Lineaire Algebra voor ST

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Lineaire Algebra voor ST"

Transcriptie

1 Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG studiewijzer: Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 1 / 42

2 Inhoud 1 elementaire rij-operaties 2 Echelon vormen (trapvormen) 3 Gauss-eliminatie 4 Gauss-Jordan reductie 5 Homogene stelsels 6 De inverse 7 Het bepalen van de inverse van een matrix J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 2 / 42

3 Het stelsel x 3y = 7 2x + y = 7 kan compact worden weergegeven door de matrix [ of de gepartitioneerde matrix: [ Dit is de geaugmenteerde matrix van het stelsel. Zonder de rechterleden krijgen we de coëfficiëntenmatrix [ van het stelsel: Als A de coëfficiëntenmatrix is, en b de vector van rechterleden, dan kan de geaugmenteerde matrix geschreven worden als [A b J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 3 / 42

4 Lineair stelsel als matrixproduct Het stelsel a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kan geschreven worden als Ax = b voor A = [a ij de coëfficiëntenmatrix van het stelsel, x de n-vector en b de m-vector van rechterleden b 1 b 2. b m J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 4 / 42. x 1 x 2. x n

5 De drie soorten operaties op stelsels lineaire vergelijkingen corresponderen met elementaire rij-operaties op matrices Definitie 1. Verwissel twee rijen van de matrix 2. Vermenigvuldig een rij met een constante ongelijk aan nul 3. Tel een veelvoud van een rij bij een andere rij op Een matrix A heet rij-equivalent met een matrix B (notatie: A B ) als A overgaat in B na het toepassen van een eindige reeks elementaire rij-operaties NB: Als A en B geaugmenteerde matrices zijn van lineaire stelsels dan hebben de stelsels dezelfde oplossingsverzameling (de stelsels zijn equivalent). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 5 / 42

6 Een stelsel in rij echelon vorm (trapvorm) Als de matrix in trapvorm is, kan men de oplossing van het bijbehorende stelsel direct aflezen De oplossing volgt uit zogenaamde achterwaartse substitutie: x 3 = 1 x 2 = 2 x 3 = = 3 x 1 = 3 2x 2 2x 3 = = 1 Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in trapvorm waaruit de oplossing van het bijbehorende stelsel makkelijk kan worden afgelezen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 6 / 42

7 Trapvorm en gereduceerde trapvorm Definitie Een matrix is in rij echelon vorm (trapvorm) als aan de volgende voorwaarden voldaan is 1. Eventuele nulrijen staan allemaal onderin de matrix 2. Als een rij geen nulrij is, dan is het eerste niet-nul element van de rij een 1 (de leidende 1 van de rij). 3. In elke niet-nul rij staat de leidende 1 rechts van en onder leidende enen in voorgaande rijen. Een matrix is in gereduceerde rij echelon vorm (gereduceerde trapvorm) als bovendien nog aan de volgende voorwaarde voldaan is 4. Als in een kolom een leidende 1 staat, dan zijn alle andere elementen in die kolom gelijk aan 0. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 7 / 42

8 Voorbeeld en staan in trapvorm, maar niet in gereduceerde trapvorm, terwijl en in gereduceerde trapvorm staan. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 8 / 42

9 Stelling Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in rij-echelon vorm. Eliminatiemethode (Gauss-eliminatie) : Als A = O dan klaar. Anders: Stap 1. Vind de meest linkse kolom j die een niet-nul element bevat (de pivot kolom ) en kies een niet-nul element in deze kolom: de pivot of spil a ij Stap 2. Verwissel de rij van de pivot met de eerste rij: je krijgt matrix B met pivot b 1j J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 9 / 42

10 Stap 3. Deel de eerste rij van B door b 1j : je krijgt matrix C met pivot c 1j = Stap 4. Tel rij 1 een geschikt aantal malen bij de overige rijen op: je krijgt je een matrix D met d 1j = 1 en d hj = 0 voor alle h Stap 5. Laat de eerste rij van D weg en herhaal de procedure voor de matrix A 1 die je overhoudt J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 10 / 42

11 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 11 / 42

12 Stap 6. De matrix is nu in trapvorm. Om een gereduceerde trapvorm te krijgen (Gauss-Jordan reductie ), doen we het volgende: Vind de laatste niet-nul rij en tel deze een geschikt aantal maal op bij de rijen erboven om nullen te introduceren boven de leidende 1 van deze rij Ga nu één rij omhoog en herhaal, totdat alle kolommen met een leidende 1 erin schoongeveegd zijn J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 12 / 42

