CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Module : Stabiliteit van het evenwicht

Transcriptie

1 CTB10 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Module : Stabiliteit van het evenwicht Deel : Vraagstukken December 016 C. Hartsuijker en J.W. Welleman

2 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 CTB10 MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN Civiele Techniek TU-Delft December 016

3 Voorwoord Dit dictaat maakt onderdeel uit van de leerstof van CTB10 ConstructieMechanica 3. De theorie en voorbeelden in dit dictaat zijn zo uitgewerkt dat dit onderdeel in zelfstudie bestudeerd kan worden. Op het college worden de hoofdzaken aan de hand van voorbeelden toegelicht. De student wordt geacht zelf deze onderwerpen nader te bestuderen. De zelfstudie wordt met behulp van de COZ ondersteund. Daarnaast zijn de sheets die op het college worden gebruikt te downloaden van het internet. Ook extra oefenmateriaal kan hier worden verkregen. Deze site is te vinden op: Voor vragen bij het bestuderen van de stof en/of assistentie bij opdrachten kan gebruik gemaakt worden van de service van de studentassistenten van ConstructieMechanica. Voor meer informatie wordt verwezen naar de onderstaande web-site: Ondanks de grootste zorgvuldigheid bij het samenstellen van dit dictaat zijn onvolkomenheden niet uit te sluiten. Wij stellen het zeer op prijs dat fouten en onduidelijkheden worden gemeld. De auteurs, Coen Hartsuijker en Hans Welleman, December 016

4 Inhoudsopgave LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITEIT... iii 1. Stabiliteit van het evenwicht Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad Knik van gekoppelde starre staven Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden Knik van buigzame staven basisknik-gevallen Knik van verend ingeklemde buigzame staven Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame staven Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen Formule van Rayleigh * Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen) Vergrotingsfactor (buigzame staven) Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag

5 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITEIT Deze leeswijzer geeft een overzicht van de te bestuderen onderdelen van het dictaat ConstructieMechanica 3 : Stabiliteit van het Evenwicht. Het nieuwe dictaat is opgezet als een compleet overzicht van de basismechanica die over het onderwerp stabiliteit handelt. Dit gaat verder dan de leerdoelen die getoetst worden op het tentamen ConstructieMechanica 3. Het dictaat is in vergelijking tot het oude dictaat hierdoor in omvang toegenomen maar dit komt met name door de vele zeer uitgebreide voorbeelden. Hierdoor is dit dictaat veel beter geschikt als modern leermiddel. In deze leeswijzer zal per hoofdstuk worden aangegeven welke onderdelen getoetst worden en welke delen verrijkingsstof zijn. Een ruime hoeveelheid opgaven is opgenomen in dit tweede deel. Het is beslist niet de bedoeling alle opgaven te bestuderen. Maak een selectie aan de hand van de in deze leeswijzer genoemde opgaven. De antwoorden/uitwerkingen van genoemde opgaven in deze leeswijzer zijn te vinden op BlackBoard / internet. Hoofdstuk 1 In dit hoofdstuk wordt het kader en de begrippen uiteengezet. Deze stof is essentieel voor het herkennen van stabiliteitsproblemen. De theorie kan op het tentamen worden getoetst met theorievragen. Belangrijke constatering van de kennismaking met stabiliteit van het evenwicht is dat een stabiel evenwicht een evenwicht is waarbij de belaste constructie bij een kleine verplaatsing t.o.v. de evenwichtsstand terugkeert naar deze evenwichtsstand. Zie hiervoor ook de introductie-video op BlackBoard. Hoofdstuk Dit hoofdstuk start met de stabiliteit van het evenwicht van starre staafsystemen met 1 vrijheidsgraad. Aan de hand van deze eenvoudige systemen is de kern van een stabiliteitsprobleem uit een te zetten. Paragraaf.1 en de voorbeelden behandelen de standaard aanpak: zet de constructie in de verplaatste stand maak de constructie vrij en geef alle verbindingskrachten aan stel de evenwichtsvoorwaarde(n) op in de verplaatste stand onderzoek de aard van dit evenwicht en bepaal bij welke belasting er nog juist evenwicht is Bij het oplossen van de gelineariseerde evenwichtsvergelijking blijkt dat de verplaatsing van de vrijheidsgraad er niet toe doet (onder de aanname dat deze klein is) Paragraaf. over het naknikgedrag is geen tentamenstof. Het begrip naknikgedrag moet je wel kennen, het bepalen ervan valt buiten het bestek van deze BSc-cursus. Paragraaf.3 behandelt een aantal essentiële voorbeelden. Van voorbeeld 1 en 9 is het naknikgedrag op blz 43 en 63 leesstof C. Hartsuijker en J.W. Welleman iii

6 LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Hoofdstuk 3 In dit hoofdstuk worden gekoppelde staafsystemen behandeld met 1 vrijheidsgraad. In paragraaf 3.1 wordt de essentie hiervan weergegeven. De standaard aanpak van hoofdstuk is ook hier van toepassing. Bij het opstellen van de evenwichtsvergelijkingen moet er echter op gelet worden dat het evenwicht wordt beschouwd van ieder vrijgemaakt deel en dat tussen deze vrijgemaakte delen verbindingkrachten kunnen zitten. Belangrijk bij de oplossingsfase is om de evenwichtsvergelijkingen zodanig te combineren dat deze verbindingkrachten worden geëlimineerd. In het voorbeeld op blz wordt dit verder verduidelijkt. De generalisatie naar systemen met meer dan twee gekoppelde staven is louter ter toelichting. De afgeleide formules zijn niet bedoeld om te onthouden. De essentie is dat de belasting op een gekoppeld systeem kan worden vervangen door een aanpendelende belasting die extra op het geschoorde element wordt geplaatst. Zie hiervoor ook de sheets over dit onderwerp. Dit onderdeel wordt veelal getoetst op het tentamen en keert terug in hoofdstuk 8. De theorie wordt in paragaaf 3.3 verder verduidelijkt aan de hand van voorbeelden waarbij voorbeeld 1,, 5, 8 en 9 de belangrijkste zijn. Hoofdstuk 4 Na constructies met 1 vrijheidsgraad wordt in dit hoofdstuk de complexiteit verhoogd door te kijken naar constructies met vrijheidsgraden. Dit is in feite een tussenstap naar het onderzoeken van continue systemen van hoofdstuk 5. Paragraaf 4.1 introduceert de aanpak voor systemen met vrijheidsgraden. Essentieel is dat er t.o.v. de systemen met 1 vrijheidsgraad nu een stelsel van evenwichtsvergelijkingen ontstaat. Dit stelsel is een homogeen stelsel (rechterlid is nul) waarvoor alleen een niet-triviale oplossing kan worden gevonden indien de determinant van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan nul. Dit levert twee kniklasten. De laagste kniklast is maatgevend. Ook nu blijkt dat de grootte van de verplaatsingen van de vrijheidsgraden niet kunnen worden bepaald. De verhouding tussen de verplaatsingen kunnen wel worden bepaald. Net als bij systemen met 1 vrijheidsgraad is de uitbuigingsvorm wel bekend, de grootte ervan echter niet. Op blz 113 wordt in een variantuitwerking de relatie gelegd met het eigenwaarde probleem in de wiskunde. Deze aanpak behoort tot de tentamenstof. Bestudeer voorbeeld bekijk voorbeeld 3 en 4. Hoofdstuk 5 Na de starre systemen wordt in dit hoofdstuk gekeken naar buigzame staven. Dit leidt tot een continue beschrijving m.b.v. de differentiaalvergelijking voor buigingsknik. Belangrijke paragrafen zijn 5.1 en 5.. In paragraaf 5.1 wordt voor een eenvoudige staaf de Eulerse knikkracht bepaald m.b.v. een e orde D.V. Belangrijk bij deze afleiding is om in te zien dat dit mogelijk is aangezien de verticale oplegreacties nul zijn waardoor in iedere snede de verticale component van de snedekrachten S z ook nul moet zijn. In paragraaf 5. is voor de algemene op druk belaste buigzame staaf niet voldaan aan deze eis en leidt de complete aanpak van het evenwicht in de verplaatste stand tot een 4 e orde D.V. waarvan de algemene oplossing in paragraaf 5.3 wordt bepaald. Als de continue belastingen in x- en z-richting afwezig zijn geldt: iv C. Hartsuijker en J.W. Welleman

7 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER EIw'' '' + Fw'' = 0 S z = M ' Fw' w( x) = C cosαx + C sinαx + C x + C met : α = F EI Van dit theoriegedeelte is het belangrijk de modelstappen te (her)kennen en met de differentiaalvergelijking de basisknikgevallen te kunnen onderzoeken. Met name het omgaan met de randvoorwaarden is hierbij essentieel. De resultaten van deze aanpak leidt tot de vijf basisknikgevallen die op blz 146 en 148 grafisch zijn weergegeven. Het oordeelkundig kunnen toepassen van deze basisgevallen is essentieel. De voorbeelden illustreren deze aanpak. Let vooral op voorbeeld 10. Bij het gelijktijdig uitknikken van de twee op druk belaste staven kunnen de staven geen stijfheid (weerstand) aan elkaar ontlenen en heeft de starre verbinding tussen de beide staven feitelijk geen betekenis. Nog een belangrijk aspect dat in dit hoofdstuk aan de orde komt is het onderscheid tussen globale instabiliteit en locale instabiliteit. Ook is het onderkennen van verschillende knikvormen een belangrijk element. Voorbeelden hiervan zijn ook in het college behandeld met name of de starre knikvorm (globale knik) dan wel de locale (Eulerse knik) maatgevend is. Hoofdstuk 6 Dit hoofdstuk handelt over verend ingeklemde op druk belaste buigzame staven. De veren zijn rotatieveren. In dit hoofdstuk worden drie basissystemen behandeld: paragraaf 6.1 : Enkelzijdig verend ingeklemde staaf paragraaf 6. : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, ongeschoorde constructie paragraaf 6.3 : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, geschoorde constructie In paragraaf 6.1 wordt gestart met de enkelzijdig verend ingeklemde staaf. Met de 4 e orde D.V. en vier randvoorwaarden wordt een homogeen stelsel vergelijkingen opgelost waarmee de kniklast uit een transcendente vergelijking kan worden opgelost. Deze oplossingmethode is weliswaar exact maar niet erg praktisch. Aangetoond wordt dat een zeer nauwkeurige benaderingsformule kan worden gevonden voor deze enkelzijdig verend ingeklemde staaf = + LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de F k r / l π EI enkelzijdig verend ingeklemde staaf! (l) De alternatieve benaderingen van dit probleem in paragraaf 6.1. en zijn geen tentamenstof. De tweezijdig verend ingeklemde staaf uit paragraaf 6. is zodanig opgelegd dat de steunpunten loodrecht t.o.v. de oorspronkelijke staafas kunnen verplaatsen. Deze situatie komt voor in ongeschoorde raamwerken. Door handig gebruik te maken van de plek van het buigpunt in de uitbuigingsvorm kan een formule worden opgesteld voor de kniklast C. Hartsuijker en J.W. Welleman v

8 LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3 F k = η η 1 ( η1 + η ) ( η + η 4) 1 π EI l 10 r1 l η1 = 4 + ; ρ1 = ρ1 EI met : 10 rl η = 4 + ; ρ = ρ EI In deze paragraaf wordt tevens aangetoond dat de kniklast voor de enkelzijdig verend ingeklemde staaf uit paragraaf 6.1 ook met deze formule kan worden gevonden. In paragraaf 6.3 komt het laatste basisgeval voor verend ingeklemde buigzame staven aan bod. De staaf is nu geschoord hetgeen inhoudt dat de beide steunpunten loodrecht op de staafas niet t.o.v. elkaar verplaatsen. Aangetoond wordt dat voor deze situatie een kniklast kan worden gevonden met de onderstaande formule: F k = met : ( 5 + ρ1 )( 5 + ρ ) ( 5 + ρ )( 5 + ρ ) 1 r1 l ρ1 = EI rl ρ = EI π EI. l LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de verend ingeklemde ongeschoorde staaf! LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de verend ingeklemde geschoorde staaf! In paragraaf 6.4 is het geheel nog een keer samengevat met een overzicht van de gebruikte formules voor diverse configuraties van rotatieveren. De formules worden op het tentamen allemaal gegeven op een bijgevoegd formuleblad. In paragraaf 6.5 worden diverse voorbeelden behandeld. Bestudeer met name voorbeeld 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en de uitbreiding van blz en a. Hoofdstuk 7 : Bijzondere verende ondersteuningen In hoofdstuk 7 zijn diverse voorbeelden gegeven van mogelijke verende ondersteuningen. Dit kunnen zowel rotatie als translatieveren zijn. Van dit hoofdstuk is alleen van belang om de stappen in de modelvorming te herkennen. Met name het formuleren van de randvoorwaarden en het uitwerken van de randvoorwaarden m.b.v. de D.V. zijn hierbij belangrijke stappen. Hoofdstuk 8 : Aanpendelende belasting voor buigzame knikstaaf Hoofdstuk 8 gaat nogmaals in op de aanpendelende belasting zoals geïntroduceerd in hoofdstuk 3. Voor diverse buigzame knikstaven wordt gekeken naar de kniklast. In de sheets wordt een iets andere benadering gekozen, Voor een aantal voorbeelden wordt onderzocht in hoeverre de exacte maximale belasting zich verhoudt tot het eenvoudige model dat in hoofdstuk 3 is gevonden. F F k 1 = ml 1+ l 1 Uit het onderzoek blijkt dat deze aanpak conservatief is en een goede afschatting geeft van de maximale belasting op een gekoppeld systeem waarbij het schorende element een op druk belaste buigzame staaf is (les7.pdf). vi C. Hartsuijker en J.W. Welleman

