1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

Transcriptie

1 Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i n h o c bussum 2011

2 Deze uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden horen bij Rekenen en wiskunde uitgelegd van Peter Ale en Martine van Schaik Uitgeverij Coutinho b.v. Alle rechten voorbehouden. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp, Voor het overnemen van (een) gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16h Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, Uitgeverij Coutinho Postbus AH Bussum info@coutinho.nl Noot van de uitgever Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright te achterhalen. Personen of instanties die aanspraak maken op bepaalde rechten, wordt vriendelijk verzocht contact op te nemen met de uitgever. ISBN NUR 123

3 Handig rekenen 1 Los de volgende opgaven uit het 24-spel op. Alle opgaven hebben als uitkomst x 3 = 21, 21-4 = 17, = 24 Of: 7 x 4 = 28, 28-7 = 21, = = 2, 5-2 = 3, 8 x 3 = 24 Of: (4 - (6-5)) x 8 = = 0, = 4, 4 x 6 = 24 Deze is snel op te lossen, hij is op de volgorde na namelijk gelijk aan de vorige. 7-3 = 4, 8-2 = 6, 6 x 4 = = 3, 3 x 6 = 18, = 24 7 x 4 = 28, 1 x 4 = 4, 28-4 = = 2, 2 x 8 = 16, = 24 Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 3/18

4 8-2 = 6, 6-2 = 4, 6 x 4 = 24 Bron flippo s: Smiths Chips 2 Bereken de opgaven en schrijf steeds op welke eigenschappen van de bewerkingen je gebruikt : 21 = 120 : 3 = 40 (groter of kleiner maken bij delen, namelijk verkleind met factor 7) = (compenseren/termen veranderen) 3 De helft van = = (distributieve of verdeeleigenschap) x 35 = 64 x 70 = 32 x 140 = 16 x 280 = 8 x 560 = 4 x 1120 = 2 x 2240 = 4480 (groter en kleiner maken bij vermenigvuldiging, namelijk met factor 2 (7 keer herhalen, dit mag ook in grotere stappen)) x = 20 x 128 = 2560 (distributieve of verdeeleigenschap) = = 156 (compenseren/termen veranderen) = = = 600 (compenseren/termen veranderen) of = = 600 (compenseren/termen veranderen) : 75 = 275 : 25 = 11 (groter of kleiner maken bij delen) = = 6200 (distributieve of verdeeleigenschap) : 13 = = 3002 (distributieve of verdeeleigenschap) x 25 = x 100 = 925 (groter en kleiner maken bij vermenigvuldiging) of 37 x 25 = (37 x 20) + (37 x 5) (distributieve of verdeeleigenschap) of 36 x = 9 x = 925 (distributieve of verdeeleigenschap en vervolgens groter en kleiner maken) 12 (40 12) + (13 40) = 25 x 40 = 1000 (distributieve of verdeeleigenschap) : 27 = (270 : 27) + (81 : 27) = 13 (distributieve of verdeeleigenschap) = = 178 (associatieve of schakeleigenschap) = = 945 (compenseren/termen veranderen) 16 4,00-0,62 = 3,38 (dit kan uit het hoofd, vanwege de context geld kun je je dit direct voorstellen) 17 22,25 + 8,45 + 7,75 = 30,- + 8,45 = 38,45 (associatieve of schakeleigenschap) = = 1856 (compenseren/termen veranderen) of = 1856 (compenseren/termen veranderen) ,25 = 24,- + 1,- = 25,- (distributieve of verdeeleigenschap) = 316 (dit kan in één keer) of 2 x x 8 = 316 (distributieve of verdeeleigenschap) = 20 x 24 = 480 (groter en kleiner maken bij vermenigvuldiging (kan ook met factor 4)) , 75 = 48 x 3 4 = 48 : 4 x 3 = 36 (associatieve of schakeleigenschap) of 12 x 3 = 36 (groter en kleiner maken bij vermenigvuldiging) : 5 = 350 : 10 = 35 (groter of kleiner maken bij delen) ,98 = 6 x 7,- - (6 x 0,02) = 42,- - 0,12 = 41,88 (distributieve of verdeeleigenschap) ,5 12,5 = 12 x 12,5 = 6 x 25 = 150 (eerst uitwerken en vervolgens groter en kleiner maken bij vermenigvuldiging) = = 100 (associatieve of schakeleigenschap) x 17 = = 289 (distributieve of verdeeleigenschap) of 20 x = 289 (distributieve of verdeeleigenschap) , ,03 = ,03 5, = = 2500 (commutatieve of wisseleigenschap) Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 4/18

