11.0 Voorkennis V

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "11.0 Voorkennis V"

Transcriptie

1 11.0 Voorkennis V W V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix V is gelijk aan het aantal rijen van matrix W. 1

2 11.0 Voorkennis Element k 23 bereken je dus door de 2-de rij van V en de 3-de kolom van W met elkaar te vermenigvuldigen. 2

3 11.0 Voorkennis Om element k 11 te krijgen vermenigvuldigen we de eerste rij van V met de eerste kolom van W: k 11 = = 260 Om element k 12 te krijgen vermenigvuldigen we de eerste rij van V met de tweede kolom van W: k 12 = = 50 Om element k 23 te krijgen vermenigvuldigen we de tweede rij van V met de derde kolom van W: k 23 = = 29 3

4 11.0 Voorkennis Een eenheidsmatrix is een vierkante matrix met op de hoofddiagonaal uitsluitend enen. Alle andere elementen zijn gelijk aan nul. Een vierkante matrix kan met zichzelf vermenigvuldigd worden. 8 6 Q 11 7 Q QQ

5 8 6 Q 11 7 Q Voorkennis QQ Matrix en GR: Stap 1: 2ND X -1 EDIT ENTER 5

6 11.0 Voorkennis Matrix en GR: Stap 2: Vul afmetingen Matrix in. Vul getallen in Matrix in. Stap 3: 2ND X -1 NAMES 1 : [A] ENTER ^2 ENTER De GR berekent nu de matrix A 2 6

7 11.0 Voorkennis Inverse matrix: Bij een vierkante matrix A kan precies één matrix B horen waarvoor geldt: A B = B A = I I = eenheidsmatrix (een matrix met enen op de diagonaal, alle andere elementen zijn nul. B = inverse matrix (of inverse) B = A -1 De oplossing van het stelsel x1 b1 x2 b2 A x 3 b 3 x b m m is gelijk aan x1 b1 x2 b2 1 x 3 A b 3 x b m m Voorwaarde is dat de inverse matrix A -1 van de coëfficiëntenmatrix A bestaat. 7

8 11.0 Voorkennis Voorbeeld: Gegeven is het stelsel 3x 4 y z 0 2x y z 5 4x 5y 3z 1 Los het stelsel op door gebruik te maken van een inverse matrix. Stap 1: Voer de volgende matrices in: A B

9 11.0 Voorkennis Stap 2: 2ND x -1 1: [A] ENTER x -1 Stap 3: 2ND x -1 1: [B] ENTER geeft als uitkomst Schrijf over wat er op het scherm van je GR staat. Let op: Met behulp van de inverse matrix kun je bij overgangsmatrices terug rekenen in de tijd. 9

10 11.0 Voorkennis Algemeen: Gegeven is het volgende stelsel van vergelijkingen: ax by c px qy r De coëfficiëntenmatrix van dit stelsel is: A= De term aq bp heet de determinant (det(a) of A ) van de matrix A. a p Dit stelsel heeft één oplossing als: en dus A 0 b q a p b q a b c p q r a b c p q r Dit stelsel heeft geen oplossingen als: en dus A = 0 Dit stelsel heeft oneindig veel oplossingen als: en dus A = 0 10

11 11.0 Voorkennis Ook voor andere vierkante matrices dan een 2 x 2 matrix valt een determinant te berekenen. De determinant van de matrix a a a A a a a a a a is gelijk aan A = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) Let op: De onderdeterminant van a 11 is de determinant van de a a a ondermatrix. Deze is gelijk aan: a 22 a 33 a 23 a 32 a De onderdeterminant van a 12 is gelijk aan a 21 a 33 a 23 a 31 De onderdeterminant van a 13 is gelijk aan a 21 a 32 a 22 a 31 11

12 11.2 Lineaire afbeeldingen [1] Voorbeeld: Het punt A(7, -4) wordt ten opzichte van de oorsprong over 45 geroteerd en vermenigvuldigd met 2. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 1: Pas de bovenstaande bewerkingen toe op de eenheidsvectoren om de beelden hiervan te vinden. Dit doe je alleen als deze beelden makkelijk te vinden zijn. Uit het plaatje volgt dat Verder volgt dat afgebeeld wordt als afgebeeld wordt als en Hieruit ontstaat de matrix M. 1 1 Met deze matrix zijn in dit geval lineaire afbeeldingen te bepalen. 12

