TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER"

Transcriptie

1 TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010

2 2

3 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE INLEIDING FOURIERREEKSEN CONSEQUENTIES EN TOEPASSINGEN SAMENVATTING Opgaven Fourieranalyse 11 3

4 4 INHOUDSOPGAVE

5 Hoofdstuk 1 FOURIERANALYSE 1.1 INLEIDING In de voorgaande colleges kwamen de sinus en cosinus functies veelvuldig voor. Soms was dat noodzakelijk, zoals bij het oplossen van de differentiaalvergelijking van de harmonische oscillator. Maar soms was het ook een willekeurige keuze, zoals bij de aandrijvingsterm van de gedwongen harmonische oscillator. In dit hoofdstuk blijkt dat die schijnbaar willekeurige keuze nuttig gebruikt kan worden in heel algemene gevallen. We bespreken hoe een willekeurige periodieke functie geschreven kan worden als een reeks van sinus en cosinus functies, zie ook (extreem beknopt) Giancoli FOURIERREEKSEN Hier bespreken we op wiskundig niet te strenge wijze een periodieke functie f(x) als een oneindige som van sinussen en cosinussen (een Fourierreeks) en geven we formules om de Fouriercoëfficiënten te berekenen. Hierbij stelt x bijvoorbeeld een tijd of een plaats voor. functies als vectoren in een 2-dimensionale inproductruimte Als voorbereiding een situatie uit de lineaire algebra: stel f is een vector in een 2-dimensionale vectorruimte met orthonormale basis {v, w}, dus voor de inproducten geldt < v, v > = < w, w > = 1 (1.1a) < v, w > = 0 (1.1b) Dan is f te schrijven als een lineaire combinatie van v en w waarin de coëfficiënten inproducten zijn (figuur 1.1): f = < f, v > v + < f, w > w (1.2) 5

6 6 HOOFDSTUK 1. FOURIERANALYSE Figuur 1.1: Dit vergelijken we met een periodieke functie opgebouwd uit een cosinus en een sinus met periode 2: f(x) = a cos x + b sin x (1.3) We beschouwen voor f(x) een 2-dimensionale vectorruimte met basis {cos x, sin x} en definiëren voor het inproduct van f(x) en g(x): < f(x), g(x) > = 1 f(x)g(x) dx (1.4) Dit is direct analoog aan het vectoriële inproduct < f g >= Σf i g i, als f en g twee vectoren zouden zijn. De basis {cos x, sin x} is orthonormaal,want er geldt 1 cos x cos x dx = 1 sin x sin x dx = 1 1 cos x sin x dx = 0 Als we (1.3) met (1.2) vergelijken zien we op grond van (1.4) dat a = 1 f(x) cos x dx b = 1 f(x) sin x dx (1.5a) (1.5b) (1.6a) (1.6b)