5 29 0,125 x 2 x 8 = 1 x 2 = 2 (commutatieve of wisseleigenschap) x 7 x 8 = 100 x 7 = 700 (commutatieve of wisseleigenschap) x 12,5 = = 1100 (distributieve of verdeeleigenschap) of 11 x 100 = 1100 (groter en kleiner maken bij vermenigvuldiging) : 0,9 = 450 : 9 = 50 (groter of kleiner maken bij deling) ,- : 12,5 = 300,- : 25 = 12,- (groter of kleiner maken bij deling) 34 1,125 x 8 = = 9 (distributieve of verdeeleigenschap) 35 23, , , ,60 = (23, ,71) + (1882,4 + 18,6) = = 2101 (commutatieve of wisseleigenschap) , , ,76 = ,29 = 413,29 (associatieve of schakeleigenschap) , , ,76 = ,29 = 413,29 (associatieve of schakeleigenschap) Ook had je hier handig gebruik kunnen maken van de vorige som. Je zag namelijk dat het startgetal 40 meer bevatte, maar dat er later 40 minder bij werden gedaan ,144 : 12 = ,012 = 12,012 (distributieve of verdeeleigenschap) ,85 : 17 = (3400 : 17) + (51 : 17) + (0,85 : 17) = ,05 = 203,05 (distributieve of verdeeleigenschap) 40 9,95 x 40 = 10 x 40 (40 x 0,05) = = 398 (distributieve of verdeeleigenschap) 3 Welke eigenschappen gebruik je? Let op de volgorde van bewerkingen : 8 x 8-8 = Eerst vermenigvuldigen en delen: 8 : 8 x 8 = 8, dan optellen en aftrekken: 7 + (8 : 8 x 8) - 8 = = ,125 x 0,75 x 4 x 8 = Alleen vermenigvuldiging, volgorde maakt dus niet uit. Handig is natuurlijk om 0,125 x 8 x 0,75 x 4 te doen, oftewel 1 x 3 = x x 9 x 8 = Vermenigvuldigen gaat voor optellen, dus 19 x x 72 = 12 x 91 = = Alleen aftrekken, je kunt dus in één keer ( ) van 642 aftrekken: = 100. Dit is de verdeeleigenschap omgekeerd toegepast. Er wordt niet verdeeld, maar samengevoegd = Optellen en aftrekken gaan gelijk op. Je kunt dus in één keer 118 ( ) doen, dat is = : 4-3 = Delen gaat voor aftrekken en dus 24 : 4-3 = 6-3 = 3. 7 (18 + 9) : = Haakjes gaan altijd voor, vervolgens gaat delen en vermenigvuldigen voor aftrekken en optellen. Dus (18 + 9) : = 27 : = = (27 + 5) : (4 + 4) = Eerst binnen de haakjes oplossen en dan delen, dus 32 : 8 = 4. 9 (5 + 3)² = Eerst binnen haakjes oplossen, geeft 8 2 = 8 x 8 = ,9 + 9 : 9-9 = 9, = 1,9 Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 5/18