13 11.2 Lineaire afbeeldingen [1] Voorbeeld: Het punt A(7, -4) wordt ten opzichte van de oorsprong over 45 geroteerd en vermenigvuldigd met 2. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 2: Bereken de coördinaten van het beeld A M a A' 13

14 11.2 Lineaire afbeeldingen [1] Voorbeeld: Het punt A(4, 0) wordt gespiegeld in de lijn k: y = 3x. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 1: In dit geval is het niet eenvoudig om de beelden van de eenheidsvectoren te vinden. De beelden van twee willekeurige punten of vectoren zijn wel eenvoudig te vinden. Het beeld van (1, 3) op de lijn is (1, 3). Het beeld van (3, -1) is (-3, 1). 14

15 11.2 Lineaire afbeeldingen [1] Voorbeeld: Het punt A(4, 0) wordt gespiegeld in de lijn k: y = 3x. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 2: Er moet nu gelden: a b 1 1 c d 3 3 en a b 3 3 c d 1 1 Hieruit volgen de vergelijkingen: a + 3b =1 en c + 3d = 3 3a b = -3 en 3c d = 1 Het oplossen van deze vergelijkingen geeft de a b matrix M. Zorg dat je een stelsel krijgt dat oplosbaar is. c d 15

16 11.2 Lineaire afbeeldingen [1] Voorbeeld: Het punt A(4, 0) wordt gespiegeld in de lijn k: y = 3x. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 2: a3b1 1 3a b 3 3 a3b1 9a 3b 9 10a 8 Hieruit volgt a = -0,8 en b = 0,6 16

17 11.2 Lineaire afbeeldingen [1] Voorbeeld: Het punt A(4, 0) wordt gespiegeld in de lijn k: y = 3x. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 2: c3d3 3 3cd1 1 3c9d9 3cd1 10d 8 Hieruit volgt d = 0,8 en c = 0,6 17

18 11.2 Lineaire afbeeldingen [1] Voorbeeld: Het punt A(4, 0) wordt gespiegeld in de lijn k: y = 3x. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 3: Bereken de coördinaten van het beeld A. 0,8 0,6 4 3,2 M a 0,6 0,8 0 2,4 A' 18

19 11.2 Lineaire afbeeldingen [2] Voorbeeld: Het punt A(10, 2, -5) wordt over 45 geroteerd om de z-as. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 1: Pas de bovenstaande bewerkingen toe op de eenheidsvectoren, en om de beelden hiervan te vinden wordt 1 1, wordt en wordt

20 11.2 Lineaire afbeeldingen [2] Voorbeeld: Het punt A(10, 2, -5) wordt over 45 geroteerd om de z-as. Bereken de coördinaten van het beeld A. Stap 1: Hieruit ontstaat de matrix M = Stap 2: Bereken het beeld van A : Ma

21 11.2 Lineaire afbeeldingen [3] Voorbeeld: Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T OABC met A(6, 0, 0), C(0, 6, 0) en T(3, 3, 5). Stel de matrix M op die het gegeven ruimtelijk assenstelsel afbeeldt op het Oxy-vlak Stap 1: Merk op dat het beeld van A(6, 0, 0) gelijk is aan A (-2, -2). Er moet nu gelden: M is nu van de vorm: 6 2 M a b c M d e f 21

22 11.2 Lineaire afbeeldingen [3] Voorbeeld: Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T OABC met A(6, 0, 0), C(0, 6, 0) en T(3, 3, 5). Stel de matrix M op die het gegeven ruimtelijk assenstelsel afbeeldt op het Oxy-vlak Stap 2: 6 a b c 6a 2 M A 0 d e f 6d 2 0 Oplossen hiervan geeft: a = -⅓ en d = -⅓. Stap 3: en 0 M 1 M Hieruit volgt: b = 1, e = 0, c = 0 en f = 1 en dus M

