RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
|
|
- Christian Driessen
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 RSA F.A. Grootjen 8 maart Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven we ook a b. Voorbeeld: Soms willen we uitdrukken dat een getal geen deler is van een ander getal, bijvoorbeeld 6 is geen deler van 15. Dit noteren we als Als a en b gehele getallen zijn dan is een gemeenschappelijke deler van a en b een geheel getal e met e a en e b. Een geheel getal d noemen we grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van a en b als geldt: d is een gemeenschappelijke deler van a en b. als e een gemeenschappelijke deler is van a en b dan e d. (d is de grootste). Tenslotte noement we a en b relatief priem als ggd(a, b) = 1. Voorbeelden ggd(25, 35) = 5; ggd(25, 17) = 1; ggd( 16, 32) = 16. Merk op: er kan maar één gemeenschappelijke deler de grootste zijn. 2 Algoritme van Euclides Een manier om de ggd van twee getallen te vinden is beschreven door Euclides: Als a een deler is van b dan is a een gemeenschappelijke deler van b en a, en is natuurlijk ook de grootste gemeenschappelijke deler: want er is geen getal groter dan a die een deler is van a. Maar als a geen deler is van b, dan houden we door telkens de kleinste van de getallen a en b van de grootste af te trekken een getal over dat een deler is van de getallen ervoor. Het getal wat overblijft is de grootste gemeenschappelijke deler van b en a. We illustreren het algoritme met 78 en 32. We trekken 32 van 78 af en krijgen 46 en 32. We trekken 32 van 46 af en krijgen 14 en 32. Trek 14 van 32 af en we krijgen 14 en 18. Trek 14 van 18 af en we krijgen 4 en 14. Trek 4 van 14 af en we krijgen 10 en 4. Trek 4 van 10 af en we krijgen 6 en 4. Tenslotte trekken we 4 van 6 af en we krijgen 2 en 4. Nu is 2 4 dus ggd(78, 32) = 2. 1
2 Als we het algoritme wat compacter opschrijven krijgen we: 78 = = = = Het is nu makkelijk in te zien dat ggd(78, 32) = 2. Kijk van onder naar boven: 2 4 en dus 2 14, want 14 = Maar dan ook 2 32 want 32 = Tenslotte zien we dat 2 78 want 78 = Dus 2 is een gemeenschappelijke deler van 78 en 32. Dat hij ook de grootste is zien blijkt uit hetvolgende: als d een gemeenschappelijke deler is van 78 en 32 dan d 14 (kijk maar naar de eerste regel). Dus d is een deler van 32 en 14. Op dezelfde manier vind je dat d een deler is van 14 en 4 en tenslotte van 2. Als elke gemeenschappelijke deler van 78 en 32 een deler van 2 is dan is 2 de grootste. 2.1 Toepassing Een van de toepassingen van het algoritme van Euclides is de volgende bewering: Stelling 1 (Bezout) Als ggd(a, b) = d dan zijn er getallen x en y met d = ax + by. We illustreren de stelling aan de hand van een voorbeeld: Zoek x en y met 1876x + 365y = 1 Gebruik Euclides om de ggd te vinden: 1876 = = = = = Dus de ggd is 1. Schrijf nu de tabel anders op: 1 = = = = = Begin nu met de eerste regel (1 = 3 1 2) en vul voor de 2 de rechterkant van de tweede regel in: 1 = 3 1 (8 2 3) = We vullen nu voor de 3 de rechterkant van de derde regel in: 1 = (51 6 8) =
