Niet-lineaire mechanica INHOUD LES 1. Niet-lineair materiaalgedrag: gewapend betonnen wanden en staalprofielen. Niet-lineair raamwerk-element

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Niet-lineaire mechanica INHOUD LES 1. Niet-lineair materiaalgedrag: gewapend betonnen wanden en staalprofielen. Niet-lineair raamwerk-element"

Godelieve Martens
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 INHOUD LES 1 Niet-lineair gedrag van een kabel-element Niet-lineair materiaalgedrag: gewapend betonnen wanden en staalprofielen Niet-lineair raamwerk-element Demonstratie van computerprogramma Dr.Frame Werking van simulatiesoftware voor constructiegedrag Voorbeelden van niet-lineair constructiegedrag: Boogspant en een gewapend betonnen vloer dr. ir. P.C.J. Hoogenboom, 27 mei

2 Niet-lineair gedrag van een Kabel-element y l n u 2y 2 u 2 y 2 y 1 1 x 1 u 1y u 1x u 1 l o o o Kinematische vergelijking: x 2 u 2x x rek = verlenging / oorspronkelijke lengte 2

3 Kabel-element Kinematische vergelijkingen lineair: l ( x x ) ( y y ) o cos o cos o u u cos u cos 1 1x o 1y o u u cos u cos 2 2x o 2y o u 2 1 l o x y u l l o o x y 3

4 Kabel-element Kinematische vergelijkingen niet-lineair: l ( x x ) ( y y ) o tmp ( x u ) ( x u ) 1 2 2x 1 1x tmp ( y u ) ( y u ) 2 2 2y 1 1y l tmp tmp n l n l o l o 4

5 Kabel-element Getallenvoorbeeld 1: x1=1, y1=1, x2=4, y2=3 u1x=0.1, u1y=0.2, u2x=0.3, u2y=0.6 Lineair Niet-lineair Getallenvoorbeeld 2: x1=1, y1=1, x2=4, y2=3 ux1=1, uy1=2, ux2=3, uy2=6 Lineair Niet-lineair

6 Kabel-element Conclusies kinematische vergelijkingen: Bij kleine verplaatsingen (rotaties) maakt lineair of niet-lineair weinig uit. Vergroting van de verplaatsingen met een factor 10 geeft een vergroting van de lineaire rek met een factor 10. Zoöok Optellen van twee sets van verplaatsingen geeft een lineaire rek gelijk aan de som van de rekken van de twee sets. 6

7 Kabel-element Constitutieve vergelijking: N r N lineair niet-lineair werkelijkheid r 7

8 Kabel-element Constitutieve vergelijkingen: Lineair: N EA Niet-lineair: 0 als 0 N EA 1 als 0 2r 0 als r r 8

9 Kabel-element F 2y F 2x y 2 y 1 y 1 x 1 u 1y u 1x F 1y N F 1x l n l o n o o n 2 N x 2 u 2x u 2y x Knoopkrachten 9

10 Kabel-element Lineaire evenwichtsvergelijkingen: F Ncos F F F 1x 1y 2x 2y Ncos o o Ncos Ncos Niet-lineaire evenwichtsvergelijkingen: ( x2 u2 ) ( 1 1 ) cos x x u x n l cos F F F F 1x 1y 2x 2 y n o o ( y u ) ( y u ) Ncos Ncos n 2 2y 1 1y n n Ncos Ncos n n l n 10

11 Algemeen Fysisch niet-lineair De constitutieve vergelijkingen zijn nietlineair. Geometrisch niet-lineair De kinematische vergelijkingen of de evenwichtsvergelijkingen zijn niet-lineair. 11

12 Algemeen Bij een lineair model kunnen we de momenten, verplaatsingen etc. van verschillende belastinggevallen vermenigvuldigen met belastingfactoren en optellen. Dit heet superponeren. Dus de belastingcombinaties kunnen worden gekozen ná het uitvoeren van de elementenberekening. Bij een niet-lineair model kunnen we niet superponeren. Dus de belastingcombinaties moeten worden gekozen vóór het uitvoeren van de elementenberekening. 12

13 Niet-lineair materiaalgedrag: gewapend betonnen wanden We beschouwen een kubus uit een gewapend betonnen wand. Een constitutief model hiervoor is de Modified Compression Field Theory. Ontwikkeld in 1982 in Toronto. xx (2) sx xx (1) yy sy (4) xx yy 1 c1 yy xy 2 c2 xy (3) 13

14 Gewapend betonnen wanden Wapeningsgedrag (2) y s y E s 1 y Betongedrag (3) 'c y f cr c cr 0,4 0,2 t = 0,0 f ' c 14

15 Gewapend betonnen wanden 15

16 Niet-lineair materiaalgedrag: Staalprofielen Interactiediagram van een rechthoekige profieldoorsnede vloeigrens elastoplastisch gebied elastisch gebied M M p 1 M M 3 2 N N p p M M p N N p N N p

17 Staalprofielen M M p 1,0 0,8 Moment versus kromming van een rechthoekige doorsnede 0,0 0,2 0,4 N N p 0,6 0,6 0,4 0,8 e 2 y Eh 0,2 0,9 0, e 17

18 18 Staalprofielen 1,0 1,0 0 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 p M M p N N /6 /10 b h f h l h /4 /30 /40 b h f h l h 0 0 f l /2 /16 /22 b h f h l h l b

