Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Transcriptie

1 Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis

2 2

3 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen Optellen Opgaven Aftrekken Opgaven Gemengde opgaven optellen en aftrekken Vermenigvuldigen Opgaven Delen Opgaven Delen op nul Opgaven Delen door nul Nul gedeeld door nul Machtsverheffen Opgaven Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal Opgaven Delen van machten met hetzelfde grondtal Opgaven Machten van machten Opgaven Combinaties van bewerkingen Opgaven Breuken De breuk Opgaven Optellen van breuken Opgaven Aftrekken van breuken Opgaven Vermenigvuldigen van breuken

4 4 INHOUDSOPGAVE 2.8 Opgaven Delen van breuken Opgaven Een deel van een deel Opgaven Decimale schrijfwijze Opgaven Procenten Opgaven Korter schrijven Opgaven Optellen met letters Opgaven Meer letters Opgaven Rekenen met letters 5 4. Opgaven Aftrekken Opgaven Het tegengestelde van x+y Opgaven Vermenigvuldigen Opgaven Delen Opgaven Machten Opgaven Delen van machten Opgaven Machten van machten Opgaven Vereenvoudigen van breuken met letters Opgaven Optellen en aftrekken van breuken Opgaven Vermenigvuldigen van breuken Opgaven Haakjes wegwerken I Opgaven Haakjes wegwerken II Opgaven (a + b) Opgaven (a + b)(a b)

5 INHOUDSOPGAVE Opgaven Haakjesvaria Ontbinden in factoren Ontbinden in factoren I Opgaven Ontbinden in factoren II Opgaven Ontbinden allerlei Breuken Vereenvoudigen Optellen en aftrekken van breuken met letters Opgaven Breuken met letters vermenigvuldigen en delen Opgaven

6 6 INHOUDSOPGAVE

7 Hoofdstuk Rekenen met gehele getallen. De gehele getallen De getallen 0,, 2, 3, 4,... heten de natuurlijke getallen. Ze worden aangegeven met het symbool N De natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn. Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen. Maar als je alleen natuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar aftrekken. Zo kun je 5 3 wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar 3 5 niet. De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden: De getallen..., 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4,... heten de gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z De getallen, 2, 3,.. heten de positieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z + De getallen..., 4, 3, 2, heten de negatieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z Twee getallen, zoals 3 en -3 of 4 en -4, die slechts van teken verschillen heten elkaars tegengesteld.2 Optellen Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen een voortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: = = = 5 7

8 8 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN = = = = = = = = 3 De getallen 3 en 4 in = 7 heten de termen. Het getal 7 heet de somvan 3 en 4. We zien dat optellenmet een getal hetzelfde resultaat geeft als aftrekkenmet het tegengesteld De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld de volgorde van de termen mag verwisselen: = 6 + 4, heet de commutatieve eigenschap van het optellen. Omdat de gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het optellen van gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling mogen verwisselen. Bijvoorbeeld: = Opgaven Som Schrijf het tegengestelde op van: Het tegengestelde van 3 is 3 Het tegengestelde van4 is 4 c. Het tegengestelde van 5 is 5 Het tegengestelde van6 is 6 Het tegengestelde van2 is 2 f. Het tegengestelde van 32 is 32 g. Het tegengestelde van32 is 32 h. Het tegengestelde van 34 is 34 Som 2 Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: = = c = = = 3 f = 3 g = 8 h. + 5 = 6 Som 3 Schrijf de opgave over en bereken:

9 .3. OPGAVEN = = 3 c = = = 2 f = 0 g = 4 h = 3 Som 4 Schrijf de opgave over en bereken: = = 8 c = = = 3 f = 3 g = 3 h = Som 5 Schrijf de opgave over en bereken: = = c = = = f = g. + 5 = 6 h. + 7 = 6 Som 6 Schrijf de opgave over en bereken: = = 8 c = = = 8 f = 0 g = h = 20 Som 7 Schrijf de opgave over en bereken: = = 0 c = = 4

10 0 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN = 2 f = 2 g = 2 h = 2 Som 8 Schrijf de opgave over en bereken: = = 2 c = = = 6 f = 4 g = 6 h = 5 Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: = = 5 c = = = 20 f = 0 g = h Som 0 Schrijf de opgave over en bereken: = = 8 c = = = 23 f = g = 3 h = 2.4 Aftrekken Hoe je gehele getallen van elkaar kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele getallen een voortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: 4 3 = 4 2 = 2 4 = = 4 4 = = 6

11 .5. OPGAVEN 4 3 = = 8 Dus: aftrekken met een getal levert hetzelfde resultaat als optellen met het tegengesteld.5 Opgaven Som Schrijf de opgave over en bereken: 2 3 = 2 3 = 5 c. 4 8 = = 5 3 = 8 f. 3 5 = 2 g. 5 = 4 h. 8 2 = 6 Som 2 Schrijf de opgave over en bereken 7 4 = = c = = = 7 f. 28 = 7 g. 7 5 = 2 h = 5 Som 3 Schrijf de opgave over en bereken: 0 7 = 7 2 = 3 c. 5 4 = = = 36 f = 2 g = 55 h. 24 = 25 Som 4 Schrijf de opgaven over en bereken: 2 43 = 55 c = = = 68

12 2 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN f g h Som 5 Schrijf de opgave over en bereken: c = = = 3 f = 0 g = 2 h = 2.6 Gemengde opgaven optellen en aftrekken Som 6 Schrijf de som over en bereken = 4 8 = 7 c. 3 9 = = 25 9 = 8 f = 8 g = 44 h = 2 Som 7 Schrijf de som over en bereken 7 7 = = 2 c = 0 23 = = 28 f = 30 g. 6 = 7 h. 0 8 = 8 Som 8 Schrijf de som over en bereken 2 3 = c. 3 2 = = = 25

13 .6. GEMENGDE OPGAVEN OPTELLEN EN AFTREKKEN = f = g = h = 25 Som 9 Schrijf de som over en bereken c f. 4 3 g h Som 20 Schrijf de som over en bereken: c f g h Som 2 Schrijf de som over en bereken: c f g h Som 22 Schrijf de som over en bereken c f g h

14 4 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN Som 23 Schrijf de som over en bereken c f g h Som 24 Schrijf de som over en bereken c f g h Som 25 Schrijf de som over en bereken c f g h Vermenigvuldigen Gehele getallen kun je net zo vermenigvuldigen als gehele getallen. We maken volgende tabel: 4 3 = = 8 4 = = 0 4 = = = = = 20

15 .8. OPGAVEN 5 Zoals 4 3 = 3 4 spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met gehele getallen: 4 2 = 2 4 Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken: 4 3 = = 8 4 = = 0 4 = = = = = 20 We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele getallen geldt: positief getal positief getal = positief getal positief getal negatief getal = negatief getal negatief getal positief getal = negatief getal negatief getal negatief getal = positief getal.8 Opgaven Som 26 Schrijf de sommen over en bereken 4 7 = = 28 c. 5 8 = = = 72 f. 9 = 99 g. 8 6 = 48 h. 7 5 = 35 Som 27 Schrijf de som over en bereken 4 5 = = 08 c. 6 3 = 78 = = 32 f. 3 2 = 36 g. 7 7 = 49 h. 5 5 = 75

