasting q h is te berekenen met vergeet-mij-nietjes: w 1 q 4 h qh = + = h k r 8EI + kr 8EI Q qh Substitueer deze uitdrukking voor w 0 in (6.7) en men vindt: Q = k + k r 8EI Deze uitdrukking werd eerder afgeeid in paragraaf 6.., zie (6.19a). De overschatting is het grootst bij een voedige inkemming en bedraagt sechts,% (6.8) 1 Bij de verticae knikbeasting is de index v weggeaten C. Hartsuijker en J.W. Weeman

198 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Staaf met een ander veroop van de drukkracht De knikvorm van de verend ingekemde staaf in figuur 6.0a tengevoge van de verticae krachten F en β F wordt affien verondersted met de uitbuigingsvorm in figuur 6.0b tengevoge van de krachten H en β H. Figuur 6.0 De momentijn tengevoge van de horizontae beasting is getekend in figuur 6.0c. Het inkemmingsmoment in A is: βb M A = H + β Hb = H 1+ (6.9) Ste bij de krachten H en β H is de uitwijking aan de top w 0. As ook de knikvorm aan de top een uitwijking w 0 heeft en men de uitbuigingsijn tussen A en B vereenvoudigt tot een rechte ijn, zie figuur 6.0 d, dan vindt men voor het inkemmingsmoment in A tengevoge van de verticae knikbeasting: b A k 0 k 0 k 0 1 βb M = F w + β F w = F w + Uit de geijksteing van (6.9) en (6.30) vindt men opnieuw: F k H = w 0 Omdat het inkemmingsmoment in A tengevoge van de verticae knikbeasting in (6.30) door de te grote excentriciteit wordt overschat, zie figuur 6.0d, geeft ook benaderingsformue (6.31) een overschatting van de knikbeasting en is daarmee aan de veiige kant. (6.30) (6.31) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 191

199 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6. Tweezijdig verend ingekemde knikstaven ongeschoord In paragraaf werd met (6.8) een formue afgeeid 1 voor de knikengte van de eenzijdig verend ingekemde staaf in figuur 6.1: 10EI k = (4 + ) k r Figuur 6.1 Met behup van deze formue kan de knikengte en knikkracht worden benaderd voor de ongeschoorde staaf in figuur 6.a die in beide einden verend is ingekemd. (6.8) Figuur 6. In figuur 6.b is voor deze staaf de knikvorm geschetst: dit is een sinus die zich singert om de drukijn. Omdat de staafeinden ten opzichte van ekaar kunnen verpaatsen is S z = 0 en bijft de drukijn evenwijdig aan de x-as. De drukijn deet de staaf in het momentennupunt (buigpunt) in twee deen met engten 1 en. In ek van deze staafdeen is het knikprobeem van de eenzijdig verend ingekemde staaf uit figuur 6.1 te herkennen. Beide staafdeen hebben dezefde knikkracht F k en knikengte k. Toepassing van formue (6.8) op beide staafdeen evert: 10EI 10EI k = = 4 + kr11 kr 1 In de afeiding werd bij benadering gested π C. Hartsuijker en J.W. Weeman

200 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN of: 10EI 10EI (6.3) k = = 4 + kr1 kr Hoe de engten 1 en en daarmee de knikengte k hieruit kunnen worden berekend wordt hierna in grote ijnen aangegeven. Ter vereenvoudiging van het rekenwerk worden de vogende parameters ingevoerd: kr EI ρ 1 = en η1 = 4 + = 4 + EI ρ k r EI ρ = en η Hieruit kan men afeiden dat: 10EI k r1 1 r EI = 4 + = 4 + ρ k r 10EI = η1 4 en = η 4 k Substitueer deze uitdrukkingen in (6.3): k = η1 = + η r (4 4 ) (4 4 ) (6.33) Met = 1 vindt men hieruit na enig schrijfwerk: η η1 1 = en = η + η η + η 1 1 Substitueer één van deze uitdrukkingen voor 1 of in (6.33): ( + 4) ( η + η ) η η η η (6.34a) 1 1 k = 1 en men vindt voor de knikkracht de vogende benaderingsformue: Hierin is: F k ( η1 + η ) ( + ) π EI = = π k η1η η1 η EI η1 = 4 + = 4 + ρ k 1 r EI η = 4 + = 4 + ρ k r De exacte waarde van de knikkracht F EI k = α EI = ( α) EI (6.34b) (6.34c) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 193