3 Achtereenvolgens vullen we 8 en 51 uit de vierde en vijfde regel in: 1 = ( ) = = ( ) = Dus x = 136 en y = Modulo rekenen Het is nu 16 uur. Hoe laat is het over 10 uur? Het juiste antwoord is 2 uur. Als je normaal zou rekenen zou het antwoord 26 uur zijn, maar daar trek je 24 uur vanaf. Deze vorm van rekenen heet klokrekenen of modulo rekenen (in dit geval modulo 24). Als je hier even over nadenkt dan zie je dat je eigenlijk equivalentie-klassen aan het maken bent: je vindt de antwoorden 2, 26, 50, 74,... allemaal hetzelfde oftewel equivalent. Zo zou je kunnen zeggen dat = 2. Natuurlijk schept zo n formule verwarring als je er niet bij vertelt dat je modulo rekent! Daarom schrijven we liever: = 2(mod 24). Dit laatste is hetzelfde als zeggen: Er is een k Z waarvoor = 2 + k 24. Laten we eens modulo 3 gaan rekenen. Je ziet al snel dat er 3 equivalentie klassen onstaan, namelijk de klasse van alle 3-vouden: {0, 3, 6, 9,...}, de klasse van alle 3-vouden plus 1: {1, 4, 7, 10,...} en tenslotte die van alle 3-vouden plus 2: {2, 5, 8, 11,...}. Laten we een makkelijker notatie invoeren om die klassen te beschrijven. Definitie 1 [a] p = {z Z z = a(mod p)}. Soms schrijven we [a] in plaats van [a] p als het duidelijk is welke p we bedoelen. Je kunt [a] p zien als de verzameling getallen die equivalent zijn met a modulo p. Voorbeeld [0] 3 = {0, 3, 6, 9,...} [8] 3 = {2, 5, 8, 11,...} Beschouw de equivalentie klasse [7] 3. We noemen het getal 7 een representant van de klasse. Merk op dat [7] 3 = [1] 3. Hieraan zie je dat een klasse meerdere representanten kan hebben. Meestal (net zoals we breuken vereenvoudigen) kiezen we de kleinst mogelijke positieve representant voor de klasse. 3.1 Rekenen met equivalentie klassen Stel we rekenen modulo m. We definieren Z m als de verzameling equivalentie klassen {[0], [1], [2],..., [m 1]}. Het is interessant om te kijken wat we met elementen van Z m kunnen doen. Laten we eens kijken naar de voor de hand liggende definitie van optellen en vermenigvuldigen: [a] m + [b] m = [a + b] m [a] m [b] m = [a b] m 3
4 Deze definities zeggen eigenlijk dat de som (respectivelijk product) van twee equivalentie klassen de klasse is van de som (product) van de representanten. Dat deze definities goed zijn is niet meteen duidelijk: we moeten wel laten zien dat het niet uitmaakt welke representanten we kiezen. Bijvoorbeeld: de definitie zegt dat [4] 5 + [3] 5 = [7 5 ]. Maar omdat [4] 5 hetzelfde is als [9] 5 moet ook gelden [9] 5 + [3] 5 = [7 5 ]. Het is eenvoudig te bewijzen dat deze definities goed zijn. 3.2 Eigenschappen van Z m Het is te bewijzen dat Z m allerlei mooie eigenschappen heeft. We zullen ze hier zonder bewijs noemen. De optelling in Z m gedraagt zich netjes. Er is een neutraal element voor de optelling (namelijk [0] m ), de optelling is associatief (a + b) + c = a + (b + c) en commutatief a + b = b + a en elk element heeft een tegengestelde. De vermenigvuldiging in Z m heeft een neutraal element voor de vermenigvuldiging (namelijk [1] m ), is associatief (a b) c = a (b c) en commutief a b = b a. Tenslotte is Z m distributief a (b + c) = a b + a c en (a + b) c = a c + b c. Een oplettende lezer is het misschien opgevallen dat er een eigenschap mist: het bestaan van een inverse voor de vermenigvuldiging. In het algemeen geldt die eigenschap ook niet: in Z m zijn er elementen (ongelijk aan [0] m ) die geen inverse hebben. Als m echter een priemgetal is, dan geldt de eigenschap wel. Vandaar dat we vaak modulo een priemgetal rekenen Voorbeeld We rekenen modulo 6. Hieronder staat de vermenigvuldigingstabel voor Z 6. [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [0] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [0] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [0] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [0] [5] [4] [3] [2] [1] Uit deze tabel is snel af te leiden (door te kijken waar in een rij [1] staat) dat naast [0], ook [2], [3] en [4] geen inverse hebben. In Z 7 heeft elk element ongelijk aan [0] een inverse. 3.3 Kleine stelling van Fermat Een beroemde en belangrijke stelling van de getal theorie is beschreven door Fermat in 1640 en geeft, naast andere, de mogelijkheid om de inverse van een element uit Z p te vinden, met p een priemgetal. Stelling 2 (Kleine stelling van Fermat) Als p een priemgetal is, en a een geheel getal niet deelbaar door p, dan a p 1 = 1(mod p). Een direct gevolg van deze stelling is: 4