6 11 (24 : 6) x 2-6 = Eerst binnen haakjes oplossen, dus (24 : 6) x 2-6 = 4 x 2-6. Dan eerst vermenigvuldigen alvorens af te trekken: 8-6 = ² x 5² + 10² = Eerst machtsverheffen, dan vermenigvuldigen, dan optellen: 4 2 x ² = 16 x = = 500 of: 4² 5² + 10² = ² = = x (19-8) = Eerst binnen haakjes oplossen, dan vermenigvuldigen: 6 x (19-8) = 6 x 11 = x 49 x 4² = Eerst machtsverheffen, dan vermenigvuldigen, dan optellen: x 49 x 4² = x 49 x 16 = (commutatieve eigenschap) x 49 = = (5 + 2,3)² - (12-8 : 4)² = Eerst binnen haakjes oplossen, dan machtsverheffen, en dan aftrekken: 7,3 2 - (12-2) 2 = 7, = 53, = -46, : x 9 = Eerst vermenigvuldigen en delen, dan optellen en aftrekken: 9-9 : x 9 = = (( x 3 5 ) : 2 ) x (3 x (23 12)) = Eerst binnen de haakjes oplossen, van binnen naar buiten. Binnen de haakjes moet eerst de vermenigvuldiging opgelost worden, dus (( x 3 5 ) : 2 ) x (3 x (23-12)) = (( ) : 2) x (3 x (11)) = (6 : 2) x (3 x 11) = 3 x 33 = ((88 : 8) + 1) x ((72 x 2) : 12) = (11 + 1) x (144 : 12) = 12 x = : 3 x = Eerst vermenigvuldigen en delen geeft 12-9 : 3 x = 12-3 x = = = (45 : (5 + 5) + 9 x 2 : (18 : 3) + 3) + (2 x 3) = (45 : : 6 + 3) + 6 = 4, = 16, ² + 5 x 60 : 5-15 : 5 = Eerst machtsverheffen, dan vermenigvuldigen en delen en dan aftrekken levert : 5-15 : 5 = = : (21 : (39 : 13) + 1) x 2 : 7 = 56 : (21 : 3 + 1) x 2 : 7 = 56 : 8 x 2 : 7 = 7 x 2 : 7 = (56 : 8 x x 7-6) : 20 = (7 x ) : 20 = ( ) : 20 = x 2 x 3 x x 2 = = (2 + 3) x x 2 = 5 x = = ² : 4 x 2-5² + 3³ : 9 = 144 : 4 x : 9 = = = x 2 : 3 = 7-10 : 3 = = x 7 : 4-2 = ,5-2 = 17-12,5 = 4,5. 29 (7-5) x 2 : 3 = 2 x 2 : 3 = 4 : 3 = ( ) x 7 : 4-2 = 11 x 7 : 4-2 = 11 x 1,75-2 = 19,25-2 = 17,25. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 6/18

7 Wortels (Voor de liefhebbers: geen rekenmachine gebruiken.) 1 36 = 6, want 6 x 6 = > 11, want 11 x 11 = 121. We houden er dan nog 4 over. Met behulp van een tekening wordt al snel duidelijk dat we op zoek zijn naar een getal dat past binnen de volgende formule (22 +?) x? = x 11? x 11? x 11? x? Na enig proberen blijkt dat 0,2 een redelijke schatting is. Een aardige benadering is dus 11,2! 3 6, 25 > 2 want 2 x 2 = 4. Met behulp van een tekening wordt al snel duidelijk dat we op zoek zijn naar een getal dat past binnen de volgende vergelijking: (4 +?) x? = 2,25. Na enig proberen levert dat 0,5. Het precieze antwoord is dus 2,5. 2 x 2? x 2? x 2? x? > 11, omdat 11 x 11 = 121. Volgens hetzelfde principe als hiervoor wordt er gezocht naar een getal dat past binnen de volgende formule: (22 +?) x? = 7. Al snel blijkt dat 0,3 dicht in de buurt komt. Een goede schatting is dus 11, , 00 = 11,3 1 x 1 = x 1 = x 3 = (eventueel kun je nog verder achter de komma) Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 7/18

