Mechanica, deel 2. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Transcriptie

1 Mechanica, deel Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar

2 Voorwoord Dit is een verzameling van opgeloste oefeningen van vorige jaren die ik heb verzameld (voornamelijk gemaakt door Gert Heirman). De nummering komt niet altijd overeen. Daarom zal bij elk hoofdstuk een lijst staan met de respectievelijke nummeringen uit de oefeningenbundel van

3 Uitwendige en inwendige krachten Lijst van oefeningen OEF 1: opgave 1.1 op pagina 3 OEF : opgave 1. op pagina 3 OEF 3: opgave 1.3 op pagina 3 OEF 6: opgave 1.6 op pagina 4 OEF 7: opgave 1.6 op pagina 4 OEF : opgave 1.18 op pagina 8 OEF 3: opgave 1.19 op pagina 8 OEF 6: opgave 1.1 op pagina 9 OEF 10: opgave 1.4 op pagina 11

4 OEF 1 reactiekrachten: ΣH 0 H A 0 ΣV 0 V A + V B V A 50 kn ΣM V B V B 100 kn opm. resultaat positief krachten in de richting zoals getekend snedekrachten: [1] N(x) 0 [] N(x ) 0 T(x) + 0.x 50 0 T(x ) 30 0 x M(x) + 0.x.( ) 50.x 0 M(x ) + 30.x 0 opm. + krachten aan + zijde ( onderzijde ) van de constructie!!! niet nodig om punt voor punt uit te zetten controlepunten: - uitwendige verticale krachten sprong in dwarskrachtverloop - geen uitwendig buigmoment continu momentverloop - verband tussen T(x) en M(x): dm(x) ( ) T(x) dx

5 OEF reactiekrachten: ΣH 0 H A 0 ΣV 0 V A + V B V A 13,333 kn ΣM V B V B 56,666 kn snedekrachten: [1] N(x) 0 [] N(x) 0 T(x) 13,333 0 T(x) 13, M(x) 13,333.x 0 M(x) 13,333.x + 30.(x-) 0 [3] N(x ) 0 T(x ) 0.x 0 x ' M(x ) + 0.x.( ) 0

6 OEF 3 reactiekrachten: ΣH 0 H A 0 ΣV 0 V A V A 70 kn ΣM 0 M A ,5 0 M A 460 knm snedekrachten: [1] N(x) 0 [] N(x ) 0 T(x) 70 0 T(x ) 0.x 0 M(x) + M A - 70.x 0 x ' M(x ) + 0.x. 0

7 OEF 6 reactiekrachten: ΣH 0 H A 0 ΣV 0 V A + V B V A 0 kn 6.0 ΣM 0 V B V B 40 kn 3 snedekrachten: [1] N(x) 0 T(x) 0 + M(x) 0.x + 0 x. x 6 0 x. 6 0 x. 1 3 x 0

8 OEF 7 reactiekrachten: ΣH 0 H B 0 ΣV 0 V A + V B 30 0 V B 30 kn ΣM 0 V A.5 0 V A 0 kn snedekrachten: [1] N(x) 0 [] N(x ) 0 [3] N(x) T(x) 0 T(x ) T(x) 0 M(x) 0 M(x ) 30.x 0 M(x) + 30.,5 0 [4] N(x ) 0 T(x ) M(x ) + 30.x 0

9 OEF sinα cosα reactiekrachten: ΣH 0 - H A + R D.sinα 0 ΣV VA RD.cos α 0 ΣM MA (RD sin α).6 (RD cos α).6 0 Linkerdeel ΣH 0 - H A + H C 0 30 A kn 13 ΣV VA VC 0 V A 5,96 kn ΣM MA 4.H C 3.VC.1 0 M A 4,1 knm