19 Niet-lineair raamwerk-element l T 2 P 1 v 1 T 1 2 v2 1 w 1 w 2 P 2 F 1 Kinematische vergelijking 2 d w dx Constitutieve vergelijking M EI 2 Evenwichtsvergelijking 2 2 d w N dx d M 2 2 dx 0 F 2 19

20 Raamwerk-element De stijfheidsmatrix hangt af van de normaalkracht N Nl EI 2 2 sin 2(1 cos ) sin 2 sin cos 2(1 cos ) sin 2 2 2( ) 0 ( ) l 2( ) 0 ( ) l F1 EA 2 EA w1 1 l l P EI EI v ( ) 0 1 T EI l l l 3 F2 2 l symmetrisch 2( ) 0 ( ) l w2 P2 EA v l 2 T2 EI 2 l 20

21 Raamwerk-element Computer-procedure voor niet-lineaire raamwerkberekening: Neem aan dat N = 0 Bereken de stijfheidsmatrix Bereken de krachtsverdeling Dus N = Bereken de stijfheidsmatrix Bereken de krachtsverdeling Dus N = Bereken de stijfheidsmatrix Bereken de krachtsverdeling. Totdat de oplossing niet meer verandert Dit is de sectantmethode. Dr. Frame: Gebruik voor elke iteratie toets i. 21

22 Demonstratie van het programma Dr. Frame Automatische 2 de orde berekening (2nd Order Analysis on) Belasten tot de kniklast, hogere knikvormen, divergentie Gereduceerde stijfheid om imperfecties in rekening te brengen (Load-Dependent EI on) Benuttingsgraad van de doorsnede (Normalized Values on) Gebruik van plastische scharnieren (Install Plastic Hinges) 22

23 Amerikaanse veiligheidsfactoren en hoe je die kan uitzetten (Resistance Factors off) 23

24 Werking van software voor simulatie van statisch constructiegedrag In het algemeen werkt software voor statische berekeningen niet met de secantmethode maar met de tangentmethode. belasting tangentstijfheid initiële stijfheid secantstijfheid verplaatsing 24

25 Werking van simulatiesoftware Black boxes van materiaalgedrag: Lineair, elastisch, plastisch, beton, staal, hout, invoer rekken materiaal gedrag uitvoer spanningen Black boxes van elementgedrag: Kabel-element, raamwerk-element, plaat-element, schaal-element, volume-element, invoer knooppuntverplaatsingen element gedrag uitvoer knooppuntkrachten Black box van modelgedrag: invoer inwendige knoopverplaatsingen u model gedrag uitvoer inwendige knoopkrachten f i 25

26 Werking van simulatiesoftware inwendige knoopkracht inwendige knoopverplaatsing knoop onbalans opgelegde knoopkracht gaping opgelegde knoopverplaatsing Opgelegde knoopkrachten en opgelegde verplaatsingen worden aangebracht in stappen. Gapingen en onbalansen horen gelijk nul te zijn. Deze worden steeds kleiner gemaakt in een iteratieproces. 26

27 Werking van simulatiesoftware De berekening bestaat dus uit stappen en iteraties. belasting factor stap 3 stap 2 stap 1 iteratie 3 iteratie 2 iteratie 1 verplaatsing 27

28 Werking van simulatiesoftware Detail Dit is het bepalen van een nulpunt met de Newton-Raphson methode. 28

29 Werking van simulatiesoftware Voor de iteraties wordt vaak de tangentmatrix gebruikt. Andere matrices die op de tangentmatrix lijken kunnen ook worden gebruikt. Dit is van belang voor de snelheid van de berekening. Als de gapingen en onbalansen voldoende klein zijn, stoppen de iteraties en wordt een nieuw stap aangebracht. Het afbreekcriterium is van belang voor de nauwkeurigheid van de berekening. De grootte van de belastingstappen is voornamelijk van belang voor het al dan niet convergeren van de berekening. 29

30 Werking van simulatiesoftware Als de belasting te groot wordt divergeert het iteratieproces. belastingfactor verplaatsing 30

31 Werking van simulatiesoftware Een oplossing hiervoor is booglengte sturing (arch length control). belastingfactor verplaatsing 31

32 Niet-lineair constructiegedrag: Boogspant 1 3 a a F 10F 2 F u 10F F F 5 10F F 1 a a a a a 6 32

33 Boogspant 0,07 Fa2 EI D kniklast 0,06 A lineair E geometrisch niet-lineair 0,05 0,04 B star-plastisch en geometrisch lineair 0,03 C star-plastisch en geometrisch niet-lineair 0,02 F elasto-plastisch en geometrisch niet-lineair 0,01 u a 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 33

34 Niet-lineair constructiegedrag: Gewapend betonnen vloer a a elementenverdeling a a vloeilijnenpatroon A y x A p u doorsnede A-A u 34

35 Gewapend betonnen vloer 35

Vergelijkbare documenten

Stap 2. Geometrisch niet-lineair model Het elastisch weerstandsmoment dat nodig is om dit moment op te nemen is

Stap 2. Geometrisch niet-lineair model Het elastisch weerstandsmoment dat nodig is om dit moment op te nemen is Uitwerking opgave Pierre Hoogenboom, 9 november 001 a = 15 m, b = 7 m en c = 4 m. Aangenomen: Vloeispanning 40 MPa Veiligheidsfactor vloeispanning 1, Van Amerikaanse Resistance Factors (Phi) wordt geen