5 Stelling 3 In Z p geldt: [a] 1 = [a p 2 ]. Hiermee kunnen we snel de inverse van een getal berekenen. Voorbeeld Bepaal [3] 1 7. De vraag is dus om te zoeken naar een getal x met [3] 7 [x] 7 = 1. Volgens Fermat moeten we dus x = 3 5 nemen. Vereenvoudigen geeft: En inderdaad [3] 7 [5] 7 = [15] 7 = [1] Machtsverheffen [3 5 ] 7 = [243] 7 = [5] 7 Bij het berekenen van een inverse moet je soms een getal tot een grote macht uitrekenen (modulo p). Voorbeeld Bereken 5 81 (mod 97). Je rekenmachine kan je hierbij niet meer helpen. Een truuk om dit toch met de hand te doen is de macht (81) te schrijven als som van tweemachten (in dit geval ). Deze tweemachten kan je vinden door 81 te schrijven als binair getal: Elke 1 staat hier voor een tweemacht. We concluderen nu: We maken nu een tabelletje: i 2 i [5 2i ] 0 1 [5] 1 2 [5] [5] = [25] 2 4 [25] [25] = [625] = [43] 3 8 [43] [43] = [6] 4 16 [6] [6] = [36] 5 32 [36] [36] = [1296] = [35] 6 64 [35] [35] = [1225] = [61] Met behulp van de tabel vinden we: 3.5 Euler [5 91 ] 97 = [ ] 97 = [ ] 97 [ ] 97 = [ ] 97 = [10980] 97 = [19] 97 De wiskundige Euler ( ) vond een algemenere variant op de kleine stelling van Fermat. Voordat we de stelling bespreken introduceren we eerst de zogenaamde Euler functie (φ). 5
6 Definitie 2 φ(n) = #{z Z ggd(z, n) = 1}. De Euler functie telt als het ware het aantal getallen dat relatief priem is met het meegegeven getal. Merk op dat als p een priemgetal, dan φ(p) = p 1. Voorbeeld φ(2) = 1, φ(6) = 2, φ(7) = 6, φ(30) = 8. Stelling 4 (Euler) Als ggd(a, n) = 1 dan a φ(n) = 1(mod n). We zullen deze stelling gebruiken om de werking van het RSA systeem te verklaren. Tot slot nog handig lemma: Lemma 1 Als ggd(a, b) = 1, dan φ(a b) = φ(a) φ(b). 4 RSA Het RSA cryptosysteem (Rivest, Shamir en Adleman) is een asymmetrisch systeem. Het gebruikt een publieke en een privé sleutel. Hieronder volgt een korte uitleg hoe het systeem werkt. 4.1 De sleutels Het systeem begint met twee (grote) verschillende priemgetallen. Zoals we straks zullen zien is veiligheid van het systeem afhankelijk van de lengte van de priemgetallen. We kiezen twee priemgetallen p en q en houden die geheim. We bepalen hun product n = p q. We zijn geïnteresseerd in berekeningen modulo n en daarom willen we φ(n) uitrekenen. Omdat p en q er groot zijn, en dus n nog groter, is het lastig (onmogelijk) om φ(n) met de botte bijl methode uit te rekenen. Gelukkig kennen we p en q, en omdat ggd(p, q) = 1 (ze zijn beide priem en verschillend) geldt φ(n) = φ(p q) = φ(p) φ(q) = (p 1)(q 1). Ook dit getal houden we geheim. We kiezen vervolgens een getal e dat relatief priem is met φ(n). Het paar < e, n > is onze publieke sleutel. Vervolgens berekenen we het getal d = [e] 1 φ(n). d is dus de inverse van e modulo φ(n). Het paar < d, n > is onze privé sleutel. We vernietigen vervolgens p, q en φ(n). 4.2 Het coderen en decoderen We zijn nu klaar om een boodschap te versturen. We gaan er even van uit dat de boodschap b een numeriek getal is met b < n. Voor het coderen van de boodschap is de publieke sleutel nodig: c = b e (mod n) De ontvanger (de zelf de privé sleutel heeft) kan het gecodeerde bericht weer decoderen door te berekenen: b = c d (mod n) 6
