Stelsels differentiaalvergelijkingen

Transcriptie

1 Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x + y y x n (t, A een n n matrix (, dus hier is A ( Dit stelsel is simpel op te lossen: y(t c e t invullen in x (t x + y geeft x (t x(t + ce t, een inhomogene differentiaalvergelijking Die los je eenvoudig op: x(t c e t 4 ce t Voorbeeld Hoe nu te handelen met x (t y 3x y (t y 3x We noemen eerst de volgende stelling Stelling Als λ een eigenwaarde is van A en x de bijbehorende eigenvector is, dan is x(t e λt x een oplossing van ( Bewijs Ax λx, dus Ae λt x λe λt x (e λt x Voorbeeld vervolg In het tweede voorbeeld, waar A volgt uit 3 λ 3 λ λ + λ (λ + 4(λ 3 ( 3 3, dat 3 en -4 de eigenwaarden zijn Eigenvectoren bij 3: oplossen van α R Eigenvectoren bij -4: oplossen van R ( 6 3 ( 3 6 ( geeft α 3 ( geeft α,, α

2 We zien dat voor elke c, c uit R, c e 3t ( 3 ( en c e 4t oplossingen zijn Bewering: alle oplossingen zijn van de vorm ( ( ( x(t c y(t e 3t + c 3 e 4t met andere woorden x(t c e 3t + c e 4t, met c, c R Dat is altijd zo y(t 3c e 3t + c e 4t Stelling Als de n n matrix A n verschillende eigenwaarden λ,, λ n heeft, met x,, x n de bijbehorende eigenvectoren, dan krijg je alle oplossingen van x (t Ax(t via x(t c e λt x + + c n e λnt x n, met c,, c n (eventueel complexe getallen x 3x + y Voorbeeld 3 Los op y y + z z z A 3 Eigenwaarden zijn 3, en Bijbehorende eigenvectoren,, Oplossingen zijn dus x(t c e 3t + c e t + c 3 e t y(t c e t c 3 e t met c, c, c 3 R z(t c 3 e t Voorbeeld 4 Los op x x y A ( y x + y Eigenwaarden: ( λ + 4 geeft λ ± i

3 ( ( i Eigenvectoren bij + i: oplossen geeft als i i eigenvector ( ( i Eigenvectoren bij i: oplossen geeft als i i eigenvector Dus: x(t (c + c e t cos t + i(c c e t sin t y(t i(c c e t cos t + (c + c e t sin t met c, c C Nu hebben we een probleem: we willen de reële oplossingen hebben Bedenk dat e (+it e t e it e t cos t + ie t sin t Door nu c en c zo te kiezen dat a c + c R èn b i(c c R krijgen we alle reële oplossingen Dus: alle reële oplossingen zijn x(t ae t cos t + be t sin t y(t be t cos t + ae t sin t met a, b R Dubbele eigenwaarden Je kunt je afvragen wat je moet doen als de n n matrix A onverhoopt niet n verschillende eigenwaarden heeft Zolang er een zogenaamde basis van eigenvectoren is, is dat allemaal geen probleem Maar zodra dat niet het geval is wor de zaak aanzienlijk ingewikkelder We doen een voorbeeld, maar verwijzen voor algemene theorie naar boeken over differentiaalvergelijkingen en lineaire algebra In het bijzonder moet je voor het algemene geval kennis nemen van de zogenaamde Jordan normaal vorm van een matrix Zie bijvoorbeeld: P Lancaster, M Tismenetsky: The theory of matrices, Second edition, Academic Press, London, 985 Voorbeeld 5 x (t x(t + y(t, y (t y(t, x(, y( ( De matrix A is nu A Die heeft eigenwaarde (en dat is de enige ( eigenwaarde, met bijbehorende eigenvector Er is geen basis van eigen- vectoren In dit voorbeeld kunnen we natuurlijk makkelijk verder De dv voor 3

