Hoofdstuk 3 : Determinanten

Transcriptie

1 (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld det(a) = 7 3 = 7 3 = 3 Definitie 3.2 De Ondermatrix (B ij) van de matrix B is de matrix die overblijft als je de i/de rij en de j/de kolom doorstreept. Voorbeeld 2 Neem de matrix B = Dan is ondermatrix B 2 = ( ) en ondermatrix B 23 = ( 7 3 ) Definitie 3.3 Om de determinant van een [3 x 3] matrix B uit te rekenen, als je deze ontwikkelt naar bijvoorbeeld de e rij : b b 2 b 3 det(b) = b 2 b 22 b 23 = b B b 2 B 2 + b 3 B 3 b 3 b 32 b 33

2 2 (A5D) Voorbeeld Om de determinant van B uit te rekenen, gebruik je de volgende stappen : B = ( ) det(b ) = = = B 2 = ( ) det(b 2) = = = B 3 = ( ) det(b 3) = = = De determinant van B kun je nu berekenen : det(b) = b B b 2 B 2 + b 3 B 3 = = Opmerking Je kunt de matrix naar iedere rij en kolom ontwikkelen. Kies vaak de handigste rij / kolom (welke zal dat zijn?) + + Er is een trucje voor de plussen en minnen bij de determinant : ( + ) + + Voorbeeld 2 Bereken de determinant van de matrix B door hem te ontwikkelen naar de tweede kolom.

3 3 (A5D) Les 2 : Rekenregels voor Determinanten Een determinant is een getal, dus daar zijn ook rekenregels voor. Rekenregels en eigenschappen van Determinanten. Laat B een matrix zijn en B dezelfde matrix waarbij één rij met factor α vermenigvuldigd is. Dan geldt det (B) = α det (B ) 2. Vegen van rijen heeft GEEN invloed op de waarde van de determinant. 3. Laat B een matrix zijn en B 2 dezelfde matrix waarbij 2 rijen (of kolommen) van plaats wisselen. Dan geldt det (B) = - det (B 2) 4. det (AB) = det (A) det (B) 5. det (A T ) = det (A) 6. det(a) = De kolommen zijn onafhankelijk. Bij ieder ander getal zijn ze afhankelijk. 7. det(a ) = det (A) Voorbeelden Neem B = ( ) en A = ( ). Er geldt det(b) = 2-3 = 9 en det (A) = 5+2=7 2. det(b) = 6 3 = 36 9 = 27 = 3 9 = 3 det (B) R = R R2 det(b3) = 5 = = 9 = det (B) 2 3. det(b2) = 2 = 3 2 = 9 = 9 = det (B) det(ab) = = 8 45 = 63 = 7 9 = det (A) det (B) det(a T ) = 5 = 5 2 = 7 = det (A) 2 6. det(c) = 3 6 = = Klopt want kolom 2 = 2 kolom det (A) det (A - ) = det (A x A - ) = det (I) = det(a ) = det (A) Voorbeeld Bestaat de inverse van een matrix A als det(a) =?

4 4 (A5D) Les 4 : De regel van Cramer (Inverse met determinanten) De inverse van een matrix A is ook te bepalen m.b.v. de formule A = C = ( )i+j det (B ji ) det(a) Stappenplan voor de inverse met de regel van Cramer :. Bereken det(a) 2. Maak matrix B met b ij = det (A ij ) 3. Neem B T. 4. Verdeel de plussen en minnen volgens het schaakbordpatroon. (matrix D) 5. Deel de ontstane matrix door det(a). Zo ontstaat A -. Voorbeeld. Neem de matrix A = ( 4 ) en det(a) = Dan is bijv. minor B 2 = ( 4 ) en det(b 2) = 4. Als je alle deelmatrices uitrekent ontstaat de 6 4 matrix B = ( 4 3 ) [B] T = ( 4 4 ) C = ( 4 4 ) A = C = ( 4 4 ) = ( det(a) )

5 5 (A5D) Les 7 : Eigenwaarden en Eigenvectoren Definitie 3.4 Eigenwaarde en Eigenvector Neem de matrix A en een getal λ en x. Als voor de vector x geldt dat Ax = λx dan heet x de eigenvector met λ de bijbehorende eigenwaarde. Voorbeeld Neem A = ( 3 4 ) en x = ( 3 4 ). Dan is Ax = ( 3 3 ) ( 4 4 ) = ( 8 8 ) = 2 ( 4 4 ) Dus de vector x is eigenvector van de matrix A met eigenwaarde λ=2. Eigenwaarden en eigenvectoren berekenen Om de eigenwaarden en eigenvectoren te berekenen gebruik je Ax = λx Ax - λix = (A λi)x = Omdat x moet er gelden dat det(a λi) = Dit noemt men de karakteristieke vergelijking We zullen een stappenplan opstellen. Algoritme voor eigenwaarden en Eigenvectoren berekenen. Bepaal de matrix A λi en bereken de determinant van A λi 2. Bepaal een makkelijke waarde en bereken de andere waarde m.b.v. een staartdeling 3. Bepaal bij iedere eigenwaarde de eigenvector

6 6 (A5D) Voorbeeld Eigenwaarde en Eigenvectoren berekenen : 2 Neem A = ( 3 4). Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren. 4 9 Oplossing. Bepaal de matrix A λi en bereken de determinant : Ontwikkelen naar de e rij geeft : = 2. Bepaal een makkelijke waarde en los de vergelijking op. Voor λ = geldt de oplossing, dus een staartdeling uitvoeren geeft : -λ 3 +4λ 2-35λ + 22 : (λ ) = -λ 2 + 3λ 22 - (λ 2-3λ + 22) -(λ-)(λ-2) Dus de oplossingen zijn λ = ; λ = 2 en λ =. 3. Bepaal bij iedere eigenwaarde de eigenvector 9 a 9a a = ) λ = : (A I)x = ( 8 4 ) ( b) = ( 8b + 4c) = ( ) ( c = 2b) 4 2 c 4b 2c c = 2b Dus een eigenvector is ( ) (of een veelvoud daarvan) 2 a a a = 2) λ = : (A I)x = ( 2 4) ( b) = ( 2b + 4c) = ( ) ( b = 2c) 4 8 c 4b + 8c Dus een eigenvector is ( ) (of een veelvoud daarvan) 2 b = 2c a a a = 3) λ = 2 : (A I)x = ( 4) ( b) = ( b + 4c ) = ( ) ( b = 4c ) 4 7 c 4b + 7c b = 7 c 4 Dus een eigenvector is ( ) (of een veelvoud daarvan)

7 7 (A5D) Samengevat Er zijn drie eigenwaarden met 3 bijbehorende eigenvectoren : ) λ = : ( ) 2 2) λ = : ( ) 2 3) λ = 2 : ( ) Opmerkingen. Vegen van rijen verandert de eigenwaarden (NOOIT doen) 2. Eigenwaarden (λ) kunnen zijn, eigenvectoren NOOIT.