7 4.3 Hoe werkt het We laten zien dat gedecodeerde bericht (b ) gelijk is aan het oorspronkelijke bericht: b = c d (mod n) = (b e ) d (mod n) = b e d (mod n) Omdat e de inverse is van d modulo φ(n) geldt: e d = 1(mod φ(n)). Er is dus een k Z met e d = k φ(n) + 1. Dus: b = b e d (mod n) = b k φ(n)+1 (mod n) = b b k φ(n) (mod n) = b (b φ(n) ) k (mod n) Volgens Euler geldt b φ(n) = 1(mod n). Dus: Omdat b < n en b < n geldt dus b = b. 4.4 Voorbeeld b = b (b φ(n) ) k (mod n) = b 1 k (mod n) = b(mod n) Neem p = 47 en q = 71. Dus n = p q = φ(n) = (p 1) (q 1) = We nemen e = 79, duidelijk is dat ggd(79, 3220) = 1. Onze publieke sleutel is dus < 79, 3337 >. We berekenen d = [79] Dit kan met de kleine stelling van Fermat, maar we doen het nu met Euclides. We zoeken getal d met: d 79 = 1(mod 3220) d 79 = 1 + k 3220 d 79 k 3220 = 1 We gebruiken Euclides: 3220 = = = = We schrijven de tabel weer anders op: 1 = = = = Invullen geeft: 1 = 19 6 ( ) =
8 1 = ( ) = = ( ) = We zien dus d = Check: = = 1(mod 3220). Onze privé sleutel is dus < 1019, 3337 >. We versturen de boodschap 123. Hiervoor berekenen we [ ] We schrijven eerst 79 om in het binaire stelsel: Hierdoor zien we dat 79 = Tabelletje: i 2 i [123 2i ] 0 1 [123] 1 2 [123] [123] = [15129] = [1781] 2 4 [1781] [1781] = [ ] = [1811] 3 8 [1811] [1811] = [ ] = [2787] 4 16 [2787] [2787] = [ ] = [2170] 5 32 [2170] [2170] = [ ] = [393] 6 64 [393] [393] = [154449] = [947] En zo vinden we: [ ] = [947] [2787] [1811] [1781] [123] = [3059] [1849] [123] = [1433] Voor het decoderen berekenen we [ ] is binair , dus 1019 = Tabelletje: i 2 i [1433 2i ] 0 1 [1433] 1 2 [1433] [1433] = [ ] = [1234] 2 4 [1234] [1234] = [ ] = [1084] 3 8 [1084] [1084] = [ ] = [432] 4 16 [432] [432] = [186624] = [3089] 5 32 [3089] [3089] = [ ] = [1438] 6 64 [1438] [1438] = [ ] = [2241] [2241] [2241] = [ ] = [3233] [3233] [3233] = [ ] = [805] [805] [805] = [548025] = [647] En zo vinden we: [ ] = [647] [805] [3233] [2241] [1438] [3089] [432] [1234] [1433] = [263] [526] [435] [2505] [1433] = [1521] [1813] [1433] = [1211] [1433] = [123] 4.5 Veiligheid Het RSA crypto systeem staat of valt met de geheimhouding van de privé sleutel. Als het eenvoudig is om uit de publieke sleutel < e, n > de privé sleutel < d, n > te berekenen dan zijn we verloren. Het is onmogelijk om zonder φ(n) het getal d te berekenen (anders dan gokken). Verder is geen methode bekend om zonder p en q snel φ(n) te berekenen uit n. Blijft er nog over de mogelijkheid om p en q uit n af te leiden. Dit heet factoriseren (ontbinden in priemfactoren) en dit is tot op dit moment niet snel te doen. Als p en q maar voldoende groot zijn (zeg 512 bits) duurt het factoriseren met de hedendaagse technologie ongeveer een half miljoen MIPS jaar. 8
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieZwakke sleutels voor RSA
Zwakke sleutels voor RSA Benne de Weger, Mike Boldy en Hans Sterk 23 juni 2008 Zwakke sleutels voor RSA Benne de Weger, Mike Boldy en Hans Sterk 23 juni 2008 RSA: beroemd cryptosysteem Genoemd naar Rivest,
Nadere informatieHet RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -
Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieOpgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatieFACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 P. Stevenhagen Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In deze masterclass zullen we ons voornamelijk bezighouden