16 6 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN Som 28 Schrijf de som over en bereken 6 8 = = 25 c. 2 3 = = = 98 f. 2 2 = 44 g. 3 7 = 9 h. 5 0 = 50 Som 29 Schrijf de som over en bereken: 6 4 = = 90 c. 8 5 = = = 57 f. 3 = 43 g. 4 8 = 2 h. 5 4 = 60 Som 30 Schrijf de som over en bereken = = 70 c = = = 80 f = 05 g = 64 h. 0 3 = 330 Som 3 Schrijf de som over en bereken = = 80 c = = = 56 f = 62 g = 240 h = 0

17 .9. DELEN 7.9 Delen 2 4 = 3, omdat 3 4 = 2 Daarom is 2 4 = 3: Immers 3 4 = 2 Zo is: 2 4 = 3 omdat 3 4 = = 3 omdat 3 4 = 2.0 Opgaven Som 32 Schrijf de opgave over en reken uit: 5 5 = = 2 c = = = 3 f = 8 g = 9 h = 9 Som 33 Schrijf de opgave over en reken uit: 44 6 = = 9 c f g h Delen op nul 0 3 = 0, want 0 = 3 0. Net zo is 0 4 = 0 en 0 27 = 0.2 Opgaven Som 34 Schrijf over en bereken

18 8 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 0 6 = = 0 c = = 0.3 Delen door nul 3 0 =? Welk getal kan er op de plaats van het vraagteken staan? Als je op de plaats van? een getal denkt, dan moet 0? = 2. Maar je ziet dat er op de plaats geen enkel getal gezet kan worden. Dus: Delen door nul kan niet..4 Nul gedeeld door nul 0 0 =? Wel getal kan er op de plaats van??. Voor zo n getal moet gelden: 0? = 0. Maar dan kan op de plaats van? ieder getal staan. Daarom zeggen we 0 0 kan niet..5 Machtsverheffen 5 4 is de korte schrijfwijze van Een uitdrukking als 5 4 heet een macht. De 5 heet het grondtal De 4 heet de exponent Voorbeelden:. 4 3 = = ( 3) 4 = = 8 3. Pas op: 3 4 = Opgaven Som 35 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. 2 2 = = 8 c. 2 4 = = = 64 f. ( 2) 2 = 4

19 .7. VERMENIGVULDIGEN VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL 9 g. ( 2) 3 = 8 h. ( 2) 4 = 6 Som 36 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. ( 2) 3 = 8 ( 2) 4 = 6 c. ( 2) 5 = 32 ( 2) 6 = = 4 f. 2 3 = 8 g. 2 4 = 6 h. 2 5 = 32 Som 37 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. 3 2 = = 27 c. 3 4 = = = 729 f. ( 3) 2 = 9 g. ( 3) 3 = 27 h. ( 3) 4 = 8 Som 38 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. ( 3) 3 = 27 ( 3) 4 = 8 c. ( 3) 5 = 243 ( 3) 6 = = 9 f. 3 3 = 27 g. 3 4 = 8 h. 3 5 = Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal Omdat 7 4 = en 7 5 = is = = 7 } {{ } } {{ } 9 4 factoren 7 5 factoren 7 Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de exponenten van die machten bij elkaar optellen..8 Opgaven Som 39 Schrijf als één macht

20 20 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN = = 0 c = = = 3 2 f = 20 7 g = 2 46 h = Delen van machten met hetzelfde grondtal = 7 8 omdat 7 2 = Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten van die machten van elkaar aftrekken..20 Opgaven Som 40 Schrijf als één macht: = = 5 9 c = = = 0 4 f = 2 g = 5 2 h = 22.2 Machten van machten 7 54 heet een macht van een macht. Het is de 4-de macht van = } {{ } 4 factoren 7 5 = 7 20 Als je een macht van een macht wilt schrijven als één macht, dan moet je de exponenten van de beide machten met elkaar vermenigvuldigen..22 Opgaven Som 4 Schrijf de machten als macht van één grondtal: 7 45 = 7 20 c = = 2 4 ( 2) 34 = ( 2) 2

21 .23. COMBINATIES VAN BEWERKINGEN = 2 2 f. ( 4) 53 = ( 4) 5 g = 3 20 h. ( 3) 456 = ( 3) Combinaties van bewerkingen Gevraagd: Bereken Omdat 5 6 betekent moet je bij eerst 5 6 uitrekenen en dan pas bij de uitkomst 4 optellen. Dus vermenigvuldigen gaat voor optellen = = 34 Zou je toch eerst 4 en 5 willen optellen, dan moet je haakjes gebruiken: (4 + 5) 6 = 9 6 = Opgaven Som 42 Bereken: = = = = 34 c = = = = = = 62 f. (4 + 5) = = = 6 g (6 + 7) = = = 69 h. (4 + 5) (6 + 7) = 9 3 = 7 Som 43 Bereken: (4 5) (6 + 7) = 3 = = = 9 c = 4 30 = = = 26 (4 5) 6 = 6 = 6 f. ( 4 5) 6 = 9 6 = 54 g = = 43 h = = 4 Som 44 Bereken

22 22 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN = = = = 27 c = = 9 (5 7) 2 = 2 2 = 4 (5 9) (5 ) = 4 6 = 24 f = = 0 g. (5 8) 3 0 = = 9 0 = 9 h. (4 6) = = = 7 Som 45 Bereken = 20 5 = c = 30 5 = 6 = = = = = = 85 7 = 5 f. 5 (9+8) = = g = h (3 2 ) 3 = 20 0 = kanniet 6 7 = = 8 6 7

23 Hoofdstuk 2 Breuken 2. De breuk Hieronder zie je hoe je op een getallenlijn de deling 6 3 je kunt voorstellen. Het deel van de getallenlijn vanaf 0 tot en met 6 is in drie gelijke delen verdeel Ieder deel heeft de lengte 2 en het eerste deel loopt van 0 tot en met 2, precies het getal 2 = 6 3. Zoals 6 3 kun je ook van de deling 3 een voorstelling maken: De uitkomst van de deling 3 noemen we de breuk 3. Het getal in de breuk heet de teller. Het getal 3 in de breuk heet de noemer. Twee breuken met dezelfde noemer heten gelijknamige breuken. Dat 3 = 2 6 kun je in het volgende plaatje zien: 23

24 24 HOOFDSTUK 2. BREUKEN Gevolg: Als je de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal(niet nul) deelt dan blijft de waarde van die breuk gelijk. Als je de teller en de noemer van een brei met hetzelfde getal(niet nul) vermenigvuldigt dan blijft de waarde van die breuk gelijk. Een breuk vereenvoudigje door de teller en de noemer door hetzelfde (meestal gehele) getal te delen. Met de uitdrukking bedoelen we Voor kunnen we ook 5 4 schrijven. 2.2 Opgaven Som 46 Laat met een getallenlijn zien: 0 5 = = 5 c. 8 4 = 2 3 = = 5 4 Som 47 Vereenvoudig de volgende breuken zover mogelijk: 4 20 = = 6 c. 5 8 = = = 2 3 f = 3 4 g = 2 3 h = 2 3

25 2.2. OPGAVEN 25 Som 48 Vereenvoudig 2 2 = = 2 3 c. 7 7 = 33 = = 8 3 f = g. 3 = is niet te vereenvoudigen h = 3 Som 49 Vereenvoudig 60 6 = = 4 44 c. 6 = = = 6 f = 3 2 g = h = Som 50 Vul het ontbrekende getal in: 4 3 = = 66 7 c. 0 = = = 2 69 f = g = h. 9 = 63 8

