UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bovendien dient U in alle gevallen uw antwoord te beargumenteren!. a) Bereken de volgende afgeleide ] d cosx e dx cosx Vereenvoudig zo veel mogelijk het resulterende antwoord. Als we differentiëren krijgen we: ] d cosx e = sin(x) cos(x) dx cosx cos 2 sin(x)e (x) b) Toon aan dat: 2x+x 2 x + 2 = 3 x ( x) 2 2x+x 2 x + 2 = ( x) 2 ( x) 2 x + 2 ( x) 2 Als we nu teller en noemer met( x) 2 vermenigvuldigen krijgen we: ( x)+2 = 3 x 2. Ga na of voor de functief :0, ) (0, ] gedefinieerd door: f(x)= (+x) 3 de inverse functie bestaat. We kijken naar de afgeleide vanf en zien dat: f (x)= 3 (+x) 4 < 0 Het is dus een dalende functie op het hele domein en dus zeker een injectieve functie. Bovendien geldt: f(0)=, lim x f(x)=0

2 en dus daalt de functie van naar 0. Omdat de functie continu is worden, volgens de middelwaardestelling, alle waarden in het interval(0, ] aangenomen. Het randpunt 0 wordt natuurlijk niet aangenomen omdat f(x) nooit gelijk is aan 0. Hieruit volgt dat de functie surjectief is. Omdat de functie surjectief en injectief is bestaat de inverse functie. 3. Bereken de volgende twee limieten: a) lim 4x 2 3x+ 2x x Dit is een limiet waarvoor de zogenaamde worteltruc het beste werkt: lim 4x 2 ( 4x 3x+ 2x= lim 2 3x+ 2x)( 4x 2 3x+ +2x) x x 4x 2 3x+ +2x (4x 2 3x+ ) 4x = lim 2 x 4x 2 3x+ +2x 3x+ = lim x 4x 2 3x+ +2x = lim x 3+ x 4 3 x + x = = 3 4 waarbij we bij de 4de gelijkheid teller en noemer door x hebben gedeeld. Hierbij moet je opletten met de wortel: als je de wortel doorx deelt moet je binnen de wortel door x 2 delen. b) lim (x π 2 ) cos(x). sinx We zien dat zowel de teller als de noemer naar 0 convergeert en dus kunnen we de stelling van l Hôpital toepassen: lim (x π 2 ) cos(x) sinx = lim cos(x) (x π 2 ) sin(x) cosx Ook na het toepassen van l Hôpital gaan zowel de teller als de noemer naar 0. Dus passen we l Hôpital nog een keer toe: lim cos(x) (x π 2 ) sin(x) cosx = lim 2 sin(x) (x π 2 ) cos(x) sinx Deze laatste limiet is eenvoudig want teller en noemer gaan geen van tweeën naar nul en we krijgen: lim 2 sin(x) (x π 2 ) cos(x) sinx = 2 = 2

3 4. Bepaal het minimum en het maximum van de functief gedefinieerd door: f(t)=3t 4 + 4t 3 2t 2. op het interval, 2]. We gaan eerst de kandidaatextremen bepalen. We hebben direct de randpunten t = en t = 2. De functie is overal differentieerbaar dus resteren punten waar de afgeleide gelijk is aan nul. We hebben: f (t)=2t 3 + 2t 2 24t= 2t(t 2 +t 2)=2t(t )(t+ 2) en uitf (t)=0volgen twee extra kandidaatextremen: t= 0 ent=. Merk op datt= 2 geen kandidaatextreem is omdat het niet in het interval, 2] ligt. We berekenen de functiewaarde in alle kandidaatextremen: f( )= 3 f(0)=0 f()= 5 f(2)=32 Volgens de extreme waarde stelling is er op dit gesloten interval een globaal maximum en een globaal minimum. We vinden een (globaal) maximum 32 in 2 en een (globaal) minimum 3 in. 5. Bepaal de volgende integraal t t 2 dt. We gaan een substitutie toepasseny= t 2. en dus: dy dt = 2t dy= 2tdt Voor de grenzen zien we datt= 0 ent= 2 2 oplevereny= eny= 2 respectievelijk. 2 2 y dy ] 2 y = 2 2

4 6. Bepaal de volgende integraal 2 x+ 3 (x 2 )(x+ ) dx. We gaan breuksplitsen. De graad van de teller is al kleiner dan de graad van de noemer dus daar hoeven we niets aan te doen. x+ 3 (x 2 )(x+ ) = x+ 3 (x )(x+ ) 2 = A x + B x+ + C (x+ ) 2 Nu moeten we de constanten A, B en C nog vinden. Door de drie termen onder een noemer te brengen krijgen we: A(x+ ) 2 +B(x )(x+ )+C(x )=x+ 3 x = invullen levert opa=. x = invullen levert opc =. Tot slot kijken we naar dex 2 termen links en rechts en krijgena+b = 0 en dat levert opb =. We hebben dus: x+ 3 (x 2 )(x+ ) = x x+ (x+ ) 2 en krijgen 2 x x+ (x+ ) 2 dx = lim ln x ln x+ + ] t t x+ 2 = lim ln t ln t+ + t t+ + ln 3 ] 3 = lim ln t t t+ + t+ + ln 3 ] 3 = ln a) Bepaal voor de functie f(x)=lnx het Taylorpolynoom van de graad 4 rondx=. We hebben: f () (x)= x f (2) (x)= x 2 f (3) (x)= 2 x 3 f (4) (x)= 6 x 4

5 en dus: f()=0 f () ()= f (2) ()= f (3) ()=2 f (4) ()= 6 en dus wordt het Taylorpolynoom gegeven door: f()+ f() ()! (x )+ f(2) () 2! (x ) 2 + f(3) () 3! (x ) 3 + f(4) () (x ) 4 4! =(x ) 2 (x )2 + 3 (x )3 4 (x )4 b) Bepaal voor de functie g(x)= lnx het Taylorpolynoom van de graad 3 rondx= 0. Hint: gebruik deel a Als wey =f(x) definieren dan zien we dat voorx daty 0. Dus we beginnen met een Taylorreeks voorh(y)= y rond 0. We hebben: en dus: h () (y)= ( y) 2 h (2) 2 (y)= ( y) 3 h (3) 6 (y)= ( y) 4 h(0)= h () (0)= h (2) (0)=2 h (3) (0)=6 en dus wordt het Taylorpolynoom gegeven door: h(0)+ h() (0)! We weten echter y+ h(2) (0) 2! y 2 + h(3) (0) y 3 = +y+y 2 +y 3 3! y (x ) 2 (x )2 + 3 (x )3

6 en dus krijgen we als benadering voor de oorspronkelijke functie: ( + (x ) 2 (x )2 + 3 (x )3) + ((x ) 2 (x )2 + 3 (x )3) 2 + ((x ) 2 (x )2 + 3 (x )3) 3 Omdat we een Taylor approximatie van orde 3 zoeken gooien we alle machten van x groter dan 4 weg: +(x ) 2 (x )2 + 3 (x )3 +(x ) 2 (x ) 3 +(x ) 3 en we krijgen na vereenvoudiging: +(x )+ 2 (x )2 + 3 (x )3 8. a) Bepaal de algemene oplossing van de lineaire differentiaalvergelijking: ẍ+ 4ẋ 5x= 0 We proberen een oplossing van de vormx(t)=e rt. We vinden: 0=(r 2 + 4r 5)e rt =(r+ 5)(r )e rt We vinden twee oplossingenr = 5 enr =. Dit levert twee onafhankelijke oplossingen van de homogene vergelijking: x (t)=e 5t en x 2 (t)=e t. We vinden de algemene oplossing: αe 5t +βe t. b) Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking: ẍ+ 4ẋ 5x= 4e 3t waarvoor geldtx(0)= 4 enẋ(0)= 2 4. We proberen een oplossing van de vorm x(t)=ae 3t om een particuliere oplossing te vinden. (9a+2a 5a)e 3t = 4e 3t en we krijgena= 4. Dan is 4 e3t een particuliere oplossing en wordt de algemene oplossing gegeven door: αe 5t +βe t + 4 e3t.

7 We zoeken een oplossing waarvoor geldtx(0)= 4 en invullen levert op dat moet gelden α+β=0. Daarnaast moet gelden datẋ(0)= 2 4 en invullen levert op 5α+β+ 3 4 = 2 4 en dat levert opα=enβ=. De gevraagde oplossing is dus: e 5t e t + 4 e3t. 9. Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking: ẋ= t sint x sin(x 2 ) metx(0)= π 2. We gebruiken separatie van variabelen en krijgen: x sinx 2 dx= t sint dt Voor de eerste integraal gebruiken we een substitutie y = x 2 en dat levert op dy = 2xdx en dus: x sin(x 2 ) dx= 2 sin(y)dy= 2 cos(y)= 2 cos(x2 ) Voor de tweede integraal gebruiken we partiële integratie: t sint dt= t cost+ costdt= t cost+ sint 2 cos(x2 )= t cost+ sint+c metc een constante. Als we gebruiken dat voort=0we moeten hebben datx = π 2 vanwege onze beginvoorwaarde zien we datc= 0. Dit levert op: en dus: cos(x 2 )=2t cost 2 sint x 2 = arccos(2t cost 2 sint) x=± arccos(2t cost 2 sint) Door te gebruiken dat voort = 0 we hebben datx = wortel en krijgen we: x= arccos(2t cost 2 sint) π 2 vinden we het teken van de