201 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 is bepaad door de keinste positieve worte van onderstaande transcendente vergeijking 1 in α : 1 1 ( ρ + ρ ) αcot α + ρ ρ ( α ) = 0 (6.35) De berekening van de exacte waarde van de knikast is aanzienijk astiger dan de berekening met benaderingsformue (6.34). Tabe 6.3 In tabe 6.3 zijn de exacte en benaderde waarden van Fk / EI opgenomen voor verschiende waarden van ρ 1 en ρ, variërend van scharnierende opeggingen ( ρ1 = ρ = 0) tot voedig ingekemde staafeinden ( ρ1 = ρ = ). De vet gedrukte waarden zijn de exacte waarden, gebaseerd op de nauwkeurige berekening. Hierbij gedt: F k ( ) = α EI waarbij α is opgeost uit transcendente vergeijking (6.35). De niet-vet gedrukte waarden zijn benaderde waarden: Fk π = EI k waarbij voor de knikengte benaderingsformue (6.34a) is gebruikt. De afgeeide benaderingsformue (6.34) bijkt zeer goed te vodoen. De formue geeft voor de knikkracht iets te age waarden en is daarmee aan de veiige kant. De afwijkingen zijn gering en bedragen ten hoogste 4%. 1 De afeiding van deze vergeijking wordt hier niet gegeven C. Hartsuijker en J.W. Weeman

202 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Controe aan de hand van twee bekende gevaen As van de staaf in figuur 6.3a één van de veerstijfheden nu is, dan moeten de uitdrukkingen (6.34) overgaan in die voor de enkezijdig verend ingekemde staaf in figuur 6.3b of 6.3c. Figuur 6.3 Ste k r = 0, dan is η =. Door in (6.34b) teer en noemer te deen door ( η1 + η) vindt men voor de knikast as η : η ( + 4) ( + ) ( + ) 1 π EI 1 π EI Fk = im = η η η η 1 1 η1 η 1 η η 1 η im 1 im 1 (6.36) Uitdrukking (6.36) werd eerder in paragraaf afgeeid de enkezijdig verend ingekemde staaf 1. Een ander bekend geva is de tweezijdig ingekemde staaf in figuur 6.3d, waarvan de rechter opegging oodrecht op de staafas kan verpaatsen. In dit geva zijn beide veren oneindig stijf. As kr1 = kr =, dan is η1 = η = 4 en vindt men uit (6.34b) voor de knikkracht: F (4 + 4) π EI π EI = = 4 4 ( ) k De knikengte is geijk aan de staafengte: k =. Knikkracht en knikengte zijn in overeenstemming met basisknikgeva (). 1 Zie uitdrukking (6.11). Zie paragraaf 5.3, figuur 5.0b en paragraaf 5.4, tabe C. Hartsuijker en J.W. Weeman 195

203 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Opdracht: De ezer wordt verzocht de knikkracht te berekenen in het geva de ene opegging scharnierend is ( k r1 = 0) en de andere voedig ingekemd ( k r = ), en de uitkomst te controeren aan de hand van één van de basisknikgevaen genoemd in paragraaf 5.4, tabe Zie ook paragraaf 5.3, figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

204 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6.3 Tweezijdig verend ingekemde knikstaven geschoord As de verende inkemmingen niet oodrecht op de staafas kunnen verschuiven, zoas in figuur 6.4, dan zuen de inkemmingsmomenten in het agemeen niet aan ekaar geijk zijn waardoor de verticae opegreacties niet meer nu zijn. In dat geva is ook S z ongeijk nu zijn en oopt de drukijn niet meer evenwijdig aan de x-as. Figuur 6.4 Een uitzondering is het symmetrische geva in figuur 6.5a, waarbij gedt kr1 = kr = kr. Voor de knikkracht is de in figuur 6.5b geschetste spiegesymmetrische uitbuigingsvorm maatgevend. Bij deze vorm is de knikengte k het grootst 1. De drukijn oopt nu we horizontaa. Figuur 6.5 Voor het bepaen van de knikkracht kan men benaderingsformue (6.34) toepassen op de have staaf in figuur 6.5c, met engte 1 : F k ( η1 + η ) ( + ) π EI = = EI 1 k η1η η1 η 4 ( ) π 1 Schetst men een keersymmetrische knikvorm dan bijkt direct uit de schets dat de knikengte keiner dan 0,5 moet zijn. Deze schets wordt aan de ezer overgeaten C. Hartsuijker en J.W. Weeman 197