8 = 558 (eventueel kun je verder achter de komma) = x 5 = x 5 = x 8 = Op dezelfde manier: 6 36, 4536 = 6, = 120, , 234 = 21,4 9 2 = 1,41 Negatieve getallen Maak de opgaven en zoek naar regelmaat = = = x 2 = x 3 = x 2-3 = = -1-3 = x (-9 x 2) = x (-18) = = x -7 = : -3 = : -4 = : 4 = x x (-10 : -5) = x (2) = = = -38. Machten = 3 x 3 x 3 x 3 = = 2 x 2 x 2 x 2 = = 10 x 10 x 10 = (-2) 3 = -2 x -2 x -2 = -8 5 (-2) 4 = -2 x -2 x -2 x -2 = = 2 4 x -1 = x 10 3 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10 5 = : = = 1 10 = 10-1 = 0, x 3 4 = 3 9 = : 3 4 = 3 3 (zie opgave 8) = : 2 5 = 2 6 = 64 Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 8/18

9 12 (5 3 ) 5 = 5 15, omdat (5 x 5 x 5) 5 = (5 5 ) 3 = (x 9 ) 4 = x (9 5 ) 2 = (p 6 ) 7 = p (q 6 ) 10 = q p 30 x p 3 = p a x a 9 = a p 13 : p 3 = p a 19 : a 8 = a p 5 : p 3 = p ,589 x 10-2 = 0, ,634 x 10-5 = 0, ,687 x 10-3 = 0, Deelbaarheid en priemgetallen 1 Ontbind in priemfactoren: 140 = 2 2 x 5 x = 2 x 5 x 7 x = 2 x 3 2 x Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 9/18

10 = 3 x 5 x = 2 x 3 3 x 5 x 7 x Wat is de GGD van 18 en 24? Gemeenschappelijke delers zijn 2 en 3. De grootste gemene deler (GGD) is 2 x 3 = 6. 3 Wat is de GGD van en 1020? Gemeenschappelijke delers zijn 2, 3, 5 en 17. De GGD is 2 x 3 x 5 x 17 = 510. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 10/18

11 4 Wat is het KGV van 18 en 24? Het kleinste gemene veelvoud van 18 en 24 vind je door alle factoren (met de hoogste exponent waarin zij voorkomen) te vermenigvuldigen. Dus 3 2 x 2 3 = 8 x 9 = Wat is het KGV van 124 en 279? Het kleinste gemene veelvoud van 124 en 279 vind je door alle factoren (met de hoogste exponent waarin zij voorkomen) te vermenigvuldigen. Dus 2 2 x 3 2 x 31 = 4 x 9 x 31 = 36 x 31 = Dit betekent: 1116 is het kleinste getal dat zowel deelbaar is door 124 als door Door welke getallen is deelbaar? Dit getal is deelbaar door: 2, immers, het is een even getal; 3, immers, = 18 en 18 is deelbaar door 3; 4, immers, 40 is deelbaar door 4; 5, immers, het getal is een tienvoud; 6, immers, het is deelbaar door 2 en 3; 7, immers, x 0 = en dat is deelbaar door 7; 8, immers, 640 is deelbaar door 8; 9, immers, = 18 en 18 is deelbaar door 9; 10, immers, het getal eindigt op een 0. Uiteraard is het getal ook deelbaar door allerlei veelvouden van deze delers. Het getal is dus een heel bijzonder getal! 7 Een getal is deelbaar door 4, door 5 en door 7, en het ligt tussen 251 en 291. Welk getal is dit? Je kunt dit getal heel snel vinden, omdat 4 x 5 x 7 = 140. Wanneer je dit maal 2 doet, heb je al 280, dat tussen 251 en 291 ligt. Wanneer je dit maal 3 doet krijg je een veel te groot getal, boven 291. Zelfs 2,5 x 140 blijkt al te groot. Het antwoord moet dus wel 280 zijn. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 11/18

