1 Rekenen met gehele getallen

Transcriptie

1 1

2 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen De gehele getallen Optellen Opgaven Aftrekken Opgaven Vermenigvuldigen Opgaven Delen Opgaven Delen op nul Opgaven Delen door nul Nul gedeeld door nul Machtsverheffen Opgaven Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal Opgaven Delen van machten met hetzelfde grondtal Opgaven Machten van machten Opgaven Combinaties van bewerkingen Opgaven Index... 1

3 1 Rekenen met gehele getallen 1.1 De gehele getallen De getallen, 1,,,,... heten de natuurlijke getallen. Ze worden aangegeven met het symbool De natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn. 1 Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen. Maar als je alleen natuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar aftrekken. Zo kun je wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar niet. Daarom het volgende: De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden: 1 1 De getallen...,,,, 1,, 1,,,,... heten de gehele getallen Ze worden aangegeven met het symbool. De getallen 1,,,.. heten de positieve gehele getallen. + Ze worden aangegeven met het symbool De getallen...,,,, 1. heten de negatieve gehele getallen Ze worden aangegeven met het symbool Twee getallen, zoals en of en, die slechts van teken verschillen heten elkaars tegengestelde.

4 1. Optellen Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen een voortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: + = + = + 1 = + = + 1 = + = + = 1 + = + = 1 + = + = De getallen en heten de termen. Het getal heet de som van en We zien dat het optellen met een negatief getal hetzelfde resultaat geeft als aftrekken met het positieve tegenovergestelde van dat getal. De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld + de volgorde van de termen mag verwisselen: + = +, heet de commutatieve eigenschap van het optellen. Omdat de gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het optellen van gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling mogen verwisselen. Bijvoorbeeld: + = +

5 1. Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. + f. + b. + g. + c. + 8 h. 1 + d. 8 + i. + e. + j Een meetlat is een voorbeeld van een getallenlijn. Verzamel deze week zoveel mogelijk voorbeelden van dergelijke getallenlijnen. Leg uit hoe je op je rekenmachine + 8 uitrekent. Op je rekenmachine staan twee mintekens. Leg uit waar ieder van de twee voor gebruikt wordt.. Schrijf de opgaven over en reken uit: a. + b. + c. + d. + e. +. Schrijf de opgaven over en reken uit: a b c d. + + e f. 8 + g. 8 + h i. + j. + f g h i j

6 1. Aftrekken Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele getallen een voortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: = 1 = 1 = = 1 = = = = 8 We zien dat het aftrekken met een negatief getal hetzelfde resultaat oplevert als het optellen met het tegenovergestelde van dat getal. 1. Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. f. b. g. c. 8 h. 1 d. 8 i. e. j. 8. Leg uit hoe je op je rekenmachine 8 uitrekent. Schrijf de opgaven over en reken uit: a. b. c. d. e. f. 8 g. 8 h. 9 8 i. j.. Schrijf de opgaven over en reken uit: a. 8 8 b. 8 c. 1 d. e. f. 1 g. h. i. j.

7 1. Vermenigvuldigen Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt vermenigvuldigen zo dat het vermenigvuldigen met gehele getallen een voortzetting is van het vermenigvuldigen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: = = 8 1 = = 1 = = 8 = = 1 = De getallen en heten de factoren. Het getal heet het product van en Zoals = spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met gehele getallen: =. Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken: = = 8 We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele 1 = getallen geldt: = positief getal positief getal = positief getal 1 = positief getal negatief getal = negatief getal = 8 negatief getal positief getal = negatief getal = negatief getal negatief getal = positief getal = 1 = 1. Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. f. b. g. c. h. 8 d. 8 i. 1 e. j. 1. Schrijf de opgave over en reken uit: a. b. c. d. e. f. 8 g. 8 h. 9 8 i. j.

8 . Schrijf de opgave over en reken uit: a. 1 1 b. 1 1 c. 1 1 d. 1 1 e. 1 1 f. 1 1 g. 1 1 h. 1 1 i. 1 1 j

9 1.8 Delen = omdat = Daarom is =. Immers = = omdat = = omdat = We gebruiken de horizontale breukstreep. Deze zaait geen verwarring over de bedoelde volgorde. De symbolen, / en : zullen we daarom niet gebruiken. We zien dat voor delen met gehele getallen geldt: positief getal gedeeld door positief getal = positief getal positief getal gedeeld door negatief getal = negatief getal negatief getal gedeeld door positief getal = negatief getal negatief getal gedeeld door negatief getal = positief getal 1.9 Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. 1 f. b. 1 g. c. 8 h. d. i. e. 8 1 j Schrijf de opgave over en reken uit: a. 1 1 b. 18 c. d. e. f. g. h. i. j