205 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 waarin: 10 10EI η = 4 + = 4 + ( ) 1 ρ 1 1 kr EI η = 4 + = 4 + ( ) ρ 1 kr Toegepast op de have staaf gedt, met kr1 = kr en k r =, voor de parameters η 1 en η : 10EI 0 kr η1 = 4 + = 4 + met ρ = k ( 1) ρ EI η = 4 r Hiermee vindt men voor de knikkracht F k van de staaf in figuur 6.5a: waarin: ρ π EI (5 + ρ) π EI Fk = = 1 0 ( ) (5 + ρ) ρ ρ = k r EI (6.37a) (6.37b) De knikkrachten voor de twee extreme situaties dat de staaf in beide einden scharnierend is opgeegd ( ρ = 0), dan we voedig is ingekemd ( ρ = ), zijn opgenomen in tabe 6.4. Dit zijn de basisknikgevaen (3) en (5), die reeds in paragraaf 5.3 werden genoemd. Een andere extreme situatie is basisknikgeva (4), waarbij de staaf in het ene einde voedig is ingekemd en in het andere einde vrij is opgeegd ( ρ1 = ; ρ = 0). Tabe C. Hartsuijker en J.W. Weeman

206 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Uit tabe 6.4 kan worden opgemaakt dat de knikkracht per voedige inkemming wordt verdubbed. Dit versterkt de indruk dat in benaderingsformue (6.37a) per verende inkemming een factor (5 + ρ) (5 + ρ) wordt ingebracht. Voor de igger in figuur 6.6, met ongeijke veerstijfheden, zou de knikkracht dan benaderd kunnen worden met de formue: waarin: F k (5 + ρ1)(5 + ρ) π EI = (5 + ρ )(5 + ρ ) kr1 ρ 1 = en EI 1 kr ρ = EI Voor de knikengte gedt in dat geva: 1 k = (5 + ρ1)(5 + ρ) (6.38a) (6.38b) (5 + ρ )(5 + ρ ) (6.38c) Figuur 6.6 Om te weten hoe betrouwbaar benaderingsformue (6.38) is, za men deze moeten vergeijken met de uitkomsten van een exacte berekening. De exacte waarde van de knikkracht F EI k = α EI = ( α) is bepaad door de keinste positieve worte van onderstaande transcendente vergeijking 1 in α : ( ρ + ρ ) α(1 αcot α) + ρ ρ { tan( α ) α} + ( α ) = 0 (6.39) De afeiding van deze vergeijking wordt hier niet gegeven C. Hartsuijker en J.W. Weeman 199

207 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Tabe 6.5 In tabe 6.5 zijn de exacte en benaderde waarden van Fk / EI opgenomen voor verschiende waarden van ρ 1 en ρ, variërend van scharnierende opeggingen ( ρ1 = ρ = 0) tot voedig ingekemde staafeinden ( ρ1 = ρ = ). De vet gedrukte waarden zijn de exacte waarden, gebaseerd op de nauwkeurige berekening: F k ( ) = α EI waarbij α is opgeost uit transcendente vergeijking (6.39). De niet-vet gedrukte waarden zijn benaderde waarden: Fk π = EI k waarbij voor de knikengte benaderingsformue (6.38c) is gebruikt. Een vergeijking met de exacte waarden eert dat benaderingsformue (6.38) zeer goed vodoet. De formue geeft voor de knikkracht iets te age waarden en is daarmee aan de veiige kant. De afwijkingen zijn gering en bedragen ten hoogste 4%. Opmerking: Voor ae drie de basisknikgevaen in tabe 6.4 eidt benaderingsformue (6.38) tot de juiste waarde van de knikast 1. 1 Hierbij dient men we te bedenken dat basisknikgeva (4) ρ1 = 0 ; ρ = of ρ1 = ; ρ = 0 is gebaseerd op afgeronde waarden; zie paragraaf 5.3, formue (5.7), met de bijbehorende voetnoot C. Hartsuijker en J.W. Weeman