7 1.2. FOURIERREEKSEN 7 Met deze formules worden de coëfficiënten a en b uitgedrukt in f(x). De uit cos x en sin x opgebouwde functie f(x) uit (1.3) is te schrijven als f(x) = A cos(x β). Dus f(x) is zelf ook weer periodiek met periode 2, en de grafiek is opnieuw een sinuslijn. Controleer (1.6) voor de functie f(x) = 2 cos x + 3 sin x. functies als vectoren in een -dimensionale inproductruimte We generaliseren nu tot oneindig-dimensionale vectorruimten, waarin (1.2) en (1.3) vervangen worden door f = < f, v 0 > v 0 + +(< f, v 1 > v 1 + < f, w 1 > w 1 ) + (< f, v 2 > v 2 + < f, w 2 > w 2 ) +... (1.7) f(x) = a 0 + (a 1 cos x + b 1 sin x) + (a 2 cos 2x + b 2 sin 2x) +... (1.8) In (1.7) stelt {v 0, v 1, w 1, v 2, w 2,... } weer een complete set van orthonormale basisvectoren voor waaruit een vector f kan worden opgebouwd, maar het zijn er nu oneindig veel. Deze set staat nu model voor de verzameling { 1 2 2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,... } in (1.8) die, bij het inproduct (1.4), een orthonormale basis vormt voor een - dimensionale vectorruimte met periodieke functies f(x) gegeven door (1.8) (we geven geen streng bewijs). Fourierreeks In compacte vorm is (1.8) te schrijven als f(x) = a 0 + n=1 (a n cos nx + b n sin nx). (1.9) In (1.9) staat de oneindige Fourierreeks van een functie f(x) die veel algemener is dan in het 2-dimensionale geval van (1.3). De functie is nu opgebouwd uit een constante term a 0 en oneindig veel termen a n cos nx + b n sin nx, zodat de n e term een periode heeft die n maal past op 2, en f(x) als geheel nog steeds periodiek is met periode 2. Aangetoond kan worden dat op deze manier bijna elke functie met periode 2 kan worden opgebouwd: f(x) is willekeurig (wel bijna overal continu, met per periode een eindig aantal sprongen en knikken in de grafiek). De Fouriercoëfficiënten a 0, a n en b n van de in (1.9) opgebouwde functie f(x) kunnen met behulp van (1.4) worden uitgedrukt in f(x) (en dus berekend als de gedaante van f(x) bekend is!) door vergelijken van (1.8) met (1.7). Pas op: voor n 1 komt a n overeen met < f, v n > en b n met < f, w n >. Echter, a 0 komt overeen met < f, v 0 > v 0, zodat de resultaten zijn:

8 8 HOOFDSTUK 1. FOURIERANALYSE a 0 = 1 2 a n = 1 b n = 1 f(x) dx f(x) cos nx dx (n 1) f(x) sin nx dx (n 1) (1.10a) (1.10b) (1.10c) Let op: de constante term a 0 stelt de gemiddelde waarde van f(x) over een periode voor. Deze term zal dus in speciale gevallen nul kunnen zijn. Als de constante basisfunctie de rol vervult van de vector v0, wordt de uitdrukking < f, v 0 > v 0 bij gebruik van (1.4) gelijk aan 1 f(x) dx. Toon 2 dit aan. voorbeeld Neem voor f(x) een oneven blokfunctie (figuur 1.2): f(x) heeft periode 2 f(x) = 1 2 f(x) = 1 2 ( < x 0) (0 < x ) (1.11) Dit levert met (1.10): a 0 = 1 2 f(x) dx = 0, a n = 1 b n = 1 f(x) sin nx dx = 2 1 sin nx dx, dus 2 0 b n = 0 (even n) en b n = 2 (oneven n) dus n f(x) cos nx dx = 0 en f(x) = 2 (sin x sin 3x + 1 sin 5x +...) (1.12) CONSEQUENTIES EN TOEPASSINGEN We hebben nu gereedschap in handen om functies die periodiek zijn met periode 2 te ontrafelen in sinussen en cosinussen. Maar het kan natuurlijk ook voorkomen dat een functie wel periodiek is, maar een andere periode heeft. Ook is direct duidelijk dat, hoewel er steeds x als variabele gebruikt is, er geen speciale eigenschappen van x gebruikt zijn. De variabele kan dus ook door andere worden vervangen. In de praktijk zijn het periodieke functies van de tijd en van de plaats, die het meest voorkomen.