26 26 HOOFDSTUK 2. BREUKEN 2.3 Optellen van breuken Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van = 7 3 Om twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn, op te tellen moet je de tellers van die breuken bij elkaar optellen en de noemers blijven gelijk. Voorbeeld Om uit te rekenen moeten de breuken eerst gelijknamig gemaakt worden: 2 = = 9 2 Dus: = = 7 2 Voorbeeld: Bereken Uitwerking: 2 3 = = 8 5 Dus: = = 79 5 = Opgaven Som 5 Leg uit hoe je uitrekent. Som 52 Bereken = = = = 3 4

27 2.4. OPGAVEN 27 c = = = = = = f = = 3 24 g = = 5 6 h = = Som 53 Bereken = = 3 2 = = 2 2Gaat over dezelfde getallen als c = = = = = = = = f = = = 4 20 g = = 4 42 h = = 5 56 Som 54 Bereken = = = = = c = = = = = 5 00 = = = f = = = 2 5 g = = 3 42 h = = = Som 55 Bereken

28 28 HOOFDSTUK 2. BREUKEN = = = 3 4 c = = = = = = 9 24 f = = 3 24 = 7 24 g = = 5 6 h = = 9 6 = 2 2 Som 56 Bereken = = = = c = = = = = = 7 3 f = = 7 8 g = = h = = Som 57 Bereken = = = = = c = = = = = 5 00 = = = 9 50 f = = g = = 5 60 = 4 2 h = = 9 30

29 2.5. AFTREKKEN VAN BREUKEN Aftrekken van breuken Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van = 2 3. Om twee breuken, waarvan de noemer gelijk is, van elkaar af te trekken moet je de tellers van die breuken van elkaar aftrekken en de noemers blijven gelijk. 2.6 Opgaven Som 58 Maak de tekening met een getallenlijn om te laten zien dat = 5 3. Som 59 Bereken = 4 6 = = 4 7 c = = 6 5 = = 9 9 f = 9 9 g = = 5 7 h = = 4 7 Som 60 Bereken 3 6 = = 6

30 30 HOOFDSTUK 2. BREUKEN 6 3 = = 6 c. 3 5 = = = = = = = 3 5 f. 5 3 = = 7 5 = 2 5 g. 5 3 = = 2 5 h. 3 5 = = 7 5 Som 6 Bereken 7 4 = = = = 3 4 c = = = = = = = 24 f = = = 3 24 g = = = h = = 24 Som 62 Bereken 4 2 = = frac4 4 2 = = = 3 4 c. 8 2 = = = = = = 3 24 f = = 24 g = = 6 2 = 2 h = = = 0 2 = 5 6 Som 63

31 2.6. OPGAVEN 3 Bereken = = = = c = = = = = = 6 3 f = = 9 8 = 8 g = = = = 7 24 h = = = + 39 = 6 39 Som 64 Bereken = = = = = c = = = = = = = 9 50 f = = g = = 3 60 h = = 5 30 = 6

32 32 HOOFDSTUK 2. BREUKEN 2.7 Vermenigvuldigen van breuken Voor de vermenigvuldiging van de breuken 2 5 en 3 7 maken we de volgende afspraak: = 6 35 Twee breuken vermenigvuldig je door: teller teller en noemer noemer. Zo is: = = 28 5 = Een geheel getal zoals 4 kun je ook al een breuk zien: 4. Dan is 4 5 = Opgaven Som 65 Bereken en vereenvoudig het antwoord = = 8 27 c = = = 5 f. 2 2 = 4 g = 7 25 h = Som 66 Bereken en vereenvoudig het antwoord 6 6 = 36

33 2.8. OPGAVEN = 5 36 c = = = 0 f = g = 3 62 = h. 2 2 = = 9 4 = 2 4 Som 67 Bereken en vereenvoudig het antwoord = = 3 = = = 48 5 = 3 5 c = = = = = = = = = f = 4 27 = = 3 2 g = = 4 3 = 3 h. 4 2 = = 5 8 = 7 8

34 34 HOOFDSTUK 2. BREUKEN 2.9 Delen van breuken Want 2 8 = = 2 Als we de uitdrukking 2 8 ook als breuk beschouwen, dan weten we dat we de teller en de noemer met hetzelfde getal mogen vermeningvuldigen: 2 2 = = 2 8 = 4 = 4 Belangrijk is het stukje: 2 8 = 2 8 Daarom zeggen we: Delen door een breuk (hier 8 levert hetzelfde antwoord als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk ( 8 = 8) Zo is dus: 2 3 = 2 3 = Opgaven Som 68 Bereken c. f. g. h. 2 3 = 2 3 = = 3 3 = = = = = = = = = = = = = 4 5

35 2.0. OPGAVEN 35 Som 69 Bereken c f. 8 4 g h = = = = = = = 2 5 = = = = = 5 6 = 2 2 = = 2 25 = = 6 5 = 5 = 8 4 = 32 = = 32 3 = = = 0

36 36 HOOFDSTUK 2. BREUKEN 2. Een deel van een deel Hieronder is 3 deel van de oppervlakte van een rechthoek gearceerd: Hieronder is van het 3 deel nu het 2 5 deel gearceerd: Het gearceerde deel is het 2 5 deel van de oorspronkelijke rechthoek. Dus het 3 deel van het 2 5 deel is het = 2 5 deel van het geheel. 2.2 Opgaven Som 70 Bereken wel deel van het geheel is: 3 deel van het 4 deel is 3 4 = deel van het 3 deel is = 5 c. 2 7 deel van de helft is = 7 5 deel van het 5 deel is 5 5 = deel van het 2 5 deel is = 4 25

37 2.3. DECIMALE SCHRIJFWIJZE Decimale schrijfwijze In het getal 235 staat de 2 voor 200 de 3 voor 30 de 5 voor 5 Zo kunnen we 2 0 schrijven als 0, als 0,02, als 0,002. En zo verder. Willen we 4 schrijven als decimale breuk, dan moeten we bepalen hoeveel tienden, hondersten, duizenden,..., er in 4 gaan. Om uit te rekenen hoeveel tienden er in 4 gaan, delen we 4 door 0 : Er gaan dus 2 0 in 4 en je houdt nog: 4 0 = 4 0 = = = 5 00 Dus 4 = Een staartdeling is de korte, misschien bekende manier van opschrijven van het proces hierboven: 2.4 Opgaven Som 7 Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze 3 8 = 0, = 0, 6875

38 38 HOOFDSTUK 2. BREUKEN 7 c. 6 = 0, = 0, = 0, f. 4 = 0, g. 7 = 0, h. 43 = 0, Som 72 Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze 5 8 = 0, = 0, c. 23 = Deze decimale schrijfwijze heeft periode 22. De decimalen zijn onder andere te vinden door een staartdeling te maken. 7 = 0, =.96 f = g. 3 7 = h = Som 73 Schrijf de volgende getallen als een breuk 0, 45 = = , 54 = = c. 0, 30 = = 3 0 0, 75 = = 3 4 0, 72 = = 8 25 f. 0, 65 = = 3 20 g. 0, 3030 = = h. 0,875

