Buiging van een belaste balk
|
|
- Agnes de Backer
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: Tel.: juli 005
2 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde belast, dan zal deze balk ten gevolge van die belasting doorbuigen. Deze belasting kan op verschillende manieren worden uitgeoefend. Er kunnen zowel horizontaal als verticaal krachten worden uitgeoefend. Indien er horizontaal een kracht wordt uitgeoefend op het uiteinde van een reeds doorgebogen balk, dan is te verwachten dat de balk zal buigen. De vraag is alleen hoe zal deze balk buigen. In dit onderzoek zal geprobeerd worden een verband te bepalen tussen de doorbuiging van een balk, en de belasting. Er zullen hier verschillende gevallen bekeken worden. Ten eerste zal gekeken worden naar een (ongebogen) balk die verticaal op het uiteinde belast wordt. Vervolgens zullen we gaan kijken naar hetzelfde probleem, maar dan met een reeds doorgebogen balk. Verder zullen we onderzoeken wat er zal gebeuren indien een reeds doorgebogen balk horizontaal belast wordt.
3 Inhoud Doorbuigen van een balk... Inhoud... 3 Symbolenlijst... 4 Verticaal belaste balk... 5 Gebogen balk... 8 Horizontaal belaste balk... 0 Niet lineaire doorbuiging... 3 Conclusie... 7 Literatuurlijst
4 Symbolenlijst P Kracht op uiteinde N 0 van balk x Coördinaat langs de m lengte van de balk y Coördinaat langs de m hoogte van de balk ϕ Hoek rad R Kromtestraal m ε Rek l Lengte van balk m,0 E Elasticiteitsmodulus N / m,0 0 I Oppervlaktemoment 4 m M Moment Nm η Uitwijking m R 0 Initiële kromtestraal m 00 ψ Hoek rad s Coördinaat langs de lengte van de gebogen balk m
5 Verticaal belaste balk Om te beginnen zal er dus gekeken worden naar een balk die verticaal op het uiteinde wordt belast. De balk is hierbij loodrecht op een vaste wand ingeklemd. En op het uiteinde wordt een kracht P uitgeoefend. We zullen nu een model moeten gaan opstellen waarmee we de doorbuiging kunnen gaan bepalen. Hierbij zullen we gaan kijken naar de vervormingen in de balk. Door de belasting op het uiteinde van de balk zal de balk doorbuigen. De balk wordt dus vervormd. Doordat de balk doorbuigt zullen er vezels zijn die worden samengedrukt, en vezels die worden uitgerekt. Er zullen echter ook vezels zijn die niet vervormd worden. Het vlak waarin die vezels liggen wordt het neutrale vlak genoemd. Wij zullen ons coördinatenstelsel nu zo kiezen dat de x-as in het neutrale vlak zal komen te liggen (in onvervormde toestand). We zullen de buiging van de balk gaan bepalen aan de hand van de uitwijking van de neutrale lijn ten opzichte van de plaats in onvervormde toestand. We bepalen nu de rek ε bij vaste x en op een hoogte y boven het neutrale vlak. We gaan er hierbij vanuit dat de doorbuiging beschreven kan worden met een kromtestraal R ( x ). ε = ( ) R + y ϕ x x () 5
6 Hierbij is x gelijk aan de oorspronkelijke lengte van de vezel op hoogte y. Op de neutrale x = R x φ. Substitutie levert nu lijn veranderen de vezels niet van lengte, dus ( ) y ε = () R y σ We nemen nu aan dat ε de dominante spanningscomponent is. Dus ε = =. R E In ons probleem is er sprake van een statisch model. Er zal dus sprake moeten zijn van een krachtenevenwicht en van een momentenevenwicht. We zullen nu de breedte van de balk op hoogte y, b( y ) noemen. h h E σ b y dy = y b y dy = 0 ( ) ( ) (3) R h h h h E M = σ y b y dy = y b y dy ( ) ( ) (4) R h h Uit deze twee vergelijkingen kan het volgende worden afgeleid: M EI = (5) R Hierin is M het moment dat veroorzaakt wordt door de belasting op de balk. En I is gelijk aan de integraal in het rechterlid (van (4)). Tussen de kromtestraal en de uitwijking is het volgende verband af te leiden. ( η ( )) = + ( η ( )) arctan ' x R ' s ds d dx x 0 x d x R ( s ) ds dx 0 ( arctan ( η '( )) ) = + η '( ) η ''( x) ( η ( x) ) η ''( x) = + ( η '( x) ) + ' R R = + ' { } ( η ( x) ) 3 (6) In het geval van een doorgebogen balk is er verder sprake van een kleine helling, oftewel η ' x. Voor de uitwijking hebben we dan dus de volgende differentiaalvergelijking: ( ) M = EIη ''( x) (7) 6
7 In deze vergelijking zijn E en I constanten die door het probleem bepaald worden (bijvoorbeeld door het gebruikte materiaal van de balk). Het moment M kan worden berekend indien de kracht P bekend is. Om de differentiaalvergelijking op te lossen zijn nu twee randvoorwaarden nodig. In het punt waarop de balk is ingeklemd is er geen uitwijking, verder is daar ook de verandering van de uitwijking gelijk aan nul. ( ) ( ) η 0 = 0 dη dx 0 = 0 (8) Het is eenvoudig in te zien dat het moment gelijk is aan M = Pl. De differentiaalvergelijking kan nu opgelost worden door te integreren. Dit levert het volgende op: Pl η ( x) = x + Cx + C (9) EI Nu kunnen de constanten bepaald worden door gebruik te maken van de randvoorwaarden. Als oplossing voor de doorbuiging krijgen we dan dus: Pl η ( x) = x (0) EI We zullen nu aan de hand van een plotje laten zien hoe de buiging er volgens het gebruikte model zal komen uit te zien. We zullen hierbij (en ook in het vervolg) gebruik maken voor de volgende waarden: P = 0 N, l =.0 m, E =.0 0 N / m, I = m Gekozen is voor een houten balk, met een lengte van m. De hoogte van de balk is 3cm genomen, en de breedte 5cm. Dit levert op dat I gelijk is aan de bovengenoemde waarde. Verder is hier de elasticiteitsmodulus voor hout gebruikt. De kracht P is ongeveer overeenkomstig met een gewicht van kg op het uiteinde van de balk. 7
8 Gebogen balk Het probleem zal nu worden uitgebreid. In plaats van te kijken naar een gewone blak, zullen we nu gaan kijken naar een balk die reeds doorgebogen is. De belasting zal wel weer verticaal op het uiteinde van de balk worden uitgeoefend. We zullen uitgaan van een initiële buiging waarbij de kromtestraal wordt gegeven door R 0. Om de doorbuiging bij dit probleem te bepalen zullen we op dezelfde manier te werk gaan als in het geval van een ongebogen balk. Eerst zal de rek ε berekend worden. De rek zal in dit geval niet meer hetzelfde zijn als in het voorgaande probleem. We voeren nu een constante ψ in. R ϕ = R0 ψ ε kan nu bepaald worden. ε ( R y) ϕ ( R0 y) ( ) ψ + + ψ = = y R0 + y R R0 () We hebben nu dus het volgende gevonden voor de rek: ε y = R R 0 () Indien we dit vergelijken met de rek gevonden bij het vorige probleem, (), dan is te zien dat er niet veel verschil is. Hierdoor kan er nu een groot gedeelte van de berekeningen uit het probleem met een ongebogen balk gebruikt worden. Op deze manier krijgen we de volgende differentiaalvergelijking voor de buiging: M = EI η ''( x) R0 (3) Het zal duidelijk zijn dat hier nog steeds dezelfde randvoorwaarden gelden. Dus ook deze differentiaalvergelijking kan weer opgelost worden door te integreren. Pl η ( x) = x + C x + C EI R0 (4) 8