208 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6.4 Samenvatting In tabe 6.6 is een overzicht gegeven van de benaderingsformues die in dit hoofdstuk werden afgeeid voor een drie typen verend ingekemde knikstaven. In aansuiting op de vijf basisknikgevaen uit hoofdstuk 5 1 zijn ze genummerd van (6) t/m (8). Hoewe hierna ook as basisknikgevaen aangeduid, gedt dat eigenijk aeen maar voor de gevaen (7) en (8) en niet voor geva (6). Deze kan immers uit (7) worden afgeeid door een van de veerstijfheden geijk aan nu te steen. Tabe 6.6 Behave de benaderingsformues voor de knikengte en knikkracht is in tabe 6.6 per geva ook aangegeven tussen weke grenzen de knikengte igt. Opmerking: Bij een ongeschoorde staaf is de knikengte atijd groter dan (of ten minste geijk aan) de staafengte. Bij een geschoorde staaf is de knikengte atijd keiner dan (of ten hoogste geijk aan) de staafengte. 1 Zie paragraaf 5.3, figuur 5.0 en paragraaf 5.4 tabe 5.3. Ook de basisknikgevaen (1) en () kunnen uit (7) worden afgeeid, dit door de stijfheid van de rotatieveren of nu of oneindig groot te maken. Op dezefde manier kunnen de basisknikgevaen (3) t/m (5) uit (8) worden afgeeid. Dit betekent dat (7) en (8) in feite de twee echte basisknikgevaen zijn C. Hartsuijker en J.W. Weeman 01

209 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De tabeen 6. 7 en 6.8 zijn afgeeid uit de knikgevaen (7) en (8) en geven benaderingsformues voor de knikengte in het geva: beide rotatieveren dezefde stijfheid hebben; één van de rotatieveren een oneindig grote stijfheid heeft; één van de rotatieveren een stijfheid nu heeft. In de tabeen is tevens per geva aangegeven tussen weke grenzen de knikengte igt. Tabe 6.7 Tabe C. Hartsuijker en J.W. Weeman

210 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN In paragraaf 6.1. en werd de knikbeasting benaderd voor een enkezijdig voedig, respectieveijk verend ingekemde staaf die door een geijkmatig verdeede beasting op druk wordt beast. Voor deze gevaen zijn de benaderingsformues voor de knikbeasting opgenomen in tabe 6.9. Tabe C. Hartsuijker en J.W. Weeman 03

211 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA Enkee uitgewerkte voorbeeden In deze paragraaf worden de afgeeide formues toegepast op een aanta voorbeeden. Om de juiste knikformue te kunnen kiezen dient men eerst vast te steen of de staaf geschoord dan we ongeschoord is. Het is niet onverstandig om zich ook vooraf te reaiseren tussen weke grenzen de knikengte moet iggen. Tenzij duideijk anders is aangegeven treedt knik aeen op in het vak van tekening. In de numerieke uitwerking wordt vaak gested π 10. Voorbeed 1 Gegeven de verend ingekemde staaf in figuur 6.7. Ae benodigde informatie kan aan de figuur worden onteend. Gevraagd: De knikkracht F k. Figuur 6.7 Uitwerking: Hier gedt basisknikgeva (6), zie figuur 6.8: Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman

212 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN kr 6000 knm F k1 = = = 100 kn 5 m F π EI π 6000 knm = = 600 kn 4 4 (5 m) k = + = + = F F F 100 kn 600 kn 100 kn k k1 k De gevraagde knikkracht is dus: 100 kn F k = = 400 kn 3 Variantuitwerking: Men kan de knikkracht ook berekenen met de aternatieve formue vogens knikgeva (7.3): kr (6000 knm)(5 m) ρ = = = 5 EI 6000 knm k ρ = = = 6 ρ 5 Hiermee vindt men voor de knikkracht: F π EI π EI π (6000 knm ) = = = 400 kn k k 6 6 (5 m) C. Hartsuijker en J.W. Weeman 05