10 Rechterdeel ΣH 0 - H C + R D.sinα 0 H 30 C kn ΣV 0 V C - R D.cosα 0 V C kn ΣM 0 15.R D.sinα - 3.R D.cosα 0 R D kn 13 snedekrachten: [AB] N(x) + V A 0 [BC] N(x ) H C 0 x' 15 T(x) H A 0 T(x' ) VC x' 0 3 x' 15 x' M(x) + M A - H A.x 0 M(x' ) + VC.x' + x' [CE] N(x ) 0 [ED] N(x ) 0 T(x ) R D 0 T(x ) R D 0 13 M(x ) + R D.x 15 0 ( < x' < 13 ) M(x ) + R D.x 0

11 OEF 3 reactiekrachten: Linkerdeel ΣH 0 H A + H F H A 30 kn ΣV 0 V A + V F V A 6 kn ΣM 0 M (10.3).1,5 (4.4). + (.1).3, V.4 0 MA 118 knm A F Rechterdeel ΣH 0 H F 0 H F 0 kn ΣV 0 V F V G V F 3 kn ΣM 0 (.3).1,5 V G.3 0 V G 3 kn snedekrachten: [1] N(x) + V A 0 [3] N(x ) 0 T(x) H A + 10.x 0 T(x ) 4.x 0 M(x) + M A H A.x + 5.x² 0 M(x ) +.x ² 0 [] N(x) H A T(x) V A + 4.x 0 M(x) + M A + x² - V A.x + (10.3).1,5 H A.3 0 [4] N(x) + V A T(x) H A M(x) + M A H A.(3+x) V A.3 + (10.3)(x+1,5) 0 [5] N(x ) 0 [6] N(x ) 0 T(x ) + V F 15 +.x 0 T(x ) +.x V G 0 M(x ) V F + 15.x x ² 0 M(x ) x ² + V G.x 0

12

13 OEF 6 0 kn reactiekrachten: ΣH 0 H A 0 ΣV 0 V A 0 + V B V D 0 V A 3,1 kn ΣM 0 0.4,5 V B.7 + (5.7).9,5 V D.13 0 V B 41,79 kn scharnier V D.4 (5.4). 0 V D 10 kn snedekrachten: [1] N(x) 0 [] N (x) + 3,1. 0 T(x) 3,1 0 T (x) 3,1. 0 M(x) 3,1.x 0 M (x) 3,1. 3 x + 0 [3] N (x) + 3, T (x) 3, ( x 1,5 ) 0 M (x) 3,1 3 x [4] N(x) 0 T(x) + 0 3,1 + 5.x 0 5 M (x) + 0.(x + 1,5) 3,1.(x + 6) + x² 0

14 [5] N(x ) 0 [6] N(x ) 0 T(x ) x 0 T(x ) x 0 5 M (x') 10.x' +.x'² 0 ( 4 x' < 6 ) 5 M (x') 10.x' + <.x'² 0

15 OEF 10 cos α 0,6 sinα 0,6 reactiekrachten: ΣH 0 H A ,6 + H F H A 0,6 kn ΣV 0 V A 10.0,8 + V F 0 V F 4 kn ΣM 0 (10.0,8).4 + (.5).,5 V F.10 + H F.5 0 H F 3,4 knm scharnier (10.0,8).4 V A.8 0 V A 4 kn snedekrachten: [1] N(x) + 0,6 0 [] N(x) + 0, ,6 0 [3] [] T(x) 4 0 T(x) ,8 0 (8 < x < 1) M(x) 4.x 0 M(x) 4.x + 8.(x-4) 0 [4] N(x ) [5] N(x) + 3,4 0 T(x ) +3,4.x 0 T(x) 4 0 M(x ) + 3,4.x x ² 4. 0 M(x) 4.x 0

16

17 Axiale trek en druk Lijst van oefeningen OEF : opgave 3. op pagina 6 OEF 4: opgave 3.4 op pagina 7 OEF 1: opgave 3.10 op pagina 9 16

