Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Transcriptie

1 Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan /k

2 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen of onbekenden x 1,..., x n is van de vorm a 1 x a n x n = b a j is de coëfficiënt van x j b heet de constante van de vergelijking VOORBEELD: x 1 x 2 + 5x 3 = 7

3 Stelsel lineaire vergelijkingen 3/64 DEFINITIE: Een stelsel lineaire vergelijkingen in de variabelen x 1,..., x n is van de vorm a 11 x a 1n x n = b 1.. a i1 x a in x n = b i.. a m1 x a mn x n = b m a ij is de coëfficiënt van x j in de i-e vergelijking b i is de constante van de i-e vergelijking

4 Oplossing van stelsel vergelijkingen 4/64 DEFINITIE: Een oplossing van een stelsel is een toekenning van speciale waarden x 1 = s 1,..., x n = s n aan de onbekenden die aan de vergelijkingen voldoet. VOORBEELD: x 1 = 7, x 2 = 5, x 3 = 1 is een oplossing van x 1 x 2 + 5x 3 = 7

5 Stelsels lineaire vergelijkingen 5/64 DEFINITIE: Een stelsel heet homogeen indien b i = 0 voor alle i. DEFINITIE: Een oplossing heet triviaal indien de toekenning x i = 0 voor alle i een oplossing is. STELLING: Een stelsel is homogeen dan en slecht dan als het een triviale oplossing heeft.

6 Stelsels lineaire vergelijkingen 6/64 DEFINITIE: Twee stelsels lineaire vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a m1 x a mn x n = b m en /k c 11 x c 1n x n = d 1.. c l1 x c ln x n = d l in hetzelfde aantal variabelen heten equivalent indien ze precies dezelfde oplossingen hebben.

7 Stelsels lineaire vergelijkingen 7/64 VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 3x 1 + 4x 2 = 7 heeft x 1 = 1, x 2 = 1 als enige oplossing. 4x 1 + 6x 2 = 10 6x 1 + 8x 2 = 14 x 1 + x 2 = 2 heeft x 1 = 1, x 2 = 1 als enige oplossing. CONCLUSIE: beide stelsels zijn equivalent.

8 Consistent stelsel vergelijkingen 8/64 DEFINITIE: Een stelsel heet consistent als het een oplossing heeft. Een stelsel heet strijdig of inconsistent indien er geen oplossing is. VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 4 heeft geen oplossing, anders is 6 = 4.

9 Stelsels lineaire vergelijkingen 9/64 STELLING: Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft de volgende drie mogelijkheden: (a) geen oplossingen (strijdig=inconsistent) (b) precies één oplossing (consistent) (c) oneindig veel oplossingen (consistent) VOORBEELD: (a) twee evenwijdige lijnen (b) twee lijnen snijden in één punt (c) twee samenvallende lijnen

10 Afhankelijk stelsel vergelijkingen 10/64 DEFINITIE: Een stelsel heet afhankelijk indien een vergelijking het gevolg is van de overige vergelijkingen. VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 6

11 Elementaire rij operaties 11/64 STELLING: Twee stelsels zijn equivalent indien de een uit de ander verkregen kan worden door de volgende drie elementaire rij operaties: 1. verwisselen van rijen 2. een rij vermenigvuldigen met een getal ongelijk nul 3. een rij bij een andere rij optellen OPMERKING: De omkering zal ook blijken te gelden. /k

12 De uitgebreide matrix 12/64 Neem weer het voorbeeld: 1 x 1 + ( 1) x x 3 = 0 4 x x x 3 = 8 0 x x x 3 = 9 Laat de variabelen, plussen en gelijktekens weg Zet coëffieciënten en constanten in een uitgebreide matrix:

13 Vegen van een matrix 13/64 x 1 x 2 + x 3 = 0 4x 1 + 2x = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 2 + 4x 3 = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 3 = x 2 + 5x 3 =

14 Vegen van een matrix 14/64 x 1 x 2 + x 3 = x 3 = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 2 + 5x 3 = x 3 = 1 x 1 x = x = x 3 =

15 Vegen van een matrix 15/64 x 1 x = x = x 3 = 1 x 1 x = x = x 3 = 1 x = x = x 3 = 1 Dus x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 is de unieke oplossing

16 Vegen van een matrix 16/64 Voortaan wordt een stelsel lineaire vergelijkingen direct omgezet in de uitgebreide matrix en met deze matrix wordt geveegd. De vergelijkingen worden verder weggelaten