9 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER Hoofdstuk 9 Dit hoofdstuk behoort niet tot de tentamenstof. Hoofdstuk 10 In dit hoofdstuk wordt het begrip vergrotingsfactor geïntroduceerd. Dit onderwerp komt terug bij de construerende vakken en is buitengewoon belangrijk voor de ingenieurspraktijk. Het blijkt dat initieel scheef staande constructies die op druk worden belast, door de excentrisch aangrijpende drukkracht, schever gaan staan. De uiteindelijke scheefstand kan worden uitgedrukt in de initiële scheefstand d.m.v. een zgn. vergrotingsfactor. Voor starre staafsystemen geldt: w = n w n 1 0 met : n = Fk F vergrotingsfactor Naarmate de belasting F dichter in de buurt ligt van de kniklast neemt de vergrotingsfactor steeds meer toe. Om constructies dus min of meer ongevoelig te maken voor het e orde effect (d.w.z. gevoelig voor het schever gaan staan door invloed van de excentrische kracht in combinatie met de initiële scheefstand) is het dus noodzakelijk de vergrotingsfactor niet te groot te laten worden. Een factor 1,1 betekent dat de verplaatsingen en ook de krachtsverdeling in de constructie met 10% toeneemt. Vaak is dit al onacceptabel. Om een vergrotingsfactor kleiner dan 1,1 te verkrijgen moet de factor n groter zijn dan 11. Hetgeen inhoudt dat de werkelijke belasting één-elfde-deel van de kniklast mag zijn.! Het onderdeel op blz 31 betreffende de exacte oplossing die ook geldig is bij grote verplaatsingen is geen tentamenstof. Aardig detail van dit onderdeel is overigens wel dat de starre staaf met translatieveer een naknikgedrag heeft dat niet stabiel terwijl het systeem met een rotatieveer wel een stabiel naknikgedrag heeft. Een initiële scheefstand kan ook worden veroorzaakt door horizontaal aangrijpende belastingen (netjes dwarsbelasting genoemd). Paragraaf 10. behandelt dit onderwerp. De initiële scheefstand ten gevolge van alleen de dwarsbelasting is in feite een eerstejaars mechanica-uitdaging en kan worden bepaald met een zgn. eerste orde berekening. LET OP : Bestudeer grondig de begrippen die in dit hoofdstuk aan de orde komen, met name de begrippen 1 e en e orde zijn van belang! Hoofdstuk 11 In hoofdstuk 11 wordt onderzocht of de vergrotingsfactor uit hoofdstuk 10 ook geldig is voor buigzame staven. Het blijkt in het algemeen niet zo te zijn maar de praktische formule geeft over het algemeen prima resultaten. In de college sheets wordt met behulp van voorbeelden de procedure uiteengezet hoe de exacte vergrotingsfactor kan worden bepaald. Ook hier geldt dat alleen de modelstappen van belang zijn. Op het tentamen wordt zeker niet gevraagd om voor een bijzonder geval de exacte vergrotingsfactor te bepalen. Paragraaf 11.3 is extra verrijkingstof en geen tentamenstof C. Hartsuijker en J.W. Welleman vii

10 LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Hoofdstuk 1 Het laatste onderwerp behandelt de invloed van plasticiteit op het bezwijkgedrag van constructies. Hiervoor is het noodzakelijk om uit deel 3 Toegepaste Mechanica van Hartsuijker en Welleman hoofdstuk 3 (blz 383) en met name paragraaf (blz 390) te bestuderen. Een samenvatting van het meest relevante onderdeel van dit hoofdstuk is hieronder weergegeven. ACTIE : Loop zelf deze samenvatting na aan de hand van de genoemde passages! Hier wordt voor een op buiging belaste doorsnede gekeken naar het maximale moment dat de doorsnede kan opnemen als we toestaand dat overal in de doorsnede vezels de trek en druk spanningen mogen toenemen tot de (maximale) vloeispanning van het materiaal. Voor een rechthoekige doorsnede kan eenvoudig worden gevonden dat geldt: bh M p = 4 f y Waarbij M p staat voor het volplastisch moment van de doorsneden. Als alleen in de uiterste vezels de vloeispanning wordt toegestaan geldt de bekende elastische grenswaarde voor het moment in de doorsnede: bh M e = 6 f y Voor de rechthoekige doorsnede geldt dat deze volplastisch 1,5 keer het elastisch moment kan dragen. Er zit dus boven de elastische grens voor deze doorsnedevorm nog flink wat reserve draagvermogen in de doorsnede. De factor 1,5 wordt de vormfactor genoemd en veelal aangeduid met de letter α. Door plastisch gedrag van de doorsnede in combinatie met een initiële scheefstand kan veel eerder instabiliteit ontstaan. De kniklast is dan helemaal niet maatgevend. Op blz 385 is in figuur 1.3 dit grafisch weergegeven. De kritieke belasting waarbij bezwijken door instabiliteit ontstaat wordt aangegeven met F c. Als w p de verplaatsing is waarbij plasticiteit optreedt kan eenvoudig een verband worden gevonden tussen de kritieke belasting F c, de kniklast F k, de initiële scheefstand w o en de verplaatsing w p : F F C k + w w o p = 1 formule van Merchant Als de initiële scheefstand wordt veroorzaakt door b.v. een horizontale belasting H c dan kan deze formule worden herschreven tot : F F C k + H H C p = 1 Hierin is H p de kracht waarbij volgens een eerste orde berekening voor het eerst de doorsnede volplastisch wordt. LET OP : 1 e orde betekent dus zonder de invloed van de excentrisch aangrijpende drukkracht want dat is juist de e orde component in het geheel! ACTIE : Bestudeer de uitgewerkte tentamenopgaven, maak deze ook zelf en maak de opgaven achter in het boek waarvan de antwoorden en veelal de uitwerkingen van zijn gegeven. viii C. Hartsuijker en J.W. Welleman

11 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER C. Hartsuijker en J.W. Welleman ix

12

13 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT 1. Stabiliteit van het evenwicht 1.1 Wat verstaat men onder stabiel evenwicht? 1. Waarom dient men te spreken over de stabiliteit van het evenwicht en is het onjuist te spreken over de stabiliteit van een constructie? 1.3-1/ Gegeven twee buigzame staven. Schets voor elke staaf twee kinematisch mogelijke configuraties in de omgeving van de evenwichtsstand. 1.4 Wat is het essentiële verschil tussen een geometrisch lineaire berekening en een geometrisch niet-lineaire berekening? 1.5 Iemand vraagt u naar het verschil tussen neutraal en instabiel evenwicht. Hoe zou u deze vraag kunnen beantwoorden? 1.6 Gevraagd de aard van het evenwicht van een kogeltje met gewicht G dat zich in 3 x = 0 op het vlak z = ax bevindt. De z-richting is evenwijdig aan de richting van de zwaarteveldsterkte C. Hartsuijker en J.W. Welleman 1

14 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA C. Hartsuijker en J.W. Welleman

15 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad Opmerking vooraf: Staven waarbij geen stijfheid wordt vermeld moeten als oneindig stijf worden opgevat..1 Een homogene prismatische staaf met een massa van m 1 = 00 kg is scharnierend opgelegd in A. Onder aan de staaf hangt aan een koord een homogeen blok met een massa van m = 1100 kg. De staaf wordt bovenin belast door een verticale kracht F. De zwaarteveldsterkte bedraagt 10 N/kg. De knikbelasting F k..-1/ Starre staaf AB is in A scharnierend opgelegd en in B opgehangen aan een draad. Het systeem wordt belast door het gewicht van de massa s m 1 en m en is in evenwicht C. Hartsuijker en J.W. Welleman 3

16 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De verhouding m1/ m waarbij het evenwicht stabiel is voor: 1. θ = 0.. θ = / Een massieve homogene kubus met gewicht G wordt in de getekende stand in evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid k. De veren zijn op twee verschillende manieren gepositioneerd. Het blokgewicht waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt..4-1/ Een massieve homogene kubus met gewicht G = 300 kn wordt in de getekende stand in evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid k = 50 kn/m. De veren zijn op twee verschillende manieren gepositioneerd. Op de top grijpt een verticale kracht F aan. Bij welke kracht F wordt het evenwicht instabiel? C. Hartsuijker en J.W. Welleman

17 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.5-1/ Gegeven twee verend ingeklemde oneindig stijve staven. a. De kniklast F k. b. Als de staaflengte groter wordt, neemt de kniklast dan toe of af?.6-1 t/m 3 Gegeven drie door translatieveren gesteunde oneindig stijve kolommen. a. De knikkracht F k. b. Als de kolomlengte groter wordt, en de veren blijven op dezelfde hoogte, neemt de knikkracht dan toe of af? c. Als de veren lager worden geplaatst, neemt de knikkracht dan toe of af? C. Hartsuijker en J.W. Welleman 5

18 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3.7-1/ Houd in de berekening aan EI = 4500 knm. De kniklast F k..8-1/ Houd in de berekening aan EI = 30 MNm. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

19 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.9-1 t/m 4 De op druk belaste kolom is oneindig stijf. Houd voor de buigstijfheid van de regels in de berekening aan EI 1 = 8 MNm en EI = 16 MNm. a. De kniklast F k. b. De richting waarin de oneindig stijve kolom in werkelijkheid uitknikt t/m 4 Een oneindig stijve kolom is ingeklemd in een ligger met buigstijfheid EI = 000 knm die op vier verschillende manieren in de uiteinden is opgelegd C. Hartsuijker en J.W. Welleman 7

20 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De knikkracht F k t/m 3 Het evenwicht van de drie oneindig stijve constructies is bij de gegeven belasting stabiel. De vereiste stijfheid k van de translatieveren..1 Spant ABCD heeft een gewicht G dat men geconcentreerd mag denken in B. De twee even zware blokken die aan de staven AE en CF en deels in het water hangen zijn even zwaar en hebben een horizontale doorsnede van 1 m. Het spantgewicht G k waarbij het evenwicht instabiel wordt C. Hartsuijker en J.W. Welleman

21 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.13 In de getekende constructie is BCDG onvervormbaar. Van AB en DE is de buigstijfheid EI; de wringstijfheid is verwaarloosbaar klein. De hoekverbindingen in B en D zijn volkomen stijf. Bij de aangegeven belasting kan knik optreden door rotatie van BCDG om BCD, maar ook door rotatie van BCDG om een as door C loodrecht op BCDG. a. De verhouding a/ b waarbij de knikkracht voor beide gevallen gelijk is. b. De grootte van deze kniklast..14 In een hanggebouw dragen alle vier verdiepingen dezelfde gelijkmatig verdeelde volbelasting q. De benodigde gegevens kunnen aan de figuur worden ontleend. De belasting q k waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt C. Hartsuijker en J.W. Welleman 9

22 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA / Gegeven twee oneindig stijve verend ingeklemde constructies. De knikbelasting F k t/m 4 De knikbelasting F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

23 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.17-1/ Gegeven twee oneindig stijve constructies in evenwicht gehouden door translatieveren. De stijfheid van de veren is uitgedrukt in k = 50 kn/m. De knikkracht F k t/m 4 Vier oneindig stijve op druk belaste staven worden in evenwicht in evenwicht gehouden door translatie en rotatieveren waarvan de stijfheden in de figuur zijn gegeven. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman 11

24 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 3 De resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting q op de oneindig stijve kolom AB is Q. De knikbelasting Q k..0-1/ Gegeven hetzelfde spant op twee verschillende manieren belast door een kracht F. De stijlen zijn oneindig stijf; de regel heeft een buigstijfheid EI. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt..1-1/ De op druk belaste kolommen zijn oneindig stijf. Houd verder in de berekening aan EI = 9 MNm. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

25 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.-1 t/m 3 Dezelfde gegevens als in opgave.1. De knikkracht F k..3-1/ Gegeven twee symmetrische spanten met oneindig stijve kolommen. Houd voor de buigstijfheid van de regels aan EI 1 = 10 MNm en EI = MNm. De belasting waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt..4 De knikbelasting van het getekende raamwerk met oneindig stijve kolommen is F = 000 kn. k De lengte l van de regels C. Hartsuijker en J.W. Welleman 13

26 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 3 In de getekende constructies en hebben alle buigzame delen een buigstijfheid EI, zoals in de figuur is aangegeven. Alle andere delen zijn oneindig stijf. De linker kolom wordt belast door een drukkracht F en de rechter door een drukkracht λ F. a. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt, uit te drukken in EI, l en λ. b. In welke mate beïnvloedt de verdeling van de belasting over beide kolommen de grootte van de totale belasting ( F + λf) waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt?.6-1/ Houd in de berekening aan EI = 7000 knm en k t = 1000 kn/m. De knikkracht F k..7 In welk geval kan men in opgave.6 spreken van een systeem met a. parallel geschakelde veren? b. in serie geschakelde veren? C. Hartsuijker en J.W. Welleman

27 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.8-1 t/m 4 Houd in de berekening aan EI = 5000 knm, k t = 600 kn/m en k r = 700 knm/rad. De delen waar geen stijfheid staat bijgeschreven zijn oneindig stijf. De knikkracht F k..9 In welke gevallen kan men in opgave.8 spreken van een systeem met a. in serie geschakelde veren? b. parallel geschakelde veren?.30 Een starre staaf wordt aan de top in evenwicht gehouden door twee horizontale draden die alleen trekkrachten kunnen overbrengen. In onbelaste toestand is de constructie spanningsloos. De draden hebben een rekstijfheid EA C. Hartsuijker en J.W. Welleman 15

28 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De knikkracht F k. b. Naar welke kant zal de staaf uitknikken?.31 Als opgave.30, maar nu heerst in beide draden een voorspankracht S t/m 3 Een starre mast is onder scharnierend opgelegd en boven afgetuid met draden. In de draden heerst een voorspankracht S 0. a. Wat is de aard van het evenwicht: stabiel, labiel of neutraal? b. Motiveer uw antwoord..33 Een homogeen driehoekig blok ABC met gewicht G is in A scharnierend opgelegd en in B en C door middel van draden spanningsloos verbonden met twee ingeklemde kolommen met buigstijfheid EI = 36 MNm. De draden kunnen alleen trekkrachten overbrengen en mogen voor dat geval worden geschematiseerd tot translatieveren met een stijfheid k t = 500 kn/m. Het kritische gewicht G k van het blok C. Hartsuijker en J.W. Welleman

29 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.34-1/ Een starre mast is afgetuid met draden. In onbelaste toestand is de constructie spanningsloos. De rekstijfheden van de draden zijn uitgedrukt in EA. a. De knikkracht F k. b. Naar welke kant zal de mast uitknikken?.35-1/ In de getekende constructie zijn AB, CD en AD oneindig stijf. BC is een buigzame staaf met buigstijfheid EI = 50 knm. Houd verder in de berekening aan l = 3 m. De constructie wordt op twee verschillende manieren belast. De knikkracht F k bij de aangegeven belasting C. Hartsuijker en J.W. Welleman 17

30 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 3 Een starre staaf met lengte l is op drie verschillende manieren verend opgelegd. a. De knikkracht F k. b. Leid uit het onder a gevonden resultaat de knikkracht af voor het extreme geval een van beide veerstijfheden oneindig groot, respectievelijk nul is (vier mogelijkheden) C. Hartsuijker en J.W. Welleman

31 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3. Knik van gekoppelde starre staven Opmerkingen vooraf: Gebruik de afgeleide formules bij de vraagstukken uitsluitend als controle op de door u uitgevoerde berekeningen. Gebruik de afgeleide formules verder alleen als u ze begrijpt en ook zelf kunt afleiden / De stabiliteit van de getekende constructies wordt verzekerd door een translatieveer met stijfheid k t. De waarde van k t waarvoor het evenwicht bij de gegeven belasting instabiel wordt. 3.-1/ De stabiliteit van de constructie wordt ontleend aan een verend ingeklemde kolom. De stijfheid van de verende inklemming is k r = 4 MNm/rad. Alle staven zijn verder oneindig stijf. De knikbelasting F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman 19

