168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN

Transcriptie

1 168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a k. Laat zien dat deze eenduidig bepaald zijn door a 0 en a 1. Bewijs dat a 4j+2 = a 4j+3 = 0 voor alle niet-negatieve gehele getallen j. (ii) Neem aan dat a 0 = 1. Bewijs dat a 4j > 16 j (j!) 2 > 16 j ( j + 1 ) 2(j+1). e (iii) Gebruik de schatting in (ii) om aan te tonen dat a > e 50 /625. Beargumenteer dat de machtreeks al voor = 10 geen goede benadering meer geeft als we met 10 cijfers nauwkeurig rekenen. We delen zonder bewijs mee, dat er een getal α is, waarvoor de oplossing met a 0 = 1 en a 1 = α zich voor asymptotisch gedraagt als een constante maal e 2 /2 1/2. Voor deze oplossing is de machtreeks al helemaal ongeschikt. Vraagstuk Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaal-vergelijkingen in de vorm van een machtreeks (geef een recurrente betrekking voor de coëfficiënten). (a) d2 y dy 2 + 3y = 0. d2 d (b) d2 y dy 2 + 4y = 0. d2 d (c) d2 y dy + (1 ) d2 d + y = 0. Vraagstuk Bepaal in de vorm van een machtreeks de oplossing van het beginwaardeprobleem d 2 y dy + 2 d2 d + 4y = e, y(0) = 1, y (0) = 0. Vraagstuk Bereken te lossen. n=0 1 (3n)! door een geschikt gekozen differentiaal vergelijking op Vraagstuk In deze opgave leiden we eigenschappen af van de functies sinus en cosinus door de vergelijking d 2 y d 2 + y = 0 (1) te bestuderen.

2 5.7. VRAAGSTUKKEN 169 (a) Bepaal de oplossingen S en C van (1) die voldoen aan S(0) = 0, S (0) = 1 en C(0) = 1, C (0) = 0, door middel van een machtreeksontwikkeling. Ga na dat de reeksen op R convergeren. (b) Bewijs voor alle R ds d = C, dc d = S, S() = S( ) en C() = C( ). (c) Bewijs voor alle a, b R: S(a + b) = S(a) C(b) + C(a) S(b), C(a + b) = C(a) C(b) S(a) S(b), bijvoorbeeld door aan te tonen dat het linker- en rechterlid oplossingen zijn van dezelfde beginwaardeprolemen. (d) Bewijs dat S 2 () + C 2 () = 1 voor alle R. (e) Bewijs dat er een a > 0 bestaat zodat S (a) = C(a) = 0 (f) Bewijs S() = S(2a ), met periode 4a. S() = S( + 4a) en concludeer dat S en C periodiek zijn (g) Toon aan dat ieder compact deelinterval van R ten hoogste eindig veel nulpunten van S = C bevat, en dat dus S = C een kleinste positief nulpunt[ a 0 heeft. Definieer het getal π door π = 2 a 0 en toon aan dat S positief is op ]0, 1 2 π en kleinste periode 2π heeft. ( ) ( ) ( ) Bepaal S 2 π, S 4 π, S. 6 Vraagstuk Beschouw de lineaire differentiaaloperator van Euler-type L y = n a k k dk y d k. (a) Toon aan dat de substitutie u(t) = y(e t ), y() = u(ln ), leidt tot (L y)() = (M u)(ln ), waarin M een lineaire differentiaaloperator met constante coëfficiënten is: M u = n b k d k u dt k. Hint: bewijs met volledige inductie over n 1 dat er coëfficënten c n, k zijn, waarvoor y (n) () = n n k=1 c n, k u (k) (ln ).

3 170 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN (b) Pas bovenstaande methode toe op de differentiaalvergelijking 2 d2 y dy 3 + 7y = 0. d2 d Vergelijk het antwoord met het antwoord dat we krijgen door de substitutie y = r toe te passen. (c) Als de operator E gedefinieerd is door E y = dy d, bewijs dan dat L y = n b k E k y. Bewijs verder: als y = r, dan is L y = f(r) y, waarin f(r) = n b k r k. (d) Toon aan dat als (S y)() = y( ), dan is E S y = S E y en L S y = S L y. Toon aan dat oplossingen van de differentiaalvergelijking L y = 0 van Euler gespiegeld kunnen worden: als y() een oplossing is, dan is y( ) ook een oplossing. Vraagstuk Bepaal de oplossingen van de differentiaalvergelijking 2 d2 u d 2 + α du d + β u = s, > 0, voor iedere combinatie van de parameters α, β en r. Noteer daartoe L y = 2 y +α y +β y. Bepaal de veelterm f(r), waarvoor L r = f(r) r. Bepaal ook L ( r ln ) en L [ r (ln ) 2]. Geef nu alle oplossingen in de volgende gevallen: (i) f heeft twee verschillende wortels r 1 en r 2, terwijl s r 1 en s r 2. (ii) f heeft twee verschillende wortels r 1 en r 2, terwijl s = r 1. (iii) f heeft twee samenvallende wortels r = r 1 = r 2, terwijl s r 1. (iv) f heeft twee samenvallende wortels r = r 1 = r 2, terwijl s = r 1. Bepaal nu de oplossing u van 2 u 3 u + 4u = 2, waarvoor u(1) = 1 en u (1) = 0. Vraagstuk Beschouw de differentiaal vergelijking van Legendre d d (1 2 ) d d y + λ m y = (1 2 ) d2 y dy 2 d2 d + λ my = 0, met λ m = m(m + 1), m N. (a) Toon aan dat de Legendre-polynomen P m voldoen aan de orthogonaliteitsrelatie (λ n λ m ) 1 1 P n()p m () d = 0. (b) Bewijs, direct uit de recurrente betrekking, dat voor de oplossing y() de convergentiestraal gelijk is aan 1, terwijl y() voor 1, in de volgende gevallen: (i) Als m even is y(0) = 0, y (0) = 1. (ii) Als m oneven is en y(0) = 1, y (0) = 0.