23 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] 8 9 Gegeven is de matrix M en de lijnen k: 2x 3y = 0 en l: x y = Het punt (3, 2) ligt op de lijn k: 2x 3y = M Merk op dat het beeld van het punt (3, 2) ook op de lijn k ligt. (Alles vectoren die op de lijn liggen worden vermenigvuldigd met 2) Het punt (1, 1) ligt op de lijn l: x y = M Merk op dat het beeld van het punt (-1, -1) ook op de lijn l ligt. (Alles vectoren die op de lijn liggen worden vermenigvuldigd met -1) De getallen 2 en -1 heten de eigenwaarden Willem-Jan van der (λ) Zanden van M. 23

24 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] De getallen 2 en -1 heten de eigenwaarden (λ) van M. Alle vectoren die op de lijn k liggen heten de eigenvectoren van M die horen bij de eigenwaarde 2. Alle vectoren die op de lijn l liggen heten de eigenvectoren van M die horen bij de eigenwaarde -1. Merk op dat bij elke waarde van λ oneindig veel eigenvectoren horen. In het algemeen geldt: a b x x a b x x 0 c d y y c d y y 0 a b x 0 c d y 0 Dit laatste wordt aangetoond in opgave

25 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] Omdat er bij elke waarde van λ oneindig veel eigenvectoren horen heeft het stelsel a b x 0 c d y 0 a oneindig veel oplossingen. Dit betekent dat de determinant van gelijk is aan 0. (Hoofdstuk 4) c d a b a b 0 c d c d 0 a b 1 0 a b I c d 0 1 c d De eigenwaarden van een matrix M volgen dus uit de vergelijking det(m λ I) = 0. Dit is de karakteristieke vergelijking van M. b 25

26 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] Voorbeeld 1: Bereken de eigenwaarden van de matrix Stap 1: Voer de matrix in, in de GR. 2ND X -1 EDIT ENTER Vul afmetingen Matrix in. Vul getallen in Matrix in A Stap 2: Voer de karakteristieke vergelijking in bij Y1= 26

27 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] Voorbeeld 1: Stap 2: 2ND X -1 MATH 1: det( ENTER 2ND X -1 NAMES 1: [A] 27

28 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] Voorbeeld 1: Stap 2: - X * 2ND X -1 MATH 5: identity( ENTER 3 )) 28

29 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] Voorbeeld 1: Stap 2: - X * 2ND X -1 MATH 5: identity( GRAPH geeft Stap 3: Oplossen van de karakteristieke vergelijking. Invoeren van Y2 = 0 en gebruik maken van de optie INTERSECT geeft de eigenwaarden λ = -1, λ =2 en λ = 3. 29

30 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] Voorbeeld 2: Bereken algebraïsch de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van de matrix M = Stap 1: Los op: det(m λ I) = 0 (-2 λ)(5 λ) 6 10 = λ - 5λ + λ 2 60 = 0 λ 2-3λ 70 = 0 (λ + 7)(λ - 10) = 0 λ = -7 λ = 10 De eigenwaarden zijn nu -7 en

31 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] Voorbeeld 2: Bereken algebraïsch de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van de matrix M = Stap 2: Bereken de eigenvectoren bij λ = x x y y 2x 10 y 7x 5x10 y0 Een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort is nu: v

32 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [1] Voorbeeld 2: Bereken algebraïsch de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van de matrix M = Stap 3: Bereken de eigenvectoren bij λ = x x y y 2x 10 y 10x 12x 10 y 0 Een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort is nu: v

33 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [2] Voorbeeld 1: Gegeven is de matrix M = Eerder zijn de eigenwaarden (λ 1 = -7 en λ 2 = 10) berekend met bijbehorende 2 5 eigenvectoren: v1 en v De matrix M kan geschreven worden in de vorm P D P -1 Met P = (Dit zijn de beide eigenvectoren) En D = (Dit is een diagonaalmatrix met de eigenwaarden op de diagonaal) 33

34 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [2] Voorbeeld 1: Gegeven is de matrix M = Eerder zijn de eigenwaarden (λ 1 = -7 en λ 2 = 10) berekend met bijbehorende 2 5 eigenvectoren: v1 en v Dit is het diagonaliseren van de matrix. Bij een 2 x 2 matrix mogen de bijbehorende eigenvectoren dus niet op dezelfde lijn liggen, want dan zal deze matrix niet diagonaliseerbaar zijn. Machten van een diagonaliseerbare matrix M zijn nu snel te berekenen met M n = P D n P Hierbij is D n een diagonaalmatrix met op de hoofddiagonaal de n e machten van de eigenwaarden van M. 34