32 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA / De stabiliteit van de getekend constructies wordt ontleend aan een ingeklemde kolom met eindige buigstijfheid. Alle andere staven zijn oneindig stijf. Houd in de berekening aan EI 1 = 700 knm en EI = 4 MNm. De knikbelasting F k. 3.4 Alle staven in de getekende constructie zijn oneindig stijf. a. De knikbelasting F k, uitgedrukt is a, b, k t en l. b. De verhouding a/ b waarvoor het evenwicht altijd stabiel is C. Hartsuijker en J.W. Welleman

33 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN t/m 3 De stabiliteit van de constructies wordt ontleend aan ligger AB met buigstijfheid EI = 36 MNm. De knikbelasting F k. 3.6 Op de getekende constructie werken de aangegeven krachten F 1, F en F 3. λ is een belastingfactor waarmee men de krachten F 1 t/m F 3 geleidelijk kan laten aangroeien van 0 ( λ = 0) tot de waarde waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt ( λ = λ ). k a. Bereken λ k als functie van F 1, F, F 3, EI en l. b. De kniklast Fk = Fk1 als F = F3 = 0. c. De met betrekking tot instabiliteit gevaarlijkste plaats van een enkele kracht F (in A, B of C) en de grootte van de bijbehorende kniklast F k. d. De kniklast F k in het geval F1 = F = F3 = F C. Hartsuijker en J.W. Welleman 1

34 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 3 De oneindig stijve staven AS en BS zijn in S scharnierend met elkaar verbonden. De knikkracht F k / Beide constructies zijn opgebouwd uit oneindig stijve staven. De knikbelasting q k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

35 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.9-1/ Houd in de berekening aan: k = 400 knm/rad. r EI 1 = 300 knm, EI = 400 knm en De knikkracht F k / Houd in de berekening aan k r1 = 000 knm/rad, k r = 300 knm/rad en k = 1800 knm/rad. r3 De waarde van F waarbij het evenwicht instabiel wordt / Houd in de berekening aan k r1 = 6000 knm/rad, k r = 5400 knm/rad en k = 3600 knm/rad. r C. Hartsuijker en J.W. Welleman 3

36 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De knikkracht F k. 3.1 Houd in de berekening aan k r1 = 36 MNm/rad en k r = 8 MNm/rad. De knikkracht F k Als F in A staat geldt F k = 000 kn. Staat F in B dan geldt F k = 600 kn. De knikkracht F k bij de in de figuur aangegeven positie C. Hartsuijker en J.W. Welleman

37 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.14 Gegeven het getekende een spant opgebouwd uit starre staven met verende verbindingen en verder scharnierend opgelegd. Houd voor de stijfheid van de rotatieveren aan k r = 700 knm/rad. Voor welke combinaties van F 1 en F is het evenwicht stabiel? 3.15 Houd voor de stijfheid van de drie rotatieveren aan k r = 18 MNm/rad. Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van F 1 en F is het evenwicht stabiel? F 1 (kn) F (kn) a b c d C. Hartsuijker en J.W. Welleman 5

38 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA Houd voor de stijfheid van de vier rotatieveren aan k r = 4000 knm/rad. Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van F 1 en F is het evenwicht instabiel? F 1 (kn) F (kn) a b c d / In de getekende constructies zijn de oneindig stijve staven AB, BC en CD onderling scharnierend verbonden en wordt de vormvastheid van de constructie ontleend aan de twee draden AC en BD die een rekstijfheid EA hebben. In onbelaste toestand zijn de constructies spanningsloos. Houd in de numerieke uitwerking aan l = 5 m en EA = 7 MN. a. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. b. De richting waarin constructie uitknikt, naar links of naar rechts? C. Hartsuijker en J.W. Welleman

39 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.18 Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: a = 3 m en k = 8 MN/rad. B a. De vereiste veerstijfheid k C, opdat er lokale instabiliteit optreedt. b. De vereiste veerstijfheid k C, opdat er globale instabiliteit optreedt. c. De knikkracht F k waarbij lokale en globale instabiliteit gelijktijdig optreden In de getekende constructie heeft de centrale ingeklemde kolom een wringstijfheid GI = 10 MNm. De pendelkolommen zijn oneindig stijf. w De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt C. Hartsuijker en J.W. Welleman 7

40 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA Twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen verzorgen de stabiliteit van de twee op druk belaste pendelkolommen. De buigstijfheid van de kolommen is EI; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd. De verhouding a/ b waarbij rotatie- en translatie-instabiliteit onder dezelfde belasting optreden. 3.1 In de getekende constructie zijn de pendelkolommen 3 m lang en de in de fundering ingeklemde kolommen 4 m. Voor de ingeklemde kolommen zijn ronde buizen toegepast met buigstijfheid EI = 3 MNm ; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd. a. De waarde van F waarbij translatie-instabiliteit optreedt. b. De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. c. Welke vorm van instabiliteit is maatgevend? C. Hartsuijker en J.W. Welleman

41 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.-1/ Van een gebouwtje met een regelmatige zeshoek als plattegrond wordt het dak in het midden gedragen door een wringstijve kolom en aan de omtrek door zes pendelstijlen in de hoekpunten. De kolom is ingeklemd in zowel het dak als de fundering en heeft een wringstijfheid GI w. Kolom en pendelstijlen hebben verschillende lengten. De dakbelasting, inbegrepen het eigen gewicht, is gelijkmatig verdeeld. De totale dakbelasting is Q. De dakbelasting Q k waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. 3.3 Een vierkant dak wordt in de hoeken gedragen door vier pendelkolommen en in het midden door een wringstijve kolom. a. Uit onderstaande tabel de combinatie van a en h te kiezen die het gunstigst is met betrekking tot de rotatiestabiliteit van de constructie C. Hartsuijker en J.W. Welleman 9

42 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a (m) h (m) b. Bij de gekozen combinatie van a en h de verdeelde belasting q k te berekenen waarbij de stabiliteitsgrens met betrekking tot torsie wordt bereikt. 3.4 Een cirkelvormig dak met straal r wordt langs de omtrek gedragen door een aantal pendelkolommen en in het midden door een wringstijve buis. a. De combinatie van r en h die het gevaarlijkst is met betrekking tot de rotatiestabiliteit van de constructie. r (m) h (m) b. Bij de gekozen combinatie van r en h de verdeelde belasting k q te berekenen waarbij torsie-instabiliteit optreedt C. Hartsuijker en J.W. Welleman

43 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.5 De translatie- en rotatiestabiliteit van een gebouw moet worden verzorgd door vier in hun vlak oneindig stijve wanden die dak en fundering met elkaar verbinden. Bij welk van de getekende oplossingen lukt dat? 3.6 In een hoogbouwskelet wordt de translatie- en rotatiestabiliteit ontleend aan drie in hun vlak oneindig stijve wanden, die over de volle hoogte doorlopen en op verschillende manieren in de plattegrond kunnen worden gesitueerd. Welke situering werkt het meest doelmatig C. Hartsuijker en J.W. Welleman 31

44 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA C. Hartsuijker en J.W. Welleman

45 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN 4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden 4.1 Gegeven twee door translatieveren gekoppelde oneindig stijve kolommen. De kolommen worden verschillend belast. Houd in de berekening aan: l = 4 m en k = 65 kn/m. a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikbelasting F k. 4.-1/ Gegeven twee door translatieveren gekoppelde starre drukstaven. De rekstijfheden verschillen en worden uitgedrukt in k. a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikbelasting F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman 33

46 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA / In de getekende constructies hebben de liggers een buigstijfheid EI en zijn de kolommen oneindig stijf. a. Een voorspelling omtrent de knikvorm (zonder te rekenen). b. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. c. De bijbehorende uitbuigingsvormen. d. De knikbelasting F k t/m 4 Gegeven vier portalen met oneindig stijve kolommen. De regels hebben een buigstijfheid EI. a. De knikbelasting F k b. De bijbehorende knikvorm C. Hartsuijker en J.W. Welleman

47 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN 4.5-1/ Gegeven twee gelede knikstaven, samengesteld uit de oneindig stijve delen AB en BC. a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikkracht F k t/m 3 Gegeven dezelfde constructie op drie verschillende manieren belast. In de constructie gedraagt de buigzame staaf met buigstijfheid EI zich als een veer. Maak voor het veergedrag gebruik van wat werd afgeleid in hoofdstuk 4, voorbeeld 3. a. De belastingen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikbelasting C. Hartsuijker en J.W. Welleman 35

48 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA / In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de liggers een eindige buigstijfheid EI. Bij de gegeven belasting zijn er twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische uitbuigingsvorm. a. De kracht F = F1 die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm. b. De kracht F = F die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm. c. De knikkracht F k / In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de liggers een eindige buigstijfheid EI. In de linker constructie worden beide kolommen verhinderd naar links te verplaatsen; in de rechter constructie wordt een verplaatsing naar rechts verhinderd. a. Bij welke uitbuigingsvormen is er evenwicht in uitgebogen stand mogelijk? b. Bereken bij elke uitbuigingsvorm de bijbehorende waarde van F. c. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

49 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN 4.9-1/ De gelede knikstaven zijn opgebouwd uit onderling verend verbonden starre staven. Houd in de berekening voor de veerstijfheden aan: k r1 = 3000 knm/rad, k r = 100 knm/rad en k r3 = 400 knm/rad. Er zijn bij de gegeven belasting twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische. a. De kracht F = F1 die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm. b. De kracht F = F die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm. c. De knikkracht F k / Houd in de berekening aan EI = 3000 knm en k r = 1500 kn/rad. a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvorm(en). c. De knikkracht F k. d. Is de grootte van de veerstijfheid k r van invloed op de grootte van de knikkracht? C. Hartsuijker en J.W. Welleman 37

50 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: a = m, k B = 1 MN/rad en k C = 4 MN/rad. a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikkracht F k. 4.1 Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan k B = 9 MN/rad en k = MN/rad. C 4.13 Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan k B = 15 MN/rad en k = 3 MN/rad. C C. Hartsuijker en J.W. Welleman

51 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5. Knik van buigzame staven basisknik-gevallen Opmerkingen vooraf: Het eigen gewicht van de constructie wordt verwaarloosd, tenzij anders is aangegeven. Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als oneindig buigstijf worden opgevat. Tenzij anders is aangegeven zijn alle constructiedelen oneindig rekstijf en is er geen normaalkrachtvervorming. Alle staven zijn prismatisch tenzij anders is aangegeven. Houd ter vereenvoudiging van de berekeningen aan π = Staaf AB heeft een buigstijfheid EI = 5 MNm. De kracht F waarbij knik optreedt. 5. In het getekende vakwerk hebben alle staven dezelfde buigstijfheid EI. Er treedt bezwijken door instabiliteit op als H = 640 kn. De buigstijfheid EI C. Hartsuijker en J.W. Welleman 39

52 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 5 a. Wat verstaat men onder kniklengte? b. Schets de knikvorm. c. De kniklengte van de op druk belaste buigzame kolom. 5.4 Gegeven de vijf constructies uit opgave 5.3. a. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte daarvan. b. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte daarvan t/m 4 De regel is oneindig stijf. De kolom heeft een buigstijfheid EI = 180 MNm. a. Een schets van de knikvorm. b. De kracht F k waarbij het evenwicht instabiel wordt. c. De kniklengte l k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

53 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.6 Houd in de berekening aan EI = MNm. a. De waarde van F 1k, respectievelijk F k, waarbij een van de staven uitknikt. b. Verklaar het relatief grote verschil tussen deze waarden t/m 3 In de getekende constructies zijn de regels oneindig stijf en heeft de kolom een buigstijfheid EI = 800 knm. a. Een schets van de knikvorm. b. De kniklengte l k. c. De knikkracht F k. 5.8 In de figuur hebben alle vier kolommen dezelfde buigstijfheid. De regels zijn oneindig stijf. Let op: de kolomlengten zijn verschillend C. Hartsuijker en J.W. Welleman 41

54 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Rangschik de constructies naar toenemende kniklengte. Vermeld daarbij de kniklengte. 5.9 Zie de gegevens in opgave 5.8. Als extra is de buigstijfheid van de kolommen gegeven: EI = 390 kn. Rangschik de constructies naar toenemende knikkracht. Vermeld daarbij de grootte van de knikkracht Een prismatische kolom krijgt aan de top een uitwijking w 0 = 0 mm tengevolge van de kracht H = 30 kn. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

55 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN t/m 3 Houd voor de buigstijfheid van de kolommen aan zijn oneindig stijf. EI = 5000 knm. De regels De verticale oplegreactie in A op het ogenblik van bezwijken door instabiliteit t/m 4 Alle vakwerkstaven hebben dezelfde buigstijfheid EI = 3 MNm. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt Gegeven een scharnierend opgelegde en op druk belaste houten balk met elasticiteitsmodulus E = 15 GPa. De balkdoorsnede is rechthoekig C. Hartsuijker en J.W. Welleman 43

56 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De knikkracht F k Een stalen strip moet een belasting van F = 50 kn dragen. De waarde van n = F k / F mag niet kleiner zijn dan vier. Houd in de berekening aan E = 00 MPa en π = 10. De maximum lengte l die de strip mag hebben Een stalen staaf wordt in de slappe richting op halve hoogte gesteund. De 3 elasticiteitsmodulus is E = N/mm. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

57 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN / In de getekende constructie zijn de liggers oneindig stijf en heeft de kolom een eindige buigstijfheid EI = 4 MNm. De knikkracht F k Een gebouw wordt in het verticale vlak geschematiseerd tot een oneindig stijve wand die draagt op twee kolommen. De kolommen zijn volledig ingeklemd in de wand en in de oneindig stijf veronderstelde fundering. De kniklengte van beide kolommen De maximum kracht F die de constructie kan dragen alvorens bezwijken door instabiliteit optreedt en de richting β (0 β π /) waarin deze kracht werkt C. Hartsuijker en J.W. Welleman 45

58 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 4 Houd in de berekening aan: EI 1 = 4000 knm, EI 3 = 700 knm en EI 4 = 500 knm. EI = 3000 knm, De belasting q k waarbij het evenwicht instabiel wordt / In de linker constructie is DE oneindig stijf. In de rechter constructie is CDE oneindig stijf. Alle andere staven zijn buigzaam en hebben een buigstijfheid EI. De kracht waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit C. Hartsuijker en J.W. Welleman