18 OEF ABC scharnierend stavenstelsel. Knik wordt uitgesloten verondersteld. E N/mm² Toelaatbare spanningen: - op trek: 100 N/mm² σ 100 N/mm² - op druk: 50 N/mm² σ ' 50 N/mm² Bepaal: - nodige doorsnede van AB en BC - verplaatsing van B opm. minteken voor druk werkt alleen als je alles onder trek veronderstelt!! in knooppunt tegengestelde krachten aan de staven!! knooppunt B: verplaatsing B: ΣH -F AB.sin30 - F BC.sin60 0 ΣV F AB.cos30 - F BC.cos60 0 F AB kn F BC - 0 kn A A F σ AB AB FBC σ' 0 50 BC FAB.LAB δ AB 1,73 mm E.A ,41 AB AB FBC.LBC δ BC 0,5 mm E.A BC BC BB 1,807 mm α 76,106 BB V 1,7499 mm BB H 0,4330 mm 346,41mm² 400 mm²

19 OEF 4 Scharnierend stavenstelsel E N/mm² σ e 40 N/mm² Gevraagd - nodige dwarsdoorsnede van AB en BC (veiligheidscoëff. voor getrokken en gedrukte staven resp. 1,5 en 3). - verplaatsing van B A AB en A BC: F AB + F BC.cos30 0 F AB 173, kn F BC.sin30 0 F BC - 00 kn 40 trek: σ 160 N/mm² 1,5 AAB 108,5 mm² 40 druk: σ ' 80 N/mm² 3 A BC 500 mm² verplaatsing B: FAB.L AB δ AB,4 mm E.A ,5 AB AB FBC.LBC δ BC 1,39 mm E.A BC BC BB H,4 mm 1,39 BB V (,4 + u).cotg30 6,93 mm u cos30 BB 7,33 mm

20 OEF 1 α E Cu Cu K -1 N/mm² Als de staaf uitknikt bij een spanning van 100 N/mm², welke temperatuursverhoging is hiertoe nodig? verlenging δ: δ αl T 1 T 1 18,75 K uitknikken: σ totaal: T 81,5 K Eα T T 6,5 K

21 Buiging Lijst van oefeningen OEF 1: opgave 5.1 op pagina 35 OEF : opgave 5. op pagina 35 OEF 3: opgave 5.3 op pagina 35 OEF 4: opgave 5.4 op pagina 36 OEF 6: opgave 5.6 op pagina 37 OEF 8: opgave 5.7 op pagina 37 0

22 OEF 1 Een plank van 40 mm breed en 30 mm dik wenst men te versterken door aan weerszijden planken aan te brengen van 10 mm hoog en 30 mm dik. Welke constructie a of b weerstaat het best aan buiging in een verticaal vlak? grootste weerstand tegen buiging v I maximaal a b 30.10³ 40.30³ 4 - I y²da mm v 60 mm I mm³ v - yg. ΣAi Σy i. Ai 60.(10.30) + 15.(40.30) + 60.(10.30) y g v 10 37,5 8,5 mm mm 4 37,5 mm 40.30³ 30.10³ I + (37,5 15)² (60 37,5)² I mm³ v I v b > I v a constructie b weerstaat het best aan buiging in het verticale vlak

23 OEF Men zaagt een balk met rechthoekige doorsnede uit een cilinder met diameter D. Bepaal de verhouding h/b van de doorsnede opdat de balk een maximale weerstand tegen buiging zou hebben. Bepaal eveneens de verhouding h/b voor een maximale weerstand tegen doorbuiging. D² b² + h² b D² h² weerstand tegen buiging maximale spanningen moeten minimaal blijven: σ M.v max I I v maximaal weerstand tegen doorbuiging doorbuiging minimaal kromtestraal maximaal (kromming minimaal): I ρ M E.I h v I v I maximaal D² h².h³ 1 D² h².h² maximaal h 6 d I 1 1 h² h. D² h².( h) 0 dh v 6 + D² h² h.(d² h²) h³ 0 3 D ² h² 3 h h² b² + h² b