213 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed De verend ingekemde buigzame staaf in figuur 6.9 wordt door een geijkmatig verdeede beasting op druk beast. Houdt in de berekening aan: = 10 m, 3 EI = knm en 3 k r = 6 10 knm Gevraagd: De knikbeasting q k. Figuur 6.9. Uitwerking: De resutante van de geijkmatig verdeede beasting op de staaf is: Q = q Figuur 6.30 Hier gedt basisknikgeva (10), zie figuur 6.30: Q Q r k k 6 10 knm = = = 100 kn (10 m) k 3 8EI 8 (10 10 knm ) = = 800 kn (10 m) = + = + = Q Q Q 100 kn 800 kn 400 kn k k1 k C. Hartsuijker en J.W. Weeman

214 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN waaruit vogt: en 400 kn Q k = = 480 kn 5 Q k 480 kn q k = = = 48 kn/m 10 m C. Hartsuijker en J.W. Weeman 07

215 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 3 De verend ingekemde koom in figuur 6.31 heeft een engte = 6 m. Bij een veerstijfheid k r = 5400 knm/rad is gegeven dat de knikast 300 kn bedraagt. De buigstijfheid EI is onbekend. Figuur 6.31 Gevraagd: De knikast as k r = 700 knm/rad. Uitwerking: Uit de gegeven knikkracht voor de situatie met k r = 5400 knm/rad wordt eerst F k berekend, zie figuur 6.3: F = 300 kn k Hieruit vogt: kr 5400 knm F k1 = = = 900 kn 6 m k k k1 Figuur = = = F F F 300 kn 900 kn 900 kn 900 kn F k = = 450 kn C. Hartsuijker en J.W. Weeman

216 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Met deze waarde van F k is de gevraagde knikkracht te berekenen voor de situatie met k r = 700 knm/rad, zie figuur 6.33: Figuur 6.33 kr 700 knm F k1 = = = 450 kn 6 m F = 450 kn k = + = + = F F F 450 kn 450 kn 450 kn k k1 k Voor de gevraagde knikast vindt men dus: 450 kn F k = = 5 kn C. Hartsuijker en J.W. Weeman 09

217 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 4 Gegeven een prismatische hoogbouw met een doorsnede van hoogte van 300 m, zie figuur m en een Figuur 6.34 Wordt een van de geves beast door een horizontae winddruk van kn/m, dan treedt hierdoor aan de top een eerste-orde-uitbuiging op van 0,5 m. Gevraagd: Een schatting van het gebouwgewicht (incusief inhoud) in evenwicht instabie wordt. Uitwerking: Men kan gebruik maken van de naderingsformue: Met: Q k Qh = w 0 3 Q h = (50 m)(300 m)( kn/m ) = kn vindt men voor het kritisch gebouwgewicht: Q k 3 (30 10 kn)(300 m) 6 = = kn 0,5 m Het kritisch gebouwgewicht per q k 6 3 m is: kn = = 4 kn/m (50 50 m )(300 m) 3 3 kn/m waarbij het C. Hartsuijker en J.W. Weeman

218 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Voorbeed 5 Gegeven het knikprobeem in figuur 6.35a. Figuur 6.35 Gevraagd: a. Het gebied waarbinnen de knikengte/knikkracht igt. b. De knikkracht. Uitwerking: a. Knikstaaf AB is geschoord en kan worden geschematiseerd tot de verend ingekemde knikstaaf in figuur 6.35b. De knikengte k za iggen tussen k = 0,7 as de veer oneindig stijf is en k = as de veerstijfheid nu is, dus: 0,7 < k < Voor de knikkracht betekent dit: π EI π EI < F < k b. De stijfheid van de rotatieveer wordt geeverd door BC. Er gedt: BC 3EI 3EI k r = = BC 3EI AB ρ = kr 3 AB EI = EI = Voor de knikengte van de geschoorde staaf gedt overeenkomstig knikgeva (8.3): k 5 + ρ = = = 5 + ρ Hiermee vindt men voor de knikkracht: F π EI π EI π EI = = = 1,375 k 8 k 11 De knikkracht igt inderdaad tussen de vooraf aangegeven grenzen C. Hartsuijker en J.W. Weeman 11