59 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.1 In de getekende constructie is de ligger oneindig stijf. De kolommen hebben bij dezelfde buigstijfheid verschillende rekstijfheden. a. De pendelstijl die bij de gegeven rekstijfheden het eerst uitknikt. b. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. 5. Van de op druk belaste ligger is het middendeel oneindig stijf. a. De knikkracht. b. Een schets van de knikvorm. 5.3 Alle kolommen hebben over de gehele lengte l dezelfde buigstijfheid EI. Alle regels zijn oneindig stijf. a. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte hiervan. b. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte hiervan C. Hartsuijker en J.W. Welleman 47

60 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA / Van de kolommen zijn de buigstijfheden in de figuur bijgeschreven. a. Op welke manieren kan de constructie bezwijken door instabiliteit? b. De knikkracht F k. 5.5 Houd in de berekening aan, k = 800 knm/rad. r EI 1 = 000 knm, EI = 40 knm en a. De knikkracht bij partiele instabiliteit. b. De knikkracht bij globale instabiliteit. c. Welke van de twee is maatgevend / Welke relatie bestaat er tussen de buigstijfheid EI 1 van de pendelkolom en de buigstijfheid EI van de ingeklemde kolom als knik van de pendelkolom (lokale of partiele instabiliteit) samenvalt met knik van de constructie in zijn geheel (globale instabiliteit)? C. Hartsuijker en J.W. Welleman

61 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.7 Aan welke eis moet de buigstijfheid EI van de pendelkolom voldoen opdat de constructie niet zal bezwijken door partiele instabiliteit. 5.8 Gegeven en met tuien afgespannen mast. De tuien zijn spanningsloos in onbelaste toestand. De rekstijfheid van de tuien is EA = 500 kn. De buigstijfheid van de mast is EI = 500 knm. a. Welke knikvormen zijn mogelijk? b. De kracht F k waarbij het evenwicht de stabiliteitsgrens bereikt C. Hartsuijker en J.W. Welleman 49

62 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA C. Hartsuijker en J.W. Welleman

63 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven Opmerkingen vooraf: Tenzij anders is aangegeven zijn alle staven prismatisch. Het eigen gewicht van de constructie wordt buiten beschouwing gelaten, tenzij anders is aangegeven. Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als oneindig buigstijf worden opgevat. Alle constructiedelen zijn oneindig rekstijf tenzij anders is aangegeven. Voor het berekenen van de knikbelasting en kniklengte zijn soms verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling enigszins kunnen afwijken. Ter vereenvoudiging mag in de berekening worden aangehouden π = t/m 6 Gegeven zes verend ingeklemde prismatische knikstaven met lengte l en buigstijfheid EI. a. De randvoorwaarden te formuleren in de grootheden w, w, M, S z en de veerstijfheden. b. De randvoorwaarden uit te werken tot vergelijkingen in de constanten C 1 t/m C 4 (dit zijn de constanten in de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor buigingsknik, zie paragraaf 5.3, uitdrukking 5.1) C. Hartsuijker en J.W. Welleman 51

64 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6. Een gedeeltelijk in de grond geslagen paal mag als verend ingeklemd worden beschouwd. Voor de kniklengte van de paal geldt: A. l k = 4 m B. 4 m < l k < 8 m C. l k = 8 m D. k > 8 m 6.3 In geval (1) is de knikkracht F k1 = 000 kn. In geval () is de knikkracht F = 500 kn. k De knikkracht F k3 in geval (3) C. Hartsuijker en J.W. Welleman

65 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6.4-1/ Gegeven twee verend ingeklemde kolommen met een lengte l = 5 m. De knikkracht F k / Houd in de berekening aan EI = 54 MNm en k t = 500 kn/m. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman 53

66 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA De kniklengte l k van kolom AB. 6.7 Een kolom is in A ingeklemd in een rotatieveer met stijfheid k = 5,4 MNm/rad. De kniklast bedraagt 300 kn. r De knikkracht als de kolom volledig in A is ingeklemd. 6.8 Dezelfde gegevens als in opgave 6.7. a. De knikkracht van de verend ingeklemde kolom als de stijfheid van de rotatieveer wordt verdubbeld. b. De procentuele toename van de knikkracht. 6.9 Dezelfde gegevens als in opgave 6.7. De stijfheid van de rotatieveer opdat de knikkracht van de kolom 400 kn bedraagt C. Hartsuijker en J.W. Welleman

67 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6.10 Gegeven een kolom op een paalfundering. De paalfundering kan worden opgevat als een verende inklemming met een rotatiestijfheid van 4800 knm/rad. Als de kolom oneindig stijf is ingeklemd bedraagt de knikkracht 300 kn. De knikkracht van de kolom op de paalfundering Een 6 m lange kolom is op vier verschillende manieren ingeklemd in andere staven. Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid EI. De gevallen te rangschikken van de grootste naar de kleinste knikkracht t/m 4 Dezelfde gegevens als in opgave Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid EI = 7,08 MNm. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman 55

68 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid EI = 15,4 MNm. a. De knikkracht F k. b. De kniklengte l k Kolom ABC, met buigstijfheid EI, wordt door oneindig stijve schoren verhinderd in B te verplaatsen. De kolom knikt uit bij de kracht F k die het best wordt benaderd door de waarde: π EI A. Fk = l F π EI = 4l π EI = 7l π EI = 1l B. k F C. k F D. k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

69 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6.15 Gegeven vier op druk belaste staven AB. a. De staaf die het eerst door instabiliteit bezwijkt. b. De bijbehorende knikkracht t/m 4 Dezelfde gegevens als in opgave a. De knikkracht F k. b. De kniklengte l k Op de verend ingeklemde prismatische staaf werkt alleen het eigen gewicht met resultante G. Houd in de berekening aan EI = 100 MNm en k r = 5 MNm/rad. De belasting G k waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt C. Hartsuijker en J.W. Welleman 57

70 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA Gegeven een verend ingeklemde prismatische kolom met een gelijkmatig verdeelde verticale belasting q. De knikbelasting q k / Op de kolommen werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting q. Houd in de berekening aan EI 1 = 64 MNm en EI = 3 MNm. De knikbelasting q k. 6.0 Op de drie getekende kolommen werkt dezelfde gelijkmatig verdeelde verticale belasting q. De resultante van deze belasting is Q. De knikbelasting is Q k. De factor n wordt gedefinieerd als Q k / Q. Voor de oneindig stijf ingeklemde buigzame kolom geldt n = 0. Voor de verend ingeklemde buigzame kolom geldt n = C. Hartsuijker en J.W. Welleman

71 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN De factor n = Q k / Q als de verend ingeklemde kolom oneindig stijf is. 6.1 De knikkracht van kolom AB is F k = 3000 kn. Hoe groot zal ongeveer de verplaatsing in B zijn tengevolge van een horizontale kracht H = 10 kn aldaar? 6.-1 t/m 3 Van drie verend kolommen is de verplaatsing in de top gegeven tengevolge van een horizontale kracht aldaar. Hoe groot is ongeveer de knikkracht F k van de kolom? C. Hartsuijker en J.W. Welleman 59

72 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA Een prismatische hoogbouw heeft een doorsnede van m en een hoogte 3 van 0 m. Het gebouwgewicht (inclusief inhoud) bedraagt q =,5 kn/m. Tengevolge van alleen een horizontale windbelasting van kn/m loodrecht op een van de gevelvlakken is de uitwijking 0,5 m. De factor n = q k / q. 6.4 Gegeven een verend ingeklemde kolom waarvan de bovenste helft oneindig buigstijf is. Benader de knikkracht met de formule Fk = Hl / w C. Hartsuijker en J.W. Welleman

73 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6.5 Gegeven vier op druk belaste kolommen met buigstijfheid EI. De regels zijn oneindig stijf. a. De kolommen te rangschikken van de kleinste naar de grootste kniklengte l k. b. De grenzen aan te geven waartussen de kniklengten liggen. 6.6 Dezelfde gegevens als in opgave 6.5. De kolommen te rangschikken van de kleinste naar de grootste knikkracht F k. 6.7 Een in A verend ingeklemde prismatische mast AB wordt in B door tuien verhinderd horizontaal te verplaatsen. Wat zou de kniklengte van de mast kunnen zijn? A. 0,5l B. 0,6l C. 0,9l D. 1,0l C. Hartsuijker en J.W. Welleman 61

74 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 6 Gegeven zes op druk belaste kolommen met lengte l. Voor de kniklengte van de kolom geldt: A. 0,5 l < lk < 0,7l E. l < lk < l B. 0,5 l < lk < l F. l k > l C. 0,7 l < lk < l G. lk = l D. l k = l H. l k > l t/m 6 Dezelfde gegevens als in opgave 6.8. Houd verder in de berekening aan l = 6 m en EI = 1980 knm. a. De knikkracht F k. b. De kniklengte l k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

75 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN / Een spant met een oneindig stijve pendelkolom wordt op twee manieren belast. Houd in de berekening aan EI = 7, MNm. De knikkracht F k / Dezelfde constructie wordt op twee manieren belast. Houd in de berekening aan EI = 1800 knm. De knikkracht / C. Hartsuijker en J.W. Welleman 63

76 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1. De knikkracht F k uit te drukken in EI en l in het geval β = 0.. De knikkracht F k uit te drukken in EI en l in het geval β = t/m 4 Houd in de berekening aan EI 1 = 1800 knm en. EI = 365 knm. a. De knikkracht F k. b. De kniklengte l k / In beide constructies hebben alle staven dezelfde buigstijfheid EI = 050 knm. De knikkracht F k C. Hartsuijker en J.W. Welleman

77 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN t/m 3 Alle staven hebben een eindige buigstijfheid uitgedrukt in EI, met uitzondering van de kolom in constructie (1) die oneindig stijf is. De knikkracht F k uitgedrukt in EI en l t/m 3 Gegeven drie symmetrische spanten met symmetrische belasting. Houd in de berekening aan EI = 1800 knm. De spanten kunnen zowel symmetrisch als keersymmetrisch uitknikken. a. Een schets van de symmetrische en keersymmetrische knikvorm. b. De maatgevende knikvorm. Motiveer het antwoord. c. De knikbelasting C. Hartsuijker en J.W. Welleman 65

78 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA Gegeven een spant in de vorm van een gelijkzijdige driehoek. Alle staven hebben dezelfde lengte l = 5 m en buigstijfheid EI = 335 knm. Het spant kan zowel symmetrisch als keersymmetrisch uitknikken. a. Een schets van de symmetrische en keersymmetrische knikvorm. b. De maatgevende knikvorm. Motiveer het antwoord. c. De knikbelasting C. Hartsuijker en J.W. Welleman

79 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 7 KNIK VAN DOOR TRANSLATIEVEREN ONDERSTEUNDE BUIGZAME STAVEN 7. Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame staven Van dit hoofdstuk zijn geen opgaven beschikbaar C. Hartsuijker en J.W. Welleman 67

80 7 KNIK VAN DOOR TRANSLATIEVEREN ONDERSTEUNDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA C. Hartsuijker en J.W. Welleman

81 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN 8. Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen Opmerkingen vooraf: Alle staven zijn prismatisch. Het eigen gewicht van de constructie wordt buiten beschouwing gelaten, tenzij anders is aangegeven. Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als oneindig buigstijf worden opgevat. Alle constructiedelen zijn oneindig rekstijf tenzij anders is aangegeven. Voor het berekenen van de knikbelasting en kniklengte zijn soms verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling enigszins kunnen afwijken. Ter vereenvoudiging mag in de berekening worden aangehouden π = / Gegeven een (verend) ingeklemde kolom met drie aanpendelende kolommen met de daarop aangrijpende belasting. Houd in de berekening aan EI = 37,5 MNm en k r = 15 MNm. Er treedt geen lokale instabiliteit op door het uitknikken van één van de pendelkolommen. a. De factor n waarmee de belasting moet worden vergroot om bezwijken door instabiliteit te bewerkstelligen. b. De minimaal vereiste buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat er geen partiele knik optreedt C. Hartsuijker en J.W. Welleman 69

82 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA / De constructie bestaat uit een volledig ingeklemde kolom met een aantal aanpendelende kolommen. De ingeklemde kolom heeft een buigstijfheid EI = 4,8 MNm. Er treedt geen lokale instabiliteit op. a. De knikbelasting F k. b. De minimaal vereiste buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat er geen partiele knik optreedt / Dezelfde gegevens en vragen als opgave 8.1, alleen moet de volledig stijve inklemming nu worden vervangen door een verende inklemming met stijfheid k = 49,6 MNm. r C. Hartsuijker en J.W. Welleman

83 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN t/m 4 De buigstijfheid van de volledig ingeklemde kolom is treedt geen lokale instabiliteit op. EI = 33,6 MNm. Er a. De factor n waarmee de belasting moet worden vergroten om bezwijken door instabiliteit te bewerkstelligen. b. De minimaal vereiste buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat er inderdaad geen lokale instabiliteit optreedt t/m 4 Dezelfde gegevens en vragen als opgave 8.3, alleen moet de volledig stijve inklemming nu worden vervangen door een verende inklemming met stijfheid k = 48 MNm. Er treedt geen knik op van de aanpendelende kolommen. r C. Hartsuijker en J.W. Welleman 71

84 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA / De kolommen AB zijn in A scharnierend opgelegd en in B volledig ingeklemd in de oneindig stijve regel. Op de regel werkt een gelijkmatig verdeelde volbelasting q. Er treedt geen partiële knik op. Houd in de berekening aan EI 1 = 7,5 MNm en 9,7 MNm EI = a. De knikbelasting q k. b. De buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat er geen partiële knik optreedt. 8.7 Gegeven drie constructies. In welk van de drie gevallen knikt kolom AB het eerst uit? C. Hartsuijker en J.W. Welleman

85 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN t/m 3 Dezelfde constructies als in opgave 8.7. Houd in de berekening aan EI = 4050 knm en k r = (volledige inklemming in A). De knikkracht F k t/m 3 Dezelfde constructies als in opgave 8.7. Houd in de berekening aan EI = 4050 knm en k r = 8750 knm (verende inklemming in A). De knikkracht F k / Een dakconstructie rust op twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen en twee pendelkolommen. De buigstijfheid van de ingeklemde kolommen is EI = 11,75 MNm ; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd. Houd verder in de berekening aan: a = m, b = 6 m en h = 4 m C. Hartsuijker en J.W. Welleman 73

86 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De belasting waarbij translatie-instabiliteit optreedt. b. De belasting waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is. d. De minimaal vereiste buigstijfheid van de pendelkolommen opdat er geen lokale instabiliteit optreedt / Een dakconstructie rust op twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen en twee pendelkolommen. De buigstijfheid van de ingeklemde kolommen is EI = 15 MNm ; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd. a. De belasting waarbij translatie-instabiliteit optreedt. b. De belasting waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is. d. De minimaal vereiste buigstijfheid van de pendelkolommen opdat er geen lokale instabiliteit optreedt C. Hartsuijker en J.W. Welleman