39 2.5. PROCENTEN Procenten De oorsprong van het woord pro-cent is per honderd Als je leest: 4 is per 4, dan is per 4 gelijk aan 25 per 00. Het aantal per 00 is het percentage Dus 4 = 25% Om een breuk, zoals hier 4 in de vorm van procenten te schrijven, kun je als volgt te werk gaan: schrijf de breuk (hier 4 )in decimale vorm: 0,25 dit betekent en dus is 4 = 25% Zo is 35% van 83 is dus = 0, = 29, Opgaven Som 74 Schrijf de volgende breuken als procenten 2 = 2 00% = 50% 8 = 8 00% = 2, 5% c. 3 = 3 00% = 33, 3% 2 7 = % = 28, 6% 3 4 = % = 75% 5 f. 6 = % = 3, 25% 4 g. 0 = % = 40% 4 h. 9 = % = 44, 4% Som 75 Schrijf de volgende breuken als procenten 2 5 = % = 40% 5 2 = % = 4, 7% 2 c. 3 = % = 66, 7% 5 7 = % = 7, 4% 3 2 = % = 50%

40 40 HOOFDSTUK 2. BREUKEN 7 f. 6 = % = 43, 75% 8 g. 0 = % = 80% 2 h. 9 = % = 22, 2% Som 76 Schrijf de volgende percentages als breuk 0% = 0 00 = 0 5% = 5 00 = 3 20 c. 25% = = 4 40% = = % = = 9 20 f. 2, 5% = 2,5 00 = 8 g. 65% = = 3 20 h. 83% = Som 77 Bereken 5 5% van 27 is =, % van 20 is = 9, 6 c. 4% van 746 is = 04, 4 36 % van 847 is = 304, 92 83% van 839 is = 696, 37 f. 24% van 748 is = 927, 52 g. 20 % van 3748 is = 7870, 8 h. 0,2 % van 0,25 is 0,2 00 Som 78 Hoeveel procent is: 0, 25 = 0, van 3 is = 66, 7% 3 van 2 is = 50% c. 20 van 50 is = 40% 20 van 500 is = 4%

41 2.6. OPGAVEN 4 78 van 83 is = 42, 6% f. 83 van 78 is = 234, 6% g. 0,34 van 8 is 0, = 4, 25% h. 9,2 van 8,73 is 9,2 8,73 00 = 05, 4% Som 79 De prijs en de korting in procenten van de prijs zijn gegeven.bereken de nieuwe prijs: De prijs is 23 euro. De korting is 2% De korting is 23 0, 2 = 2, 76 De nieuwe prijs is 20,24 euro. De prijs is 23 euro. De korting is 5% De korting is 23 0, 5 = 8, 45 De nieuwe prijs is 04,55 euro. c. De prijs is 343 euro. De korting is 38% De korting is 343 0, 38 = 30, 34 De nieuwe prijs is 22,66 euro. De prijs is 533 euro. De korting is 63% De korting is 533 0, 63 = 335, 79 De nieuwe prijs is 97,2 euro. De prijs is 2 euro. De korting is,2% De korting is 2 0, 2 = 0, 224 De nieuwe prijs is,776 euro. f. De prijs is 23,34 euro. De korting is 2,4% De korting is 23, 34 0, 24 = 2, 89 De nieuwe prijs is 20,45 euro. g. De prijs is 2304 euro. De korting is 62,5% De korting is , 625 = 440 De nieuwe prijs is 864 euro. h. De prijs is 5423 euro. De korting is 7,% De korting is , 7 = 927, 33 De nieuwe prijs is 4495,67 euro. Een uitwerking die korter is: = 23 0, = 23 0, 85 c = 343 0, = 533 0, ,2 00 = 2 0, 88, 8

42 42 HOOFDSTUK 2. BREUKEN f. 23, ,4 00 = 23, 34 0, 876 g ,5 00 = , 375 h , 00 = , 829 Som 80 De prijs en de verhoging in procenten van de prijs zijn gegeven, bereken de nieuwe prijs: De prijs is 23 euro. De verhoging is 2% De verhoging is 23 0, 2 = 2, 76 De nieuwe prijs is 25,76 euro De prijs is 23 euro. De verhoging is 5% De verhoging is 23 0, 5 = 8, 45 De nieuwe prijs is 4,45 euro. c. De prijs is 343 euro. De verhoging is 38% De verhoging is 343 0, 38 = 30, 34 De nieuwe prijs is 473,34 euro. De prijs is 533 euro. De verhoging is 63% De verhoging is 533 0, 63 = 335, 79 De nieuwe prijs is 868,79 euro. De prijs is 2 euro. De verhoging is,2% De verhoging is 2 0, 2 = 0, 224 De nieuwe prijs is 2,224 euro. f. De prijs is 23,34 euro. De verhoging is 2,4% De verhoging is 23, 34 0, 24 = 2, 89 De nieuwe prijs is 26,23 euro. g. De prijs is 2304 euro. De verhoging is 62,5% De verhoging is , 625 = 440 De nieuwe prijs is 3744 euro. h. De prijs is 5423 euro. De verhoging is 7,% De verhoging is , 7 = 927, 33 De nieuwe prijs is 6350,33 euro. Een uitwerking die korter is: = 23, = 23, 5 c = 343, = 533, 63

43 2.6. OPGAVEN ,2 00 = 2, 2 f. 23, ,4 00 = 23, 34, 24 g ,5 00 = 2304, 625 h , 00 = 5423, 7 Som 8 De nieuwe prijs en de verhoging in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs: De nieuwe prijs is 23 euro. De verhoging was 2% De nieuwe prijs =,2 x de oude prijs. De oude prijs was 23,2 = 20, 54 euro. De nieuwe prijs is 23 euro. De verhoging was 5% De nieuwe prijs =,5 x de oude prijs. De oude prijs was 23,5 = 06, 96 euro. c. De nieuwe prijs is 343 euro. De verhoging was 38% De nieuwe prijs =,38 x de oude prijs. De oude prijs was 343,38 = 248, 55 euro. De nieuwe prijs is 533 euro. De verhoging was 63% De nieuwe prijs =,63 x de oude prijs. De oude prijs was 533,63 = 326, 99 euro. De nieuwe prijs is 2 euro. De verhoging was,2% De nieuwe prijs =,2 x de oude prijs. 2 De oude prijs was,2 =, 798 euro. f. De nieuwe prijs is 23,34 euro. De verhoging was 2,4% De nieuwe prijs =,24 x de oude prijs. De oude prijs was 23,34,24 = 20, 77 euro. g. De nieuwe prijs is 2304 euro. De verhoging was 62,5% De nieuwe prijs =,625 x de oude prijs. De oude prijs was 2304,625 = 47, 85 h. De nieuwe prijs is 5423 euro. De verhoging was 7,% De nieuwe prijs =,7 x de oude prijs. De oude prijs was 5423,7 = 463, 09 euro. Som 82 De nieuwe prijs en de korting in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs: De nieuwe prijs is 23 euro. De korting was 2% De nieuwe prijs = 0,88 x de oude prijs. De oude prijs is 23 0,88 = 26, 4