219 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 6 Gegeven het knikprobeem in figuur 6.36a. Figuur 6.36 Gevraagd: a. Het gebied waarbinnen de knikengte/knikkracht igt. b. De knikkracht, uitgedrukt in EI en. Uitwerking: a. Knikstaaf AB is ongeschoord en kan worden geschematiseerd tot de knikstaaf in figuur 6.36b, die in A verend is ingekemde en in B niet kan roteren, maar we horizontaa kan verpaatsen. De knikengte k za iggen tussen k = as de rotatieveer oneindig stijf is (basisknikgeva ) en k = as de veerstijfheid nu is (basisknikgeva 1), dus: < k < Voor de knikkracht betekent dit: of π EI ( ) π EI < F < k π EI 0,5 π EI < F < k b. De stijfheid van de rotatieveer wordt geeverd door AC. Er gedt: k r ρ AC 3 EI 3 (0, 5 ) = = EI = 1,5 EI AC 0,6 EI 1,5 AB kr = = = AB EI EI 1, C. Hartsuijker en J.W. Weeman

220 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Voor de knikengte van staaf AB gedt knikgeva (7.): k k AB ( ) ρ = = 5 4ρ = = Hiermee vindt men voor de knikkracht: F π EI π EI 4 π EI π = = = = 0,444 EI k 9 k 9 4 De knikkracht igt inderdaad tussen de vooraf aangegeven grenzen C. Hartsuijker en J.W. Weeman 13

221 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 7 Gegeven de constructie in figuur 6.37, op twee verschiende manieren beast. Figuur 6.37 Gevraagd: In wek geva is de knikkracht het keinst? Uitwerking: a. Beastinggeva I Figuur 6.38 De op druk beaste staaf AB in figuur 6.38a kan worden geschematiseerd tot de verend ingekemde knikstaaf in figuur Hierbij is BC vervangen door een rotatieveer. Op staaf AB is knikgeva (8.) van toepassing: k r BC 3EI 3 3EI 9EI = = = BC C. Hartsuijker en J.W. Weeman

222 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 9EI AB ρ = kr 9 AB EI = EI = k k AB ( ) Hiermee vindt men: F 5 + ρ = = = = ρ π EI π EI π EI = = = 3,9 k1 14 k 46 b. Beastinggeva II Figuur 6.39 De op druk beaste staaf BC in figuur 6.39a is in figuur 6.39b geschematiseerd tot een verend ingekemde staaf. AB is nu vervangen door de rotatieveer. Op staaf BC is knikgeva (8.3) van toepassing: AB 4EI 4EI k r = = AB 4EI BC ρ = kr 4 BC EI = 3EI = 3 k k BC ( ) 5 + ρ 5 + 4/ 3 19 = = = = 5 + ρ / 3 3 Hiermee vindt men voor de knikkracht: F π (3 EI ) π (3 EI ) π EI = = = 3,63 k 19 k 3 De knikkracht is het keinst vogens beastinggeva I, waarbij AB op druk wordt beast en BC as rotatieveer werkt C. Hartsuijker en J.W. Weeman 15

223 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voorbeed 8 Gegeven de op druk beaste koom AB in figuur 6.40a. Ae benodigde informatie kan aan de figuur worden onteend. Houdt in de numerieke uitwerking aan = 1 m en EI = 5 MNm. Figuur 6.40 Gevraagd: a. De knikkracht F k. b. De knikkracht as de twee roopeggingen worden vervangen door scharnieropeggingen. Uitwerking: a. Koom AB is ongeschoord; B kan immers horizontaa verpaatsen. Voor de knikengte gedt: of: > = 1 m F k k k (1 m) 3 π (4 EI) π 4 (5 10 knm ) = < 6944 kn In figuur 6.40b is koom AB geschematiseerd tot een verend ingekemde staaf. Op deze staaf is basisknikgeva (7) van toepassing: 4EI 40EI k r;a = = 0,6 3 40EI AB kr;a 3 10 ρa = = = AB EI 4EI ηa = 4 + = 4 + = 7 ρ 10/3 A C. Hartsuijker en J.W. Weeman