4 5.7. VRAAGSTUKKEN 171 (c) Een functie f() heet even, resp. oneven, als voor iedere geldt dat f( ) = f(), resp. f( ) = f(). Bewijs: is m even, dan is P m (0) 0, P m(0) = 0 en P m () is even, terwijl de oplossing y() met y(0) = 0 en y (0) = 1 oneven is en y() als 1. Is daarentegen m oneven, dan is P m (0) = 0, P m (0) 0 en P m() is oneven, terwijl de oplossing y() met y(0) = 1 en y (0) = 0 even is en y() als 1. (d) Stel y() is een willekeurige oplossing die geen constant veelvoud is van de Legendre-veelterm. Bewijs: y(), zowel voor 1 alsook voor 1. De convergentiestraal van de machtreeks voor y() is gelijk aan 1. Vraagstuk Beschouw de differentiaalvergelijking van Laguerre L λ y = d2 y dy + (1 ) d2 d + λ y = 0, waarin λ een parameter is. (i) Bepaal de recurrente betrekking tussen de coëfficiënten a k, opdat er een functie φ(r) is waarvoor y() = r a k k, met a 0 = 1, voldoet aan L λ y = φ(r) r 1. Bepaal φ(r) en bewijs dat de reeks eenduidig bepaald is en convergeert als r niet gelijk is aan een strikt negatief geheel getal. (ii) Bepaal r = r 0 waarvoor L λ y = 0. Laat zien dat differentiatie naar r in r = r 0 een tweede oplossing z() van L λ y = 0 geeft. Bewijs dat z() geen eindige limiet heeft voor 0. En bewijs dat y en z lineair onafhankelijke oplossingen zijn en dat iedere oplossing een lineaire combinatie is van y en z. (iii) Voor welke waarden van λ heeft L λ y = 0 een veelterm y() 0 als oplossing? (Dit zijn de zogenaamde Laguerre-polynomen.) Vraagstuk Geef door middel van reeksontwikkeling (eventueel met voorfactor r ) de oplossing van de differentiaalvergelijkingen a. 2 d2 y d 2 + y = 0 b. d2 y d dy d 2 y = 0 c. d2 y d 2 + dy d + y = 0

5 172 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN Vraagstuk Ga na wat er gebeurt als we de differentiaalvergelijking 3 d2 y d 2 + y = 0 met reeksontwikkeling in = 0 proberen op te lossen, waarbij we zelfs nog een voorfactor van de vorm r toelaten. Vraagstuk Van de oplossingen y() van de Bessel-vergelijking d 2 y d dy ν2 + (1 d 2 ) y = 0 kan het asymptotische gedrag voor bepaald worden door toepassing van methoden uit de voorgaande hoofdstukken. a) Als eerste stap elimineren we de eerste orde term met de Liouville-transformatie y() = 1/2 z(). Bewijs dat de Bessel-vergelijking equivalent is met d 2 z d 2 + z = µ 2 z, waarin µ = ν Voor grote is dit een kleine storing van de differentiaalvergelijking ζ + ζ = 0. b) Bewijs, gebruikmakend van variatie van constanten, dat voor 0 < a geldt: Verder, dat z() = z(a) cos( a) + z (a) sin( a) + a sin( ξ) µ z(ξ) dξ. ξ2 µ z() r + a ξ 2 z(ξ) dξ, waarin r = z(a) 2 + z (a) 2. En, gebruikmakend van het lemma van Gronwall, dat: z() r e µ a µ r e µ a. In het bijzonder is, voor iedere a > 0, de functie z() begrensd op [a, [. c) Bewijs dat oneigenlijke integralen sin( ξ) µ z(ξ) dξ, ξ2 cos( ξ) µ z(ξ) dξ ξ2 convergeren. Verder dat de functie ζ(), gedefinieerd door z() = ζ() sin( ξ) µ z(ξ) dξ, (5.7.1) ξ2

6 5.7. VRAAGSTUKKEN 173 een C 2 functie is, die voldoet aan de differentiaalvergelijking ζ + ζ = 0. D.w.z., er is een ρ 0 en θ [0, 2π[, waarvoor ζ() = ρ sin( + θ). Bewijs dat voor alle 0 < a geldt: z() ρ sin( + θ) µ r eµ/a. Voor de Bessel-functie y() geeft dit: d) Bewijs: y() = ρ 1/2 sin( + θ) + O( 3/2 ) als. z () = ρ cos( + θ) cos( ξ) µ z(ξ) dξ, ξ2 z () ρ cos( + θ) µ r eµ/a, 0 < a, y () = ρ 1/2 cos( + θ) + O( 3/2 ) als. e) Zij a > µ. Bewijs dat ( 1 µ ) sup z() ρ. a a Bewijs hiermee dat de limietamplitude ρ niet gelijk is aan nul, als y() niet de nuloplossing is van de Bessel-vergelijking. f) Men kan de integraalvergelijking 5.7.1, met ζ() = ρ sin( + θ), lezen in de vorm z = T (z), waarbij T de operator is die aan z de functie in het rechterlid toevoegt. Iteratie geeft voor ieder natuurlijk getal k dat z = T k (z). Hierin is het rechterlid een functie die epliciet in termen van ρ en θ is uit te rekenen, plus een restterm, die van de orde 1/ k is. Werk dit uit voor k = 2.