44 44 HOOFDSTUK 2. BREUKEN De nieuwe prijs is 23 euro. De korting was 5% De nieuwe prijs = 0,85 x de oude prijs. De oude prijs is 23 0,85 = 44, 7 c. De nieuwe prijs is 343 euro. De korting was 38% De nieuwe prijs = 0,62 x de oude prijs. De oude prijs is 343 0,62 = 553, 23 De nieuwe prijs is 533 euro. De korting was 63% De nieuwe prijs = 0,37 x de oude prijs. De oude prijs is 533 0,37 = 440, 54 De nieuwe prijs is 2 euro. De korting was,2% De nieuwe prijs = 0,888 x de oude prijs. 2 De oude prijs is 0,888 = 2, 25 f. De nieuwe prijs is 23,34 euro. De korting was 2,4% De nieuwe prijs = 0,876 x de oude prijs. De oude prijs is 23,34 0,876 = 26, 64 g. De nieuwe prijs is 2304 euro. De korting was 62,5% De nieuwe prijs = 0,375 x de oude prijs. De oude prijs is ,375 = 644 h. De nieuwe prijs is 5423 euro. De korting was 7,% De nieuwe prijs = 0,829 x de oude prijs. De oude prijs is ,829 = 654, 62

45 Hoofdstuk 3 Korter schrijven = = = 4 9 Zoals de drie regels hierboven kunnen we er nog veel meer opschrijven. Behalve 7 of 8 of 9 kun je ieder getal kiezen. Ook 23: = 4 23 Merk op: Er wordt niets uitgerekend, maar alleen wordt korter geschreven. Omdat het er niet toe doet welk getal je kiest kunnen we ook opschrijven: a + a + a + a = 4 a Zo n uitdrukking betekent:welk getal je ok voor a invult, of het 7 of 8 of 9 of 23 is, altijd is a + a + a + a = 4 Notatie: In plaats van het -teken wordt ook wel eens een gebruikt. Maar meestal schrijft men bij een vermenigvuldiging helemaal niets tussen een getal en een letter. Dus: a + a + a + a = 4 a = 4 a = 4a 3. Opgaven Som 83 Schrijf korter: = = 3 6 c = = = 2 5 } {{ } 2keer 45 f = 5 2 } {{ } 5keer g = 6 4 h = 4 7

46 46 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN Som 84 Schrijf korter: a + a + a = 3 a = 3a a + a + a + a = 4 a = 4a c. a + a = 2 a = 2a a + a + a + a + a = 5 a = 5a b + b + b + b = 4 b = 4b f. p + p + p = 3 p = 3p g. x + x + x + x + x = 5 x = 5x h. y + y y = 00 y = 00y } {{ } 00keer Som 85 Bereken voor a = 4 : a + a + a = 3a = 3 4 = 2 a + a = 2a = 2 4 = 8 c. a + a + a + a = 4a = 4 4 = 6 a + a a = 30a = 30 4 = 20 } {{ } 30keer 4a = 4 4 = 6 f. 5a = 5 4 = 20 g. 2a = 2 4 = 48 h. 30a = 30 4 = 520 Som 86 Bereken: 4a voor a = 5 is 4 5 = 20 3a voor a = 2 is 3 2 = 6 c. 2a voor a = 5 is 2 5 = 0 5a voor a = 8 is 5 8 = 40 6a voor a = 8 is 6 8 = 48 f. 8a voor a = 2 2 is = 20 g. 4a voor a = 2 2 is = 0 h. 0a voor a = 3 2 is = 35

47 3.2. OPTELLEN MET LETTERS Optellen met letters 4a betekent a + a + a + a 5a betekent a + a + a + a + a Dus 4a + 5a = a + a + a + a+a + a + a + a + a = 9a Net zo is: 20a + 30a = a + a a } {{ } 20keer + a + a a } {{ } 30keer = a + a a = 50a } {{ } 50keer 3.3 Opgaven Som 87 Bereken (schrijf korter): 5a + 7a = 2a 5a + 2a = 7a c. 8a + a = 9a 2a + 7a = 29a 4x + 8x = 2a f. x + 8x = 9a g. 38x + 57x = 95a h. 4x + 7 = 4x + 7 Som 88 Bereken: 5p + 0p = 5p 2p + 2p = 42p c. 3p + 5p = 8p 2p + p = 3p 7q + 5q = 22p f. 3q + 8q = q g. 2q + 48q = 60q h. 9q + 6q = 25q Som 89 Bereken: 7a + 6a + 4a = 7a 8a + a + 0a = 9a c. 9x + 9x + 29x = 57x 6p + 23p + 4p = 43p 4q + 36q + q = 6q f. 9q + 9q + 8q = 36q g. 5m + 6m + 25m = 46m h. 2z + z + z = 4z Som 90 Bereken:

48 48 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN 4x + 2x + 5x + 8x = 39x 5b + 4b + 3b + 2b = 54b c. 8y + 24y + 30y + 36y = 08y p + 2p + 3p + 4p = 0p 2a + 2a + a + 5a = 30a f. 6z + 6z + 26z + 36z = 84z g. 8p + 6p + 4p + 2p = 20p h. 6m + 33m + 9m + 5m = 73m Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + 3a + 4a = 0a = 0 3b + 4b + 5b = 2b c. 3c + 3c + 0c = 0 4d + 5d + 6d = 5d p + 2p + 3p = 6p f. 3q + 4q + 5q = 4q g. 2x + 2x + 2x = 6x h. 5y + 5y + 5y = 5y Som 92 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + 24a + a + a = 3a 6b + 4b + 9b + 2b = 5b c. 4c + 7c + c + 2c = 6c 3d + 9d + 7d + 5d = 4d 3p + 28p + 7p + 4p = 20p f. 2q + 0q + 6q + 4q = 0 g. 9x + 38x + 64x + 25x = 8x h. 8y + 75y + 2y 2y = 02y Som 93 Schrijf de opgave over en bereken: 9a + 5a + 3a = a 6b + 9b + 5b = 8b c. 6c + 9c + 5c = 8c 4d + d + 8d = d 5p + 3p + p = 23p f. 0q + 5q 4q = q g. 7x + 2x + 6x = 3x h. 4y + 9y + y = 2y 3.4 Meer letters De uitdrukking a + b kun je niet korter schrijven. a + b betekent dat je de getallen a en b bij elkaar wilt optellen als je weet hoe groot de getallen a en b zijn. De uitdrukking a + a + a + b + b + a + b kun je wel korter schrijven: a + a + a + b + b + a + b = 4a + 3 Zo is dus 4a + 8a + 6b + 9b = 2a + 5

49 3.5. OPGAVEN Opgaven Som 94 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + 3b + 4a = 3a 3b 3a + 4a + 5b = 7a 5b c. 3a + 3a + 0b = 0 4a + 5b + 6a = 0a 5b a + 2b + 3b = a 5b f. 3x + 4x + 5y = x 5y g. 2x + 2y + 2y = 2x 4y h. 5x + 5y + 5x = 0x 5y Som 95 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + 24a + b + b = 4a 0b 6a + 4b + 9a + 2b = 3a 2b c. 4a a + 2 = 3a + 9 3a + 9b + 7b + 5a = 2a + 2b 3a a + 4b = 4a 4b + 28 f. 2a + 0b + 6a + 4b = 6a 6b g. 9a + 38a + 64a + 25b = 7a + 25b h. 8a + 75b + 2b + 2b = 8a 84b Som 96 Schrijf de opgave over en bereken: 9x + 5y + 3y = 9x 8y 6x + 9x + 5y = 3x + 5y c. 6x + 9y + 5y = 6x + 24y 4x + x + 8y = 7x + 8y 5y + 3y + x = x + 2y f. 0x + 5x 4 = 5x 4 g. 7x x = x + 2 h. 4y + 9y + = 23y Som 97 Bereken (schrijf korter): 3a + 7a + 5b + 8b = 0a + 3b 2x + 8y + 2y + 4x = 6x + 0y c. 7p + 5q + 5p + 7q = 22p + 22q 3n n = 5n + 3 4p + p + 8q + q = 5p + 9q f. 7 + y y = 2y + 5 g. 43a + 6b + 27b + 8a = 5a + 43b h. 7c + 30c + 8d + 7d = 47c + 25d Som 98 Bereken (schrijf korter):