224 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 3EI 0EI k r;b = = 0,3 0EI AB kr;b ρb = = = 5 AB EI 4EI ηb = 4 + = 4 + = 6 ρ 5 B ( ) ( η + η ) k k ηaη B ηa ηb AB + A B ( ) 378 = = = = =,37 ( ) (7 6) 169 Hiermee vindt men voor de knikkracht: F π (4 EI) π (4 EI) π 4 (5000 knm ) = = = 3104 kn k k,37,37 (1 m) De knikkracht is inderdaad keiner dan 6944 kn. b. As de roopeggingen bovenin worden vervangen door scharnieropeggingen kan B niet meer horizontaa verpaatsen, zie figuur 6.41a. Voor de nu geschoorde koom AB za de knikengte k keiner zijn dan de koomengte : k < Dit betekent voor de knikast F k : F π EI π (4 EI) π 4 (5000 knm ) = > = 6944 kn k k (1 m) Figuur C. Hartsuijker en J.W. Weeman 17

225 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 In figuur 6.41b is koom AB geschematiseerd tot een verend ingekemde staaf. Voor de berekening van de knikkracht kan men gebruik maken van basisknikgeva (8). Eerder werd voor de stijfheidsverhoudingen ρ A en ρ B a gevonden: AB r;a AB k ρ A = = EI Hiermee vindt men: 10 3 en AB r;b AB k ρ B = = 5 EI k k ρa ρb AB ρa ρb ( ) waaruit vogt: F (5 + )(5 + ) (5 + 10/ 3)(5 + 5) 10 = = = = (5 + )(5 + ) (5 + 10/ 3)(5 + 5) 1 π (4 EI) π (4 EI) π 4 (5000 knm ) = = = kn k k (1 m) 1 1 De knikkracht is inderdaad groter dan 6944 kn. Opmerking: In dit geva bijkt de knikkracht van de geschoorde staaf 4,7 maa zo groot te zijn as de knikkracht van de ongeschoorde staaf C. Hartsuijker en J.W. Weeman

226 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Voorbeed 9 Gegeven het ongeschoorde raamwerk in figuur 6.4. De koommen hebben een drie keer zo grote buigstijfheid as de reges. Houdt in de numerieke uitwerking aan: = 4 m en EI = 1 MNm. Figuur 6.4 Gevraagd: a. De knikbeasting F k. b. De knikbeasting as het raamwerk wordt geschoord. Uitwerking: a. Beide koommen worden even zwaar beast en zuen dus geijktijdig uitknikken. De reges werken daarbij as verende inkemmingen. In figuur 6.43 zijn twee mogeijke knikvormen getekend: een symmetrische en een keersymmetrische. Figuur 6.43 In figuur 6.43a, de symmetrische knikvorm, verpaatsen de knooppunten niet en kan men de koommen as geschoord opvatten. In dat geva is de knikengte atijd keiner dan de koomengte. In figuur 6.43b, de keersymmetrische knikvorm, verpaatsen de knooppunten we. De koommen zijn nu ongeschoord een hebben een knikengte die atijd groter is dan de koomengte C. Hartsuijker en J.W. Weeman 19

227 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Bij knik geeft de grootste knikengte de keinste knikast. De keersymmetrische knikvorm is dus maatgevend. Dit knikgeva wordt hierna verder uitgewerkt. In figuur 6.44b is koom AB uit het raamwerk geschematiseerd tot een verend ingekemde staaf. Boven- en onderrege everen dezefde veerstijfheid, die kan worden berekend aan de hand van figuur 6.44c: M M M θ = = 3EI 6EI 6EI Hieruit vindt men: k r M 6EI = = θ Figuur 6.44 Omdat de verende inkemmingen onder en boven dezefde stijfheid hebben is op koom AB knikgeva (7.1) van toepassing: ρ 6EI 1,5 AB kr = = = AB EI k k AB 3EI 5 + ρ = = = = ( ) (1,5 ) ρ 3 3 Hiermee vindt men voor de knikkracht F k : F AB π EI π (3 EI) π EI = = = 0,5 k 8 k (1,5 ) 3 3 Met = 4 m en F 3 EI = 1 10 knm betekent dit numeriek: k 3 π (1 10 knm ) 3 = 0,5 3,75 10 kn (4 m) b. As het raamwerk wordt geschoord (bijvoorbeed door twee kruisschoren in de vorm van dunne staen strippen die aeen trekkrachten kunnen opnemen), dan za de eerder genoemde symmetrische knikvorm optreden, zie figuur 6.45a C. Hartsuijker en J.W. Weeman