12 8 Wat is het eerste priemgetal boven de 1000? Daar is geen regel voor, dus je moet proberen. Je gaat alle oneven getallen boven de 1000 af, waarbij je de getallen die op een 5 eindigen natuurlijk overslaat: 1001 is deel baar door 13; 1003 is deelbaar door 17; 1007 is deelbaar door 19. Er lijkt wel een regelmaat te ontstaan is niet deelbaar door de priemgetallen tot en met 31. Dan moet 1009 een priemgetal zijn, want als het deelbaar was door een groter priemgetal dan 31, zou er ook een priemdeler moeten zijn die kleiner is dan Ga van de volgende getallen na door welke getallen onder de 10 zij deelbaar zijn: 348 deelbaar door: 2, 3, 4, deelbaar door: 2, 3, 4, 6, deelbaar door: 2, 3, deelbaar door: deelbaar door: 2, 4, deelbaar door: 2, 4, deelbaar door: 2, 4, deelbaar door: 2, 4, 8 59 priemgetal 83 priemgetal 113 priemgetal 257 priemgetal a Wat is de overeenkomst tussen de getallen uit de eerste rij? Zijn alle deelbaar door 3. Wanneer de getallen ook deelbaar zijn door 2, zijn ze ook direct deelbaar door 6. b Wat is de relatie tussen getallen die deelbaar zijn door 3 en 6? Dat wanneer ze, naast door 3 ook deelbaar zijn door 2, ze automatisch deelbaar zijn door 6. c Wat is de overeenkomst tussen de getallen in de tweede rij? Zijn alle deelbaar door 2, 4 en 8. d Wat is de relatie tussen getallen die deelbaar zijn door 4 en 8? Als een getal deelbaar is door 8 is het ook deelbaar door 2 en 4. Omgekeerd geldt dat niet. Als een getal deelbaar is door 2 en 4 is het niet per definitie deelbaar door 8. Voorbeeld: 36 is deelbaar door 2 en 4 maar niet door Welk priemgetal ligt tussen 830 en 850? Het enige priemgetal tussen de 830 en 850 is 839. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 12/18

13 Cijferen = = is (inverse eigenschap) = = x 123 = = x 567 = ,3 x 2,56 = 31, ,06 : 2,04 = (Geef het antwoord zo precies mogelijk.) 45,06 : 2,04 = 22 rest 0,18. Deze 0,18 moet nog verder gedeeld worden door 2,04 en is dus: 0,18 2,04 = Op zoek naar de grootste gemene deler: De GGD blijkt dus 2 x 3 = 6 te zijn. 3. Het precieze antwoord is dus = : 127 = , ,99 = ,36 11 Waar in het antwoord moet de komma geplaatst worden? , , = , ,762-0,0762 = 0, ,5 : = (Antwoord in decimaal getal.) 3,5 : 1,4 = 35 : 14 = 2, : 21 = ,84 : 2,4 = 1059,1 16 Welk getal moet op de plaats van de puntjes staan? : 23 = 16 rest 7. Dit getal vind je door 16 x te doen: ,86 : 29 = 5,34 Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 13/18