50 50 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN 4x + 3x + 6y + 5x + y = 2x + 7y 9a + 3a + 5b + 6a + 2a = 30a + 5b c. 7m+2m+5m+n+0n = 44m+2n 28q q + 5q + 23 = 46q a a a = 63a + 23 f. 6p + 4q + 9q + 2p + 5p = 23p + 4q g. p + 0q + p + 0q + p = 3p + 20q h. 6x + 5x + 3x + 8y + 7x = 3x + 8y Som 99 Bereken: 4a + 3b als a = 2 en b = 3 is = = 7 2a + 5b als a = 3 en b = 2 is = = 4 c. 3a + 4b als a = 2 en b = 3 is = 6 2 = 8 5a + 8b als a = en b = 0 is = = 5 2a a a als a = 2 is 63a + 23 = = 49 f. 6p + 4q + 9q + 2p + 5p als p = 2 en q = 3 is 23p + 3q = = = 7 g. p + 0q + p + 0q + p als p = en q = is 3p + 20q = = = 7 h. 6x + 5x + 3x + 8y + 7x als x = en y = 0 is 3x + 8y = = 3

51 Hoofdstuk 4 Rekenen met letters Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som nul is. De getallen 7 en 7 zijn dus elkaars tegengestelde:7 + ( 7) = 0 Zo zijn de getallen a en a ook elkaars tegengestelde:a + ( a) = 0 Zo zijn ook 3a en 3( a) elkaars tegengestelde want: 3a = a + a + a en 3( a) = a + a + a en a + a + a + a + a + a = 0 Omdat 3( a) = 3a geldt: 3a + 3a = 0. Dus het tegengestelde van 3a is 3a Voorbeelden: 3a + 8a = 5a 8a + 3a = 5a 4. Opgaven Som 00 Bereken: 3a + 8a = 5a 6a + 7a = a c. 5p + 4p = 9p 9p + 6p = 3p 6x + 5x = x f. 23x + 24x = x g. x + 5x = 6x h. x + 7x = 6x Som 0 Los op: 3m + 6m = 7m c. 2x + 2x = 0 4p + 4p = 8p 7a + a = 6a 5

52 52 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS b + 7b = 8b f. 5k + 5k = 0 g. 8k + 9k = k h. 0z + 0z = 20z Som 02 Bereken: 6a + 5a + 4a = 3a 3a + 7a + 4a = 0 c. 8p + 0p + 7p = 5p 9x + 4x + 7x = 6x 4q + 4q + 4q = 4q f. 7a + 3a + 5a = a g. 6x + 6x + 6x = 8x h. 4p + 4p + 8p = 0 Som 03 Bereken: 7x + 24x + x + x = 3x 6b + 4b + 9b + 2b = 5b c. 4a + 7a + a + 2a = 6a = 4 3p + 28p + 7p + 4p = 20p f. 2q + 0q + 6q + 4q = 0 g = 8 h. 8x + 75x + 2x + 2x = 02 Som 04 Bereken: 7p + 4p + 3q = 3p + 3q 8x + 2x + 5y = 4x + 5y c. 3a + 5b + 5a = 8a + 5b 4p + 2p + 5 = 8p + 5 8x = 8x + 8 f. 9a + 5a + 4b = 4a + 4b g. 6p + q + 8p = 8p + q h. 4p = 4p + 9

53 4.2. AFTREKKEN Aftrekken Zoals 7a + 3a = 0a is 0a 7a = 3a Omdat 0a + 3a = 7a zeggen we aftrekken is optellen met het tegengesteld 4.3 Opgaven Som 05 Bereken: 8a 3a = 5a 6a 7a = a c. 5p 4p = 9p 9p + 6p = 3p 6x 5x = x f. 23x 24x = x g. x 5x = 6x h. x 7x = 6x Som 06 Bereken: 4q 5q = q 6p 2p = 6q c. 4x 8x = 2x 6a 3a = 9a 4y + 2y = 8y f. 9p 9p = 8p g. 5x 5x = 0 h. 7z + 4z = 3z Som 07 Bereken: 3q 5q = 3q + 5q = 8q 5p p = 6p c. 5p p = 5p + p = 6p 5p p = 6p p 5p = 6p f. p 5p 6p g. p 5p = p + 5p = 6p h. 5p p = 5p + p = 6p Som 08 Bereken:

54 54 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS q 0q = q + 0q = 2q 7c + 2c = 7c 2c = 5c c. 28z 5z = 28z + 5z = 43z 9a + 5a = 34a 4b 7b = 3b f. 2q + 6q = 8q g. p + 5p = 4p h. 4a 5a = 4a + 5a = 9a Som 09 Bereken: 6c c = 5c 23x 6x = 39x c. 8z z = 7z a + 4a = 5a 5p + 4p = p f. q q = 2q g. 6a 5a = a h. 7z 7z = 0 Som 0 Bereken: 3a 5a + 6a = 4a 4x 3x 2x = 5x c. 6p + 3p 5p = 8p 2q 0q 9q = 7q 6d 8d + 5d = 7d f. 0y 7y 4y = 2y g. 2b + 4b 8b = 24b h. 7a 8a a = 0 Som Bereken: 5q 4q + 3q = 2q 6a 8a 0a = 4a c. 22x + 8x 6x = 2x 2p 8p + 7p = p 6b b 4b = 4b f. 9y + 3y 2y = 0y g. 4x 6x + 7x = 3x h. 6a 9a + 4a = a Som 2 Bereken: 4a + 8b 6a 3b = 8a + 5b p 5q 8p + 2q = 3p 3q c. 3x + 5y 4x 7y = 7x 2y 8m 6n 4n + 4n = 8m 26n

55 4.3. OPGAVEN 55 7c 9d + 6c + 8d = 3c d f. 4x 7x 6y + y = 3x + 5y g. 8a 4b 9b a = 7a 23b h. 6p 7q 8q 9p = 5p 5q Som 3 Bereken: 9c 4d 3c + d = 2c + 7d 6a 5 9 6a = 24 c. 7x + 7y 5x 5y = 2x 2y 2p 2q 7p + 7q = 5p + 5q 6y 7x 3x 2y = 4x + 4y f. 4p + 8q q + 4p = 0p + 9q g. 2b 8c 4b + 2c = 6b 6c h. 4x 9x y y = 5x Som 4 Bereken: 4p 8q 6p + 5p 3q = 25p q 5 + 5z = 5z c. 4x 4x + 7y 5y x = 7x 7y b 6a 3a + 2a 4b = a + 7b 3q q 5q + 2q = 3q f. 6m 4m m 7n + 3n = 9m + 6n g. 8y 6z 4y 6z + y = 3y 2z h. a 4b 9a 4b + 8a = 0 Som 5 Schrijf de som over en bereken 4a + 8a = 4a 8b b = 7b c. 3c 9c = 22c 0d + 5d = 25d p 9p = 8p f. 24q + 6q = 8q g. 35x 9x = 44x h. 2y 24y = 2y Som 6 Schrijf de som over en bereken 7a 7a = 0 6b 4b = 2b c. 29c + 9c = 0c 23d d = 34d 4p 4p = 28p f. 20q + 0q = 30q g. 6x x = 7x h. 0y 8y = 8y

