Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden. Normering: 36 punten zijn in totaal te behalen; de puntenverdeling is zoals aangegeven in de opgaven.. (4 De differentiaalvergelijking voor y y(t wor gegeven door 2ty 3 + 3t 2 y 2 dy, t >. Bepaal of de differentiaalvergelijking exact is en geef de algemene oplossing y(t voor t >. Schrijf: Uit de berekening M(t, y 2ty 3, N(t, y 3t 2 y 2, M y 6ty2, N t 6ty2 volgt de de differentiaalvergelijking exact is. We willen nu φ(t, y vinden zodanig dat de exacte differentiaalvergelijking kan worden geschreven als Oplossen van geeft φ t dφ. M(t, y, φ(t, y t 2 y 3 + h(y, met h een willekeurige diffb. functie. Uit φ N(t, y volgt dat h(y constant is. Dus de y functie φ(t, y t 2 y 3 en de oplossingen y(t kun je dus vinden uit t 2 y 3 C, ( y(t Ct 2/3, (2 met C een willekeurige constante R 2. Een tweede orde differentiaalvergelijking voor y y(x wor gegeven door (x 2 y 2xy + 2y. (3

2 a. ( Bepaal de singuliere punt(en van (3 als die er zijn. Zijn de punt(en regulier singulier of irregulier singulier? b. (2 Leid een recurrente betrekking voor de coëfficiënten a n af, als y(x a n x n een machtreeksoplossing is van (3, en toon aan dat convergentiestraal van de machtreeks tenminste is. c. (2 Geef de oplossing van (3 met beginvoorwaarden y(, y (. a Er zijn 2 singulier punten nl. x en x, want dan wor de coëfficiënt voor y nul. Om te zien of het regulier singulier punten zijn, kun je bijv. de limieten nemen en 2x(x lim x x 2 2x(x + lim x x 2, lim x 2(x 2 x 2 2(x + 2, lim x x 2.. Omdat deze limieten bestaan zijn x en x regulier singulier punten. b De recurrente betrekking kan gevonden door y(x (x 2 a n n(n x n 2 2x n2 a n n(n x n n n na n x n + 2 n n n a nx n in (3 te substitueren. a n x n na n (n x n + 2 a n x n a n+2 (n + 2(n + x n 2 n n [a n+2 (n + 2(n + a n n(n 2na n + 2a n ] x n. (4 n Dus we vinden (n 2(n a n+2 a n (n + 2(n +, n. De convergentiestraal is tenminste, omdat volgens een stelling uit Braun, de machtreeks oplossing van y + p(xy + q(xy een convergentiestraal heeft die tenminste gelijk is aan het minimum van de convergentiestralen van p(x en q(x. p(x heeft een convergentiestraal en q(x ook, dus de machtreeks oplossing bestaat in ieder geval voor all x (,. Je kunt ook gewoon de convergentiestraal R uitrekenen in dit geval d.m.v. R a n+2 lim n a n (of nog netter dmv een limsup nemen c Wanneer we de a n proberen uit te rekenen. Vinden we Dus de oplossing is a 2 a, a 3, a 4. y(x a + a x 2 + a x. d Als y( volgt meteen dat a en y ( impliceert a. Dus de oplossing is y(x x. n