17 Elementaire rij operaties 17/64 STELLING: Twee stelsels zijn equivalent dan en slechts dan als de een uit de ander verkregen kan worden door de volgende drie elementaire rij operaties: 1. verwisselen van rijen 2. een rij vermenigvuldigen met een getal ongelijk nul 3. een rij bij een andere rij optellen OPMERKING: Dezelfde operaties kunnen ook op kolommen worden uitgevoerd maar dan zijn de vergelijkingen niet meer equivalent! /k

18 Gauss eliminatie en vegen van een matrix 18/64 Gauss eliminatie of vegen van een matrix het element 1 wordt een spil genoemd tel de eerste rij bij de tweede op trek de eerste rij van de derde af /k met een spil wordt de kolom schoon geveegd verwissel de tweede en derde rij

19 Vegen van een matrix 19/ De matrix is in echelon of trap vorm. vermenigvulig tweede rij met 1/2 vermenigvulig derde rij met 1/

20 Terugwaardse substitutie 20/64 /k Het bijbehorende stelsel is: x 1 + 3x 2 6x 3 = 9 x 2 x 3 = 1 x 3 = 2 Dus x 3 = 2. Terugwaardse substitutie in de tweede rij geeft x = 1, ofwel x 2 = 3. Terugwaardse substitutie in de eerste rij geeft x = 9, ofwel x 1 = 6.

21 Gauss-Jordan eliminatie 21/64 Gauss-Jordan eliminatie trek 3 maal de tweede rij af van de eerste het element 1 is nu de nieuwe spil het element 0 is al nul

22 Gauss-Jordan eliminatie 22/ tel 3 maal de derde rij bij de eerste op tel de derde rij bij de tweede op het element 1 is nu de nieuwe spil dit is de gereduceerde rij trap vorm ofwel de reduced row echelon form

23 Gereduceerde rij trap vorm 23/64 DEFINITIE: Een matrix is in row echelon form ofwel in rij trap vorm als geldt: alle nulrijen zitten onderaan de spillen vormen een trap in elke rij is het eerste element ongelijk 0 gelijk aan 1, dit is de kopterm of spil De matrix is in reduced row echelon form ofwel in gereduceerde rij trap vorm als bovendien geldt: in de kolom van een spil staan verder alleen nullen /k

24 Gereduceerde rij trap vorm 24/

25 Voorbeeld 25/ is in gereduceerde rij trap vorm is wel in rij trap vorm, maar is niet gereduceerd /k

26 Voorbeeld 26/ is niet in rij trap vorm

27 Elementaire operaties en rref 27/64 STELLING: 1) Iedere matrix A is door middel van de drie elementaire operaties over te brengen in een matrix in gereduceerde rij trap vorm (rref). Dit proces heet vegen. 2) Voor gegeven A is op heel veel verschillende manieren een matrix in rref te verkrijgen, maar het eindresultaat is uniek en wordt genoteerd door rref(a).

28 Matrix vergelijking 28/64 Het stelsel vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a m1 x a mn x n = b m wordt ook weergegeven door de matrix vergelijking AX = B: a a 1n x 1 b =. a m1... a mn x n b m

29 Uitgebreide matrix 29/64 De matrix vergelijking AX = B: a a 1n... a m1... a mn x 1. x n = wordt ook genoteerd door de uitgebreide matrix [A B] a a 1n b 1 [A B] =.... a m1... a mn b m b 1. b m

30 Voorbeeld 30/64 x 1 + 3x 2 6x 3 = 9 x 1 3x 2 + 4x 3 = 5 x 1 + 5x 2 8x 3 = x 1 x 2 x 3 = stelsel vergelijkingen matrix vergelijking uitgebreide matrix

31 Voorbeeld 31/ We hebben gezien dat door vegen bovenstaande matrix overgaat in Dus x 1 = 6, x 2 = 3 en x 3 = 2.

32 Equivalente stelsels vergelijkingen 32/64 STELLING: Beschouw de volgende stelsels lineaire vergelijkingen: AX = B en CX = D Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (in matrix notatie) 1) de stelsels hebben dezelfde oplossingen 2) de matrices [A B] en [C D] zijn rij equivalent 3) door elementaire rij operaties zijn ze in elkaar over te voeren 4) rref [A B] = rref [C D] met weglating van de nulrijen

33 Homogeen stelsel 33/64 Herinner: DEFINITIE: Een stelsel vergelijkingen AX = B heet homogeen als B = 0. VOORBEELD: Beschouw het stelsel vergelijkingen: met /k x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 = als uitgebreide matrix