13 De Gauss-Jordan reductie methode geeft de volgende stelling: Stelling Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in gereduceerde rij-echelon vorm. NB: de matrix in gereduceerde trapvorm is uniek (geen bewijs). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 13 / 42

14 Gauss-eliminatie: achterwaartse substitutie Voor het oplossen van een lineair stelsel Ax = b met behulp van Gauss-eliminatie transformeren we de geaugmenteerde matrix [A b naar een rij-equivalente gepartitioneerde matrix [C d in trapvorm, en lossen we het equivalente stelsel Cx = d op door middel van achterwaartse substitutie : Voorbeeld [unieke oplossing [C d = x 3 = 3 x 2 = 2 x 3 = 2 3 = 1 x 1 = 9 2x 2 3x 3 = = 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 14 / 42

15 Voorbeeld [oneindig veel oplossingen [C d = x 5 = r x 4 = 9 2x 5 = 9 2r x 3 = 7 2x 4 = 7 2(9 x 5 ) 3x 5 = 11 + r x 2 = 7 2x 3 3x 4 + x 5 = 2 + 5r x 1 = 6 2x 2 3x 3 4x 4 5x 5 = 1 10r met r R NB: Kolommen zonder leidende 1 corresponderen met vrije variabelen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 15 / 42

16 Voorbeeld [geen oplossing [C d = laatste rij: 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 1 ofwel 0 = 1 NB: Als een stelsel inconsistent is dan ontstaat er bij Gauss-eliminatie altijd een rij van de vorm [ J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 16 / 42

17 Voorbeeld [nulrijen weglaten [C d = het bijbehorende stelsel is equivalent met het stelsel behorend bij [ dus oplossing: x 3 = r x 2 = 2 2r x 1 = 0 3x 2 = 6 + 6r met r R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 17 / 42

18 Voor het oplossen van een lineair stelsel Ax = b met behulp van Gauss-Jordan reductie transformeren we de geaugmenteerde matrix [A b naar een rij-equivalente gepartitioneerde matrix [C d in gereduceerde trapvorm, en lossen we het equivalente stelsel C x = d eenvoudig op (zonder achterwaartse substitutie): Voorbeeld [C d = x 1 = 5 x 2 = 6 x 3 = 7 x 4 = 8 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 18 / 42

19 Voorbeeld [C d = Druk variabelen corresponderend met leidende enen uit in de overige (vrije) variabelen: x 1 = 2 3 x 2 2x x 5 x 4 = x 5 Dus de algemene oplossing is van de vorm: x 1 = 2 3 r 2s t x 2 = r x 3 = s x 4 = t x 5 = t met r, s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 19 / 42

20 Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op: x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 5x x 4 15x 6 = 5 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x x 6 = 6 Breng de geaugmenteerde matrix in gereduceerde trapvorm met Gauss-Jordan reductie: J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 19 / 42

21 Oplossing: x 1 = 3r 4s 2t, x 2 = r, x 3 = 2s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 1 3, met r, s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 20 / 42

22 Homogene stelsels Definitie Een stelsel waarvan elke vergelijking rechterlid 0 heeft heet homogeen. Een homogeen stelsel is nooit strijdig, want x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0 is een oplossing. Deze oplossing heet de triviale oplossing van het homogene stelsel. Elke andere oplossing heet een niet-triviale oplossing van het homogene stelsel. Voorbeeld Het volgende homogene stelsel in de variabelen x en y heeft alleen de triviale oplossing. x + y = 0 x + 2y = 0 geeft [ [ dus x = 0 y = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 21 / 42

23 Voorbeeld x + 3y 2z = 0 4x 6y + z = 0 m = 2 < 3 = n. Dit homogene stelsel heeft niet-triviale oplossingen, want twee vlakken door de oorsprong hebben minstens een snijlijn gemeen. Stelling Laat Ax = 0 een homogeen stelsel zijn van m vergelijkingen in n onbekenden. Als m < n (er zijn meer variabelen dan vergelijkingen), dan heeft het stelsel een niet-triviale oplossing (zelfs oneindig veel). Bewijs: Trapvorm [B 0 van [A 0 heeft hoogstens m leidende enen, dus minstens n m > 0 vrije variabelen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 22 / 42