Nadere informatie1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Nadere informatieHoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd
Nadere informatieInleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieFACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE COMPUTERPRACTICUM UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 G.C.M. Ruitenburg Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In dit computer prakticum volgen
Nadere informatieKraak de Code. Koen Stulens
Kraak de Code Koen Stulens KRAAK DE CODE Koen Stulens k-stulens@ti.com CRYPTOGRAGIE STAMT VAN HET GRIEKS: CRYPTOS = GEHEIM, GRAFEIN = SCHRIJVEN. Sinds mensen met elkaar communiceren is er steeds nood geweest
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatie7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatiePG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieDefinitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieTweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege.
Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege. Kijk het huiswerk van je collega s na en schrijf de namen van de nakijkers linksboven en het totaalcijfer rechts onder de namen
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
Nadere informatieHoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieGehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatiePublic Key Cryptography. Wieb Bosma
Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie
Nadere informatieOpgaven Rekenen met Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Rekenen met Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieOpgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieVAKANTIEWERK WISKUNDE
A -> Hn 0 / 06 / 06 VAKANTIEWERK WISKUNDE NEEM UW MAP WISKUNDE!! Herhalingsoefening : Optellen in Q (60 ptn) gevallen : - voor twee rationale getallen met hetzelfde teken * behoud dit teken * maak de som
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatiepriemrecords? Jaap Top
priemrecords? Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 18-23 april 2013 (Collegecaroussel, Groningen) 1 priemrecords?! over priemgetallen 2, 3, 5, 7,..., 101,..., 2017,...... p priem: niet deelbaar door
Nadere informatieProfielwerkstuk Wiskunde 2005
Profielwerkstuk Wiskunde 2005 Sander Wildeman 6VWO profiel NT Begeleider: Cor Steffens Inhoudsopgave Voorwoord... 2 Introductie... 3 1. Geschiedenis... 4 1.1 De Caesar code... 4 1.2 De Vigenère code...
Nadere informatieWISKUNDE 1. Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO
WISKUNDE 1 Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO Wat moet je aanschaffen? Basisboek wiskunde tweede editie Jan van de Craats en Rob Bosch isbn:978-90-430-1673-5 Dit boek gebruikt men ook op de Hanze bij engineering.
Nadere informatieProbabilistische aspecten bij public-key crypto (i.h.b. RSA)
p. 1/21 Probabilistische aspecten bij public-key crypto (i.h.b. RSA) Herman te Riele, CWI Amsterdam Nationale Wiskunde Dagen Noordwijkerhout, 31 januari 2015 p. 2/21 verzicht Binair exponentiëren RSA Factorisatie-algoritmen
Nadere informatieDossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieAlgebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato
Algebra voor Informaticastudenten Getallen Jean Delville: de school van Plato Ernic Kamerich januari 2007 Inhoud 1 De gehele getallen..........................................................................
Nadere informatieAlgoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?
Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ
Nadere informatiePriemontbinding en ggd s
Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Drie manieren om een getal te schrijven
Hoofdstuk - Drie manieren om een getal te schrijven. Beginnen met een breuk Je kunt een breuk schrijven als decimaal getal en ook als percentage, kijk maar: = 0,5 = 50% 4 = 0,75 = 75% 5 = 0,4 = 40% Hoe
Nadere informatieWorteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
Nadere informatieCryptografie: de wetenschap van geheimen
Cryptografie: de wetenschap van geheimen Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl augustus 2018 Cryptografie als Informatiebeveiliging 1 beveiliging: doe iets tegen risico s informatie-risico s en eisen: informatie
Nadere informatieSecurity. Eerste tentamen
Security Eerste tentamen Het tentamen normale rekenmachine mag mee. Gastpresentaties Weetvragen Lees je eigen aantekeningen goed door. Malware Weetvragen Introductiecollege Weetvragen! Kijk naar de lijst
Nadere informatieUitwerking Puzzel 93-1, Doelloos
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieDe Chinese reststelling
De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 2 juni 2016
IMO-selectietoets I donderdag juni 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek. Zij H het voetpunt van de hoogtelijn vanuit C op AB. Veronderstel
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
Nadere informatiePriemgetallen en het RSA cryptosysteem
Priemgetallen en het RSA cryptosysteem Brecht Decuyper Industriële Wetenschappen TSO Tweede leerjaar derde graad De heer Danny Wouters Schooljaar 2013-2014 Priemgetallen en het RSA cryptosysteem Brecht
Nadere informatieOefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.
Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatieHeron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieOplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.
Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieCryptografie. 6 juni Voorstellen, programma-overzicht 2. 2 Inleiding: wat is cryptografie? 2
Cryptografie 6 juni 2008 Inhoudsopgave 1 Voorstellen, programma-overzicht 2 2 Inleiding: wat is cryptografie? 2 3 Schuifsysteem: E k (x) = x + k 4 3.1 Decryptiefunctie: terugrekenen..........................
Nadere informatieSpookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel
Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatieHoofdstuk 6 : DEELBAARHEID
1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk
Nadere informatieHoofdstuk 6 : DEELBAARHEID
1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 1.4.1 Basis Oefeningen Romeinse cijfers 1 Op deze zonnewijzer staan achtereenvolgens de getallen: I (= 1) II (= 2) III (= 3) IV (= 4) V (= 5) VI (= 6) VII (= 7) VIII
Nadere informatieTweede Toets Security 9 november 2016, , Educ-α.
Tweede Toets Security 9 november 2016, 8.30 10.30, Educ-α. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je
Nadere informatie??? Peter Stevenhagen. 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde
1 ??? Peter Stevenhagen 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 2 Wiskunde en cryptografie Peter Stevenhagen 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 3 Crypto is voor iedereen Peter Stevenhagen 7 augustus
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatie1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden
Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i
Nadere informatieUitwerkingen toets 9 juni 2012
Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is
Nadere informatieAlgoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens
Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd
Nadere informatieGETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65,
GETALTHEORIE 1 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, SAMENSTELLING: H. de Leuw - 1 - 1. NATUURLIJKE GETALLEN. Als kind hebben we allemaal leren tellen: 1,
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieFinaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade
NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal
Nadere informatieOP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl
OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieComplex multiplication constructions in genus 1 and 2
Complex multiplication constructions in genus 1 and 2 Peter Stevenhagen Universiteit Leiden AMS San Diego January 7, 2008 1 Cryptografie 2 Cryptografie cryptografie: kunst om geheimschrift te schrijven
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatiekun je op verschillende manieren opschrijven of uitspreken: XX Daarnaast kun je een breuk ook opschrijven als een decimaal getal.
. Breuken Je kunt breuken gebruiken om een verhouding weer te geven. Een breuk schrijf je als een streepje met een getal erboven (de teller) en een getal eronder (de noemer), bijvoorbeeld. De streep zelf
Nadere informatie2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :
HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende
Nadere informatie