Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Transcriptie

1 Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Een regenton maximumscore 5 h V= ( rx ( )) d x 0 00 ( rx ( )) ( 5 5x 5x ) = + Een primitieve van 5+ 5x 5x is 5x+ 7 x 5x Dus = ( ) V h h h 00 V = h+ h h = h+ h h ( ) ( ) maximumscore 5 Het volume van de regenton is ( 0,6 ) (m ) ( nauwkeuriger) 40 = ( 0,77 ) ( nauwkeuriger) Voor de waterhoogte h geldt: ( h+ h h ) = ( ( h+ h h ) 0,77 ) 40 Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost Het antwoord: 0,7 (m) ( 7 cm) Voor h = is h+ h h gelijk aan Voor de waterhoogte h moet gelden: h+ h h = 4 Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost Het antwoord: 0,7 (m) ( 7 cm) www. - -

2 Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Een ellipsvormige baan maximumscore De afstand van P tot de oorsprong op tijdstip t is ( ) ( sin ) + sin ( + ) t t Beschrijven hoe het maximum van deze afstand kan worden bepaald Het antwoord:,04 4 maximumscore 4 dx cost dt dy cos ( ) d = t t + dx Voor t = 0 geldt: dt dy dt De snelheid is dan ( ) ( ) + = ( een vergelijkbare uitdrukking) 5 maximumscore 6 In A en B geldt: sin ( ) t+ = sint Dus t+ = t+ k t+ = t+ k (met k geheel) Hieruit volgt voor 0 t : t = t = Dus de coördinaten van A zijn ( ) 4 (, 4 ), en de coördinaten van B zijn www. - -

3 Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Bissectrices en omgeschreven cirkel 6 maximumscore CPQ = CBQ = ABQ = APQ ; constante hoek (, bissectrice) CQP = CAP = BAP = BQP ; constante hoek (, bissectrice) (Verder PQ = PQ, dus) CPQ SPQ ; HZH 7 maximumscore De lijn door R loodrecht op PQ tekenen; het tweede snijpunt van deze lijn met de cirkel is punt C De andere twee hoekpunten van de driehoek op soortgelijke wijze vinden De rest van de tekening De lijn door R loodrecht op PQ tekenen; het tweede snijpunt van deze lijn met de cirkel is punt C Het punt S tekenen als beeld van C bij spiegelen in PQ De rest van de tekening www. - -

4 Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Medicijn in actieve vorm 8 maximumscore Er moet gelden e kt = 0,0 ln00 Dus t = ( een gelijkwaardige uitdrukking) k 4,6 (t = ( nauwkeuriger)) k Opmerking kt Als met e = 0, is gerekend, dan voor deze vraag maximaal scorepunt toekennen. maximumscore 4 0, t 0,4 t a' ( t) = 5 0, e + 0, 4 e ( ) 0, t 0,4 t Beschrijven hoe de vergelijking ( ) 5 0, e + 0, 4 e = 0 kan worden opgelost 0 tmax 4,6 ( nauwkeuriger) ( t ln 4 max = ( een gelijkwaardige uitdrukking)) 0 maximumscore 6 Beschrijven hoe met de GR het maximum van a(t) berekend kan worden Dit maximum is (ongeveer),8 Beschrijven hoe met de GR de t-waarden die behoren bij de snijpunten met de horizontale lijn op hoogte 5, gevonden kunnen worden De t-waarden zijn (ongeveer),0 en 4, ( nauwkeuriger) Het antwoord: (uur) 0 Substitutie van t max = 4,6 ( nauwkeuriger) ( t ln 4 max = ) in de formule voor at () geeft amax, 8 ( nauwkeuriger) t t Opgelost moet worden ( ) 0, 0,4 5 e e =,8 Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost t, 0 t 4, ( nauwkeuriger) Het antwoord: (uur) www