10 . Gegeven is dat 98 = 9 Dankzij dit gegeven kun je delingen opschrijven met deze gehele getallen en hun tegengestelden Schrijf alle mogelijke delingen, met hun uitkomst op. 1.1 Delen op nul = want =, maar = en = Opgaven 1. Schrijf over en bereken: a. b. c. d Delen door nul =?, Welk getal kan er staan op de plaats van het?? Als je op de plaats van? een getal denkt dan moet? =. Maar dan kan er op de plaats van? geen enkel getal gezet worden zo dat de regel? = klopt. We zeggen daarom: delen door nul kan niet. 1.1 Nul gedeeld door nul =? Welk getal kan er staan op de plaats van het?? Als je op de plaats van? een getal denkt dan moet? =. Maar op de plaats van? kan ieder getal staan. Daarom zeggen we: kan niet. 1

11 1.1 Machtsverheffen Een uitdrukking als heet een macht De in de uitdrukking heet het grondtal De in de uitdrukking heet de exponent is de korte schrijfwijze voor x x x Dus = Net zo is ( ) = Dus ( ) = 81 Een macht is een herhaalde vermenigvuldiging. Het grondtal geeft aan met welk getal je vermenigvuldigt. De exponent geeft het aantal herhalingen aan Pas op: Dus = = Opgaven 1. Schrijf de volgende machten als een herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht: a. f. ( ) k. b. g. ( ) l. c. m. h. ( ) d. n. i. ( ) e. o. j. ( ). Ga na hoe je met je rekenmachine ( ) uitrekent.. Schrijf de opgave over en reken uit: a. ( 11) b. 1 c. d. ( ) e. ( 1) f. g. h. i. j. 1 ( 1) ( 1) is gelijk. 11. De uitkomst van ( ) en 11 Leg uit dat de uitdrukkingen ( ) en betekenis. 11 wel dezelfde uitkomst hebben, maar niet dezelfde 11

12 1.1 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal Omdat = en = is 9 = = factoren factoren Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de exponenten van die machten bij elkaar optellen. 1.1 Opgaven 1. Schrijf als één macht: a. b. 1 1 c. d. e f. g. h. i. j L Delen van machten met hetzelfde grondtal 8 = omdat 8 = Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten van die machten van elkaar aftrekken Opgaven 1. Schrijf als één macht: a. 9 b. c. d. 11 e. 1 1 f. g. h. i. j

13 1. Machten van machten Een uitdrukking als ( ) heet een macht van een macht. Het is de de macht van ( ) = = factoren Als je een macht van een macht wilt schrijven als één macht, dan moet je de exponenten van de beide machten met elkaar vermenigvuldigen Opgaven 1. Schrijf de machten als macht van één grondtal: a. ( ) b. ( ) c. ( ) ( ) d. ( ) e. ( ) ( ) f. ( ) ( ) g. ( ) 1 h. ( 1 ) 11 i. ( 1 1 ) j. ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

14 1. Combinaties van bewerkingen Om een uitdrukking als +, waarin zowel een vermenigvuldiging als een optelling staat, moet er een afspraak gemaakt worden welke bewerking (de vermenigvuldiging of de optelling) het eerst moet worden verricht. De afspraak is dat de vermenigvuldiging het eerst wordt verricht. Dus: + = + = Om de optelling eerst uit te voeren, kunnen haakjes gebruikt worden: ( + ) ( + ) = 9 = 1. Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. + f. ( + ) + b. + g. + (+ ) c. + + h. ( + ) ( + ) d. + + i. ( ) ( ) e. + j. +. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. f. + b. g. + c. h. + d. ( ) i. + + e. ( ) j.. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. ( ) f. ( ) + 8 b. ( 9) ( 11) c g. 8 ( ) h. 8 ( ) d. ( 8) 1 i. 8 e. ( ) + j. 8 ( ) 1

15 . Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. f (9+ 8) b. g h. + c i. d e. 1 j. (1+ 1) 1

16 1. Index A aftrekken met gehele getallen C combinaties van bewerkingen 1 commutatieve D delen door nul 9 delen op nul 9 delen van machten met hetzelfde grondtal 11 E exponent 1 G gehele getallen getallenlijn grondtal 1 M macht 1 machten van machten machtsverheffen 1 N natuurlijke getallen negatieve gehele getallen nul gedeeld door nul 9 P positieve gehele getallen T tegengestelde termen V vermenigvuldigen met gehele getallen vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal 11 1