3 3. (4 Bepaal met behulp van Laplace transformaties de oplossing van de differentiaalvergelijking voor de functie y y(t: y + y { t < 2 e t t 2, y(, y (. Neem de Laplace transformatie aan beide zijden van de DV. Dit geeft L[y + y] s 2 L[y] sy( y ( + L[y] L [ e t H 2 (t ] Gebruik nu dat y( en y ( en dat e t H 2 (t e (t 2 H 2 (te 2, zodat de formule uit de Laplace tabel kan worden toegepast. Dit geeft dan Ofwel L[y](s 2 + s + e 2 e 2s s +. L[y] s s e 2 e 2s (s + (s 2 +. Om te kunnen terugtransformeren moet de laatste term worden gebreuksplitst. Dit gaat als volgt: A s + + Bs + C s 2 + s2 (A + B + s(b + C + A + C (s + (s 2 + (s + (s 2 +. Hieruit volgt dat A C 2, en B 2. Nu kunnen we direct uit de tabel aflezen wat de inverse Laplace getransformeerden cvan alle termen zijn en we vinden y(t cos t + H 2 (te 2 [ 2 e (t 2 2 cos(t sin(t 2 ] 4. (8 We bekijken de volgende matrixdifferentiaalvergelijking voor de functie x(t R 3 : ẋ Ax, met matrix A gedefinieerd door A 2 4. Bereken e At en geef de algemene oplossing van ẋ Ax. Er zijn veel manieren om deze opgave op te lossen. Ik zal hier de oplossing met gebruik van Jordan normaalvorm bespreken en de methode zoals die in het boek staat mbv een fundamentaalmatrix

4 De eigenwaarde kun je direct aflezen uit de matrix. De eigenwaarden zijn λ (multipliciteit 2 en λ 2. Uitrekenen van de eigenruimte behorend bij λ geeft E De gegeneraliseerde eigenruimte bij λ wor gevonden door op te lossen Dit geeft de vergelijking (A λ I 2 v v 2 en de gegeneraliseerde eigenvector v 2 ligt in het opspansel, want je kiest v 2 zo dat v en v lineair onafhankelijk zijn. Merk op dat (A λ Iv v 2. Bij de eigenwaarde λ 2 vinden we een eigenvector v 3 2, door het oplossen van We kunnen nu e At als volgt uitrekenen: v 3 e At e T T AT T t T e Jt T, waar T de transformatiematrix is die als kolommen de vectoren v i bevat en J is de matrix A tov basis {v, v 2, v 3 }, oftwel de Jordannormaalvorm van A. Dus: T 2, T 2, en J Het vinden van e At is nu gereduceerd tot het vermenigvuldigen van 3 matrices: e t te t e t te t 2te t e At T e Jt T T e t T e t 2e t + 2e t e t e t.

5 Hierbij hebben we e Jt op de gebruikelijke manier uitgerekend e Jt exp t + t exp e t e t e t t exp I + t t e t te t e t e t (5 Hierbij hebben we gebruikt dat de matrices in de exponent commuteren en dat de matrix nulpotent is. De algemene oplossing is nu e At x, met x een willekeurige vector in R 3. De manier met gebruik van de fundamentaalmatrix lijkt erg op het bovenstaande. Je zoekt 3 lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking. De eerste is De tweede oplossing is De derde oplossing is x (t e t v x 2 (t e λ t e (A λ It v 2 e t [I + (A + It] v 2 e t v 2 + e t tv De fundamentaalmatrix Φ(t is dus Φ(t x 3 (t e t v 3 e t te t e t 2e t e t Nu kun je e At berekenen uit e t te t e At Φ(tΦ( e t 2e t e t 2 e t te t 2te t e t 2e t + 2e t e t 5. Gegeven is het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen voor x(t, y(t: { dx 2 cos x cos y dy cos x 2 cos y. a. (2 Vind alle evenwichtspunten in D ( 3π, ( 3π 4 4 3π, 3π 4 4.