5 Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Onafhankelijk van p maximumscore 8 f( x ) = 0 geeft ( x = 0 ) x= p (dus de x-coördinaat van A is p) p x4 px 4 0 De oppervlakte van het grijze gebied is + Dit is ( p) + p( p) = p + 7 p = p f '( x) = x + 6px f' ( x ) = 0 geeft ( x = 0 ) x= p (dus de x-coördinaat van T is p) f( p) = ( p) + p ( p) = 4p (dus de y-coördinaat van T is 4 p ) De oppervlakte van OABC is dus p 4p = p4 Dus de verhouding van de oppervlakten is p : p = : ( = :6 ) (en dit is onafhankelijk van p) 4 4 Opmerking Als slechts voor een aantal waarden van p de verhouding is uitgerekend en dan geconcludeerd is dat de verhouding telkens gelijk is, hiervoor geen scorepunten toekennen. Drie halve cirkels maximumscore Uit de gelijkvormigheid van driehoek ACE en driehoek CBF volgt BF = x Dus CF = ( x) = x (;Pythagoras) De oppervlakte van CFDE is dus x x = x x4 Uit de gelijkvormigheid van driehoek ACE en driehoek CBF volgt CF = AE Dus CF = x (;Pythagoras) De oppervlakte van CFDE is dus x x = x x4 www

6 Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II maximumscore 5 x x = geeft x4 x + = 0 4 (x )(x ) = 0 ( de abc-formule gebruiken kwadraat afsplitsen) Dit geeft x = Dus de lengte van CE is = 6 ) ( een gelijkwaardige ( uitdrukking) 4 maximumscore 7 De afgeleide van x x4 is (x 4 x) x x4 De afgeleide is 0 als x 4x = 0 (en x x4 0 ) Dit geeft x =, dus als de oppervlakte van CFDE maximaal is, is de lengte van CE ( een gelijkwaardige uitdrukking) De oppervlakte van rechthoek CFDE is dan = De lengte van DE is dan 4 = ( een gelijkwaardige uitdrukking), dus CFDE is geen vierkant De afgeleide van x x4 is (x 4 x) x x4 De afgeleide is 0 als x 4x = 0 (en x x4 0 ) Dit geeft x =, dus als de oppervlakte van CFDE maximaal is, is de lengte van CE ( een gelijkwaardige uitdrukking) Als CFDE bij maximale oppervlakte een vierkant is, is deze oppervlakte ( ) = Invullen van x = in de formule voor de oppervlakte van de rechthoek CFDE geeft als uitkomst =, dus CFDE is geen vierkant 4 www

7 Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II x x4 is maximaal als 4 x 4 x maximaal is De afgeleide van x x is x 4x x 4x = 0 geeft x =, dus als de oppervlakte van CFDE maximaal is, is de lengte van CE Dan geldt ( ) ( een gelijkwaardige uitdrukking) CF = AE = =, dus CFDE is geen vierkant De rechthoek is een vierkant als 0 x = x Dit geeft ( x ) = x, dus x =, dus x = De afgeleide van x x4 is (x 4 x) x x4 De afgeleide waarde voor 0 0 x = is ( ) Dit is niet gelijk aan 0, dus als de oppervlakte van CFDE maximaal is, is CFDE geen vierkant Kleinste amplitude 5 maximumscore 8 a De amplitude van de grafiek van f a is Aa ( ) = ln a ln a a ln a A' ( a) a = = ln a (ln a) ( ) A' ( a ) = 0 geeft a = e (dus de kleinste amplitude is e) De gevraagde oppervlakte is gelijk aan e sin x d x Een primitieve van sin x is cos x De gevraagde oppervlakte is e 0 www

8 Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Vier punten op een cirkel 6 maximumscore 4 ABP' = 0 ; raaklijn Dus AP'B = 0 BAP ; hoekensom driehoek APB = 0 ; Thales Dus ABP = 0 BAP ; hoekensom driehoek (dus ABP = AP'B ) P 'BP = BAP ; hoek tussen koorde en raaklijn APB = 0 ; Thales Dus P'PB = 80 APB = 0 ; gestrekte hoek Dus ABP = 0 BAP = 0 P'BP = AP'B ; hoekensom driehoek ABP' = 0 ; raaklijn APB = 0 ; Thales APB = ABP' en BAP = P'AB, dus de driehoeken APB en ABP' zijn gelijkvormig; hh, dus ABP = AP'B 7 maximumscore 4 PQQ' + AQP = 80 ; gestrekte hoek AQP = ABP ; constante hoek Uit ABP = AP'B en AQP = ABP volgt AQP = AP'B Dus PQQ' + AP'B = 80 en hieruit volgt PQQ'P' is een koordenvierhoek (dus P, Q, Q' en P' liggen op één cirkel; koordenvierhoek) www