228 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN Figuur 6.45 In figuur 6.45b is koom AB geschematiseerd tot een verend ingekemde staaf. De veerstijfheid kan men berekenen aan de hand van figuur 6.45c: M M M θ = + = 3EI 6EI EI Hieruit vindt men: k r M EI = = θ Voor een geschoorde staaf waarvan de rotatieveren onder en boven dezefde stijfheid hebben gedt knikgeva (8.1): ρ EI 1,5 AB kr = = = AB EI k k AB 3EI ρ = = ( ) (1,5 ) 5 ρ = = Voor de knikkracht F k vindt men nu: F AB π EI π (3 EI) 49 π EI π EI = = = = 1,815 k 36 k (1,5 ) 7 49 Met = 4 m en F 3 EI = 1 10 knm betekent dit numeriek: k 3 π (1 10 knm ) 3 = 1,815 13,61 10 kn (4 m) Opmerking: Bij het geschoorde raamwerk igt de knikast 3,63 maa zo hoog as bij het ongeschoorde raamwerk C. Hartsuijker en J.W. Weeman 1

229 Extra voorbeed Voorbeed van buigingsknik bij portaen Van het hieronder weergegeven portaa wordt de knikvorm en de knikast gevraagd. F F ae staven buigstijfheid EI. h Figuur A1 : Portaa beast met verticae puntasten Mogeijke knikvormen zijn hieronder weergegeven. Daarbij is de hoofdindeing die tussen geschoorde en ongeschoorde situaties. F F F F ae staven buigstijfheid EI. h ae staven buigstijfheid EI. h Figuur A- : Geschoorde knikvormen Van figuur A- za de inker knikvorm de aagste knikast hebben aangezien de veerstijfheid van de verbuigende rege bij deze uitbuigingsvorm ager is dan die van de rechter uitbuigingsvorm (ga dat zef na!). Daarbij komt dat de rechter uitbuigingsvorm niet za kunnen optreden aangezien hier feiteijk geen horizontaa evenwicht mogeijk kan zijn gezien de optredende dwarskracht in de koommen. De niet-symmetrische uitbuigingsvorm za dus moeten eiden tot een horizontae verpaatsing van de rege opdat evenwicht in de verpaatste stand nog juist mogeijk is (definitie van stabie evenwicht). De daarbij behorende knikvorm is de ongeschoorde knikvorm van figuur A-3 op de vogende badzijde C. Hartsuijker en J.W. Weeman, TU-Deft

230 Extra voorbeed F F ae staven buigstijfheid EI. h Figuur A-3 : Ongeschoorde knikvorm Ga zef na dat net as in het vorige voorbeed de knikkracht voor A- en A-3 kan worden bepaad met : A-: EI h h ρ1 = 0; ρ = = ; EI 5 + ρ 5 + ρ π EI 5 + 4h π EI Fk = = h 5 + h h ( 1)( ) ( ρ )( ρ ) 1 A-3 : 6EI h 6h 10 ρ1 = 0; η1 = ρ = = ; η = 4 + EI 6h 1 π EI 3h π EI Fk = = η h 1h + 5 h Voor verschiende waarden van en h kan grafisch worden aangetoond dat de ongeschoorde knikvorm atijd maatgevend is. In de rechter figuur zijn voor de geschoorde en ongeschoorde situatie de knikastfactoren uitgezet waar bij h en variëren van 0 tot 10 m. Hieruit bijkt dat voor het gekozen domein van h en de aagste knikast hoort bij het ongeschoorde geva. geschoord: ongeschoord: 5 + 4h 5 + h 3h 1h + 5 geschoord ongeschoord Merk op dat bij het ongeschoorde geva de vervangende veerstijfheid van de rege groter is dan bij het geschoorde geva maar dat toch de knikast ager is C. Hartsuijker en J.W. Weeman, TU-Deft a