56 56 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS Som 7 Schrijf de som over en bereken 2a 3a = a 2b 3b = 25b c. 3c 2c = 25c 2d 3d = 25d 2p 3p = p f. 2q + 3q = q g. 2x + 3x = x h. 3y + 2y = 25y Som 8 Schrijf de som over en bereken 4a 3a + 5a = 2a 9b 6b b = 36b c. 3c c 24c = 26c 5d + 8d 7d = 0 25p 7p 8p = 26p f. 4q q 3q = 6q g. 7x 38x 5x = 46x h. y + 9y 0y = 40y Som 9 Schrijf de som over en bereken: 4a 8a + 2a = 8a 7b + 9b 3b = 5b c. 24c c 5c = 20c 9d + 25d 2d = 32d 33p 4p p = 20p f. 6q + 38q 0q = 32q g. 4x 9x 2x = 6x h. 2y + 5y 5y = 42y Som 20 Schrijf de som over en bereken: 28a 45a + 7a = 0 2b 5b 8b = 9b c. 6c 2c 2c = 6c 4d + 7d 5d = 8d 37p 9p p = 29p f. 25q 3q + 9q = 47q g. 8x 8x 8x = 8x h. 7y 3y 7y = 3y Som 2 Bereken:

57 4.3. OPGAVEN 57 3a 5a + 6a als a = 2 is 4a = 4 2 = 8 4x 3x 2x als x = is 5x = 5 = 5 c. 6p + 3p 5p als p = 3 is 8p = 8 3 = 24 2q 0q 9q als q = is 7q = 7 = 7 6d 8d + 5d als d = 0 is 3d = 3 0 = 0 f. 0y 7y 4y als y = 2 is 2y = 2 2 = 0 2 g. 2b + 4b 8b als b = 5 is 24b = 24 5 = 20 h. 7a 8a a als a = 2 is 0a = 0 Som 22 Bereken: 3a 5a + 6b 5b als a = 2 en b = is 2a + b = = 3 4x 3y 2x + 3y als x = en y = 2 is 2x + 6y = = 0 c. 6q + 3q 5p + q als p = 3 en q = is 5p 2q = = 7 2q 0q 9p p als p = 0 en q = is 8p + 2q = = 2 3a 5a + 6b 5b als a = 3 en b = is 2a + b = = 7 f. 4x 3y 2x + 3y als x = en y = 2 is 2x + 6y = = 4 g. 6q + 3q 5p + q als p = 3 en q = 4 is 5p 0q = = 55 h. 2q 0q 9p p als p = 0 en q = is 8p + 2q = = 2

58 58 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.4 Het tegengestelde van x+y Het tegengestelde van x + y is (x + y) want (x + y) + (x + y) = 0 Maar: x + y + x + y = 0. Dus (x + y) = x + y of (x + y) = x y. Zo is ook: (2x + 3y) = 2x 3y (2x 3y) = 2x + 3y ( 2x 3y) = 2x + 3y 5x + (3x 4y) = 5x 3x + 4y = 2x + 4y 4.5 Opgaven Som 23 Schrijf zonder haakjes: (a + 2b) = a 2b (a 2b) = a + 2b c. (a 2b) = a 2b (a + 2b) = a + 2b ( 3a 3b) = 3a + 3b f. ( 2a + 3b) = 2a 3b g. (4a 2b) = 4a + 2b h. ( 4a 2b) = 4a + 2b Som 24 Schrijf zonder haakjes: (2x + 3y) = 2x 3y (x 2y) = x + 2y c. (x 3y) = x 3y (x + 3y) = x + 3y ( 4x 5y) = 4x + 5y f. ( 3x + 4y) = 3x 4y g. (5x 3y) = 5x + 3y h. ( 5x 3y) = 5x + 3y Som 25 Schrijf zo kort mogelijk: 4a (2a + 2b) = 4a 2a 2b = 2a 2b 5b (a 2b) = 5b a + 2b = a + 7b c. 2a + (a 2b) = 2a + a 2b = 3a 2b 6a + (a + 2b) = 6a + a + 2b = 7a + 2b 8b ( 3a 3b) = 8b + 3a + 3b = 3a + b

59 4.5. OPGAVEN 59 f. 2a ( 2a + 3b) = 2a + 2a 3b = 4a 3b g. 4a (4a 2b) = 4a 4a + 2b = 2b h. 2b ( 4a 2b) = 2b + 4a + 2b = 4a Som 26 Schrijf zo kort mogelijk: 3a (a + 2b) 4b = 3a a 2b 4b = 2a 6b 2a (a 2b) + 3a = 2a a + 2b + 3a = 4a + 2b c. a + (a 2b) 4b = a + a 2b 4b = 2a 6b 4b + (a + 2b) 2a = 4b + a + 2b 2a = a + 6b 3a ( 3a 3b) 3b = 3a + 3a + 3b 3b = 0 f. 2a + 3b ( 2a + 3b) = 2a + 3b + 2a 3b = 0 g. b (4a 2b) a = b 4a + 2b a = 5a + 3b h. a ( 4a 2b) b = a + 4a + 2b b = 5a + b Som 27 Schrijf zo kort mogelijk: (4x + 3y) ( x + 2y) = 4x 3y + x 2y = 3x 5y 3p + 5q (2p + q) = 3p 5q 2p q = p 6q c. 6a 5b (2a 4b) = 6a 5b 2a + 4b = 4a b 8 (4c + 7) ( 4 c) = 8 4c c = 3c q + 2p (3p 5q) 4q = 7q + 2p 3p + 5q = 9p + 2q f. 5x (4y 6x) + 4x 3y = 5x 4y + 6x 4x 3y = 7x 7y g. 4a (4b 4a) = 4a 4b 4a = 8a 4b h. (5k ) ( 2 + 7k) 3k = 5k k = 2k + 23 Som 28 Schrijf zo kort mogelijk: (5x + 4y) ( x + 3y) = 5x 4y + x 3y = 4x 7y 4p + 6q (3p + q) = 4p 6q 3p q = 5p q c. 7a 6b (3a 5b) = 7a 6b 3a + 5b = 4a b

60 60 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 9 (5c + 8) ( 5 c) = 9 5c c = 4c q + 3p (4p 6q) 5q = 8q + 3p 4p + 6q 5q = 9p + 9q f. 6x (5y 7x) + 5x 4y = 6x 5y + 7x 5x 4y = 8x 9y g. 5a (5b 5a) = 5a 5b 5a = 0a 5b h. (6k 2) ( 3 + 8k) 4k = 6k k 4k = 8k + 25