87 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN 8.1-1/ Een betonnen dak in de vorm van een gelijkzijdige driehoek is vrij opgelegd op drie pendelkolommen en drie stijf in de fundering ingeklemde kolommen. Alle kolommen hebben een cirkelvormige dwarsdoorsnede. De buigstijfheid van de in de fundering ingeklemde kolommen is EI. De pendelkolommen zijn oneindig stijf. In constructie (1) hebben alle kolommen dezelfde lengte; in constructie () zijn de pendelkolommen half zo lang als de ingeklemde kolommen. De totale dakbelasting, inbegrepen het eigen gewicht van het dak, is Q. De dakbelasting is gelijkmatig verdeeld. Voor het berekenen van de kolombelastingen mag men het dak opgebouwd denken uit vier vrij opgelegde driehoeken. a. De belasting Q waarbij translatie-instabiliteit optreedt. b. De belasting Q waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is en de knikbelasting Q k C. Hartsuijker en J.W. Welleman 75

88 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA C. Hartsuijker en J.W. Welleman

89 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH * 9. Formule van Rayleigh * Opmerking vooraf: De knikkracht F R is een benadering van de werkelijke knikkracht F k met behulp van de formule van Rayleigh. Formules: sin α α sin αdx = + 4 sin α α cos αdx = a. Wat is de achtergrond van de formule van Rayleigh voor het berekenen van de knikbelasting. b. Geeft de formule van Rayleigh een te grote of te kleine waarde voor de knikbelasting. Motiveer het antwoord t/m 3 Gegeven een volledig ingeklemde ligger met lengte l en buigstijfheid EI. Voor de knikvorm kan worden gekozen: 1.. w( x) = Cx 3 w( x) = C(3 l x x ) Opmerking: Deze knikvorm is affien met de doorbuiging van de ligger tengevolge van een kracht in het vrije einde x =l, loodrecht op de liggeras. πx 3. w( x) = C(1 cos ) l a. De knikkracht F R. b. De afwijking ten opzichte van de exacte waarde van de knikkracht C. Hartsuijker en J.W. Welleman 77

90 9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA / Gegeven dezelfde ingeklemde ligger als in opgave 9.. De knikkracht wordt benaderd met de formule van Rayleigh. Voor de uitbuigingsvorm bij knik kan worden gekozen: w( x) = ax + bx 4 w( x) = ax + bx Hierin zijn a en b vrije parameters. a. De knikkracht F R. b. De verhouding a/ b waarbij F R optreedt. c. De afwijking van F R ten opzichte van de exacte waarde van de knikkracht. 9.4 Gegeven in figuur (a) de taps verlopende strip met constante dikte a. Voor de buigstijfheid in het x-z-vlak geldt: x EI( x) = EI(1 ) l Hierin is EI de buigstijfheid ter plaatse van de inklemming. In figuur (b) is de strip geschematiseerd tot een lijnelement, op centrische druk belast door de kracht F. De knikkracht F R bij uitknikken in het x-z-vlak. Stel daarbij voor de knikvorm: x w( x) = C l C. Hartsuijker en J.W. Welleman

91 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH * t/m 3 Gegeven drie eenzijdig ingeklemde prismatische staven met lengte l en buigstijfheid EI, op verschillende manieren op centrische druk belast 1. De knikkracht wordt benaderd met de formule van Rayleigh waarbij voor de knikvorm wordt aangehouden: w( x) = Cx De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l t/m 3 Als opgave 9.5, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden: 3 w( x) = C(3 l x x ) Opmerking: De gekozen knikvorm is affien met de doorbuiging van de ligger tengevolge van een kracht in het vrije einde x =l, loodrecht op de liggeras t/m 3 Als opgave 9.5, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden: πx w( x) = C(1 cos ) l 1 Om de figuur duidelijk te houden zijn de krachten die in het midden van de staaf aangrijpen excentrisch getekend C. Hartsuijker en J.W. Welleman 79

92 9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 3 Gegeven dezelfde drie liggers als in opgave 9.5. Voor de knikvorm wordt aangehouden: 3 w( x) = ax + bx Hierin zijn a en b vrije parameters. a. De knikkracht F R. b. De verhouding a/ b waarbij F R optreedt t/m 3 Gegeven drie eenzijdig ingeklemde niet-prismatische liggers met lengte l en op verschillende manieren op centrische druk belast. De buigstijfheden zijn bijgeschreven in de figuren. De knikkracht wordt benaderd met de formule van Rayleigh waarbij voor de knikvorm wordt aangehouden: w( x) = Cx De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l t/m 3 Als opgave 9.9, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden: 3 w( x) = C(3 l x x ) Opmerking: Deze knikvorm is affien met de doorbuiging van een prismatische ligger tengevolge van een kracht in het vrije einde x =l, loodrecht op de liggeras. Om de figuur duidelijk te houden zijn de krachten die in het midden van de staaf aangrijpen excentrisch getekend C. Hartsuijker en J.W. Welleman

93 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH * t/m 3 Als opgave 9.9, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden: πx w( x) = C(1 cos ) l 9.1 Gegeven een op druk belaste prismatische ligger die aan de ene kant volledig is ingeklemd en aan de andere kant vrij is opgelegd. De knikkracht wordt benaderd met de formule van Rayleigh. Hierbij wordt aangenomen dat de knikvorm affien is met de doorbuigingsvorm tengevolge van een gelijkmatig verdeelde belasting: 3 4 w( x) = C(3xl 5xl + x ) De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l t/m 3 Gegeven drie vrij opgelegde staven die in het midden van de overspanning l worden belast door een centrische drukkracht F. De buigstijfheden zijn uitgedrukt in EI en in de figuur bijgeschreven. Voor de knikvorm wordt aangehouden: x w( x) = C(1 4 ) l De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l C. Hartsuijker en J.W. Welleman 81

94 9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 3 Als opgave 9.13, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden: π w( x) = C cos x l De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l t/m 3 Gegeven drie vrij opgelegde staven die worden belast door twee drukkrachten F. Voor de knikvorm wordt aangehouden: w( x) = C( xl x ) De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l t/m 3 Als opgave 9.15, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden: π w( x) = C sin x l De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l t/m 3 Als opgave 9.15, maar nu wordt voor de (symmetrisch veronderstelde) knikvorm aangehouden: 3 1 w( x) = C(3xl 4 x ) voor x De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l. l C. Hartsuijker en J.W. Welleman

95 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH * t/m 4 Gegeven vier over drie steunpunten doorgaande liggers. De veldlengte is l. Buigstijfheden en belasting kunnen uit de figuren worden afgelezen. Voor de knikvorm wordt aangehouden: π w( x) = C sin x l De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l De gegeven constructie bestaat uit drie gekoppelde kolommen, zie figuur (a). De kolommen verschillen in lengte en hebben verschillende buigstijfheden. Toon met de formule van Rayleigh aan dat voor de knikbelasting (bij benadering) geldt: F1 F F3 + + = 1 F F F k1 k k3 Hierin is F ki ( i = 1,,3) de knikkracht in het geval alleen kolom i wordt belast en de overige kolommen onbelast zijn C. Hartsuijker en J.W. Welleman 83

96 9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Voor de uitbuiging van kolom i ( i = 1,,3) kan men bijvoorbeeld aanhouden, zie figuur (b): πx w = C 1 cos li t/m 6 Gegeven zes over drie steunpunten doorgaande liggers. De veldlengte is l. Buigstijfheden en belasting kunnen uit de figuren worden afgelezen. Voor de knikvorm wordt aangehouden: π w( x) = C sin x l De knikkracht F R, uitgedrukt in EI en l C. Hartsuijker en J.W. Welleman

97 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) 10. Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen) Opmerkingen vooraf: Tenzij anders is aangegeven wordt gevraagd naar de verplaatsingen, rotaties, krachten en momenten volgens een geometrisch niet-lineaire berekening. Staven waarvan de stijfheid niet is gegeven moeten als oneindig stijf worden opgevat. Translatieveren kunnen zowel trek- als drukkrachten overbrengen. De deelvragen mogen worden beantwoord in een volgorde naar eigen keuze. Tenzij anders is aangegeven wordt het eigen gewicht van de constructie verwaarloosd (buiten beschouwing gelaten). De figuren zijn niet altijd op schaal getekend / Beide staven staan in onbelaste toestand volkomen verticaal. a. De eerste-orde scheefstand. b. De tweede-orde scheefstand. c. Het eerste-orde inklemmingsmoment. d. Het tweede-orde inklemmingsmoment C. Hartsuijker en J.W. Welleman 85

98 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA / Voer een geometrisch niet-lineaire berekening uit. a. De uitwijking aan de top. b. De veerkrachten Gegeven een prismatische kolom met een eigen gewicht van 100 kn, die wordt belast door een horizontale en een verticale kracht van respectievelijk 45 kn en 150 kn. Houd voor de stijfheid van de translatieveer aan k r = 300 kn/m. a. De uitwijking aan de top. b. De kracht in de veer C. Hartsuijker en J.W. Welleman

99 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) / Op de verend ingeklemde kolommen AB werkt over de volle lengte een gelijkmatig verdeelde verticale belasting en in de top B een horizontale kracht. a. De eerste-orde verplaatsing in B. b. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A. c. De tweede-orde verplaatsing in B. d. Het tweede-orde inklemmingsmoment in A. e. De knikbelasting / Op de verend ingeklemde kolommen werkt over de volle lengte een horizontale en verticale gelijkmatig verdeelde belasting. a. De eerste-orde uitwijking aan de top. b. Het eerste-orde inklemmingsmoment. c. De tweede-orde uitwijking aan de top. d. Het tweede-orde inklemmingsmoment. e. De knikbelasting C. Hartsuijker en J.W. Welleman 87

100 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA Op de kolom werkt over de volle lengte een gelijkmatig verdeelde verticale en horizontale belasting, respectievelijk q v en q h. Voor de verticale belasting geldt q v = 80 kn/m. a. De horizontale belasting q h waarbij de tweede-orde uitwijking aan de top 00 mm bedraagt. b. Het tweede-orde inklemmingsmoment bij de onder (a) berekende horizontale belasting q h Voor de stijfheid van de rotatieveren geldt k r = 1 MNm/rad. a. De verplaatsing van de regel. b. Het buigend moment in de rotatieveren C. Hartsuijker en J.W. Welleman

101 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) 10.8 De horizontale kracht H veroorzaakt in combinatie met de verticale kracht van 50 kn een scheefstand van 0,0 rad. Voor de stijfheid van de rotatieveren geldt: k r1 = 4000 knm/rad en k r = 000 knm/rad De grootte van de kracht H t/m 3 Drie rechte kolommen zijn scheef gemonteerd. In onbelaste scheefstand zijn de veren spanningsloos. Door de aangegeven belasting zal de initiële scheefstand ϕ 0 toenemen met een bedrag ϕ0. a. De toename ϕ0. b. Het inklemmingsmoment C. Hartsuijker en J.W. Welleman 89

102 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA / Gegeven twee kromme kolommen die voordat de horizontale en verticale belasting is aangebracht een initiële uitwijking van respectievelijk 30 mm en 0 mm aan de top hebben. In onbelaste scheefstand zijn de veren spanningsloos. De grootte van de belasting is uit de figuren af te lezen. a. De uitwijking aan de top. b. Het moment in de veer / Twee oneindig stijve kolommen hebben, voordat de horizontale en verticale belasting is aangebracht, aan de top een initiële uitwijking van respectievelijk 60 mm en 0 mm. In de figuren is verder de grootte van de knikkracht F k gegeven. Het buigend moment in A bij de aangegeven belasting C. Hartsuijker en J.W. Welleman

103 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) t/m 3 In de getekende schuine stand van de kolom is de veer spanningsloos. In deze stand worden de krachten aangebracht. a. De kracht in de veer met de vermelding of dit een trek- of drukkracht is. b. De scheefstand van de kolom in radialen t/m 6 Gegeven zes verschillende kolommen C. Hartsuijker en J.W. Welleman 91

104 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De uitwijking aan de top. b. De krachten in de translatieveren. c. De momenten in de rotatieveren. d. De knikkracht Een constructie wordt in evenwicht gehouden door twee translatieveren veren met stijfheid k t = 4000 kn/m. Neem aan dat de constructie zelf gewichtloos is. a. De uitwijking aan de top. b. De veerkrachten / Gegeven twee constructies die door translatieveren in evenwicht worden gehouden. Houd in de berekening aan k t1 = 1000 kn/m en k t = 000 kn/m C. Hartsuijker en J.W. Welleman

105 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) a. De uitwijking aan de top. b. De krachten in de translatieveren. c. De oplegreacties in A / Gegeven twee kolommen met een excentrisch aangrijpende verticale belasting. Houd in de berekening aan k t1 = 500 kn/m, k t = 750 kn/m en k = 1 MNm/rad. r a. De factor n. b. De eerste-orde uitwijking aan de top. c. De tweede-orde uitwijking aan de top. d. De eerste-orde veerkracht(en). e. De tweede-orde veerkracht(en) AB heeft een eindige buigstijfheid is oneindig stijf. EI = 1000 knm. De rest van de constructie C. Hartsuijker en J.W. Welleman 93

106 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in A in grootte en richting. b. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in B in grootte en richting / AB heeft een eindige buigstijfheid EI = 500 knm. BCD is oneindig stijf. a. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in A in grootte en richting. b. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in B in grootte en richting t/m 3 Twee bollen met massa,s m 1 = 3000 kg en m 1 = 9000 kg zijn via draden van ongelijke lengte opgehangen aan een oneindig stijve verend ingeklemde mast. De stijfheid van de rotatieveer is k r = 3600 knm/rad. De zwaarteveldsterkte is g = 10 N/kg. a. De eerste-orde uitwijking aan de top. b. De tweede-orde uitwijking aan de top. c. Het eerste-orde inklemmingsmoment. d. Het tweede-orde inklemmingsmoment C. Hartsuijker en J.W. Welleman

107 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) 10.0 De vrij opgelegde ligger ACB heeft in C een verende verbinding. De ligger wordt in C belast door een verticale kracht P en in B door een drukkracht F. a. De eerste-orde verticale verplaatsing w 0 in C, uitgedrukt in P, l en k r. b. De knikkracht F k. c. Toon aan dat voor de tweede-orde verplaatsing w in C geldt: n w = w n 1 0 d. Toon aan dat voor het tweede-orde moment M in C geldt: n M = M n t/m 4 Ligger ACB draagt een gelijkmatig verdeelde volbelasting q = 16 kn/m en wordt in B belast door een drukkracht F = 800 kn. De stijfheid van de rotatieveren is uitgedrukt in k r = 700 knm/rad C. Hartsuijker en J.W. Welleman 95