9 Nu kunnen met behulp van de randvoorwaarden de constanten worden bepaald. Dit levert opc = C = 0. η Pl EI R0 ( x) = x (5) Hier volgt nu nog een plotje behorende bij de gevonden oplossing. Hier is gebruik gemaakt 0 van dezelfde waarden als in de vorige plot ( P = 0 N, l =.0 m, E =.0 0 N / m, I 8 4 = m ). Verder zullen we kiezen R0 00 = m. --- Initiële doorbuiging --- Doorbuiging na belasting 9
10 Horizontaal belaste balk Er zal nu gekeken worden naar het effect van een horizontale belasting. Hierbij wordt weer verondersteld dat de balk reeds gebogen is. Ten opzichte van het vorige model is dus alleen de kracht veranderd. En doordat de kracht anders wordt uitgeoefend is hier ook het moment veranderd. De rest van het model is echter hetzelfde gebleven. We zullen dus het model uit het vorige probleem moeten gebruiken dat (3), en hierbij het moment voor het geval met horizontale belasting bepalen. Het moment is gelijk aan kracht maal arm. Voor het geval waarin de doorgebogen balk horizontaal belast wordt, krijg je dus voor een vaste x het volgende moment: ( ) ( ) η ( ) η ( ) M x = P x l (6) Nu kan er weer naar de differentiaalvergelijking gekeken worden. EIη ''( x) + Pη ( x) = Pη ( l) EI (7) R 0 Gelijk is te zien dat hier niet zomaar geïntegreerd kan worden. Aan de rechterkant van de vergelijking staat nu dus nog een term die afhankelijk is van η. Deze term is echter wel constant. Er kan dus gedifferentieerd worden om die term kwijt te raken. d d ( EIη ''( x) + Pη ( x) ) = Pη ( l) EI dx dx R0 (8) P η ''' ( x) + η '( x) = 0 EI (9) Nu hebben we dus een derde orde differentiaalvergelijking gekregen. Om dit op te lossen zijn er drie randvoorwaarden nodig. Twee daarvan zijn al bekend (de eerder gebruikte randvoorwaarden). Er is dus nog één extra randvoorwaarde nodig. 0
11 We zullen hiervoor naar het uiteinde van de balk kijken. We kunnen constateren dat het moment aan het uiteinde van de balk gelijk is aan nul (zie (6)). Als we nu naar vergelijking (7) gaan kijken, dan is te zien dat η ''( l) = (0) R 0 We hebben nu dus drie randvoorwaarden, en dus kan de differentiaalvergelijking opgelost ax gaan worden. We zullen nu als oplossing η ( x) e gaan proberen. Dit levert het volgende op P = ''' ( x) + '( x) = 0 EI 3 ax ax ax a e + α ae = 0, e 0 α η α η a + α = 0 a = ± αi Het is bekend dat ix e α gelijk is aan ( α ) sin ( α ) αix e = cos x + i x () We zullen daarom veronderstellen dat de oplossing bestaat uit een sinus, een cosinus en een constante. ( ) cos( ) sin ( ) η x = A α x + B α x + C () Vervolgens kunnen we de constanten gaan bepalen met behulp van de randvoorwaarden. α = 0 P = 0 Dit geeft geen informatie(beginsituatie) η '( 0) = 0 = Bα B = 0 η ''( l) = Acos( l) A R = α α R α cos αl = 0 0 ( ) η ( 0) = 0 = + C C = R α cos αl R α αl ( ) cos ( ) 0 0 De doorbuiging is nu dus bepaald, en dus kan er weer gekeken worden naar een plotje (zie volgende pagina).
12 --- Initiële doorbuiging --- Doorbuiging na belasting Te zien is dat er vrijwel geen verschil is tussen de initiële doorbuiging, en de doorbuiging in het geval dat de balk belast is. Dit kan verklaard worden doordat in dit geval het moment een stuk kleiner is ten opzichte van het model waarin de balk verticaal belast werd. Om het verschil iets duidelijker te maken is er nog een plot gemaakt, nu met een kleinere straal R 0 (0 m), en een grotere kracht P (00 N).
13 Niet lineaire doorbuiging Tot slot zullen we ook nog gaan kijken naar het geval waarin de doorbuiging niet lineair wordt verondersteld. De balk zal hierbij nog steeds een initiële doorbuiging hebben, en de belasting zal ook weer horizontaal uitgeoefend worden. De buiging zal nu op de volgende manier aangeduid worden. We gaan nu over van een coördinatenstelsel met x en y naar een coördinatenstelsel met s en dϕ ϕ. Te zien is dat Rdϕ = ds R = ds. Dit kan gesubstitueerd worden in (). Waarna eenvoudig de volgende differentiaalvergelijking kan worden afgeleid. dϕ dψ M = EI = EI ds R ds R 0 0 (3) Het moment wordt op een soortgelijke manier als bij de doorgebogen balk bepaald. Alleen moet er in dit geval een integraal berekend worden om de arm te bepalen. s e ( ψ ( )) M = P sin s ' ds ' (4) s Dit kan vervolgens weer gesubstitueerd worden in de differentiaalvergelijking (3), en gedifferentieerd worden. dψ d d ψ P sin ( ψ ( s) ) = EI = EI ds R0 ds ds (5) 3
14 Nu kunnen beide kanten van de vergelijking vermenigvuldigd worden met dψ ds. De nu verkregen vergelijking kan herschreven worden tot: ( cos ( ψ ( ))) d d dψ P s EI ds ds ds = (6) Deze vergelijking kan nu geïntegreerd worden. Vervolgens kan de wortel getrokken worden om het kwadraat kwijt te raken. ( P ψ C ) dψ cos = + (7) ds EI d Merk hierbij op dat de wortel positief moet zijn doordat er geldt ψ > 0. Bij het probleem dat we aan het bekijken zijn is ψ erg klein. Daardoor kan cosψ worden benaderd door cosψ ψ. Nu zal de differentiaalvergelijking worden herschreven om gebruik te gaan maken van: ds d dx ( arcsin ( ax) ) = a a x (8) Na enig rekenwerk is eenvoudig te zien dat dψ ds ( P( ψ ) C) EI ( P C) Pψ ( P C ) EI EI ( P C ) = ( ) P C P = ψ EI P C ( ) dψ P ( P C ) ψ ( P C ) EI ds (9) Door te integreren krijgen we nu: ( P C) P P arcsin ψ s + C ( P C ) ( P C ) EI (30) 4
15 Na enige stappen volgt hieruit dat P ψ sin s C P + EI ( P C) (3) Nu moeten de randvoorwaarden weer gebruikt worden om de constanten te bepalen. Er zijn twee randvoorwaarden nodig. Ten eerst staat de balk loodrecht op de wand. Dit betekent dat: ψ 0 = 0 ( ) Voor de tweede randvoorwaarde moeten we weer gebruik maken van het feit dat het moment gelijk aan nul is op het uiteinde van de balk. Uit vergelijking (3) volgt hierdoor dat er geldt dψ ds ( se ) R0 = (3) Als we nu de eerste randvoorwaarde gebruiken is te zien dat er moet gelden C = kπ. Oftewel d k = 0 of k =. Nu kunnen we weer gebruik maken van het feit dat er geldt dat ψ > 0. Hieruit volgt dat k = 0 en dus C = 0. Merk nu op dat de afgeleide van ψ gelijk is aan ds P dψ EI P cos s ds P EI ( P C ) (33) Uit de tweede randvoorwaarde volgt nu EI C = + P P R0 cos l EI (34) De functie ψ is nu dus bekend, en dus kan de buiging van de balk berekend worden. Hierbij gebruiken we dat de buiging gelijk is aan: x ( ) sin ( ψ ( )) η x s ds = 0 5
16 Als we nu een plot maken dan krijgen we het volgende te zien Indien we deze grafiek nu vergelijken met de grafiek van het geval waarin we de doorbuiging lineair werd verondersteld, dan is er vrijwel geen verschil te zien. Hieruit kunnen we afleiden dat het model met lineaire doorbuiging een goede benadering is. 6
17 Conclusie Met behulp van enkele benaderingen hebben we een uitwijking kunnen bepalen voor de balk onder belasting. Te zien was dat de uitwijking in het geval van een horizontale belasting een stuk kleiner was dan in het geval van een verticale belasting. Dit is in overeenstemming met de verwachtingen. Verder hebben we ook kunnen zien dat de lineaire benadering vrij goed lijkt te zijn. Om tot nog betere resultaten te komen, zou ervoor gekozen kunnen worden nog minder concessies te doen aan het model, en numerieke methoden te gaan gebruiken bij het bepalen van de oplossing van de gevonden differentiaalvergelijkingen. Verder zou het ook interessant kunnen zijn de resultaten te vergelijken met resultaten verkregen door praktische experimenten. Dit om te zien of de gebruikte modellen inderdaad bruikbaar zijn. 7
18 Literatuurlijst [MECH] DR. IR. C. KORVING EN IR. H.F.M CORSTENS, Mechanica van continue media I, januari 00 8
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieEindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I
Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore 4 De waarde van F is dan
Nadere informatie1 Uitwendige versus inwendige krachten
H1C8 Toegepaste mechanica, deel FORMULRIUM STERKTELEER 1 G. Lombaert en L. Schueremans 1 december 1 1 Uitwendige versus inwendige krachten Relaties tussen belasting en snedekrachten: n(x) = dn p(x) = dv
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieToegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.
Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste
Nadere informatiewoensdag 6 augustus 2008, u Code: 8W020, BMT 1.3 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven
Tentamen Biomechanica woensdag 6 augustus 2008, 9.00-12.00 u Code: 8W020, BMT 1.3 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit examen bestaat uit 6 opgaven. Het aantal punten
Nadere informatieTentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)
Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 22 november 2001 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Auditorium, zaal 9, 10, 15 en 16 Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik
Nadere informatieEindexamen havo wiskunde B 2013-I
Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore De waarde van F is dan minimaal,5
Nadere informatieModule 5 Uitwerkingen van de opdrachten
Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Deze oefening heeft als doel vertrouwd te raken met het integreren van de diverse betrekkingen die er bestaan tussen de belasting en uiteindelijk de verplaatsing:
Nadere informatieTOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar. Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica
blad nr 1 TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar Docent : Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica e-mail : j.w.welleman@hetnet.nl URL : http://go.to/jw-welleman
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe
Nadere informatieVAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK
VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK Proeftoets Beschikbare tijd: 100 minuten Instructies voor het invullen van het antwoordblad. 1. Dit open boek tentamen bestaat uit 10 opgaven.. U mag tijdens het tentamen
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieVoorbeeld 1: Oneindig diepe potentiaalput
Voorbeeld : Oneindig diepe potentiaalput In de onderstaande figuren bevindt zich een deeltje in een eendimensionale ruimte tussen x 0 en x a. Binnen dat gebied is de potentiële energie van het deeltje
Nadere informatieToets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieWiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008
Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie
Nadere informatieMechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16
VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK Set Proeftoets 07-0 versie C Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS- 07-0-versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16 DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER!
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieWiskunde krachten als vectoren oefeningensessie 1 Bron: Wiskunde in de bouw Jos Ariëns, Daniël Baldé
Wiskunde krachten als vectoren oefeningensessie 1 Bron: Wiskunde in de bouw Jos Ariëns, Daniël Baldé Oefening 1 Een groot nieuw brugdek van 40m lang moet over een rivier geplaatst worden. Eén kraan alleen
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT2048 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT2048 1 / 1 Het vinden van een particuliere oplossing Voor een
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatiePROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism
KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism Lien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr.