6 b. (2 Karakteriseer en bepaal de stabiliteit van de evenwichtspunten in D voor het gelineariseerde stelsel. c. ( Bepaal de stabiliteit van de evenwichtspunten in D voor het niet-lineaire stelsel en beargumenteer je antwoord. d. ( Laat zien dat de lijn L {(x, y y x, x, y R} een invariante verzameling is, d.w.z. als voor zekere t het punt (x(t, y(t L dat dan (x(t, y(t L voor alle t R. e. (3 Schets het faseportret in een enkel plaatje. Geef ook de richtingen van oplossingen aan. a Evenwichtspunten vinden we door ẋ ẏ te stellen. Dit geeft cos x and cos y, en dus zijn de evenwichtspunten op het gevraagde domein: ( π 2, π 2, (π 2, π 2, ( π 2, π 2, ( π 2, π 2. b F(x, y ( f(x, y g(x, y g x g y ( 2 cos x cos y 2 cos y cos x en de Jacobi matrix J(x, y is ( ( fx f J(x, y y 2 sin x sin y sin x 2 sin y Analyseer de eigenwaarden ( van J voor elk van de punten gevonden in i 2 In ( π, π, J, heeft twee positieve reële eigenwaarden, namelijk r 2 2 2, r 2 3; dit correspondeert met ( een instabiele knoop. 2 In ( π, π, J, heeft positieve and negatieve reële eigenwaarde, namelijk r 3, r 2 ( 3; dit correspondeert met een zadelpunt, dat natuurlijk instabiel is. 2 In ( π, π, J, heeft opnieuw een positieve and een negative reële eigenwaarden namelijk r 3, r 2 ( 3, en dit is dus weer een zadelpunt, dat per definitie instabiel is. 2 In ( π, π, J, heeft twee negatieve reële eigenwaarden, namely r 2 2 2, r 2 3, en dit punt correspondeert dus met een asymptotisch stabiele knoop. cde stabilteit van de gevonden punten voor het niet-lineaire stelsel is gelijk aan de stabiliteit van de evenwichtspunten van het lineaire stelsel, omdat de eigenwaarden een reël deel ongelijk hebben. [opm: De voorwaarde dat de niet lineaire termen een kleine correctie vormen in de buurt van de evenwichtspunten is duidelijk] d Reken bijvoorbeeld uit: d(y x ẏ ẋ cos x cos y.,

7 Dus als y x is op tijdstip t dan is daar d(y x en dus zal een oplossing beginnend op x y daatr altijd opblijven. Daarmee is aangetoond dat L een invariante verzameling is. e Voor een goede schets hebben we ook de eigenvectoren nodig. Voor de zadelpunten geeft dit: ( π, π: r leads to ( v 2 3 r 2 3 lei tot ( π 2, π 2 : r 3 leads to r 2 3 lei tot ( v 2 ( v ( v ( π 2, π 2 : r 3 lei tot en r 2 tot v v 2 ( ( ( π 2, π 2 : r lei tot en r 2 3 tot v v ( 6. Beschouw de volgende differentiaalvergelijking voor de functie y y(x op het gesloten interval [, β] (β > : dy y g(x, y, dx y(. (6 Neem aan dat de functie g continu en begrensd is. ( a. ( Schrijf de differentiaalvergelijking (6 om in een integraalvergelijking. b. (5 Laat zien dat er een constante C > bestaat zodanig dat y(x e Cx voor alle x [, β]. a Integreren aan beide zijden van de vergelijking en gebruik van de beginvoorwaarde geeft dy ds ds y(sg(s, y(s ds

8 Figure : Een schets van het faseportret. ofwel y(s + y(sg(s, y(s ds b Uitgaande van de integraalvergelijking gevonden onder a kunnen we de volgende afschatting maken: y(x + x y(sg(s, y(s ds + y(sg(s, y(s ds + y(s g(s, y(s ds + C y(s ds, (7 waarbij gebruikt is dat g(x, y C, zodat de laatste afschatting is te maken. De laatste stap is het gebruiken van de Gronwall ongelijkheid. Je kunt die ook zelf voor dit geval afleiden. Dit gaat als volgt: Definieer dan vinden we dat w(x voldoet aan: Vermenigvuldig links en rechts met e Cx w(x dw dx y(s ds, Cw (8 [ ] dw e Cx dx Cw d ( e Cx w e Cx dx Dus d (e [w Cx + C ] dx

9 Omdat e Cx [ w(x + C ] een dalende functie is op [, β] vinden we e Cx [ w(x + C ] w( + C C Wat we kunnen herschrijven tot Cw(x + e Cx Door nu toe te passen dat w(x voldoet aan ongelijkheid (8 volgt voor alle x [, β] dw dx y(x ecx.