14 18 4,688 : 5,1 = (Geef het antwoord zo precies mogelijk.) 4,688 5,1 = Op zoek naar de grootste gemene deler: De GGD blijkt dus 2 x 2 = 4 en dus is het precieze antwoord Welk getal moet op de plaats van de puntjes staan? : 8 = 7 rest 3. Dit getal vind je door 7 x te doen: = ,68 x 90,7 = 6864,176 Naast de hele getallen vermenigvuldig je hier honderdsten met tienden. 10 x 100 = 1000, je moet hier dus drie cijfers achter de komma hebben x 404 = Waar moeten de komma s geplaatst worden? x = Je weet dat een getal alleen maar met nul kan beginnen als er een komma achter staat. Dit betekent dus dat ,2045 moet zijn. Dit wetende ga je vermenigvuldigen. En dan kom je erachter dat er een komma moet komen in het antwoord, namelijk na de 6 (8396,77). 24 Welk getal moet op de plaats van de puntjes staan? - 718,1 = 5299 = ,1 = 6017, : = 502 = : 502 = : 124 = (Antwoord op drie manieren.) Manier 1: dat is 98 rest 31. Manier 2: we realiseren ons maar al te goed dat de rest nog verder gedeeld kan worden, namelijk door 124. Dit levert de breuk op. Dit moet je vereenvoudigen tot 1 4. Manier 3: we geven het antwoord in decimalen. Dat is 98,25. Faculteit Bereken de volgende opgaven. Schrijf ook de volledige opgave uit. 1 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = ! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = (Bedenk dat dit ook 24 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 is.) 3 11! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = (Bedenk dat dit ook x 10 x 11 is.) 4 9! - 4! = = ! - 9! = (11 x 10) x 9! - 1 x 9! = 110 x 9! - 1 x 9! = 109 x 9! = 109 x = Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 14/18

15 Combinatoriek 1 De nummerborden van auto s in een vreemd land bestaan uit drie cijfers, twee letters en één cijfer. Bereken hoeveel verschillende nummerborden er dan gemaakt kunnen worden. Wanneer alle cijfers gebruikt mogen worden en er ook best drie dezelfde cijfers mogen zijn, is er op de eerste plaats de keuze uit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, en 9 (10 cijfers dus). Deze mogelijkheid is er op de tweede plek ook, evenals op de derde. Vervolgens is er de keuze uit 26 letters voor de vierde plek en 26 letters voor de vijfde plek en nog eens 10 mogelijkheden voor de laatste plaats. Dit geeft de som: 10 x 10 x 10 x 26 x 26 x 10 = 10 4 x 26 2 = mogelijkheden. 2 Een postcode bestaat uit vier cijfers en twee letters. Het eerste cijfer mag geen 0 zijn. Bereken hoeveel verschillende postcodes mogelijk zijn. Voor de eerste plek zijn er dus maar 9 in plaats van 10 mogelijkheden. Vervolgens zijn er wel weer 10 mogelijkheden voor de 3 overige cijfers, en 26 voor de plaatsen waar een letter komt te staan. Dit geeft: 9 x 10 3 x 26 2 = verschillende postcodes. Een vervolgactiviteit kan zijn om te onderzoeken welke lettercombinaties in postcodes niet zijn toegestaan. Op welke manier moet de formule dan worden aangepast? 3 Hoeveel verschillende vlaggen kunnen er gemaakt worden met vijf kleuren en vijf stroken? Wanneer niet alle kleuren verschillend hoeven te zijn, en een vlag zelfs vijf stroken van dezelfde kleur mag hebben, zijn er op elke plek 5 mogelijkheden. Dus 5 5 = Als de kleuren wel allemaal verschillend moeten zijn dan zijn er 5! mogelijkheden. 4 Hoe groot is de kans dat ik met een dobbelsteen in één keer 3 gooi? 1 6, oftewel %. 5 Hoe groot is de kans dat ik bij twee keer gooien precies twee keer 6 gooi? De eerste keer is de kans 1 6, de tweede keer is de kans weer 1 6 en dus is de kans 1 6 x 1 6 = ,78%. Schrijf eventueel maar uit wat de combinaties zijn die je allemaal kunt gooien. 6 Wanneer ik met twee dobbelstenen twee keer gooi, is mijn kans nu ook twee keer zo groot dat ik twee keer 6 gooi? Nee, je kans wordt niet twee keer zo groot, maar natuurlijk wel groter dan wanneer je slechts met één dobbelsteen twee keer gooit. Met vier dobbelstenen zijn er 6 4 = 1296 combinaties mogelijk. Daarvan bevatten 36 combinaties twee zessen (1 x 1 x 6 x 6). Zes combinaties bevatten drie zessen (1 x 1 x 1 x 6) en één combinatie bevat vier zessen ( 1 4 ). Er zijn dus in totaal 43 combinaties die in elk geval twee zessen bevatten. Je kans om met viermaal gooien minimaal tweemaal 6 te gooien is dus 43 : ,32%. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 15/18