35 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de matrix M = Bereken M n Stap 1: Bereken de eigenwaarden van de matrix M. det(m λ I) = 0 (-1 λ)(6 λ) 12-1 = λ - 6λ + λ = 0 λ 2-5λ + 6 = 0 (λ - 2)(λ - 3) = 0 λ = 2 λ = 3 35

36 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de matrix M = Bereken M n Stap 2: Bereken de eigenvectoren bij λ = x x y y x 12 y 2x 3x 12 y 0 Een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort is nu: v

37 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de matrix M = Bereken M n Stap 3: Bereken de eigenvectoren bij λ = x x y y x 12 y 3x 4x 12 y 0 Een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort is nu: v

38 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de matrix M = Bereken M n Stap 4: Bereken de gevraagde matrix. n n 1 M P D P M M M n n n n n n n n n n n n n n n n n 38

39 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren [2] Stelling van Cauchy-Binet: Voor de n x n matrix M met de eigenwaarden λ 1, λ 2,., λ n geldt det(m) = λ 1 λ 2 λ n Stelling van Cayley-Hamilton: Elke vierkante matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking. 39

40 Er geldt: 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [1] Voor een n x n matrix M geldt: Met I als n x n-eenheidsmatrix. Voor diagonaalmatrix Verder geldt: 2 3 x x x x e ! 2! 3! 2 3 e M I M M M... 1! 2! 3! 2 3 a a 0 D D D D e 0 D geldt: e I... b 0 b 1! 2! 3! 0 e 1 e 0 1 M PDP 1 e e P P n 0 e 40

41 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [1] Voorbeeld: Gegeven is de matrix. Bereken e M. Stap 1: Bereken de eigenwaarden van matrix M. det(m λ I) = 0 (-6 λ)(11 λ) 12-6 = λ - 11λ + λ = 0 λ 2-5λ + 6 = 0 (λ - 2)(λ - 3) = 0 λ = 2 λ = M

42 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [1] Voorbeeld: 6 12 M 6 11 Gegeven is de matrix. Bereken e M. Stap 2: Bereken de eigenvectoren bij λ = x x y y 6x 12 y 2x 8x 12 y 0 Een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort is nu: v

43 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [1] Voorbeeld: 6 12 M 6 11 Gegeven is de matrix. Bereken e M. Stap 3: Bereken de eigenvectoren bij λ = x x y y 6x 12 y 3x 9x 12 y 0 Een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort is nu: v

44 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [1] Voorbeeld: 6 12 M 6 11 Gegeven is de matrix. Bereken e M. Stap 4: Bereken de gevraagde matrix. 2 M D e e P e P 3 e e M M e 4e e 3e 9e 8e 12e 12e e 6e 8e 9e e

45 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [1] Voorbeeld: 6 12 M 6 11 Gegeven is de matrix. Bereken e M. Stap 4: Bereken de gevraagde matrix. 2 M D e e P e P 3 e e M M e 4e e 3e 9e 8e 12e 12e e 6e 8e 9e e

46 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [2] Voorbeeld: Gegeven is de differentievergelijking x n = 2x n-1 + 3x n-2 met x 0 = 1 en x 1 = 1. Stel de directe formule van x n op. Stap 1: Noteer de differentievergelijking met behulp van matrices: xn 2 3 xn1 x 1 0 x n1 n2 Het uitwerken van het bovenstaande geeft: x n = 2x n-1 + 3x n-2 x n-1 = x n-1 46

47 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [2] Voorbeeld: Gegeven is de differentievergelijking x n = 2x n-1 + 3x n-2 met x 0 = 1 en x 1 = 1. Stel de directe formule van x n op. Stap 2: Bereken de eigenwaarden van matrix M. det(m λ I) = 0 (2 λ)(0 λ) 1 3 = 0 0 2λ 0 + λ 2 3 = 0 λ 2 2λ 3 = 0 (λ + 1)(λ 3) = 0 λ = 1 λ = 3 47