34 Homogeen stelsel 34/64 Het vegen van deze matrix geeft verwissel eerste en tweede rij het element 1 is nu de nieuwe spil trek de eerste rij af van de tweede trek de eerste rij af van de derde het element 1 is nu de nieuwe spil trek de 2 maal de tweede rij af van de derde

35 Homogeen stelsel 35/ vermenigvuldig derde rij met -1 trek de derde rij af van de tweede het element 1 is nu de nieuwe spil de matrix is nu in rref

36 Vrije en gebonden variabelen 36/ de spillen corresponderen met de gebonden variabelen x 1, x 2, x 3 de vierde kolom correspondeert met de vrije variabele x 4 x 1 + x 4 = 0 x 2 x 4 = 0 x 3 + x 4 = 0 ofwel x 1 = x 4 x 2 = x 4 x 3 = x 4

37 Parameter voorstelling 37/64 X = x 1 x 2 x 3 x 4 = x 4 x 4 x 4 x 4 Parametervoorstelling van de oplossing: x 1 X = x 2 x 3 = r x 4 hierin is r een willekeurig te kiezen getal = r r r r /k

38 Homogeen stelsel 38/64 STELLING: 1) Een homogeen stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen heeft een oplossing, n.l. de nuloplossing. 2) Als bovendien m < n, dan is er een oplossing ongelijk aan 0. BEWIJS: Het aantal spillen van rref(a) is hoogstens m < n. Deze spillen corresponderen met gebonden variabelen. Er zijn dus minstens n m > 0 vrije variabelen. Er is dus een oplossing ongelijk aan 0.

39 Particuliere oplossing 39/64 DEFINITIE: Stel AX = B is een stelsel vergelijkingen. Dan heet AX = 0 het bijbehorende homogene stelsel. X p heet een particuliere oplossing als AX p = B. X h heet een homogene oplossing als AX h = 0.

40 Particuliere oplossing 40/64 STELLING: Stel X p is een gegeven particuliere oplossing van AX = B. Voor elke andere oplossing X is er een homogene oplossing X h zodanig dat BEWIJS: Stel AX = B, dan is /k X = X p + X h. A(X X p ) = AX AX p = B B = 0. Dus X h = X X p is een homogene oplossing, en X = X p + X h.

41 Equivalente beweringen 41/64 STELLING: Stel A is een n n matrix. Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (1) A is inverteerbaar. (2) AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing. (3) De gereduceerde rij trap vorm is de n n eenheidsmatrix. (4) rref(a) = I n.

42 Het vinden van A 1 42/64 OPMERKING: Stel A is een inverteerbare n n matrix. Dan is er een B zodanig dat AB = I n. Dus B is een oplossing van de matrix vergelijking AX = I n. Dus rref [A I n ] = [I n B]. CONCLUSIE: Door het vegen van [A I n ] in rref weten we of A inverteerbaar is en wat de inverse is.

43 Het vinden van A 1 43/64 VOORBEELD: Is de volgende matrix A = inverteerbaar? Zo ja, dan heeft de matrix vergelijking AX = I 3, ofwel heeft x 11 x 12 x x 21 x 22 x 23 = x 31 x 32 x een oplossing?

44 Het vinden van A 1 44/64 De bijbehorende uitgebreide matrix is [A I 3 ] = het element 1 is nu de nieuwe spil trek de eerste rij af van de tweede trek 5 maal de eerste rij af van de derde trek 3 maal de tweede rij af van de derde /k Dit geeft een strijdig stelsel De matrix heeft dus geen inverse

45 Het vinden van A 1 45/64 VOORBEELD: Is de volgende matrix A = [ ] inverteerbaar? Zo ja, dan heeft de matrix vergelijking AX = I 2 een oplossing De bijbehorende uitgebreide matrix is [A I 2 ] = [ ] 0 het element 1 is nu de nieuwe spil trek 3 maal de eerste rij af van de tweede [ ] vermenigvulidg de tweede rij met -1

46 Het vinden van A 1 46/64 [ ] [ het element 1 is nu de nieuwe spil trek 2 maal de tweede rij af van de eerste ] A 1 = dus A is inverteerbaar en [ ]

47 Inverse matrix en unieke oplossing 47/64 STELLING: Stel A is een inverteerbare n n matrix, en B = [b 1,..., b n ] T. Dan heeft het stelsel vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a n1 x a nn x n = b n de unieke oplossing X = [x 1,..., x n ] T met X = A 1 B.