16 Rijen 2, 4, 6, 8, 10, 1, 3, 6, 10, 15, 6, 3, 1 1 2, 3 4, Wat is van de bovenstaande rijen de zevende term? En de zeventiende? 2, 4, 6, 8, 10, Wat opvalt, is dat er elke keer + 2 wordt gedaan om de volgende term te verkrijgen. De zevende term is dus de zesde term plus 2. Term 6 is weer term en ga zo maar door. Tot de eerste term, deze is in ons geval 2. De n-de term is dus 2 + (n-1) x 2. De zevende term is dus x 2 = 14. De zeventiende term is dus x 2 = 34. Deze rij was vanwege zijn eerste term ook op te lossen via 7 x 2 en 17 x 2. 1, 3, 6, 10, 15, Wat opvalt, is dat er elke keer 1 meer bij wordt gedaan. Term 1 = 1, Term 2 = term 1 + 2, Term 3 = term 2 + 3, Term 4 = term 3 + 4, enzovoort. Dit komt overeen met de driehoeksgetallen! Van term 7 weten we dus dat dit term is. Term 6 = term = = 21 en term 7 is dus 28 (= ). Driehoeksgetal 17 = = 153 (bedenk dat dit 18 x 8,5 is). Dit komt ook overeen met 0,5 x n (n+1). 6, 3, 1 1 2, 3 4, Wat opvalt, is dat er elke keer : 2 wordt gedaan, vanaf de eerste term, 6. Term 2 = 6 : 2, Term 3 = 6 : (2 x 2), Term 4 = 6 : (2 x 2 x 2), enzovoort. Term 7 = 6 : 2 6 = 3 32 en term 17 = 6 : = Term n is dus 6 : (2 n-1 ). Rekenmachine 1 Zijn deze opgaven goed? Controleer met je rekenmachine. a 355 x 187 = Nee, wanneer je 355 x 187 doet, komt er uit. Dat is 187 minder dan , kennelijk heeft deze persoon per ongeluk 355 in plaats van 356 getypt (of op zijn rekenmachine 356 in plaats van 355 ingedrukt). Als het alleen om goed/fout gaat, had je het meteen kunnen zien: het antwoord moet eindigen op een 5 en dat is niet zo. b 4596 : 7 = 655 rest 11 Wanneer je dit intypt op je rekenmachine kom je uit op 656, Nu weet je dus nog niet helemaal zeker of het antwoord klopt. Wanneer je hier 656 vanaf trekt en het restant maal 7 doet kom je op een rest van 4 uit. Het officiële antwoord met rest zou dus 656 rest 4 moeten zijn. Het antwoord is dus fout, want de rest mag nooit groter zijn dan de deler (dat had je ook direct kunnen zien). Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 16/18