61 4.6. VERMENIGVULDIGEN Vermenigvuldigen 3a = a + a + a 4 3a = a + a + a + a + a + a + a + a + a } {{ } } {{ } } {{ } Anders: 3a = 3 a, dus 4 3 a = (4 3) a = 2 a = 2a Daarom is 3a 4b = 3 a 4 b = 3 4 a b = 2ab 4.7 Opgaven Som 29 Schrijf zo kort mogelijk: + a + a + a = 2a } {{ } 3 23 = 36a 4x.7y = 28xy c. 6p.5 = 30p 8c.4d = 32cd 3x.6y = 8xy f. 2p.q = 2pq g. 8b = 8ab h. 4m.20 = 80m Som 30 Schrijf zo kort mogelijk: 43b = 42ab 8q.2p = 6pq c. 7.3x = 5x 5y.7z = 35yz 5k.7 = 35k f. 7p.3q = 2pq g. y.z = yz h. 64b = 24ab Som 3 Schrijf zo kort mogelijk: 5 3c = 5bc 2p.7q = 4pq c. 4x. 6y = 24xy 8m.8n = 64mn 3 3b = 9ab f. 5x.6y = 90xy g. 2p. 0q = 20pq h. 9m. 4 = 36m Som 32 Schrijf zo kort mogelijk:

62 62 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.3k = 42k p. 6q = 66pq c. 08b = 80ab 5x.9y = 45xy 2y.3x = 6xy f. 6k. 3m = 8mk g. 5z. 7 = 35z h. 3 2 = 6b Som 33 Schrijf zo kort mogelijk: 5 2 6c = 60abc 0x.5y. 7z = 350xyz c. 4p.q. 3r = 2pqr 7m. 8n. 5 = 280nm 7x. 5y. 2z = 70xyz f. 3p.8q. 4 = 96pq g b = 72ab h. 7. 2c. 2d = 68cd

63 4.8. DELEN Delen 6a 2 = 3a want 2.3a = 6a 6a 2a = 3 want 23 = 6a Zo geldt ook: ab a 6ab 2b = b = 3a 6ab 2ab = 3 2a 3 = 4a 4.9 Opgaven Som 34 4a 2 = 2a 9b 3 = 3b c. 5c c = 5 4p 2p = 2 2x x = 2 f. 8q 6q = 3 g. 0m 4 = 2 2 m h. 27a 3a = 9 Som 35 6bc 4b 24pq 3q = 4c = 8p c. 2mn 4 = 3mn 60ab 0ab = 6 48pq 6q f. 25cd 5c g. h. = 3p = 5d 8ap 3 = 6ap 8ap 3a = 6p Som 36 2x 5x = 2 5 c. 4y xy = 4 x 3pq 3q = p 5a 0ab = 2b 7pm 7qm = p q f. 6ab 4ab = 4 8a g. 6b = 4a 3b h. 5qr 30q = r 2

64 64 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS Som 37 22pq 33p = 2q 3 7ad 5d = a 3 c. 4m 2m = 2 3 4a 7b = 4a 7b 40cd 0c = 4d f. 25a 75a = 3 g. 3p 6q = p 2q h. 5x 30x = 2 Som 38 6b 32ab = 2a 0x 40x = 4 c. 6pq 24pq = 4 9a 3b = 3a b 56 8xy = 7 xy f. 28p 4qr = 2p qr g. 7ab 7ac = b c h. 2x 24 = x 2 Som 39 4x.6y 2y 8xy 6c 3y = 2x = 8xy 6c.3y = x c c. 9ab 35b = 9ab 5ab = 3 5 6a 0ab 5b = 6 5b 0ab = 30ab 0ab = 3 f. 30q 5q 2pq = 30q 5q. 2pq = 50pq 2pq = 75 6pq 4p 2p = 6pq 2 = 8pq g. 54p 6p 3q = 9 3q = 3 q h. 8mn 3.3n = 2m

65 4.0. MACHTEN Machten 3 4 = Net zo is a 4 = a a heet het grondtal en 4 heet de exponent. Dus a 3.a 4 = a } {{ }. } a {{ } = a 7. Je kunt dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigen door de exponenten van die machten bij elkaar op te tellen. Dus: x 4 x 5 = x 9 En 5x 3 6x 4 = 30x 7 4. Opgaven Som 40 Schrijf zo kort mogelijk: 3 4 x 5.x 2 = x 7 x 4.x 6 = x 0 c. p 2.p 3 = p 6 a 7.a = a 8 q 7.q 5 = q 2 f. z 8.z 2 = z 0 g. c 4.c 4 = c 8 h. b 9 = b 0 Som 4 Schrijf zo kort mogelijk: m 0.m 8 = m 8 p.p 4 = p 5 c. a 2.a 7 = a 29 q 8.q = q 9 d 5.d 5 = d 0 f. y 2.y 8 = y 0 g. a 6 = a 7 h. q 0.q 4 = q 4 Som 42 Schrijf zo kort mogelijk: k 2.k 6 = k 8 z 7.z 8 = z 5 c. p 5.p 5 = p 20 x.x 4 = x 5 n 5.n 8 = n 3 f. a 7.a = a 8 g. c 0.c 20 = c 30 h. y 9.y 6 = y 5 Som 43 Schrijf zo kort mogelijk:

66 66 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS a 5.a 6.a 7 = a 8 p 3.p.p 6 = p 0 c. z 4.z 4.z 4 = z 2 q.q 2.q 3 = q 6 x 0.x 5.x = x 6 f. b 3 b 5.b 8 = b 6 g. d 2.d 5.d = d 8 h. k 6.k 8.k 0 = k 24 Som 44 Schrijf zo kort mogelijk: 6a 4.3a 5 = 8a 9 7p 2.p 4 = 77p 6 c. 8x 5.4x 5 = 32x 0 5q.8q 0 = 40q 9c 2. 9c 4 = 8c 6 f. 5x. 7x 3 = 05x 4 g. 0m 4.5m 6 = 50m 0 h. 2p 3. 3p 2 = 36p 5 Som 45 Schrijf zo kort mogelijk: 2c.4c 4. 4c 8 = 32c 3 m 5.3m 5.m 5 = 3m 5 c. q 7. 2q 7.5q 27 = 0q 5 3y 3.y.y = 3y 5 4k 4.4k 4.6k 6 = 96k 4 f. n. 6n 6. n = 66n 7 g. a 2.2a 0.0a 2 = 20a 4 h. b 2. 3b = 3b Delen van machten x 6 x = x.x.x.x.x.x 4 x.x.x.x = x 2 Als je twee machten met gelijk grondtal op elkaar deelt, worden de exponenten van elkaar afgetrokken. Zo is: x 9 x 3 = x 6 6x 5 3x 3 = 2x Opgaven Som 46

67 4.3. OPGAVEN 67 Schrijf zo kort mogelijk: x 6 x 2 = x 4 a 7 a 2 = a 5 c. b 5 b 3 = b 2 p 2 p 5 = p 7 q 7 q = q 6 f. y 2 y = y g. c 6 c 4 = c 2 h. z 5 z Som 47 = z4 Schrijf zo kort mogelijk: 7a 4 7a 4 = 5m 2 3m 2 = 5 c. 8y 7 3y 6 = 6y 8x 5 4x 2 = 4x 3 f. 25z 4 5z 3 g. = 5z 35p 5p = 7 24c 6 8c = 3c 5 Som 48 Schrijf zo kort mogelijk: 4a 2 b 5 2ab 3 = 7ab 2 h. 6q 5 4 = 4q 5 8x 7 y 7 3x 4 y 6 = 6x 3 y c. 30p 4 q 5 0q = 3p 4 q 4 5c 6 d 8 3c 3 d = 5c 3 d 7 28m 5 n 3 4mn 3 = 2 m 4 f. 24p 2 y 5 8p 2 y 5 = 3 g. 0b 4 c 5b 3 h. 48a 5 b 6 2ab 5 = 2bc = 4a 4 b