ConstructieMechanica 3

Transcriptie

1 CTB10 COLLEGE 9 ConstructieMechanica Stabiliteit van het evenwicht Inleiding Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad) Systemen met meer dan één vrijheidsgraad Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden) Statisch bepaalde op druk belaste staaf lgemene aanpak met de D.V. Verend ingeklemde buigzame staven Gekoppelde systemen Knik en de EUROCODE 3 e orde effecten Naknikgedrag Initiële scheefstand, vergrotingsfactor Vergrotingsfactor voor buigzame staven Bezwijken door instabiliteit Ir J.W. Welleman bladnr 1

2 SYSTEMEN MET VRIJHEIDSGRDEN VOORBEELD 10 u 1 u h star star EI l EVENWICHT? Merk op : We maken met opzet nog even geen gebruik van het natuurlijke gevoel dat de grootte van de verplaatsingen vanwege symmetrie gelijk moeten zijn. Ir J.W. Welleman bladnr

3 VRIJMKEN EN EVENWICHTSVERGELIJKINGEN OPSTELLEN u 1 u Ligger -B vormt een veer : θ M M B EI l 4 θ 4 θ B θ B M M θ B θ B Vrijgemaakt M B M B Vrijgemaakt LET OP : delen, dus vergelijkingen Ir J.W. Welleman bladnr 3

4 STEL MOMENTENEVENWICHT OP VOOR BEIDE DELEN linker deel: 4EI EI.h. θ M.h θ + θb l l rechter deel: EI 4EI.h. θb M B θ +.h θb l l 0 0 WT STELT DIT VOOR? Ir J.W. Welleman bladnr 4

5 EIGENWRDE PROBLEEM k xx k yx k kxy u v yy ( K I ). u 0 K. u. u 0 homogeen stelsel vergelijkingen (rechterlid is nul) alleen een niet-triviale oplossing indien de determinant van de matrix nul is. Door oplossen van het karakteristiek polynoom worden twee waarden gevonden voor de nog onbekende waarde Deze waarden noemen we de eigenwaarden (knikkracht) Bij iedere eigenwaarde hoort een eigenvector (uitbuigingsvorm) Deze wordt gevonden door de betreffende eigenwaarde in het stelsel te substitueren Ir J.W. Welleman bladnr 5

6 UITWERKEN EI stel : β h. l 4β β θ β 4β θ B 0 4β β det 1β 8β + 0 β 4β β. 6β 0 β ; 6β ( ) ( ) laagste knikkracht is maatgevend 1 Ir J.W. Welleman bladnr 6

7 BEPLEN VN DE UITBUIGINGSVORM, KNIKVORM (bepaal de eigenvectoren) Substitueer per mode de eigenwaarde in het stelsel : 1 βθ + βθ 0 1 βθ + βθb 0 stel : θ µ θ B µ θ µ 1 6β β βθ + βθ 0 B B 1 βθ βθ B 0 stel : θ θb θ 1 Ir J.W. Welleman bladnr 7

8 RESULTT 1 u u 1 u u star star star star EI EI Laagste kniklast maatgevend EI k h. l Merk op : De uitbuigingsvorm is wel bekend, de uitbuiging zelf is onbekend! Zie ook dictaat blz 104 voorbeeld. Ir J.W. Welleman bladnr 8

9 BUIGZME STVEN l EI oneindig veel vrijheidsgraden x w(x)? x, w Statisch bepaalde buigzame drukstaaf Statisch onbepaalde buigzame drukstaaf Verend ingeklemde buigzame drukstaaf Ir J.W. Welleman bladnr 9

10 STTISCH BEPLDE BUIGZME DRUKST l EI oneindig veel vrijheidsgraden kniklengte buigpunt x w(x)? x, w kniklengte EULER k π l EI k kniklengte kniklast knikvorm kniklengte Ir J.W. Welleman bladnr 10

11 VOORBEELD 11 Tuien (7,5 m) : E500 knm EI500 knm 6,0 m 4,5 m 4,5 m Gevraagd : De knikkracht en de knikvorm Ir J.W. Welleman bladnr 11

12 KNIK EN DE VOORSCHRITEN (EUROCODE 3) TOETS DE DRUKKRCHT IN DE UITERSTE GRENSTOESTND (BEZWIJKEN!!!) KNIK IS EEN (GEVRLIJKVEILIGHEIDBEZWIJKEN) ENOMEEN DT GETOETST MOET WORDEN IN DE UITERSTE GRENSTOESTND HOE KOMEN WE VN EULER (KNIKKRCHT) OP WERKELIJK TOETSBRE DRUKKRCHTEN? Ir J.W. Welleman bladnr 1

13 KNIKSPNNING Euler π EI Euler Lcr Spanning σ b Euler ( buckling ) I I Knikspanning σ π E met: i ( traagheidstraal) L b cr i π E L Knikspanning σ π met: ( slankheid ) cr b E Lcr i Ir J.W. Welleman bladnr 13

14 VERLOOP VN DE KNIKSPNNING σ b f y π E f y GRENSWRDE: STL E N/mm Onderzoek verschillende staalsoorten S355 vloeigrens f y 355 N/mm 1 76,4 S35 vloeigrens f y 35 N/mm 1 93,9 1 π E f y Ir J.W. Welleman bladnr 14

15 SPNNING LS KNIKCURVE σ [N/mm ] S355 S35 σ π E b Euler Werkelijkheid Ir J.W. Welleman bladnr 15

16 σ χ b KNIKCURVE EN DE NORM assen dimensieloos maken door: 1,0 Stap : Bepaal knikreductie-factor (formules) f y 1 σ k y as χ f y x as 1 Stap 3 : bepaal draagvermogen σ N b χ b,rd f y χ γ f M1 draagvermogen van de op knik belaste staaf y 1,0 Stap 1 : bepaal relatieve slankheid 1 Ir J.W. Welleman bladnr 16

17 EUROCODE 3 Knikcurve is afhankelijk van het type doorsnede χ a 0 Euler a 0 a b d c d rekenwaarde van de normaalkracht (belasting) N Ed < N b,rd rekenwaarde van het draagvermogen (sterkte) Ir J.W. Welleman bladnr 17