24 I D² h².h³ maximaal 1 di 1 1 h³ 3h². D² h².( h) 0 dh 1 + D² h² 3h².(D² h²) h D ² h² 3 4 h h² b² + h² 3 b 3

25 OEF 3 Een vierkante houten balk wordt belast zoals aangegeven op de figuur. Bereken de minimale zijde van het vierkant. ( σ h 10 N/mm² ) M max.v σ h I z v z.z³ I 1 M max? 4 z 1 M max Nmm z Mmax. Mmax.6 σ h z³ z 9 mm 4 z σh 1

26 OEF 4 Een verlichtingspaal van 0 m hoog wordt belast door een windstoot. De wind wekt een verdeelde belasting op van 0,8 kn/m over de paal en een puntlast van 0 kn op de lamp zelf. Andere krachten worden achterwege gelaten. De paal is opgebouwd uit regelmatige zeshoeken met aan de basis een zijde van 40 cm. a. Bepaal M,T diagramma s. b. Welke zijn de optredende normaalspanningen veroorzaakt aan de basis? c. Welke andere krachten of reacties werden hier niet in rekening gebracht? a b M.v σ x I 5 3 (R ( I v 40.cos30 r ) ,41 σ x 1,05 N/mm² c zwaartekracht, dynamische effecten (trillingen) ) mm 4

27 OEF 6 De getoonde klem wordt opgespannen tot een last van 400 N. Bereken de spanning bovenaan en onderaan in doorsnede XX en teken een diagramma dat de spanningsvariatie over deze doorsnede illustreert. Ay ΣA y G i i ,75² spanning t.g.v ,5 y G ,75² I mm N normaalkracht: σ b σo 4,17 N/mm² A moment: σ σ totale spanningen: σ σ b o b 84,76 N/mm² 47,76 N/mm² M.v' I M.v I [ 400.(50 + 6,5) ] 36 [ 400.(50 + ] 6,5).6,5 36 o.1,75 88,93 N/mm² 4 43,59 N/mm²

28 OEF 8 Indien de maximum drukspanning 108 N/mm² en de maximum trekspanning 14 N/mm² bedraagt, wat is dan de maximaal opneembare last W. M 1400.W yg... yg 3,5 cm 35, mm ³ ³ I + 0,85². + 1,5². 118,6 cm mm 4 M.v' σ' I v' 44,8 mm 108 N/mm² W 043 N M.v σ I v' 14 N/mm² 35, mm W 985 N

29 Afschuiving Lijst van oefeningen OEF 1: opgave 6.5 op pagina 44 OEF : opgave 6.7 op pagina 45 OEF 3: opgave 6.4 op pagina 44 8

30 OEF 1 Een U-vormige stalen balk wordt onderaan verstevigd door een stalen lat via een lijmverbinding. Wat is de waarde van de schuifspanning die optreedt in deze lijmverbinding, als de balk belast wordt met een gelijkmatig verdeelde kracht p 10 kn/m? y G 50 mm ³ ³ 1 I S mm³ T max N b.10 0 mm mm T.S τ 38,97 N/mm² b.i

31 OEF Een hefboom van 400 mm lengte is bevestigd op een as van 80 mm in diameter m.b.v. een ronde pen. De maximale kracht P op de hefboom is 60 N. Bereken de pendiameter. (τ max 100 N/mm²) P.400.K.40 K N K K π.d² 4.K τ A d 1 mm A τ 4 π. τ π.100

32 OEF 3 Bepaal de schuifspanningsverdeling in een vierkante ruit met zijde a, waarbij de dwarskracht T gericht is volgens de verticale diagonaal. τ T.S b.i 4 a I 1 b h y h h h a I h 4 3 b (h y) b h h y b(h y) h y h yg.a y +. y + h S S (h y)². 3 3 y + h T.(h y)². 3 h (h y). 3 τ y τ ( y² + yh h² ) τ max 0 τ T y h T h ( 4y + h) T 8 h² 9 T 8 A 9 8 τ max τ0 T h.h² τ y 0 4 T A y h 4