24 Voorbeeld in gereduceerde trapvorm gebracht: x 1 = s t x 2 = s x 3 = t x 4 = 0 x 5 = t, met s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 23 / 42

25 Verband inhomogeen en homogeen stelsel Als het stelsel Ax = b, met b 0 een consistent stelsel is, en x p is een oplossing, dan is voor elke oplossing x h van het bijbehorende homogene stelsel Ax = 0 ook x p + x h een oplossing van het inhomogene stelsel Ax = b. Bewijs: A(x p + x h ) = Ax p + Ax h = b + 0 = b Gevolg: een stelsel met meer onbekenden dan vergelijkingen is inconsistent of heeft oneindig veel oplossingen J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 24 / 42

26 Voorbeeld in gereduceerde trapvorm gebracht: x 1 = 3 s t x 2 = s x 3 = 2 t x 4 = 1 x 5 = t, met s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 25 / 42

27 Voorbeeld [vervolg x p = x h = s t s t 0 t = s t J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 26 / 42

28 Speciale matrices Een vierkante (n n) matrix A = [a ij heet een diagonaalmatrix als a ij = 0 voor alle i j. Een scalaire matrix is een diagonaalmatrix waarvoor de elementen op de hoofddiagonaal alle gelijk zijn. Een eenheidsmatrix is een scalaire matrix met enen op de hoofddiagonaal. De n n eenheidsmatrix wordt aangeduid met I n. Voorbeeld A = , B = , I 3 = A, B en I 3 zijn diagonaalmatrices, B en I 3 zijn scalaire matrices en I 3 is een eenheidsmatrix. NB: voor elke m n matrix A geldt dat AI n = A en I m A = A. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 27 / 42

29 Definitie Een vierkante n n matrix A heet inverteerbaar een n n matrix B bestaat zodanig dat of niet-singulier als er AB = BA = I n Zo n matrix B heet dan een inverse van A. Als A geen inverse heeft dan heet A niet inverteerbaar of singulier. Voorbeeld A = [ AB = BA = [, B = [ = I 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 28 / 42

30 Stelling Als een matrix een inverse heeft is deze uniek. Bewijs: stel B en C zijn inversen van A, dan AB = BA = I n en AC = CA = I n, dus B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C Definitie De inverse van A wordt aangeduid met A 1. Voorbeeld A = [ [, A 1 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 29 / 42

31 Stelling (a) Als A en B inverteerbaar zijn, dan is AB inverteerbaar en (AB) 1 = B 1 A 1 (b) Als A inverteerbaar is dan is A 1 inverteerbaar en (A 1 ) 1 = A (c) Als A inverteerbaar is dan is A T inverteerbaar en (A T ) 1 = (A 1 ) T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 30 / 42

32 Voorbeeld [ [ 3 5 A = heeft inverse A = [ [ 1 2 B = heeft inverse B = [ [ [ dus AB = = heeft inverse [ [ [ (AB) 1 = B 1 A = = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 31 / 42

33 Stelling Als A een inverteerbare (n n) matrix is, dan heeft voor elke n-vector b het lineaire stelsel Ax = b een unieke oplossing, namelijk x = A 1 b. Bewijs: x = A 1 b is een oplossing: Ax = A(A 1 b) = (AA 1 )b = I n b = b stel x is een (andere) oplossing, dan Ax = b dus A 1 (Ax) = A 1 b (A 1 A) x = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 32 / 42

34 Voorbeeld 3x 1 + 5x 2 = 4 x 1 + 2x 2 = 1 [ [ 3 5 Voor A = geldt A 1 = 1 2 dus de unieke oplossing van het stelsel Ax = b met [ 4 b = is [ x = A 1 b = [ 4 1 [ = 3 1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 33 / 42

35 Voor een inverteerbare matrix A gelden ook de volgende rekenregels: Stelling uit AB = AC volgt B = C uit AB = O volgt B = O. Als A en B n n matrices zijn zodat AB = I n, dan geldt ook BA = I n en dus B = A 1. Geen bewijs. NB: dus om aan te tonen dat B = A 1 is het voldoende te laten zien dat AB = I ofwel BA = I (een van beide niet nodig) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 34 / 42