108 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De eerste-orde verplaatsing in C. b. Het eerste-orde moment in de verende verbinding(en). c. De knikkracht. d. De tweede-orde verplaatsing in C. e. Het tweede-orde moment in de verende verbinding(en). f. Teken de eerste- en tweede-orde momentenlijn in één figuur t/m 3 Houd in de berekening aan EI 1 = 3 MNm en EI = EI3 = 3 MNm. a. De tweede-orde verplaatsing van de regel. b. De eerste-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken. c. De tweede-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken. d. Het eerste-orde inklemmingsmoment. e. Het tweede-orde inklemmingsmoment C. Hartsuijker en J.W. Welleman

109 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) / Alle staven zijn oneindig stijf en beide rotatieveren hebben dezelfde veerstijfheid k r = 700 knm/rad. a. De eerste-orde verplaatsing van de regel. b. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken. c. De eerste-orde inklemmingsmomenten. d. De knikkracht. e. De tweede-orde verplaatsing van de regel. f. De tweede-orde inklemmingsmomenten. g. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken Alle staven zijn oneindig stijf en alle rotatieveren hebben dezelfde veerstijfheid k = 15 MNm/rad. r Dezelfde vragen als in opgave C. Hartsuijker en J.W. Welleman 97

110 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA t/m 3 Alle staven zijn oneindig stijf. De stijfheden van de rotatieveren zijn k = 9 MNm/rad en k r = 4,5 MNm/rad. r1 a. Beargumenteer (zonder uitvoerige berekeningen) of de normaalkracht in de regel volgens een tweede-orde berekening een trek- of drukkracht is. b. De eerste-orde verplaatsing van de regel. c. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken. d. De eerste-orde inklemmingsmomenten. e. De factor n f. De tweede-orde verplaatsing van de regel. g. De tweede-orde inklemmingsmomenten. h. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken / Houd in de berekening aan k t1 = 1000 kn/m en k t = 500 knm/rad. a. De eerste-orde verplaatsing van de regel. b. De tweede-orde verplaatsing van de regel. c. De eerste-orde kracht in de translatieveer. d. De tweede-orde kracht in de translatieveer. e. De eerste-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken. f. De tweede-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken C. Hartsuijker en J.W. Welleman

111 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) / Houd in de berekening aan k r1 = 000 knm/rad en k r = 10 MNm/rad. a. Beargumenteer (zonder uitvoerige berekeningen) of de normaalkracht in de regel volgens een tweede-orde berekening een trek- of drukkracht is. b. De eerste-orde verplaatsing van de regel. c. Het eerste-orde inklemmingsmoment. d. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken. e. De factor n f. De tweede-orde verplaatsing van de regel. g. Het tweede-orde inklemmingsmoment. h. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken / Alle staven zijn oneindig stijf. Houd voor de stijfheid van de verende inklemmingen aan k r = 13,5 MNm/rad C. Hartsuijker en J.W. Welleman 99

112 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. Beargumenteer (zonder uitvoerige berekeningen) of de normaalkracht in de regel volgens een tweede-orde berekening een trek- of drukkracht is. b. De eerste-orde verplaatsing van de regel. c. De eerste-orde inklemmingsmomenten. d. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken. e. De factor n f. De tweede-orde verplaatsing van de regel. g. De tweede-orde inklemmingsmomenten. h. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken t/m 4 Alle staven zijn oneindig stijf. Houd verder in de berekening aan k = 1 MNm/rad en k r = 18 MNm/rad. r1 Dezelfde vragen als in opgave C. Hartsuijker en J.W. Welleman

113 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) 11. Vergrotingsfactor (buigzame staven) Opmerkingen vooraf: Alle op druk belaste staven hebben een eindige buigstijfheid tenzij anders is aangegeven. Translatieveren kunnen zowel trek- als drukkrachten overbrengen. De deelvragen mogen worden beantwoord in een volgorde naar eigen keuze. Tenzij anders is aangegeven wordt het eigen gewicht van de constructie verwaarloosd. De figuren zijn niet altijd op schaal getekend. Tenzij anders is aangegeven wordt gevraagd naar de verplaatsingen, rotaties, krachten en momenten volgens een geometrisch niet-lineaire berekening. Voor het berekenen van de hiervoor genoemde grootheden zijn soms verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling kunnen afwijken. Ter vereenvoudiging mag in de berekeningen worden aangehouden π = 10. Beantwoord de deelvragen in een volgorde naar eigen keuze. Bij opgaven of deelvragen voorzien van een asterisk (*) dient men gebruik te maken van de benaderingsformule Fk = Hl / w0, zie paragraaf Tengevolge van alleen de kracht H is de uitbuiging aan de top 10 mm. De kniklast van de kolom bedraagt 1000 kn. De uitbuiging aan de top als op de kolom ook nog een verticale kracht van 00 kn werkt C. Hartsuijker en J.W. Welleman 101

114 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA Tengevolge van alleen de kracht H buigt de kolom aan de top 30 mm uit. De kniklast van de kolom bedraagt 400 kn. De bijkomende uitbuiging aan de top tengevolge van een verticale kracht van 400 kn Bij de gegeven belasting door H en F is de tweede-orde verplaatsing aan de top 40 mm. De knikkracht van de kolom bedraagt 4000 kn. De eerste-orde verplaatsing aan de top De eerste-orde verplaatsing aan de top bedraagt 0 mm. De tweede-orde verplaatsing is 8 mm. De knikkracht C. Hartsuijker en J.W. Welleman

115 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) / Gegeven twee volledig ingeklemde kolommen. Buigstijfheden en belasting zijn in de figuur aangegeven. a. De uitwijking aan de top. b. Het inklemmingsmoment De getekende prismatische kolom heeft een buigstijfheid EI en is volledig ingeklemd. De eerste-orde verplaatsing aan de top bedraagt 60 mm. a. De buigstijfheid EI. b. De verplaatsing aan de top. c. Het inklemmingsmoment /* Gegeven twee verend ingeklemde knikstaven. De verplaatsing aan de top tengevolge van een eerste-orde berekening is in beide gevallen 1 mm C. Hartsuijker en J.W. Welleman 103

116 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing aan de top. b. Een schatting van het tweede orde inklemmingsmoment van de kolom. 11.8* Van de verend ingeklemde kolom is gegeven dat de knikkracht 400 kn bedraagt. a. Bij benadering de verplaatsing in de top. b. Een schatting van het inklemmingsmoment In geval (a) bedraagt het tweede-orde inklemmingsmoment van de kolom 150 knm. Een schatting van de uitwijking aan de top in geval (b) C. Hartsuijker en J.W. Welleman

117 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) Gegeven de verplaatsing aan de top voor dezelfde kolom onder invloed van twee verschillende belastingen. a. De knikkracht. b. De toename van het inklemmingsmoment onder invloed van de verticale kracht Gegeven de verplaatsing aan de top voor dezelfde kolom onder invloed van twee verschillende belastingen. a. De knikkracht. b. Het inklemmingsmoment voor de rechter kolom De knikkracht van de kolom bedraagt 1600 kn. Een schatting van het inklemmingsmoment C. Hartsuijker en J.W. Welleman 105

118 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA Bij de gegeven belasting bedraagt het tweede-orde inklemmingsmoment 150 knm. Een schatting van knikkracht t/m 3 Gegeven drie verend ingeklemde kolommen waarvan de knikkrachten in de figuur zijn bijgeschreven. Het buigend moment in de kolomvoet * Een toren ondervindt tengevolge van een gelijkmatig verdeelde horizontale belasting van 40 kn/m in de top een eerste-orde verplaatsing van 0,0 m. De verticale belasting van de toren bedraagt 0 MN en is gelijkmatig verdeeld over de hoogte C. Hartsuijker en J.W. Welleman

119 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) a. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing aan de top. b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment * Gegeven een prismatische hoogbouw met een doorsnede van m en een hoogte van 00 m. De verticale belasting, inclusief eigen gewicht, bedraagt 3, kn/m. Tengevolge van een horizontale windbelasting van kn/m is de eerste uitbuiging aan de top 0,4 m. a. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing aan de top. b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment De knikkracht van de excentrisch belaste kolom bedraagt 500 kn. a. Het eerste-orde inklemmingsmoment. b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment C. Hartsuijker en J.W. Welleman 107

120 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA Een volledig ingeklemde kolom met buigstijfheid EI = 10,8 MNm wordt belast door een excentrisch aangrijpende drukkracht. a. De verplaatsing aan de top. b. Het inklemmingsmoment Een verend ingeklemde kolom blijkt enigszins krom getrokken. De uitwijking aan de top bedraagt 30 mm. De knikkracht van de kolom bedraagt MN. De kolom wordt belast door een verticale kracht van 500 kn. In de figuur is de kolom in onvervormde stand getekend. a. De bijkomende uitwijking aan de top. b. Het eerste- en tweede-orde inklemmingsmoment / Gegeven twee verend ingeklemde kolommen waarvan de knikkrachten in de figuur zijn bijgeschreven. De kolommen zijn niet recht maar hebben een kromming, respectievelijk een knik, waardoor zij in de top een initiële uitwijking van respectievelijk 80 mm en 50 mm hebben. De kolommen zijn in onvervormde stand getekend C. Hartsuijker en J.W. Welleman

121 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) Het inklemmingsmoment van de kolom In het raamwerk zijn alle staven prismatisch en hebben zij dezelfde buigstijfheid. Uit symmetrieoverwegingen kan een kwart van het raamwerk worden bekeken. Zie voor verdere informatie de figuur. a. Een schatting van de buigende momenten in de hoekpunten. b. Een schatting van de verplaatsing van de bovenregel*. 11. Bij de gegeven belasting bedraagt de doorbuiging in het midden van de prismatische ligger 6 mm. De eerste-orde doorbuiging is 4 mm. De grootte van l, EI en P zijn niet gegeven C. Hartsuijker en J.W. Welleman 109

122 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De knikkracht van de ligger. b. Het eerste-orde buigend moment onder de puntlast. c. Het tweede-orde moment onder de puntlast. 11.3* De ligger is symmetrisch ten opzichte van het midden, maar hoeft niet prismatisch te zijn. De eerste-orde doorbuiging in het midden bedraagt 30 mm. a. Een schatting van de tweede-orde doorbuiging in het midden. b. Een schatting van het tweede-orde buigend moment in het midden Op een gevelkolom werkt drukkracht van 50 kn en een windbelasting van 3 kn/m. De buigstijfheid van de kolom is EI = MNm. a. De maximum eerste-orde uitbuiging. b. De maximum tweede-orde uitbuiging. c. Het maximum eerste-orde buigend moment. d. Het maximum tweede-orde buigend moment C. Hartsuijker en J.W. Welleman

123 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) 11.5 Gegeven een op excentrische druk belaste ligger met buigstijfheid EI = 360 MNm. a. Een schatting van de maximum doorbuiging. b. Een schatting van het maximum buigend moment Gegeven een op excentrische druk belaste prismatische ligger waarvan de knikkracht is F k = 500 kn. De lengte l en buigstijfheid EI zijn niet gegeven. a. Een schatting van de maximum doorbuiging. b. Een schatting van het maximum buigend moment / In beide constructies is de regel oneindig stijf en heeft de kolom een buigstijfheid EI = 1500 knm. a. De eerste-orde verplaatsing van de regel. b. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing van de regel. c. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A. d. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment in A. e. De verticale oplegreactie in B f. De verticale oplegreactie in A C. Hartsuijker en J.W. Welleman 111

124 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA De kolom heeft een buigstijfheid stijf. EI = 36 MNm. Beide regels zijn oneindig Dezelfde vragen als in opgave De kolommen hebben een buigstijfheid stijf. EI = 16 MNm. De regel is oneindig a. De eerste-orde verplaatsing van de regel. b. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing van de regel. c. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A. d. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment in A C. Hartsuijker en J.W. Welleman

125 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) / In de getekende constructies hebben de regels dezelfde buigstijfheid. De knikkracht van de kolom is in de figuur bijgeschreven. Volgens een eerste orde berekening: a. Het buigend moment in A. b. De verticale oplegreacties in A en B. Volgens een tweede orde berekening: c. Het buigend moment in A. d. De verticale oplegreacties in A en B / In de getekende constructies hebben alle staven dezelfde buigstijfheid. Houd in de berekening aan: EI 1 = 10,5 MNm en EI = 13,81 MNm. Dezelfde vragen als in opgave C. Hartsuijker en J.W. Welleman 113

126 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA De constructie is opgebouwd uit twee volledig ingeklemde kolommen AB en CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. Beide kolommen zijn prismatisch met buigstijfheid EI = 6,4 MNm. Volgens een eerste-orde berekening: a. De normaalkracht in staaf BC. b. De verplaatsing van staaf BC. c. Het inklemmingsmoment in A. d. Het inklemmingsmoment in D. Volgens een tweede-orde berekening: e. Een schatting van de normaalkracht in staaf BC. f. Een schatting van de verplaatsing van staaf BC. g. Een schatting van het inklemmingsmoment in A. h. Een schatting van het inklemmingsmoment in D / De constructie is opgebouwd uit twee volledig ingeklemde kolommen AB en CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. De buigstijfheden van de kolommen zijn uitgedrukt in EI = 9 MNm. Dezelfde vragen als in opgave C. Hartsuijker en J.W. Welleman

127 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) / De constructie is opgebouwd uit twee volledig ingeklemde kolommen AB en CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. De kolommen zijn prismatisch met verschillende buigstijfheden, uitgedrukt in EI = 1,8 MNm. Dezelfde vragen als in opgave In het getekende spant hebben alle kolommen dezelfde buigstijfheid EI = 048 knm. a. De eerste-orde inklemmingsmomenten. b. Een schatting van de tweede-orde inklemmingsmomenten / Gegeven een (verend) ingeklemde kolom met drie aanpendelende kolommen met de daarop aangrijpende belasting. Houd in de berekening aan EI = 37,5 MNm en k r = 15 MNm. Er treedt geen lokale instabiliteit op door het uitknikken van één van de pendelkolommen C. Hartsuijker en J.W. Welleman 115

128 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. Het eerste-orde inklemmingsmoment. b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment t/m 4 De buigstijfheid van de volledig ingeklemde kolom is treedt geen lokale instabiliteit op. EI = 33,6 MNm. Er a. Het eerste-orde inklemmingsmoment. b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment t/m 4 Dezelfde gegevens en vragen als opgave 11.37, alleen moet de volledig stijve inklemming nu worden vervangen door een verende inklemming met stijfheid k = 48 MNm. Er treedt geen knik op van de aanpendelende kolommen. r C. Hartsuijker en J.W. Welleman

