Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur

Transcriptie

1 Toets 3 Calculus voor MST, 450CALCY donderdag 20 oktober 206; 3:30-5:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (van den Dries) / C (Tholen) / D (Coplakova) Een niet-grafische rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent. Het cijfer is de som van het aantal behaalde punten plus 2, gedeeld door 2. 2p. (a) Bereken x 2 8x + 5 dx p (b) Bekijk dezelfde integraal, nu met grenzen: a x 2 8x + 5 dx Voor welke waarden van a en b convergeert deze integraal niet? Motiveer uw antwoord. (a = of b = hoeft u niet te onderzoeken.) b

2 2p 2. (a) Bereken x ln x dx 2p (b) Bereken, indien mogelijk, de oneigenlijke ( improper ) integraal (arctan(x)) 2 + x 2 dx p (c) Bereken x 49 dx + x00

3 3. Voor de functie y(t) is het volgende beginwaardeprobleem gegeven: dy dt = (y 3)(y 5), met y(0) = 0. () 3 2p (a) Benader de waarde van y() met de methode van Euler. Gebruik als stapgrootte h = en neem t 2 0 = 0, t = en t 2 2 =. Noem y(0) = y 0, en de benaderingen van y(t ) en y(t 2 ) respectievelijk y en y 2. Laat uw berekeningen zien. y = y 2 = 2p (b) Bereken de exacte oplossing van hetzelfde beginwaardeprobleem () hierboven. Hint: opgave a. Schrijf de oplossing y(t) expliciet als een functie van t.

4 2p 4. β is een positieve contante. Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking voor y(t) (met t 0): (a) dy dt = 3 ( y 400β ). (2) 00 Bepaal de algemene oplossing y(t) van (2) met de methode van scheiding van variabelen. 2p (b) Bepaal dezelfde algemene oplossing y(t) van (2), maar nu met behulp van een integrerende factor.

5 2p 5. Er is gespaard om Nora s studie van te betalen. Nora zet het geld op een bankrekening waarop ze continu 3% rente krijgt. (Continue rente wordt continu bijgeschreven en niet maar een keer per jaar. Je krijgt dus ook binnen het jaar rente-op-rente.) Nora wil uitrekenen of ze nog geld bij moet lenen. Ze rekent daarom uit hoeveel geld ze maandelijks maximaal van de rekening kan halen, zodat het saldo na 5 jaar precies op is. Noem S(t) het saldo op de rekening, met t gerekend in (studie)jaren. Nora neemt het geld in kleine beetjes tegelijk op. Neem daarom aan dat het geld ook continu wordt opgenomen, met een totaal van (een vaste) Q euro per maand. Stel de differentiaalvergelijking op voor S(t). Laat zien dat dat vergelijking (2) is uit opgave 4. Wat is β? Reken met behulp van de algemene oplossing van opgave 4 uit hoeveel Q is. Hoeveel rente zal Nora aan het eind van de 5 jaar totaal hebben ontvangen?

6 FORMULEBLAD Calculus MST sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y sin 2x = 2 sin x cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 sin 2 x = 2 cos 2 x cosh x = 2 (ex + e x ), sinh x = 2 (ex e x ) Standaard Taylorontwikkelingen: e x = + x + x2 2! + x3 3! + O(x 4 ) sin x = x x3 3! + x5 5! + O(x 7 ) cos x = x2 2! + x4 4! + O(x 6 ) ln( + x) = x x2 2 + x3 3 + O(x4 ), x (, ] ( + x) a = + ax + a(a ) 2! x 2 + a(a )(a 2) 3! x 3 + O(x 4 ), a IR, x (, ) arctan x = x x3 3 + x5 5 + O(x7 ) Integraaltabel: x a dx = a+ xa+ + C (a IR\{ }) dx = ln x + C x a x dx = e x ln a dx = ln a ax + C (a IR + \{}) sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C cos 2 x dx = tan x + C dx = arctan x + C +x 2 dx = +x ln x 2 2 x x 2 dx = arcsin x + C + C dx = ln(x + x x 2 + ) + C 2 + dx = ln x + x x 2 + C 2 + x2 dx = x + x ln(x + + x 2 2 ) + C x2 dx = 2 x x arcsin x + C π 2 0 sinn x dx = π 2 0 cosn x dx = { n n 3 n 5 n n 2 n n 3 n 5 n n 2 3 n 4 4 n 4 5 π, voor n = 2, 4, 6,. 2, voor n = 3, 5, 7,. 2 3

7 /jyih\^rlcrki/jl^^^^^ yul Uja ^^yca ^ Calculus voor MST, 450CALCY ^loj^^ip^.jag 20 oktober 206; 3:30-5:30 uur Teclinisdic Universiteit. Delft, Delft Institute of Applied Mathematica Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (van den Dries) / C (Tholen) / D (Coplakova) Een niet-grafische rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent. Het cijfer is de som van het aantal behaalde punten plus 2, gedeeld door 2.. (aj Bereken X + 5 / (b) Bekijk dezelfde integraal, nu met grenzen: j^^ _ dx Voor welke waarden van a en h convergeert deze integraal nietl Motiveer uw antwoord xi^3 'A/^J>(-rl-'/J'>/x-2/i-C =,^ /: X->3

8 (b) Bereken, indien mogelijk, de oneigenlijke ('improper') integraal r (arctan(.))^ ^ j,^ ^IC^ckUiXf ^

9 Voor dc functie y{t) is het volgende bcginwaardeprobleem gegeven: f = ^(y-3)(y-5), mety(0) = 0, () (a) Benader de waarde van y(l) met de methode van Euler. Gebruik als stapgrootte h = en neem to = O, = en ^2 =! Noem y(0) = yo, cn de benaderingen van y{t\) en 2/(^2) respectievelijk yi en ^2- Laat t» betel,e iagen ^ ^ (b) Bereken de exacte oplossing van hetzelfde beginwaardeprobleem () hierboven. Hint: opgave la. Schrijf de oplossing y(f) expliciet als een functie van t.

10 3 is een positieve contante. Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking voor y{t) (met t > 0): (a) Bepaal de algemene oplossing y{t) van (2) met de methode van scheiding van variabelen. I i (oc ^

11 Er is gespaard om Nora's studie van te betalen. Nora zet het geld op een bankrekening waarop ze continu 3% rente krijgt. (Continue rente wordt "continu" bijgeschreven en niet maar een keer per jaar. Je krijgt dus ook binnen het jaar rente-op-rente.) Nora wil uitrekenen of ze nog geld bij moet lenen. Ze rekent daarom uit hoeveel geld ze maandelijks maximaal van de rekening kan halen, zodat het saldo na 5 jaar precies op is. Noem S{t) het saldo op de rekening, met t gerekend in (studie)ja'ren. Nora neemt het geld in kleiire beetjes tegelijk op. Neem daarom aan dat het geld ook 'continu' wordt opgenomen, met een totaal van (een vaste) Q euro per maand. Stel de differentiaalvergelijking op voor S{t). Laat zien dat dat vergelijking (2) is uit opgave 4. Wat is /?? Reken met behulp van de algemene oplossing van opgave 4 uit hoeveel Q is. Mmk & ^o'akt -=0 : ^ cs'j = (/oo Q, + (f i/0(ys'a -yooq) & = O Hoeveel rente zal Nora aan het eind van de 5 jaar totaal hebben ontvangen?