36 Meerdere stelsels met dezelfde coëfficiëntenmatrix Probleem: los op Ax = b 1, Ax = b 2,..., Ax = b k Oplossing: pas Gauss-Jordan reductie toe op de gepartitioneerde matrix [A b 1 b 2 b k. NB: Als A vierkant is onstaat door Gauss-Jordan reductie uit A ofwel een matrix met een nulrij, ofwel de eenheidsmatrix I. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 35 / 42

37 Voorbeeld [ [ 8 x = 6 Gauss-Jordan toepassen op [ [ geeft [ 10 x = 20 [ [ 10 dus x = is de oplossing van het eerste stelsel, terwijl x = 9 de oplossing van het tweede stelsel is. [ 0 5 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 36 / 42

38 Voorbeeld Stel de inverse van [ 3 5 A = 1 2 [ a b is gelijk aan de matrix B = c d Omdat voor de inverse geldt [ [ 3 5 a b AB = 1 2 c d = [ = I 2 moeten a, b, c, d voldoen aan 3a + 5c = 1 a + 2c = 0 3b + 5d = 0 b + 2d = 1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 37 / 42

39 Voorbeeld [vervolg ofwel [ [ a c = [ 1 0 en [ [ b d = [ 0 1 Twee stelsels met dezelfde coëfficiëntenmatrix A. Gauss-Jordan reductie op de gepartitioneerde matrix [ = [A I geeft [ De inverse is dus [ [ a b B = = c d J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 38 / 42

40 Het bepalen van de inverse van een matrix Inverse C van een n n matrix A bepalen: los n stelsels op gegeven door AC = I n. Pas dus Gauss-Jordan reductie toe op de matrix [A e 1 e 2 e n = [A I n Stelling Laat A een n n matrix zijn. Als A inverteerbaar is, dan gaat na Gauss-Jordan reductie over in [A I n [I n A 1. Als A niet inverteerbaar is levert Gauss-Jordan op [A I n een nulrij links van de streep op (terwijl rechts minstens één niet-nul staat). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 39 / 42

41 Voorbeeld A = Dus A 1 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 40 / 42

42 Voorbeeld [Een singuliere matrix A = Een nulrij links betekent: A is niet rij-equivalent met I 3, dus niet inverteerbaar, ofwel singulier. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 41 / 42

43 Stelling Als A een vierkante (n n) matrix is, dan zijn de volgende beweringen equivalent (ofwel alle waar, ofwel alle onwaar): (a) A is inverteerbaar (niet-singulier) (b) Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing (c) A is rij-equivalent met I n (d) Ax = b heeft een unieke oplossing voor elke n-vector b. NB: alleen vierkante matrices kunnen inverteerbaar zijn! J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 42 / 42

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen. college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009

Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009 Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009 1 Algemeen 1.1 Docenten De cursus wordt gegeven door Judith Keijsper (Dr. J.C.M. Keijsper, HG 9.31, tel 5583, email J.C.M.Keijsper(AT)tue(DOT)nl).

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie

Nadere informatie

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1. Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Lineaire algebra toegepast

Lineaire algebra toegepast Lineaire algebra toegepast voor wiskunde D ( 5 VWO) H. van Gendt R.A.C. Dames Versie 4, november 008 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 008 R.Dames en H. van Gendt Inhoudsopgave

Nadere informatie

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk

Nadere informatie

Lineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016

Lineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016 Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

H5: onderzoek van functies. Symmetrie van een functie: even is een symmetrie rond de y-as of f is symmetrisch rond het middelpunt dan is f oneven.

H5: onderzoek van functies. Symmetrie van een functie: even is een symmetrie rond de y-as of f is symmetrisch rond het middelpunt dan is f oneven. Algemene eigenschappen H5: onderzoek van functies Symmetrie van een functie: even is een symmetrie rond de y-as of f is symmetrisch rond het middelpunt dan is f oneven. Coördinatietransformatie: x = αu

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Lineaire vergelijkingen II: Pivotering

Lineaire vergelijkingen II: Pivotering 1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009 Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec. LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) 1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Lineaire vergelijkingen. Introductie 13. Leerkern 14. Samenvatting 35

Lineaire vergelijkingen. Introductie 13. Leerkern 14. Samenvatting 35 Lineaire vergelijkingen Introductie 13 Leerkern 14 1.1 Twee-bij-twee-stelsels en lijnen in het vlak 14 1.2 Algemene stelsels vergelijkingen 21 1.2.1 De elementaire bewerkingen van de gausseliminatie 21

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie