Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave

Transcriptie

1 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? 1

2 Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen Deel 1 Hoofdstuk 2 Pagina 17 Deze stof in het supplement is ter vervanging van de Gauss- en Gauss-Jordan-eliminatie Stelsels van vergelijkingen: eliminatie en substitutie Bij stelsels van vergelijkingen kan er bij n vergelijkingen en n onbekenden op verschillende manieren een oplossing worden gevonden, de twee belangrijkste zijn eliminatie en substitutie. Bij eliminatie stellen we de vergelijkingen zo op dat als we ze bij elkaar optellen of aftrekken er een variabele wegvalt. Bij substitutie vullen we één vergelijking bij de andere in, zodat we nog maar met 1 variabele werken. Neem het stelsel: Eliminatie 2x + y = 5 3x 5y = 12 Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 5 en de tweede met 1 en tel ze bij elkaar op: Vul deze x in één van de vergelijkingen in: Substitutie 10x + 5y = 25 3x 5y = 12 13x = 13 x = 1 2x + y = 5 2 ( 1) + y = y = 5 y = 3 Druk y uit in x: Vul deze y in in de andere vergelijking: 2x + y = 5 y = 2x 5 Vul deze x in de opgestelde vergelijking: 3x 5y = 12 3x 5( 2x 5) = 12 3x + 10x + 25 = 12 13x = 13 x = 1 y = 2x 5 y = 2 ( 1) 5 y = 3 Tentamen halen? 2

3 Inverse Matrix De identiteitsmatrix (of eenheidsmatrix) In van orde n is een n x n matrix waarin de elementen op de hoofddiagonaal de waarde 1 hebben en de overige elementen 0 zijn. De volgende eigenschappen gelden als A een n x n vierkante matrix is: Stel er is ook een n x n matrix zodat geldt: B A = I Dan is B de inverse matrix (kortweg de inverse) van A, weergegeven als Deze eigenschap kan ook gebruikt worden om te controleren of een matrix inderdaad de inverse is. Niet iedere vierkante matrix heeft overigens een inverse. Determinant 2 x 2 Voordat we de inverse van een matrix gaan berekenen introduceren we eerst de determinant van een 2 x 2 matrix. Voor een grotere matrix ga je anders te werk als voorbeeld gebruiken we hier de volgende 3 x 3 matrix A voor: Daar gebruiken we minors: determinant van de matrix als we een bepaalde rij en kolom weglaten. Tentamen halen? 3

4 Minor van a11 = (1)(3) (1)(2) = 3 2 = 1 Minor van a12 = (0)(3) (1)(2) = 0 2 = 2 Minor van a13 = (0)(2) (1)(2) = 0 2 = 2 De determinant is dan de som van het product van elk element in de rij en de daarbij behorende cofactor: A = (a11 c11) + (a12 c12) + (a13 c13) = (3)(1) + (1)(2) + (3)( 2) = = 1 Er zijn verschillende methoden om de inverse van een matrix te berekenen: hier gebruiken we de cofactor methode voor (met nog steeds het voorbeeld van de 3 x 3 matrix A) Aanpak 1. Bereken determinant A (bij A =0 is er geen inverse) 1. Bereken de cofactor van elk element. 2. Vervang elk element door de bijbehorende cofactor. 3. Transponeer deze matrix 4. Vermenigvuldig deze matrix met 1 : A Voorbeeld: We gebruiken weer de hiervoor gebruikte 3 x 3 matrix A. Tentamen halen? 4

5 Determinant A = (3)(1) + (1)(2) + (3)( 2) = = 1 De matrix van de cofactoren wordt dan: De getransponeerde matrix is dan: De inverse bereken je dan als volgt: Tentamen halen? 5

6 Stelsels van vergelijkingen: Matrices Stelsels van vergelijkingen kunnen herschreven worden met matrices. Dit maakt het makkelijker om oplossingen te vinden. Neem het volgende stelsel: Dit stelsel kan opgeschreven worden als: Dit rangschik je dan tot: 3x1 + x2 + 3x3 = 8000 x2 + x3 = x1 + 2x2 + 3x3 = 7000 A X = B Als we de inverse van A hebben kunnen we snel tot een antwoord komen: Tot zover alle theorie die je dus moet weten, je moet dus stelsel van vergelijkingen kunnen elimineren en substitueren, de inverse kunnen berekenen en stelsels van vergelijkingen kunnen uitrekenen met een matrix. Tentamen halen? 6

7 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen Deel 1 Hoofdstuk 2 Pagina Het stuk vanaf Gauss- en Gauss-Jordan-eliminatie zit niet in de stof voor het tentamen dit jaar. In plaats daarvan is er dit jaar een alternatieve methode die hierboven in het supplement bij missende stof is toegelicht. Tentamen halen? 7

8 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen Er zijn geen fouten bij ons gemeld over dit verslag. Heb jij (een aantal) foutjes gevonden? Vul dan het feedback formulier in aan het begin van het verslag, maak er een fotootje van en stuur het naar De meest kritische en onderbouwde feedback wordt beloond met leuke prijzen! Tentamen halen? 8