48 Inverse matrix 48/64 BEWIJS: Het oplossen van het stelsel vergelijkingen is equivalent met het oplossen van de matrix vergelijking AX = B A 1 B is een oplossing, want A(A 1 B) = (AA 1 )B = I n B = B. De oplossing is uniek, want uit AX = B volgt X = I n X = (A 1 A)X = A 1 (AX) = A 1 B, want A is inverteerbaar. /k

49 Aantal oplossingen 49/64 STELLING: Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft de volgende drie mogelijkheden: (a) geen oplossingen (strijdig=inconsistent) (b) precies één oplossing (consistent) (c) oneindig veel oplossingen (consistent)

50 Aantal oplossingen 50/64 BEWIJS: Het stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen kan weergegeven worden door de matrix vergelijking AX = B. Stel er is meer dan één oplossing, zeg X 1 en X 2. Dan is AX 1 = B en AX 2 = B. Stel X 0 = X 1 X 2. Dan is AX 0 = A(X 1 X 2 ) = AX 1 AX 2 = B B = 0. Stel c is een willekeurig getal. Dan is A(X 1 + cx 0 ) = AX 1 + cax 0 = B + 0 = B. Dus er zijn oneindig veel oplossingen.

51 Equivalente beweringen 51/64 STELLING: Stel A is een n n matrix. Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (1) A is inverteerbaar. (2) AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing. (3) De gereduceerde rij trap vorm is de n n eenheidsmatrix. (4) rref(a) = I n. (5) AX = B heeft een oplossing voor elke B. (6) AX = B heeft precies één oplossing voor elke B.

52 Bovendriehoeksmatrix 52/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan is A een bovendriehoeksmatrix als alle elementen onder de diagonaal nul zijn. Dat wil zeggen a ij = 0 voor alle i > j. VOORBEELD: A =

53 Benedendriehoeksmatrix 53/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan is A een benedendriehoeksmatrix als alle elementen boven de diagonaal nul zijn. Dat wil zeggen a ij = 0 voor alle i < j. VOORBEELD: A =

54 Boven- en benedendriehoeksmatrix 54/64 EIGENSCHAP: A is een bovendriehoeksmatrix dan en slechts dan als A T is een benedendriehoeksmatrix.

55 Diagonaalmatrix 55/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan heet A een diagonaalmatrix als buiten de hoofddiagonaal van A alleen maar nullen staan. Dus A is een bovendriehoeksmatrix is en een benedendriehoeksmatrix.

56 product van driehoeksmatrices 56/64 EIGENSCHAP: Het product van bovendriehoeksmatrices is weer een bovendriehoeksmatrix. Evenzo geldt: Het product van benedendriehoeksmatrices is weer een benedendriehoeksmatrix.

57 Inverteerbare bovendriehoeksmatrix 57/64 EIGENSCHAP: Een boven- of benedendriehoeksmatrix is inverteerbaar dan en slechts dan als alle elementen op de hoofddiagonaal zijn ongelijk nul

58 Symmetrisch 58/64 DEFINITIE: Een matrix A heet symmetrisch als In het bijzonder is A dan vierkant. A T = A. VOORBEELD: A =

59 Symmetrisch 59/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is B = A + A T symmetrisch. Want B T = (A + A T ) T = A T + (A T ) T = A T + A = B.

60 Anti-symmetrisch 60/64 DEFINITIE: Een matrix A heet anti-symmetrisch of scheef-symmetrisch als In het bijzonder is A dan vierkant. A T = A. VOORBEELD: A =

61 Anti-symmetrisch 61/64 EIGENSCHAP: Op de diagonaal van een anti-symmetrische matrix staan alleen maar nullen. BEWIJS: Stel A is anti-symmetrisch. Dan is A T = A. a ii = a T ii = a ii Dus a ii = 0.

62 Anti-symmetrisch 62/64 VOORBEELD: De matrix A = is niet anti-symmetrisch en ook niet symmetrisch.

63 Anti-symmetrisch 63/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is C = A A T anti-symmetrisch. Want C T = (A A T ) T = A T (A T ) T = A T A = C.

64 symmetrisch + anti-symmetrisch 64/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is A te schrijven als som A = B + C met B symmetrische en C anti-symmetrisch. Deze schrijfwijze is uniek met: BEWIJS: /k B = 1 2 (A + A T ) en C = 1 2 (A A T ). 1 2 (A + A T ) (A A T ) = A Stel A = B + C met B symmetrische en C anti-symmetrisch. Dan is A T = (B + C) T = B T + C T = B C. Dus A + A T = 2B en A A T = 2C.