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatiewiskunde B havo 2017-II
wiskunde B havo 07-II Afstand tussen twee raaklijnen maximumscore Uit x x= 0 volgt ( x = 0 ) x = 0 Hieruit volgt x = 8 dus (de x-coördinaten van M en N zijn) x = 8 ( = ) en x = 8 ( = ) De afstand tussen
Nadere informatieM-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking. Hans Welleman 1
M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking Hans Welleman 1 Uitwendige krachten 50 kn 120 kn 98,49 kn 40 kn 40 kn 30 kn 90 kn 4,0 m 2,0 m 2,0 m werklijnen van de reactiekrachten Hans Welleman 2
Nadere informatiewiskunde B havo 2015-II
Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid
Nadere informatieExamen Klassieke Mechanica
Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 23 januari 2009, academiejaar 08-09 IW2 en BIW2 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/4) vraag 2 (/4) vraag 3 (/5) vraag 4 (/4) vraag 5 (/3) TOTAAL (/20)
Nadere informatieBepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert
Bepaalde Integraal (Training) WISNET-HBO update april 2009 Wat reken je uit als je een functie integreert De betekenis van de integraal is een optelling van uiterst kleine onderdelen. In dit voorbeeld
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieEindexamen wiskunde B pilot havo II
Mosselen Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen in het water. Zij filteren het water. De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2016-II
wiskunde B pilot vwo 06-II De derde macht maximumscore Er moet dan gelden f( gx ( )) x( g( f( x)) f gx ( x ) ( x ) x) ( ( )) + + + f( gx ( )) x+ x(dus g is de inverse functie van f ) Spiegeling van het
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieTENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30
TENTAMEN DYNAMICA (14030) 9 januari 010, 9:00-1:30 Verzoek: begin de beantwoording van een nieuwe vraag op een nieuwe pagina. En schrijf duidelijk: alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden nagekeken.
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieExacte waarden bij sinus en cosinus
acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieUitwerking Tentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag 10 juni 2003
Uitwerking Tentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag juni 3 OPGAE : de horizontale slinger θ T = mg cosθ mg m mg tanθ mg a) Op de massa werken twee krachten, namelijk de zwaartekracht, ter grootte mg, en
Nadere informatieNaam:... Studentnummer:...
AFDELING DER BEWEGINGSWETENSCHAPPEN, VRIJE UNIVERSITEIT AMSTERDAM INSTRUCTIE - Dit is een gesloten boek tentamen - Gebruik van een gewone (geen grafische) rekenmachine is toegestaan - Gebruik van enig
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 havo 2006-I
Verkeersdichtheid We gaan uit van de volgende (denkbeeldige) situatie (zie figuur 1). Op een weg rijden auto s met een snelheid van 80 kilometer per uur. e auto s houden een onderlinge afstand van 45 meter.
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieBewerkingen met krachten
21 Bewerkingen met krachten Opgeloste Vraagstukken 2.1. Bepaal het moment van de kracht van 2N uir Fig. 2-3 rond het punt O. Laat de loodrechte OD neer vanuit O op de rechte waarlangs de kracht van 2N
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur
Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-II
indexamen wiskunde B- havo 008-II Beoordelingsmodel Kfiekan maximumscore 3 V (9, ) 0 0 860,5, dus de snelheid is ongeveer,5 cm 3 /s maximumscore 3 V (3,0) 396 396 58, dus na ongeveer 58 seconden,5 3 maximumscore
Nadere informatieTWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00
TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieVraag Antwoord Scores. Het verschil is (0,0017 uur, dat is) 6 seconden (of nauwkeuriger) 1
Gevaar op zee maximumscore Na, 7, (,7 ) uur komt de UK bij punt S Na,8 6,5 (,697 ) uur komt de Kaliakra bij punt S Het verschil is (,7 uur, dat is) 6 seconden ( nauwkeuriger) Opmerking Als minder nauwkeurige
Nadere informatieVraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h
Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Een regenton maximumscore 5 h V= ( rx ( )) d x 0 00 ( rx ( )) ( 5 5x 5x ) = + Een primitieve van 5+ 5x 5x is 5x+ 7 x 5x Dus = ( 5 + 7 5 ) V h h h 00 V = h+ h h = h+ h h