17 c Twee opeenvolgende getallen uit de telrij zijn bijvoorbeeld 16 en x 17 = 272. Zoek twee opeenvolgende getallen uit de telrij waarvan het product zo dicht mogelijk bij 1500 ligt. Je weet dat 4 x 4 = 16, dus 40 x 41 zou in de buurt van 1600 moeten liggen (= namelijk 1 x 40 meer, 1640). Je moet 1500 hebben, dus je weet dat de gezochte opeenvolgende getallen in elk geval onder de 40 liggen en er niet zo heel ver vandaan. Na een beetje proberen kom je er al snel achter dat 39 x 40 = 1560 en 38 x 39 = Het laatste antwoord ligt natuurlijk dichter bij 1500 en is daarom het juiste antwoord. 2 Vul de goede getallen in. Gebruik je rekenmachine. a 92 x 7 =6 6 Je weet dat er in elk geval 92 x 70 of meer gedaan moet worden. 92 x 70 = Verder is bekend dat het uiteindelijke antwoord op een 6 eindigt. Je moet dus een getal tussen de 0 en de 9 kiezen dat x 92 een zes als laatste cijfer geeft. Dit zijn 3 en 8, namelijk 276 en 736. Echter zou 92 x 78 uitkomen op 7176 en dat past niet binnen de gestelde getallen. De juiste som is dus: 92 x 73 = b 63 x 4 = Je weet dat achter het eerste blokje enkel een 3 of een 8 kan staan, omdat het antwoord op een 2 eindigt. Verder kun je nagaan dat het tweede blokje een behoorlijk hoog getal moet zijn. 633 x 14 = 8862 en komt niet eens in de buurt van Wanneer je de hoogste mogelijkheid probeert, 633 x 94, kom je zelfs maar tot en heb je nog steeds te kort. Zeker is dus dat er niet 633 moet staan, maar 638. Dat is 5 x 94 meer en levert dus 470 meer op. En = Het juiste antwoord is dus: 638 x 94 = c 4089 : = 4 Wanneer je 4089 deelt door 40 kom je erachter dat dit 102,225 is. Je weet echter dat er in deze som geen kommagetallen voorkomen. Er moet dus gezocht worden naar een gehele deler van Deze deler ligt tussen 41 en 49. Daarom is het laatste cijfer interessant. Dit is een 9 en 9 komt alleen voor in de tafel van 1, 3, 7 en 9. Na enig uitproberen kom je erachter dat 4089 : 47 = 87. Het antwoord is dus 4089 : 87 = Vul +, -, x of : in. Gebruik je rekenmachine. a (48 18) 148 = 716 Na enig proberen kom je er al snel achter dat, wil je op zo n groot getal uitkomen, er ergens vermenigvuldigd moet worden. Wanneer je 48 x 18 doet, blijkt dit 864 te zijn. Het antwoord is dus (48 x 18) = 716. b 476 ( ) = 391 Direct is zichtbaar dat je van het grote getal 2040 een veel kleiner getal moet zien te maken. Wanneer je dit deelt door 24, kom je op 85 uit en = 391. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 17/18

18 c 27 (36 18) = 675 Hier moet je een relatief groot getal zien te krijgen met deze relatief kleine getallen. 36 x 18 is 648 en komt dus in de buurt, maar ligt er nog steeds onder. Wanneer je hier 27 bij optelt kom je tot Van de rekenmachine werkt de 3-knop niet. Los de sommen toch op met de rekenmachine. Welke eigenschappen van de bewerkingen gebruik je? 34 x 575 = Hier kun je bijvoorbeeld 44 x 575 intypen en daar 10 x 575 vanaf halen. Je gebruikt dan de distributieve of verdeeleigenschap. Je kunt dit natuurlijk ook doen door 24 x 575 in te typen en daar 10 x 575 bij op te tellen. 43 x 575 = Hier kun je 44 x 575 intypen en 1 x 575 eraf halen. Ook dan maak je gebruik van de distributieve of verdeeleigenschap. 43 x 573 = Hier zou je ook de distributieve of verdeeleigenschap kunnen toepassen, maar dan maak je het jezelf erg ingewikkeld. Je kunt hier natuurlijk ook compenseren door de termen groter en kleiner te maken. Bijvoorbeeld door 86 x 286,5 of 129 x 191 te berekenen in plaats van 43 x x 525 = Deze kan nog mooier door middel van groter en kleiner maken. Wanneer je namelijk 33 vergroot met factor 3 en 525 verkleint met factor 3 kom je op de som 99 x 175 en die is met de kapotte rekenmachine goed uit te rekenen (waarschijnlijk zelfs zonder). Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H1 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 18/18