4 y laat zich eenvoudig oplossen: y(t ce t, waar c R Invullen in de dv voor x geeft dan de inhomogene eerste orde dv x (t x(t ce t Oplossingen van de bijbehorende homgene dv zijn x(t c e t, dus als particuliere oplossing proberen we maar eens x(t c te t Je ziet dan snel dat je voor c moet nemen c c De oplossingen zijn dus: ( ( ( ( x(t c e t + cte t y(t ce t c e t + ce t t, c, c R Nu gebruiken dat x(, y( geeft dat c, c De oplossing is dus ( ( x(t e t + te t y(t e t Stelsels inhomogene differentiaalvergelijkingen Ook voor stelsels inhomogene differentiaalvergelijkingen werkt het gebruikelijke proberen van een oplossing voor bepaalde soorten rechterlid x y + t Voorbeeld 6 3 y x + t Eerst het homogene stuk x y y x ofwel ( x y ( ( x y Eigenwaarden zijn ±i, alle oplossingen voor de homogene vergelijking zijn x(t a cos t + b sin t met a, b R y(t b cos t + a sin t Nu moeten we ( nog één oplossing ( van( de inhomogene ( vergelijking ( vinden x a c e g Probeer daartoe t y 3 + t b + t + met d f h a, b, c, d, e, f, g, h reële getallen Dan is ( x y 3t ( a b t 3 ( b + a ( c + t d ( e + f + t ( d c + t ( f e + ( h + g 4

5 Vergelijk coëfficienten, je krijgt het volgende stelsel van acht vergelijkingen met acht onbekenden: a b d 3a c 3b c f e + d e h f g Dit stelsel is eenvoudig op te lossen, je krijgt a d, b, c 3, e, f g 6, h Samenvattend: ( ( x t 3 y + t ( 3 ( + t 6 ( 6 + ( 3t t 6 t 3 6t + De algemene oplossing is dus: x(t a cos t + b sin t + 3t t 6 y(t b cos t + a sin t t 3 6t + Laplace transformatie Ook bij stelsels differentiaalvergelijkingen kunnen we gebruik maken van de Laplace transformatie Voor een vectorfunctie x(t, met coördinaten x (t,, x n (t, voeren we de Laplace transformatie coördinaatsgewijs in Dus x(t x (t x n (t, L(x(s L(x (s L(x n (s Als A een n n matrix is, en f een vectorfunctie met waarden in R n, dan kunnen we van het stelsel differentiaalvergelijkingen x (t Ax(t + f(t, x( x links en rechts de Laplace transformatie nemen Dat geeft, als we met X(s de Laplace getransformeerde van x en met F (s de Laplace getransformeerde van f aangeven: sx(s x( AX(s + F (s Hieruit laat zich X(s simpelweg oplossen: (si AX(s F (s + x(, en dus X(s (si A F (s + (si A x 5

6 Daaruit kunnen dan de coordinaten van X(s worden berekend, en door terugtransformatie kunnen we dan x(t vinden (in principe Theoretisch is dit erg nuttig, in de praktijk kan vooral die laatste stap nogal eens tegenvallen Voorbeeld 5 nogmaals Bekijk nog eens voorbeeld 5 Dat laat zich met Laplace transformatie doen We hebben ( ( A, x, en f Dus ( ( X(s (si A s x s ( ( ( s (s s + (s s s Gebruik makend van het feit dat we inmiddels weten dat (s de Laplace getransformeerde is van te t en dat s de Laplace getransformeerde is van et zien we (weer dat de oplossing gegeven wor door x(t ( x(t y(t ( e t + te t e t Opgaven Bepaal van de volgende stelsels differentiaalvergelijkingen de oplossing (e (a (c x + y x + y dx 3x + z 3y + z dz x + y + z (b (d x y 4x + y dx x + 3y + 3z 3x y dz 3x z Bepaal van het stelsel onder d die oplossingen die voldoen aan x(, y(, en z( (f (h x + y + e t 3x + y e t (g x + y + 3t 5 x + y (i 4x 3y + sin t x y cos t dx x + 3y + 3z + 48t 3x y + e t dz 3x z e t 6