48 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [2] Voorbeeld: Gegeven is de differentievergelijking x n = 2x n-1 + 3x n-2 met x 0 = 1 en x 1 = 1. Stel de directe formule van x n op. Stap 3: Bereken de eigenvectoren bij λ = x x y y 2x 3 y 3x x 3y 0 Een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort is nu: v

49 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [2] Voorbeeld: Gegeven is de differentievergelijking x n = 2x n-1 + 3x n-2 met x 0 = 1 en x 1 = 1. Stel de directe formule van x n op. Stap 4: Bereken de eigenvectoren bij λ = x x 1 0 y y 2x 3y x 3x3 y0 Een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort is nu: v

50 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen [2] Voorbeeld: Gegeven is de differentievergelijking x n = 2x n-1 + 3x n-2 met x 0 = 1 en x 1 = 1. Stel de directe formule van x n op. Stap 5: Er geldt nu: x x n n1 1 P D P n1 n1 x x n x n x0 x n1 n n1 4 xn ( 1) n n n n xn 3 ( 1) 1 3 ( 1) 1 1 n1 n1 4 x n1 3 ( 1) 4 n1 n1 1 3 ( 1) De gevraagde directe formule staat nu in de laatste regel. 50

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden 12.1 Grafen [1] Een spoorwegkaart is een voorbeeld van een graaf; Een graaf bestaat uit punten; De punten worden door wegen met elkaar verbonden; De plaats van de punten en de vorm van de wegen is van

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt). 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten Hoofdstuk 3 : Determinanten Paragraaf 3.2 : Determinanten (Les ) Definitie determinant aa bb De determinant van de [2 x 2]-matrix AA = is een getal met waarde cc dd det(a) = ad bc. aa bb Notatie : dddddd(aa)

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011 Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

6.0 Voorkennis [1] Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en u 1 = 1. Bereken de 12 de term van deze rij

6.0 Voorkennis [1] Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en u 1 = 1. Bereken de 12 de term van deze rij 6.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de getallenrij 1, 1, 2, 3, 5, 8, Dit is de rij van Fibonacci. Elke term is de som van de twee voorafgaande termen. Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 .0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

Uitwerking opgaven 17 december. Spoilers!!

Uitwerking opgaven 17 december. Spoilers!! Uitwerking opgaven 7 december Spoilers!! (duh... 8 januari 206 Inhoudsopgave Complex diagonaliseren matrix 2. Opgave................................................ 2.2 Oplossing...............................................

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

Overzicht. Eigenwaarden. Beurzen en afhankelijkheid. Eigenwaarden: Intro

Overzicht. Eigenwaarden. Beurzen en afhankelijkheid. Eigenwaarden: Intro Overzicht Eigenwaarden VU Numeriek Programmeren. Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, A april Waarom? Voorbeelden Eigenwaarden/eigenvectoren Hoe vind ik ze? Polynoom Powermethode Andere

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie. Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,

Nadere informatie

Uitwerkingen huiswerk week 6

Uitwerkingen huiswerk week 6 Lineaire algebra 2 najaar 2008 Uitwerkingen huiswerk week 6 Opgave( 21. ) a b Zij A = F 2 2. (i) Laat zien dat deta noodzakelijk van de vorm deta = ad bc is (door A op bovendriehoeksvorm te transformeren).

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Module 10 Lineaire Algebra

Module 10 Lineaire Algebra L Vak 57.5 Les 36. Module Lineaire Algebra Afbeeldingen (vervolg (b)) In deze les worden de eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire afbeeldingen behandeld. Inhoud van de leskern Basistransformatie *:;*

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

8.0 Voorkennis ,93 NIEUW

8.0 Voorkennis ,93 NIEUW 8.0 Voorkennis Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 Aantal 2012

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Voorwaardelijke optimalisatie

Voorwaardelijke optimalisatie Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg

Nadere informatie

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:

Nadere informatie

Lineaire algebra toegepast

Lineaire algebra toegepast Lineaire algebra toegepast voor wiskunde D ( 5 VWO) H. van Gendt R.A.C. Dames Versie 4, november 008 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 008 R.Dames en H. van Gendt Inhoudsopgave

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden

2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden 2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1. Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd

Nadere informatie