129 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG 1. Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag Opmerkingen vooraf: Maak de deelvragen in een volgorde naar eigen keuze. In de berekening mag het eigen gewicht van de constructie worden verwaarloosd. Er wordt aangenomen dat de grootte van het volplastisch moment M p onafhankelijk is van de grootte van de in de staaf aanwezige normaalkracht. Het wordt aanbevolen de vergrotingsfactor n/( n 1) alleen te gebruiken als men deze voor het betreffende vraagstuk ook kan afleiden. Gebruik de regel van Merchant alleen ter controle van de gevonden resultaten. 1.1 Starre staaf AB is ingeklemd in buigzame ligger BC. Ligger BC gedraagt zich elasto-plastisch met buigstijfheid EI = 1800 knm en volplastisch moment M = 180 knm. Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven. p a. Stel (in symbolen) de vergelijking op voor het momentenevenwicht van AB in scheefstand. Leid hieruit de grootte af van: b. De knikkracht F k. c. De eerste-orde bezwijklast H p. d. De eerste-orde verplaatsing van A als H = 0 kn en F = 00 kn. e. De tweede-orde verplaatsing van A als H = 0 kn en F = 00 kn. f. Teken voor H = 0 kn het F-w -diagram voor A, zowel in het elastische als plastische gebied. g. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 0 kn. h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 150 kn. i. Controleer de juistheid van de onder g en h berekende waarden met behulp van de formule van Merchant C. Hartsuijker en J.W. Welleman 117

130 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1. Een oneindig stijve mast met lengte l = 6 m is afgetuid met twee draden en wordt in de top A belast door de verticale kracht F = 0 kn. De mast staat scheef met aan de top een uitwijking w 0 = 1,5 mm. De draden hebben een rekstijfheid EA = 500 kn en een vloeikracht N p = 7,5 kn. In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos. Figuur 1.1 a. Stel (in symbolen) de vergelijking op voor het momentenevenwicht van AB in scheefstand. Leid hieruit de grootte af van: b. De knikkracht F k. c. De eerste orde verplaatsing van A. d. De tweede-orde verplaatsing van A. e. De kracht F c waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. f Verifieer de onder e berekende waarde met behulp van de formule van Merchant. g. Het F-w -diagram voor A, zowel in het elastische als plastische gebied. 1.3 De oneindig stijve kolom AB is in B stijf verbonden met ligger BC. BC heeft een buigstijfheid EI = 150 knm en een volplastisch moment M p = 53 knm. Houd verder in de berekening aan l = 3,15 m C. Hartsuijker en J.W. Welleman

131 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. AB in B vrij te maken van BC en te tekenen in de toestand dat B een horizontale verplaatsing w heeft ondergaan, met alle krachten die er in B op werken. b. In deze stand de vergelijking (in symbolen) op te stellen voor het momentenevenwicht van AB om A. c. De verplaatsing w p waarbij in B het volplastisch moment wordt bereikt. d. De eerste-orde verplaatsing van B als F = 15 kn en H = 4,8 kn. e. De tweede-orde verplaatsing van B als F = 15 kn en H = 4,8 kn. f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 4,8 kn. g. De kniklast F k. h. De eerste-orde bezwijklast F p. i. De onder f berekende waarde te controleren met behulp van de formule van Merchant. j. Het F-w -diagram te tekenen voor H = 4,8 kn, zowel in het elastische als het plastische gebied. 1.4 AEB is een volkomen stijve staaf, die zijdelings wordt gesteund door staaf CD met buigstijfheid EI = 5,6 MNm en volplastisch moment M p = 64 knm. Houd verder in de berekening aan: l = 4 m, H = 6 kn en F = 800 kn C. Hartsuijker en J.W. Welleman 119

132 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De uitwijking in B volgens een eerste-orde berekening. b. De uitwijking in B volgens een tweede-orde berekening. c. De knikkracht F k. d. De waarde van F = Fc waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als H = 6 kn e. Controleer de onder d gevonden waarde met de formule van Merchant. f. Teken het F-w -diagram voor B als H = 6 kn, zowel in het elastische als het plastische gebied. 1.5 Een verticaal opgestelde starre staaf wordt op halve hoogte gesteund door twee 3 horizontale draden. De draden hebben een rekstijfheid EA = 10,8 10 kn en een vloeikracht N p = 10 kn. Afmetingen en belasting zijn in de figuur aangegeven. In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos C. Hartsuijker en J.W. Welleman

133 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. De knikkracht. b. De eerste-orde bezwijklast. c De eerste-orde verplaatsing in A tengevolge van F = 450 kn. d. De tweede-orde verplaatsing in A tengevolge van F = 450 kn. e. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. Controleer deze waarde met de regel van Merchant. f. Het F-w -diagram voor A, zowel in het elastische als plastische gebied. 1.6 De oneindig stijve staaf AB is in C stijf verbonden met ligger CD. CD heeft een buigstijfheid EI = 4500 knm en een volplastisch moment M = 150 knm. Houd verder in de berekening aan: l = 3 m. p a. De waarde van F = Fc waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als H = 10 kn. b. De waarde van H = Hc waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als F = 100 kn. c. De waarde van F = Fc en H = Hc waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als F = 6H. d. Controleer de onder a, b en c gevonden waarden met de formule van Merchant. 1.7 De oneindig stijve kolom AB is stijf ingeklemd in de ligger BC met een 3 buigstijfheid EI = 5 10 knm en een volplastisch moment M p = 10 knm. De kolom wordt belast door een drukkracht F, die aangrijpt met een excentriciteit e = 10 mm. Kolom en ligger hebben beide een lengte l = 5 m C. Hartsuijker en J.W. Welleman 11

134 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De eerste-orde momentenlijn als F = 600 kn. b. De tweede-orde momentenlijn als F = 600 kn. c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze waarde te controleren met de formule van Merchant. d. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de verticale kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische als plastische gebied. 1.8 In de getekende constructie zijn AB, BC en BD starre staven. Staaf DE heeft een eindige buigstijfheid EI = 37,5 MNm en een volplastisch moment M p = 135 knm. De staven zijn in B en D scharnierend met elkaar verbonden. De constructie is in A scharnierend opgelegd, in C opgelegd op een rol met verticale rolbaan en in B volledig ingeklemd. De belasting bestaat uit de verticale kracht F = 750 kn in C en de horizontale kracht H = 9 kn in D. Houd verder in de berekening aan: a = 5 m C. Hartsuijker en J.W. Welleman

135 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. De eerste-orde verplaatsing van C. b. De tweede-orde verplaatsing van C. c. De normaalkracht in BD volgens een eerste-orde berekening. d. De normaalkracht in BD volgens een tweede-orde berekening. d. De knikkracht F k. f. De eerste-orde bezwijklast H p. g. De kracht F = Fc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 9 kn. h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van C in het geval H = 9 kn. Schrijf de waarden er bij. i. De kracht H = Hc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 750 kn. j. Controleer de onder g en i gevonden waarden met de formule van Merchant. 1.9 In de getekende constructie zijn AC, CD en DB starre staven, die in C en D scharnierend met elkaar zijn verbonden. De constructie is in A en B scharnierend opgelegd en in C en D via de tuidraden EC en GD verbonden met de opleggingen in E en G. De afmetingen kunnen uit de figuur worden afgelezen. Op CD werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting q = 36 kn/m. De constructie wordt tevens in C belast door een horizontale kracht H =,7 kn. De rekstijfheid van de tuidraden is EA = 5000 kn. De vloeikracht in de tuidraden is N p = 1 kn. In de onbelaste constructie zijn de tuidraden spanningsloos. a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijklast C. Hartsuijker en J.W. Welleman 13

136 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 c. De verplaatsing van C waarbij in een tuidraad de vloeikracht wordt bereikt. d. De eerste-orde verplaatsing van C. e. De tweede-orde verplaatsing van C. f. De eerste-orde normaalkracht in CD. g. De tweede-orde normaalkracht in CD. h. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H =,7 kn. i. Het last-verplaatsing-diagram ( q-w -diagram) voor C als H =,7 kn, in zowel het elastische als plastische gebied. j. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als q = 36 kn/m. k. Controleer de onder h en j berekende waarden met de formule van Merchant De oneindig stijve kolom AB is in C stijf verbonden met de buigzame ligger DCE. Deze ligger heeft een buigstijfheid EI = 15 MNm en een volplastisch moment M p = 105 knm. Afmetingen en belasting volgen uit de figuur. a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijklast. c. De verplaatsing van B waarbij in de verende inklemmingen het vloeimoment wordt bereikt. d. De eerste-orde verplaatsing van B ten gevolge van H = 1 kn en F = 100 kn. e. De tweede-orde verplaatsing van B ten gevolge van H = 1 kn en F = 100 kn. f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 1 kn C. Hartsuijker en J.W. Welleman

137 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG g. Het last-verplaatsing-diagram ( F-w -diagram) voor B als H = 1 kn, in zowel het elastische als plastische gebied. h. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = F/40. i. Het last-verplaatsing-diagram ( F-w -diagram) voor B als H = F/40, in zowel het elastische als plastische gebied. j. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van Merchant In de getekende constructie zijn de verbindingen in A en D scharnierend en die in B en C volkomen stijf. AB, AD en CD zijn oneindig stijf. BC heeft een buigstijfheid EI = 9000 knm en een volplastisch moment M p = 18 knm. Houd verder in de berekening aan l = 3 m. De constructie wordt belast door een verticale kracht F = 40 kn in A en een horizontale kracht H = 4 kn in D. a. De verplaatsing van A volgens een eerste-orde berekening. b. De normaalkracht in AD volgens een eerste-orde berekening. c. De verplaatsing van A volgens een tweede-orde berekening. d. De normaalkracht in AD volgens een tweede-orde berekening. e. De knikkracht F k. f. De eerste-orde bezwijklast F p. g. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 4 kn. h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 40 kn. i. Controleer de onder g en h gevonden waarden met de formule van Merchant. j. Het F-w -diagram voor A als H = 4 kn, zowel in het elastische als het plastische gebied. k. Het F-w -diagram voor A als H = 9,6 kn, zowel in het elastische als het plastische gebied C. Hartsuijker en J.W. Welleman 15

138 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA In de getekende constructie heeft ACB een eindige buigstijfheid EI en een volplastisch moment M p. Alle andere staven zijn oneindig stijf. Houdt in de berekening aan: l = 4 m, EI = 16 MNm, M p = 50 knm, H = 9 kn en F = 600 kn. a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijklast. c. De verplaatsing van D waarbij in ACB het volplastisch moment wordt bereikt. d. De eerste-orde verplaatsing van D. e. De tweede-orde verplaatsing van D. f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 9 kn. g. Het last-verplaatsing-diagram ( F-w -diagram) voor D als H = 9 kn, in zowel het elastische als plastische gebied. h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 600 kn. i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van Merchant In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend, met uitzondering van de volkomen stijve verbinding ter plaatse van B, tussen AB en BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC met buigstijfheid EI = 7 MNm. Deze staaf heeft een volplastisch moment M p = 81 knm. Afmetingen en belasting zijn uit de figuur af te lezen. Houd in de berekening aan H = 10,8 kn en F = 300 kn C. Hartsuijker en J.W. Welleman

139 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijkbelasting. c. De eerste-orde verplaatsing van B. d. De tweede-orde verplaatsing van B. e. De M-lijn volgens een eerste-orde, respectievelijk tweede-orde berekening. f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 10,8 kn. g. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 300 kn. h. Controleer de onder f en g berekende waarden met de regel van Merchant In de getekende constructie zijn AD, BE, CG, DE en EG oneindig stijve staven, die scharnierend met elkaar zijn verbonden. Ligger BC heeft een eindige buigstijfheid EI en een volplastisch moment M p. De staven BE en CG zijn stijf verbonden met ligger BC. De constructie is in A, B en C scharnierend opgelegd. Op DEG werkt een gelijkmatig verdeelde belasting q. Verder werkt in D een horizontale kracht H. De horizontale uitwijking van regel DEG wordt aangeduid met w. De daarbij behorende rotatie van stijl CG wordt aangeduid met ϕ. Houd in de berekening aan: EI = 100 knm, M p = 350 knm en l = m C. Hartsuijker en J.W. Welleman 17

140 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De knikbelasting q k. b. De eerste-orde bezwijklast H p. c. De eerste-orde hoekverdraaiing in C als q = 90 kn/m en H = 70 kn. d. De tweede-orde hoekverdraaiing in C als q = 90 kn/m en H = 70 kn. e. De belasting q c waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 70 kn. f. Controleer dit antwoord met de regel van Merchant. g. Teken voor H = 70 kn het verband tussen de belasting q en de rotatie ϕ van stijl CG, zowel voor als na het bezwijken door instabiliteit Tweescharnierenspant ABCD bestaat uit de twee oneindig stijve stijlen AB en CD die stijf verbonden zijn met de buigzame regel BC. BC heeft een buigstijfheid EI = 400 knm en een volplastisch moment M p = 180 knm. Stijlen en regel hebben dezelfde lengte l = 4 m. De constructie wordt belast door de verticale krachten: F in B en F in C. Daarnaast werkt er in B een horizontale kracht H. a. De verplaatsing van B volgens een eerste-orde berekening als H = 18 kn en F = 100 kn. b. De verplaatsing van B volgens een tweede-orde berekening als H = 18 kn en F = 100 kn. c. De knikkracht F k. d. De eerste-orde bezwijklast F p. e. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 18 kn. f. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 100 kn. g. Controleer de onder e en f gevonden waarden met de formule van Merchant. h. Verwerk de hiervoor gevonden resultaten in een last-verplaatsing-diagram C. Hartsuijker en J.W. Welleman

141 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG 1.16 De getekende constructie is opgebouwd uit de stijlen AC en BD, de horizontale regel CD en de kabels AD en BC. De buig- en rekstijfheid van stijlen en regel is oneindig groot. De beide kabels hebben een eindige rekstijfheid EA = 7 MN en een vloeikracht N p = 1 kn. In onbelaste toestand zijn alle constructie delen spanningsloos. De constructie wordt in E belast door een verticale kracht F en in C door een horizontale kracht H. a. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van regel CD in het geval H = 0 kn, zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf in een aantal punten de waarden er bij. b. De eerste-orde normaalkracht in CD als F = 1500 kn en H = 3 kn. c. De tweede-orde normaalkracht in CD als F = 1500 kn en H = 3 kn. d. In het last-verplaatsing-diagram uit vraag a ook het verband te schetsen tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van regel CD in het geval H = 3 kn, zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf in een aantal punten de waarden er bij. e. De kracht F c waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 3 kn. f. Controleer de onder e gevonden waarde met de formule van Merchant Portaal ABCD heeft oneindig stijve kolommen AB en CD en een buigzame regel die in B en C stijf met de kolommen is verbonden. Regel BC heeft een buigstijfheid EI = 1 MNm en een volplastisch moment M p = 100 knm. Kolommen en regel hebben dezelfde lengte l = 3 m. A en D zijn scharnieropleggingen. Het portaal wordt boven kolom CD belast door een excentrisch aangrijpende verticale kracht F. De grootte van de excentriciteit is e = 50 mm C. Hartsuijker en J.W. Welleman 19