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieWerkcollege 1 - Grondslagen voor de berekening van staalconstructies
Werkcollege - Grondslagen voor de berekening van staalconstructies Opgave : Vloeien door een trekkract - restspanningen Drie staven, elk met een dwarsdoorsnede A = cm², zijn door starre dwarsbalken verbonden
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I
Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieTentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30
Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieVraag Antwoord Scores
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Beoordelingsmodel Windenergie maximumscore Als de 60 000 gigawattuur windenergie 0% van het totaal is, dan is de voorspelde totale energiebehoefte maximaal Het totaal
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieExamen mechanica: oefeningen
Examen mechanica: oefeningen 22 februari 2013 1 Behoudswetten 1. Een wielrenner met een massa van 80 kg (inclusief de fiets) kan een helling van 4.0 afbollen aan een constante snelheid van 6.0 km/u. Door
Nadere informatieToets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur
Toets 3 Calculus voor MST, 450CALCY donderdag 20 oktober 206; 3:30-5:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B1,2
wiskunde 1, Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs ijdvak 1 Vrijdag 19 mei 1.0 16.0 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieMECHANICAII FLUIDO 55
MECHANICAII FLUIDO 55 Figuur (3.4): De atmosferische druk hoeft niet in rekening te worden gebracht aangezien ze in alle richtingen werkt. Opmerking 3: In sommige gevallen dient met een controlevolume
Nadere informatieEindexamen wiskunde B havo I
Beoordelingsmodel Vetpercentage maximumscore 3 G, 90 = 5 Dit geeft G = 90,5 Het gewicht moet dus minimaal 0 kg dalen maximumscore 6 Volgens BMI: G =,0 L Volgens de vuistregel: G = 00L 0 Beide zijn gelijk:,0
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieRBEID 16/5/2011. Een rond voorwerp met een massa van 3,5 kg hangt stil aan twee touwtjes (zie bijlage figuur 2).
HOOFDSTUK OOFDSTUK 4: K NATUURKUNDE KLAS 4 4: KRACHT EN ARBEID RBEID 16/5/2011 Totaal te behalen: 33 punten. Gebruik eigen grafische rekenmachine en BINAS toegestaan. Opgave 0: Bereken op je rekenmachine
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatiewiskunde B bezem havo 2017-I
Voornamen Mensen die een kind krijgen, moeten dit melden bij de Sociale Verzekeringsbank (SV) om kinderbijslag te ontvangen. De SV beschikt hierdoor over de voornamen van vrijwel alle kinderen die in een
Nadere informatie2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:
0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00
Nadere informatie10.6. Andere warmteproblemen. We hebben warmteproblemen bekeken van de vorm. 0 < x < L, t > 0. w(0, t) = 0, w(l, t) = 0, t 0. u(x, 0) = f(x), 0 x L,
.6. Andere warmteproblem. We hebb warmteproblem bekek van de vorm α 2 u xx = u t, < x u(, t) =, u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x, waarbij de temperatuur aan de beide uiteind constant bovdi gelijk is.
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar maximumscore Beschrijven hoe de vergelijking 0,006x + 56,6 = 0 opgelost kan worden De oplossingen zijn x,0 ( nauwkeuriger) en x,0 ( nauwkeuriger) Dit geeft een breedte van 86,0 meter Als voor x
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieVraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1
Eindexamen wiskunde B havo 0 - II Beoordelingsmodel Tonregel van Kepler maximumscore 6 G = B = π 9 ( 64) (cm ) Voor de cirkel op halve hoogte geldt: πr = (met r de straal van de cirkel in cm) Hieruit volgt
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-II
wiskunde B pilot havo 05-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven
Nadere informatieWiskunde: Voortgezette Analyse
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan
Nadere informatieAnalyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010
WI1330CT/CT1135-1/CTB1001-1 Januari 2013 November 2012 Januari 2012 Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" TU DELFT, 2010
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatie