Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Transcriptie

1 Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend kan worden. We zullen beweringen hier met kleine letters a, b,... aanduiden. Een bewijs is een logische redenering die aantoont dat een bepaalde bewering waar is. Er zijn typische vormen van beweringen, waarbij corresponderende vormen van bewijzen horen. Implicatie Een implicatie is een bewering van de vorm Als a dan b Uit a volgt b a is een voldoende voorwaarde voor b b is een noodzakelijke voorwaarde voor a Notatie: a b Bewijs: Een implicatie wordt bewezen door een keten van logische conclusies die bij a of een bekend feit begint, alleen a en bekende feiten gebruikt en bij b eindigt. (niet andersom!) Als een natuurlijk getal n deelbaar is door 4 dan is n ook deelbaar door 2. Bewijs: Zij n deelbaar door 4, dan is er een natuurlijk getal k met n = 4k = 2 2k, en 2k is een natuurlijk getal. Dus n is deelbaar door 2. Als een natuurlijk getal n deelbaar is door 7 dan is n 2 deelbaar door 49 Valkuil: a b en b a zijn verschillende beweringen; de een kan waar en de andere onwaar zijn: Neem bijvoorbeeld: Equivalentie a: Het regent. b: Er staan wolken aan de hemel. Een equivalentie is een bewering van de vorm a en b zijn equivalent a dan en slechts dan als b a is een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor b 1

2 Als twee beweringen equivalent zijn dan zijn ze altijd beide waar of beide onwaar. Notatie: a b Bewijs: Door (separaat) a b en b a te bewijzen. Een natuurlijk getal n is deelbaar door 4 dan en slechts dan als het getal voorgesteld door de laatste twee cijfers (in de gebruikelijke decimale voorstelling) deelbaar is door 4. Bewijs: Eerste deel: Stel n is deelbaar door 4. Dan is n = 4j met een natuurlijk getal j. Zij k het getal voorgesteld door de laatste twee cijfers van n. Dan is n = 100l + k met een natuurlijk getal l (ga na!). Dus k = n 100l = 4(j 25l) is deelbaar door 4. Tweede deel: Zij weer k het getal voorgesteld door de laatste twee cijfers van n. Stel k is deelbaar door 4, dus k = 4m met een natuurlijk getal m. Dan is n = 100l + k = 4(25l + m) deelbaar door 4. Een natuurlijk getal n is deelbaar door 9 dan en slechts dan als de som van zijn cijfers (in de gebruikelijke decimale voorstelling) deelbaar is door 9. Existentiebewering Zij nu M een verzameling van elementen die we aanduiden met x, y, z,..., en zij a(x) een bewering over de elementen van M. Een existentiebewering is een bewering over de verzameling M van de vorm Er is een x M zodanig dat a(x) geldt Notatie: x M : a(x) Bewijs: door een (concreet) element z M aan te geven waarvoor a(z) waar is. Er is een even priemgetal Bewijs: Het getal 2 voldoet. Er is een priemgetal p zodat ook p 2 en p + 2 priemgetallen zijn. Valkuil: De bewering Er is een... is niet hetzelfde als Er is precies één... ; een existentiebewering x M : a(x) is ook waar als a(x) voor meerdere elementen van M waar is. Universele beweringen Een universele bewering is een bewering over de verzameling M van de vorm Voor alle x M geldt a(x) 2

3 Notatie: x M : a(x) Bewijs: Kies een willekeurige, vaste z M en bewijs a(z) voor deze z. (Hierbij mogen alleen eigenschappen van z gebruikt worden die gelden voor alle elementen van M.) Voor alle positieve reële getallen x geldt x + 1 x 2. Bewijs: Zij een vast positief reëel getal z gegeven. Er geldt: (z 1) 2 0 dus z 2 2z dus z z dus z + 1 z 0 (z > 0) 2. Negatie De negatie van een bewering a is de bewering die waar is dan en slechts dan als a onwaar is. Notatie: a Conjunctie Een conjunctie is een bewering van de vorm a en b Notatie: a b Bewijs: door a en b separaat te bewijzen. Disjunctie Een disjunctie is een bewering van de vorm a of b Notatie: a b Bewijs: door aan te tonen ( a) b of door aan te tonen ( b) a Opmerking: a b is ook waar als a en b beide waar zijn. Voorbeeld: Voor alle reële getallen x geldt: (x < x 2 ) (0 x 1) Bewijs: Zij x R gegeven. Neem aan dat 0 x 1 niet geldt, dan is x < 0 of x > 1. In het eerste geval is x 2 > 0 en dus x < 0 < x 2, in het tweede geval is x 2 = x x > x 1 = x. 3

4 Rekenregels voor negaties Tweevoudige negatie levert de oorspronkelijke bewering: ( a) = a Bij het vormen van negaties in complexere beweringen veranderen de vormen: (a b) = a b (a b) = a b ( x M : a(x)) = x M : a(x) ( x M : a(x)) = x M : a(x) De negatie van Het is maandag en de zon schijnt. Het is niet maandag, of de zon schijnt niet. De negatie van Er is een persoon in de zaal die een bril draagt. Alle personen in de zaal dragen geen bril. Contraposities Zij a b een implicatie. De bewering b a heet de contrapositie van a b. De contrapositie is equivalent aan de oorspronkelijke implicatie. Voorbeeld: De contrapositie van Als het regent staan er wolken aan de hemel. Als er geen wolken aan de hemel staan dan regent het niet. Deze twee beweringen zijn identiek. In plaats van de implicatie a b kan men dus ook haar contrapositie b a bewijzen. 4

5 Bewijzen uit het ongerijmde Algemener kun je een bewijs voor een bewering beginnen met de negatie van de bewering en hieruit logisch een tegenspraak af te lijden. Vanwege die tegenspraak kun je dan concluderen dat de oorspronkelijk aanname waar is. Zo een bewijs heet bewijs uit het ongerijmde. Voorbeeld: Er zijn oneindig veel priemgetallen. Bewijs: Uit het ongerijmde: Neem aan dat er maar eindig veel priemgetallen p 1,..., p n zijn. Dan moet elk natuurlijk getal groter dan 1 deelbaar zijn door een van deze getallen. Dit is echter niet waar voor het getal z := p 1... p n + 1. Dit is een tegenspraak met de aanname dat er maar eindig veel priemgetallen zouden bestaan. Dus bestaan er oneindig veel priemgetallen. Een iets complexer voorbeeld We zullen te maken krijgen met beweringen die op meerdere hiërarchische niveaus opgebouwd zijn uit beweringen van de bovengenoemde types. Voorbeeld: Voor alle reëele ε > 0 is er een natuurlijk getal n 0 zodanig dat voor alle n n 0 geldt 1 n 2 < ε. Formeel: We geven de verzameling natuurlijke getallen aan met N. ε > 0 : n 0 N : n N : n n 0 1 n 2 < ε. Bewijs: Zij ε > 0 gegeven. Kies n 0 := [ ] 1 + 1, ε waarbij [ ] het gehele deel aangeeft. Dan is n 0 > 1 ε en dus 1 n 2 0 Zij n N, n n 0. Dan 1 n 1 n 0 en dus < ε. 1 n 2 1 n 2 < ε. 0 5