142 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De knikkracht F k. b. De eerste-orde bezwijkbelasting F p. c. In een last-verplaatsing-diagram voor e = 0 het verband na uitknikken te schetsen tussen de kracht F en de afstand w van de werklijn van F tot scharnieroplegging D, zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf op markante plaatsen de waarden er bij. d. Voor e = 50 mm een betrekking af te leiden tussen de kracht F en de afstand w van de werklijn van F tot scharnieroplegging D, zowel in het elastische als plastische gebied. e. De kracht F c, waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit, als e = 50 mm. Deze waarde te controleren met de formule van Merchant. f. De onder d afgeleide betrekking te schetsen in het onder b gevraagde lastverplaatsing-diagram, met vermelding van de waarden op markante punten In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend, met uitzondering van de volkomen stijve verbinding ter plaatse van B, tussen AB en BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC met buigstijfheid EI = 7 MNm. Deze staaf heeft een volplastisch moment M p = 90 knm. Afmetingen en belasting zijn uit de figuur af te lezen. Houd in de berekening aan H = 3 kn en F = 90 kn C. Hartsuijker en J.W. Welleman

143 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijkbelasting. c. De eerste-orde verplaatsing van B. d. De tweede-orde verplaatsing van B. e. De normaalkracht in BD volgens een eerste-orde berekening. f. De normaalkracht in BD volgens een tweede-orde berekening. g. De M-lijn volgens een eerste-orde, respectievelijk tweede-orde berekening. h. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 3 kn. i. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 90 kn. j. Controleer de onder h en i berekende waarden met de regel van Merchant In de getekende constructie zijn de (doorgaande) stijlen oneindig stijf en hebben de regels een buigstijfheid EI = 3600 knm en een volplastisch moment M p = 60 knm. Alle hoekverbindingen zijn volledig stijf. Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven. Houd in de berekening aan: l = 3 m, H = 1 kn en F = 400 kn. a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijkbelasting. c. De eerste-orde verplaatsing van de bovenste regel. d. De tweede-orde verplaatsing van de bovenste regel. e. De maximum kracht H die de constructie nog kan dragen als F = 400 kn. f. De maximum kracht F die de constructie nog kan dragen als H = 1 kn. g. Controleer de onder e en f gevonden waarden met de formule van Merchant C. Hartsuijker en J.W. Welleman 131

144 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend met uitzondering van de volkomen stijve verbinding tussen de AB en BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC. BC heeft een buigstijfheid EI = 700 knm en een volplastisch moment M p = 90 knm. Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven. Houd daarbij in de berekening aan H = 3 kn en q = 0 kn/m. a. De knikbelasting q k. b. De eerste-orde bezwijkbelasting H p. c. De eerste-orde verplaatsing van knooppunt C. d. De tweede-orde verplaatsing van knooppunt C. e. De normaalkracht in CE volgens een eerste-orde berekening. f. De normaalkracht in CE volgens een tweede-orde berekening. g. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 3 kn. h. Een schets van het last-verplaatsing-diagram ( q-w -diagram) betrokken op de verplaatsing van knooppunt C, voor en na bezwijken door instabiliteit. i. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als q = 0 kn/m. j. Controleer de onder g en i berekende waarden met de formule van Merchant. 1.1 De getekende constructie bestaat uit de starre staven AB en CD die in respectievelijk B en C stijf zijn verbonden met ligger BC. Ligger BC heeft een buigstijfheid EI = 1800 knm en een volplastisch moment M p = 180 knm. Alle staven hebben een lengte l = 3 m. De constructie wordt belast door de horizontale kracht H D = 40 kn, zoals in de figuur aangegeven, en verder door een verticale kracht F in A C. Hartsuijker en J.W. Welleman

145 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. De eerste-orde momentenlijn als F = 00 kn. b. De tweede-orde momentenlijn als F = 00 kn. c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze waarde te controleren met de formule van Merchant. d. Voor H D = 40 kn in een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de verticale kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische als plastische gebied. 1. Gegeven dezelfde constructie als in opgave 1.1. De belasting bestaat nu uit de horizontale krachten H A = 0 kn en H D = 10 kn, zoals aangegeven in de figuur, en verder een verticale kracht F in A. a. De eerste-orde momentenlijn als F = 150 kn. b. De tweede-orde momentenlijn als F = 150 kn. c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze waarde te controleren met de formule van Merchant. d. Bij de gegeven horizontale krachten in A en D in een last-verplaatsingdiagram het verband te schetsen tussen de verticale kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische als plastische gebied C. Hartsuijker en J.W. Welleman 133

146 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA In de getekende constructie zijn AD en CE draden met een rekstijfheid 3 EA = 7,78 10 kn en een vloeikracht N p = 40 kn. Alle andere constructiedelen zijn oneindig stijf en onderling scharnierend verbonden. De afmetingen zijn in de figuur aangegeven. De constructie wordt in A belast door een horizontale kracht H = 18 kn. Op de regels AB en BC werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting q = 40 kn/m. In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos. a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijklast. c. De verplaatsing van A waarbij vloeien optreedt d. De eerste-orde verplaatsing van A. e. De tweede-orde verplaatsing van A. f. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 18 kn. g. Het last-verplaatsing-diagram ( q-w -diagram) voor A als H = 18 kn in het elastische als plastische gebied. h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als q = 40 kn/m. i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van Merchant., zowel 1.4 In de getekende constructie zijn alle staven oneindig stijf. Alle verbindingen tussen de staven zijn scharnierend. A en B zijn verende inklemmingen. C is een scharnieroplegging. De verende inklemmingen hebben beide dezelfde veerkarakteristiek: tot het vloeimoment M p is het gedrag lineair elastisch met veerstijfheid k r. Afmetingen en belasting zijn in de figuur aangegeven. Houdt in de uitwerking de volgende waarden aan: l = 3 m, k r = 13,5 MNm en M p = 54 knm C. Hartsuijker en J.W. Welleman

147 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. De knikbelasting q k. b. De eerste-orde verplaatsing van D als H = 6 kn en q = 100 kn/m. c. De tweede-orde verplaatsing van D als H = 6 kn en q = 100 kn/m. d. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 6 kn. e. In een q-w -diagram het verband tussen de belasting q en de verplaatsing w van D te tekenen als H = 6 kn. f. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als q = 100 kn/m. Teken dit punt in het onder e gevraagde q-w -diagram. g. De eerste orde bezwijkbelasting H p. h. Controleer de onder d en f berekende waarden met de formule van Merchant. 1.5 In onderstaande constructie zijn AD, DE, BEG, GK en CK starre staven. AB en BC zijn buigzame staven met buigstijfheid EI en volplastisch moment M p. AB en BC zijn in respectievelijk A, B en C stijf verbonden met AD, BEG en CK. Afmetingen en belasting kunnen uit de figuur worden afgelezen. 3 Houd in de uitwerking aan: l = 6 m, EI = 10,8 10 knm, M p = 7 knm, q = 50 kn/m en H = 9 kn C. Hartsuijker en J.W. Welleman 135

148 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijklast. c. De verplaatsing van D waarbij in ABC het volplastisch moment wordt bereikt. d. De eerste-orde verplaatsing van D. e. De tweede-orde verplaatsing van D. f. De eerste-orde normaalkracht in GK. g. De tweede-orde normaalkracht in GK. h. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 9 kn. i. Het last-verplaatsing-diagram ( q-w -diagram) voor D als H = 9 kn, in zowel het elastische als plastische gebied. j. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als q = 50 kn/m. k. Controleer de onder h en j berekende waarden met de formule van Merchant. 1.6 In de getekende constructie zijn alle staven oneindig stijf. De verbindingen tussen de staven zijn scharnierend. A en B zijn verende inklemmingen, C is een scharnieroplegging. De verende inklemmingen hebben beide dezelfde veerkarakteristiek: tot het vloeimoment M p = 105 knm gedragen zij zich lineair elastisch met veerstijfheid k r = 35 MNm/rad. Afmetingen en belasting zijn in de figuur aangegeven. Houd in de berekening aan: H = 14 kn en F = 500 kn C. Hartsuijker en J.W. Welleman

149 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. De knikbelasting. b. De eerste-orde bezwijklast. c. De verplaatsing van D waarbij in de verende inklemmingen het vloeimoment wordt bereikt. d. De eerste-orde verplaatsing van D. e. De tweede-orde verplaatsing van D. f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 14 kn. g. Het last-verplaatsing-diagram ( F-w -diagram) voor D als H = 14 kn, zowel in het elastische als plastische gebied. h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 500 kn. i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van Merchant. 1.7 In de getekende constructie zijn alle staven scharnierend met elkaar verbonden. Afmetingen en belasting kunnen uit de figuur worden afgelezen. De staven AB, BC en CD zijn oneindig stijf. De schoorstaven AC en BD kunnen uitsluitend trekkrachten overbrengen. Deze staven hebben een eindige rekstijfheid EA een vloeikracht N p. In onbelaste toestand zijn alle staven spanningsloos. 3 Houd in de berekening aan a = 1 m ; EA = kn, N p = 80 kn, 3 H = 16 kn en F = 19, 10 kn C. Hartsuijker en J.W. Welleman 137

150 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De horizontale verplaatsing van B volgens een 1e orde berekening. b De kracht in staaf BC volgens een 1e orde berekening. c. De horizontale verplaatsing van B volgens een e orde berekening. d. De kracht in staaf BC volgens een e orde berekening. e. De knikbelasting F k. f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H = 16 kn. Teken dit punt in last-verplaatsing-diagram. g. Controleer de onder f gevonden waarden met de formule van Merchant. h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van B voor H = 16 kn, zowel in het elastische als plastische gebied. 1.8 In de getekende constructie zijn AB, BD en CDE starre staven. AC is een buigzame staaf met buigstijfheid EI en volplastisch moment M p. Afmetingen en belasting zijn in de figuur aangegeven. λ is een belastingfactor. Houd in de uitwerking de volgende waarden aan: l = 3 m, EI = 50 knm, M = 63 knm, H = 15 kn, F 1 = 00 kn en F = 150 kn. p C. Hartsuijker en J.W. Welleman

151 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG a. De waarde λ = λk waarbij de knikbelasting wordt bereikt. b. De eerste-orde bezwijkbelasting H p. c. De eerste-orde verplaatsing van B als λ = 1. d. De tweede-orde verplaatsing van B als λ = 1. e. De eerste-orde normaalkracht in BD als λ = 1. f. De tweede-orde normaalkracht in BD als λ = 1. g. De waarde λ = λc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te tekenen tussen de belastingfactor λ en de verplaatsing van B, zowel in het elastische als plastische gebied. i. De waarde van H = Hc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als λ = 1. j. Controleer de onder g en i berekende waarden met de formule van Merchant. 1.9 BCD is oneindig stijf en in B stijf verbonden met de buigzame ligger AB. AB heeft een buigstijfheid EI en een volplastisch moment M p. De constructie wordt in C en D belast door de verticale krachten λ F1 en λ F. λ is een belastingfactor. De afmetingen zijn in de figuur bijgeschreven. Houd verder in de berekening aan: EI = 3000 knm, M p = 60 knm, F 1 = 50 kn en F = 5 kn. a. De eerste-orde rotatie van BCD als λ = 1. b. De tweede-orde rotatie van BCD als λ = 1. c. De waarde λ = λk waarbij de knikbelasting wordt bereikt. d. De waarde λ = λp waarbij de eerste-orde bezwijkbelasting wordt bereikt. e. De waarde λ = λc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. f. Controleer de onder d berekende waarde met de formule van Merchant C. Hartsuijker en J.W. Welleman 139

152 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA / Een initieel gekromde kolom, met buigstijfheid EI = 63 MNm en volplastisch moment M p = 360 knm, heeft aan de top een uitwijking e = 80 mm. Houd verder in de berekening aan: l = 5 m en, voor de stijfheid van de verende inklemming, k r = 30 MNm. a. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt, als bij benadering het tweede-orde buigend moment mag worden berekend uit het eerste-orde buigend moment met behulp van de vergrotingsfactor n/( n 1). b. Controleer de gevonden waarde met de formule van Merchant / De getekende kolom, met buigstijfheid EI = 40 MNm en volplastisch moment M p = 00 knm, wordt in het vrije einde belast door een horizontale kracht H = 1 kn. Houd verder in de berekening aan: l = 5 m en, voor de stijfheid van de verende inklemming, k r = 5 MNm. Dezelfde vragen als in opgave C. Hartsuijker en J.W. Welleman

153 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG 1.3-1/ De getekende kolom, met buigstijfheid EI = 53,76 MNm en volplastisch moment M p = 560 knm, wordt in het vrije einde belast door een verticale kracht F en een horizontale kracht F /15. Houd verder in de berekening aan: l = 4 m en, voor de stijfheid van de verende inklemming, k r = 0,16 MNm. Dezelfde vragen als in opgave De getekende vrij opgelegde ligger heeft een buigstijfheid EI = 54 MNm en een volplastisch moment M p = 375 knm. Afmetingen en de wijze van belasten zijn in de figuur aangegeven. Dezelfde vragen als in opgave Onderstaande in A volledig ingeklemde ligger AB met een lengte l = m wordt in het vrije einde B belast door de krachten F en P. Ligger AB is prismatisch met een buigstijfheid EI = 4000 knm en een volplastisch moment M p = 58 knm Maak gebruik van het feit dat de verplaatsing van B volgens een tweede orde berekening goed kan worden benaderd door de eerste orde verplaatsing te vermenigvuldigen met de vergrotingsfactor n/( n 1) C. Hartsuijker en J.W. Welleman 141

154 1 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. Het maximum buigend moment in de ligger als F = 500 kn en P = 1 kn. b. De waarde P = Pc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als F = 500 kn c. De waarde P = Pc berekend met de formule van Merchant. d. Verklaar het verschil tussen de onder b en c gevonden waarden AB is een in A ingeklemde prismatisch ligger met een lengte l = m, een buigstijfheid EI = 4000 knm en een volplastisch moment M p = 75 knm. De belasting is in de figuur aangegeven. De verplaatsing van B volgens een tweede orde berekening kan goed worden benaderd door de eerste orde verplaatsing te vermenigvuldigen met de vergrotingsfactor n/( n 1). a. Het maximum buigend moment in de ligger als F = 70 kn. b. De waarde F = Fc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. c. De waarde F = Fc berekend met de formule van Merchant. d. Verklaar het verschil tussen de onder b en c gevonden waarden C. Hartsuijker en J.W. Welleman