Eindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I

Transcriptie

1 Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore 4 De waarde van F is dan minimaal,5 De gevraagde v kan dus gevonden worden door de vergelijking v =,5 6, op te lossen Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden De minimale waarde van v in zo n tornado is 8, Als een kandidaat de vergelijking F = 4 oplost, voor deze vraag maximaal scorepunten toekennen. - -

2 maximumscore 4 Substitutie van v =,9 ( T + 4) in de formule voor F geeft,9 ( T 4) F + = 6,,9 Dus F ( T ) = ( + 4) 6,,9 Dit geeft F = ( T + 4) 6, (Dit geeft het lineaire verband F 0,5 T + 0,0 dus) a = 0,5 en b = 0,0 of (Bijvoorbeeld) T = 0 invullen in de formule voor v geeft v =,9 4 = 9, en dit invullen in de formule voor F geeft F 9, = 0,0 6, T = 0, F = 0,0 en F = at + b geeft b = 0,0 (Bijvoorbeeld) T = invullen in de formule voor v geeft v =,9 (4 + ) 6,7 en dit invullen in de formule voor F geeft F 6,7 = 0,6 6, T =, F = 0,6 en F = at + b met b = 0,0 geeft a = 0,5 - -

3 Wortel en parabool 4 maximumscore 4 8 f' ( x) = 8x 4 (of een vergelijkbare vorm) g' ( x) = x Invullen van x = in de afgeleiden geeft f '() = g' () = (dus zijn in dit punt de hellingen van de grafieken van f en g gelijk) Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct toepast, voor deze vraag maximaal scorepunten toekennen. 5 maximumscore 6 De vergelijking 8x 4 = moet worden opgelost (voor x > 0 ) Kwadrateren van beide zijden geeft 8x 4= 9 Dit geeft x = (dus de x-coördinaat van A is 8 8 ) De vergelijking x + = moet worden opgelost (voor x > 0 ) Dit geeft x = (dus de x-coördinaat van C is ) De lengte van CA is 8 - -

4 Omvliegen 6 maximumscore 4 In deze situatie zijn de afstanden te berekenen in een rechthoekige driehoek waarvan één van de hoeken gelijk is aan (4 70 =) 7 ( ) De afstand in westelijke richting is 5 cos7 ( 97, ) (km) De afstand in noordelijke richting is 5 sin 7 ( 99,6 ) (km) Dus de vliegafstand is ( 99,6 + 97, 5 ) 80 (km) langer 7 maximumscore 5 In deze situatie zijn de afstanden te berekenen in een driehoek waarvan één van de hoeken gelijk is aan ( 4 0 =) ( ) (Voor de afstand van het laatste deel van de vlucht geldt de cosinusregel:) afstand = cos De afstand van het laatste deel van de vlucht is (ongeveer) 70 (km) Het gevraagde percentage is gelijk aan ( ) 5 00% Het gevraagde percentage is (%) - 4 -

5 Derdegraadsfunctie en gebroken functie 8 maximumscore 7 f' ( x) = x + 4 (De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong is) f' (0) = 4 g' ( x) = a( ax + ) (De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van g in de oorsprong is) g' (0) = a (Loodrecht snijden, dus) voor de gevraagde waarde van a geldt a 4= Dus a = 8 Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct toepast, voor deze vraag maximaal 5 scorepunten toekennen

6 Olie 9 maximumscore 4 De vergelijking g = moet worden opgelost Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden Dit geeft g,065 Dus een jaarlijkse groei van (ongeveer) 6,5% 0 maximumscore 4 t De vergelijking 500,04 = 750 moet worden opgelost Dit geeft,04 t = 750 ( = ) log , Dus t =, (of t = log,) log,04 Dus in 99 passeerde de totale hoeveelheid verbruikte olie de grens van 750 miljard vaten Voor het antwoord 994 geen scorepunten in mindering brengen. maximumscore De vergelijking =00 moet worden opgelost ,95 t Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden t 78,5 ( = 008) dus in 008 was de geschatte voorraad voor de helft verbruikt - 6 -

7 Grafiek van een logaritme maximumscore 5 De vergelijking log(4x + ) = 0 moet worden opgelost (Voor de x-coördinaat van A geldt) x = (De y-coördinaat van B is) log(4 0 + ) = y 0 (De richtingscoëfficiënt van l is) = x 0 = (Een vergelijking van l is dus) y = x+ maximumscore De gevraagde helling is gelijk aan f' () Beschrijven hoe f' () berekend kan worden f' () 0, 5 Grafiek van een cosinus 4 maximumscore 5 a = ( 4 + = ) (Bijvoorbeeld) b = ( 4 =) en d = 4, 4 is een halve periode, dus de periode is 6 Het interval [ ] π c = ( = π ) (of ongeveer,05 (of nauwkeuriger)) 6 Als een kandidaat werkt met een vergelijking van de vorm y= a+ bsin( cx ( d)), voor deze vraag maximaal scorepunten toekennen

8 Een halve cirkel als grafiek 5 maximumscore 5 De vergelijking + x 4x+ = x+ 4 moet worden opgelost Hieruit volgt x 4x+ = ( x+ ) Hieruit volgt x x = 0 Beschrijven hoe deze vergelijking exact opgelost kan worden (De x-coördinaat van A is) 7 en (de x-coördinaat van B is) + 7 (of vergelijkbare vormen) 6 maximumscore 5 De grafiek van f heeft als vergelijking Hieruit volgt y = + x 4x+ ( y ) = x 4x+ Dit is te herleiden tot ( x+ ) + ( y ) = 6 De coördinaten van het middelpunt zijn (, ) De straal is 4 of Voor de x-coördinaten van de randpunten van de grafiek geldt x 4x+ = 0 Beschrijven hoe deze vergelijking exact opgelost kan worden x = 6 of x = (De grafiek van f is de helft van een cirkel, dus) de straal is 6 = 4 6+ Het middelpunt heeft x-coördinaat = en y-coördinaat ( f ( 6) =(of f () = )) - 8 -

9 Cirkel en lijn 7 maximumscore 8 De vergelijking x + y 6x+ 6y = 8 5 is te herleiden tot ( x ) + ( y+ ) = 9 5 De straal van de cirkel is dus 9 (,098 (of nauwkeuriger)) 5 De coördinaten van M zijn (, ) Een lijn loodrecht op l heeft richtingscoëfficiënt 4 x = en y = invullen in y = x+ b geeft b = (dus een 4 vergelijking van de lijn m loodrecht op l door M is y = x ) x 4x = geeft x = 0 en dit invullen in y = x geeft 4 4 y =, dus de coördinaten van het snijpunt van l en m zijn (0, ) De afstand tussen M (, ) en (0, ), dus van M tot l, is (0 ) + ( ) = 9 (,09 (of nauwkeuriger)) < (of 9 9 < 9 ) (of,09 <,098) (dus de afstand van M tot 6 5 l is inderdaad kleiner dan de straal van c) of De afstand van M tot l is kleiner dan de straal als l en c twee snijpunten hebben Dit is het geval als de vergelijking x + ( 4x ) 6x+ 6( 4x ) = 8 twee oplossingen heeft Uit x + ( 4x ) 6x+ 6( 4x ) = 8 volgt ( ) x 6x 0x 4 6x 4x x + x + x+ x x = Hieruit volgt = Hieruit volgt 7x = 80 (Dit geeft x = of x = dus) deze vergelijking heeft twee oplossingen (dus de afstand van M tot l is kleiner dan de straal van c) 4-9 -