9 1.4. SAMENVATTING 9 Figuur 1.2: Een voorbeeld van een plaatsafhankelijke periodieke functie is sin kz, die een periode λ heeft met λ = 2/k. Een voorbeeld van een periodieke tijdsafhankelijke functie is sin ωt, die periode T heeft, met T = 2/ω. Invoeren van een nieuwe variabele, zeg x = ωt, geeft de functie weer de goede periode van 2. In het eindresultaat kan dan overal x weer vervangen worden door ωt. In het geval van een periodieke functie f(t) met periode T wordt (1.10b) volgens dit recept: a n = 2 T T/2 T/2 ( 2nt f(t) cos T ) dt (n 1) (1.13) Wat dit opsplitsen in sinussen en cosinussen vooral zo nuttig maakt is het superpositieprincipe. In hoofdstuk 14 van Giancoli is behandeld hoe een harmonische oscillator reageert op een externe kracht, die als cosinus van de tijd afhangt. Maar gewapend met het superpositieprincipe en met Fourierreeksen, kunnen we nu de respons uitrekenen van een harmonische oscillator op elke periodieke functie. Het recept is dan als volgt: (i) ontbindt de periodieke drijvende kracht in de cosinus en sinus componenten volgens het recept van (1.10) en (1.9); (ii) reken de respons van de harmonische oscillator uit voor iedere afzonderlijke sinus en cosinus component; (iii) gebruik het superpositieprincipe en tel de verschillende responsen op om de respons op de oorspronkelijke periodieke kracht te vinden; (iv) tel daarbij eventueel nog een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking om aan de randvoorwaarden te voldoen. 1.4 SAMENVATTING (a) Een functie f(x) met periode 2 kan ontwikkeld worden in een Fourierreeks f(x) = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) (1.9) n=1

10 10 HOOFDSTUK 1. FOURIERANALYSE met coëfficiënten a 0 = 1 2 f(x) dx a n = 1 f(x) cos nx dx(n 1) b n = 1 f(x) sin nx dx(n 1) (1.10a) (1.10b) (1.10c)

11 Hoofdstuk 2 Opgaven Fourieranalyse Opgave 2.1 (Fourierreeks van een driehoek) Gegeven is een periodieke functie f(x) met driehoekvorm ; in de figuur is één periode (grootte 2) getekend. (a) Leg langs grafische weg uit dat voor de Fouriercoëfficiënten a 0, a n en b n van f(x) geldt: a 0 = 0; a n = 0 (voor n > 0); b n = 0 (voor even n). (b) Leg eveneens langs grafische weg uit dat b n = 4 2 (c) Geef de Fourierreeks van f(x). 0 x sin nx dx (voor oneven n) Aanwijzing: gebruik de integraal y sin y dy = sin y y cos y. Opgave 2.2 (Fourierreeks van een gelijkgericht signaal ) Gegeven de periodieke functie f(t) = sin 1 2 t. 11

12 12 HOOFDSTUK 2. OPGAVEN FOURIERANALYSE (a) Bepaal de periode van f(t). (b) Bepaal de Fourrierreeks van f(t). (c) Beschouw de benaderingen N f N (t) = a 0 + (a n cos nt + b n sin nt). n=1 Teken in één figuur van f(t), f 1 (t) en f 2 (t) over enkele perioden. Opgave 2.3 (Fourierreeks van een zweving) Gegeven het signaal f(t) = sin 17t sin 20t. (a) Geef alle Fouriercoëfficiënten van f(t). (b) Bepaal de hoekfrequentie ω van: de zwevingen van f(t); de modulaties van f(t); het gemoduleerde signaal; f(t). (c) Maak een grafiek van f(t) over één periode, en geef hierin de andere drie periodes aan. Opgave 2.4 (een orthogonaal stelsel) Laat zien dat bij gebruik van het inproduct < f(x), g(x) >= 1 de oneindige verzameling functies f(x)g(x) dx {v 0, v 1, w 1, v 2, w 2,...} = { 1 2 2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...} orthonormaal is, d.w.z. < v i, w j >= 0 en < v i, v j >=< w i, w j >= δ ij. Toelichting: per definitie geldt δ ij = 0 als i j en δ ij = 1 als i = j.

13 Opgave 2.5 (even en oneven functies) Gegeven is een periodieke functie F (t); in de figuur zijn twee perioden T 1 = 4 getekend. 13 (a) Leg uit dat de functie f(x) uit de substitutie een periode 2 heeft. F (t) = f( 2t T 1 ) = f(ω 1 t) = f(x) (b) Laat langs grafische weg zien dat voor de Fouriercoëfficiënten moet gelden: a n = 0 voor oneven n en b n = 0 voor even n. (c) Laat, uitgaande van de algemene formules voor de Fouriercoëfficiënten a 0, a n en b n van f(x), langs grafische weg zien dat in dit geval a 0 = 2 /2 2 x dx, 0 a n = 4 /2 2 x cos(nx) dx (even n 1), 0 b n = 4 /2 2 x sin(nx) dx (d) Bepaal alle van 0 verschillende a n en b n, inclusief a 0. 0 (oneven n). (e) Ga na dat F (t) te schrijven is als de som van een even en een oneven deel: F (t) = F even (t) + F oneven (t) = 1 2 [F (t) + F ( t)] + 1 [F (t) F ( t)] 2 en teken grafieken van F (t), F even (t) en F oneven (t) in één figuur. (f) Schrijf de Fourierreeksen voor F (t), F even (t) en F oneven (t) op.

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde 3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College

Nadere informatie

168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN

168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: vrijdag 3 juni 008. Tijd: 09:00-:00. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten) 8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste

Nadere informatie

A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?

A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal? Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi23wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 1 / 12 Fourierreeksen van even en oneven functies a 2 + (

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je

Nadere informatie

Tentamen Functies en Reeksen

Tentamen Functies en Reeksen Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy

Nadere informatie

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen

Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in

Nadere informatie

Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem

Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1

(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1 Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...) 5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: Vrijdag 1 maart 003. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: VRT 03H04. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere ogave o een aart vel. Schrijf

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben

Nadere informatie

college 6: limieten en l Hôpital

college 6: limieten en l Hôpital 126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen

Nadere informatie

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y. Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future

WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking

Nadere informatie

Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B

Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B Inleiding Voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen heb je een aantal dingen nodig:. Kennis over

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

WERKBOEK TRILLINGEN EN GOLVEN

WERKBOEK TRILLINGEN EN GOLVEN WERKBOEK TRILLINGEN EN GOLVEN Cursusjaar 2015 / 2016 Tom Hijmans, Ben van Linden van den Heuvell en Marcel Vreeswijk 2 Hoofdstuk 2 Opgaven Taylor en Complexe getallen Opgave 2.1 Laat met behulp van Taylor-ontwikkeling

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt). 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Examenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode

Examenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode Examenvragen Wiskundige Analyse I, ste examenperiode 24-25 Vraag (op 6pt) Vraag.. Waar of vals (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee LOF oplossingen y en y 2 van de differentiaalvergelijking cosh(x)y

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan.

Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan. Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C1 7 april 1, 9. - 1. uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm :

11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : 11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : L[y] := [p(x)y ] + q(x)y = µr(x)y + f(x), < x < 1 (1) a 1 y() + a 2 y () =, b 1 y(1)

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde 1ste semester 23 januari 2007 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven zijn twee normen 1 en 2 op een vectorruimte V. Wanneer zegt men dat de 1 fijner is dan 2? Wat is dan het verband tussen convergentie

Nadere informatie

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen 0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Fourier transformatie

Fourier transformatie Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 7/8 Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies

Nadere informatie

Fourier transformatie

Fourier transformatie Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies met periode gekeken. De reden hiervoor was,

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Relevante vragen , eerste examenperiode

Relevante vragen , eerste examenperiode Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

Fourieranalyse. J. Hulshof November 17, 2011

Fourieranalyse. J. Hulshof November 17, 2011 Fourieranalyse J. Hulshof November 7, 0 Inleiding. Dit onderwerp begint met het inzicht dat π-periodieke (reele of complexe) functies f(x) met x IR te schrijven zijn als sommen van de standaard π-periodieke

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides

Nadere informatie

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen! Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag

Nadere informatie